Corrigé détaillé X ENS Physique PSI 2025

Un métal est constitué d'un réseau périodique d'ions positifs et d'un gaz d'électrons de conduction délocalisés.

Sous l'effet d'un champ électrique \vec{E}, une particule de charge q et de masse M subit une force électrique \vec{F} = q\vec{E}, ce qui lui confère une accélération caractéristique :

Comparons l'accélération d'un électron et celle d'un ion métallique du réseau :

• la masse de l'électron vaut m_e \simeq 9,1 \times 10^{-31}\text{ kg} ;
• la masse d'un ion métallique (composé de A nucléons, où A \ge 1) vaut au minimum m_p \simeq 1,7 \times 10^{-27}\text{ kg}, et pour un métal typique comme le cuivre (A \simeq 63,5), M_{\text{ion}} \simeq A\, m_p \sim 10^{-25}\text{ kg}.

Le rapport des masses met en évidence une différence d'inertie considérable :

L'inertie des ions est donc 10^4 à 10^5 fois plus grande que celle des électrons. De surcroît, les ions sont fortement liés entre eux aux nœuds du réseau cristallin solide et ne peuvent pas se déplacer macroscopiquement (ils ne font qu'osciller autour de leur position d'équilibre).

On étudie le mouvement d'un électron de conduction, de masse m et de charge q = -e, dans le référentiel du laboratoire supposé galiléen.

L'électron est soumis à :

• la force électrique : \vec{F}_e = -e\,\vec{E} ;
• la force de frottement visqueux modélisant l'effet des collisions sur le réseau : \vec{f}_{\mathrm{v}} = -\frac{m}{\tau}\,\vec{v} ;
• la force de pesanteur, négligée conformément aux consignes.

D'après le principe fondamental de la dynamique appliqué à l'électron :

En divisant par la masse m, on obtient l'équation différentielle régissant l'évolution temporelle de la vitesse :

En régime permanent, la vitesse moyenne de dérive devient constante, soit \frac{\mathrm{d}\vec{v}}{\mathrm{d}t} = \vec{0}. L'équation précédente donne alors :

La vitesse \vec{v} et le champ électrique \vec{E} sont donc colinéaires et de sens opposés. En introduisant la mobilité \mu définie comme un coefficient de proportionnalité positif tel que \vec{v} = -\mu\,\vec{E}, il vient :

Les porteurs de charge responsables de la conduction sont les électrons libres, de densité volumique n, de charge -e et de vitesse d'ensemble \vec{v}. Le vecteur densité volumique de courant s'écrit donc :

En utilisant la relation entre vitesse d'entraînement et champ électrique établie à la question 2, \vec{v} = -\frac{e\tau}{m}\vec{E}, il vient :

Par identification avec la loi d'Ohm locale en régime permanent \vec{j} = \gamma_0 \vec{E}, on en déduit l'expression de la conductivité statique (formule de Drude) :

En régime permanent continu, le champ électrique au sein du barreau conducteur cylindrique de longueur \ell, orienté selon l'axe (\mathrm{O}x), est uniforme et relié à la différence de potentiel V_1 - V_2 par :

D'après la loi d'Ohm locale établie à la question précédente (\vec{j} = \gamma_0 \vec{E}), le vecteur densité volumique de courant est uniforme et axial :

L'intensité I du courant électrique traversant une section droite du barreau, d'aire S = \pi a^2, s'écrit :

Par définition de la résistance électrique R_{\mathrm{el}} = \frac{V_1 - V_2}{I}, on en déduit :

D'après la question 2, le mouvement d'un électron de conduction soumis à un champ électrique \vec{E}(t) est régi par l'équation différentielle :

En régime sinusoïdal forcé à la pulsation \omega, avec la convention de dépendance temporelle en \mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega t}, les grandeurs vectorielles sont associées à des amplitudes complexes telles que :

L'opérateur de dérivation temporelle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} se traduit par une multiplication par \mathrm{i}\omega. L'équation du mouvement devient :

soit :

Le vecteur densité volumique de courant s'écrit \underline{\vec{j}} = -n e\,\underline{\vec{v}}, d'où :

En identifiant avec la loi d'Ohm locale en régime harmonique, \underline{\vec{j}} = \underline{\gamma}(\omega)\,\underline{\vec{E}}, et en utilisant l'expression de la conductivité statique \gamma_0 = \frac{n e^2 \tau}{m} établie à la question 3, on retrouve :

Considérons les grandeurs en notation complexe avec une dépendance temporelle en \mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega t} :

• L'équation de Maxwell-Gauss s'écrit :

  \mathrm{div}\,\underline{\vec{E}} = \frac{\underline{\rho}}{\varepsilon_0}

• L'équation locale de conservation de la charge s'écrit :

  \mathrm{div}\,\underline{\vec{j}} + \frac{\partial \underline{\rho}}{\partial t} = 0 \iff \mathrm{div}\,\underline{\vec{j}} + \mathrm{i}\omega\,\underline{\rho} = 0

• La loi d'Ohm locale en régime harmonique relie \underline{\vec{j}} et \underline{\vec{E}} via la conductivité dynamique établie à la question 5 :

  \underline{\vec{j}} = \underline{\gamma}(\omega)\,\underline{\vec{E}} = \frac{\gamma_0}{1 + \mathrm{i}\omega\tau}\,\underline{\vec{E}}

En prenant la divergence de la loi d'Ohm locale :

En injectant ce résultat dans l'équation de conservation de la charge, on obtient :

En multipliant par \frac{1 + \mathrm{i}\omega\tau}{\tau} (avec \tau \neq 0) :

En effectuant la correspondance avec le domaine temporel (\mathrm{i}\omega \leftrightarrow \frac{\partial}{\partial t} et (\mathrm{i}\omega)^2 \leftrightarrow \frac{\partial^2}{\partial t^2}), la densité volumique de charge \rho(\mathrm{M}, t) vérifie :

avec :

En remplaçant la conductivité statique par son expression issue de la question 3, \gamma_0 = \frac{n e^2 \tau}{m} :

1. Ordre de grandeur du paramètre de maille et de la densité électronique

Dans un cristal métallique, le paramètre de maille a est de l'ordre de dimension des distances interatomiques :

En supposant qu'un atome occupe un volume V_{\mathrm{at}} \sim a^3 et libère un unique électron de conduction, la densité volumique d'électrons libres n s'écrit :

Pour la suite des évaluations numériques, on retient l'ordre de grandeur classique :

2. Ordre de grandeur du temps de collision \tau pour le cuivre

D'après l'expression de la conductivité statique de Drude (question Q3) :

Avec les données de l'énoncé pour le cuivre (\gamma_0 \simeq 6{,}0 \times 10^7\text{ S}\cdot\text{m}^{-1}, m = m_e \simeq 9{,}1 \times 10^{-31}\text{ kg}, e \simeq 1{,}6 \times 10^{-19}\text{ C}) et n \sim 10^{29}\text{ m}^{-3} :

