Corrigé détaillé Centrale Physique Chimie 1 TSI 2020 (page 3/3 : Partie IV)

D'après l'énoncé et le schéma-bloc de la figure 8, le quadripôle supérieur a pour tension d'entrée \underline{v}_e, pour tension de sortie \underline{v}_s et pour fonction de transfert \underline{H}(j\omega), définie comme le rapport de l'amplitude complexe de sortie sur celle d'entrée.

On a donc directement la relation :

Le quadripôle inférieur de fonction de transfert \underline{K}(j\omega) reçoit en entrée la tension de sortie globale \underline{v}_s. Conformément à la définition de sa fonction de transfert, la tension complexe \underline{v}_r présente à sa sortie (sur la gauche de la figure 8) s'écrit :

En appliquant la loi des mailles sur la branche d'entrée, où le potentiel de référence correspond au fil inférieur :

On en déduit la relation liant \underline{v}_s, \underline{v}_e et \underline{v}_1 :

que l'on peut également écrire sous la forme équivalente \boxed{\underline{v}_1 = \underline{v}_e + \underline{K}(j\omega)\,\underline{v}_s}.

D'après la question Q28, la chaîne directe impose :

D'après la question Q29, la loi des mailles à l'entrée s'écrit :

En substituant l'expression de \underline{v}_e dans celle de \underline{v}_s, on obtient :

On en déduit l'expression de la fonction de transfert en boucle fermée :

En régime autonome (sans signal d'excitation extérieur), la tension d'entrée est nulle :

D'après la relation établie à la question Q29, la tension d'entrée de la chaîne directe devient :

En injectant cette expression dans la relation de la chaîne directe obtenue à la question Q28 (\underline{v}_s = \underline{H}(j\omega)\,\underline{v}_e), on obtient :

Pour que le montage puisse générer des oscillations sinusoïdales permanentes non nulles (\underline{v}_s \neq 0), il est nécessaire et suffisant que :

Remarque : On retrouve ce résultat à partir de la fonction de transfert en boucle fermée obtenue à la question Q30, \underline{A}(j\omega) = \frac{\underline{H}(j\omega)}{1 + \underline{H}(j\omega)\underline{K}(j\omega)} : obtenir \underline{v}_s \neq 0 avec \underline{v}_1 = 0 nécessite l'annulation du dénominateur, soit 1 + \underline{H}(j\omega)\underline{K}(j\omega) = 0.

D'après la condition d'oscillation établie à la question Q31 :

En prenant le module de part et d'autre de cette égalité :

Le module d'un produit étant égal au produit des modules, on en déduit la relation (R1) liant les gains de la chaîne directe et de la chaîne de retour :

D'après le résultat de la question Q31, la condition d'oscillation autonome s'écrit :

En prenant l'argument des deux membres, on obtient :

La relation (R2) liant les phases des deux quadripôles s'écrit donc :

Le courant de sortie étant nul (i = 0), le circuit constitue un pont diviseur de tension non chargé alimenté par la tension \underline{u}_e :

où :

• \underline{Z}_s est l'impédance de la branche série (R, C) :

  \underline{Z}_s = R + \frac{1}{jC\omega}

• \underline{Z}_p est l'impédance de la branche parallèle (R, C), d'admittance \underline{Y}_p :

  \underline{Y}_p = \frac{1}{\underline{Z}_p} = \frac{1}{R} + jC\omega

La fonction de transfert s'écrit alors :

Calculons le produit \underline{Z}_s\,\underline{Y}_p :

On en déduit :

D'où l'expression de la fonction de transfert du filtre de Wien :

qui peut également s'écrire sous forme canonique :

D'après le résultat de la question Q34, la fonction de transfert du filtre de Wien s'écrit :

Le gain du filtre correspond au module de \underline{K}(j\omega) :

Étudions les variations de ce gain :

• À basse fréquence (\omega \to 0) : \dfrac{1}{RC\omega} \to +\infty, d'où |\underline{K}(j\omega)| \to 0 ;
• À haute fréquence (\omega \to +\infty) : RC\omega \to +\infty, d'où |\underline{K}(j\omega)| \to 0 ;

• Pour la pulsation \omega_0 = \dfrac{1}{RC} : la partie imaginaire du dénominateur s'annule, ce qui minimise le dénominateur et maximise le gain :

  |\underline{K}(j\omega_0)| = \frac{1}{3}

Le filtre présente donc un comportement de type passe-bande. L'allure du gain en fonction de la pulsation \omega est représentée ci-dessous :

D'après la question Q35, le gain du filtre de Wien s'écrit :

