Corrigé détaillé X ENS Physique B PC 2026

On étudie la n-ième masse de la chaîne, assimilée à un point matériel de masse m, dans un référentiel galiléen muni de l'axe (Ox) orienté vers la droite. Sa position à l'instant t est repérée par :

La masse n est soumise à l'action des deux ressorts adjacents de raideur \beta et de longueur à vide supposée égale à la distance d'équilibre a :

• la force exercée par le ressort situé à sa gauche (reliant la masse n-1 à la masse n) :

  \vec{F}_{\text{gauche}\to n} = -\beta \left[(x_n - x_{n-1}) - a\right] \vec{e}_x = -\beta(u_n - u_{n-1}) \vec{e}_x

• la force exercée par le ressort situé à sa droite (reliant la masse n à la masse n+1) :

  \vec{F}_{\text{droite}\to n} = \beta \left[(x_{n+1} - x_n) - a\right] \vec{e}_x = \beta(u_{n+1} - u_n) \vec{e}_x

D'après la deuxième loi de Newton projetée sur l'axe (Ox), le déplacement u_n(t) vérifie :

soit finalement :

D'après l'équation du mouvement obtenue à la question 1 :

On cherche une solution sous forme complexe \underline{u_n}(t) = U_0 e^{i(kna-\omega t)}. En dérivant deux fois par rapport au temps :

Les déplacements des masses voisines s'écrivent :

En injectant ces grandeurs dans l'équation différentielle et en simplifiant par \underline{u}_n(t) \neq 0 :

En utilisant la formule trigonométrique rappelée, avec \theta = \frac{ka}{2}, soit 1 - \cos(ka) = 2 \sin^2\left(\frac{ka}{2}\right), il vient :

Par convention physique, la pulsation \omega est positive ou nulle. On obtient ainsi la relation de dispersion :

D'après la relation de dispersion établie à la question 2 :

La fonction sinus vérifiant |\sin(x+\pi)| = |\sin x|, la pulsation \omega(k) est une fonction périodique de k de période :

De façon plus générale, le déplacement physique de la n-ième masse s'écrit \underline{u_n} \propto \mathrm{e}^{i(k n a - \omega t)}. En remplaçant k par k + \frac{2\pi}{a}, le facteur de phase devient :

Tous les états physiques distincts sont donc décrits par des valeurs de k appartenant à un intervalle de largeur \frac{2\pi}{a}.

La première zone de Brillouin étant définie comme la période centrée sur l'origine k=0, elle correspond à l'intervalle :

D'après la question Q2, la pulsation des ondes se propageant dans la chaîne monoatomique s'écrit (en choisissant \omega(k) \ge 0) :

D'après la question Q3, la première zone de Brillouin est définie par k \in \left[-\frac{\pi}{a}, \, \frac{\pi}{a}\right].

Les caractéristiques remarquables du graphe de \omega(k) sur cet intervalle sont :

• Parité : la relation est paire, \omega(-k) = \omega(k).

• Origine : \omega(0) = 0. Au voisinage de k = 0, un développement limité donne :

  \omega(k) \underset{k \to 0}{\sim} a\sqrt{\frac{\beta}{m}}\,|k|.

  Les demi-tangentes à l'origine ont ainsi pour pentes respectives +a\sqrt{\frac{\beta}{m}} pour k > 0 et -a\sqrt{\frac{\beta}{m}} pour k < 0.

• Bords de zone (k = \pm \frac{\pi}{a}) : la pulsation atteint sa valeur maximale (pulsation de coupure) :

  \omega\left(\pm \frac{\pi}{a}\right) = \omega_{\max} = 2\sqrt{\frac{\beta}{m}}.

  La dérivée s'y annule :

  \left.\frac{\mathrm{d}\omega}{\mathrm{d}k}\right|_{k = \pm \frac{\pi}{a}} = 0,

  ce qui correspond à des tangentes horizontales aux frontières de la première zone de Brillouin.