Soit, en conservant un seul chiffre significatif :

3. Ordre de grandeur de la pulsation plasma \omega_{\mathrm{p}}

D'après la question Q6, la pulsation plasma est donnée par :

Avec \varepsilon_0 \simeq 10^{-11}\text{ F}\cdot\text{m}^{-1} (valeur fixée dans le formulaire de l'énoncé) :

Soit, avec un chiffre significatif :

L'équation différentielle (2) s'écrit sous la forme canonique d'un oscillateur amorti :

Par identification avec \frac{\partial^2 \rho}{\partial t^2} + \frac{1}{\tau}\frac{\partial \rho}{\partial t} + \omega_{\mathrm{p}}^2 \rho = 0, la pulsation propre est \omega_0 = \omega_{\mathrm{p}}, et le terme d'amortissement s'identifie à :

D'après les ordres de grandeur obtenus à la question Q7 pour le cuivre (\omega_{\mathrm{p}} \sim 2 \times 10^{16}\text{ rad}\cdot\text{s}^{-1} et \tau \sim 2 \times 10^{-14}\text{ s}) :

Comme Q \gg \frac{1}{2}, le régime libre est pseudo-périodique sous-amorti.

L'équation caractéristique associée s'écrit r^2 + \frac{r}{\tau} + \omega_{\mathrm{p}}^2 = 0. Le discriminant est négatif :

La pseudo-pulsation s'écrit \Omega = \omega_{\mathrm{p}}\sqrt{1 - \frac{1}{4Q^2}} \approx \omega_{\mathrm{p}}, et la solution générale est :

Avec les conditions initiales :

On obtient ainsi :

La densité volumique oscille à la pulsation \omega_{\mathrm{p}} à l'intérieur d'une enveloppe exponentielle amortie de constante de temps 2\tau, avec une tangente horizontale en t=0.

Conséquence pour \omega\tau \ll 1 :
La durée caractéristique d'extinction du régime transitoire de charge est de l'ordre de :

La période d'évolution temporelle imposée par la sollicitation extérieure est T = \frac{2\pi}{\omega}. La condition \omega\tau \ll 1 implique donc :

À l'échelle de variation des grandeurs du régime alternatif, toute inhomogénéité locale de charge se dissipe quasi instantanément par relaxation diélectrique. En régime permanent établi, la solution forcée est nulle car l'équation (2) ne comporte aucun terme source volumique. Ainsi, en tout point intérieur du conducteur :

Le conducteur est localement neutre en volume.

Dans l'approximation du régime lentement variable (\omega\tau \ll 1), la densité volumique de charge est nulle au sein du conducteur d'après la question 8 : \rho(\mathrm{M}, t) = 0.

L'équation locale de conservation de la charge s'écrit :

Le vecteur densité volumique de courant étant purement axial, \vec{j} = j_x(r,\theta,x,t)\,\vec{e}_x, la divergence en coordonnées cylindriques se réduit à :

On en déduit que :

Par ailleurs, le barreau est un cylindre de révolution d'axe (\mathrm{O}x), constitué d'un matériau homogène et isotrope. Le système physique ainsi que les conditions aux limites (sollicitation électrique appliquée sur les sections extrêmes orthogonales à l'axe) sont invariants par toute rotation d'un angle \theta quelconque autour de l'axe (\mathrm{O}x). D'après le principe de Curie, la distribution de courant présente les mêmes invariances que ses causes :

En conclusion, la densité volumique de courant ne dépend que de la distance radiale r et du temps t : \vec{j} = j_x(r, t)\,\vec{e}_x.

Puisque \omega\tau \ll 1, la conductivité dynamique se réduit à la conductivité statique : \underline{\gamma}(\omega) \simeq \gamma_0, d'où la loi d'Ohm locale instantanée :

Le courant de déplacement s'écrit \vec{j}_{\mathrm{d}} = \varepsilon_0 \frac{\partial \vec{E}}{\partial t}. En régime harmonique de pulsation \omega, le rapport des amplitudes vaut :

D'après les questions 7 et 8, Q \approx 4\times 10^2 \gg 1 et \omega\tau \ll 1. Numériquement, pour le cuivre :

ce qui entraîne \frac{\varepsilon_0 \omega}{\gamma_0} \ll 1 pour toute pulsation vérifiant le domaine d'étude. On peut donc légitimement négliger le courant de déplacement :

L'équation de Maxwell-Ampère se simplifie alors en :

Prenons le rotationnel de la loi d'Ohm locale \vec{j} = \gamma_0 \vec{E} et utilisons l'équation de Maxwell-Faraday \vec{\operatorname{rot}}\vec{E} = -\frac{\partial \vec{B}}{\partial t} :

Prenons à nouveau le rotationnel :

En utilisant l'identité vectorielle \vec{\operatorname{rot}}(\vec{\operatorname{rot}}\vec{j}) = \vec{\operatorname{grad}}(\operatorname{div}\vec{j}) - \Delta\vec{j} et sachant que \operatorname{div}\vec{j} = 0 (d'après la question 9, le conducteur étant neutre en volume) :

Comme \vec{j} = j_x(r,t)\vec{e}_x, la composante axiale du laplacien vectoriel s'identifie au laplacien scalaire de j_x, ce qui conduit directement à :

Il s'agit d'une équation de diffusion (équation aux dérivées partielles linéaire d'ordre 2, de type parabolique), gouvernant la diffusion du champ électromagnétique et des courants dans le conducteur.

D'après la figure 2, la répartition spatiale de la densité de courant dépend fortement de l'épaisseur caractéristique \delta = \sqrt{\frac{2}{\mu_0 \gamma_0 \omega}} :

• Pour les faibles pulsations telles que \delta \ge a, la densité volumique de courant j_x(r) est quasi-uniforme sur toute la section du barreau. Le courant occupe la section entière S = \pi a^2.
• Lorsque la pulsation \omega augmente, \delta diminue. Le courant est alors refoulé vers la périphérie du conducteur (effet de peau) et s'annule rapidement au cœur du cylindre.

La diminution de la zone effectivement traversée par le courant entraîne une diminution de la section efficace conductrice, ce qui se traduit par une augmentation de la résistance du conducteur avec la pulsation \omega.

Pour quantifier ce phénomène en régime de fort effet de peau (\delta \ll a), modélisons simplement le profil spatial de j_x(r) par un profil créneau :

• j_x(r) = 0 pour 0 \le r < a - \delta ;
• j_x(r) = j_0 = \text{cte} dans la couche périphérique a - \delta \le r \le a.

La section efficace offerte au passage du courant s'écrit alors :

En adaptant la formule de la résistance établie à la question 4 (R = \frac{\ell}{\gamma_0 S}), on obtient :

En introduisant la résistance continue R_{\mathrm{el}} = \frac{\ell}{\gamma_0 \pi a^2}, cette résistance s'exprime également selon :

La résistance du barreau croît ainsi comme \sqrt{\omega} à haute fréquence.

