Corrigé détaillé Centrale Physique Chimie 2 TSI 2025 (page 2/3 : Partie B (questions 13 à 28))

Inductance propre L d'un circuit : Considérons un circuit filiforme \mathcal{C} fermé, orienté et parcouru par un courant d'intensité i. D'après les lois de la magnétostatique (loi de Biot et Savart), le champ magnétique propre \vec{B}_{\mathrm{p}} créé par ce courant en tout point de l'espace est proportionnel à i.

Le flux propre \Phi_{\mathrm{p}} de ce champ magnétique à travers toute surface ouverte s'appuyant sur le circuit \mathcal{C} et orientée en cohérence avec le sens de parcours du courant (règle de la main droite) est donc proportionnel à i :

Le coefficient de proportionnalité L est l'inductance propre du circuit. Il s'exprime en henrys (\mathrm{H}). Avec la convention d'orientation adoptée, L est une grandeur strictement positive qui ne dépend que de la géométrie du circuit et de la perméabilité magnétique du milieu.

Inductance mutuelle M entre deux circuits : Considérons deux circuits fermés \mathcal{C}_1 et \mathcal{C}_2, orientés et parcourus respectivement par des courants d'intensités i_1 et i_2.

• Le courant i_1 circulant dans \mathcal{C}_1 crée un champ magnétique \vec{B}_1. Le flux de \vec{B}_1 à travers une surface orientée s'appuyant sur \mathcal{C}_2 est noté \Phi_{1 \to 2}. Par linéarité, il est proportionnel à i_1 :

  \Phi_{1 \to 2} = M_{12} \, i_1

• Réciproquement, le courant i_2 circulant dans \mathcal{C}_2 crée un flux \Phi_{2 \to 1} à travers \mathcal{C}_1 proportionnel à i_2 :

  \Phi_{2 \to 1} = M_{21} \, i_2

D'après le théorème de réciprocité (formule de Neumann), les deux coefficients sont égaux :

Le flux magnétique intercepté par un circuit en présence de l'autre s'écrit ainsi :

Le coefficient M est l'inductance mutuelle entre les deux circuits. Il s'exprime en henrys (\mathrm{H}). Son signe dépend des sens relatifs choisis pour l'orientation des deux circuits.

Considérons le solénoïde \mathcal{S}_a comportant N_a spires réparties sur une longueur \ell, soit un nombre de spires par unité de longueur n_a = \dfrac{N_a}{\ell}.

D'après l'énoncé, en négligeant les effets de bord, le champ magnétique propre créé à l'intérieur de \mathcal{S}_a est uniforme et s'écrit :

Le flux magnétique propre à travers une section circulaire de rayon r_a et de normale \vec{u}_z s'exprime par :

Le flux propre total \Phi_{\mathrm{p},a} à travers l'ensemble des N_a spires identiques en série est donc :

Par identification avec la relation de définition \Phi_{\mathrm{p},a} = L_a i_a, on en déduit l'inductance propre L_a :

Par un raisonnement rigoureusement identique appliqué au solénoïde \mathcal{S}_b de rayon r_b comportant N_b spires sur la même longueur \ell, on obtient :

D'après la figure 5, le solénoïde \mathcal{S}_a est placé à l'intérieur du solénoïde \mathcal{S}_b, soit r_a < r_b. Les deux solénoïdes sont coaxiaux, de même longueur \ell, et leurs spires sont orientées dans le même sens.

Considérons le solénoïde \mathcal{S}_b parcouru par un courant i_b seul. En négligeant les effets de bord, le champ magnétique qu'il crée à l'intérieur de son volume (r < r_b) est uniforme et vaut :

Puisque le solénoïde \mathcal{S}_a est entièrement contenu dans \mathcal{S}_b (r_a < r_b), ce champ \vec{B}_b baigne uniformément toutes les spires de \mathcal{S}_a.

