Corrigé détaillé CCINP Physique PC 2025

Dans un conducteur ohmique homogène et isotrope de conductivité électrique \sigma, la loi d'Ohm locale s'écrit :

En régime stationnaire, le champ électrique dérive d'un potentiel scalaire selon \vec{E} = -\vec{\nabla} V = -\frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}x} \vec{u}_x. Le champ électrique est donc orienté dans le sens des potentiels décroissants :

Puisque le courant est uniforme et unidirectionnel, \vec{E} = E \vec{u}_x est également uniforme dans le cylindre. La différence de potentiel entre les deux extrémités s'obtient par circulation du champ électrique :

d'où :

L'intensité I traversant une section droite S normale à \vec{u}_x s'écrit :

Par identification avec la relation macroscopique V_1 - V_2 = R_{\text{él}} I, on retrouve bien :

La loi de Fourier sous forme locale relie le vecteur densité de courant thermique \vec{j}_{\text{th}} au gradient de la température T par :

où \lambda est la conductivité thermique du matériau.

Pour établir la résistance thermique R_{\text{th}} du cylindre par analogie thermoélectrique, comparons les grandeurs et lois locales associées :

• La densité de courant électrique \vec{j}_{\text{él}} = -\sigma \, \overrightarrow{\operatorname{grad}}(V) correspond à la densité de flux thermique \vec{j}_{\text{th}} = -\lambda \, \overrightarrow{\operatorname{grad}}(T).
• L'intensité électrique I = \iint_S \vec{j}_{\text{él}} \cdot \mathrm{d}\vec{S} correspond au flux thermique total \Phi_{\text{th}} = \iint_S \vec{j}_{\text{th}} \cdot \mathrm{d}\vec{S}.
• La différence de potentiel V_1 - V_2 correspond à l'écart de température T_1 - T_2.
• La conductivité électrique \sigma correspond à la conductivité thermique \lambda.

De la relation macroscopique thermique T_1 - T_2 = R_{\text{th}} \Phi_{\text{th}}, analogue à la loi d'Ohm V_1 - V_2 = R_{\text{él}} I, et sachant d'après la question Q1 que R_{\text{él}} = \dfrac{L}{\sigma S}, on en déduit immédiatement par substitution de \sigma par \lambda :

En régime stationnaire, le champ électrique dérive du potentiel électrostatique V selon la relation locale :

D'après l'énoncé, en présence d'un unique gradient de température, le champ thermoélectrique créé par effet Seebeck s'écrit :

En identifiant ces deux expressions, il vient :

Le problème étant unidimensionnel selon l'axe (Ox), cette relation vectorielle se projette sous la forme différentielle :

Le coefficient Seebeck \alpha étant indépendant de la température, on intègre cette relation entre la section d'entrée en x=0 (portée à V_1 et T_1) et la section de sortie en x=L (portée à V_2 et T_2) :

La tension ou force électromotrice e = V(x=0) - V(x=L) = V_1 - V_2 induite par le gradient thermique s'exprime donc par :

• Vitesse moyenne des électrons :
  Dans le modèle cinétique du gaz d'électrons libres, l'énergie cinétique moyenne d'agitation thermique croît avec la température :

  \frac{1}{2}m\langle v^2 \rangle \sim k_B T

  Puisque T_A > T_B, l'agitation thermique est plus grande en A qu'en B : la vitesse moyenne des électrons est donc plus élevée dans le compartiment A.

• Évolution des densités particulaires :
  Le flux surfacique particulaire d'électrons traversant la paroi fictive depuis un compartiment est proportionnel au produit de la densité particulaire n et de la vitesse moyenne \langle v \rangle :

  j_{N} \propto n \langle v \rangle

  Au départ, les deux compartiments ont la même densité n_A = n_B, mais \langle v_A \rangle > \langle v_B \rangle. Le flux d'électrons allant de A vers B l'emporte donc sur le flux en sens inverse :

  j_{N, A \to B} > j_{N, B \to A}

  Il apparaît ainsi un déplacement net d'électrons de la zone chaude A vers la zone froide B. Par conséquent, la densité d'électrons libres diminue dans le compartiment A et augmente dans le compartiment B.

• Cas d'une variation continue de température :
  En transposant à un gradient continu de température, les électrons diffusent préférentiellement des régions chaudes vers les régions froides :

  \boxed{\text{La densité volumique d'électrons libres décroît dans les zones chaudes et augmente dans les zones froides.}}

  Le gradient de densité électronique \overrightarrow{\mathrm{grad}}(n) est donc orienté dans le sens opposé au gradient de température \overrightarrow{\operatorname{grad}}(T).

D'après l'analyse menée en Q4, le gradient thermique induit un déplacement net d'électrons libres des zones chaudes vers les zones froides :

• la région chaude subit un déficit d'électrons, ce qui laisse apparaître la charge positive des ions fixes du réseau cristallin (excès de charges positives) ;
• la région froide accumule les électrons diffusés (excès de charges négatives).

Le champ électrique \vec{E} créé par cette séparation de charges est orienté des charges positives vers les charges négatives, c'est-à-dire :

Par définition mathématique, le gradient de température \overrightarrow{\operatorname{grad}}(T) est orienté dans le sens des températures croissantes, c'est-à-dire du compartiment froid vers le compartiment chaud.

Les vecteurs \vec{E} et \overrightarrow{\operatorname{grad}}(T) sont donc de sens opposés. Comme ils sont liés par la relation de l'effet Seebeck :

on en déduit que le modèle du gaz d'électrons libres prévoit un coefficient Seebeck négatif :

L'analyse qualitative menée à la question Q5 prédit un coefficient Seebeck négatif (\alpha < 0), issu de la diffusion des électrons libres des zones chaudes vers les zones froides.

