Corrigé détaillé X ENS Physique U PSI 2026

L'équation aux dérivées partielles (1) reliant le laplacien spatial du champ de surpression p(\vec{r},t) à sa dérivée temporelle seconde :

est l'équation de d'Alembert (ou équation des ondes de d'Alembert).

La fonction proposée s'écrit en coordonnées cartésiennes :

Calculons les dérivées partielles spatiales :

Il en va de même selon y et z, d'où pour le laplacien scalaire :

Pour la dérivée temporelle seconde :

En injectant ces résultats dans l'équation de d'Alembert (1), on obtient :

Pour que cette égalité soit vérifiée en tout point \vec{r} et à tout instant t pour une solution non identiquement nulle, il faut et il suffit que :

Puisque \omega \geqslant 0 et k \geqslant 0, la condition s'écrit :

Cette équation reliant la pulsation \omega au vecteur d'onde (ici sa norme k) s'appelle la relation de dispersion.

Pour la solution (2), l'expression de la phase instantanée s'identifie par :

1. Géométrie des fronts d'onde :

À un instant t fixé, un front d'onde correspond à l'ensemble des points \vec{r} vérifiant :

Cette équation est celle d'un plan orthogonal au vecteur d'onde \vec{k}. Il s'agit donc d'une onde plane.

2. Déplacement des fronts d'onde :

Introduisons le vecteur unitaire dans la direction de propagation \vec{u} = \frac{\vec{k}}{k} et la coordonnée r_k = \vec{r} \cdot \vec{u} le long de cette direction. L'équation du front d'onde s'écrit alors :

Par dérivation par rapport au temps le long du déplacement d'un même front d'onde (à phase constante) :

Puisque \omega > 0 et k > 0, les fronts d'onde se déplacent par translation rectiligne uniforme dans le sens du vecteur \vec{k} à la célérité c.

Considérons une particule fluide fermée de masse constante m, contenue dans un volume V. La masse volumique locale s'écrit \rho_{\text{tot}}(\vec{r}, t) = \rho_0 + \rho(\vec{r}, t) et la pression locale s'écrit P(\vec{r}, t) = P_0 + p(\vec{r}, t).

La conservation de la masse de cette particule fluide impose :

ce qui donne la relation cinématique :

Au passage de l'onde sonore, la transformation thermodynamique subie par le fluide est supposée isentropique. La variation de volume associée à une variation de pression \mathrm{d}P s'écrit donc :

On en déduit l'expression de la différentielle de la masse volumique :

Dans le cadre de l'approximation acoustique, les perturbations sont du premier ordre par rapport aux grandeurs d'équilibre :

En intégrant ou en effectuant un développement limité au premier ordre au voisinage de l'état d'équilibre de référence (\rho_0, P_0), la variation de masse volumique \rho(\vec{r}, t) = \rho_{\text{tot}} - \rho_0 s'exprime en remplaçant \rho_{\text{tot}} et le coefficient \chi_S par leurs valeurs à l'équilibre :

Pour un gaz parfait subissant une transformation adiabatique réversible (donc isentropique), sous l'hypothèse de capacités thermiques constantes (gaz parfait de Laplace), la loi de Laplace s'écrit :

où \gamma = \frac{c_P}{c_V} désigne l'indice adiabatique du gaz.

En prenant le logarithme népérien puis en différentiant à entropie constante le long de cette transformation isentropique, il vient :

Par définition du coefficient de compressibilité isentropique :

Évalué à l'état d'équilibre thermodynamique de l'air non perturbé, où la pression est la pression atmosphérique P_0, on obtient :

La masse volumique totale du fluide s'écrit \rho_{\text{tot}}(\vec{r}, t) = \rho_0 + \rho(\vec{r}, t), où \rho_0 est la masse volumique uniforme et stationnaire de l'air au repos, et \rho(\vec{r}, t) représente la perturbation acoustique.

L'équation locale de conservation de la masse pour un fluide s'exprime par :

Comme \rho_0 est constant et uniforme, \frac{\partial \rho_{\text{tot}}}{\partial t} = \frac{\partial \rho}{\partial t}. En développant le terme de flux :

Dans le cadre de l'approximation acoustique linéaire, les grandeurs de perturbation sont au premier ordre : |\rho| \ll \rho_0 et la vitesse \vec{v} est du premier ordre (l'air étant au repos à l'équilibre). Le produit \rho \vec{v} est donc du second ordre en perturbation, soit :

En ne conservant que les termes du premier ordre, on obtient bien l'équation de conservation de la matière linéarisée :

Supposons à présent que le champ de vitesse \vec{v} soit identiquement nul dans tout le fluide. L'équation précédente impose alors :

D'après la relation issue de la question Q4, \rho(\vec{r}, t) \simeq \rho_0 \chi_S p(\vec{r}, t), avec \rho_0 \chi_S \neq 0, ce qui impliquerait :

Une surpression acoustique p(\vec{r}, t), solution de l'équation d'onde (1), présente une dépendance temporelle oscillante (par exemple à la pulsation \omega > 0 pour une onde harmonique). Si \frac{\partial p}{\partial t} = 0, alors \frac{\partial^2 p}{\partial t^2} = 0, et l'équation (1) se réduirait à l'équation de Laplace stationnaire \Delta p = 0, ce qui exclut tout phénomène de propagation d'onde sonore.

