Signaux et propagation : 125 questions de concours corrigées

L'antenne du satellite Sentinel-1 émet des ondes électromagnétiques de fréquence f₀ = 5 GHz. Calculer la longueur d'onde λ correspondante. Préciser à quel domaine du spectre électromagnétique ce…

À une distance R de l'antenne (située au point S), le signal prend la forme suivante : s(t, R) = s(R) cos (ψ(t, R)) où ψ(t, R) = 2π f₀ t - φ(R) (0 < s(R) ≤ s₀) (18) À cause du retard lié à la…

Représenter l'allure de la dépendance de la puissance P vis-à-vis de Δφ. Indiquer brièvement pourquoi on parle d'interférences constructives et destructives entre les deux signaux quand…

Rappeler la distinction entre une onde longitudinale et une onde transversale. En déduire si le champ de déplacement, dans la configuration précédente, décrit une onde longitudinale ou transversale.

Nous supposons que les composantes tangentielles à l'interface des vecteurs d'onde k_ix, k_rx et kₜₓ sont égales. On notera kₓ cette valeur. Définir le plan d'incidence et rappeler la première loi…

On mesure la longueur d'onde du signal λ = 3,75 cm, ainsi que la durée τ = 40 ms qui sépare la réception et l'émission de l'impulsion. Exprimer la profondeur H du lac en fonction de λ, τ et f, puis…

Quel est l'effet mis en jeu aux lignes 19 à 21 ? Rappeler la formule donnant la fréquence perçue par l'atome en fonction de sa vitesse relative à la source lumineuse.

Établir que la puissance P prend la forme suivante : P = A₀² (1 + cos (Δφ)) où Δφ = φ₁ - φ₂ (22)

Montrer que f_mes = f₀/(1+v/c).

Montrer que la vague résultante (surface du fluide) peut se mettre sous la forme η(x,t) = 2A cos (kx - ω t) cos (k'x - ω't). On donnera l'expression des 4 paramètres k < k' et ω < ω' en fonction de…

Montrer que la vague résultante (surface du fluide) peut se mettre sous la forme η(x,t) = 2A cos (kx - ω t) cos (k'x - ω' t). On donnera l'expression des 4 paramètres k < k' et ω < ω' en fonction de…

Faire un schéma de la situation. Exprimer la période T' perçue par le détecteur en fonction de T, d₁, d₂ et c. En supposant que vT ≪ d₁ et v ≪ c, en déduire l'expression de la fréquence f' perçue…

En faisant apparaître V · uₑ, exprimer la distance parcourue par l'onde pendant Δ t en fonction de la distance parcourue par la particule et de λₑ. En déduire la relation f_p = fₑ (1 - (uₑ · V)/c₀)

Montrer que le signal reçu s'écrit sous la forme I(t) = 2Λ [1 + cos (β t)]. On précisera Λ et β en fonction des données. Exprimer la fréquence f_c de clignotement de cette lumière diffusée en…

Déduire de cette hypothèse l'ensemble des fréquences νₘ, m N entendues lors du retour du son diffracté par les marches Sₙ et Sₙ₊₁, en fonction notamment des distances dₙ et dₙ₊₁.

Exprimer la période T' = t'₂ - t'₁ perçue par l'atome en fonction des distances source-atome aux dates t'₂ et t'₁, notées respectivement SR(t'₂) et SR(t'₁), de T et de la célérité des ondes c.

Relier l'intervalle de temps Δ t mesuré à l'angle θ, l'altitude H du satellite et la célérité c. Relier également l'abscisse Y de la cible à H, c et Δ t.

La diffusion de l'onde par la cible ajoute un déphasage propre aléatoire φ_cible (φ_cible [0, 2π]) à celui introduit par la distance parcourue par l'onde. Exprimer le déphasage φ_récep du signal…

Dans la première phase, notre miroir M situé en x₀ > 0 enregistre le signal R(t) reçu lorsque la source S située en x = 0 émet un signal s(t). Donner l'expression de R(t).

On utilise un laser de longueur d'onde λ = 800 nm. Dans quel domaine du spectre électromagnétique se trouve-t-il ?

Proposer en notation réelle deux expressions de h(x,t) correspondant aux deux sens de propagation des vagues et donner la relation entre U, ω_v et k_v.

