Corrigé détaillé Centrale Physique Chimie 1 TSI 2020

Le modèle de l'amplificateur linéaire intégré (ALI) idéal en régime linéaire repose sur les hypothèses suivantes :

• des impédances d'entrée infinies, ce qui impose des courants d'entrée nuls :

  i_+ = i_- = 0

• un gain différentiel infini (\mu_d \to \infty), ce qui implique, en régime linéaire (assuré ici par la boucle de rétroaction négative reliant la sortie à la borne inverseuse), une tension différentielle d'entrée nulle :

  \varepsilon = V^+ - V^- = 0 \iff V^+ = V^-
• une impédance de sortie nulle (R_s = 0).

Déterminons les potentiels des bornes d'entrée :

• Sur la borne non inverseuse (+) : le courant traversant le résistor R_1 est nul (i_+ = 0), il n'y a donc aucune chute ohmique à ses bornes :

  V^+ = V_e

• Sur la borne inverseuse (-) : en appliquant le théorème de Millman au nœud inverseur (avec i_- = 0) :

  V^- = \frac{\dfrac{e_1}{R_3} + \dfrac{V_s}{R_2}}{\dfrac{1}{R_3} + \dfrac{1}{R_2}} = \frac{R_2 e_1 + R_3 V_s}{R_2 + R_3}

Comme V^+ = V^-, on en déduit l'expression de la tension V_e :

D'après la relation établie à la question Q1 :

La résistance R_1 n'intervient pas dans le calcul puisque le courant d'entrée i_+ de l'ALI idéal est nul.

Effectuons l'application numérique avec les valeurs fournies :

• R_2 = 6{,}5\text{ k}\Omega
• R_3 = 1{,}0\text{ k}\Omega
• e_1 = 100\text{ mV} = 0{,}100\text{ V}
• V_s = 6{,}50\text{ V}

En tenant compte des deux chiffres significatifs des résistances R_2 et R_3 :

D'après le préambule de la sous-partie I.A, la charge q développée sur les faces de la lame piézoélectrique vérifie :

On en déduit directement l'expression de l'intensité F de la force \vec{F} :

En reprenant la valeur exacte de V_e obtenue à la question Q2 (V_e = \frac{7{,}15}{7{,}5}\text{ V} \approx 0{,}953\text{ V}) :

L'amplificateur linéaire intégré est supposé idéal et fonctionne en régime linéaire :

La borne non-inverseuse étant reliée à la masse (V^+ = 0), la borne inverseuse est à la masse virtuelle :

L'impédance de la branche d'entrée (association série de C_1 et R_1) vaut :

L'impédance de la branche de contre-réaction (association parallèle de R_2 et C_2) s'écrit :

En appliquant la loi des nœuds en termes de potentiels au nœud inverseur (i^- = 0) :

En remplaçant \underline{Z}_1 et \underline{Z}_2 par leurs expressions :

Divisons le numérateur et le dénominateur par le terme imaginaire j(R_1C_1 + R_2C_2)\omega :

Par identification avec la forme imposée \underline{H}(j\omega) = -\dfrac{A}{1 + j(\omega/\omega_1 - \omega_2/\omega)}, on obtient :

D'après la fonction de transfert établie à la question Q4 :

le gain du filtre s'écrit :

Examinons les comportements aux limites :

• À basse fréquence (\omega \to 0) : \dfrac{\omega_2}{\omega} \to +\infty, donc G(\omega) \to 0 ;
• À haute fréquence (\omega \to \infty) : \dfrac{\omega}{\omega_1} \to +\infty, donc G(\omega) \to 0 ;
• Pour la pulsation intermédiaire \omega = \sqrt{\omega_1 \omega_2} : le terme imaginaire s'annule et le gain est maximal, valant G = A \neq 0.

Le filtre atténue donc à la fois les très basses et les très hautes fréquences, tout en transmettant une bande intermédiaire autour de sa fréquence centrale.

D'après la question Q4, la fonction de transfert s'écrit sous la forme :

où A, \omega_1 et \omega_2 sont des constantes strictement positives.

Le gain en tension du filtre est donné par le module de \underline{H}(j\omega) :

Le numérateur étant constant et strictement positif, le gain G(\omega) est maximal lorsque le dénominateur est minimal, c'est-à-dire lorsque le terme positif \left(\dfrac{\omega}{\omega_1} - \dfrac{\omega_2}{\omega}\right)^2 est minimal.

Ce carré étant toujours supérieur ou égal à zéro, sa valeur minimale est 0, atteinte si et seulement si :

Comme une pulsation est nécessairement positive, le gain passe par un maximum pour la pulsation :

En cette pulsation, le gain maximal vaut G_{\max} = A.