Ce gain passe par un maximum lorsque le terme sous la racine est minimal, c'est-à-dire lorsque la partie imaginaire du dénominateur s'annule :

Comme la pulsation est une grandeur strictement positive, la pulsation de résonance vaut :

À cette pulsation, le terme imaginaire s'annule et le gain prend sa valeur maximale :

Pour l'association en série du résistor de résistance R et du condensateur de capacité C, les impédances s'ajoutent :

Or, l'énoncé indique que l'on se place à la pulsation :

En injectant cette relation dans l'expression de \underline{Z}_{\text{s}}, il vient :

L'association parallèle d'un résistor de résistance R et d'un condensateur de capacité C possède une admittance complexe donnée par :

À la pulsation d'étude \omega_0 = \dfrac{1}{RC}, on a C \omega_0 = \dfrac{1}{R}, d'où :

L'impédance complexe \underline{Z}_{\text{p}} de cette branche parallèle s'en déduit immédiatement :

L'amplificateur linéaire intégré étant idéal, les courants d'entrée sont nuls, en particulier i_+ = 0. La branche reliant la sortie de potentiel \underline{v}_s à la masse à travers l'entrée (+) forme donc un diviseur de tension non chargé constitué de l'impédance série \underline{Z}_{\text{s}} et de l'impédance parallèle \underline{Z}_{\text{p}} :

D'après les questions Q37 et Q38, à la pulsation \omega_0 = \frac{1}{RC}, on a :

d'où :

On en déduit immédiatement le module :

Commentaire :
Ce sous-circuit est rigoureusement identique au filtre de Wien étudié en partie IV.B (figure 9) avec la tension d'entrée \underline{u}_e = \underline{v}_s et la tension de sortie \underline{u}_s = \underline{v}. La condition d'impédance d'entrée infinie de l'ALI (i_+ = 0) assure que le filtre fonctionne à vide (i = 0). On retrouve ainsi parfaitement le gain à la résonance établi à la question Q36 :

De plus, \underline{v}/\underline{v}_s étant un réel strictement positif, les signaux v(t) et v_s(t) sont rigoureusement en phase à cette pulsation, ce qui concorde avec \arg(\underline{K}(j\omega_0)) = 0.

L'amplificateur linéaire intégré est supposé idéal et fonctionne en régime linéaire, ce qui implique :

D'après le schéma de la figure 10, l'entrée non inverseuse (+) est directement reliée au nœud situé entre les deux dipôles du filtre de Wien, dont le potentiel par rapport à la masse est \underline{v} :

La tension \underline{v}_e est définie entre la ligne supérieure (borne amont de R_1) et la ligne médiane (reliée à la borne (+)) :

La différence de potentiel aux bornes du conducteur ohmique R_1 s'écrit donc simplement :

Le courant \underline{i} traversant R_1 de gauche à droite vaut ainsi :

Comme l'impédance d'entrée de l'ALI est infinie (i^- = 0), l'intégralité de ce courant traverse le conducteur ohmique R_2 vers la sortie de l'ALI, portée au potentiel \underline{v}_s :

En remplaçant V^- par \underline{v} et \underline{i} par son expression :

On obtient finalement :

Par définition de la fonction de transfert de la chaîne directe (question Q28), on a :

D'après l'étude du filtre de Wien à la pulsation de résonance \omega_0 = \dfrac{1}{RC} (questions Q34, Q36 et Q39), le signal n'est pas déphasé et son amplitude est divisée par 3 :

Par ailleurs, la relation établie à la question Q40 donne :

En égalant ces deux expressions de \underline{v}, il vient :

On en déduit l'expression de la fonction de transfert \underline{H}(j\omega_0) :

Pour que le montage fonctionne en oscillateur autonome sinusoïdal à la pulsation \omega_0, le système bouclé doit vérifier le critère de Barkhausen.

D'après la relation (R1) de la question Q32, la condition sur le module s'écrit :

Or, d'après la question Q36, on a :

Et d'après la question Q41, la fonction de transfert de la chaîne directe vaut :

La condition sur les phases (relation (R2) de la question Q33) est donc identiquement satisfaite :

La condition sur les gains donne alors :

Pour garantir le démarrage spontané des oscillations à partir du bruit thermique de fond (condition d'accrochage), le gain de boucle initial doit être très légèrement supérieur à 1, soit R_2 \gtrsim 2R_1. Les non-linéarités de l'amplificateur (saturation en tension) viennent ensuite stabiliser l'amplitude en régime permanent.