Le flux de \vec{B}_b à travers une spire de \mathcal{S}_a orientée selon \vec{u}_z est :

Le flux total envoyé par \mathcal{S}_b à travers les N_a spires de \mathcal{S}_a est alors :

Par définition de l'inductance mutuelle rappelée en Q13, \Phi_{b \to a} = M i_b. On en déduit l'expression de M :

D'après les résultats établis aux questions Q14 et Q15, les inductances s'écrivent :

Calculons le produit géométrique \sqrt{L_a L_b} :

En formant le rapport entre M et \sqrt{L_a L_b}, il vient :

On a donc bien M = k \sqrt{L_a L_b} avec :

D'après les résultats de la question Q14, les inductances propres des deux solénoïdes sont données par :

En divisant chaque inductance propre par le carré de son nombre de spires, on obtient :

Dans le cas considéré où les deux solénoïdes ont même section (r_a = r_b = r), ces deux termes sont strictement égaux :

Les deux enroulements n'ayant pas de résistance ohmique significative et étant orientés en convention récepteur relativement aux courants i_a(t) et i_b(t), les tensions à leurs bornes s'expriment par la loi de Faraday :

Dans le cas où r_a = r_b (couplage parfait k=1), d'après les résultats de la question Q17, on a :

On peut donc réécrire les inductances sous la forme :

En injectant ces expressions dans les équations électriques :

En divisant respectivement par N_a et N_b, on obtient le même membre de droite :

D'où la relation fondamentale du transformateur idéal :

Considérons les deux bobines en couplage mutuel d'inductance mutuelle M > 0, orientées selon les conventions établies dans la partie II (bornes correspondantes en haut des enroulements) :

• Pour la bobine primaire d'inductance propre L_3, la tension \underline{u}_3 est orientée du bas vers le haut. Le courant \underline{i}_e pénètre par la borne supérieure, ce qui correspond à la convention récepteur.
• Pour la bobine secondaire d'inductance propre L_4, le courant \underline{i}_4 est orienté sur le schéma comme sortant par la borne supérieure vers la résistance R_m. Le courant qui entre par la borne supérieure de cette bobine est donc -\underline{i}_4.

En régime temporel, la tension aux bornes de la bobine primaire s'écrit :

En adoptant la notation complexe associée aux grandeurs sinusoïdales à la pulsation \omega_0 (où la dérivation par rapport au temps se traduit par une multiplication par j\omega_0), on obtient :

Aux bornes de la résistance de mesure R_m, orientée en convention récepteur sur la figure 6, la loi d'Ohm en régime sinusoïdal s'écrit :

D'après le résultat de la question Q18, applicable ici au transformateur idéal constitué de la boucle d'eau (primaire de nombre de spires N_3 = 1) et de la bobine de mesure (secondaire de nombre de spires N_4) :

On en déduit l'expression du courant secondaire \underline{i}_4 en fonction de \underline{u}_3 :

D'après la relation établie à la question Q19 :

En y substituant l'expression de \underline{i}_4 :

En divisant par j L_3 \omega_0, on obtient :

On identifie ainsi la relation \underline{i}_e = \underline{Y} \cdot \underline{u}_3 avec :

D'après le schéma de la figure 6, le transformateur idéal associé présente un rapport de transformation de 1 : N_4. La boucle d'eau conductrice (circuit primaire associé à l'inductance L_3) comporte donc N_3 = 1 spire, et la bobine de mesure (circuit secondaire associé à l'inductance L_4) comporte N_4 spires.

En appliquant le résultat de la question Q17 au cas d'un couplage parfait (k = 1, sans fuite magnétique) entre ces deux enroulements :

Avec N_3 = 1, cette relation se simplifie immédiatement en :

D'après l'expression de l'admittance \underline{Y} établie à la question Q20 :

En y injectant le rapport \frac{M}{L_3} = N_4, on obtient directement :

D'après le schéma équivalent du circuit de mesure complet (figure 7), la boucle d'eau de mer est parcourue par le courant \underline{i}_e. Ce courant traverse en série la résistance R_e de l'eau, puis le dipôle d'impédance \underline{Z} = \frac{1}{\underline{Y}}, avant de retourner à l'enroulement secondaire de la bobine d'excitation.

En appliquant la loi des mailles à cette boucle orientée dans le sens horaire :

soit encore :

Puisque le dipôle d'admittance \underline{Y} est soumis à la tension \underline{u}_3 en convention récepteur, le courant qui le traverse s'écrit \underline{i}_e = \underline{Y}\,\underline{u}_3. Il vient alors :

On peut également retrouver directement cette relation à l'aide de la formule du diviseur de tension aux bornes de \underline{Z} :

On en déduit la relation demandée :

D'après l'expression de \underline{u}_3 établie à la question Q19 :

En utilisant le résultat du couplage parfait pour une spire au primaire (N_3 = 1) et N_4 spires au secondaire, M = N_4 L_3, cette relation devient :

Or, d'après la question Q21, l'admittance \underline{Y} s'écrit :

