Feuille d'entraînement : Régime sinusoïdal forcé et filtrage

10 questions · filière TSI · durée estimée environ 45 min

Énoncés

Exercice 1CCINP Modelisation TSI 2026, Q2· Application directe· Incontournable· ≈ 4 min
On note $(a_{k})_{k \in N}$ et $(b_{k})_{k \in N^{*}}$ les coefficients trigonométriques de Fourier de la fonction $R_{e}$ . On note aussi pour tout entier $N \in N^{*}$ et tout réel $θ \in R$ :
$S_{N} (θ) = a_{0} + k = 1 \sum N - 1 [a_{k} cos (k θ) + b_{k} sin (k θ)] .$
Rappeler la définition des coefficients de Fourier $(a_{k})_{k \in N}$ et $(b_{k})_{k \in N^{*}}$ .
Exercice 2CCINP Modelisation TSI 2026, Q5· Application directe· Incontournable· ≈ 4 min
Énoncer le théorème de Dirichlet pour la fonction $R_{e}$ .
Exercice 3CCINP Physique-Chimie TSI 2025, Q45· Intermédiaire· Incontournable· ≈ 4 min
À l’aide des équivalents en haute et basse fréquences des composants, déterminer la nature du filtre réalisé avec le circuit de la figure 5. Justifier si ce circuit permet d’isoler la composante continue du signal.
Exercice 4CCINP Physique-Chimie TSI 2025, Q48· Application directe· Incontournable· ≈ 3 min
Rappeler la définition de la fréquence de coupure à -3 dB. Donner l’expression de cette fréquence de coupure, notée $f_{C}$ , en fonction de $R$ et de $C$ pour ce circuit.
Exercice 5CCINP Physique-Chimie TSI 2023, Q21· Application directe· Incontournable· ≈ 2 min
Sachant que l'impédance équivalente à une association en série des dipôles R et L est donnée par : $\underline{Z} = R + j L ω$ , déterminer l'expression de l'impédance équivalente $\underline{Z_{e q}}$ à l'association en série des trois dipôles R, L et C.
Exercice 6CCINP Physique-Chimie TSI 2023, Q24· Intermédiaire· Incontournable· ≈ 4 min
En déduire l'expression de la fréquence d'oscillation pour laquelle l'amplitude de l'intensité $I$ qui alimente l'antenne sera maximale. Donner alors l'expression de cette intensité maximale $I_{max}$ en fonction de $E$ et de R.
Exercice 7CentraleSupélec Physique-Chimie 1 TSI 2021, Q5· Application directe· Incontournable· ≈ 4 min
Effectuer une analyse qualitative du filtre à basse et haute fréquence. En déduire la nature du filtre. Justifier de son intérêt dans le cas présent.
Exercice 8CentraleSupélec Physique-Chimie 1 TSI 2021, Q6· Application directe· Incontournable· ≈ 5 min
Exprimer la fonction de transfert du filtre $\underline{H} (j ω)$ sous la forme
$\underline{H} (j ω) = \frac{H _{0}}{1 + j ( ω / ω _{0} )}$
en identifiant les expressions de $H_{0}$ et $ω_{0}$ .
Exercice 9CentraleSupélec Physique-Chimie 1 TSI 2021, Q10· Intermédiaire· Incontournable· ≈ 5 min
Construire le diagramme de Bode, réponses en gain $G_{dB} = f (lo g x)$ et en phase $φ = f (lo g x)$ .
Exercice 10CentraleSupélec Physique-Chimie 1 TSI 2020, Q4· Exigeant· Incontournable· ≈ 10 min
Déterminer l'expression de la fonction de transfert du filtre de la figure 2 et la mettre sous la forme
$\underline{H} (j ω) = - \frac{A}{1 + j ( ω / ω _{1} - ω _{2} / ω )}$
en précisant les expressions de $A$ , $ω_{1}$ et $ω_{2}$ en fonction de $R_{1}$ , $R_{2}$ , $C_{1}$ et $C_{2}$ .

