Corrigé détaillé CCINP Physique MP 2020

Lumière et changements de référentiels : de l'éther luminifère à la relativité restreinte

38 questions corrigées
Difficulté estimée : classique (1,7 / 4)
Vérifié question par question

Ce sujet propose une fresque historique et technologique passionnante autour de la vitesse de la lumière et du concept d'éther luminifère, depuis les expériences fondatrices du XIXe siècle jusqu'aux gyromètres à fibre optique modernes équipant les centrales inertielles aéronautiques.

Très progressif et fidèle à l'esprit du concours CCINP, il balaie un large spectre du programme de MP : optique interférentielle classique (Michelson en lame d'air et coin d'air), électromagnétisme avec mise en évidence des limites des lois galiléennes, traitement du signal (modulation de phase, décomposition harmonique de Bessel, détection synchrone et filtrage passe-bas), complété par une sous-partie de simulation numérique en Python (méthodes d'Euler et de Heun / Runge-Kutta 2). C'est un problème incontournable pour réviser efficacement l'optique ondulatoire, les outils de traitement du signal et les schémas numériques.

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Partie I : L'expérience "MM" : Michelson et Morley (1887)

Question 1

Application directeFaisable en Sup

Notions : loi de composition des vitesses, cinématique

Reproduire la figure 1 et la compléter en dessinant les "triangles des vitesses" reliant les vecteurs $v_{ε i}$ , $c_{ε i}$ et $w$ aux points $A_{1}$ , $A_{2}$ , $R_{1}$ , et $R_{2}$ en supposant qu'une loi de composition galiléenne des vitesses s'applique. Attribuer à chaque expression fournie ci-dessous la norme $v_{ε i}$ correspondante :

c - w; c^{2} - w^{2}; c + w; c^{2} - w^{2} .

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Écrire la composition des vitesses galiléenne \vec{v}_{\varepsilon i} = \vec{c}_{\varepsilon i} + \vec{w} en veillant à la direction imposée de la trajectoire dans le référentiel de l'observateur. Appliquer le théorème de Pythagore pour les trajets transverses.

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Écrire la loi de composition galiléenne des vitesses reliant la vitesse \vec{v}_{\varepsilon i} dans le référentiel de l'observateur (\mathrm{R}_{\text{obs}}), la vitesse \vec{c}_{\varepsilon i} dans le référentiel de l'éther (\mathrm{R}_{\text{eth}}) et la vitesse d'entraînement du fluide d'éther \vec{w} = w \vec{e}_x par rapport à (\mathrm{R}_{\text{obs}}).
Imposer la direction de propagation observée dans (\mathrm{R}_{\text{obs}}) (fixée par la géométrie des bras de l'interféromètre) et la condition d'isotropie dans (\mathrm{R}_{\text{eth}}) : \|\vec{c}_{\varepsilon i}\| = c.
Construire les triangles vectoriels et en déduire la norme de chaque vitesse.

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Dans le cadre de la cinématique galiléenne classique, la vitesse \vec{v}_{\varepsilon i} de la lumière dans le référentiel du laboratoire (\mathrm{R}_{\text{obs}}) est liée à sa vitesse \vec{c}_{\varepsilon i} dans le référentiel de l'éther (\mathrm{R}_{\text{eth}}) par la loi d'addition des vitesses :

\vec{v}_{\varepsilon i} = \vec{c}_{\varepsilon i} + \vec{w} \iff \vec{c}_{\varepsilon i} = \vec{v}_{\varepsilon i} - \vec{w}

avec \|\vec{c}_{\varepsilon i}\| = c, la célérité de la lumière dans l'éther étant isotrope.

Les bras de l'interféromètre étant immobiles dans (\mathrm{R}_{\text{obs}}), les vecteurs vitesse \vec{v}_{\varepsilon i} sont obligatoirement colinéaires aux bras pour que les faisceaux atteignent les miroirs et reviennent sur la séparatrice :