Pour que les courants dans le montage restent dans la plage nominale de l'ALI (quelques milliampères au maximum) tout en restant très grands devant les courants d'entrée de polarisation, on choisit des résistances de l'ordre de la dizaine de kilo-ohms :

(ou la valeur normalisée standard de la série E12 R_2 = 22\text{ k}\Omega pour faciliter l'accrochage).

Rappelons le comportement des composants réactifs :

• pour un condensateur de capacité C_k, l'impédance est \underline{Z}_{C_k} = \frac{1}{jC_k\omega} : il se comporte comme un circuit ouvert en basse fréquence (\omega \to 0) et comme un court-circuit en haute fréquence (\omega \to \infty) ;
• pour une bobine d'inductance L, l'impédance est \underline{Z}_L = jL\omega : elle se comporte comme un court-circuit (fil) en basse fréquence (\omega \to 0) et comme un circuit ouvert en haute fréquence (\omega \to \infty).

1. Cas où \omega \to 0 (basses fréquences) :

• Dans la branche supérieure, la bobine L équivaut à un court-circuit (L\omega \to 0) et la résistance R devient négligeable devant l'impédance du condensateur (\frac{1}{C\omega} \gg R). Cette branche se comporte donc comme le condensateur C seul.
• La branche inférieure est constituée du condensateur C_0.
• Le dipôle AB équivaut donc à la mise en parallèle de deux condensateurs de capacités C et C_0.

Le modèle se simplifie en un condensateur unique de capacité :

2. Cas où \omega \to \infty (hautes fréquences) :

• Dans la branche supérieure, l'impédance de la bobine L\omega tend vers l'infini et devient prépondérante devant R et \frac{1}{C\omega} \to 0. Cette branche se comporte donc comme un circuit ouvert (aucun courant n'y circule).
• Le courant passe exclusivement par la branche inférieure contenant C_0.

Le modèle se simplifie donc au seul condensateur C_0 :

Lorsque la résistance R est négligeable (R = 0), la branche motrice présente une impédance purement réactive :

Cette branche est en parallèle avec le condensateur de capacité C_0, d'admittance \underline{Y}_0 = jC_0\omega. L'admittance équivalente entre les bornes A et B s'écrit :

L'impédance équivalente \underline{Z}_{AB} = \frac{1}{\underline{Y}_{AB}} est donc un imaginaire pur \underline{Z}_{AB} = j\,\operatorname{Im}(\underline{Z}_{AB}) avec :

La courbe de la figure 12 fait apparaître deux pulsations remarquables non nulles :

1. La pulsation de résonance série \omega_s (ou pulsation de résonance), pour laquelle l'impédance s'annule :

   \operatorname{Im}(\underline{Z}_{AB}) = 0 \iff LC\omega_s^2 - 1 = 0
   \boxed{\omega_s = \frac{1}{\sqrt{LC}}}

   À cette pulsation, la branche motrice se comporte comme un court-circuit.

2. La pulsation d'antirésonance \omega_p (ou résonance parallèle), pour laquelle l'impédance diverge (asymptote verticale en traits pointillés sur la figure 12) :

   (C + C_0) - LC C_0 \omega_p^2 = 0 \iff \omega_p^2 = \frac{C + C_0}{L C C_0} = \frac{1}{L}\left(\frac{1}{C} + \frac{1}{C_0}\right)
   \boxed{\omega_p = \sqrt{\frac{C + C_0}{L C C_0}} = \omega_s \sqrt{1 + \frac{C}{C_0}}}

   À cette pulsation, l'admittance s'annule et le quartz se comporte comme un circuit ouvert.

En l'absence de résistance (R = 0), l'impédance équivalente du quartz est un imaginaire pur :

Un condensateur idéal de capacité équivalente C_{\text{éq}} > 0 présente une impédance :

Le comportement du dipôle est donc capacitif si et seulement si sa réactance est strictement négative :

À l'inverse, si \operatorname{Im}(\underline{Z}_{AB}) > 0, le comportement est inductif (analogue à une bobine j L_{\text{éq}} \omega).

D'après la courbe de la figure 12 et les pulsations remarquables déterminées à la question Q44 :

• Pour \omega \in ]0, \omega_s[, \operatorname{Im}(\underline{Z}_{AB}) < 0 : le comportement est capacitif ;
• Pour \omega \in ]\omega_s, \omega_p[, \operatorname{Im}(\underline{Z}_{AB}) > 0 : le comportement est inductif ;
• Pour \omega \in ]\omega_p, +\infty[, \operatorname{Im}(\underline{Z}_{AB}) < 0 : le comportement est capacitif.

Le comportement du quartz est donc capacitif sur les intervalles :