Corrigé détaillé CCINP Physique MP 2020

Dans le cadre de la cinématique galiléenne classique, la vitesse \vec{v}_{\varepsilon i} de la lumière dans le référentiel du laboratoire (\mathrm{R}_{\text{obs}}) est liée à sa vitesse \vec{c}_{\varepsilon i} dans le référentiel de l'éther (\mathrm{R}_{\text{eth}}) par la loi d'addition des vitesses :

avec \|\vec{c}_{\varepsilon i}\| = c, la célérité de la lumière dans l'éther étant isotrope.

Les bras de l'interféromètre étant immobiles dans (\mathrm{R}_{\text{obs}}), les vecteurs vitesse \vec{v}_{\varepsilon i} sont obligatoirement colinéaires aux bras pour que les faisceaux atteignent les miroirs et reviennent sur la séparatrice :

• Voie 1 (aller, point \mathrm{A}_1) : le trajet s'effectue selon +\vec{e}_x. Les vecteurs \vec{c}_{a1} et \vec{w} sont de même sens :

  \vec{v}_{a1} = (c+w)\,\vec{e}_x \implies v_{a1} = c + w

• Voie 1 (retour, point \mathrm{R}_1) : le trajet s'effectue selon -\vec{e}_x. La vitesse \vec{c}_{r1} = -c\,\vec{e}_x s'oppose au vent d'éther \vec{w} = w\,\vec{e}_x :

  \vec{v}_{r1} = -(c-w)\,\vec{e}_x \implies v_{r1} = c - w

• Voie 2 (aller, point \mathrm{A}_2) : la vitesse \vec{v}_{a2} = v_{a2}\,\vec{e}_y est orthogonale à \vec{w}. Le triangle (\vec{v}_{a2}, \vec{w}, \vec{c}_{a2}) est rectangle en l'extrémité de \vec{v}_{a2}, avec \vec{c}_{a2} pour hypoténuse :

  c^2 = v_{a2}^2 + w^2 \implies v_{a2} = \sqrt{c^2 - w^2}

• Voie 2 (retour, point \mathrm{R}_2) : de façon identique, la vitesse \vec{v}_{r2} = -v_{r2}\,\vec{e}_y est dirigée selon -\vec{e}_y :

  c^2 = v_{r2}^2 + w^2 \implies v_{r2} = \sqrt{c^2 - w^2}

On attribue ainsi les normes correspondantes :

D'après la question Q1, les normes des vitesses de propagation dans (\mathrm{R}_{\text{obs}}) sur les deux voies sont :

• voie 1 (trajet aller suivant +Ox puis retour suivant -Ox) :

  v_{a1} = c + w \quad \text{et} \quad v_{r1} = c - w

• voie 2 (trajets aller et retour selon Oy) :

  v_{a2} = v_{r2} = \sqrt{c^2 - w^2}

Les durées d'aller-retour sur les voies 1 et 2 s'écrivent :

La différence des durées de parcours \tau(\alpha) = \tau_2(\alpha) - \tau_1(\alpha) est donc :

Au voisinage de w/c \ll 1, effectuons les développements limités à l'ordre 2 en posant x = w/c :

Il vient :

Soit, à l'ordre 2 en w/c :

Le déphasage entre les ondes issues des voies 2 et 1 à l'oculaire est relié au retard temporel par :

L'ordre d'interférence s'en déduit directement :

Lors du passage de la configuration \alpha à la configuration \beta, le dispositif subit une rotation horaire de 90^\circ. Ainsi :

• le bras \mathrm{n^\circ\,2} devient colinéaire au vent d'éther \vec{w} (rôle précédemment joué par le bras \mathrm{n^\circ\,1}) ;
• le bras \mathrm{n^\circ\,1} devient orthogonal à \vec{w} (rôle précédemment joué par le bras \mathrm{n^\circ\,2}).

Les durées de parcours sur chaque voie se déduisent donc de celles établies à la question Q2 par simple permutation des indices 1 et 2 :

La différence des durées de parcours dans la configuration \beta s'écrit alors :

soit sous forme développée :

D'après le développement limité à l'ordre 2 de \tau(\alpha) obtenu à la question Q2, on en déduit immédiatement :

L'ordre d'interférence étant défini par p(\beta) = \frac{\varphi(\beta)}{2\pi} = \nu \tau(\beta), il vient :

D'après les questions Q2 et Q3, les ordres d'interférence dans les configurations \alpha et \beta s'écrivent respectivement à l'ordre 2 en \frac{w}{c} :

La variation de l'ordre d'interférence lors du passage de la configuration \alpha à la configuration \beta vaut donc :

On obtient bien :

Le réglage en coin d'air impose une différence de marche qui varie linéairement le long d'une coordonnée de l'espace x' (perpendiculaire aux franges) :

où i désigne l'interfrange.