Voie 1 (aller, point \mathrm{A}_1) : le trajet s'effectue selon +\vec{e}_x. Les vecteurs \vec{c}_{a1} et \vec{w} sont de même sens :
\vec{v}_{a1} = (c+w)\,\vec{e}_x \implies v_{a1} = c + w
Voie 1 (retour, point \mathrm{R}_1) : le trajet s'effectue selon -\vec{e}_x. La vitesse \vec{c}_{r1} = -c\,\vec{e}_x s'oppose au vent d'éther \vec{w} = w\,\vec{e}_x :
\vec{v}_{r1} = -(c-w)\,\vec{e}_x \implies v_{r1} = c - w
Voie 2 (aller, point \mathrm{A}_2) : la vitesse \vec{v}_{a2} = v_{a2}\,\vec{e}_y est orthogonale à \vec{w}. Le triangle (\vec{v}_{a2}, \vec{w}, \vec{c}_{a2}) est rectangle en l'extrémité de \vec{v}_{a2}, avec \vec{c}_{a2} pour hypoténuse :
c^2 = v_{a2}^2 + w^2 \implies v_{a2} = \sqrt{c^2 - w^2}
Voie 2 (retour, point \mathrm{R}_2) : de façon identique, la vitesse \vec{v}_{r2} = -v_{r2}\,\vec{e}_y est dirigée selon -\vec{e}_y :
c^2 = v_{r2}^2 + w^2 \implies v_{r2} = \sqrt{c^2 - w^2}

On attribue ainsi les normes correspondantes :

\boxed{v_{a1} = c + w \quad ; \quad v_{r1} = c - w \quad ; \quad v_{a2} = \sqrt{c^2 - w^2} \quad ; \quad v_{r2} = \sqrt{c^2 - w^2}}

Résultat

v_{a 1} = c + w; v_{r 1} = c - w; v_{a 2} = c^{2} - w^{2}; v_{r 2} = c^{2} - w^{2}

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Question 2

ClassiqueFaisable en Sup

Notions : interféromètre de michelson, ordre d'interférence

En déduire l'expression de la différence $τ (α) = τ_{2} (α) - τ_{1} (α)$ des durées de parcours de la lumière arrivant à l'oculaire en suivant la voie 1 (respectivement 2) dans la configuration $α$ . Faire un développement limité de $τ (α)$ à l'ordre 2 en $\frac{w}{c}$ . Donner alors l'expression de l'ordre d'interférence $p (α)$ en fonction de la fréquence $ν$ , de $L$ , de $c$ et du rapport $\frac{w}{c}$ (on rappelle que l'ordre d'interférence de deux signaux lumineux cohérents entre eux et présentant un déphasage $φ$ est égal à $φ /2 π$ ).

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Exprimer la durée totale sur chaque bras comme la somme des durées aller et retour. Effectuer un développement limité de (1 - x^2)^{-1} et (1 - x^2)^{-1/2} en posant x = w/c. Relier l'ordre d'interférence au déphasage par p = \nu \tau.

Voir la stratégie

Exprimer les durées d'aller-retour \tau_1(\alpha) et \tau_2(\alpha) pour chaque bras en utilisant les vitesses déterminées en Q1.
Effectuer le développement limité à l'ordre 2 en w/c des deux durées de parcours pour obtenir \tau(\alpha).
Relier le retard temporel \tau(\alpha) au déphasage \varphi puis à l'ordre d'interférence p(\alpha) = \varphi / (2\pi) = \nu\tau(\alpha).

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D'après la question Q1, les normes des vitesses de propagation dans (\mathrm{R}_{\text{obs}}) sur les deux voies sont :

voie 1 (trajet aller suivant +Ox puis retour suivant -Ox) :
v_{a1} = c + w \quad \text{et} \quad v_{r1} = c - w
voie 2 (trajets aller et retour selon Oy) :
v_{a2} = v_{r2} = \sqrt{c^2 - w^2}

Les durées d'aller-retour sur les voies 1 et 2 s'écrivent :

\begin{aligned} \tau_1(\alpha) &= \frac{L}{v_{a1}} + \frac{L}{v_{r1}} = \frac{L}{c+w} + \frac{L}{c-w} = \frac{2Lc}{c^2 - w^2} = \frac{2L}{c} \frac{1}{1 - \left(\frac{w}{c}\right)^2} \\ \tau_2(\alpha) &= \frac{L}{v_{a2}} + \frac{L}{v_{r2}} = \frac{2L}{\sqrt{c^2 - w^2}} = \frac{2L}{c} \frac{1}{\sqrt{1 - \left(\frac{w}{c}\right)^2}} \end{aligned}

La différence des durées de parcours \tau(\alpha) = \tau_2(\alpha) - \tau_1(\alpha) est donc :