Corrigés

Exercice 1CCINP Modelisation TSI 2026, Q2
La fonction R_e étant continue et 2\pi-périodique sur \mathbb{R}, ses coefficients trigonométriques de Fourier associés à l'écriture de la somme partielle
S_N(\theta) = a_0 + \sum_{k=1}^{N-1} \left[ a_k \cos(k\theta) + b_k \sin(k\theta) \right]
sont définis, pour tout intervalle d'intégration de longueur 2\pi (par exemple [-\pi, \pi] ou [0, 2\pi]), par :
- pour k = 0 (valeur moyenne de la fonction) :
  \boxed{a_0 = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} R_e(\theta) \, \mathrm{d}\theta = \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} R_e(\theta) \, \mathrm{d}\theta}
- pour tout entier k \in \mathbb{N}^* :
  \boxed{a_k = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} R_e(\theta) \cos(k\theta) \, \mathrm{d}\theta = \frac{1}{\pi} \int_0^{2\pi} R_e(\theta) \cos(k\theta) \, \mathrm{d}\theta}
  \boxed{b_k = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} R_e(\theta) \sin(k\theta) \, \mathrm{d}\theta = \frac{1}{\pi} \int_0^{2\pi} R_e(\theta) \sin(k\theta) \, \mathrm{d}\theta}
Résultat
$a_{0} = \frac{1}{2 π} \int_{- π}^{π} R_{e} (θ) d θ = \frac{1}{2 π} \int_{0}^{2 π} R_{e} (θ) d θ$ $a_{k} = \frac{1}{π} \int_{- π}^{π} R_{e} (θ) cos (k θ) d θ = \frac{1}{π} \int_{0}^{2 π} R_{e} (θ) cos (k θ) d θ$ $b_{k} = \frac{1}{π} \int_{- π}^{π} R_{e} (θ) sin (k θ) d θ = \frac{1}{π} \int_{0}^{2 π} R_{e} (θ) sin (k θ) d θ$
Indice, stratégie et pièges de cette question
Exercice 2CCINP Modelisation TSI 2026, Q5
Soit R_e : \mathbb{R} \to \mathbb{R} une fonction 2\pi-périodique.
Si R_e est de classe \mathcal{C}^1 par morceaux sur \mathbb{R}, alors pour tout réel \theta \in \mathbb{R}, sa série de Fourier converge simplement et a pour somme :
\lim_{N \to +\infty} S_N(\theta) = a_0 + \sum_{k=1}^{+\infty} \left[ a_k \cos(k\theta) + b_k \sin(k\theta) \right] = \frac{R_e(\theta^+) + R_e(\theta^-)}{2}
où R_e(\theta^+) et R_e(\theta^-) désignent respectivement les limites à droite et à gauche de R_e en \theta.
Comme la fonction R_e est de plus continue sur \mathbb{R}, on a en tout point \theta \in \mathbb{R} :
R_e(\theta^+) = R_e(\theta^-) = R_e(\theta)
La série de Fourier converge donc simplement vers la fonction R_e elle-même :
\boxed{\forall \theta \in \mathbb{R}, \quad a_0 + \sum_{k=1}^{+\infty} \left[ a_k \cos(k\theta) + b_k \sin(k\theta) \right] = R_e(\theta)}
Résultat
$\forall θ \in R, a_{0} + k = 1 \sum + \infty [a_{k} cos (k θ) + b_{k} sin (k θ)] = R_{e} (θ)$
Indice, stratégie et pièges de cette question
Exercice 3CCINP Physique-Chimie TSI 2025, Q45
Le comportement asymptotique du condensateur dépend de la pulsation \omega :
- À basse fréquence (\omega \to 0) : l'impédance du condensateur \underline{Z}_C = \dfrac{1}{jC\omega} tend vers l'infini. Le condensateur se comporte donc comme un interrupteur ouvert. Aucun courant ne circule dans la résistance R, la tension à ses bornes est nulle, et la tension de sortie s'identifie à la tension d'entrée :
  \underline{u}_s \approx \underline{u}_e
  Les basses fréquences sont transmises sans atténuation.
- À haute fréquence (\omega \to \infty) : l'impédance \underline{Z}_C \to 0. Le condensateur se comporte comme un fil (court-circuit). La tension à ses bornes s'annule :
  \underline{u}_s \approx 0
  Les hautes fréquences sont totalement atténuées.
Le circuit transmet les basses fréquences et atténue les hautes fréquences : il s'agit donc d'un filtre passe-bas du premier ordre.