Établir l'expression de l'intensité du signal acoustique reçu en M sous la forme Iₜₒₜ=I₀ f₂(φ). Expliciter et commenter l'expression de la fonction f₂.

Justifier quantitativement que Δ t₀ est toujours négligeable.

Pour les satellites Jason, la durée d'une impulsion est τ ≃ 1,10 · 10⁻⁴ s. Déterminer numériquement le plus petit écart de distances Δ d_min que permettrait de distinguer une impulsion telle que…

Exprimer le plus petit écart Δ d_min de distances discernables pour un tel signal en fonction de c et de B. Faire l'application numérique pour le cas des satellites Jason, sachant que la bande de…

Le calcul précédent permet de comprendre qualitativement l'anisotropie du rayonnement lorsque les particules émises sont des photons, mais ne peut être exact. Expliquer pourquoi.

Déterminer l'expression de l'instant t₁ auquel l'observateur reçoit ce pic.

En déduire la relation entre la longueur d'onde λ₀ émise par l'émetteur et celle mesurée par l'observateur λ_mes.

Donner la dimension de z.

Déterminer l'expression de z en fonction de v.

Exprimer la loi de Hubble (equation I.1) en faisant intervenir le décalage vers le rouge z.

Rappeler l'expression de la longueur d'onde λ d'une onde électromagnétique monochromatique plane de pulsation ω se propageant dans le vide à la vitesse c.

Cette onde est-elle harmonique ? Que représentent Uₒ et ω ?

Établir l'expression de la longueur d'onde λ en fonction de a. Que représente finalement q ?

Calculer la longueur d'onde dans le vide, notée λ₀, associée à cette fréquence.

Exprimer l'altitude H de la sonde en fonction de la durée mise par l'onde pour effectuer cet aller-retour.

En utilisant le résultat (1), exprimer f_d1 - f_d2 en fonction de λₑ, θ et de l'une des composantes de la vitesse V.

Donner une interprétation de la quantité c.

Que représentent physiquement les constantes X₀, ω et k ?

Que représentent les lignes noires sur les figures ?

Estimer la célérité c_exp de ces ondes de surface.

Exprimer la phase φ'ₙ(t) à l'instant t de la composante harmonique de pulsation ω de l'onde retour en S diffractée en Sₙ, en fonction notamment de dₙ.

Exprimer Δφ'ₙ en fonction notamment des distances dₙ et dₙ₊₁.

Calculer numériquement les fréquences ν₁(t₁) et ν₁(t_N).

Si on veut une précision de l'ordre de 10 m lors de la mesure de localisation GPS, quelle est la précision sur la mesure de la durée du trajet de l'onde électromagnétique entre le satellite et le…

Déduire de cette remarque l'ordre de grandeur de la dérive journalière en distance sur un récepteur GPS si ces effets relativistes n'étaient pas pris en compte et bien entendu corrigés…

Les récepteurs sont équipés, pour des raisons évidentes de coûts, d'horloge classiques dites « à quartz », dont la dérive est d'environ ± 1 seconde par mois. Cette valeur est-elle compatible avec la…

Commenter la forme de i(x,t) en dressant une analogie avec un autre système. Combien de nœud(s) et ventre(s) de courant comporte le mode proposé ?

Calculer la fréquence de cette onde.

Justifier que l'on puisse négliger la dépendance en z de τ à l'échelle de l'interféromètre sachant que l'extension verticale des miroirs ne dépasse pas D = 1m.

En pratique, l'antenne émet un pulse de durée τ = 40 . Calculer la valeur de (Δ Y)_min pour θ = 30°. Commenter brièvement ce résultat dans le contexte du relevé d'un relief volcanique.

Dans toute la suite, le satellite est supposé observer une zone de la surface terrestre d'extension Δ y = 30 km, délimitée angulairement par les angles θ₀ = 30° et θ₁ (θ₁ > θ₀). Vérifier que toute…

On place en x = 0 une source qui émet un signal temporel s(t). Cette émission donne naissance à une onde se propageant vers les x positifs et une onde se propageant vers les x négatifs, et pour des…

Ce signal est enregistré pendant un temps T (choisi suffisamment long afin que la totalité du signal issu de la source soit arrivé). Puis, à l'instant t = T, M réémet le signal qu'il a reçu, mais en…

Que vaut le signal s_RT(t) reçu en x = 0 ? Comment ce résultat est-il présenté sur la figure en début d'énoncé ?