D'après les valeurs expérimentales fournies :

• Pour l'aluminium, \alpha_{\text{Al}} = -2,2\ \mu\text{V}\cdot\text{K}^{-1} < 0 : le résultat expérimental est conforme aux prévisions du modèle ;
• Pour le cuivre, \alpha_{\text{Cu}} = +1,2\ \mu\text{V}\cdot\text{K}^{-1} > 0 : le résultat expérimental est en désaccord avec la prédiction du modèle.

L'analyse qualitative précédente n'est donc pas systématiquement conforme aux données expérimentales. Le modèle classique du gaz d'électrons libres est insuffisant pour décrire l'ensemble des métaux.

D'après la question Q3, en régime stationnaire et en circuit ouvert, le champ électrique dérive du potentiel électrique selon \vec{E} = -\vec{\nabla} V. Par ailleurs, l'effet Seebeck donne \vec{E} = \alpha\,\vec{\nabla} T. On en déduit :

Le coefficient Seebeck \alpha étant indépendant de la température, l'intégration entre deux points quelconques M_1 et M_2 donne :

Portion en bismuth C'C : L'extrémité C' est à la température ambiante T_0 et l'extrémité C est à la température T. En intégrant de C' vers C :

D'où l'expression de la f.é.m. dans la portion en bismuth :

Portion en cuivre D'D : De même, l'extrémité D' est à la température T_0 et l'extrémité D est à la température T. En intégrant de D' vers D :

D'où l'expression de la f.é.m. dans la portion en cuivre :

Orientons la maille dans le sens C' \to C \to D \to D' \to C', c'est-à-dire dans le sens trigonométrique (sens anti-horaire).

D'après le schéma électrique équivalent de la figure 3 et les résultats de la question Q7, la loi des mailles s'écrit :

d'où l'intensité algébrique associée à cette orientation :

En remplaçant les f.é.m. par leurs expressions :

Or, d'après les données de l'énoncé :

• \alpha_{\text{Cu}} - \alpha_{\text{Bi}} = 1{,}2 - (-72{,}0) = +73{,}2\text{ }\mu\text{V}\cdot\text{K}^{-1} > 0 ;
• T - T_0 > 0.

La force électromotrice globale est donc strictement positive :

Le courant circule donc dans le sens trigonométrique (ou anti-horaire) le long du cadre C' \to C \to D \to D' \to C', c'est-à-dire :

• de C' vers C dans la branche en bismuth ;
• de D vers D' dans la branche en cuivre.

D'après la question Q1, la résistance électrique de la tige de bismuth s'exprime par :

En négligeant la résistance de la portion en cuivre (R_{\text{él},\text{Cu}} \ll R_{\text{él},\text{Bi}}), l'expression de l'intensité I établie à la question Q8 devient :

Effectuons les applications numériques avec les grandeurs données dans l'énoncé :

• L = 40\text{ cm} = 0{,}40\text{ m} ;
• S = 10\text{ cm}^2 = 1{,}0 \cdot 10^{-3}\text{ m}^2 ;
• \sigma_{\text{Bi}} = 8{,}7 \cdot 10^5\text{ S}\cdot\text{m}^{-1} ;
• \alpha_{\text{Cu}} - \alpha_{\text{Bi}} = 1{,}2\text{ }\mu\text{V}\cdot\text{K}^{-1} - (-72{,}0\text{ }\mu\text{V}\cdot\text{K}^{-1}) = 73{,}2\text{ }\mu\text{V}\cdot\text{K}^{-1} = 73{,}2 \cdot 10^{-6}\text{ V}\cdot\text{K}^{-1} ;
• T - T_0 = 40\text{ K}.

La résistance de la tige en bismuth vaut :

La force électromotrice globale du circuit vaut :

On en déduit l'intensité du courant :

Considérons le fil rectiligne infini confondu avec l'axe (O, \vec{u}_z), parcouru par le courant stationnaire \vec{I} = I\vec{u}_z (I > 0).

Invariances et symétries

• La distribution de courant est invariante par translation le long de l'axe (Oz) et par rotation autour de cet axe. Le champ magnétique ne dépend donc que de la coordonnée radiale r :

  \vec{B}_{f,\text{Bi}}(M) = \vec{B}_{f,\text{Bi}}(r)

• Tout plan contenant l'axe (Oz) (plan (M, \vec{u}_r, \vec{u}_z)) est un plan de symétrie \Pi_s pour la distribution de courant. En tout point M de ce plan, le champ magnétique lui est orthogonal :

  \vec{B}_{f,\text{Bi}}(M) \perp \Pi_s \implies \vec{B}_{f,\text{Bi}}(M) = B_\theta(r)\,\vec{u}_\theta

Théorème d'Ampère On choisit comme contour d'Ampère \mathcal{C} un cercle d'axe (Oz), de rayon r, orienté selon \vec{u}_\theta :

Le courant enlacé par ce contour orienté est I_{\text{enlacé}} = I. D'après le théorème d'Ampère :

On en déduit l'expression vectorielle du champ magnétique :

D'après le principe de superposition, le champ magnétique total en M s'écrit :

Le point M, situé à mi-distance des deux fils dans le plan vertical (O, \vec{u}_y, \vec{u}_z), a pour coordonnées cartésiennes (0,\, d/2,\, z).