Considérons le tronçon infinitésimal compris entre x et x+\mathrm{d}x. D'après le schéma de la figure 3, la composante série du conducteur est modélisée par une résistance élémentaire :

Le courant traversant la résistance \mathrm{d}R est égal à I(x,t) à un terme d'ordre \mathrm{d}x près (le courant dérivé dans la capacité étant proportionnel à \mathrm{d}x). En négligeant les termes du second ordre en (\mathrm{d}x)^2, la loi d'Ohm appliquée à cette résistance s'écrit en convention récepteur :

On obtient ainsi la relation demandée :

À la limite \mathrm{d}x \to 0, cette relation s'écrit sous forme différentielle :

Considérons l'élément infinitésimal de câble compris entre x et x+\mathrm{d}x. Le courant dérivé vers la masse à travers la capacité élémentaire \mathrm{d}C = \Gamma\,\mathrm{d}x est lié à la variation de charge portée par cette capacité :

La loi des nœuds appliquée au conducteur s'écrit :

soit, à l'ordre 1 en \mathrm{d}x :

ce qui conduit à :

D'après la question 12, la loi des mailles donne :

En dérivant cette relation par rapport à x et en y injectant l'expression de \frac{\partial I}{\partial x}, on obtient :

ce qui correspond bien à une équation de diffusion unidimensionnelle :

avec :

Pour la dimension de D :

• La résistance linéique a pour dimension [\mathcal{R}] = [R]\cdot L^{-1}.
• La capacité linéique a pour dimension [\Gamma] = [C]\cdot L^{-1}.

Le produit d'une résistance par une capacité ayant la dimension d'un temps ([RC] = T), il vient :

Par conséquent :

Le paramètre D est bien homogène à un coefficient de diffusion.

Dans le modèle d'un câble sans pertes, la résistance élémentaire \mathrm{d}R est remplacée par une inductance pure \mathrm{d}L = \Lambda\,\mathrm{d}x.

La tension aux bornes de cette bobine élémentaire s'écrit, en convention récepteur :

En effectuant un développement limité à l'ordre 1 en \mathrm{d}x, on obtient la première équation des télégraphistes :

La loi des nœuds pour la capacité élémentaire \mathrm{d}C = \Gamma\,\mathrm{d}x reliant le fil central à la masse reste inchangée par rapport à celle obtenue pour la ligne RC :

soit la seconde équation des télégraphistes :

En dérivant la première relation par rapport à x et en utilisant le théorème de Schwarz pour permuter les dérivées partielles :

En injectant l'expression de \frac{\partial I}{\partial x} fournie par la seconde relation :

Le potentiel électrique V(x,t) vérifie donc :

Il s'agit bien d'une équation de D'Alembert régissant la propagation unidimensionnelle d'ondes sans dispersion ni atténuation, à la célérité :

Un calcul rigoureusement identique en dérivant la seconde équation par rapport à x montre que le courant électrique obéit à la même équation :

Pour une onde plane de la forme V(x,t) = V_0 \mathrm{e}^{\mathrm{i}(\omega t - kx)}, les opérateurs de dérivation s'écrivent :

1. Relation de dispersion pour l'équation de diffusion (question Q13) L'équation établie à la question Q13 est :

En injectant la forme d'onde proposée :

Comme V(x,t) n'est pas identiquement nul, la relation de dispersion liant k et \omega s'écrit :

En remarquant que -\mathrm{i} = \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\pi/2} = \left(\frac{1-\mathrm{i}}{\sqrt{2}}\right)^2, le nombre d'onde s'exprime également sous la forme :

2. Relation de dispersion pour l'équation de D'Alembert (question Q14) L'équation établie à la question Q14 s'écrit :

En y injectant la même forme de solution :

Soit la relation de dispersion :

où c = \frac{1}{\sqrt{\Lambda\Gamma}} est la vitesse de propagation de l'onde dans la ligne sans pertes.

1. Comparaison des relations de dispersion :

• Câble sans pertes (équation de D'Alembert) : la relation de dispersion k = \pm \frac{\omega}{c} est linéaire et purement réelle.
• Câble modélisé par la diffusion (ligne RC) : la relation de dispersion \underline{k} = \pm (1 - \mathrm{i})\sqrt{\dfrac{\omega}{2D}} est non linéaire et complexe.

2. Phénomènes physiques associés :

• Atténuation spatiale et dissipation d'énergie : En injectant \underline{k} = k' - \mathrm{i} k'' (avec k' = k'' = \sqrt{\dfrac{\omega}{2D}}) dans la solution pour une onde se propageant selon les x > 0 :

  V(x,t) = V_0 \operatorname{e}^{-k'' x} \operatorname{e}^{\mathrm{i}(\omega t - k' x)} = V_0 \operatorname{e}^{-x/\delta} \operatorname{e}^{\mathrm{i}(\omega t - k' x)} \quad \text{avec} \quad \delta = \sqrt{\frac{2D}{\omega}}

  Contrairement à l'onde de D'Alembert d'amplitude constante (milieu non dissipatif), l'onde associée à l'équation de diffusion est évanescente : son amplitude décroît exponentiellement avec une longueur caractéristique de pénétration \delta(\omega). Cette atténuation traduit la dissipation d'énergie par effet Joule dans les résistances élémentaires \mathcal{R}\mathrm{d}x.

• Dispersion et distorsion du signal :

  • Pour l'équation de D'Alembert, la vitesse de phase v_\varphi = \dfrac{\omega}{k} = c = \dfrac{1}{\sqrt{\Lambda\Gamma}} est indépendante de la pulsation \omega (milieu non dispersif) : un paquet d'ondes se propage sans déformation.

  • Pour l'équation de diffusion, la vitesse de phase :

    v_\varphi(\omega) = \frac{\omega}{k'} = \sqrt{2D\omega}

    dépend fortement de la pulsation \omega (milieu dispersif). Les composantes haute fréquence se propagent plus vite mais sont beaucoup plus rapidement atténuées. Tout signal complexe subit donc un étalement temporel et une forte distorsion.

Un thermostat (ou réservoir thermique) est un système thermodynamique dont la température demeure uniforme et constante au cours du temps, indépendamment des transferts thermiques finis qu'il effectue avec l'extérieur.

Pour un système condensé indéformable n'échangeant aucun travail, le premier principe de la thermodynamique s'écrit :

où C est la capacité thermique du solide considéré (\mathcal{S}_1 ou \mathcal{S}_2).