Par conséquent, pour une onde acoustique, le champ de vitesse \vec{v} ne peut pas être nul.

Considérons une particule fluide de masse constante \mathrm{d}m = \rho\,\mathrm{d}V occupant un parallélépipède de dimensions (\mathrm{d}x, \mathrm{d}y, \mathrm{d}z) et de volume \mathrm{d}V = \mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}z, animée de la vitesse \vec{v}(\vec{r}, t) dans le référentiel du laboratoire supposé galiléen.

Sa quantité de mouvement est :

Le taux de variation temporel de \mathrm{d}\vec{q} s'écrit, pour cette particule fermée (\mathrm{d}m = \text{cte}) :

Le fluide étant parfait et les forces volumiques extérieures (comme la pesanteur) étant négligées, les seules forces agissant sur la particule sont les forces de pression. Évaluons la composante de la résultante de ces forces selon \vec{e}_x :

• sur la face d'abscisse x, normale sortante -\vec{e}_x, la force reçue est P(x, y, z, t)\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}z\,\vec{e}_x ;
• sur la face d'abscisse x + \mathrm{d}x, normale sortante +\vec{e}_x, la force reçue est -P(x+\mathrm{d}x, y, z, t)\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}z\,\vec{e}_x.

Le bilan selon \vec{e}_x donne :

Comme P(\vec{r}, t) = P_0 + p(\vec{r}, t) avec P_0 uniforme, \dfrac{\partial P}{\partial x} = \dfrac{\partial p}{\partial x}. En sommant sur les trois directions d'espace, la résultante des forces de pression s'écrit :

D'après le principe fondamental de la dynamique appliqué à la particule fluide :

Dans le cadre de l'approximation acoustique :

• la vitesse v est du premier ordre en perturbation, donc le terme convectif (\vec{v}\cdot\vec{\nabla})\vec{v} \sim v^2/\lambda est d'ordre 2, tout à fait négligeable devant \dfrac{\partial \vec{v}}{\partial t} \sim \omega v = \dfrac{c}{\lambda} v dès lors que v \ll c ;
• la masse volumique \rho = \rho_0 + \rho est remplacée au premier ordre par \rho_0.

En simplifiant par \mathrm{d}V, on obtient la relation d'Euler acoustique linéarisée :

Pour retrouver la grandeur physique réelle X_{\mathrm{phys}}(\vec{r}, t) \in \mathbb{R} à partir du champ complexe X(\vec{r}, t), on prend sa partie réelle :

En écrivant l'amplitude complexe sous forme polaire \underline{X} = |\underline{X}| \mathrm{e}^{i\phi}, il vient :

L'intérêt de la notation complexe repose sur la linéarité des équations différentielles régissant l'acoustique :

• Simplification algébrique : la dérivation par rapport aux variables spatiales et temporelle se transforme en une simple multiplication algébrique :

  \frac{\partial}{\partial t} \longleftrightarrow -i\omega \quad \text{et} \quad \frac{\partial}{\partial z} \longleftrightarrow ik \quad (\text{soit } \vec{\nabla} \longleftrightarrow i\vec{k})

  Le système d'équations aux dérivées partielles est ainsi converti en un système linéaire algébrique (matrice à inverser, relation de dispersion).

• Prise en compte conjointe de l'amplitude et de la phase : le module |\underline{X}| donne l'amplitude de l'oscillation et son argument \arg(\underline{X}) donne le déphasage à l'origine.
• Principe de superposition : par transformation ou analyse de Fourier, toute solution générale peut être décomposée comme une somme (ou intégrale) de telles ondes harmoniques.

Pour une onde plane se propageant selon \vec{e}_z, les grandeurs ne dépendent spatialement que de la coordonnée z et la vitesse est dirigée selon \vec{e}_z, de sorte que \vec{v} = v(z, t)\vec{e}_z. Les opérateurs différentiels spatiaux se réduisent à :

En cherchant des solutions sous forme d'OPPH de la forme X(z, t) = \underline{X} e^{i(kz-\omega t)}, les dérivées partielles se traduisent par des multiplications algébriques :

Injectons cette forme dans les trois équations fondamentales :

1. Équation de conservation de la masse (4) :

   \frac{\partial \rho}{\partial t} + \rho_0 \frac{\partial v}{\partial z} = 0 \implies -i\omega \underline{\rho} + i k \rho_0 \underline{v} + 0\cdot \underline{p} = 0

2. Équation d'Euler linéarisée (5), projetée sur \vec{e}_z :

   \rho_0 \frac{\partial v}{\partial t} + \frac{\partial p}{\partial z} = 0 \implies 0\cdot \underline{\rho} - i\omega\rho_0 \underline{v} + i k \underline{p} = 0

3. Relation thermodynamique de compressibilité isentropique (3) :

   \rho - \rho_0 \chi_S p = 0 \implies 1\cdot \underline{\rho} + 0\cdot \underline{v} - \rho_0 \chi_S \underline{p} = 0

En rassemblant ces trois équations algébriques linéaires pour le vecteur colonne des amplitudes complexes (\underline{\rho}, \underline{v}, \underline{p})^\top, on obtient bien l'équation matricielle :

Le système matriciel obtenu à la question Q9 s'écrit sous la forme d'un système linéaire homogène :

Une onde sonore correspond à une perturbation non nulle du milieu, c'est-à-dire à un vecteur d'amplitudes (\underline{\rho}, \underline{v}, \underline{p})^\top \neq (0, 0, 0)^\top. Le système linéaire n'admet de solution non triviale si et seulement si son noyau n'est pas réduit au vecteur nul, ce qui équivaut à la condition :

Cette équation scalaire relie la pulsation \omega au nombre d'onde k : il s'agit donc bien de la relation de dispersion.