Lors du passage de la configuration \alpha à la configuration \beta, l'ordre d'interférence en tout point subit une variation uniforme égale à \Delta p = p(\beta) - p(\alpha) (d'après la question Q4), sans modification de l'angle du coin d'air ni de la longueur d'onde du faisceau. L'interfrange i reste donc inchangé.

La figure d'interférences subit par conséquent une translation globale (un glissement latéral) dans la direction perpendiculaire aux franges, sans déformation ni modification de l'interfrange.

Une variation \Delta p = 1 correspondant au décalage d'un interfrange complet, le déplacement spatial \Delta x' du système de franges s'exprime par :

a) Le référentiel héliocentrique (ou référentiel de Képler) est défini par :

• son origine, située au centre de masse du Système solaire (très proche du centre du Soleil) ;
• trois axes dirigés vers trois étoiles lointaines considérées comme fixes.

C'est un référentiel galiléen avec une excellente précision pour l'étude du mouvement des corps du Système solaire.

b) Les trois lois de Képler s'énoncent, dans le référentiel héliocentrique, pour une planète de masse négligeable devant celle du Soleil :

1. Première loi (loi des orbites) : La trajectoire du centre d'inertie de chaque planète est une ellipse dont le Soleil occupe l'un des foyers.
2. Deuxième loi (loi des aires) : Le rayon-vecteur reliant le centre du Soleil au centre d'inertie de la planète balaie des aires égales pendant des durées égales (la vitesse surfacique est constante).

3. Troisième loi (loi des périodes) : Le rapport entre le carré de la période de révolution T et le cube du demi-grand axe a de l'orbite est constant pour toutes les planètes :

   \frac{T^2}{a^3} = \frac{4\pi^2}{G M_{\mathrm{S}}}

c) La valeur w = 30,0\text{ km}\cdot\text{s}^{-1} correspond à la vitesse orbitale moyenne de translation (révolution) de la Terre autour du Soleil. L'éther étant supposé au repos dans le référentiel héliocentrique, et la vitesse de rotation propre de la Terre à sa surface (v_{\mathrm{rot}} \le 0,46\text{ km}\cdot\text{s}^{-1}) étant négligeable devant sa vitesse orbitale, un observateur terrestre se déplace dans l'éther à la vitesse w, ce qui engendre un « vent d'éther » apparent de même norme.

En assimilant l'orbite terrestre à un cercle de rayon R, la vitesse orbitale s'écrit :

D'après la troisième loi de Képler appliquée à une trajectoire circulaire de rayon R = a :

En injectant cette expression de R dans celle de w, on obtient :

Application numérique :

• T_{\mathrm{an}} = 365,25 \times 24 \times 3\,600\text{ s} = 3,1558\cdot 10^7\text{ s}
• G = 6,67\cdot 10^{-11}\text{ N}\cdot\text{kg}^{-2}\cdot\text{m}^2
• M_{\mathrm{S}} = 1,99\cdot 10^{30}\text{ kg}

On retrouve bien la valeur escomptée d'environ 30,0\text{ km}\cdot\text{s}^{-1}.

D'après l'expression établie à la question Q4 :

Avec les valeurs numériques fournies :

• w = 30,0\text{ km}\cdot\text{s}^{-1} = 3,00\cdot 10^4\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} ;
• L = 11,2\text{ m} ;
• \nu = 4,57\cdot 10^{14}\text{ Hz} ;
• c = 3,0\cdot 10^8\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}.

Le rapport des vitesses vaut :

On en déduit :

Commentaire : La sensibilité du dispositif est de l'ordre du centième d'interfrange (\delta p_{\min} \approx 0,01). La variation d'ordre attendue, \Delta p \approx 0,34, correspond à un déplacement des franges égal à environ un tiers d'interfrange (\Delta x \approx 0,34\,i). Ce décalage est plus de 30 fois supérieur à la limite de détection de l'appareil : l'effet escompté aurait donc dû être observé de façon parfaitement nette et incontestable.

1. Vitesse d'éther minimale mesurable

La sensibilité du dispositif étant de l'ordre du centième d'interfrange, la variation minimale de l'ordre d'interférence détectable est :

D'après la relation établie en Q4, la variation \Delta p est proportionnelle au carré de la vitesse du vent d'éther :

On en déduit l'expression de la vitesse minimale détectable w_{\min} :

Avec \Delta p \approx 0{,}34 pour w = 30{,}0\text{ km}\cdot\text{s}^{-1} (calculé en Q7) :

2. Objections possibles au résultat négatif

Face à l'absence de déplacement observable des franges, plusieurs objections pouvaient être formulées :

• Compensation fortuite par le mouvement du Soleil : le système solaire se déplace lui-même dans la galaxie par rapport à un éventuel éther cosmologique à une vitesse \vec{v}_{\odot/\text{eth}}. Il se pouvait qu'au moment précis de la mesure, la vitesse orbitale de la Terre compense exactement celle du Soleil (\vec{v}_{\text{Terre}/\odot} + \vec{v}_{\odot/\text{eth}} \approx \vec{0}), annulant temporairement le vent d'éther au niveau de la Terre.
• Entraînement de l'éther : l'éther pouvait être partiellement ou totalement entraîné au voisinage de la Terre par le globe terrestre ou son atmosphère (hypothèse de Stokes), ce qui rendrait la vitesse du vent d'éther nulle ou très faible dans le laboratoire.