• Contribution du fil en bismuth : Le fil en bismuth est porté par l'axe (O, \vec{u}_z) et parcouru par un courant d'intensité I orienté selon +\vec{u}_z. Le point M est situé à la distance r = d/2 avec \vec{u}_r = \vec{u}_y.

  La base cylindrique locale associée (\vec{u}_r, \vec{u}_\theta, \vec{u}_z) étant orthonormée directe, on a :

  \vec{u}_\theta = \vec{u}_z \wedge \vec{u}_r = \vec{u}_z \wedge \vec{u}_y = -\vec{u}_x

  D'après le résultat de la question Q10 :

  \vec{B}_{f,\text{Bi}}(M) = \frac{\mu_0 I}{2\pi (d/2)} (-\vec{u}_x) = -\frac{\mu_0 I}{\pi d}\,\vec{u}_x

• Contribution du fil en cuivre : Le fil en cuivre est parallèle à (O, \vec{u}_z), situé en y = d, et parcouru par le courant I dans le sens opposé, soit le vecteur courant -I\vec{u}_z. Le vecteur reliant le fil au point M est -\frac{d}{2}\vec{u}_y.

  Par la règle de la main droite (ou en réutilisant la formule du champ d'un fil infini), le champ créé en un point situé sous le fil par un courant circulant vers les z décroissants est également orienté selon -\vec{u}_x :

  \vec{B}_{f,\text{Cu}}(M) = \frac{\mu_0 (-I\vec{u}_z) \wedge (-\vec{u}_y)}{2\pi (d/2)} = \frac{\mu_0 I (\vec{u}_z \wedge \vec{u}_y)}{\pi d} = -\frac{\mu_0 I}{\pi d}\,\vec{u}_x

Les deux contributions s'ajoutent donc constructivement :

L'aiguille aimantée est libre de tourner autour d'un axe vertical (M,\vec{u}_y) dans le plan horizontal (M,\vec{u}_x,\vec{u}_z). À l'équilibre, elle s'aligne selon la direction du champ magnétique résultant \vec{B}_{\text{tot}} dans ce plan :

D'après la question Q11, le champ créé par les deux fils au centre du cadre est orthogonal au plan du cadre :

Le champ magnétique terrestre horizontal étant orienté selon \vec{u}_z (\vec{B}_{T,h} = B_{T,h}\,\vec{u}_z), les deux composantes sont orthogonales entre elles. L'aiguille est donc déviée d'un angle \beta par rapport à l'axe (M,\vec{u}_z) vérifiant :

Comme \beta \in \left[0, \frac{\pi}{2}\right[, on en déduit :

Application numérique : Avec les données de l'énoncé :

• \mu_0 = 1{,}3\cdot 10^{-6}\text{ H}\cdot\text{m}^{-1}
• I = 6\text{ A}
• d = 5\text{ cm} = 5\cdot 10^{-2}\text{ m}
• B_{T,h} = 2\cdot 10^{-5}\text{ T}

On calcule d'abord la norme du champ créé par les fils :

On obtient ainsi :

Le module thermoélectrique fonctionne comme un moteur thermique :

• Il reçoit de l'énergie thermique de la source chaude à température T_C, d'où :

  \boxed{\mathcal{P}_C > 0}

• Il cède nécessairement une partie de cette énergie thermique à la source froide à température T_F < T_C, d'où :

  \boxed{\mathcal{P}_F < 0}

• Il fournit de la puissance électrique à la résistance de charge R_c extérieure ; la puissance électrique algébrique reçue par le module est donc négative :

  \boxed{\mathcal{P}_{\text{él}} < 0}

Le rendement \eta est défini par le rapport entre la puissance utile cédée au circuit extérieur, -\mathcal{P}_{\text{él}}, et la puissance thermique coûteuse fournie par la source chaude, \mathcal{P}_C :

1. Variations d'énergie interne et d'entropie en régime stationnaire

En régime stationnaire, toutes les grandeurs d'état locales et globales décrivant le module sont indépendantes du temps. L'énergie interne U et l'entropie S du module sont donc rigoureusement constantes :

2. Application des principes et rendement de Carnot

Le premier principe appliqué au module entre les instants t et t+\mathrm{d}t s'écrit :

Le second principe appliqué au module sur le même intervalle donne :

où \delta S_c \ge 0 est l'entropie créée par les irréversibilités. On en déduit l'inégalité de Clausius :

En injectant \mathcal{P}_F = -\mathcal{P}_C - \mathcal{P}_{\text{él}} issu du premier principe :

En multipliant par T_F > 0 et en divisant par \mathcal{P}_C > 0, il vient :

Le rendement admet ainsi une borne supérieure :

3. Condition d'atteinte de la limite de Carnot

Ce rendement limite n'est atteint que pour une création d'entropie nulle (\delta S_c = 0), c'est-à-dire pour un fonctionnement réversible du convertisseur thermoélectrique (absence d'effet Joule, pas de conduction thermique irréversible liée à des gradients finis de température non convertis, etc.).

D'après la figure 5, la flèche indiquant I > 0 est orientée de gauche à droite à travers la résistance de charge R_c. La fermeture du circuit électrique impose donc le sens de circulation suivant :

• dans la jambe de type p, le courant électrique circule de haut en bas, c'est-à-dire de la source chaude (T_C) vers la source froide (T_F), soit dans le sens de +\vec{u}_x ;
• dans la jambe de type n, le courant électrique circule de bas en haut, c'est-à-dire de la source froide (T_F) vers la source chaude (T_C), soit dans le sens de -\vec{u}_x.