\boxed{\tau(\alpha) = \frac{2L}{c} \left[ \frac{1}{\sqrt{1 - \left(\frac{w}{c}\right)^2}} - \frac{1}{1 - \left(\frac{w}{c}\right)^2} \right]}

Au voisinage de w/c \ll 1, effectuons les développements limités à l'ordre 2 en posant x = w/c :

\begin{aligned} \frac{1}{1 - x^2} &= 1 + x^2 + o(x^2) \\ \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} = (1 - x^2)^{-1/2} &= 1 + \left(-\frac{1}{2}\right)(-x^2) + o(x^2) = 1 + \frac{1}{2}x^2 + o(x^2) \end{aligned}

Il vient :

\tau(\alpha) = \frac{2L}{c} \left[ \left(1 + \frac{1}{2}\left(\frac{w}{c}\right)^2\right) - \left(1 + \left(\frac{w}{c}\right)^2\right) + o\left(\frac{w}{c}\right)^2 \right]

Soit, à l'ordre 2 en w/c :

\boxed{\tau(\alpha) = -\frac{L}{c} \left(\frac{w}{c}\right)^2}

Le déphasage entre les ondes issues des voies 2 et 1 à l'oculaire est relié au retard temporel par :

\varphi(\alpha) = \omega \, \tau(\alpha) = 2\pi\nu \, \tau(\alpha)

L'ordre d'interférence s'en déduit directement :

p(\alpha) = \frac{\varphi(\alpha)}{2\pi} = \nu \, \tau(\alpha)

\boxed{p(\alpha) = -\frac{L\nu}{c} \left(\frac{w}{c}\right)^2}

Résultat

τ (α) = \frac{2 L}{c} \frac{1}{1 - ( \frac{w}{c} ) ^{2}} - \frac{1}{1 - ( \frac{w}{c} ) ^{2}}

τ (α) = - \frac{L}{c} (\frac{w}{c})^{2}

p (α) = - \frac{Lν}{c} (\frac{w}{c})^{2}

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Question 3

ClassiqueFaisable en Sup

Notions : interféromètre de michelson, ordre d'interférence

Avec le moins possible de calculs, donner de même les expressions : – de la différence $τ (β) = τ_{2} (β) - τ_{1} (β)$ des durées de parcours de la lumière arrivant à l'oculaire en suivant la voie 1 (respectivement 2) dans la configuration $β$ ; – du développement limité de $τ (β)$ à l'ordre 2 en $\frac{w}{c}$ ; – de l'ordre d'interférence $p (β)$ en fonction de $ν$ , $L$ , $c$ et du rapport $\frac{w}{c}$ .

Voir l'indice

Remarquer que la rotation de 90^\circ échange simplement les rôles des voies 1 et 2 vis-à-vis du vent d'éther, d'où une inversion de signe pour le retard temporel.

Voir la stratégie

Remarquer que la rotation de 90^\circ du dispositif échange les orientations respectives des deux bras par rapport au vent d'éther : le bras 2 se retrouve dans l'axe du vent et le bras 1 lui devient perpendiculaire.
Permuter les indices 1 et 2 dans les résultats de la question Q2 pour en déduire directement l'expression exacte, le développement limité ainsi que l'ordre d'interférence dans la configuration \beta.

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Lors du passage de la configuration \alpha à la configuration \beta, le dispositif subit une rotation horaire de 90^\circ. Ainsi :

le bras \mathrm{n^\circ\,2} devient colinéaire au vent d'éther \vec{w} (rôle précédemment joué par le bras \mathrm{n^\circ\,1}) ;
le bras \mathrm{n^\circ\,1} devient orthogonal à \vec{w} (rôle précédemment joué par le bras \mathrm{n^\circ\,2}).

Les durées de parcours sur chaque voie se déduisent donc de celles établies à la question Q2 par simple permutation des indices 1 et 2 :

\begin{aligned} \tau_1(\beta) &= \tau_2(\alpha) = \frac{2L}{\sqrt{c^2 - w^2}} = \frac{2L}{c}\frac{1}{\sqrt{1 - \left(\frac{w}{c}\right)^2}} \\ \tau_2(\beta) &= \tau_1(\alpha) = \frac{2Lc}{c^2 - w^2} = \frac{2L}{c}\frac{1}{1 - \left(\frac{w}{c}\right)^2} \end{aligned}

La différence des durées de parcours dans la configuration \beta s'écrit alors :