3. Répétition de l'expérience à différents moments de l'année

Au cours de sa révolution autour du Soleil, le vecteur vitesse orbitale de la Terre \vec{v}_{\text{orb}} change continuellement de direction : entre deux mesures espacées de six mois, ce vecteur s'inverse, ce qui correspond à une variation de vitesse de :

Même si une compensation fortuite avait eu lieu à une date donnée, elle ne pouvait donc pas subsister six mois plus tard, la vitesse par rapport à l'éther devenant au moins égale à 30\text{ km}\cdot\text{s}^{-1}, largement supérieure à la limite de détection (w_{\min} \approx 5\text{ km}\cdot\text{s}^{-1}). La reconduite de l'expérience à différentes saisons a définitivement écarté l'hypothèse d'une compensation fortuite.

L'action du champ électromagnétique (\vec{E}, \vec{B}) sur une particule ponctuelle de charge q, animée d'une vitesse \vec{v} dans le référentiel (\mathrm{R}), s'exerce par l'intermédiaire de la force de Lorentz :

Cette force se décompose en une composante électrique \vec{F}_e = q\vec{E}, indépendante de la vitesse de la particule, et une composante magnétique \vec{F}_m = q\,\vec{v} \wedge \vec{B}, orthogonale à la trajectoire de la particule et au champ magnétique.

Le référentiel (\mathrm{R}') étant en translation rectiligne et uniforme à la vitesse \vec{V}_e par rapport au référentiel (\mathrm{R}), la vitesse d'entraînement d'un point coïncidant lié à (\mathrm{R}') est constante et vaut \vec{v}_e = \vec{V}_e.

En cinématique classique galiléenne (temps absolu t' = t), la vitesse absolue \vec{v} de la particule dans (\mathrm{R}) est la somme de sa vitesse relative \vec{v}' dans (\mathrm{R}') et de la vitesse d'entraînement :

On en déduit l'expression de la vitesse relative \vec{v}' dans (\mathrm{R}') en fonction de \vec{v} et \vec{V}_e :

Dans le référentiel (\mathrm{R}'), la charge q est animée de la vitesse \vec{v}' et subit la force de Lorentz :

Dans le référentiel (\mathrm{R}), la force de Lorentz s'écrit d'après la question Q9 :

D'après la loi de composition galiléenne des vitesses (question Q10), on a :

En mécanique classique, la force agissant sur une particule est invariante par changement de référentiel galiléen (\vec{F} = \vec{F}'), et la charge électrique q est une grandeur invariante (q \neq 0). On en déduit :

Cette égalité devant être vérifiée quelle que soit la vitesse \vec{v}' de la particule test, il vient nécessairement :

puis :

La loi de composition galiléenne des vitesses est donc parfaitement compatible avec les transformations « classiques » :

Dans le référentiel (\mathrm{R}'), le fil chargé est immobile par définition de (\mathrm{R}') (référentiel propre du fil). Les charges étant stationnaires dans ce référentiel, la densité de courant électrique est identiquement nulle en tout point :

En l'absence de courants électriques et en régime stationnaire, la loi de Biot et Savart (ou les équations de Maxwell de la magnétostatique sans source de courant avec conditions aux limites nulles à l'infini) implique que le fil ne crée aucun champ magnétique dans (\mathrm{R}') :

D'après la loi de transformation classique du champ magnétique établie à la question Q11 :

On en déduit immédiatement :

Dans le référentiel (R'), le fil est immobile et porte une distribution de charge invariante par translation selon O'z' et par rotation autour de cet axe. Le champ électrostatique ne dépend donc que de la coordonnée radiale r :

Tout plan contenant l'axe O'z' est un plan de symétrie de la distribution de charge, donc le champ \vec{E}'(M) appartient à chacun de ces plans. De plus, le plan orthogonal à O'z' passant par M est également un plan de symétrie, ce qui implique que la composante axiale est nulle. Le champ \vec{E}' est par conséquent purement radial :

Appliquons le théorème de Gauss à un cylindre fermé \mathcal{S} de rayon r > a, de hauteur h, d'axe O'z' :

• Le flux de \vec{E}' à travers les deux bases est nul car \vec{E}' \cdot \vec{e}_z = 0.

