Corrigé détaillé CCINP Physique Chimie PSI 2024 (page 3/3 : Partie IV)

Le champ magnétique total \vec{B}_{S_1}(\theta, t) créé par l'enroulement S_1 est la superposition des champs créés par chacune des n spires élémentaires décalées.

Pour une spire unique (figure 10) :

• la fonction B_{\text{spire}}(\theta, t) présente deux discontinuités sur l'intervalle [-\pi, \pi] (à \theta = -\pi/2 et \theta = \pi/2), correspondant respectivement au passage devant le conducteur « aller » et le conducteur « retour » ;
• sur le demi-tour \theta \in [0, \pi], il n'y a qu'un seul saut de champ (marche descendante).

Chaque spire supplémentaire décalée angulairement introduit un nouveau palier et une nouvelle marche descendante sur l'intervalle [0, \pi].

Sur la figure 11, on compte sur le demi-espace \theta \in [0, \pi] :

• le palier supérieur centré en \theta = 0 ;
• trois décrochements successifs (trois sauts descendants) pour atteindre le palier inférieur centré en \theta = \pi.

On en déduit que l'enroulement S_1 est constitué de :

D'après le principe de superposition, le champ magnétique total \vec{B}_S créé par les deux enroulements du stator dans l'entrefer s'écrit :

En remplaçant les expressions des courants imposés i_{S_1}(t) et i_{S_2}(t) :

En posant B_{S0} = K_S I_{S\max} et en utilisant la relation trigonométrique fournie \cos(a-b) = \cos a \cos b + \sin a \sin b avec a = \theta et b = \omega_s t :

Caractère tournant du champ :

En tout instant t, la composante radiale présente un extremum positif (le pôle Nord statorique) pour la position angulaire \theta_{\max}(t) telle que :

La distribution angulaire du champ magnétique se déplace donc rigidement le long de la périphérie de l'entrefer dans le sens trigonométrique à la vitesse angulaire constante :

Il s'agit donc bien d'un champ magnétique tournant à la pulsation des courants d'alimentation.

L'inductance mutuelle M_{S_1 S_2} est définie par la relation liant le flux \phi_{S_1 \to S_2} créé par le courant i_{S_1} à travers le circuit S_2 :

Les enroulements S_1 et S_2 du stator sont décalés spatialement d'un angle de \pi/2 : leurs axes magnétiques sont orthogonaux (\vec{e}_x et \vec{e}_y). Le champ magnétique \vec{B}_{S_1} présente une répartition spatiale proportionnelle à \cos\theta\,\vec{e}_r, impaire par rapport à l'axe de l'enroulement S_2. Par raison de symétrie géométrique, le flux total de \vec{B}_{S_1} à travers les spires de S_2 est nul :

De façon tout à fait analogue, les deux enroulements R_1 et R_2 du rotor sont portés par des axes orthogonaux (\vec{e}_u et \vec{e}_v, décalés d'un angle de \pi/2). Le flux créé par l'un à travers l'autre est donc identiquement nul :

L'enroulement R_1 a pour normale le vecteur unitaire \vec{e}_u, repéré par l'angle \theta_R par rapport à \vec{e}_x. D'après la figure 12 et la définition de la base orthonormée directe (\vec{e}_u, \vec{v}, \vec{e}_z), l'enroulement R_2 a pour normale le vecteur unitaire \vec{e}_v, faisant un angle \theta_R + \frac{\pi}{2} avec \vec{e}_x.

On peut donc obtenir les inductances mutuelles liant les enroulements statoriques à R_2 en remplaçant l'angle \theta_R par \theta_R + \frac{\pi}{2} dans les expressions de M_{S_1 R_1} et M_{S_2 R_1} :

D'où les expressions recherchées :

L'apparition d'un courant dans l'enroulement R_1 s'explique par le phénomène d'induction électromagnétique :

• les courants alternatifs circulant dans les enroulements statoriques créent un champ magnétique tournant dans l'entrefer ;
• en raison de la variation temporelle de ce champ et de la rotation éventuelle du rotor, le flux magnétique envoyé par le stator à travers l'enroulement R_1 varie au cours du temps (\frac{\mathrm{d}\phi}{\mathrm{d}t} \neq 0) ;

• d'après la loi de Faraday, cette variation de flux induit une force électromotrice (f.é.m.) :

  e = -\frac{\mathrm{d}\phi}{\mathrm{d}t}
• l'enroulement R_1 étant fermé sur lui-même en court-circuit, cette f.é.m. induite fait circuler un courant induit i_{R_1}(t) dans ce circuit conducteur fermé.