\tau(\beta) = \tau_2(\beta) - \tau_1(\beta) = \tau_1(\alpha) - \tau_2(\alpha) = -\tau(\alpha)

soit sous forme développée :

\boxed{\tau(\beta) = \frac{2L}{c}\left(\frac{1}{1 - \left(\frac{w}{c}\right)^2} - \frac{1}{\sqrt{1 - \left(\frac{w}{c}\right)^2}}\right)}

D'après le développement limité à l'ordre 2 de \tau(\alpha) obtenu à la question Q2, on en déduit immédiatement :

\boxed{\tau(\beta) = \frac{L}{c}\left(\frac{w}{c}\right)^2}

L'ordre d'interférence étant défini par p(\beta) = \frac{\varphi(\beta)}{2\pi} = \nu \tau(\beta), il vient :

\boxed{p(\beta) = \frac{L\nu}{c}\left(\frac{w}{c}\right)^2}

Résultat

τ (β) = \frac{2 L}{c} \frac{1}{1 - ( \frac{w}{c} ) ^{2}} - \frac{1}{1 - ( \frac{w}{c} ) ^{2}}

τ (β) = \frac{L}{c} (\frac{w}{c})^{2}

p (β) = \frac{Lν}{c} (\frac{w}{c})^{2}

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Question 4

Application directeFaisable en Sup

Notions : interféromètre de michelson, ordre d'interférence

Soit $Δ p = p (β) - p (α)$ la variation de l'ordre d'interférence produite lors du passage de l'interféromètre de la configuration $α$ à la configuration $β$ . Montrer que

Δ p = 2 L \frac{ν}{c} (\frac{w}{c})^{2} .

Voir l'indice

Faire la différence \Delta p = p(\beta) - p(\alpha) à partir des expressions approchées obtenues en Q2 et Q3.

Voir le corrigé complet

D'après les questions Q2 et Q3, les ordres d'interférence dans les configurations \alpha et \beta s'écrivent respectivement à l'ordre 2 en \frac{w}{c} :

\begin{aligned} p(\alpha) &= -\frac{L\nu}{c}\left(\frac{w}{c}\right)^2 \\ p(\beta) &= \frac{L\nu}{c}\left(\frac{w}{c}\right)^2 \end{aligned}

La variation de l'ordre d'interférence lors du passage de la configuration \alpha à la configuration \beta vaut donc :

\Delta p = p(\beta) - p(\alpha) = \frac{L\nu}{c}\left(\frac{w}{c}\right)^2 - \left(-\frac{L\nu}{c}\left(\frac{w}{c}\right)^2\right)

On obtient bien :

\boxed{\Delta p = 2L\,\frac{\nu}{c}\left(\frac{w}{c}\right)^2}

Résultat

Δ p = 2 L \frac{ν}{c} (\frac{w}{c})^{2}

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Question 5

ClassiqueFaisable en Sup

Notions : interféromètre de michelson, coin d'air, interfrange

De manière à visualiser un petit nombre de franges d'interférence à l'oculaire micrométrique, on règle l'interféromètre en coin d'air à partir de la configuration $α$ en opérant une toute petite rotation du miroir $M_{1}$ autour de son diamètre $H_{1} z$ . La figure d'interférences se présente alors comme un ensemble de franges rectilignes parallèles équidistantes d'interfrange $i$ . En supposant la variation $Δ p$ de l'ordre d'interférence obtenue en Q4 inchangée par ce nouveau réglage, indiquer quelle modification de la figure d'interférences est attendue lors du passage de la configuration $α$ à la configuration $β$ . Exprimer cette modification à l'aide de $Δ p$ et $i$ .

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Rappeler le lien fondamental entre le déplacement spatial \Delta x des franges rectilignes, l'interfrange i et la variation de l'ordre d'interférence : \Delta x = \Delta p \cdot i.

Voir la stratégie

Exprimer l'ordre d'interférence en tout point du champ après réglage en coin d'air pour les deux configurations.
Déterminer l'effet d'une variation globale et spatiellement uniforme \Delta p sur un réseau de franges rectilignes équidistantes d'interfrange i.

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Le réglage en coin d'air impose une différence de marche qui varie linéairement le long d'une coordonnée de l'espace x' (perpendiculaire aux franges) :

p(x') = p_0 + \frac{x'}{i}

où i désigne l'interfrange.