• Le flux à travers la surface latérale vaut :

  \Phi = E'(r) \times 2\pi r h.
• La charge intérieure au cylindre de Gauss est Q_{\text{int}} = \lambda_f h.

D'après le théorème de Gauss :

Le champ électrique dans (R') s'écrit donc :

D'après la loi de transformation « classique » des champs établie en Q11 :

Comme \vec{B}' = \vec{0} (question Q12), le terme d'entraînement magnétique est nul, et il vient directement :

1. Expression de l'intensité du courant dans (R)

Dans le référentiel (R), le fil chargé se déplace à la vitesse \vec{V}_e = V_e \vec{e}_z. La densité volumique de courant associée à ce mouvement d'ensemble des charges est :

L'intensité I traversant une section droite \mathcal{S} orientée selon \vec{e}_z s'obtient par intégration du flux de \vec{\jmath} :

2. Détermination de \vec{B} par le théorème d'Ampère

La distribution de courant est invariante par translation le long de l'axe Oz et par rotation autour de cet axe. Le champ magnétique ne dépend donc que de la coordonnée radiale r :

Tout plan contenant l'axe Oz est un plan de symétrie pour la distribution de courant \vec{\jmath}. En tout point M, le champ magnétique \vec{B}(M) est orthogonal à ce plan de symétrie, donc selon le vecteur orthoradial \vec{e}_\theta :

Choisissons comme contour d'Ampère \mathcal{C} un cercle de rayon r > a, orthogonal à l'axe Oz, centré sur celui-ci et orienté selon \vec{e}_\theta.

• La circulation de \vec{B} le long de \mathcal{C} vaut :

  \oint_{\mathcal{C}} \vec{B} \cdot \mathrm{d}\vec{\ell} = \int_0^{2\pi} B_\theta(r) \, r\,\mathrm{d}\theta = 2\pi r B_\theta(r)
• Le courant total enlacé par le contour \mathcal{C} est l'intensité totale du fil : I_{\text{enl}} = I = \lambda_f V_e.

D'après le théorème d'Ampère, 2\pi r B_\theta(r) = \mu_0 I_{\text{enl}} = \mu_0 \lambda_f V_e, d'où :

3. Commentaire par rapport à Q12

La loi de transformation classique (galiléenne) des champs utilisée à la question Q12 prévoyait \vec{B} = \vec{B}' = \vec{0}, car le fil est purement électrostatique dans son référentiel propre (R').

Or, l'application directe des lois fondamentales de l'électromagnétisme (théorème d'Ampère, issu de l'équation de Maxwell-Ampère en régime stationnaire) montre que le déplacement du fil dans (R) crée un courant réel I = \lambda_f V_e et induit donc un champ magnétique non nul.

La transformation galiléenne des champs est donc incompatible avec les équations de Maxwell : l'électromagnétisme classique n'est pas invariant par transformation de Galilée, ce qui impose d'abandonner celle-ci au profit des transformations de Lorentz et de la relativité restreinte.

Dans le référentiel (R'), d'après les questions Q12 et Q13 :

La vitesse de translation étant portée par l'axe Oz, \vec{V}_e = V_e \vec{e}_z, et le vecteur unitaire \vec{e}_r étant orthogonal à \vec{e}_z, on décompose les champs en composantes parallèle (//) et perpendiculaire (\perp) à \vec{V}_e :

D'après les lois de transformation relativistes :

• Pour le champ électrique :

  \begin{aligned} \vec{E}_{//} &= \vec{E}'_{//} = \vec{0} \\ \vec{E}_\perp &= \gamma\left(\vec{E}'_\perp - \vec{V}_e \wedge \vec{B}'_\perp\right) = \gamma \vec{E}'_\perp = \gamma \frac{\lambda_f}{2\pi\varepsilon_0 r}\,\vec{e}_r \end{aligned}

  D'où le champ électrique dans le référentiel (R) :

  \boxed{\vec{E} = \frac{\gamma \lambda_f}{2\pi\varepsilon_0 r}\,\vec{e}_r}

• Pour le champ magnétique :

  \begin{aligned} \vec{B}_{//} &= \vec{B}'_{//} = \vec{0} \\ \vec{B}_\perp &= \gamma\left(\vec{B}'_\perp + \frac{\vec{V}_e}{c^2} \wedge \vec{E}'_\perp\right) = \frac{\gamma}{c^2} \vec{V}_e \wedge \vec{E}' \end{aligned}

  Or \vec{e}_z \wedge \vec{e}_r = \vec{e}_\theta dans la base cylindro-polaire directe (\vec{e}_r, \vec{e}_\theta, \vec{e}_z), et la vitesse de la lumière vérifie c^2 = \frac{1}{\varepsilon_0 \mu_0}, soit \frac{1}{\varepsilon_0 c^2} = \mu_0. On en déduit :

