Corrigé détaillé CCINP Physique Chimie TSI 2023

Pour un système de masse m animé d'un mouvement de translation à la vitesse v_A dans le référentiel d'étude martien, l'énergie cinétique s'écrit :

La sonde spatiale étant modélisée en translation à la vitesse notée v_B au point B, son énergie cinétique en ce point s'écrit :

Par définition, la variation d'énergie cinétique de la sonde entre l'instant de déploiement en A et le point de largage B est :

On obtient ainsi :

D'après la question Q2, la variation d'énergie cinétique entre les points A et B s'écrit :

En utilisant l'aide au calcul fournie par l'énoncé :

Avec m = 3\,000\text{ kg} = 3,0 \cdot 10^3\text{ kg}, on obtient :

En ne conservant que deux chiffres significatifs en accord avec la précision de l'aide au calcul :

Dans un référentiel galiléen, la variation de l'énergie cinétique d'un point matériel (ou d'un solide indéformable en translation) entre deux positions A et B est égale à la somme des travaux de toutes les forces extérieures appliquées à ce système entre ces deux positions :

Le champ de pesanteur martien étant supposé uniforme, le poids \vec{P} = m\vec{g} est une force constante. Dans un repère muni d'un axe vertical (Oz) ascendant, le travail du poids lors du déplacement du point A (altitude z_A) au point B (altitude z_B) s'écrit :

D'après les données de l'énoncé :

• m = 3\,000\text{ kg} = 3 \cdot 10^3\text{ kg} ;
• g = 3,7\text{ m}\cdot\text{s}^{-2} ;
• z_A = 10,6\text{ km} = 10,6 \cdot 10^3\text{ m} ;
• z_B = 7,5\text{ km} = 7,5 \cdot 10^3\text{ m}, d'où z_A - z_B = 3,1\text{ km} = 3,1 \cdot 10^3\text{ m}.

Le calcul donne :

En utilisant l'aide au calcul fournie (3 \times 3,7 \times 3,1 \approx 34) :

Le travail du poids calculé à la question précédente est strictement positif :

Par conséquent, ce travail est qualifié de moteur.

D'après le théorème de l'énergie cinétique appliqué à la sonde entre les points A et B (question Q4), en considérant que seules les forces de pesanteur et les frottements fluides travaillent :

On en déduit l'expression littérale du travail des forces de frottement :

À l'aide des résultats des questions Q3 et Q5 :

• \Delta E_{\mathrm{c}} \approx -2,25 \cdot 10^{8}\text{ J} ;
• W_{AB}(\vec{P}) \approx 3,4 \cdot 10^{7}\text{ J} = 0,34 \cdot 10^{8}\text{ J}.

L'application numérique donne :

On retrouve bien la valeur annoncée par l'énoncé.

Le mouvement étant supposé rectiligne et vertical vers le bas, le vecteur déplacement s'écrit :

où \vec{u}_z est un vecteur unitaire vertical descendant et d la distance verticale parcourue :

Pour une force \vec{f} constante, le travail le long de ce trajet est :

En notant f = \|\vec{f}\| la norme de cette force et \theta l'angle entre \vec{f} et le vecteur déplacement \vec{AB}, on a :

Le travail étant résistant (W_{AB}(\vec{f}) < 0), on a en valeur absolue :

La norme de la force vérifie donc :

Cette valeur minimale est atteinte lorsque la force de frottement est strictement colinéaire et opposée au déplacement (\theta = \pi, force purement verticale ascendante) :

D'après la question précédente, |W_{AB}(\vec{f})| \approx 2{,}5 \cdot 10^8\text{ J}. L'application numérique donne :

Le système étudié est la sonde spatiale, modélisée par son centre de gravité G en translation dans le référentiel martien supposé galiléen.

On introduit un axe vertical (Oz) orienté vers le bas, de vecteur unitaire \vec{u}_z, dont l'origine O correspond à la position d'ouverture du parachute.