Par identification des deux expressions de \underline{i}_e, on en déduit :

D'après le résultat de la question Q22, la tension \underline{u}_2 s'exprime en fonction de \underline{u}_3 par :

Considérons enfin le premier transformateur (d'excitation) de rapport de spires N_1 : 1. La relation établie à la question Q18, \frac{u_a}{N_a} = \frac{u_b}{N_b}, a été démontrée pour deux tensions orientées en convention récepteur. Sur les figures 4 et 7 :

• l'enroulement primaire L_1 est orienté en convention récepteur pour le couple (\underline{u}_1, \underline{i}_1) ;
• l'enroulement secondaire L_2 délivre le courant \underline{i}_e à la boucle d'eau par sa borne supérieure : le couple (\underline{u}_2, \underline{i}_e) est donc en convention générateur. Sa tension en convention récepteur vaut -\underline{u}_2.

La relation du transformateur s'écrit donc :

En substituant l'expression de \underline{u}_2, on obtient directement la relation recherchée :

D'après la question Q23, la tension \underline{u}_1 et l'intensité \underline{i}_4 sont reliées par :

En utilisant l'expression de \underline{Y} établie à la question Q21 :

le terme entre crochets s'écrit :

À la limite où la résistance R_m tend vers 0 :

On en déduit l'expression de la relation complexe à cette limite :

Soit en exprimant l'intensité complexe \underline{i}_{4,\text{lim}} :

Le facteur de proportionnalité étant réel, il n'introduit aucun déphasage supplémentaire (en dehors du signe moins qui correspond à une opposition de phase). En régime temporel, on obtient directement :

Commentaires :

• Mesure de la conductivité : L'énoncé précise que la résistance de l'eau R_e est proportionnelle à l'inverse de la conductivité \sigma de l'eau (R_e \propto 1/\sigma). Ainsi, l'amplitude de i_{4,\text{lim}}(t) est directement proportionnelle à la conductivité \sigma :

  i_{4,\text{lim}}(t) \propto \sigma \, u_1(t)

  La mesure de l'intensité i_{4,\text{lim}} donne donc accès de manière linéaire à la salinité de l'eau de mer.

• Suppression des effets réactifs : À la limite R_m \to 0, le terme inductif j L_3 \omega_0 disparaît de la relation entre l'entrée et la sortie. Le système se comporte comme une simple résistance équivalente, s'affranchissant des fluctuations éventuelles de la pulsation \omega_0 ou des caractéristiques géométriques inductives.
• Condition de réalisation pratique : Cette limite idéale R_m \to 0 correspond au fonctionnement d'un circuit de mesure en court-circuit (masse virtuelle), ce qui justifie l'utilisation d'un convertisseur courant-tension à ALI étudié dans la sous-partie suivante.

L'ALI est supposé idéal et fonctionne en régime linéaire (bouclage sur la borne inverseuse via le résistor de résistance R_M) :

• Les courants d'entrée sont nuls : i_+ = i_- = 0 ;
• La tension différentielle d'entrée est nulle : \varepsilon = v_+ - v_- = 0, soit v_- = v_+.

La borne non inverseuse étant reliée à la masse, on a v_+ = 0\text{ V}, d'où :

Appliquons la loi des nœuds sur l'entrée inverseuse (borne -). Aucun courant ne pénétrant dans l'ALI (i_- = 0), l'intégralité du courant i_{4,\mathrm{lim}} traverse la résistance de contre-réaction R_M en direction de la sortie de l'ALI.

La loi d'Ohm aux bornes de la résistance R_M orientée en convention récepteur s'écrit :

On en déduit l'expression de la tension de sortie :

La tension de sortie v_m(t) est directement proportionnelle au courant i_{4,\mathrm{lim}}(t) : le circuit réalise bien une conversion courant-tension linéaire (amplificateur à transimpédance).