Calculons ce déterminant en développant selon la première colonne :

Comme \rho_0 \neq 0, la condition \det \mathbf{A}(\omega, k) = 0 s'écrit :

D'après la question Q2, l'onde acoustique non dispersive vérifie \omega = c k (avec \omega \geqslant 0 et k \geqslant 0), d'où :

On en déduit l'expression de la célérité du son :

Ce choix n'est pas restrictif pour deux raisons physiques et mathématiques fondamentales :

1. Isotropie et invariance par rotation de l'espace libre : Le fluide au repos est homogène et isotrope ; il n'existe aucune direction privilégiée dans l'espace. Pour une onde plane progressive harmonique se propageant selon un vecteur d'onde \vec{k} de direction quelconque \vec{u} = \vec{k}/k, il suffit d'orienter l'axe (Oz) du repère cartésien selon \vec{u} pour se ramener exactement à la forme (6).

2. Linéarité des équations et analyse spectrale (principe de superposition) : Les équations régissant l'acoustique linéaire sont linéaires à coefficients constants. En vertu du théorème de Fourier spatio-temporel, toute perturbation acoustique tridimensionnelle physique générale p(\vec{r}, t) peut être décomposée comme une superposition continue d'OPPH de pulsations \omega et de vecteurs d'onde \vec{k} variés :

   p(\vec{r}, t) = \iint \underline{p}(\vec{k}, \omega) \, \mathrm{e}^{i(\vec{k}\cdot\vec{r} - \omega t)} \, \frac{\mathrm{d}^3\vec{k} \, \mathrm{d}\omega}{(2\pi)^4}.

   La réponse du milieu étant linéaire, la connaissance du comportement d'une OPPH élémentaire permet de reconstituer toute solution générale par simple combinaison linéaire.

Pour une transformation isentropique (adiabatique et réversible) d'un gaz parfait de composition fixée, la loi de Laplace s'écrit sous la forme usuelle reliant pression et volume :

D'après l'équation d'état des gaz parfaits, P V = n R T_{\text{tot}}, soit V \propto \frac{T_{\text{tot}}}{P}. En substituant cette expression du volume dans la loi de Laplace, on obtient :

En prenant le logarithme népérien puis en différentiant, il vient :

soit :

Au premier ordre de l'approximation acoustique, pour de petites variations autour de l'équilibre (P_0, T_0), on pose :

On en déduit immédiatement la relation linéaire entre les perturbations :

soit :

La perturbation de température T(\vec{r}, t) est donc bien proportionnelle à la surpression acoustique p(\vec{r}, t), avec pour constante de proportionnalité \dfrac{(\gamma - 1) T_0}{\gamma P_0}.

D'après le second principe de la thermodynamique, la variation d'entropie d'un élément de fluide s'écrit :

Pour que la transformation locale subie par le fluide au passage de l'onde soit isentropique (\mathrm{d}S = 0), deux conditions doivent être simultanément réunies :

1. Transformation adiabatique (\delta Q \simeq 0, soit \delta S_{\text{éch}} \simeq 0) : les transferts thermiques par conduction entre les zones chaudes (comprimées) et les zones froides (détendues) doivent être négligeables à l'échelle de la période acoustique T = 2\pi/\omega. Cela correspond à un temps caractéristique de diffusion thermique sur une demi-longueur d'onde bien supérieur à la période de l'onde (\tau_{\text{th}} \sim \lambda^2/D \gg T).
2. Transformation réversible (\delta S_{\text{cr}} \simeq 0) : il ne doit pas y avoir de création d'entropie par des processus dissipatifs internes (viscosité, frottements visqueux).

Nécessité d'une vitesse très faible. Pour que l'hypothèse de réversibilité reste valide, il est indispensable que la vitesse particulaire soit très faible devant la célérité du son (v \ll c, soit un nombre de Mach acoustique M = v/c \ll 1) pour plusieurs raisons physiques :

• Négligence de la dissipation visqueuse : la puissance volumique dissipée par viscosité (effets de frottement interne) est quadratique en vitesse, de l'ordre de \mathcal{P}_{\text{visq}} \sim \eta (\nabla v)^2 \sim \eta k^2 v^2. À faible vitesse (v \ll c), cette dissipation est du second ordre par rapport aux grandeurs acoustiques du premier ordre, rendant la création d'entropie associée \delta S_{\text{cr}} négligeable.
• Absence d'ondes de choc et d'effets non linéaires : à vitesse finie non négligeable, les non-linéarités de l'écoulement conduisent à un raidissement progressif du profil d'onde pouvant aboutir à la formation d'une onde de choc, lieu d'une discontinuité hautement irréversible créatrice d'entropie.
• Absence de turbulence : les faibles vitesses garantissent un écoulement acoustique laminaire sans vortex dissipatifs.