Lors du passage de la configuration \alpha à la configuration \beta, l'ordre d'interférence en tout point subit une variation uniforme égale à \Delta p = p(\beta) - p(\alpha) (d'après la question Q4), sans modification de l'angle du coin d'air ni de la longueur d'onde du faisceau. L'interfrange i reste donc inchangé.

La figure d'interférences subit par conséquent une translation globale (un glissement latéral) dans la direction perpendiculaire aux franges, sans déformation ni modification de l'interfrange.

Une variation \Delta p = 1 correspondant au décalage d'un interfrange complet, le déplacement spatial \Delta x' du système de franges s'exprime par :

\boxed{\Delta x' = \Delta p \, i}

Résultat

Δ x^{'} = Δ p i

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Question 6

ClassiqueFaisable en Sup

Notions : loi de kepler, gravitation

En faisant l'hypothèse d'un éther immobile dans le référentiel héliocentrique et ne subissant aucun effet d'entraînement par l'atmosphère terrestre, Michelson et Morley comptaient observer cette modification avec une vitesse de vent d'éther de norme $w = 30, 0 km \cdot s^{- 1}$ environ. a) Rappeler la définition du référentiel héliocentrique. b) Énoncer, sans les démontrer, les trois lois de Képler pour une planète autour du Soleil. c) Expliquer à quelle caractéristique terrestre correspond la valeur $w = 30, 0 km \cdot s^{- 1}$ escomptée par Michelson et Morley. Retrouver cette valeur à partir de $G$ (constante de Newton), $M_{S}$ (masse du Soleil) et $T_{an}$ (durée de l'année terrestre). Faire l'application numérique avec $G = 6, 67 \cdot 1 0^{- 11} N \cdot kg^{- 2} \cdot m^{2}$ , $M_{S} = 1, 99 \cdot 1 0^{30} kg$ et $T_{an} = 365, 25 jours$ .

Voir l'indice

Définir le référentiel héliocentrique. Énoncer les trois lois de Kepler. Pour une orbite quasi-circulaire, égaler l'accélération centripète à la force gravitationnelle pour exprimer la vitesse orbitale terrestre en fonction de G, M_{\mathrm{S}} et T_{\mathrm{an}}.

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a) Le référentiel héliocentrique (ou référentiel de Képler) est défini par :

son origine, située au centre de masse du Système solaire (très proche du centre du Soleil) ;
trois axes dirigés vers trois étoiles lointaines considérées comme fixes.

C'est un référentiel galiléen avec une excellente précision pour l'étude du mouvement des corps du Système solaire.

b) Les trois lois de Képler s'énoncent, dans le référentiel héliocentrique, pour une planète de masse négligeable devant celle du Soleil :

Première loi (loi des orbites) : La trajectoire du centre d'inertie de chaque planète est une ellipse dont le Soleil occupe l'un des foyers.
Deuxième loi (loi des aires) : Le rayon-vecteur reliant le centre du Soleil au centre d'inertie de la planète balaie des aires égales pendant des durées égales (la vitesse surfacique est constante).
Troisième loi (loi des périodes) : Le rapport entre le carré de la période de révolution T et le cube du demi-grand axe a de l'orbite est constant pour toutes les planètes :
\frac{T^2}{a^3} = \frac{4\pi^2}{G M_{\mathrm{S}}}

c) La valeur w = 30,0\text{ km}\cdot\text{s}^{-1} correspond à la vitesse orbitale moyenne de translation (révolution) de la Terre autour du Soleil. L'éther étant supposé au repos dans le référentiel héliocentrique, et la vitesse de rotation propre de la Terre à sa surface (v_{\mathrm{rot}} \le 0,46\text{ km}\cdot\text{s}^{-1}) étant négligeable devant sa vitesse orbitale, un observateur terrestre se déplace dans l'éther à la vitesse w, ce qui engendre un « vent d'éther » apparent de même norme.