1. Matériel utilisé et branchements : On utilise un oscilloscope (bicourbe ou numérique) équipé de deux sondes de tension :

• la masse commune des sondes de l'oscilloscope est reliée à la masse du montage ;
• la pointe de touche de la voie 1 (\text{CH}_1 ou voie X) est connectée à la tension d'entrée v_e(t) ;
• la pointe de touche de la voie 2 (\text{CH}_2 ou voie Y) est connectée à la tension de sortie v_s(t).

2. Vérification expérimentale de l'opposition de phase :

Deux méthodes permettent de s'assurer que les signaux sont en opposition de phase (\Delta\varphi = \varphi_s - \varphi_e \equiv \pi \pmod{2\pi}) :

• En mode temporel (Y-t) : on visualise simultanément v_e(t) et v_s(t) en fonction du temps. Les deux signaux sont en opposition de phase si les maxima de l'un coïncident avec les minima de l'autre, ou de manière équivalente, s'ils franchissent simultanément la valeur zéro avec des pentes de signes opposés (le décalage temporel vaut \Delta t = T/2).
• En mode XY (courbes de Lissajous) : en basculant l'oscilloscope en mode XY, la figure obtenue est une ellipse qui s'aplatit en un segment de droite de pente négative passant par l'origine lorsque le déphasage vaut exactement \pi.

D'après la question Q4, la fonction de transfert du filtre s'écrit :

avec A > 0. Le déphasage entre la tension de sortie et la tension d'entrée est donné par :

Les signaux d'entrée et de sortie sont en opposition de phase si et seulement si l'argument de \underline{H}(j\omega) vaut \pi (modulo 2\pi), ce qui impose :

D'après la question Q6, cette pulsation correspond précisément à la pulsation de résonance du filtre passe-bande :

La fréquence f = \dfrac{\omega}{2\pi} de la contrainte mécanique s'exerçant sur la lame est donc :

Application numérique :

On calcule d'abord le produit des composants :

d'où :

La pulsation correspondante est \omega = \dfrac{1}{5{,}0 \times 10^{-4}} = 2{,}0 \times 10^3\text{ rad}\cdot\text{s}^{-1}. On en déduit la fréquence :

On étudie la masse m dans le référentiel \mathcal{R}_{\text{v}} lié à la voiture, en mouvement de translation rectiligne accélérée \vec{a} = -a\vec{u}_x (a > 0) par rapport au référentiel terrestre supposé galiléen.

Le bilan des actions mécaniques s'exerçant sur la masse m comporte :

• Le poids \vec{P} = -m g \vec{u}_y (en notant \vec{u}_y le vecteur unitaire vertical ascendant) ;
• La réaction normale du support \vec{R}_N = R_N \vec{u}_y, sans composante tangentielle car le glissement se fait sans frottement solide ;

• La force de rappel élastique du ressort, fixé en x = 0, de longueur instantanée \ell(t) = x(t) et de longueur à vide L_0 :

  \vec{F}_{\text{é}} = -k\big(x(t) - L_0\big)\vec{u}_x

• La force de frottement fluide exercée par l'amortisseur :

  \vec{f} = -\alpha \vec{V} = -\alpha \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}\vec{u}_x

• La force d'inertie d'entraînement, due à la non-galiléité de \mathcal{R}_{\text{v}} :

  \vec{F}_{ie} = -m \vec{a} = m a \vec{u}_x

La force d'inertie de Coriolis est quant à elle identiquement nulle car le référentiel de la voiture est en translation pure (\vec{\Omega} = \vec{0}).

En conclusion, la résultante des forces s'exerçant sur la masse m dans \mathcal{R}_{\text{v}} s'écrit :

avec \vec{P} + \vec{R}_N = \vec{0} du fait de l'absence de mouvement selon l'axe vertical.

On étudie la masse m dans le référentiel non galiléen lié à la voiture, muni de la base (\vec{u}_x, \vec{u}_y). La vitesse et l'accélération relatives de la masse sont :

D'après le bilan des forces établi à la question Q9, la masse est soumise à :

• son poids \vec{P} = -m g \vec{u}_y ;
• la réaction normale du support horizontal \vec{R}_N = R_N \vec{u}_y (le déplacement s'effectuant sans frottement solide) ;
• la force de rappel élastique du ressort \vec{F}_{\text{é}} = -k(x(t) - L_0)\vec{u}_x ;
• la force de frottement fluide \vec{f} = -\alpha \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}\vec{u}_x ;
• la force d'inertie d'entraînement \vec{F}_{ie} = m a \vec{u}_x.