Le vecteur densité de courant électrique volumique est relié à la vitesse moyenne \vec{v}_q des porteurs de charge de densité volumique n et de charge q par \vec{j}_{\text{él}} = n q \vec{v}_q :

• Semi-conducteur de type p : les porteurs majoritaires sont les trous de charge q = +e > 0. La vitesse de dérive des trous est dans le même sens que le courant :

  \boxed{\text{Les trous se déplacent de la source chaude vers la source froide (selon }+\vec{u}_x\text{).}}

• Semi-conducteur de type n : les porteurs majoritaires sont les électrons de charge q = -e < 0. La vitesse de dérive des électrons est de sens opposé à celui du courant : le courant étant dirigé vers le haut,

  \boxed{\text{Les électrons se déplacent également de la source chaude vers la source froide (selon }+\vec{u}_x\text{).}}

Possibilité d'utiliser des semi-conducteurs de même type :

Non, on ne peut pas faire fonctionner efficacement un module avec des jambes de même type. En effet, sous l'effet du même gradient de température entre T_C et T_F, les porteurs diffusent dans les deux jambes du chaud vers le froid.

• Si les deux jambes étaient constituées du même semi-conducteur (même coefficient \alpha), les forces électromotrices induites dans chaque jambe auraient même valeur et même polarité relative aux sources. Comme les jambes sont reliées en série par la source chaude, ces deux f.é.m. apparaîtraient en opposition dans la boucle électrique :

  e_{\text{tot}} = (\alpha_1 - \alpha_2)\Delta T = 0

  Aucun courant ne pourrait circuler dans la charge R_c.

• L'utilisation conjointe d'un dopage p (\alpha_p > 0) et d'un dopage n (\alpha_n < 0) permet au contraire aux f.é.m. de s'ajouter :

  e_{\text{tot}} = (\alpha_p - \alpha_n)\Delta T > 0

Par définition, l'intensité I du courant électrique traversant une section droite S de la jambe de semi-conducteur orientée par le vecteur normal \vec{u}_x s'écrit :

Le vecteur densité de courant électrique étant supposé uniforme sur la section et colinéaire à l'axe du cylindre (\vec{j}_{\text{él}} = j_{\text{él}} \vec{u}_x), l'intégrale se simplifie en :

On en déduit l'expression vectorielle de la densité de courant électrique :

Considérons le système fermé constitué de la matière contenue dans la tranche de jambe comprise entre x et x+\mathrm{d}x, de volume \mathrm{d}V = S\,\mathrm{d}x, entre les instants t et t+\mathrm{d}t.

La surface latérale étant calorifugée, les transferts d'énergie avec l'extérieur se font uniquement :

• par conduction thermique à travers les sections en x et x+\mathrm{d}x :

  \begin{aligned} \delta Q &= \Phi_{\text{th}}(x)\,\mathrm{d}t - \Phi_{\text{th}}(x+\mathrm{d}x)\,\mathrm{d}t \\ &= \left[j_{\text{th}}(x) - j_{\text{th}}(x+\mathrm{d}x)\right] S\,\mathrm{d}t \\ &= -\frac{\mathrm{d}j_{\text{th}}}{\mathrm{d}x} S\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}t \end{aligned}

• par apport d'énergie électrique : le champ électrique cède aux porteurs de charge une puissance volumique p_v, transférée au réseau cristallin, soit un travail électrique reçu :

  \delta W_{\text{él}} = p_v\,\mathrm{d}V\,\mathrm{d}t = p_v\,S\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}t

Le premier principe de la thermodynamique appliqué à cette tranche s'écrit :

Le régime étant stationnaire, la température de la tranche est indépendante du temps, d'où \mathrm{d}U = 0. Il vient alors :

En simplifiant par le volume élémentaire S\,\mathrm{d}x et la durée \mathrm{d}t, on obtient l'équation différentielle :

Le problème étant unidimensionnel suivant l'axe (Ox), le gradient de température s'écrit :

D'après la question Q16, le courant électrique est uniforme et s'écrit \vec{j}_{\text{él}} = j_{\text{él}}\vec{u}_x = \frac{I}{S}\vec{u}_x.

Les lois phénoménologiques couplées s'écrivent pour la jambe de type p :

La composante selon \vec{u}_x de la densité de courant thermique est donc :

Les grandeurs \alpha_p, \lambda_p et j_{\text{él}} étant indépendantes de x (et de T), la dérivation par rapport à x donne :

D'autre part, la puissance volumique p_v = \vec{j}_{\text{él}} \cdot \vec{E} s'exprime sous la forme :

En reportant ces expressions dans l'équation issue du bilan thermique (question Q17), \frac{\mathrm{d}j_{\text{th}}}{\mathrm{d}x} = p_v :

Le terme convectif thermoélectrique \alpha_p j_{\text{él}} \frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}x} se simplifie de part et d'autre, ce qui conduit à :

En remplaçant j_{\text{él}} par \frac{I}{S}, on obtient :

avec :

Tous les paramètres I^2, \sigma_p, \lambda_p et S^2 étant strictement positifs, la constante k est bien strictement positive.