Les deux forces extérieures appliquées à la sonde sont :

• le poids martien : \vec{P} = m\,\vec{g} = m\,g\,\vec{u}_z, vertical et dirigé vers le bas ;
• la force de frottement fluide exercée par l'atmosphère martienne : \vec{f} = -h\,\vec{v} = -h\,v\,\vec{u}_z (avec v = \dot{z} > 0 au cours de la descente), verticale et dirigée vers le haut, à l'opposé du mouvement.

Pendant la phase de freinage étudiée, la sonde décélère fortement (\|\vec{f}\| > \|\vec{P}\|).

Par définition, un système mécanique est en chute libre lorsqu'il n'est soumis qu'à son propre poids \vec{P} (les autres actions mécaniques étant inexistantes ou négligeables).

Or, lors de la descente de la sonde sous parachute, celle-ci subit une force de frottement fluide \vec{f} très intense exercée par l'atmosphère martienne. Le travail de cette force, calculé à la question Q7, est d'environ -2,5 \cdot 10^8\text{ J}, ce qui est prépondérant devant le travail du poids (3,4 \cdot 10^7\text{ J}) et permet un freinage efficace de la sonde.

La force de frottement fluide n'étant absolument pas négligeable devant le poids, on en déduit que :

On étudie la sonde spatiale, modélisée par un point matériel de masse m, dans le référentiel martien supposé galiléen.

D'après les questions précédentes, le repère associé à l'axe vertical descendant est muni du vecteur unitaire \vec{u}_z. Le vecteur vitesse s'écrit \vec{v} = v\,\vec{u}_z.

Les forces extérieures appliquées à la sonde sont :

• le poids martien : \vec{P} = m g\,\vec{u}_z ;
• la force de frottement fluide : \vec{f} = -h\vec{v} = -h v\,\vec{u}_z.

La deuxième loi de Newton s'énonce :

En projetant sur l'axe vertical descendant (Oz) :

Cette relation est bien de la forme demandée \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t} + Av = B, avec :

D'après la question Q11, l'équation différentielle régissant la vitesse s'écrit :

Au bout d'un temps infiniment long (t \to \infty), le système atteint un régime permanent : la vitesse tend vers une valeur limite constante notée v_{\ell}. Sa dérivée temporelle devient donc nulle :

En injectant cette condition dans l'équation différentielle, on obtient directement :

En remplaçant par les expressions de A et B, il vient :

La longueur d'onde dans le vide \lambda_0 d'une onde électromagnétique est reliée à sa fréquence f et à la célérité de la lumière dans le vide c par la relation :

Avec c = 3,00 \cdot 10^8\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} et f = 30\text{ GHz} = 3,0 \cdot 10^{10}\text{ Hz}, on obtient :

L'onde électromagnétique émise par le radar se propage à la célérité c de la lumière (l'atmosphère martienne, très ténue, est assimilée au vide du point de vue de la propagation).

Pour effectuer l'aller-retour entre la sonde située à l'altitude H et le sol martien, l'onde parcourt une distance totale :

En notant \Delta t la durée nécessaire à cet aller-retour, la distance parcourue s'écrit également :

On en déduit l'expression de l'altitude H :

D'après l'infographie du document 1, au moment de la « séparation du bouclier thermique », l'altitude de la sonde est indiquée dans la fourchette :

(le texte introductif de la partie I.1 précise une valeur de H \approx 7{,}5\text{ km}).