Le mouvement relatif s'effectuant selon la direction horizontale, l'équilibre vertical donne \vec{P} + \vec{R}_N = \vec{0}.

Le principe fondamental de la dynamique appliqué dans le référentiel lié à la voiture s'écrit :

En projetant suivant le vecteur unitaire \vec{u}_x :

La longueur à vide L_0 étant constante au cours du temps, la variable X(t) = x(t) - L_0 vérifie :

L'équation du mouvement devient ainsi :

En divisant par la masse m, on obtient :

Par identification avec la forme canonique d'un oscillateur amorti du second ordre :

on en déduit par comparaison des coefficients :

D'après l'énoncé, la phase de freinage commence à t = 0. Avant cet instant (t < 0), la voiture n'accélère pas et le ressort est au repos avec une longueur égale à sa longueur à vide :

Par définition de la variable d'écart X(t) = x(t) - L_0, on en déduit immédiatement :

1. Expression approchée de X(t) à t = t_0 :

Pour t \in [0, t_0], l'équation différentielle établie à la question Q10 s'écrit :

La solution particulière constante associée au second membre constant a est :

Comme Q = 1/2, l'oscillateur est en régime critique (racine double négative -\omega_0). L'évolution est donc strictement apériodique, sans aucun dépassement.

L'énoncé précisant que le régime permanent a largement le temps de s'établir entre t = 0 et t_0, le terme transitoire s'est amorti avant t_0. Par conséquent, à l'instant t = t_0 :

2. Valeur de X(t) lorsque t \to +\infty :

À partir de t = t_0, le véhicule est totalement arrêté. L'accélération devient donc nulle (a = 0). L'équation du mouvement pour t > t_0 s'écrit alors :

Sous l'effet du frottement fluide, les mouvements s'amortissent et la masse rejoint sa nouvelle position d'équilibre en régime libre apériodique. Par conséquent :

3. Allure des variations de X(t) :

Par continuité de la position et de la vitesse en t = 0 (X(0) = 0 et \dot{X}(0) = 0) :

• pour t < 0, X(t) = 0 ;
• pour t \in [0, t_0], X(t) croît de façon monotone avec une tangente horizontale en t = 0, et atteint le palier a/\omega_0^2 avant t_0 ;
• pour t > t_0, X(t) décroît de façon monotone à partir du palier (tangente horizontale en t_0^+ car la vitesse y est quasi nulle) pour tendre asymptotiquement vers 0.

Le mouvement de la voiture est une translation rectiligne selon l'axe (Ox) de vecteur unitaire \vec{u}_x. Entre le début du freinage (vitesse initiale \vec{v}(0) = V\vec{u}_x) et l'arrêt complet de la voiture (vitesse finale \vec{v}(\Delta t_1) = \vec{0}), la variation de vitesse est :

Le vecteur accélération moyenne s'exprime donc par :

Par identification avec la notation de l'énoncé \vec{a} = -a \vec{u}_x (avec a > 0), la norme de cette décélération (ou accélération moyenne) vaut :

Application numérique avec V = 25\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} et \Delta t_1 = 2{,}5\text{ s} :

Durant la phase de choc, la vitesse de la voiture passe de V = 25\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} à 0\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} en une durée \Delta t = 0{,}15\text{ s}.

L'accélération moyenne de la voiture dans le référentiel terrestre s'écrit :

Par identification avec l'expression posée dans le sujet \vec{a} = -a \vec{u}_x avec a > 0, la valeur de la décélération moyenne lors du choc, notée a_2, vaut :

Application numérique avec V = 25\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} et \Delta t = 0{,}15\text{ s} :

D'après la question Q9, l'expression de la force d'inertie d'entraînement subie par une masse m dans le référentiel lié à la voiture animée d'une accélération \vec{a} = -a\,\vec{u}_x est :

L'intensité de cette force d'inertie d'entraînement est donc :

Cas 1 : Freinage brutal Avec a_1 = 10\text{ m}\cdot\text{s}^{-2} (d'après la question Q13) et la masse m = 2{,}81\text{ g} = 2{,}81 \times 10^{-3}\text{ kg} :

Soit, avec deux chiffres significatifs :

Cas 2 : Arrêt suite à un choc Avec a_2 = \dfrac{V}{\Delta t_2} = \dfrac{25}{0{,}15} \approx 1{,}67 \times 10^2\text{ m}\cdot\text{s}^{-2} (d'après la question Q14) :

Soit, avec deux chiffres significatifs :

D'après l'énoncé, la quantité \chi est le rapport entre la différence de potentiel U apparaissant aux bornes du quartz et l'intensité de la force appliquée F_{ie}, soit :

Cas 1 : Freinage brutal

Cas 2 : Arrêt suite à un choc

Caractère décelable de la différence :

Le rapport des tensions vaut :

L'écart de tension \Delta U = U_2 - U_1 \approx 2{,}6\text{ V} est de l'ordre de plusieurs volts, ce qui est très largement supérieur aux bruits de mesure et dérives électroniques usuels. Cette différence est donc parfaitement décelable à l'aide d'un montage comparateur à seuil (par exemple basé sur un ALI, comme étudié en sous-partie II.C).