  \vec{B}_\perp = \frac{\gamma}{c^2} \left(V_e \vec{e}_z\right) \wedge \left(\frac{\lambda_f}{2\pi\varepsilon_0 r}\,\vec{e}_r\right) = \frac{\gamma V_e \lambda_f}{2\pi \varepsilon_0 c^2 r}\,\vec{e}_\theta = \frac{\mu_0 \gamma \lambda_f V_e}{2\pi r}\,\vec{e}_\theta

  D'où le champ magnétique dans le référentiel (R) :

  \boxed{\vec{B} = \frac{\mu_0 \gamma \lambda_f V_e}{2\pi r}\,\vec{e}_\theta}

Dans le référentiel (R), le fil rectiligne infini présente une symétrie cylindrique. Par application du théorème de Gauss à un cylindre de rayon r > a et de hauteur h coaxial au fil portant une densité linéique \lambda, le champ électrique s'écrit :

Par identification avec l'expression relativiste obtenue à la question Q15, \vec{E} = \dfrac{\gamma \lambda_f}{2\pi\varepsilon_0 r}\,\vec{e}_r, on en déduit immédiatement :

Considérons un tronçon de fil portant une charge élémentaire \mathrm{d}q. L'invariance relativiste de la charge électrique impose que cette charge ait la même valeur dans les deux référentiels :

où \mathrm{d}\ell' est la longueur propre du tronçon (mesurée dans le référentiel propre (R')) et \mathrm{d}\ell sa longueur mesurée dans le référentiel du laboratoire (R).

On a donc :

Comme V_e > 0, le facteur de Lorentz vérifie \gamma = \dfrac{1}{\sqrt{1 - V_e^2/c^2}} > 1, d'où :

La longueur d'un élément de fil mesurée dans le référentiel où il est en mouvement est plus courte que sa longueur propre : ce résultat correspond bien au phénomène de contraction des longueurs (contraction de Lorentz).

• Définition du référentiel géocentrique (\mathrm{R}_g) : Le référentiel géocentrique a pour origine le centre de masse (centre d'inertie) de la Terre, et ses trois axes sont dirigés vers trois étoiles lointaines considérées comme fixes. Il est en translation par rapport au référentiel de Copernic (ou héliocentrique).
• Mouvement de la Terre dans (\mathrm{R}_g) : Dans (\mathrm{R}_g), le centre de la Terre est fixe : la Terre est donc animée d'un mouvement de rotation propre uniforme autour de l'axe Sud-Nord reliant ses pôles géographiques, orienté d'Ouest en Est, à la vitesse angulaire \vec{\Omega}_T = \Omega_T \vec{e}_z.

• Lien entre \Omega_T et la durée T_j du jour terrestre : La Terre effectuant un tour complet (2\pi\text{ rad}) sur elle-même dans (\mathrm{R}_g) en une durée T_j (jour sidéral), la vitesse angulaire de rotation s'écrit :

  \boxed{\Omega_T = \frac{2\pi}{T_j}}

L'éther étant supposé immobile dans le référentiel géocentrique (R_g), sa vitesse dans ce référentiel est nulle :

Un observateur terrestre situé à la latitude \varphi se trouve à une distance d(\varphi) = R_T \cos\varphi de l'axe de rotation de la Terre (axe des pôles). La Terre tournant d'Ouest en Est à la vitesse angulaire \vec{\Omega}_T, la vitesse de l'observateur dans (R_g) est :

où \vec{u}_{\text{Est}} est le vecteur unitaire tangent au parallèle local, orienté vers l'Est.

D'après la loi classique d'addition des vitesses (transformation galiléenne) :

Le vent d'éther souffle donc selon la direction Est-Ouest (tangente au parallèle local), dans le sens d'Est en Ouest.

En choisissant pour \vec{e} le vecteur unitaire orienté vers l'Ouest (\vec{e} = -\vec{u}_{\text{Est}}), on obtient \vec{w}(\varphi) = w(\varphi)\vec{e} avec :

a) D'après la question Q18, le vent d'éther souffle d'Est en Ouest à la vitesse w(\varphi) à la latitude \varphi et w(\varphi + \Delta\varphi) à la latitude \varphi + \Delta\varphi. Décomposons le trajet \mathrm{ABCDA} :