D'après le second principe de la thermodynamique appliqué au volume V de fluide (système fermé), la variation d'entropie \Delta S s'écrit :

où S_{\text{éch}} est l'entropie échangée avec le milieu extérieur et S_{\text{cr}} est l'entropie créée.

La transformation s'effectuant sans création d'entropie, on a S_{\text{cr}} = 0. Le transfert thermique Q étant reçu d'un milieu extérieur à la température d'équilibre T_0, l'entropie échangée s'écrit :

L'entropie S du volume de fluide varie donc d'une quantité :

Sous forme infinitésimale pour un transfert élémentaire \delta Q, cette relation devient :

Considérons un élément de volume parallélépipédique \mathrm{d}V = \mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}z, centré en (x, y, z), compris entre les abscisses x - \frac{\mathrm{d}x}{2} et x + \frac{\mathrm{d}x}{2}, les ordonnées y - \frac{\mathrm{d}y}{2} et y + \frac{\mathrm{d}y}{2}, et les cotes z - \frac{\mathrm{d}z}{2} et z + \frac{\mathrm{d}z}{2}.

Le flux thermique élémentaire net entrant dans le volume \mathrm{d}V à travers les deux faces d'aire \mathrm{d}S_x = \mathrm{d}y\,\mathrm{d}z, situées en x - \frac{\mathrm{d}x}{2} (flux entrant) et en x + \frac{\mathrm{d}x}{2} (flux sortant), s'écrit :

Au premier ordre en \mathrm{d}x, le développement limité donne :

d'où :

En procédant de manière totalement analogue pour les faces perpendiculaires à (Oy) et (Oz), les flux nets entrants valent respectivement :

Le flux thermique net total entrant dans l'élément de volume est la somme de ces trois contributions :

Le transfert thermique \delta Q reçu par le volume pendant la durée \mathrm{d}t est relié à ce flux par \delta Q = \delta\Phi\,\mathrm{d}t, ce qui conduit directement à :

La loi phénoménologique de Fourier relie le vecteur densité de courant thermique \vec{j}_Q au gradient du champ de température T(\vec{r}, t) dans un milieu isotrope :

où \kappa désigne la conductivité thermique du milieu (\kappa > 0). Comme la température d'équilibre T_0 est uniforme, le gradient de la température totale T_0 + T(\vec{r}, t) s'identifie simplement à celui de la perturbation de température T(\vec{r}, t).

Considérons un élément de fluide fermé de masse \mathrm{d}m = \rho_0 \mathrm{d}V. Comme précisé dans le préambule de la question, la transformation considérée est lente et isobare à la pression d'équilibre P_0.

Le premier principe de la thermodynamique s'écrit pour ce système fermé :

En l'absence de travail autre que celui des forces de pression (\delta W_{\text{autre}} = 0), on introduit l'enthalpie H = U + P_0 \mathrm{d}V, ce qui conduit à :

Pour l'air modélisé par un gaz parfait (ou tout fluide à pression constante), la variation d'enthalpie s'exprime à l'aide de la capacité thermique massique à pression constante c_P :

On en déduit immédiatement le transfert thermique reçu par cet élément de volume :

D'après le résultat de la question Q14, en l'absence de création d'entropie (transformation réversible), la variation d'entropie \mathrm{d}S de ce volume au contact du milieu extérieur à la température T_0 est :

L'entropie étant une grandeur extensive, pour la masse \mathrm{d}m = \rho_0 \mathrm{d}V, on a \mathrm{d}S = \mathrm{d}m \, \mathrm{d}s = \rho_0 \mathrm{d}V \, \mathrm{d}s. En substituant l'expression de \delta Q obtenue précédemment :

ce qui donne bien la relation demandée :

D'après la loi de Fourier rappelée en Q16, le vecteur densité de courant thermique s'écrit :

En supposant la conductivité thermique \kappa spatiellement uniforme, la divergence de \vec{j}_Q devient :

puisque \operatorname{div}(\vec{\operatorname{grad}}) = \Delta désigne l'opérateur Laplacien scalaire.