1. Justification du choix de Q = 1/2 :

L'équation caractéristique associée à l'équation différentielle établie à la question Q10 s'écrit :

Le discriminant réduit vaut :

Pour Q = 1/2, on a \Delta' = 0 : le système est en régime critique.

Ce choix présente un double intérêt capital pour un accéléromètre :

• Absence de dépassement : contrairement au régime pseudo-périodique (Q > 1/2), la réponse indicielle n'oscille pas et ne dépasse à aucun moment sa valeur de régime permanent. Cela évite l'apparition d'une surtension transitoire qui pourrait franchir le seuil et déclencher intempestivement l'airbag lors d'un freinage brutal.
• Rapidité d'établissement : le régime critique est le régime apériodique qui minimise le temps de réponse (plus rapide que tout régime apériodique Q < 1/2).

2. Problème si le régime permanent n'est pas atteint entre t = 0 et t_0 :

La détection repose sur le fait que la tension aux bornes du quartz atteint la valeur de régime permanent proportionnelle à l'accélération (U \propto a).

• Si le temps de réponse du capteur est supérieur à la durée du choc (t_0 = \Delta t = 0{,}15\text{ s}), la tension n'a pas le temps d'atteindre sa valeur maximale U_2 \approx 2{,}8\text{ V}.
• La tension mesurée reste alors trop faible et risque de ne pas dépasser le seuil de détection : l'airbag ne se déploierait pas (non-déclenchement), mettant en danger la vie des passagers.

1. Choix de la tension de seuil
D'après les résultats de la question Q16 :

• Freinage brutal : U_1 \approx 0{,}17\text{ V} ;
• Choc : U_2 \approx 2{,}8\text{ V}.

Pour séparer sans ambiguïté les deux régimes, on choisit une tension seuil médiane :

2. Fonction comparateur
On utilise l'amplificateur opérationnel en comparateur simple non-inverseur (fonctionnement en saturation, sans rétroaction négative) :

• Entrée non-inverseuse reliée au quartz : V^+ = u ;
• Entrée inverseuse reliée au potentiel de référence : V^- = V_{\text{ref}}.

La tension différentielle d'entrée vaut \varepsilon = V^+ - V^- = u - V_{\text{ref}}. En régime saturé :

• Si u < V_{\text{ref}} (freinage ou repos), \varepsilon < 0 \implies v_s = -V_{\text{sat}} = -15\text{ V} ;
• Si u > V_{\text{ref}} (choc), \varepsilon > 0 \implies v_s = +V_{\text{sat}} = +15\text{ V}.

3. Génération de la tension de référence
L'entrée V^- n'absorbe aucun courant (i^- = 0). On réalise V_{\text{ref}} au moyen d'un pont diviseur de tension alimenté par la tension régulée +V_{CC} = +15\text{ V} à l'aide de deux résistances R_A et R_B :

Pour V_{\text{ref}} = 1{,}5\text{ V} avec V_{CC} = 15\text{ V}, il faut :

On choisit par exemple :

4. Dimensionnement de la résistance de protection de la LED
La LED ne doit pas dépasser sa puissance maximale admissible P_{\max} = 100\text{ mW} sous U_d = 1{,}9\text{ V}. L'intensité maximale supportée est :

Pour un fonctionnement fiable et un éclairage bien visible, on choisit un courant d'utilisation I \approx 13\text{ mA} < I_{\max}.
Lorsque v_s = +V_{\text{sat}} = +15\text{ V}, la LED est passante. La loi des mailles sur la branche de sortie donne :

Pour R_p = 1{,}0\text{ k}\Omega :

La puissance dissipée est alors P = U_d I \approx 25\text{ mW} \ll P_{\max}, ce qui garantit la sécurité du composant.
Lorsque v_s = -15\text{ V}, l'anode est à un potentiel inférieur à la cathode (reliée à la masse) : la LED est polarisée en inverse, le courant est nul et la diode reste éteinte.