• Sur le tronçon \mathrm{AB} (latitude \varphi), la lumière se propage d'Ouest en Est, c'est-à-dire en sens opposé au vent d'éther. Par composition galiléenne des vitesses, sa vitesse dans (\mathrm{R}_{\mathrm{obs}}) est v_{\mathrm{AB}} = c - w(\varphi), d'où une durée t_{\mathrm{AB}} = \frac{X}{c - w(\varphi)}.
• Sur les côtés \mathrm{BC} et \mathrm{DA}, la lumière se déplace dans la direction Sud-Nord ; la durée cumulée est notée \tau_0.
• Sur le tronçon \mathrm{CD} (latitude \varphi + \Delta\varphi), la lumière se propage d'Est en Ouest, dans le même sens que le vent d'éther. Sa vitesse dans (\mathrm{R}_{\mathrm{obs}}) est donc v_{\mathrm{CD}} = c + w(\varphi + \Delta\varphi), d'où une durée t_{\mathrm{CD}} = \frac{X}{c + w(\varphi + \Delta\varphi)}.

La durée totale de parcours \tau_1 s'écrit donc :

b) Effectuons le développement limité à l'ordre 1 au voisinage de zéro :

En sommant ces deux contributions :

Au premier ordre en \Delta\varphi, w(\varphi + \Delta\varphi) \approx w(\varphi) + w'(\varphi)\Delta\varphi, ce qui donne :

D'après la question Q18, w(\varphi) = R_T \Omega_T \cos\varphi, donc :

La distance séparant les deux parallèles le long d'un méridien terrestre est un arc de cercle de rayon R_T, soit Y = R_T \Delta\varphi. On en déduit :

En injectant ce résultat dans l'expression de \tau_1 :

On identifie ainsi par comparaison avec la formule fournie :

c) Pour le trajet inverse \mathrm{ADCBA} :

• La durée cumulée le long des méridiens \mathrm{AD} et \mathrm{CB} reste égale à \tau_0.
• Sur le tronçon \mathrm{DC} (latitude \varphi + \Delta\varphi), la lumière se propage d'Ouest en Est (à contre-courant du vent d'éther) : v_{\mathrm{DC}} = c - w(\varphi + \Delta\varphi).
• Sur le tronçon \mathrm{BA} (latitude \varphi), la lumière se propage d'Est en Ouest (dans le sens du vent d'éther) : v_{\mathrm{BA}} = c + w(\varphi).

La durée totale de parcours \tau_2 s'exprime donc par :

D'après les résultats de la question Q19, avec f(Y,\varphi) = Y\sin\varphi, les durées de parcours des deux ondes contra-propagatives s'écrivent :

Le retard temporel accumulé entre le rayon 1 (trajet horaire \mathrm{ABCDA}) et le rayon 2 (trajet anti-horaire \mathrm{ADCBA}) vaut ainsi :

En introduisant l'aire du rectangle S = XY et la composante normale de la vitesse de rotation \Omega_n = \Omega_T \sin\varphi, on obtient :

Pour une onde monochromatique de longueur d'onde dans le vide \lambda_0, la pulsation est donnée par \omega = 2\pi\nu = \frac{2\pi c}{\lambda_0}. Le déphasage correspondant entre les deux ondes à leur recombinaison en A est donc :

On en déduit l'expression demandée :

Par définition, l'ordre d'interférence p associé à un déphasage \Delta\Phi entre deux ondes cohérentes interférant en un point est donné par :

En utilisant l'expression du déphasage \Delta\Phi établie à la question précédente Q20, il vient :

soit :

1. Difficulté de la mesure dans le cas de la Terre

Dans l'expérience initiale de Sagnac (1913), le plateau tournant peut être arrêté (\Omega = 0) ou mis en rotation dans l'autre sens (-\Omega), ce qui permet de comparer la position des franges en rotation à une référence connue.

Dans le cas de la Terre :

• la rotation terrestre ne peut évidemment pas être arrêtée (\Omega_T = 0 est inaccessible) ;
• au vu des dimensions gigantesques de l'installation (612\text{ m} \times 339\text{ m} de tubes en fonte sous vide), il est impossible d'inverser l'orientation du circuit pour changer le signe de \Omega_n.

On ne dispose donc pas directement d'une référence expérimentale de franges sans rotation.

2. Rôle du rectangle secondaire AEFD

D'après le résultat de la question Q21, l'ordre d'interférence dû à l'effet Sagnac est proportionnel à l'aire de la boucle optique :

Le rectangle secondaire AEFD présente une aire S_{\mathrm{AEFD}} = \mathrm{AE} \times Y très petite devant celle du grand rectangle S = \mathrm{AB} \times Y (S_{\mathrm{AEFD}} \ll S).

Par conséquent, l'effet Sagnac dans la petite boucle est négligeable (p_{\mathrm{AEFD}} \approx 0) : elle fournit un système de franges de référence (quasiment équivalent à un dispositif immobile). La mesure du décalage relatif entre les franges issues de la grande boucle et celles issues de la petite boucle donne accès à \Delta p.