Pour que la variation de température \mathrm{d}T demeure négligeable lors des échanges d'énergie thermique avec le barreau métallique sur la durée de l'expérience, il faut que la capacité thermique C soit très grande devant la capacité thermique totale du barreau conducteur C_{\text{barreau}} = m_{\text{barreau}} c = \varrho \pi a^2 \ell \, c :

L'hypothèse de réponse linéaire s'applique lorsqu'un système est faiblement éloigné de l'équilibre thermodynamique : le flux associé au transport d'une grandeur extensive (ici, le flux d'énergie thermique représenté par le vecteur densité de courant de chaleur \vec{j}_{\mathrm{Q}}) est proportionnel à la force motrice thermodynamique qui l'engendre (ici, le gradient spatial de température \vec{\operatorname{grad}}\,T). D'un point de vue mathématique, cela correspond à un développement limité au premier ordre du flux en fonction de la perturbation au voisinage de l'équilibre homogène où \vec{\operatorname{grad}}\,T = \vec{0}.

Dans ce cadre, le vecteur densité volumique de courant thermique obéit à la loi de Fourier :

où \lambda > 0 désigne la conductivité thermique du matériau (en \mathrm{W}\cdot\mathrm{m}^{-1}\cdot\mathrm{K}^{-1}).

1. Conduction électrique et thermique dans un métal

Dans un métal, les mêmes porteurs libres — les électrons de conduction — assurent simultanément le transport de charge électrique (courant électrique) et le transport d'énergie cinétique (chaleur). D'après la loi de Wiedemann-Franz, à une température T donnée :

où L est le nombre de Lorenz, indépendant de la nature du métal. À température fixée, la conductivité thermique \lambda est ainsi strictement proportionnelle à la conductivité électrique \gamma_0 : un bon conducteur électrique possède une grande valeur de \gamma_0, et présente par conséquent une grande conductivité thermique \lambda.

2. Évolution de la conductivité thermique avec la température

D'après la loi de Wiedemann-Franz, la conductivité thermique s'écrit :

Au voisinage de la température ambiante (T \sim 300\text{ K}), la résistivité électrique d'un métal est gouvernée par la diffusion des électrons sur les vibrations du réseau (phonons). Le temps moyen entre collisions varie selon \tau \propto T^{-1}, si bien que la conductivité électrique varie approximativement comme :

Il en découle que le produit \gamma_0(T)\,T, et donc la conductivité thermique \lambda(T), est quasi-indépendante de la température au voisinage de l'ambiante :

Cette invariance approchée est conforme au comportement expérimental observé pour les bons métaux conducteurs autour de la température ambiante.

3. Ordre de grandeur de la conductivité thermique du cuivre

Calculons la valeur numérique du nombre de Lorenz L avec \pi^2 \simeq 10 :

À température ambiante (T \simeq 300\text{ K}), avec \gamma_0 \simeq 6,0 \times 10^7\text{ S}\cdot\text{m}^{-1} pour le cuivre :

Ce calcul à un ou deux chiffres significatifs conduit bien à un ordre de grandeur de quelques centaines de \text{W}\cdot\text{m}^{-1}\cdot\text{K}^{-1}, en accord satisfaisant avec la valeur expérimentale fournie dans les données (\lambda_{\mathrm{Cu}} \simeq 3,0 \times 10^2\text{ W}\cdot\text{m}^{-1}\cdot\text{K}^{-1}).

La loi de Wiedemann-Franz repose sur l'hypothèse fondamentale que les électrons de conduction assurent simultanément le transport de charge et le transport d'énergie thermique dans le matériau.

Or, le diamant présente les caractéristiques suivantes :

• C'est un isolant électrique remarquable (cristal covalent à large bande interdite, d'environ 5{,}5\text{ eV}) : il ne possède pratiquement aucun électron libre de conduction à température ambiante (\gamma_0 \simeq 0). Si la loi de Wiedemann-Franz s'appliquait, elle prédirait une conductivité thermique quasi nulle (\lambda \simeq 0), ce qui contredit totalement la valeur expérimentale.
• La conduction thermique dans le diamant est presque exclusivement assurée par les vibrations du réseau cristallin (ondes acoustiques, modélisées sous forme de phonons).

En raison de la très forte rigidité des liaisons covalentes carbone–carbone et de la faible masse atomique du carbone, la vitesse de propagation de ces ondes est très élevée et les mécanismes de diffusion phonon-phonon sont réduits, ce qui confère au diamant une conductivité thermique exceptionnellement grande sans le moindre transport de charge.

Considérons le système fermé constitué par la tranche de barreau cylindrique comprise entre les abscisses x et x + \mathrm{d}x, de section droite constante S = \pi a^2, entre les instants t et t + \mathrm{d}t.

Le matériau étant modélisé comme une phase condensée idéale sans changement d'état ni réaction, la variation d'énergie interne de cette tranche élémentaire s'écrit :

où \varrho est la masse volumique du métal et c sa capacité thermique massique.

D'après le premier principe de la thermodynamique appliqué à ce système indéformable (aucun travail mécanique échangé, W = 0) :

Les parois latérales étant calorifugées, les seuls échanges de chaleur s'effectuent par conduction à travers les sections droites en x et x + \mathrm{d}x :

où le flux thermique sortant de la tranche est orienté selon l'axe (\mathrm{O}x). En utilisant la loi de Fourier scalaire unidimensionnelle \vec{j}_{\mathrm{Q}} = -\lambda \frac{\partial T}{\partial x} \vec{u}_x (question Q18), le flux thermique s'exprime par :

En supposant la conductivité thermique \lambda uniforme le long du barreau, on a :

Le bilan d'énergie conduit alors à :

Soit, en simplifiant par le volume élémentaire S \, \mathrm{d}x et la durée \mathrm{d}t :

En régime permanent (ou stationnaire), le champ de température est indépendant du temps :

D'après l'équation de la diffusion thermique établie à la question Q21, le profil spatial de température T(x) obéit à l'équation différentielle ordinaire :

Par intégration successive par rapport à x, la solution générale est une fonction affine :

où A et B sont deux constantes d'intégration déterminées par les conditions aux limites aux extrémités du barreau, données dans l'énoncé :

Le profil de température en régime permanent dans le barreau métallique s'écrit donc :

Par analogie avec la loi d'Ohm en régime stationnaire, la résistance thermique R_{\mathrm{th}} d'un système conducteur de chaleur soumis à un écart de température T_1 - T_2 entre ses deux extrémités isothermes est définie par le rapport entre cet écart de température et le flux thermique \Phi_{1 \to 2} (puissance thermique) le traversant de 1 vers 2 :

où R_{\mathrm{th}} s'exprime en \mathrm{K}\cdot\mathrm{W}^{-1}.