D'après le bilan thermique établi en Q15, le transfert thermique reçu par l'élément de volume \mathrm{d}V pendant la durée \mathrm{d}t s'exprime donc par :

Par ailleurs, d'après les résultats de Q17, en l'absence de travail et pour une évolution isobare lente :

ce qui donne immédiatement :

En égalant les deux expressions du transfert thermique \delta Q pour l'élément de fluide pendant la durée \mathrm{d}t :

En simplifiant par T_0\,\mathrm{d}V\,\mathrm{d}t, on obtient l'équation différentielle régissant l'évolution temporelle de l'entropie massique :

D'après la relation (7) obtenue à la question Q17, pour une particule fluide subissant de petites variations autour de l'équilibre isobare, la dérivée temporelle de l'entropie massique s'exprime en fonction de celle de la température selon :

En injectant cette relation dans l'équation (8) établie à la question Q18, on obtient :

En simplifiant par T_0, il vient directement :

On reconnaît l'équation de la diffusion thermique (ou équation de la chaleur) :

où le coefficient de diffusion thermique (ou diffusivité thermique) D est défini par :

Les perturbations T(z,t) et s(z,t) sont recherchées sous la forme d'OPPH se propageant selon \vec{e}_z (équation (6)) :

Les opérateurs différentiels appliqués à ces grandeurs harmoniques se traduisent par :

1. Première relation : comportement thermodynamique local
D'après la question Q17, pour de petites variations autour de l'équilibre à pression constante, on a \mathrm{d}s = \frac{c_P}{T_0}\,\mathrm{d}T. En notant s et T les perturbations d'entropie massique et de température par rapport à l'équilibre, cette relation s'écrit :

En amplitudes complexes, on obtient directement la première équation :

2. Seconde relation : bilan thermique
L'équation différentielle régissant l'entropie massique établie en Q18 (équation (8)) est :

La dérivée particulaire s'écrit \frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t} = \frac{\partial s}{\partial t} + (\vec{v}\cdot\vec{\operatorname{grad}})s. Comme le fluide est au repos à l'équilibre (\vec{v}_0 = \vec{0}) et que \vec{v} ainsi que s sont des perturbations du premier ordre, le terme convectif (\vec{v}\cdot\vec{\operatorname{grad}})s est du second ordre et doit être négligé :

L'équation différentielle linéarisée devient :

En remplaçant par les amplitudes complexes associées à l'OPPH :

3. Écriture matricielle
En regroupant les deux équations scalaires :

on obtient bien l'équation matricielle attendue :

Le système matriciel

est un système linéaire homogène. Il admet une solution non triviale (c'est-à-dire non identiquement nulle, (\underline{T}, \underline{s}) \neq (0, 0)) si et seulement si son déterminant est nul :

Calculons ce déterminant à l'aide de l'expression de \mathbf{B}(\omega, k) obtenue en Q20 :

La condition d'annulation s'écrit donc :

En introduisant l'expression du coefficient de diffusion thermique D = \frac{\kappa}{\rho_0 c_P} (question Q19), on obtient la relation de dispersion :

Lors du passage de l'onde acoustique, les compressions et dilatations locales entraînent des variations spatiales et temporelles de la température, de sorte que \Delta T \neq 0 (comme établi en question Q12).

D'après l'équation (8) démontrée en question Q18, l'évolution de l'entropie massique sous l'effet des échanges thermiques conducteurs est régie par :

Pour qu'une particule fluide subisse une transformation isentropique, son entropie massique doit rester constante au cours du temps, soit \dfrac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t} = 0.

Puisque \Delta T n'est pas identiquement nul au passage de l'onde, l'annulation de tout transfert thermique par conduction (\vec{j}_Q = \vec{0}) impose :

Pour une quantité de matière n de gaz parfait, l'équation d'état s'écrit :

La dérivée partielle du volume par rapport à la température à pression constante vaut ainsi :

En utilisant la définition donnée par l'énoncé :

Évalué au voisinage de la température d'équilibre T_0, le coefficient de dilatation thermique isobare d'un gaz parfait s'écrit :

Les incréments de masse volumique \rho et de température T s'expriment sous forme différentielle au premier ordre par :

Évaluons les différentes dérivées partielles au voisinage de l'état d'équilibre (P_0, T_0, \rho_0) :

• Par définition de la compressibilité isentropique (question Q4) :

  \left.\frac{\partial\rho}{\partial P}\right|_S = \rho_0 \chi_S.

• La relation thermodynamique fournie donne :

  \left.\frac{\partial\rho}{\partial s}\right|_P = -\frac{\rho_0 \beta T_0}{c_P}.

  D'après la question Q23, pour un gaz parfait, on a \beta = 1/T_0, soit \beta T_0 = 1. Il vient ainsi :

  \left.\frac{\partial\rho}{\partial s}\right|_P = -\frac{\rho_0}{c_P}.

• Pour la dérivée isentropique de la température, l'énoncé indique :

  \left.\frac{\partial T}{\partial P}\right|_S = \frac{T_0 \beta}{\rho_0 c_P} = \frac{1}{\rho_0 c_P}.

• Enfin, l'énoncé donne directement :

  \left.\frac{\partial T}{\partial s}\right|_P = \frac{T_0}{c_P}.

En substituant ces coefficients, on obtient les équations couplées recherchées :

Pour une OPPH selon \vec{e}_z, les opérateurs différentiels au premier ordre se traduisent en notation complexe par :

Écrivons successivement les 5 équations régissant le système :

1. Conservation de la masse (Q6) :

   \frac{\partial \rho}{\partial t} + \rho_0 \frac{\partial v}{\partial z} = 0 \implies -i\omega\underline{\rho} + ik\rho_0 \underline{v} = 0.

2. Conservation de la quantité de mouvement (Q7) :

   \rho_0 \frac{\partial v}{\partial t} = -\frac{\partial p}{\partial z} \implies -i\omega\rho_0 \underline{v} + ik\underline{p} = 0.