Par définition de l'inductance mutuelle entre deux circuits électriques, le flux magnétique envoyé par un circuit inducteur à travers un circuit induit est proportionnel au courant circulant dans l'inducteur.

Pour le flux créé à travers l'enroulement R_1 du rotor par l'enroulement S_1 du stator parcouru par i_{S_1}(t) :

En utilisant l'expression de l'inductance mutuelle fournie dans le sujet, M_{S_1 R_1} = M_{SR}\cos(\theta_R), on obtient :

De même, le flux créé à travers l'enroulement R_1 par le courant i_{S_2}(t) parcourant l'enroulement S_2 s'écrit :

Avec M_{S_2 R_1} = M_{SR}\sin(\theta_R), il vient :

D'après la question Q32, le flux magnétique créé par l'enroulement S_1 à travers l'enroulement R_1 s'écrit :

D'après la loi de Faraday, la force électromotrice induite par S_1 dans R_1 est :

Soit :

De même, d'après la question Q32, le flux créé par S_2 dans R_1 est :

Par application de la loi de Faraday :

Soit :

L'enroulement R_1 du rotor est fermé sur lui-même (en court-circuit). Sachant que le couplage mutuel avec R_2 est nul (M_{R_1 R_2} = 0, d'après Q29), la loi des mailles s'écrit en convention récepteur :

soit encore :

En utilisant les expressions obtenues à la question Q33 :

on obtient la première forme de l'équation différentielle :

Injectons maintenant les expressions des courants statoriques :

Le second membre, noté \mathrm{SM}(t), devient :

En utilisant la formule \sin(a-b) = \sin a \cos b - \cos a \sin b avec a = \omega_S t et b = \Omega t :

Par identification avec la forme A\sin(\omega t), il vient :

D'après l'équation différentielle établie à la question Q34, l'enroulement rotorique R_1 est un système linéaire du premier ordre à coefficients constants excité par une force électromotrice sinusoïdale de pulsation \omega :

En régime sinusoïdal permanent, la réponse forcée d'un circuit linéaire s'effectue à la même pulsation que l'excitation. La pulsation \omega_R du courant rotorique i_{R_1}(t) est donc égale à la pulsation \omega du terme source. Comme \omega_S > \Omega, cette grandeur est positive :

L'équation différentielle régissant le courant i_{R_1}(t) s'écrit (d'après les questions Q34 et Q35) :

avec A = M_{SR} I_{S\max}(\omega_S - \Omega) et \omega_R = \omega_S - \Omega > 0.

En régime sinusoïdal permanent, en adoptant la représentation complexe \underline{i}_{R_1}(t) = \underline{I}_{R_1} \mathrm{e}^{\mathrm{j}\omega_R t} :

En prenant le module de chaque membre, l'amplitude I_{R\max} = |\underline{I}_{R_1}| vaut :

En remplaçant A et \omega_R par leurs expressions :

Cas particulier \omega_S = \Omega : Pour \omega_S = \Omega, on obtient :

Aucun courant n'est induit dans les enroulements rotoriques.

Justification du qualificatif « asynchrone » : Si le rotor tournait à la vitesse de synchronisme (\Omega = \omega_S), il tournerait à la même vitesse angulaire que le champ magnétique tournant statorique. Dans le référentiel du rotor, le champ magnétique serait alors stationnaire : le flux embrassé par les circuits rotoriques ne varierait plus au cours du temps, la force électromotrice induite serait nulle et aucun courant ne circulerait (I_{R\max} = 0).

Par conséquent, les forces de Laplace et le couple électromagnétique s'annuleraient. Pour produire un couple moteur non nul, la vitesse mécanique \Omega doit obligatoirement différer de la vitesse synchrone \omega_S (\Omega < \omega_S en mode moteur) : le rotor ne tourne jamais au synchronisme avec le champ statorique, ce qui justifie l'appellation de machine asynchrone.