Le barreau étant calorifugé latéralement, le flux thermique \Phi_{1 \to 2} à travers une section droite S = \pi a^2 orientée par le vecteur unitaire \vec{u}_x s'écrit, d'après la loi de Fourier (établie à la question 18) :

D'après le profil de température linéaire en régime permanent obtenu à la question 22, le gradient thermique est uniforme :

On en déduit l'expression du flux thermique :

Par identification avec la relation de définition T_1 - T_2 = R_{\mathrm{th}} \, \Phi_{1 \to 2}, on obtient :

Le temps caractéristique \tau_{\text{therm}} correspond au temps nécessaire pour que la chaleur se propage par diffusion au sein d'un réservoir de taille caractéristique L (\tau_{\text{therm}} \sim L^2 / D_{\text{th, réservoir}}) et homogénéise sa température interne.

Le temps caractéristique \tau_{\text{ech}} gouverne quant à lui la dynamique des transferts de chaleur s'effectuant via le barreau conducteur reliant les deux solides.

Pour que les températures T_1(t) et T_2(t) puissent être considérées comme spatialement homogènes à chaque instant au sein des solides \mathcal{S}_1 et \mathcal{S}_2, il faut que la diffusion interne de la chaleur soit beaucoup plus rapide que les échanges thermiques avec le barreau. Le cadre d'étude requis est donc :

Dans cette limite :

• toute perturbation de température induite par le flux de chaleur entrant ou sortant du barreau à l'interface se relaxe quasi instantanément dans tout le volume du thermostat ;
• les gradients de température internes aux réservoirs sont négligeables ;
• chaque solide peut être décrit par une température unique, ne dépendant que du temps : T_1(t) et T_2(t).

Dans le cadre de l'approximation des régimes quasi-stationnaires (ARQS thermique), le barreau s'adapte instantanément aux températures de ses extrémités. Le flux thermique algébrique quittant le solide \mathcal{S}_1 et entrant dans le solide \mathcal{S}_2 à l'instant t s'écrit donc en fonction de la résistance thermique R_{\mathrm{th}} :

Le système global étant calorifugé vis-à-vis de l'extérieur, les solides \mathcal{S}_1 et \mathcal{S}_2 n'échangent de l'énergie thermique qu'à travers le barreau conducteur.

Appliquons le premier principe de la thermodynamique à chacun des solides entre les instants t et t + \mathrm{d}t :

• Pour le solide \mathcal{S}_1 :

  \mathrm{d}U_1 = -\Phi_{1 \to 2}(t)\,\mathrm{d}t = -\frac{T_1(t) - T_2(t)}{R_{\mathrm{th}}}\,\mathrm{d}t.

  Comme \mathrm{d}U_1 = C_{\mathrm{th}}\,\mathrm{d}T_1, on obtient :

  C_{\mathrm{th}}\,\frac{\mathrm{d}T_1}{\mathrm{d}t} = -\frac{T_1(t) - T_2(t)}{R_{\mathrm{th}}}.

• Pour le solide \mathcal{S}_2 :

  \mathrm{d}U_2 = +\Phi_{1 \to 2}(t)\,\mathrm{d}t = \frac{T_1(t) - T_2(t)}{R_{\mathrm{th}}}\,\mathrm{d}t.

  Comme \mathrm{d}U_2 = C_{\mathrm{th}}\,\mathrm{d}T_2, on obtient :

  C_{\mathrm{th}}\,\frac{\mathrm{d}T_2}{\mathrm{d}t} = \frac{T_1(t) - T_2(t)}{R_{\mathrm{th}}}.

En introduisant la constante de temps caractéristique :

le système d'équations différentielles régissant l'évolution conjointe de T_1(t) et T_2(t) s'écrit :

D'après la question Q25, les températures T_1(t) et T_2(t) obéissent au système différentiel :

En formant la demi-somme de ces deux équations, on obtient pour la température moyenne \overline{T}(t) = \dfrac{T_1(t) + T_2(t)}{2} :

La fonction \overline{T}(t) est donc constante au cours du temps, fixée par les conditions initiales :

En formant la différence des deux équations pour l'écart de température \Delta T(t) = T_1(t) - T_2(t) :

Cette équation différentielle linéaire du premier ordre à coefficients constants est totalement découplée de \overline{T}(t). Sa solution s'écrit immédiatement :

On en déduit les températures des deux solides en remarquant que :

soit :

D'après la question Q26, en supposant par exemple T_{01} > T_{02}, les températures des deux solides sont régies par :

avec \tau = R_{\mathrm{th}} C_{\mathrm{th}}.

Le temps caractéristique de relaxation du système est :

À t = 0, T_1(0) = T_{01} et T_2(0) = T_{02}. Les pentes initiales sont opposées :

Lorsque t \to +\infty, les deux températures tendent asymptotiquement vers la température d'équilibre commune :

Analyse du résultat :

• Conservation de l'énergie : Le système complet {\mathcal{S}_1 + \mathcal{S}_2 + \text{barreau}} étant calorifugé et la capacité thermique du barreau étant négligée, l'énergie thermique totale est conservée : U_1(t) + U_2(t) = C_{\mathrm{th}}(T_1(t) + T_2(t)) = \text{cte}. Les deux courbes sont donc strictement symétriques par rapport à l'asymptote T_\infty.
• Thermalisation globale : Le gradient thermique impose un transfert spontané de chaleur du corps chaud \mathcal{S}_1 vers le corps froid \mathcal{S}_2. Le système évolue irréversiblement vers un état d'équilibre thermique macroscopique où les deux solides atteignent la même température moyenne T_\infty.
• Temps caractéristique : L'écart \Delta T(t) décroît avec un temps caractéristique \tau_{\mathrm{rel}} = \frac{R_{\mathrm{th}}C_{\mathrm{th}}}{2}, deux fois plus court que si l'un des deux réservoirs était maintenu à température fixe, car les deux températures varient simultanément en sens opposés.

D'après la question Q21, le champ de température vérifie l'équation de la chaleur unidimensionnelle le long du barreau :

Par analyse dimensionnelle, la diffusion thermique s'effectue sur la longueur \ell du barreau en un temps caractéristique :

L'approximation des régimes quasi-stationnaires suppose que le profil de température au sein du barreau s'ajuste quasi-instantanément aux variations temporelles imposées par les réservoirs T_1(t) et T_2(t), dont le temps caractéristique d'évolution est \tau = R_{\mathrm{th}} C_{\mathrm{th}} (d'après la question Q25). Cette approximation est donc justifiée si :

En injectant les expressions de \tau_{\mathrm{th}} et de \tau, on obtient :

On pose ainsi la capacité thermique massique caractéristique :

L'approximation des régimes stationnaires est donc vérifiée à condition que :

L'entropie S étant une fonction d'état, on peut imaginer un chemin réversible reliant l'état initial à la température T_{\mathrm{i}} à l'état final à la température T_{\mathrm{f}}. Pour une phase condensée indilatable de capacité thermique C_{\mathrm{th}}, le premier principe sous forme différentielle s'écrit \mathrm{d}U = \delta Q_{\mathrm{rev}} = C_{\mathrm{th}}\,\mathrm{d}T. L'identité thermodynamique donne alors :