3. Relation pour l'incrément de masse volumique (Q24) :

   \rho = \rho_0 \chi_S p - \frac{\rho_0}{c_P} s \implies \underline{\rho} - \rho_0 \chi_S \underline{p} + \frac{\rho_0}{c_P}\underline{s} = 0.

4. Relation pour la perturbation de température (Q24) :

   T = \frac{1}{\rho_0 c_P} p + \frac{T_0}{c_P} s \iff -\frac{1}{\rho_0} \underline{p} + c_P \underline{T} - T_0 \underline{s} = 0.

5. Équation de l'entropie sous conduction thermique (Q18) : Au premier ordre, le terme convectif (\vec{v}\cdot\vec{\nabla})s est d'ordre 2, donc \frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t} \simeq \frac{\partial s}{\partial t} :

   \rho_0 \frac{\partial s}{\partial t} = \frac{\kappa}{T_0}\Delta T \implies -i\omega\rho_0 \underline{s} = -\frac{\kappa}{T_0}k^2 \underline{T} \iff -\frac{\kappa}{T_0}k^2 \underline{T} + i\omega\rho_0 \underline{s} = 0.

Regroupons ces cinq équations sous forme matricielle pour le vecteur colonne (\underline{\rho}, \underline{v}, \underline{p}, \underline{T}, \underline{s})^\top :

En reconnaissant les sous-matrices :

on obtient bien l'écriture par blocs recherchée :

D'après l'énoncé, le déterminant de la matrice couplée \mathbf{M}(\omega, k) s'écrit :

Par définition, k_0 est le nombre d'onde acoustique en l'absence de conductivité thermique (\kappa = 0), ce qui correspond à l'annulation du déterminant acoustique non couplé :

La valeur prise par \det\mathbf{M} en k = k_0 vaut donc :

À pulsation \omega fixée, effectuons un développement de Taylor de la fonction k \mapsto \det\mathbf{M}(\omega, k) au premier ordre en \varepsilon = k - k_0 au voisinage de k_0 :

La dérivée partielle par rapport à k est obtenue en dérivant le produit et le terme polynomial :

En évaluant cette dérivée en k = k_0, le second terme s'annule car \det\mathbf{A}(\omega, k_0) = 0, ce qui donne :

L'équation de dispersion \det\mathbf{M}(\omega, k_0 + \varepsilon) = 0 se traduit alors, au premier ordre en \varepsilon, par :

soit :

En remplaçant par les expressions obtenues, on parvient au résultat cherché :

D'après la question Q26, la correction \varepsilon = k - k_0 s'écrit :

Le numérateur étant proportionnel à \kappa, l'ordre le plus bas en \kappa pour \varepsilon s'obtient en évaluant le dénominateur à l'ordre 0 en \kappa.

D'après la question Q10, on a \det\mathbf{A}(\omega, k) = \rho_0(k_0^2 - k^2), ce qui donne :

D'après la question Q20, \det\mathbf{B}(\omega, k_0) = i\omega\rho_0 c_P - \kappa k_0^2 = i\omega\rho_0 c_P + \mathcal{O}(\kappa).

Le second terme du dénominateur étant d'ordre 1 en \kappa, le dénominateur se réduit à l'ordre 0 à :

On en déduit l'expression de \varepsilon à l'ordre 1 en \kappa :

En introduisant la pulsation caractéristique \omega_{\mathrm{th}} = \dfrac{2c_P^2 T_0\rho_0}{\kappa}, il vient :

Comme k = k_0 + \varepsilon avec k_0 \in \mathbb{R}^+, la partie imaginaire de k est donnée par :

L'onde plane harmonique se propageant selon +z présente une dépendance spatiale en :

L'intensité sonore étant proportionnelle au carré du module de la surpression (I \propto |p|^2), elle décroît selon :

La longueur d'atténuation \delta de l'intensité sonore est donc définie par \dfrac{1}{\delta} = 2\,\mathrm{Im}(k), soit :

En utilisant la relation non dissipative k_0 = \omega/c, on obtient :

D'après la question Q27, la longueur caractéristique d'atténuation de l'intensité sonore s'écrit :

avec la pulsation caractéristique :

À l'aide des données du formulaire :

• c_P = 1\,004\text{ J}\cdot\text{K}^{-1}\cdot\text{kg}^{-1} \simeq 1{,}0 \times 10^3\text{ J}\cdot\text{K}^{-1}\cdot\text{kg}^{-1}
• T_0 = 293{,}1\text{ K} \simeq 2{,}9 \times 10^2\text{ K}
• \rho_0 = 1{,}204\text{ kg}\cdot\text{m}^{-3} \simeq 1{,}2\text{ kg}\cdot\text{m}^{-3}
• \kappa = 0{,}025\text{ W}\cdot\text{m}^{-1}\cdot\text{K}^{-1} = 2{,}5 \times 10^{-2}\text{ W}\cdot\text{m}^{-1}\cdot\text{K}^{-1}

On évalue la pulsation \omega_{\text{th}} :

Pour une fréquence sonore f = 1\text{ kHz} = 1{,}0 \times 10^3\text{ Hz}, la pulsation vaut \omega = 2\pi f \simeq 6{,}28 \times 10^3\text{ rad}\cdot\text{s}^{-1}, et c = 343{,}5\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}. On en déduit :

Conclusion : La longueur caractéristique d'atténuation due à la conduction thermique (\sim 120\text{ km}) est gigantesque devant la longueur d'onde de l'onde sonore (\lambda = c/f \simeq 34\text{ cm}) et devant toutes les distances usuelles de propagation du son dans l'air (de quelques mètres à quelques centaines de mètres).