D'après la question Q18, l'équation différentielle vérifiée par la température dans la jambe s'écrit :

Par intégration successive par rapport à x, il vient :

où A et B sont deux constantes d'intégration déterminées par les conditions aux limites :

• En x = 0, T(0) = T_C, d'où :

  B = T_C

• En x = L, T(L) = T_F = T_C - \Delta T, d'où :

  \begin{aligned} -\frac{1}{2} k L^2 + A L + T_C &= T_C - \Delta T \\ A L &= -\Delta T + \frac{1}{2} k L^2 \\ A &= -\frac{\Delta T}{L} + \frac{1}{2} k L \end{aligned}

En réinjectant ces constantes dans l'expression de T(x), on obtient :

ou, sous forme développée :

La puissance thermique \mathcal{P}_{\text{th},p}(x=0) fournie par la source chaude correspond au flux sortant de la source chaude et entrant dans le semi-conducteur à travers la section droite située en x=0, orientée selon +\vec{u}_x :

D'après la loi locale de Fourier généralisée fournie par l'énoncé et l'expression \vec{j}_{\text{él}} = \frac{I}{S}\vec{u}_x établie en Q16, la composante de la densité de flux thermique s'écrit :

En x=0, où T(0) = T_C, la puissance thermique s'exprime donc sous la forme :

Or, d'après la question Q19, le profil de température s'écrit :

En dérivant par rapport à x :

En injectant cette dérivée dans l'expression de la puissance thermique :

Rappelons les expressions des résistances thermique et électrique d'un cylindre (Q1 et Q2) ainsi que de la constante k (Q18) :

Le dernier terme se simplifie alors :

On obtient bien la relation demandée :

La source chaude échange de la chaleur avec les deux branches semi-conductrices montées en parallèle thermique. La puissance thermique totale \mathcal{P}_C fournie au module par la source chaude s'écrit donc :

En utilisant les expressions données à la question précédente :

En sommant ces deux contributions, on obtient :

On identifie :

• le coefficient Seebeck global du module : \alpha = \alpha_p - \alpha_n ;

• la résistance électrique équivalente des deux jambes montées électriquement en série :

  \boxed{R_{\text{él}} = R_{\text{él},p} + R_{\text{él},n}}

• la résistance thermique équivalente des deux jambes montées thermiquement en parallèle :

  \frac{1}{R_{\text{th}}} = \frac{1}{R_{\text{th},p}} + \frac{1}{R_{\text{th},n}} \implies \boxed{R_{\text{th}} = \frac{R_{\text{th},p} R_{\text{th},n}}{R_{\text{th},p} + R_{\text{th},n}}}

L'expression de la puissance thermique algébrique \mathcal{P}_C fournie par la source chaude au module est ainsi :

Le module opère en régime stationnaire, son énergie interne est donc constante au cours du temps :

D'après le premier principe de la thermodynamique appliqué à l'ensemble du module :

On en déduit l'expression de la puissance électrique algébrique reçue par le module :

En injectant l'expression de \mathcal{P}_C obtenue à la question Q21 et celle de \mathcal{P}_F fournie par l'énoncé :

La somme des puissances thermiques s'écrit :

Par conséquent, la puissance électrique reçue par le module est :

D'après la question Q22, la puissance électrique algébrique reçue par le module s'écrit :

La puissance électrique cédée par le module à la charge de résistance R_c est donc :

Par ailleurs, la puissance électrique reçue et dissipée par effet Joule par la charge de résistance R_c traversée par le courant d'intensité I vaut :

En égalant ces deux expressions :

Comme le module débite un courant non nul en régime stationnaire (I > 0), on simplifie par I pour obtenir :

D'après les questions Q22 et Q23, la puissance électrique reçue par la charge de résistance R_c s'écrit :

En injectant l'expression du courant I = \dfrac{\alpha \Delta T}{R_{\text{él}} + R_c} établie en Q23, on obtient :

Pour R_{\text{él}}, \alpha et \Delta T fixés, étudions la fonction f(R_c) = \dfrac{R_c}{(R_{\text{él}} + R_c)^2} pour R_c > 0. Sa dérivée par rapport à R_c vaut :

Le dénominateur étant strictement positif :

• \dfrac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}R_c} > 0 si R_c < R_{\text{él}} ;
• \dfrac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}R_c} = 0 si R_c = R_{\text{él}} ;
• \dfrac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}R_c} < 0 si R_c > R_{\text{él}}.

La puissance reçue par la charge admet donc un maximum strict en :

En remplaçant R_c par R_{\text{él}} dans l'expression de |\mathcal{P}_{\text{él}}|, on obtient la puissance maximale fournie à la charge :

D'après les questions Q21 et Q24, le coefficient Seebeck global du module vaut :

La résistance électrique équivalente du module est la somme des résistances des deux jambes :

Avec L = 600\ \mu\text{m} = 6{,}0\cdot 10^{-4}\text{ m} et S = 6{,}4\cdot 10^3\ \mu\text{m}^2 = 6{,}4\cdot 10^{-9}\text{ m}^2 :

D'après la question Q24, la puissance électrique maximale délivrée par un module élémentaire en condition d'adaptation d'impédance est :

Pour \Delta T = 1\text{ K} :

Pour alimenter la montre requérant \mathcal{P}_m = 15\ \mu\text{W}, le nombre nécessaire de modules élémentaires à associer est :

1. Intérêt de la maximisation du facteur de mérite

D'après la figure 6, à températures T_C et T_F fixées, le rendement maximal \eta_{\max} est une fonction strictement croissante du facteur de mérite Z_{pn} T_m. Lorsque Z_{pn} T_m \to +\infty, le rendement tend vers le rendement limite de Carnot \eta_{\text{Carnot}} = 1 - \frac{T_F}{T_C}. Maximiser ce facteur permet donc de réduire les irréversibilités (conduction thermique pure et dissipation Joule) et de rapprocher le rendement réel de la limite thermodynamique idéale.