En intégrant entre la température initiale T_{\mathrm{i}} et la température finale T_{\mathrm{f}}, la variation d'entropie du thermostat s'écrit :

Appliquons ce résultat au système complet formé de \mathcal{S}_1, \mathcal{S}_2 et du barreau métallique :

• Le solide \mathcal{S}_1 évolue de la température initiale T_{01} à la température finale d'équilibre thermique T_\infty = \dfrac{T_{01}+T_{02}}{2} (établie à la question Q27) :

  \Delta S_1 = C_{\mathrm{th}}\ln\left(\frac{T_\infty}{T_{01}}\right)

• Le solide \mathcal{S}_2 évolue de T_{02} à T_\infty :

  \Delta S_2 = C_{\mathrm{th}}\ln\left(\frac{T_\infty}{T_{02}}\right)

• Conformément à l'énoncé, la capacité thermique du barreau est négligeable devant celle des solides (c \ll c^*), si bien que sa contribution à la variation d'entropie est négligeable :

  \Delta S_{\mathrm{barreau}} \simeq 0

Par extensivité de l'entropie, la variation d'entropie du système complet vaut :

En remplaçant T_\infty par son expression \dfrac{T_{01}+T_{02}}{2}, on obtient :

D'après le résultat de la question Q29, la variation d'entropie du système isolé s'écrit en fonction de \eta = \frac{T_{01}}{T_{02}} > 0 :

1. Étude mathématique de la fonction :

• La fonction g(\eta) = \frac{\Delta S(\eta)}{C_{\mathrm{th}}} est définie et dérivable sur ]0, +\infty[ :

  g'(\eta) = \frac{2}{\eta+1} - \frac{1}{\eta} = \frac{\eta - 1}{\eta(\eta+1)}.

• g'(\eta) < 0 pour \eta \in ]0, 1[, g'(1) = 0, et g'(\eta) > 0 pour \eta \in ]1, +\infty[. La fonction présente donc un minimum absolu strict en \eta = 1, pour lequel :

  \Delta S(1) = 0.
• Symétrie par inversion : g(1/\eta) = g(\eta).
• Limites : \lim_{\eta \to 0^+} \Delta S(\eta) = +\infty et \lim_{\eta \to +\infty} \Delta S(\eta) = +\infty.

2. Tracé de \Delta S(\eta) :

3. Commentaire de l'évolution :

• Pour toute valeur \eta \neq 1, on a \Delta S > 0. Le système global étant calorifugé et indéformable (W = 0, Q_{\mathrm{ext}} = 0), l'entropie échangée est nulle : \Delta S = S_{\mathrm{c}} > 0, en parfait accord avec le second principe de la thermodynamique.
• Le minimum \Delta S = 0 n'est atteint que pour \eta = 1, c'est-à-dire T_{01} = T_{02} : le système est initialement à l'équilibre thermique, aucune évolution n'a lieu, la transformation est triviale et réversible.
• L'invariance par substitution \eta \to 1/\eta traduit l'équivalence parfaite des solides \mathcal{S}_1 et \mathcal{S}_2 : inverser les températures initiales conduit à la même création d'entropie.
• L'écart à l'unité de \eta mesure le déséquilibre thermique initial : plus \eta s'éloigne de 1, plus le flux thermique est important et plus la création d'entropie globale est élevée.

4. Identification des lieux et des sources d'irréversibilité :

• Lieux : l'irréversibilité est intégralement localisée dans le barreau métallique. En effet, d'après la condition \tau_{\mathrm{therm}} \ll \tau_{\mathrm{ech}} (question Q24), la température des réservoirs \mathcal{S}_1 et \mathcal{S}_2 reste spatialement homogène à chaque instant : leur thermalisation interne s'effectue de manière quasi-statique réversible, de sorte que S_{\mathrm{c},\mathcal{S}_1} = S_{\mathrm{c},\mathcal{S}_2} = 0.
• Sources : la source unique d'irréversibilité est le transfert thermique conductif spontané d'une zone chaude vers une zone froide à travers un gradient de température non nul (\vec{\operatorname{grad}} T \neq \vec{0}) au sein du barreau (diffusion thermique régie par la loi de Fourier).

Considérons la tranche infinitésimale de conducteur située entre x et x + \mathrm{d}x, de section S = \pi a^2 et de volume \mathrm{d}\tau = S\,\mathrm{d}x.

Les parois latérales étant calorifugées, les seuls transferts thermiques avec l'extérieur s'effectuent à travers les sections droites en x et en x+\mathrm{d}x :

• en x, la tranche reçoit pendant \mathrm{d}t le transfert thermique algébrique \delta Q(x) = \Phi(x, t)\,\mathrm{d}t de la part du milieu à la température T(x, t) ;
• en x+\mathrm{d}x, elle reçoit le transfert thermique -\delta Q(x+\mathrm{d}x) = -\Phi(x+\mathrm{d}x, t)\,\mathrm{d}t de la part du milieu à la température T(x+\mathrm{d}x, t).

Par définition, l'entropie d'échange élémentaire \delta S_{\mathrm{e}} reçue par cette tranche entre les instants t et t+\mathrm{d}t s'écrit :

En développant la dérivée spatiale du quotient :

D'après le premier principe de la thermodynamique appliqué à la tranche :

Comme la capacité thermique massique c du barreau est supposée négligeable (ou le coefficient de diffusion thermique D_{\mathrm{th}} = \lambda/(\varrho c) suffisamment grand), la variation d'énergie interne est négligeable devant les flux mis en jeu (\mathrm{d}U \simeq 0), ce qui correspond au régime quasi-stationnaire :

Il vient alors :

D'après la loi de Fourier (question Q18), le flux thermique s'exprime par :

En injectant cette relation, on obtient :

Cette expression est bien de la forme demandée :

avec :

Le second principe de la thermodynamique appliqué à la tranche élémentaire de barreau de section \pi a^2 et d'épaisseur \mathrm{d}x, pendant la durée \mathrm{d}t, s'écrit :

où \delta S_{\mathrm{e}} est l'entropie d'échange et \delta S_{\mathrm{c}} l'entropie créée par irréversibilité interne.