L'effet dissipatif par diffusion thermique est donc totalement négligeable sur les échelles d'espace usuelles, ce qui justifie a posteriori avec une excellente précision l'approximation de transformation isentropique formulée dans la partie I.2, ainsi que le traitement perturbatif au premier ordre (\varepsilon \ll k_0).

Le problème présente une symétrie sphérique complète autour du point O :

• La source est une sphère centrée en O dont la pulsation radiale \epsilon(t) est uniforme sur toute sa surface : elle est invariante par toute rotation autour d'un axe passant par le centre O.
• Le milieu de propagation est l'air, supposé infini, homogène, isotrope et dépourvu d'obstacle.

D'après le principe de Curie, le champ acoustique généré doit posséder au moins les mêmes éléments de symétrie et d'invariance que l'ensemble des causes qui lui donnent naissance.

Par conséquent, les champs scalaires que sont la surpression p(\vec{r}, t), l'incrément de masse volumique \rho(\vec{r}, t) et la perturbation de température T(\vec{r}, t) sont invariants par toute rotation autour de O. En coordonnées sphériques (r, \theta, \phi) d'origine O, ils ne dépendent donc d'aucune des coordonnées angulaires \theta et \phi :

D'après la question précédente, le champ de surpression ne dépend que de la coordonnée radiale r et du temps t : p(\vec{r}, t) = p(r, t). L'expression du Laplacien scalaire en coordonnées sphériques donnée dans le formulaire se réduit à :

On remarque l'identité remarquable équivalente :

Posons la fonction auxiliaire u(r, t) = r\,p(r, t) = f\left(t - \frac{r}{c}\right). En notant \xi = t - \frac{r}{c} la variable de la fonction f, et f' puis f'' ses dérivées par rapport à \xi, les dérivées partielles de u s'écrivent :

On en déduit l'expression du Laplacien pour tout r > 0 :

D'autre part, la dérivée temporelle seconde de la surpression s'exprime immédiatement par :

En combinant ces deux résultats dans le membre de gauche de l'équation de d'Alembert (1) :

Le champ proposé vérifie donc identiquement l'équation (1) en tout point de l'espace hors de l'origine :

L'onde acoustique générée par la sphère pulsante et se propageant dans l'espace infini sans obstacle est une onde progressive sortante (divergente). D'après la question Q30, le champ de surpression s'écrit donc sous la forme :

En régime harmonique complexe à la pulsation \omega, avec la convention temporelle adoptée depuis la question Q6 (X(t) \propto e^{-i\omega t}), la dépendance en temps de toute grandeur s'écrit sous la forme \propto e^{-i\omega t}. La fonction f doit donc vérifier :

où C est une constante complexe. En posant la variable retardée u = t - \dfrac{r}{c}, il vient :

En introduisant le nombre d'onde acoustique en milieu non dispersif k = \dfrac{\omega}{c} (question Q2), le champ de surpression s'écrit :

La fonction g(r) étant définie dans l'énoncé par g(r) = \dfrac{1}{4\pi r} e^{ikr}, on pose l'amplitude complexe \underline{A}_\omega = 4\pi C, ce qui conduit de manière unique à :

L'équation de d'Alembert régissant la surpression,

ne fait intervenir la dérivée temporelle qu'au second ordre. Elle est donc invariante sous la transformation de renversement du temps :

Par conséquent, si un champ physique réel p_1(\vec{r}, t) est solution de cette équation, le champ p_2(\vec{r}, t) = p_1(\vec{r}, -t) est également solution.

Considérons la solution réelle associée à l'onde sphérique progressive harmonique divergente établie en Q31 :

où \psi = \arg(\underline{A}_\omega). En appliquant le renversement du temps t \mapsto -t, on obtient une nouvelle solution :

En adoptant à nouveau la représentation complexe avec la dépendance temporelle en e^{-i\omega t}, cette deuxième solution s'écrit :

où \underline{A}'_\omega est une constante complexe arbitraire et g^*(r) = \frac{1}{4\pi r}e^{-ikr} est le conjugué de la fonction spatiale g(r).

Les dépendances radiales en e^{ikr} et e^{-ikr} étant linéairement indépendantes, \underline{p}_2 constitue bien une deuxième solution indépendante de l'équation de propagation.

Considérons le volume sphérique \mathcal{V}(r) de rayon r centré en O, délimité par la sphère géométrique fixe \mathcal{S}(r) orientée vers l'extérieur par le vecteur unitaire radial \vec{e}_r.