Calculer numériquement la période T de l'onde émise par le laser, et le rang minimum des harmoniques de période inférieure à Tₑ.

Exprimer la distance d_k+1 = R_k+1E en fonction de d_k, c₀, T et des instants t'_k et t'_k+1. En déduire que la réception des signaux par R est périodique de période T' et exprimer T' en fonction de…

En déduire l'expression approchée, au premier ordre en v/c₀ : T' = T/(1 - vₓ/c₀) Dans cette relation, la composante vₓ peut être qualifiée de vitesse d'éloignement.

Donner l'expression de τ. Pour d = 10 km, vérifier qu'il est très inférieur à Tₘ, puis représenter sur un même graphique les variations de f(t) et f_r(t). Les deux courbes seront légendées et…

Montrer que, lors de la réception en M, p₂=p₁ e⁻j φ et exprimer φ en fonction de cₐ, f, d et θ.

Montrer que le champ électrique E_r(t) reçu par l’antenne du satellite situé en x(t) = d₀ + v_kt a un pulsation ω'_c différente de ω_c que l’on exprimera en fonction de ω_c, v_k et c. Comment…

Montrer que le signal décrit par l'équation (4) correspond bien à une fréquence variant linéairement avec le temps entre les instants -τ/2 et τ/2, en explicitant la fréquence centrale f_c et la…

En déduire la composante maximale kₓ correspondante de la projection du vecteur d'onde selon x.

L'émetteur émet ensuite un nouveau pic au bout d'une période T₀. Donner de même l'expression de l'instant t₂ de réception de ce nouveau pic.

Justifier le terme de « décalage vers le rouge ». Expliquer l'intérêt pour JWST d'avoir un maximum de sensibilité dans l'infrarouge et non pas dans le visible afin d'observer des astres très…

Montrer que cette expression permet de retrouver celle obtenue précédemment dans le cas où v ≪ c. On indiquera les valeurs de z pour lesquelles l'expression simplifiée est valide.

On montre en électromagnétisme classique (c'est-à-dire à partir des équations de Maxwell) qu'une charge animée d'un mouvement périodique de fréquence f rayonne une onde électromagnétique de même…

On considère une onde plane de vecteur d'onde k formant un angle θ avec l'axe (Oz). Exprimer δ k_rel en fonction de θ. Donner un ordre de grandeur de la limite supérieure de |θ| pour que |δ k_rel|…

La durée moyenne de l'aller-retour pour un très grand nombre d'impulsions laser entre la Terre et la Lune est Δ t = 2,56 s. Déterminer la distance Terre-Lune obtenue par la télémétrie laser…

Quelle est la valeur typique de L - z associée à ce retard ?

À partir de l'infographie du CNES (document 1), estimer le temps Δ t écoulé entre l'émission de l'onde par le radar de la sonde et sa réception après réflexion sur le sol martien, au moment de la…

Mars s'éloigne de la Terre à la distance maximale d'environ 300 millions de km. Estimer la durée τ nécessaire à un signal radio pour parcourir cette distance. Conclure.

On souhaite mesurer la célérité des ondes acoustiques dans l'air. Pour cela, on place deux récepteurs ultrasonores en face d'un émetteur ultrasonore, qui fonctionnent tous sur le même principe que…

Expliquer pourquoi l'amplitude scalaire au point M au niveau de la surface photosensible de la photodiode s'écrit comme la somme des deux amplitudes scalaires : sₜₒₜ(t) = s₁(M photodiode,t) + s₂(M…

En utilisant le document 2, déterminer la plus petite échelle de variabilité temporelle de GRS 1915+105. En déduire le rayon maximum de cet objet, en supposant qu'il respecte la limite de causalité…

Dans le référentiel R' lié à la particule et en translation par rapport à R, la particule émettrice de lumière est fixe et le récepteur mobile. En le justifiant, adapter le résultat de la question…

Pour une vitesse |V| ≪ c₀ de l'ordre de 10 cm.s⁻¹, en déduire que : f_d ≃ fₑ + ((u_d - uₑ) · V)/λₑ (1) Pour un laser à argon, que penser de l'écart relatif en fréquence, entre OPPM émise et reçue au…

Commenter ces résultats.

Pour expliquer le fait que le flash a une portée limitée, deux interprétations sont proposées : 1) la première interprétation serait que la portée du flash est liée à la distance que la lumière…

Proposer une interprétation des lignes obliques situées de part et d'autre de la frange sombre verticale et centrale (trace du flotteur).