D'après les hypothèses adoptées depuis la question Q28, la capacité thermique de la tranche est négligeable devant celle des thermostats, si bien que le barreau évolue en régime quasi-stationnaire : son énergie interne et son entropie restent stationnaires à l'échelle du barreau, soit \mathrm{d}S = 0. Il en découle :

En utilisant l'expression de \delta S_{\mathrm{e}} obtenue à la question Q31 :

l'entropie créée dans la tranche élémentaire s'écrit :

Le volume de la tranche élémentaire étant \mathrm{d}\tau = \pi a^2 \mathrm{d}x, le taux de création d'entropie par unité de volume, noté \frac{\partial s_{\mathrm{v}}}{\partial t} = \frac{\delta S_{\mathrm{c}}}{\mathrm{d}\tau\,\mathrm{d}t}, est donné par :

On obtient bien la relation demandée :

En remplaçant f(T) = -\frac{\lambda \pi a^2}{T^2} déterminé à la question Q31, cette expression devient :

Commentaires et comparaison :

1. Signe et second principe : Comme \lambda > 0 et T > 0, on a \frac{\partial s_{\mathrm{v}}}{\partial t} \ge 0 en tout point et à tout instant, ce qui est strictement conforme au second principe de la thermodynamique (taux de création d'entropie localement positif ou nul). La création d'entropie est strictement positive dès qu'il existe un gradient thermique (\partial T/\partial x \neq 0), traduisant le caractère intrinsèquement irréversible de la diffusion de la chaleur.

2. Évolution temporelle : Dans l'approximation quasi-stationnaire, le gradient de température dans le barreau s'écrit \frac{\partial T}{\partial x} \simeq \frac{T_2(t) - T_1(t)}{\ell} = -\frac{\Delta T(t)}{\ell}. D'après la question Q26, l'écart de température décroît exponentiellement selon \Delta T(t) = (T_{01}-T_{02})\,\mathrm{e}^{-2t/\tau}. Par conséquent :

   \frac{\partial s_{\mathrm{v}}}{\partial t} \propto (\Delta T(t))^2 \propto \mathrm{e}^{-4t/\tau}

   Le taux de création d'entropie décroît donc exponentiellement au cours du temps avec une durée caractéristique \tau/4. À mesure que le système s'approche de l'équilibre thermique (T_1 = T_2 pour t \to \infty), le gradient spatial s'annule et le taux de création d'entropie tend vers zéro.

3. Lien avec l'analyse globale : Cette approche locale confirme l'analyse de la question Q30 : l'irréversibilité globale \Delta S > 0 calculée aux questions Q29 et Q30 est intégralement générée au sein du barreau conducteur où règne le gradient thermique, et non dans les thermostats qui subissent des transformations internement quasi-statiques. L'intégration de \frac{\partial s_{\mathrm{v}}}{\partial t} sur le volume du barreau et sur la durée [0, +\infty[ redonne exactement la variation globale d'entropie \Delta S.

1. Analyse des courbes et interprétation physique

Les courbes de la figure 4 présentent l'évolution temporelle de la température T(x,t) et du flux thermique \Phi(x,t) en différentes abscisses x \in \{\ell/10,\, \ell/4,\, \ell/2,\, 3\ell/4\} :

• La réponse est sinusoïdale, de même période temporelle que l'excitation : T_{\mathrm{p}} = \frac{1}{f} = \frac{1}{0,1} = 10\text{ s}.

• Au fur et à mesure que l'on s'éloigne de la source thermique (x croissant) :

  • L'amplitude des oscillations thermiques décroît très rapidement avec x (atténuation spatiale).
  • Les extrema sont retardés dans le temps : il apparaît un déphasage qui croît avec x.
• Le flux thermique \Phi(x,t) présente les mêmes propriétés d'atténuation et de déphasage avec la distance.

Ce phénomène traduit la propagation d'ondes thermiques amorties au sein du barreau conducteur, solution de l'équation de diffusion thermique soumise à une condition aux limites harmonique (phénomène analogue à l'effet de peau électromagnétique).

2. Expression de la longueur caractéristique d'atténuation

L'évolution spatio-temporelle de la température est régie par l'équation de la chaleur établie à la question 21 :

Les deux paramètres physiques gouvernant la pénétration spatiale de l'oscillation sont la diffusivité thermique D_{\mathrm{th}} ([D_{\mathrm{th}}] = \mathrm{m}^2\cdot\mathrm{s}^{-1}) et la pulsation d'excitation \omega = 2\pi f ([\omega] = \mathrm{s}^{-1}).

Par analyse dimensionnelle, la seule combinaison homogène à une longueur est de la forme :

En résolvant l'équation de diffusion en régime harmonique (recherche d'une solution en \mathrm{e}^{\mathrm{i}(\omega t - k x)} comme à la question 15), on obtient k^2 = -\frac{\mathrm{i}\omega}{D_{\mathrm{th}}}, ce qui conduit à une enveloppe spatiale en \exp(-x/\delta_{\mathrm{th}}) avec la longueur de pénétration thermique exacte :

3. Évaluation numérique et comparaison

\bullet Calcul théorique :

Avec les données du platine : \lambda_{\mathrm{Pt}} \simeq 8,0 \times 10^1\text{ W}\cdot\mathrm{m}^{-1}\cdot\mathrm{K}^{-1}, \varrho_{\mathrm{Pt}} \simeq 2,1 \times 10^4\text{ kg}\cdot\mathrm{m}^{-3}, c_{\mathrm{Pt}} \simeq 1,3 \times 10^2\text{ J}\cdot\mathrm{K}^{-1}\cdot\mathrm{kg}^{-1} et f = 0,1\text{ Hz} :

\bullet Estimation à partir de la figure 4(a) :

• Par l'atténuation de l'amplitude : Le barreau a pour longueur \ell = 2,0\text{ cm}.

  • Pour x_1 = \ell/10 = 0,2\text{ cm}, l'amplitude de l'oscillation vaut A_1 \simeq \frac{65 - 35}{2} = 15^\circ\text{C}.
  • Pour x_2 = \ell/2 = 1,0\text{ cm}, l'amplitude vaut A_2 \simeq \frac{53 - 47}{2} = 3^\circ\text{C}.

  En modélisant l'atténuation par A(x) \propto \mathrm{e}^{-x/\delta}, il vient :

  \delta \simeq \frac{x_2 - x_1}{\ln(A_1 / A_2)} = \frac{0,8\text{ cm}}{\ln(5)} \simeq \frac{0,8}{1,6} \simeq 0,5\text{ cm}

• Par le retard temporel (déphasage) : L'écart temporel \Delta t entre les maxima pour x_1 = \ell/10 (t_1 \simeq 1,2\text{ s}) et x_2 = \ell/2 (t_2 \simeq 2,5\text{ s}) est \Delta t \simeq 1,3\text{ s}. Le déphasage correspondant est :

  \Delta \phi = \omega \Delta t = \frac{2\pi}{T_{\mathrm{p}}}\,\Delta t = \frac{2\pi}{10} \times 1,3 \simeq 0,82\text{ rad}

  Or pour une onde thermique, le nombre d'onde réel vaut k' = 1/\delta, d'où \Delta \phi = \frac{x_2 - x_1}{\delta}, soit :

  \delta \simeq \frac{0,8\text{ cm}}{0,82} \simeq 1,0\text{ cm}

Les deux estimations graphiques fournissent une longueur d'atténuation comprise entre 0,5\text{ cm} et 1,0\text{ cm}, ce qui est en excellent accord avec la valeur théorique calculée \delta_{\mathrm{th}} \simeq 1,0\text{ cm} (la légère divergence sur l'amplitude s'expliquant par la réflexion de l'onde thermique sur la frontière en x = \ell).