En assimilant l'orbite terrestre à un cercle de rayon R, la vitesse orbitale s'écrit :

w = \frac{2\pi R}{T_{\mathrm{an}}}

D'après la troisième loi de Képler appliquée à une trajectoire circulaire de rayon R = a :

\frac{T_{\mathrm{an}}^2}{R^3} = \frac{4\pi^2}{G M_{\mathrm{S}}} \implies R = \left(\frac{G M_{\mathrm{S}} T_{\mathrm{an}}^2}{4\pi^2}\right)^{1/3}

En injectant cette expression de R dans celle de w, on obtient :

w = \frac{2\pi}{T_{\mathrm{an}}} \left(\frac{G M_{\mathrm{S}} T_{\mathrm{an}}^2}{4\pi^2}\right)^{1/3} = \left(\frac{2\pi G M_{\mathrm{S}}}{T_{\mathrm{an}}}\right)^{1/3}

\boxed{w = \left(\frac{2\pi G M_{\mathrm{S}}}{T_{\mathrm{an}}}\right)^{1/3}}

Application numérique :

T_{\mathrm{an}} = 365,25 \times 24 \times 3\,600\text{ s} = 3,1558\cdot 10^7\text{ s}
G = 6,67\cdot 10^{-11}\text{ N}\cdot\text{kg}^{-2}\cdot\text{m}^2
M_{\mathrm{S}} = 1,99\cdot 10^{30}\text{ kg}

\begin{aligned} w &= \left(\frac{2\pi \times 6,67\cdot 10^{-11} \times 1,99\cdot 10^{30}}{3,1558\cdot 10^7}\right)^{1/3} \\ &= \left(2,6428\cdot 10^{13}\right)^{1/3} \approx 2,98\cdot 10^4\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} = \mathbf{29,8\text{ km}\cdot\text{s}^{-1}} \end{aligned}

On retrouve bien la valeur escomptée d'environ 30,0\text{ km}\cdot\text{s}^{-1}.

Résultat

w = (\frac{2 π G M _{S}}{T _{an}})^{1/3}

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Question 7

Application directeFaisable en Sup

Notions : interféromètre de michelson, ordre d'interférence

Pour passer de la configuration $α$ à la configuration $β$ , Michelson et Morley avaient monté leur interféromètre sur une table en granit posée au-dessus d'un flotteur en bois sur un bain de mercure, ce qui leur permettait d'opérer une rotation de l'ensemble en toute simplicité (photo 1). Une grande longueur des bras de l'interféromètre (obtenue par un rallongement des trajets à l'aide de plusieurs jeux de miroirs) et un oculaire micrométrique avaient été prévus afin d'assurer une détection confortable des modifications attendues de la figure d'interférences. La sensibilité du dispositif était de l'ordre du centième d'interfrange. Avec $w = 30, 0 km \cdot s^{- 1}$ , $L = 11, 2 m$ et $ν = 4, 57 \cdot 1 0^{14} Hz$ , donner la valeur numérique de $Δ p$ , variation de l'ordre d'interférence escomptée par Michelson et Morley, exprimée en Q4. Commenter.

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Remplacer directement les données numériques dans la relation établie en Q4 pour calculer \Delta p et comparer la valeur obtenue à la limite de résolution du centième de frange.

Voir le corrigé complet

D'après l'expression établie à la question Q4 :

\Delta p = 2 L \frac{\nu}{c} \left(\frac{w}{c}\right)^2

Avec les valeurs numériques fournies :

w = 30,0\text{ km}\cdot\text{s}^{-1} = 3,00\cdot 10^4\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} ;
L = 11,2\text{ m} ;
\nu = 4,57\cdot 10^{14}\text{ Hz} ;
c = 3,0\cdot 10^8\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}.

Le rapport des vitesses vaut :

\frac{w}{c} = \frac{3,00\cdot 10^4}{3,0\cdot 10^8} = 1,0\cdot 10^{-4}

On en déduit :

\begin{aligned} \Delta p &= 2 \times 11,2 \times \frac{4,57\cdot 10^{14}}{3,0\cdot 10^8} \times \left(1,0\cdot 10^{-4}\right)^2 \\ &= 3,41\cdot 10^7 \times 1,0\cdot 10^{-8} \\ &= 0,34 \end{aligned}

\boxed{\Delta p \approx 0,34}

Commentaire : La sensibilité du dispositif est de l'ordre du centième d'interfrange (\delta p_{\min} \approx 0,01). La variation d'ordre attendue, \Delta p \approx 0,34, correspond à un déplacement des franges égal à environ un tiers d'interfrange (\Delta x \approx 0,34\,i). Ce décalage est plus de 30 fois supérieur à la limite de détection de l'appareil : l'effet escompté aurait donc dû être observé de façon parfaitement nette et incontestable.