Déterminer, à partir de cette chronophotographie, la fréquence f'_exp des oscillations du flotteur. On précisera la démarche suivie.

De la même manière, déterminer la longueur d'onde λ_exp des ondes de surface.

Exprimer Ψ(Sₙ, t) puis Ψ'(S, t) en fonction notamment de la fonction s.

En exploitant la figure 7 déterminer la distance d_N entre le sommet de l'escalier et S. On fixe l'origine temporelle à l'instant du clap. Calculer numériquement la date t₁ d'arrivée du début de…

Sur la feuille réponse, tracer l'allure du sonogramme simplifié de l'écho comportant le fondamental du son ainsi que les trois harmoniques qui le suivent. On marquera d'une croix bien visible les…

Comparer le sonogramme construit à la question précédente, au sonogramme du quetzal (Fig. 5). L'écart fréquentiel est-il négligeable ? L'écart se réduirait-il si l'enregistrement du quetzal était…

Exprimer Ψ(Sₙ, t) puis Ψ'(S, t) en fonction notamment de la fonction s.

Exprimer la phase φ'ₙ(t) à l'instant t de la composante harmonique de pulsation ω de l'onde retour en S diffractée en Sₙ, en fonction notamment de dₙ.

Exprimer Δφ'ₙ en fonction notamment des distances dₙ et dₙ₊₁.

Déduire de cette hypothèse l'ensemble des fréquences νₘ, m N entendues lors du retour du son diffracté par les marches Sₙ et Sₙ₊₁, en fonction notamment des distances dₙ et dₙ₊₁.

En exploitant la figure 7 déterminer la distance d_N entre le sommet de l'escalier et S. On fixe l'origine temporelle à l'instant du clap. Calculer numériquement la date t₁ d'arrivée du début de…

Calculer numériquement les fréquences ν₁(t₁) et ν₁(t_N).

Sur la feuille réponse, tracer l'allure du sonogramme simplifié de l'écho comportant le fondamental du son ainsi que les trois harmoniques qui le suivent. On marquera d'une croix bien visible les…

Nous envisageons la situation où les deux cibles sont voisines et telles que |(Y' - Y)/Y| ≪ 1. Exprimer, en fonction de c, τ et θ, la distance (Δ Y)_min entre les deux cibles en dessous de laquelle…

Nous définissons la fréquence instantanée f(t) du signal s par la relation 2π f(t) = dφ/dt. Exprimer cette fréquence. Représenter son allure graphique sur l'intervalle temporel [0, τ]. Représenter…

La figure (9) présente l'aspect, après traitement, du signal d'écho du chirp renvoyé par une cible. La largeur du pic central est égale à 1/Δ f. Exprimer la nouvelle résolution (Δ Y)_min ,c en…

On effectue l'opération de renversement du temps (t' = -t). Comment s'écrit l'onde, dite non-causale, u₀(x, t' ≤ 0) ? Interpréter le résultat.

Donner l'expression de R_RT(t) en fonction du signal s évalué à un instant t' que l'on précisera en fonction de t, T, x₀ et c₀.

Suite à l'émission de R_RT(t) par le point M, des ondes se propagent dans notre milieu unidimensionnel, mais on ne va se concentrer que sur les ondes produites pour x ≤ x₀ (on oublie les ondes…

Dans la situation précédente, nous n'avons pas recréé l'intégralité de la solution souhaitée. En effet, il nous faut également récupérer l'information partie en direction de x = -∞. Ainsi, on place…

Par retour inverse des ondes, le signal reçu en r = 0 lorsque M émet une impulsion s(t) subit la même modification qu'à l'aller. Que vaut le signal s_RT(t) reçu à l'origine lorsque M joue le rôle de…

Que vaut ce signal à t = 2T ? On rappelle que les amplitudes aₙ correspondent à des variables aléatoires à moyenne nulle, considérées indépendantes les unes des autres.

Commenter.