Isolation de la composante continue : La composante continue correspond à une fréquence nulle (f = 0\text{ Hz}), tandis que la composante parasite se situe à f = 50\text{ Hz}. En choisissant une fréquence de coupure f_c très inférieure à 50\text{ Hz} (f_c \ll 50\text{ Hz}), le filtre laisse passer intégralement la composante continue (gain unitaire) tout en atténuant fortement la composante alternative à 50\text{ Hz}.
Ce circuit permet donc bien d'isoler la composante continue du signal.
Indice, stratégie et pièges de cette question
Exercice 4CCINP Physique-Chimie TSI 2025, Q48
La pulsation ou fréquence de coupure à -3\text{ dB} correspond à la limite de la bande passante du filtre. Par définition, la fréquence de coupure f_c est la fréquence à laquelle le gain en décibels est diminué de 3\text{ dB} par rapport à sa valeur maximale dans la bande passante :
G_{\text{dB}}(f_c) = G_{\text{dB, max}} - 3\text{ dB}
En échelle linéaire, cela équivaut à une diminution du module de la fonction de transfert d'un facteur \sqrt{2} :
|\underline{H}(f_c)| = \frac{H_{\text{max}}}{\sqrt{2}}
Pour le filtre passe-bas du premier ordre étudié, le module de la fonction de transfert s'écrit :
|\underline{H}(\omega)| = \frac{H_0}{\sqrt{1 + \left(\frac{\omega}{\omega_c}\right)^2}}
Le gain est maximal en continu (\omega = 0), avec H_{\text{max}} = H_0 = 1. L'égalité |\underline{H}(\omega_c)| = \frac{H_0}{\sqrt{2}} est donc vérifiée pour la pulsation \omega = \omega_c = \frac{1}{RC}.
En utilisant la relation entre pulsation et fréquence, \omega_c = 2\pi f_c, on en déduit l'expression de la fréquence de coupure :
\boxed{f_c = \frac{1}{2\pi RC}}
Résultat
$f_{c} = \frac{1}{2 π R C}$
Indice, stratégie et pièges de cette question
Exercice 5CCINP Physique-Chimie TSI 2023, Q21
En régime sinusoïdal forcé à la pulsation \omega, l'impédance complexe d'un condensateur de capacité C s'écrit :
\underline{Z}_C = \frac{1}{jC\omega}
Pour une association de dipôles passifs branchés en série, l'impédance complexe équivalente est la somme des impédances de chaque dipôle. On en déduit :
\begin{aligned} \underline{Z_{\text{eq}}} &= \underline{Z} + \underline{Z}_C \\ &= R + jL\omega + \frac{1}{jC\omega} \end{aligned}
En utilisant la relation \frac{1}{j} = -j, on peut également écrire :
\boxed{\underline{Z_{\text{eq}}} = R + j\left(L\omega - \frac{1}{C\omega}\right)}
Résultat
$\underline{Z_{eq}} = R + j (L ω - \frac{1}{C ω})$
Indice, stratégie et pièges de cette question
Exercice 6CCINP Physique-Chimie TSI 2023, Q24
D'après l'expression établie à la question Q23, l'amplitude de l'intensité s'écrit :
I(\omega) = \frac{E}{\sqrt{R^2 + \left(L\omega - \frac{1}{C\omega}\right)^2}}
L'amplitude E et les composants R, L, C étant fixés, I(\omega) est maximale lorsque son dénominateur est minimal. Or :
\left(L\omega - \frac{1}{C\omega}\right)^2 \ge 0
Ce terme quadratique s'annule pour :
L\omega - \frac{1}{C\omega} = 0 \iff \omega^2 = \frac{1}{LC} \iff \omega = \frac{1}{\sqrt{LC}} = \omega_0
La fréquence d'oscillation correspondante, notée f_{\text{max}} (ou f_0), s'exprime donc par :
\boxed{f_{\text{max}} = \frac{\omega_0}{2\pi} = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}}
À cette fréquence de résonance, l'impédance équivalente est purement résistive (\underline{Z_{\text{eq}}} = R), et l'amplitude maximale de l'intensité vaut :
\boxed{I_{\text{max}} = \frac{E}{R}}
Résultat
$f_{max} = \frac{ω _{0}}{2 π} = \frac{1}{2 π L C}$ $I_{max} = \frac{E}{R}$
Indice, stratégie et pièges de cette question
Exercice 7CentraleSupélec Physique-Chimie 1 TSI 2021, Q5
L'impédance complexe du condensateur est donnée par :
\underline{Z}_C = \frac{1}{\mathrm{j}C\omega}
- À basse fréquence (\omega \to 0) : |\underline{Z}_C| \to +\infty. Le condensateur se comporte en régime sinusoïdal comme un circuit ouvert. Le courant circulant dans le dipôle RC à vide est donc nul, ce qui implique que la tension aux bornes de la résistance est nulle. On a alors :
  \underline{u}_2 \approx \underline{u}_1
  Les composantes spectrales de basse fréquence ne sont pas atténuées.