D'après la question Q22, la variation de l'ordre d'interférence \Delta p mesurée par rapport à la boucle de référence de surface négligeable correspond à l'ordre d'interférence p de la grande boucle ABCD établi à la question Q21 :

Convertissons la latitude en degrés décimaux :

d'où \sin\varphi = \sin(41,8^\circ) \approx 0,6665.

L'aire de la boucle vaut :

Avec les données numériques :

• \Omega_T = 7,29\cdot 10^{-5}\text{ rad}\cdot\text{s}^{-1}
• \lambda_0 = 0,500\ \mu\text{m} = 5,00\cdot 10^{-7}\text{ m}
• c = 3,0\cdot 10^8\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}

On obtient :

La bobine est constituée d'une fibre de longueur totale L enroulée en N_t spires circulaires de rayon r. La longueur totale s'exprime donc par :

L'aire délimitée par une spire est S_1 = \pi r^2, si bien que l'aire totale S_{\text{tot}} de la boucle formée par les N_t tours vaut :

On en déduit la relation géométrique :

En injectant cette relation dans l'expression du déphasage de Sagnac fournie par l'énoncé, \Delta\Phi_s = \dfrac{4\pi L r \Omega}{\lambda_0 c}, on obtient :

Les deux ondes contra-propagatives issues de la division d'amplitude à la séparatrice parcourent la boucle en sens opposés. Après un tour, chacune d'elles a subi exactement une réflexion et une transmission sur la séparatrice (ou a été atténuée d'un facteur 1/2 à l'aller et 1/2 au retour vers la voie de détection). Les deux ondes ont donc la même intensité :

En appliquant la formule de Fresnel pour l'interférence de deux ondes cohérentes de même intensité présentant un déphasage \Delta\Phi_s, l'intensité résultante enregistrée par le détecteur s'écrit directement :

soit encore sous forme factorisée :

a) D'après les questions Q24 et Q25, l'expression de l'intensité enregistrée est :

La fonction cosinus étant paire, on a :

Une rotation à la vitesse +\Omega produit exactement la même variation d'intensité \Delta I = I(\Omega) - I_0 qu'une rotation à la vitesse -\Omega. La seule mesure de l'intensité I ne permet donc pas de déterminer le sens de rotation.

b) Par dérivation de I(\Omega) par rapport à \Omega :

On en déduit la sensibilité en intensité :

Comme le rapport \frac{S_{\text{tot}}\Omega}{\lambda_0 c} \ll 1, le déphasage Sagnac est très petit devant 1 rad. On peut donc effectuer l'approximation \sin x \approx x, ce qui donne :

Pour augmenter la sensibilité \kappa à \Omega fixé (la célérité c étant fixée), on peut :

• augmenter l'aire totale S_{\text{tot}} de la bobine (en augmentant le nombre de spires N_t ou le rayon r de l'enroulement) ;
• diminuer la longueur d'onde \lambda_0 du rayonnement émis par la source laser.

c) Lorsque \Omega \to 0, la sensibilité s'annule :

Au voisinage du repos, l'interféromètre fonctionne au sommet d'une frange brillante (extremum de la fonction cosinus), où la réponse I(\Omega) est parabolique (\Delta I \propto \Omega^2).

La variation de signal est alors du second ordre en \Omega, ce qui rend la détection des très faibles vitesses angulaires extrêmement difficile, le signal utile étant masqué par le bruit de détection.

a) Le déphasage total s'écrit :

avec \Phi_b(t) = \Phi_0 \cos(2\pi f_m t). Exprimons la différence des biais :

En utilisant la formule trigonométrique fournie :

en posant a = 2\pi f_m t et b = 2\pi f_m (t-\tau_r), on obtient :

On en déduit directement l'expression demandée :

b) La durée de transit dans la bobine est \tau_r = \frac{nL}{c}, or la fréquence propre de la fibre est définie par f_p = \frac{c}{2nL}, d'où la relation :

Le terme d'oscillation temporelle se réécrit :

Pour obtenir un terme en \cos(2\pi f_m t) après multiplication par -\sin(\pi f_m \tau_r), choisissons f_m tel que :

Dans ce cas :

Le produit vaut alors :

puisque (-1)^{2k} = 1. Ainsi, pour toute fréquence f_m = (2k+1)f_p (la fréquence de modulation usuelle étant la fréquence fondamentale f_m = f_p), le déphasage total prend bien la forme :

avec :

La fréquence optique de la source lumineuse (\sim 10^{14}\text{ Hz}) est immensément supérieure à la fréquence de modulation (f_m \sim 10^4\text{ Hz}). L'intensité optique mesurée suit donc de manière quasi statique les variations temporelles lentes du déphasage total \Delta\Phi_t(t).