D'après la relation établie à la question Q14 :

Application numérique :

• Pour la valeur H = 7{,}5\text{ km} = 7{,}5 \cdot 10^3\text{ m} :

  \Delta t = \frac{2 \times 7{,}5 \cdot 10^3}{3{,}00 \cdot 10^8} = 5{,}0 \cdot 10^{-5}\text{ s} = 50\text{ }\mu\text{s}

• Pour l'intervalle de l'infographie [7\text{ km} \,,\, 11\text{ km}] :

  \begin{aligned} \Delta t_{\min} &= \frac{2 \times 7 \cdot 10^3}{3{,}00 \cdot 10^8} \approx 4{,}7 \cdot 10^{-5}\text{ s} \approx 47\text{ }\mu\text{s} \\ \Delta t_{\max} &= \frac{2 \times 11 \cdot 10^3}{3{,}00 \cdot 10^8} \approx 7{,}3 \cdot 10^{-5}\text{ s} \approx 73\text{ }\mu\text{s} \end{aligned}

Ainsi, le temps écoulé est de l'ordre de grandeur d'une cinquantaine de microsecondes :

Avant la fermeture de l'interrupteur (t < 0), le circuit est ouvert, donc aucun courant ne circule :

De plus, l'énoncé indique que le condensateur est initialement déchargé :

Tension aux bornes du condensateur : L'énergie électrostatique emmagasinée par le condensateur, \mathcal{E}_e = \frac{1}{2}C u_c^2, est une fonction continue du temps pour éviter une puissance échangée infinie. La tension u_c(t) est donc continue en t = 0 :

Intensité du courant dans le circuit : L'énergie magnétique stockée dans la bobine, \mathcal{E}_m = \frac{1}{2}L i^2, est également une fonction continue du temps. L'intensité i(t) traversant la bobine est donc continue en t = 0 :

Pour t > 0, l'interrupteur est fermé. En choisissant un sens horaire pour le parcours de la maille et pour l'intensité i(t), les dipôles R, L et C sont orientés en convention récepteur. La loi des mailles s'écrit :

Les relations caractéristiques des dipôles s'écrivent :

• pour le conducteur ohmique : u_R(t) = R \, i(t) ;
• pour la bobine idéale : u_L(t) = L \frac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t}(t) ;
• pour le condensateur : i(t) = C \frac{\mathrm{d}u_c}{\mathrm{d}t}(t).

En reportant l'expression de i(t) dans celles de u_R(t) et u_L(t), on obtient :

En substituant ces tensions dans la loi des mailles, on aboutit à :

En divisant par LC, on met l'équation différentielle sous forme normalisée :

D'après la question Q17, l'équation différentielle vérifiée par la tension u_c(t) s'écrit :

Par identification terme à terme avec la forme canonique proposée :

• Pour le terme d'ordre 0 en u_c :

  \omega_0^2 = \frac{1}{LC}

  Comme la pulsation propre \omega_0 est une grandeur strictement positive :

  \boxed{\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}}

• Pour le terme d'ordre 1 en dérivée première :

  \frac{\omega_0}{Q} = \frac{R}{L} \implies Q = \frac{L\,\omega_0}{R} = \frac{L}{R}\,\frac{1}{\sqrt{LC}}

  Soit finalement :

  \boxed{Q = \frac{1}{R}\sqrt{\frac{L}{C}}}

La fréquence propre f_0 du circuit est reliée à la pulsation propre \omega_0 déterminée à la question précédente par la relation :

Calculons préalablement la pulsation propre \omega_0 avec les valeurs numériques fournies :

• L = 40\text{ mH} = 4{,}0 \cdot 10^{-2}\text{ H} ;
• C = 10\text{ nF} = 1{,}0 \cdot 10^{-8}\text{ F}.

On obtient :

d'où :

En utilisant l'approximation \pi \approx 3, la fréquence propre vaut :

Arrondie à un seul chiffre significatif comme demandé par l'énoncé, la fréquence propre est :

D'après la question Q18, le facteur de qualité du circuit RLC série s'exprime par :

Calculons numériquement ce terme avec les valeurs fournies :

Comme R = 2,0\text{ k}\Omega, on obtient immédiatement :

L'équation caractéristique associée à l'équation différentielle canonique s'écrit :

Son discriminant s'exprime par :

Ici, Q = 1{,}0 > \dfrac{1}{2}, ce qui entraîne \Delta < 0. Les racines sont deux complexes conjugués à partie réelle strictement négative.

Le système est donc dans un régime pseudo-périodique (oscillations amorties).