Résultat

Δ p \approx 0, 34

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Question 8

ClassiqueFaisable en Sup

Notions : interféromètre de michelson, frange

Donner une estimation numérique de la vitesse d'éther minimale que le dispositif permettait de mesurer a priori. Quelle(s) objection(s) aurait-on pu faire quant au résultat de l'expérience finalement annoncé négatif par Michelson et Morley ? Pourquoi l'expérience fut-elle reconduite à différents moments de l'année ?

Voir l'indice

Poser \Delta p_{\min} = 0{,}01 dans l'expression de \Delta p pour en déduire w_{\min}. Penser à l'éventualité d'une vitesse orbitale momentanément compensée par un mouvement d'ensemble du système solaire dans l'éther pour justifier les mesures à six mois d'intervalle.

Voir la stratégie

Exprimer la vitesse minimale w_{\min} à partir de la plus petite variation détectable d'ordre d'interférence \Delta p_{\min} imposée par la sensibilité de l'appareil (\Delta p_{\min} \sim 10^{-2}).
Analyser les hypothèses physiques sous-jacentes (mouvement propre du Soleil, entraînement de l'éther) pour recenser les objections légitimes à un résultat négatif isolé.
Utiliser la variation de la vitesse orbitale de la Terre sur son orbite au cours de l'année pour expliquer la nécessité de réitérer l'expérience à différentes saisons.

Voir le corrigé complet

1. Vitesse d'éther minimale mesurable

La sensibilité du dispositif étant de l'ordre du centième d'interfrange, la variation minimale de l'ordre d'interférence détectable est :

\Delta p_{\min} \approx 0{,}01

D'après la relation établie en Q4, la variation \Delta p est proportionnelle au carré de la vitesse du vent d'éther :

\Delta p = 2 L \frac{\nu}{c} \left(\frac{w}{c}\right)^2

On en déduit l'expression de la vitesse minimale détectable w_{\min} :

w_{\min} = c \sqrt{\frac{c \, \Delta p_{\min}}{2 L \nu}} = w \sqrt{\frac{\Delta p_{\min}}{\Delta p}}

Avec \Delta p \approx 0{,}34 pour w = 30{,}0\text{ km}\cdot\text{s}^{-1} (calculé en Q7) :

w_{\min} = 30{,}0 \cdot 10^3 \times \sqrt{\frac{0{,}01}{0{,}34}} \approx 5{,}1 \cdot 10^3\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}

\boxed{w_{\min} \approx 5\text{ km}\cdot\text{s}^{-1}}

2. Objections possibles au résultat négatif

Face à l'absence de déplacement observable des franges, plusieurs objections pouvaient être formulées :

Compensation fortuite par le mouvement du Soleil : le système solaire se déplace lui-même dans la galaxie par rapport à un éventuel éther cosmologique à une vitesse \vec{v}_{\odot/\text{eth}}. Il se pouvait qu'au moment précis de la mesure, la vitesse orbitale de la Terre compense exactement celle du Soleil (\vec{v}_{\text{Terre}/\odot} + \vec{v}_{\odot/\text{eth}} \approx \vec{0}), annulant temporairement le vent d'éther au niveau de la Terre.
Entraînement de l'éther : l'éther pouvait être partiellement ou totalement entraîné au voisinage de la Terre par le globe terrestre ou son atmosphère (hypothèse de Stokes), ce qui rendrait la vitesse du vent d'éther nulle ou très faible dans le laboratoire.

3. Répétition de l'expérience à différents moments de l'année

Au cours de sa révolution autour du Soleil, le vecteur vitesse orbitale de la Terre \vec{v}_{\text{orb}} change continuellement de direction : entre deux mesures espacées de six mois, ce vecteur s'inverse, ce qui correspond à une variation de vitesse de :

\|\Delta \vec{v}_{\text{orb}}\| = 2 w \approx 60\text{ km}\cdot\text{s}^{-1}

Même si une compensation fortuite avait eu lieu à une date donnée, elle ne pouvait donc pas subsister six mois plus tard, la vitesse par rapport à l'éther devenant au moins égale à 30\text{ km}\cdot\text{s}^{-1}, largement supérieure à la limite de détection (w_{\min} \approx 5\text{ km}\cdot\text{s}^{-1}). La reconduite de l'expérience à différentes saisons a définitivement écarté l'hypothèse d'une compensation fortuite.

Résultat

w_{m i n} \approx 5 km \cdot s^{- 1}

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Corrigé rédigé par WikiPrépa ; ce n'est pas un corrigé officiel du concours. Mis à jour le 25 septembre 2026.