D'après la formule de Fresnel pour une séparatrice 50/50 établie à la question Q25, l'intensité s'exprime en fonction du déphasage total par :

En injectant l'expression de \Delta\Phi_t(t) issue de la question Q27.b, il vient :

En appliquant la relation trigonométrique d'addition :

avec a = \Delta\Phi_s et b = \Phi_{\mathrm{eff}}\cos(2\pi f_m t), on obtient directement :

D'après la question Q28, l'intensité s'écrit :

En posant \xi = 2\pi f_m t et z = \Phi_{\mathrm{eff}}, on reconnaît les fonctions f_z(\xi) = \cos(z\cos\xi) et g_z(\xi) = \sin(z\cos\xi) définies en annexe.

Leurs développements en série de Fourier donnés par l'énoncé sont :

En ne conservant que les composantes de pulsation nulle, \omega_m = 2\pi f_m et 2\omega_m = 4\pi f_m, on obtient :

En reportant ces expressions dans I(t) :

Le signal se met bien sous la forme demandée :

par identification des coefficients :

a) D'après la question Q29, le coefficient i_1 s'exprime par :

En l'absence de rotation (\Omega = 0), le déphasage Sagnac est nul d'après la formule de Q24 (\Delta\Phi_s = 0), d'où :

b)

• Discrimination du sens de rotation : La fonction sinus étant impaire, le coefficient i_1 est une fonction impaire de \Delta\Phi_s, et donc impaire de \Omega. Contrairement à l'intensité non modulée de la question Q26.a qui était une fonction paire de \Omega (en \cos(\Delta\Phi_s)), le signe de i_1 dépend directement du signe de \Omega (pourvu que |\Delta\Phi_s| < \pi). La mesure de i_1 permet donc de déterminer sans ambiguïté le sens de rotation.

• Sensibilité aux faibles vitesses : Pour de faibles vitesses angulaires (\Delta\Phi_s \ll 1), on peut effectuer un développement limité au premier ordre :

  \sin(\Delta\Phi_s) \approx \Delta\Phi_s = \frac{8\pi S_{\text{tot}}}{\lambda_0 c} \Omega

  ce qui donne :

  i_1 \approx -\left(\frac{8\pi I_0 S_{\text{tot}} J_1(\Phi_{\text{eff}})}{\lambda_0 c}\right)\Omega

  La dérivée par rapport à \Omega au repos est donc non nulle :

  \left. \frac{\mathrm{d}i_1}{\mathrm{d}\Omega} \right|_{\Omega=0} = -\frac{8\pi I_0 S_{\text{tot}} J_1(\Phi_{\text{eff}})}{\lambda_0 c} \neq 0 \quad (\text{dès lors que } J_1(\Phi_{\text{eff}}) \neq 0)

  Le signal présente ainsi une réponse linéaire au voisinage de l'origine au lieu d'une réponse quadratique à tangente horizontale : la « zone morte » autour de \Omega = 0 mise en évidence en Q26.c est totalement supprimée, ce qui restaure une excellente sensibilité aux très faibles vitesses de rotation.

La tension en sortie du multiplieur est définie par :

En utilisant le développement en série de Fourier de I(t) limité à ses trois premiers termes (d'après la question Q29) :

l'expression de p(t) devient :

En appliquant les formules trigonométriques de linéarisation :

On réorganise les termes par ordre de fréquence croissante :

Par identification avec l'expression demandée :

on obtient les différents coefficients :

La cellule (R,C) se comporte en filtre passe-bas du premier ordre non chargé, de transmittance isochrone :

1. Rôle de la cellule (R, C) : D'après la question Q31, la tension p(t) est la somme d'une composante continue p_0 = \frac{1}{2} K_p K s_0 i_1 et d'harmoniques de fréquences f_m, 2f_m et 3f_m. L'objectif de la détection synchrone est d'extraire la grandeur i_1, indicatrice de la rotation. La cellule (R,C) a pour rôle d'atténuer fortement toutes les composantes alternatives non nulles tout en transmettant la composante continue sans atténuation (H(0) = 1), de sorte que la tension de sortie vaille :

2. Condition sur \tau et f_m : Pour que les composantes spectrales oscillantes soient très fortement filtrées, la fréquence de coupure à -3\text{ dB}, f_c = \frac{1}{2\pi \tau}, doit être très inférieure à la plus basse fréquence des harmoniques de p(t), à savoir le fondamental f_m :

ce qui équivaut à la condition :

3. Valeur numérique de \tau : Avec f_m = 30\text{ kHz} (valeur fournie en Q33), le temps caractéristique minimal est :

Pour assurer une réjection efficace des oscillations (par exemple une atténuation d'un facteur supérieur à 50), il convient de choisir \tau de l'ordre de quelques centaines de microsecondes :

(valeur par ailleurs retenue dans les simulations de la question Q38).