Exprimer la puissance instantanée I(t) (à une constante multiplicative globale près) en fonction des A_q et des φ_q. Expliquer pourquoi elle ne dépend des phases φ_q qu'à travers leurs différences…

En écrivant que la variation temporelle est directement liée au temps nécessaire à la lumière pour traverser la distance entre Jupiter et la Terre, montrer que Δ τ ≃ (T₀ v)/(π c₀) ; en déduire…

Expliciter la fréquence f de l'émission sonore par l'avalanche des chocs des grains de sable. Les données de la table 2 sont elles compatibles avec ce modèle ? Si oui, estimer la constante κ. Selon…

Dans le référentiel R, exprimer d'une part la vitesse des vagues s'approchant du rivage et d'autre part celle des vagues qui s'en éloignent (on distinguera sans ambiguïté les deux cas). Montrer…

À l'aide de ces deux graphiques, proposer une valeur expérimentale pour f_B. Discuter, à l'aide d'un critère quantitatif, la compatibilité de la valeur obtenue avec l'expression établie en Q14. Dans…

Montrer que l'intensité totale se met sous la forme Iₜₒₜ=I₀ f₂(φ) f₂(2 φ). Déterminer la période ψ de cette fonction de φ, ainsi que sa valeur maximale Iₘₐₓ ; commenter physiquement les valeurs de ψ…

Montrer qu'un microphone à tube à interférences construit selon le principe ci-dessus sélectionne les ondes acoustiques provenant d'un cône étroit d'axe (Ox) de demi-angle au sommet θₘₐₓ, à exprimer…

Cette vitesse radiale v atteint la valeur 2 × 10³ m⁻¹ près de l'équateur du Soleil. Que vaut alors le déplacement δλ de la raie du nickel résultant de l'effet Doppler ? On rappelle que la vitesse de…

La vitesse de déplacement v de l'atome par rapport à la source étant petite par rapport à la célérité c de la lumière (v ≪ c), les impulsions reçues par le récepteur sont infiniment rapprochées. À…

À partir du spectre fourni (voir figure 5), estimer la distance en années-lumière à laquelle se trouve la galaxie ayant émis ce rayonnement.

Afin de changer la longueur d'onde de travail un cristal de triborate de lithium LiB₃O₅ peut être utilisé. En effet, si E₁(t) = E₁ sin (ω₁t) et E₂(t) = E₂ sin (ω₂t) sont les champs électriques…

Exprimer la distance R(t) entre la source centrale et chaque éjecta à la date t, en déduire le déplacement apparent sur le plan du ciel de chaque éjecta. Si chaque éjecta émet de la lumière à…

Déterminer par lecture graphique les valeurs de la vitesse c de l'onde, de sa longueur d'onde λ et de la période T des oscillations d'un tronçon.

Représenter, sur un schéma, dans le cas où kₓ = 2k_y > 0, la direction de propagation u de l'onde. Faire ensuite apparaître les longueurs d'onde λₓ et λ_y en précisant comment elles sont obtenues.

Exprimer dₙ en fonction de a, b et n. Calculer l'expression exacte de dₙ₊₁² - dₙ². On admet que la condition de l'expérience a ≫ b permet d'écrire dₙ + dₙ₊₁ ≃ 2dₙ : en déduire l'expression approchée…

Exprimer dₙ en fonction de a, b et n. Calculer l'expression exacte de dₙ₊₁² - dₙ². On admet que la condition de l'expérience a ≫ b permet d'écrire dₙ + dₙ₊₁ ≃ 2dₙ : en déduire l'expression approchée…

a) On note τ₀ la durée que met la lumière à parcourir la distance cumulée 2Y entre les deux latitudes φ et φ + Δφ (il est inutile de chercher à déterminer sa valeur). À l'aide de deux lois de…

On imagine que s(t) correspond à une impulsion brève (relativement à tous les autres temps en jeu dans ce problème). Représenter le champ u_RT2(x, t) à plusieurs instants autour du temps…

Que vaut le champ reçu pour tous les instants t = 2T + nτ ?

Déterminer la fréquence maximale enregistrable dans la première partie du disque (près du centre), puis celle pour le bord du disque. Calculer la durée maximale d'un morceau de musique enregistré…

Chaque pixel du capteur mesure successivement l'intensité lumineuse autour de 5 longueurs d'onde λ équidistantes. On note F₁, F₃, F₀, F₂, F₄ ces intensités, par ordre croissant de λ. Le dispositif…

La photodiode est sensible à l'intensité lumineuse I_l(t) = |sₜₒₜ|²(t) et a un temps de réponse de 10 ps. Expliquer pourquoi le signal observé u(t) en sortie de la photodiode est proportionnel à 1 +…