- À haute fréquence (\omega \to +\infty) : |\underline{Z}_C| \to 0. Le condensateur se comporte comme un court-circuit. La tension à ses bornes tend vers zéro :
  \underline{u}_2 \approx 0
  Les composantes spectrales de haute fréquence sont coupées.
Ce quadripôle laisse passer les basses fréquences et atténue les hautes fréquences : il s'agit d'un filtre passe-bas.
\boxed{\text{Il s'agit d'un filtre passe-bas du premier ordre.}}
Intérêt dans le cas présent : Le signal u_1(t) est composé d'une composante continue utile (de pulsation nulle) qui renseigne sur la valeur du pH, et d'une composante alternative oscillante liée aux perturbations induites par l'agitation mécanique du digesteur (étudiée à la question Q4). L'utilisation d'un filtre passe-bas permet d'atténuer fortement cette composante oscillatoire parasite tout en conservant la composante continue liée au pH à réguler.
Résultat
$Il s’agit d’un filtre passe-bas du premier ordre.$
Indice, stratégie et pièges de cette question
Exercice 8CentraleSupélec Physique-Chimie 1 TSI 2021, Q6
Le filtre est constitué d'un conducteur ohmique de résistance R et d'un condensateur de capacité C montés en série, la sortie étant prise aux bornes du condensateur non chargé (circuit ouvert en sortie).
En régime sinusoïdal forcé à la pulsation \omega, on applique la formule du pont diviseur de tension aux impédances complexes \underline{Z}_R = R et \underline{Z}_C = \frac{1}{\mathrm{j}C\omega} :
\underline{u}_2 = \frac{\underline{Z}_C}{R + \underline{Z}_C} \, \underline{u}_1 = \frac{\frac{1}{\mathrm{j}C\omega}}{R + \frac{1}{\mathrm{j}C\omega}} \, \underline{u}_1 = \frac{1}{1 + \mathrm{j}RC\omega} \, \underline{u}_1
La fonction de transfert s'écrit donc :
\underline{H}(\mathrm{j}\omega) = \frac{\underline{u}_2}{\underline{u}_1} = \frac{1}{1 + \mathrm{j}RC\omega}
Par identification avec la forme canonique imposée \underline{H}(\mathrm{j}\omega) = \dfrac{H_0}{1 + \mathrm{j}(\omega/\omega_0)}, on en déduit :
\boxed{H_0 = 1 \quad \text{et} \quad \omega_0 = \frac{1}{RC}}
Résultat
$H_{0} = 1 et ω_{0} = \frac{1}{R C}$
Indice, stratégie et pièges de cette question
Exercice 9CentraleSupélec Physique-Chimie 1 TSI 2021, Q10
Pour construire le diagramme de Bode du filtre passe-bas du premier ordre, on utilise les résultats établis aux questions précédentes :
- Courbe de gain en décibels G_{\mathrm{dB}} = f(\log x) :
  - Asymptote basse fréquence (x \ll 1 \iff \log x \ll 0) : droite d'équation G_{\mathrm{dB}} = 0\text{ dB} (pente nulle).
  - Asymptote haute fréquence (x \gg 1 \iff \log x \gg 0) : droite d'équation G_{\mathrm{dB}} = -20\log x (pente de -20\text{ dB/décade}).
  - À la pulsation de coupure (x = 1 \iff \log x = 0) : le gain réel vaut G_{\mathrm{dB}}(1) = -10\log(2) \approx -3{,}0\text{ dB}.