Pour que la température T(r,x,t) et la densité de courant thermique \vec{j}_{\mathrm{Q}} = -\lambda\,\vec{\operatorname{grad}}\,T soient uniformes sur toute la section droite du barreau cylindrique (indépendantes de la coordonnée radiale r), tout écart radial à l'homogénéité doit pouvoir diffuser transversalement sur une échelle de temps beaucoup plus courte que le temps de variation de l'excitation thermique :

De manière équivalente, par analogie avec l'effet de peau électrique étudié à la question 11, l'épaisseur de peau thermique \delta_{\mathrm{th}} = \sqrt{\frac{2D_{\mathrm{th}}}{\omega}} introduite à la question 33 doit être très grande devant le rayon transverse a du conducteur :

En élevant au carré et en remplaçant la diffusivité thermique par son expression D_{\mathrm{th}} = \frac{\lambda}{\varrho c} (établie à la question 21), on obtient la condition sur la pulsation :

Application numérique pour le barreau de platine : Avec les données de l'énoncé pour le platine :

• \lambda_{\mathrm{Pt}} \simeq 8,0 \times 10^1\text{ W}\cdot\text{m}^{-1}\cdot\text{K}^{-1} ;
• \varrho_{\mathrm{Pt}} \simeq 2,1 \times 10^4\text{ kg}\cdot\text{m}^{-3} et c_{\mathrm{Pt}} \simeq 1,3 \times 10^2\text{ J}\cdot\text{K}^{-1}\cdot\text{kg}^{-1} ;
• D_{\mathrm{th}} = \frac{80}{2,1 \times 10^4 \times 130} \simeq 2,9 \times 10^{-5}\text{ m}^2\cdot\text{s}^{-1} ;
• a = 1\text{ mm} = 1,0 \times 10^{-3}\text{ m}.

La pulsation caractéristique maximale vaut :

À la fréquence de travail f = 0,1\text{ Hz} (\omega \simeq 0,63\text{ rad}\cdot\text{s}^{-1}), on a \omega \ll \omega_{\mathrm{max}} (\delta_{\mathrm{th}} \simeq 1\text{ cm} \gg a = 1\text{ mm}) : l'approximation d'un flux thermique unidimensionnel et uniforme sur chaque section droite est pleinement justifiée.

L'absence de mouvement macroscopique de charges se traduit par l'annulation du vecteur densité volumique de courant :

En utilisant la relation constitutive (9) pour le transport de charge :

La conductivité électrique \gamma étant non nulle, on en déduit le champ électrostatique induit par l'effet thermoélectrique :

En reportant cette relation dans l'expression (8) du vecteur densité de courant de chaleur \vec{j}_{\mathrm{Q}}, il vient :

Par identification avec la définition \vec{j}_{\mathrm{Q}} = -\kappa(T)\,\overrightarrow{\operatorname{grad}}\,T, on obtient :

En circuit ouvert, aucun courant électrique macroscopique ne traverse le barreau :

D'après l'équation (9) de l'énoncé régissant le transport de charge en présence d'effets thermoélectriques :

La conductivité électrique \gamma étant non nulle, on en déduit immédiatement la relation locale :

Dans le cadre de l'écoulement unidimensionnel selon l'axe (\mathrm{O}x), cette relation vectorielle se projette selon :

En supposant le pouvoir thermoélectrique \alpha constant sur la plage de température considérée, on intègre cette équation différentielle entre x = 0 et x = \ell :

En multipliant par -1 de chaque côté :

On retrouve bien la forme demandée :

Les équations couplées de transport (8) et (9) s'écrivent :

De l'équation (2), on extrait :

En reportant cette relation dans l'expression (1) de \vec{j}_{\mathrm{Q}} :

D'après la question Q35, la conductivité thermique à courant macroscopique nul s'écrit \kappa(T) = \lambda - \alpha^2\gamma T. Par conséquent :

En divisant par la température locale T > 0, la densité volumique de courant d'entropie s'exprime par :

Interprétation de \alpha : En milieu isotherme (\overrightarrow{\operatorname{grad}}\,T = \vec{0}), la relation précédente devient :

Le pouvoir thermoélectrique \alpha représente donc la quantité d'entropie transportée par unité de charge électrique traversant une section du matériau :

Cela est parfaitement cohérent avec la dimension de \alpha :

D'après l'équation (9) de l'énoncé, la densité volumique de courant s'écrit :

On en déduit l'expression du gradient de potentiel :

Rappelons l'expression de la densité de courant d'entropie obtenue à la question Q37 :

En substituant ces deux relations dans l'expression générale du taux de création d'entropie (équation (12)), il vient :

Les deux termes proportionnels à \alpha sont de signes opposés et s'annulent exactement. On obtient ainsi la relation demandée :

Commentaire et conclusion sur la réversibilité :

• L'expression obtenue ne comporte que deux termes strictement positifs (puisque \kappa > 0, \gamma > 0 et T > 0) :

  • un terme de diffusion thermique de Fourier : \kappa \left(\frac{\overrightarrow{\operatorname{grad}}\,T}{T}\right)^2 \ge 0 ;
  • un terme de dissipation par effet Joule : \frac{\vec{j}^2}{T\gamma} = \frac{\rho\,\vec{j}^2}{T} \ge 0.

  Le taux volumique de création d'entropie vérifie donc \frac{\partial s_{\mathrm{c}}}{\partial t} \ge 0, conformément au second principe de la thermodynamique.

• Le coefficient thermoélectrique \alpha n'apparaît plus dans l'expression de \frac{\partial s_{\mathrm{c}}}{\partial t}. Par conséquent, les effets thermoélectriques de couplage (effets Seebeck, Peltier et Thomson) sont intrinsèquement réversibles. L'irréversibilité observée dans les dispositifs réels provient uniquement de la conduction thermique (loi de Fourier) et de la conduction ohmique (effet Joule).

Sur le montage de la figure 5, la différence de potentiel entre les points C et D est mesurée à l'aide d'un voltmètre branché aux bornes du circuit.

Un voltmètre possède une résistance interne (ou impédance d'entrée) R_V extrêmement élevée par rapport aux résistances électriques des barreaux métalliques constitutifs du circuit (R_V \to \infty, typiquement de l'ordre de 10\text{ M}\Omega pour un multimètre numérique usuel).

D'après la loi d'Ohm appliquée à la maille formée par les deux matériaux et le voltmètre, l'intensité I du courant électrique traversant le circuit s'écrit :

où e_{\mathrm{th}} est la force électromotrice d'origine thermoélectrique générée le long du circuit.

Le voltmètre se comporte ainsi comme un circuit ouvert idéal :

dans l'ensemble des conducteurs du dispositif.