La masse totale d'air contenue dans ce volume à l'instant t s'écrit :

Le volume d'intégration étant géométriquement fixe dans l'espace et la masse volumique à l'équilibre \rho_0 étant constante et uniforme, la dérivée temporelle de M(r, t) vaut :

D'après l'équation de conservation de la matière (4), on a \dfrac{\partial \rho}{\partial t} = -\rho_0 \operatorname{div}\vec{v}. Par conséquent :

Le théorème de Green-Ostrogradsky permet de convertir cette intégrale de volume en flux à travers la surface fermée \mathcal{S}(r) :

D'après la symétrie sphérique établie en Q29, la composante radiale de la vitesse v_r(r, t) est uniforme sur toute la sphère de rayon r. Elle sort donc de l'intégrale :

On en déduit immédiatement la relation demandée :

En régime harmonique établi de période T = \dfrac{2\pi}{\omega}, toutes les grandeurs acoustiques oscillent à la pulsation \omega. La masse d'air M(r, t) est donc une fonction T-périodique du temps : M(r, t+T) = M(r, t).

Définissons la moyenne temporelle sur une période d'une grandeur X(t) par :

La moyenne temporelle de la dérivée de M(r, t) vaut alors :

En prenant la moyenne temporelle de la relation établie ci-dessus :

Comme \rho_0 \neq 0 et r > 0, il vient :

Par symétrie sphérique, les composantes orthoradiales de la vitesse sont nulles, donc le vecteur vitesse moyenné sur une période est strictement nul : \langle \vec{v}(\vec{r}, t) \rangle = \vec{0}.

D'après l'équation (5) établie à la question Q7, l'équation de la dynamique du fluide linéarisée s'écrit :

En adoptant la notation complexe avec une dépendance temporelle en \mathrm{e}^{-i\omega t}, l'opérateur de dérivation temporelle devient \dfrac{\partial}{\partial t} \to -i\omega, ce qui donne pour les amplitudes complexes :

La surpression \underline{p}(\vec{r}, t) = \underline{A}_\omega g(r) \mathrm{e}^{-i\omega t} ne dépend de l'espace que par l'intermédiaire de la distance radiale r. En coordonnées sphériques, l'opérateur gradient appliqué à un champ à symétrie sphérique se réduit à sa composante radiale :

Par conséquent, -i\omega \rho_0 \underline{\vec{v}} est colinéaire au vecteur unitaire radial \vec{e}_r. En l'absence d'écoulement stationnaire préexistant, le champ de vitesse acoustique est donc purement radial :

Calculons à présent la dérivée radiale de g(r) = \dfrac{\mathrm{e}^{ikr}}{4\pi r} :

Il vient alors pour le gradient de pression :

En réinjectant cette expression dans la projection radiale de l'équation de Navier-Stokes linéarisée :

En posant la constante \underline{B}_\omega = \dfrac{k}{\omega\rho_0}\underline{A}_\omega, on obtient bien l'expression recherchée :

D'après les questions Q31 et Q34, la surpression et la vitesse radiale s'écrivent :

Le rapport de ces grandeurs complexes est donc indépendant du temps t :

Dans la limite r \to \infty, le terme \dfrac{1}{ikr} tend vers zéro, d'où :

Par ailleurs, l'équation d'Euler linéarisée selon \vec{e}_r s'écrit (question Q34) :

En régime harmonique, cela donne -i\omega\rho_0 v_r = -\dfrac{\partial p}{\partial r}. Comme \dfrac{\partial}{\partial r}\left[\dfrac{\mathrm{e}^{ikr}}{r}\right] = \left(ik - \dfrac{1}{r}\right)\dfrac{\mathrm{e}^{ikr}}{r} = ik\left(1 - \dfrac{1}{ikr}\right)\dfrac{\mathrm{e}^{ikr}}{r}, on en déduit l'expression de la constante \underline{B}_\omega :

En utilisant la relation de dispersion non dissipative \omega = c k (question Q2), le rapport s'écrit :

On a donc bien :

À la surface de la sphère matérielle de rayon instantané R(t), le fluide parfait vérifie la condition cinématique de non-pénétration : la composante radiale de la vitesse du fluide à la paroi coïncide avec la vitesse radiale de la paroi elle-même. Ainsi :

Comme R(t) = R_0 + \epsilon(t) avec R_0 constant, il vient immédiatement :

Effectuons un développement de Taylor de la vitesse acoustique v_r au voisinage du rayon moyen R_0 :

La variation spatiale s'effectuant sur une échelle caractéristique \sim \min(R_0, \lambda) = \min(R_0, 2\pi/k), le terme correctif est de l'ordre de \epsilon \max(1/R_0, k) v_r. Puisque \epsilon \ll R_0 et \epsilon \ll c/\omega = 1/k, ce terme correctif est du second ordre en perturbation acoustique. Au premier ordre d'approximation, la condition aux limites se linéarise donc en :

En représentation complexe, avec \epsilon(t) = \underline{\epsilon}_\omega \mathrm{e}^{-i\omega t}, la dérivée temporelle est :

D'après l'expression de la vitesse radiale établie à la question Q34, on a en r = R_0 :

L'égalité des amplitudes complexes donne alors :

soit, en divisant par -i\omega (ce qui équivaut à multiplier par \frac{i}{\omega}) :