- Courbe de phase \varphi = f(\log x) :
  - Asymptote basse fréquence (x \ll 1) : \varphi \to 0\text{ rad} (0^\circ).
  - Asymptote haute fréquence (x \gg 1) : \varphi \to -\dfrac{\pi}{2}\text{ rad} (-90^\circ).
  - À la pulsation de coupure (x = 1 \iff \log x = 0) : \varphi(1) = -\arctan(1) = -\dfrac{\pi}{4}\text{ rad} (-45^\circ).
Indice, stratégie et pièges de cette question
Exercice 10CentraleSupélec Physique-Chimie 1 TSI 2020, Q4
L'amplificateur linéaire intégré est supposé idéal et fonctionne en régime linéaire :
i^+ = i^- = 0 \quad \text{et} \quad \varepsilon = V^+ - V^- = 0
La borne non-inverseuse étant reliée à la masse (V^+ = 0), la borne inverseuse est à la masse virtuelle :
V^- = 0
L'impédance de la branche d'entrée (association série de C_1 et R_1) vaut :
\underline{Z}_1 = R_1 + \frac{1}{jC_1\omega} = \frac{1 + jR_1C_1\omega}{jC_1\omega}
L'impédance de la branche de contre-réaction (association parallèle de R_2 et C_2) s'écrit :
\frac{1}{\underline{Z}_2} = \frac{1}{R_2} + jC_2\omega = \frac{1 + jR_2C_2\omega}{R_2} \implies \underline{Z}_2 = \frac{R_2}{1 + jR_2C_2\omega}
En appliquant la loi des nœuds en termes de potentiels au nœud inverseur (i^- = 0) :
\frac{\underline{V}_e - 0}{\underline{Z}_1} + \frac{\underline{V}_s - 0}{\underline{Z}_2} = 0 \implies \underline{H}(j\omega) = \frac{\underline{V}_s}{\underline{V}_e} = -\frac{\underline{Z}_2}{\underline{Z}_1}
En remplaçant \underline{Z}_1 et \underline{Z}_2 par leurs expressions :
\begin{aligned} \underline{H}(j\omega) &= -\frac{R_2}{1 + jR_2C_2\omega} \times \frac{jC_1\omega}{1 + jR_1C_1\omega} \\ &= -\frac{jR_2C_1\omega}{1 - R_1R_2C_1C_2\omega^2 + j(R_1C_1 + R_2C_2)\omega} \end{aligned}
Divisons le numérateur et le dénominateur par le terme imaginaire j(R_1C_1 + R_2C_2)\omega :
\begin{aligned} \underline{H}(j\omega) &= -\frac{\dfrac{R_2C_1}{R_1C_1 + R_2C_2}}{1 + \dfrac{1 - R_1R_2C_1C_2\omega^2}{j(R_1C_1 + R_2C_2)\omega}} \\ &= -\frac{\dfrac{R_2C_1}{R_1C_1 + R_2C_2}}{1 + j\left(\dfrac{R_1R_2C_1C_2\omega}{R_1C_1 + R_2C_2} - \dfrac{1}{(R_1C_1 + R_2C_2)\omega}\right)} \end{aligned}
Par identification avec la forme imposée \underline{H}(j\omega) = -\dfrac{A}{1 + j(\omega/\omega_1 - \omega_2/\omega)}, on obtient :
\boxed{A = \frac{R_2C_1}{R_1C_1 + R_2C_2}}
\boxed{\omega_1 = \frac{R_1C_1 + R_2C_2}{R_1R_2C_1C_2} = \frac{1}{R_1C_1} + \frac{1}{R_2C_2}}
\boxed{\omega_2 = \frac{1}{R_1C_1 + R_2C_2}}
Résultat
$A = \frac{R _{2} C _{1}}{R _{1} C _{1} + R _{2} C _{2}}$ $ω_{1} = \frac{R _{1} C _{1} + R _{2} C _{2}}{R _{1} R _{2} C _{1} C _{2}} = \frac{1}{R _{1} C _{1}} + \frac{1}{R _{2} C _{2}}$ $ω_{2} = \frac{1}{R _{1} C _{1} + R _{2} C _{2}}$
Indice, stratégie et pièges de cette question

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