La résistance d'entrée du montage, vue par la bobine de mesure entre la borne d'entrée inverseuse de l'ALI et la masse, est définie par :

L'amplificateur linéaire d'intégration étant supposé idéal et fonctionnant en régime linéaire avec l'entrée non-inverseuse reliée à la masse (v_+ = 0\text{ V}), la masse virtuelle impose :

Quel que soit le courant i_{4,\lim} injecté, on a donc :

Intérêt du montage :

• Court-circuit virtuel parfait : le convertisseur présente une résistance d'entrée rigoureusement nulle (R_{\text{ent}} = 0\ \Omega), ce qui permet de se placer exactement dans la limite R_m \to 0 étudiée à la question Q24, condition requise pour que le courant i_{4,\lim}(t) soit directement proportionnel à la conductance 1/R_e, et donc à la conductivité \sigma de l'eau de mer.
• Tension de sortie mesurable et ajustable : si l'on avait simplement utilisé une résistance passive R_m très faible pour approcher R_m \to 0, la tension mesurée u_4 = R_m i_4 aurait été quasiment nulle et inexploitable. Ici, le montage produit en sortie une tension v_m = -R_M i_{4,\lim} d'amplitude suffisante et réglable par le choix de la résistance R_M, facilement numérisable par la chaîne d'acquisition du flotteur.

Considérons le circuit complet obtenu en insérant le convertisseur courant-tension à la place de la résistance R_m dans le circuit de la figure 4.

1. Valeur du courant i_m :

La bobine de mesure d'inductance L_4 constitue un sous-circuit connecté au convertisseur uniquement par ses deux bornes (haute et basse), sans aucune liaison galvanique avec le reste du conductimètre (le couplage avec l'eau de mer étant purement magnétique).

D'après le principe de conservation de la charge en régime quasi-stationnaire, aucun courant ne peut s'accumuler dans la bobine. Le courant quittant la bobine par la borne supérieure étant i_{4,\mathrm{lim}}(t) (orienté vers la droite sur la figure 8), le courant revenant dans la bobine par la borne inférieure doit nécessairement valoir i_{4,\mathrm{lim}}(t) (orienté vers la gauche).

Sur le schéma de la figure 8, la flèche du courant i_m est orientée de la borne inférieure vers la masse (vers le bas). Le courant quittant la masse pour entrer dans la bobine vaut donc -i_m. Par conséquent :

En valeur absolue, l'intensité du courant i_m est donc rigoureusement égale à celle de i_{4,\mathrm{lim}}.

2. Origine du courant i_m :

Pour comprendre le bouclage du courant :

• L'ALI étant supposé idéal en régime linéaire, le courant d'entrée est nul : i_- = 0.
• Le courant i_{4,\mathrm{lim}} arrivant sur la borne inverseuse traverse donc intégralement la résistance de contre-réaction R_M et pénètre dans la borne de sortie de l'ALI.
• Ce courant est absorbé par l'étage de sortie de l'ALI, puis rejoint la masse via les rails d'alimentation (\pm V_{\mathrm{sat}}) de ce dernier.
• Il circule ensuite à travers le plan de masse et remonte par le fil inférieur pour regagner la bobine de mesure L_4.

Le courant i_m provient donc des alimentations de l'amplificateur linéaire intégré (ALI) via la masse du montage.

1. Étude de la solution saturée en sulfate de calcium \mathrm{CaSO}_4

La dissolution du sulfate de calcium s'écrit :

À saturation, la solubilité molaire s_1 vérifie :

À pH neutre, [\mathrm{H}_3\mathrm{O}^+] = [\mathrm{HO}^-] = 1{,}0 \times 10^{-7}\text{ mol}\cdot\text{L}^{-1}, concentrations négligeables devant s_1. D'après la loi de Kohlrausch :

La constante de cellule associée vaut :

2. Étude de la solution saturée en permanganate de potassium \mathrm{KMnO}_4

La dissolution s'écrit :

À saturation, la solubilité molaire s_2 vérifie :

La conductivité de cette solution vaut :

La constante de cellule associée vaut :

Les deux valeurs étant en excellent accord, on retient :

Commentaire :

• La concordance remarquable entre k_{\text{cell},1} et k_{\text{cell},2} valide la proportionnalité théorique entre la conductivité \sigma et la tension mesurée V_m sur une large plage de mesure (de 1{,}4 à 65\text{ mS}\cdot\text{cm}^{-1}).

• Pour une conductivité maximale de l'eau de mer de \sigma_{\max} = 75\text{ mS}\cdot\text{cm}^{-1}, la tension de sortie maximale atteinte est :

  V_{m,\max} = \frac{\sigma_{\max}}{k_{\text{cell}}} \simeq \frac{75}{15{,}1} \simeq 5{,}0\text{ V}

  Cette valeur est compatible avec les tensions d'alimentation usuelles des circuits électroniques embarqués (\pm 12\text{ V} ou \pm 15\text{ V}), garantissant que l'amplificateur linéaire intégré fonctionnera bien en régime linéaire sans saturer.