2. Estimation du rendement du générateur

La température de la source chaude constituée par les gaz d'échappement vaut :

La source froide étant à T_F = 300\text{ K}, et l'énoncé précisant que dans l'état actuel des technologies le facteur de mérite n'excède pas 1 (Z_{pn} T_m \le 1), on se place sur la courbe Z_{pn} T_m = 1.

Par lecture graphique sur la figure 6 à l'abscisse T_C \approx 773\text{ K} :

3. Commentaire et comparaison

• Comparaison au rendement de Carnot : Le rendement maximal théorique pour ces températures est :

  \eta_{\text{Carnot}} = 1 - \frac{300}{773} \approx 61\,\%

  Le rendement du générateur thermoélectrique (\approx 15\,\%) ne représente ainsi qu'environ un quart du rendement de Carnot (\eta / \eta_{\text{Carnot}} \approx 0{,}24).

• Comparaison aux machines dithermes usuelles : Les machines dithermes classiques de conversion d'énergie mécanique en électricité (turbines à vapeur, centrales à cycle combiné) présentent des rendements industriels bien supérieurs, couramment compris entre 35\,\% et plus de 55\,\%.
• Le rendement d'un générateur thermoélectrique est donc modeste. Toutefois, son absence totale de pièces mobiles lui confère une grande robustesse, une absence de maintenance et une compacité idéale pour valoriser de la chaleur fatale qui serait sinon intégralement perdue.

Dans le référentiel jupiterocentrique \mathcal{R}_j supposé galiléen, la sonde P de masse m n'est soumise qu'à la force gravitationnelle exercée par Jupiter :

où \vec{JP} = r\vec{u}_r. Le point J étant fixe dans \mathcal{R}_j, le théorème du moment cinétique appliqué en J s'écrit :

La force \vec{F} étant centrale de centre J, elle est colinéaire au rayon vecteur \vec{JP}, de sorte que le moment résultant est nul :

On en déduit immédiatement la conservation du moment cinétique :

Par définition, le moment cinétique s'écrit \vec{L}_J = \vec{JP} \wedge m\vec{v}(P).

• Si \vec{L}_J \neq \vec{0}, pour tout instant t, on a :

  \vec{JP}(t) \cdot \vec{L}_J = (\vec{JP} \wedge m\vec{v}) \cdot \vec{JP} = 0

  Le rayon vecteur \vec{JP} reste constamment orthogonal au vecteur fixe non nul \vec{L}_J. La trajectoire de la sonde est donc entièrement contenue dans le plan passant par J et orthogonal à \vec{L}_J.

• Si \vec{L}_J = \vec{0}, la vitesse est en permanence colinéaire à \vec{JP} : le mouvement est rectiligne passant par J, cas dégénéré d'un mouvement plan.

Le mouvement de la sonde est donc bien plan.

En coordonnées cylindriques (r, \theta, z=0) dans le plan du mouvement, avec l'axe (J, \vec{u}_z) choisi de sorte que \vec{L}_J = \|\vec{L}_J\|\vec{u}_z, le vecteur vitesse s'exprime par :

Le moment cinétique en J s'écrit alors :

Comme \vec{L}_J = \|\vec{L}_J\|\vec{u}_z est un vecteur constant, sa projection sur l'axe (J, \vec{u}_z) est constante :

La masse m de la sonde étant constante, on en déduit que la constante des aires C est conservée :

La sonde P de masse m subit l'attraction gravitationnelle exercée par Jupiter (considérée ponctuelle et de masse M_J en J) :

où \vec{u}_r = \frac{\overrightarrow{JP}}{r} est le vecteur unitaire radial et r = \|\overrightarrow{JP}\|.

Cette force est conservative et dérive d'une énergie potentielle \mathcal{E}_p(r) définie par :

soit encore :

Par intégration par rapport à r :

où K est une constante d'intégration. La condition de référence \mathcal{E}_p(r \to +\infty) = 0 impose K = 0, d'où :

1. Conservation de l'énergie mécanique

Dans le référentiel jupiterocentrique \mathcal{R}_j supposé galiléen, la sonde P n'est soumise qu'à la force gravitationnelle exercée par Jupiter. Cette force étant conservative (elle dérive de l'énergie potentielle \mathcal{E}_p(r) établie à la question Q28) et en l'absence de forces non conservatives, le théorème de l'énergie mécanique assure que :

2. Équation radiale et énergie potentielle effective

Le mouvement étant plan d'après la question Q27, le vecteur vitesse s'exprime en coordonnées polaires (r, \theta) par :

L'énergie cinétique de la sonde s'écrit donc :

En utilisant la constante des aires C = r^2\dot{\theta} (question Q27), soit \dot{\theta} = \frac{C}{r^2}, le terme orthoradial devient :

L'énergie mécanique se met alors sous la forme :

Par identification avec l'expression demandée \mathcal{E}_m = \frac{1}{2}m\dot{r}^2 + \mathcal{E}_{p,\text{eff}}(r), on obtient :

En remplaçant \mathcal{E}_p(r) par son expression (question Q28), il vient explicitement :

3. Représentation qualitative et discussion des états

Pour C \neq 0 :

• lorsque r \to 0^+, \mathcal{E}_{p,\text{eff}}(r) \sim +\frac{mC^2}{2r^2} \to +\infty (barrière centrifuge répulsive) ;
• lorsque r \to +\infty, \mathcal{E}_{p,\text{eff}}(r) \sim -\frac{\mathcal{G}M_J m}{r} \to 0^- (attraction gravitationnelle dominante) ;
• la fonction présente un minimum strict négatif en r_0 = \frac{C^2}{\mathcal{G}M_J}, valant \mathcal{E}_{p,\text{eff,min}} = -\frac{m(\mathcal{G}M_J)^2}{2C^2}.