Le champ magnétique total créé par les enroulements rotoriques s'obtient par superposition :

En remplaçant les courants i_{R_1}(t) et i_{R_2}(t) par leurs expressions :

À l'aide de la formule trigonométrique \sin(a - b) = \sin a \cos b - \sin b \cos a avec a = \omega_R t - \varphi et b = \theta - \theta_R :

Or, d'après les données de l'énoncé, \theta_R(t) = \Omega t, et d'après la question Q35, \omega_R = \omega_S - \Omega. On a donc :

Le champ rotorique s'écrit ainsi :

La phase de cette onde spatio-temporelle s'écrit \theta - \omega_S t + \text{cste}. La condition de phase constante \theta(t) - \omega_S t = \text{cste} conduit par dérivation par rapport au temps à :

Commentaire :

• Bien que le rotor tourne mécaniquement à la vitesse angulaire \Omega < \omega_S, les courants induits oscillent exactement à la pulsation de glissement \omega_R = \omega_S - \Omega, de sorte que la vitesse de rotation du champ par rapport au rotor (\omega_R) s'ajoute à la vitesse de rotation mécanique du rotor (\Omega), redonnant \Omega + \omega_R = \omega_S.
• Dans le référentiel du stator, le champ rotorique \vec{B}_R et le champ statorique \vec{B}_S tournent à la même vitesse angulaire \omega_S : ils sont synchrones et donc immobiles l'un par rapport à l'autre.
• Cette synchronisation mutuelle des deux champs magnétiques dans l'entrefer est la condition indispensable pour que la machine puisse délivrer un couple électromagnétique de valeur moyenne non nulle.

Dans une machine à courant continu (MCC) :

• Le champ statorique (inducteur) est produit par des aimants permanents ou des bobinages alimentés en courant continu ; il est donc stationnaire (vitesse angulaire nulle dans le référentiel du stator).
• Pour produire un couple électromagnétique moyen non nul, le champ créé par le rotor (induit) doit également être stationnaire dans le référentiel du stator. Les champs statorique et rotorique sont donc bien synchrones (tous deux de vitesse angulaire nulle par rapport au stator), et ce quelle que soit la vitesse de rotation \Omega du rotor.

Cette synchronisation est assurée mécaniquement par l'ensemble collecteur à lames – balais :

• Les balais, immobiles par rapport au stator, amènent le courant d'alimentation continu aux lames conductrices du collecteur solidaire de l'arbre tournant.
• Lors de la rotation du rotor, le passage des lames sous les balais inverse périodiquement le sens du courant dans les brins d'induit qui franchissent la ligne neutre.
• Vu du stator, la répartition spatiale des courants rotoriques reste ainsi rigoureusement fixe au cours du temps, ce qui maintient le champ magnétique créé par le rotor stationnaire dans l'espace, indépendamment de sa vitesse de rotation \Omega.

Le rotor comporte deux enroulements identiques de résistance R_R, parcourus respectivement par les courants i_{R_1}(t) et i_{R_2}(t). La puissance instantanée dissipée par effet Joule dans le rotor s'écrit :

En injectant les formes données pour les courants :

La puissance Joule instantanée est constante, donc égale à sa valeur moyenne :

En utilisant l'expression de l'amplitude I_{R\max} obtenue à la question Q36 :

Par ailleurs, la puissance électromagnétique transmise au rotor vaut :

En effectuant le rapport membre à membre :

On reconnaît la définition du glissement g = \dfrac{\omega_S - \Omega}{\omega_S}, d'où la relation fondamentale :

Au démarrage, le rotor est initialement immobile dans le référentiel du stator, soit \Omega = 0. Par définition du glissement :

D'après la question Q39, la puissance dissipée par effet Joule au rotor s'écrit P_{JR} = g P_S. La puissance mécanique transmise au rotor s'exprime donc par conservation de l'énergie (en négligeant les frottements mécaniques) :

Le rendement de la conversion de puissance au niveau du rotor (rendement électromagnétique interne) s'écrit :

• Pour g proche de 1 (situation de démarrage), P_{JR} \approx P_S : la quasi-totalité de la puissance fournie par le stator est perdue par effet Joule dans le rotor, d'où un rendement \eta \approx 0.
• Pour g proche de 0 (rotor tournant à une vitesse très proche de la vitesse de synchronisme \omega_S), les pertes Joule rotoriques sont faibles (P_{JR} \ll P_S) et le rendement est maximal (\eta \to 1).