Puisque \frac{1}{2}m\dot{r}^2 = \mathcal{E}_m - \mathcal{E}_{p,\text{eff}}(r) \ge 0, le mouvement n'est possible que dans les domaines où \mathcal{E}_m \ge \mathcal{E}_{p,\text{eff}}(r) :

• \mathcal{E}_m < \mathcal{E}_{p,\text{eff,min}} : état interdit, aucun mouvement physique possible.
• \mathcal{E}_m = \mathcal{E}_{p,\text{eff,min}} : état lié, \dot{r} = 0 à tout instant, donc r = r_0 = \text{cste}. La trajectoire est un cercle.
• \mathcal{E}_{p,\text{eff,min}} < \mathcal{E}_m < 0 : état lié, le rayon varie entre deux points d'arrêt radiaux r_{\min} (périastre) et r_{\max} (apoastre). La trajectoire est une ellipse dont l'un des foyers est J.
• \mathcal{E}_m = 0 : état de diffusion (non lié), le rayon explore l'intervalle [r_{\min}, +\infty[ avec une vitesse nulle à l'infini. La trajectoire est une parabole.
• \mathcal{E}_m > 0 : état de diffusion (non lié), r \in [r_{\min}, +\infty[ avec une vitesse résiduelle non nulle à l'infini (v_\infty = \sqrt{2\mathcal{E}_m/m}). La trajectoire est une hyperbole.

La sonde, assimilée à un point matériel de masse m, possède à la distance r du centre J de Jupiter et animée d'une vitesse v l'énergie mécanique :

Pour que la sonde se libère définitivement de l'attraction gravitationnelle de Jupiter, elle doit pouvoir s'éloigner indéfiniment (r \to +\infty), ce qui correspond à un état de diffusion (trajectoire parabolique ou hyperbolique, vue à la question Q29).

À l'infini, l'énergie potentielle gravitationnelle est nulle (\mathcal{E}_p(r \to +\infty) = 0), d'où :

L'énergie mécanique étant conservative dans le référentiel jupiterocentrique \mathcal{R}_j, la condition d'évasion impose donc \mathcal{E}_m \ge 0.

La vitesse minimale v_\ell à la distance r correspond au cas limite \mathcal{E}_m = 0 (vitesse nulle à l'infini) :

On en déduit l'expression de la vitesse de libération :

On étudie le point matériel J (Jupiter, de masse M_J) dans le référentiel héliocentrique \mathcal{R}_h, supposé galiléen. Jupiter est soumis à l'attraction gravitationnelle exercée par le Soleil situé en S :

où \vec{u}_r = \frac{\overrightarrow{SJ}}{d} est le vecteur unitaire radial dans le plan orbital (S, \vec{u}_x, \vec{u}_y).

La deuxième loi de Newton appliquée à Jupiter s'écrit :

Pour un mouvement circulaire de rayon d à la vitesse angulaire \Omega = \dot{\theta}, l'accélération dans la base polaire (\vec{u}_r, \vec{u}_\theta) vaut :

La projection selon \vec{u}_\theta donne \dot{\Omega} = 0, ce qui justifie que le mouvement circulaire est uniforme (\Omega = \text{cste}).

La projection selon \vec{u}_r conduit à :

d'où l'expression de la vitesse angulaire \Omega :

La vitesse de Jupiter sur son orbite circulaire dans \mathcal{R}_h est reliée à \Omega par V_{J,h} = d\,\Omega, ce qui donne :

Application numérique :

• \mathcal{G} = 6{,}7 \cdot 10^{-11}\text{ m}^3\cdot\text{kg}^{-1}\cdot\text{s}^{-2}
• M_S = 2{,}0 \cdot 10^{30}\text{ kg}
• d = 7{,}8 \cdot 10^8\text{ km} = 7{,}8 \cdot 10^{11}\text{ m}

Soit, avec deux chiffres significatifs :

Le référentiel héliocentrique \mathcal{R}_h est supposé galiléen par l'énoncé.

Le référentiel \mathcal{R}' a pour origine le centre S du Soleil (fixe dans \mathcal{R}_h), mais ses axes tournent par rapport à \mathcal{R}_h autour de l'axe (S,\vec{u}_z) avec un vecteur rotation non nul :

Un référentiel en rotation par rapport à un référentiel galiléen n'est pas en translation rectiligne uniforme par rapport à celui-ci. Il subit des accélérations d'entraînement et de Coriolis non nulles.

Par conséquent, le référentiel \mathcal{R}' n'est pas galiléen.

Le référentiel d'étude est le référentiel d'entraînement \mathcal{R}', en rotation uniforme de vitesse angulaire \vec{\Omega} = \Omega\,\vec{u}_z par rapport au référentiel galiléen \mathcal{R}_h. Son origine S est fixe dans \mathcal{R}_h.

La sonde P étant située entre S et J sur l'axe (S,\vec{u}_{x'}), on a :

Les forces s'exerçant sur la sonde P sont :

1. La force gravitationnelle exercée par le Soleil (attractive vers S) :

   \boxed{\vec{F}_{S \to P} = -\frac{\mathcal{G} M_S m}{(d-r)^2}\,\vec{u}_{x'}}

2. La force gravitationnelle exercée par Jupiter (attractive vers J) :

   \boxed{\vec{F}_{J \to P} = \frac{\mathcal{G} M_J m}{r^2}\,\vec{u}_{x'}}

3. La force d'inertie d'entraînement (force centrifuge liée à la rotation de \mathcal{R}' autour de (S,\vec{u}_z)) :

   \vec{F}_{ie} = -m\,\vec{a}_e(P) = -m\,\vec{\Omega} \wedge (\vec{\Omega} \wedge \overrightarrow{SP}) = m\,\Omega^2\,\overrightarrow{SP}

   soit :

   \boxed{\vec{F}_{ie} = m\,\Omega^2 (d-r)\,\vec{u}_{x'}}

4. La force d'inertie de Coriolis : À l'équilibre dans le référentiel \mathcal{R}', la vitesse relative de la sonde est nulle (\vec{v}' = \vec{0}), d'où :

   \boxed{\vec{F}_{ic} = -2m\,\vec{\Omega} \wedge \vec{v}' = \vec{0}}

À l'équilibre de la sonde P dans le référentiel tournant \mathcal{R}', la somme des forces appliquées est nulle :

En projetant sur l'axe (S, \vec{u}_{x'}) d'après les expressions de la question Q33 :

En utilisant l'expression \Omega^2 = \frac{\mathcal{G} M_S}{d^3} établie à la question Q31 et en simplifiant par \mathcal{G} m, on obtient :

En multipliant par d^3(d-r)^2 r^2, on aboutit bien à :

Puisque r \ll d, introduisons le petit paramètre sans dimension \varepsilon = \frac{r}{d} \ll 1. Développons chaque membre à l'ordre le plus bas non nul :

• Membre de gauche :

  M_J d^3 (d-r)^2 = M_J d^5 (1 - \varepsilon)^2 = M_J d^5 \left(1 + \mathcal{O}(\varepsilon)\right) \approx M_J d^5

• Membre de droite :

  \begin{aligned} (d-r)^3 - d^3 &= d^3 \left( (1-\varepsilon)^3 - 1 \right) \\ &= d^3 \left( 1 - 3\varepsilon + \mathcal{O}(\varepsilon^2) - 1 \right) \approx -3 d^3 \varepsilon = -3 d^2 r \end{aligned}

  d'où :

  -M_S r^2 \left((d-r)^3 - d^3\right) \approx -M_S r^2 (-3 d^2 r) = 3 M_S d^2 r^3

L'égalité approchée s'écrit alors au premier ordre :

soit :

Application numérique :

Dans le référentiel jupiterocentrique \mathcal{R}_j supposé galiléen, l'attraction gravitationnelle du Soleil est négligée à l'intérieur de la sphère de Hill. La sonde P, de masse m, n'est soumise qu'à la force gravitationnelle conservative exercée par Jupiter, dont dérive l'énergie potentielle (question Q28) :

L'énergie mécanique de la sonde dans \mathcal{R}_j est donc une intégrale première du mouvement :

La sphère de Hill étant une sphère de centre J et de rayon r_H (question Q34), la sonde se trouve à la même distance r_e = r_s = r_H du centre de Jupiter à son entrée et à sa sortie de la sphère. L'énergie potentielle y prend donc la même valeur :

La conservation de l'énergie mécanique, \mathcal{E}_{m,j}(\text{entrée}) = \mathcal{E}_{m,j}(\text{sortie}), impose directement :

Les normes de vitesse étant positives, on en déduit :

La sonde effectue un survol de Jupiter : elle provient des confins du système solaire et a vocation à ressortir de la sphère d'attraction de la planète pour poursuivre son voyage interplanétaire. Il s'agit donc d'un état de diffusion (trajectoire ouverte, hyperbolique) dans le référentiel jupiterocentrique \mathcal{R}_j, et non d'un état lié (orbite fermée de satellite).

L'énergie mécanique de la sonde dans \mathcal{R}_j doit ainsi être positive ou nulle :

ce qui impose directement :

où v_\ell(r_H) est la vitesse de libération de Jupiter à la distance r_H calculée à la question Q30.

Application numérique : D'après la question Q34, le rayon de la sphère de Hill vaut r_H \approx 5{,}3 \cdot 10^{10}\text{ m}. Avec les données de l'énoncé :

• \mathcal{G} = 6{,}7 \cdot 10^{-11}\text{ m}^3\cdot\text{kg}^{-1}\cdot\text{s}^{-2} ;
• M_J = 1{,}9 \cdot 10^{27}\text{ kg}.

On obtient :

Comme l'énoncé indique v_j = 10\text{ km}\cdot\text{s}^{-1}, on vérifie bien que :

La sonde possède une vitesse suffisante pour traverser le champ d'attraction de Jupiter sans y être capturée.

Considérons le mouvement de la sonde P par rapport aux deux référentiels d'étude :

• le référentiel héliocentrique \mathcal{R}_h (référentiel absolu) ;
• le référentiel jupiterocentrique \mathcal{R}_j (référentiel relatif), dont l'origine est le centre J de Jupiter.

Pendant la durée du survol, le référentiel \mathcal{R}_j est supposé en translation à la vitesse constante \vec{V}_{J,h} par rapport au référentiel \mathcal{R}_h. La vitesse d'entraînement d'un point lié à \mathcal{R}_j coïncidant avec la sonde est donc simplement égale à la vitesse de Jupiter :

D'après la loi classique de composition des vitesses, la vitesse absolue \vec{v}_h dans \mathcal{R}_h est la somme de la vitesse relative \vec{v}_j dans \mathcal{R}_j et de la vitesse d'entraînement \vec{v}_e :

En appliquant cette relation respectivement à l'entrée et à la sortie de la sphère de Hill, on obtient :

D'après la question Q37, les vitesses dans le référentiel héliocentrique s'obtiennent par composition :