D'après la question 2, pour k > 0 au voisinage de 0, la relation de dispersion s'écrit :

La pente de la relation de dispersion en k = 0^+ vaut ainsi :

Cette pente possède plusieurs significations physiques majeures :

• Vitesse de propagation des ondes acoustiques : dans ce domaine, la vitesse de groupe v_g = \frac{\mathrm{d}\omega}{\mathrm{d}k} et la vitesse de phase v_\varphi = \frac{\omega}{k} coïncident :

  v_g = v_\varphi = c_0 = a\sqrt{\frac{\beta}{m}}

  Le milieu est donc non dispersif à basse fréquence ; c_0 représente la célérité du son (ou d'une onde élastique longitudinale) dans la chaîne.

• Limite continue : la condition k \to 0 correspond à une longueur d'onde grande devant le pas du réseau (\lambda = \frac{2\pi}{k} \gg a). L'onde ne sonde plus la structure discrète de la matière : la chaîne se comporte comme un milieu élastique continu 1D de masse linéique \mu = \frac{m}{a} et de raideur équivalente K = \beta a, où la célérité s'écrit c_0 = \sqrt{\frac{K}{\mu}} = a\sqrt{\frac{\beta}{m}}.

Par définition, la vitesse de groupe d'un paquet d'ondes s'écrit :

D'après la question 2, pour k \in \left[0, \frac{\pi}{a}\right], la relation de dispersion est donnée par :

En dérivant par rapport à k, on obtient pour k \in \left]0, \frac{\pi}{a}\right] :

Par parité de \omega(k), on a de même pour k \in \left[-\frac{\pi}{a}, 0\right[ :

En évaluant cette vitesse aux bords de la première zone de Brillouin, k = \pm \frac{\pi}{a}, l'argument du cosinus vaut \pm \frac{\pi}{2}, d'où :

Signification physique :

• La vitesse de groupe représentant la vitesse de propagation de l'énergie (et de l'enveloppe d'un paquet d'ondes), une vitesse de groupe nulle signifie qu'aucun transport net d'énergie n'a lieu le long de la chaîne.
• L'onde n'est donc plus propagative mais stationnaire. À cette longueur d'onde critique \lambda = \frac{2\pi}{|k|} = 2a, la condition de réflexion de Bragg est vérifiée : l'onde incidente et l'onde réfléchie par le réseau périodique interfèrent de manière totalement destructive pour la propagation, conduisant à des oscillations où deux masses adjacentes sont constamment en opposition de phase (u_n \propto e^{in\pi} = (-1)^n).

7.1. D'après la relation de dispersion obtenue à la question 2 :

Pour k \in \mathbb{R}, le membre de droite est majoré par \omega_{\max}^2 = 4\beta/m. Or, la source impose :

L'équation \sin^2(ka/2) = \alpha^2/4 > 1 n'admet aucune solution réelle. Il est donc indispensable d'introduire un nombre d'onde complexe :

7.2. En choisissant la détermination positive de \omega, l'équation s'écrit \sin\left(\frac{\underline{k}a}{2}\right) = \frac{\alpha}{2}. En posant x = \frac{k'a}{2} et y = \frac{k''a}{2}, la formule trigonométrique fournie donne :

Comme \alpha est réel, la partie imaginaire est nulle :

Comme \alpha > 2, on ne peut avoir y = 0 (sinon \operatorname{ch} y = 1 et \sin x = \alpha/2 > 1, ce qui est impossible pour x \in \mathbb{R}). Donc \operatorname{sh} y \neq 0, ce qui implique :

De plus, la partie réelle donne \sin x \operatorname{ch} y = \alpha/2 > 0. Puisque \operatorname{ch} y \ge 1 > 0, il vient \sin x > 0, d'où \sin x = 1, soit x = \frac{\pi}{2} \pmod{2\pi}. On en déduit :

Dans la première zone de Brillouin \left[-\frac{\pi}{a}, \frac{\pi}{a}\right], la valeur correspondante (aux bords de zone, physiquement équivalents sur le réseau discret car \mathrm{e}^{ik'a} = -1) est :

7.3. Sachant que \sin x = 1, l'équation sur la partie réelle devient \operatorname{ch} y = \frac{\alpha}{2}, soit :

La fonction \operatorname{ch} étant paire et strictement croissante sur \mathbb{R}^+, il existe exactement deux solutions opposées pour k'' :

Le déplacement de la masse n s'écrit alors :

Pour que l'amplitude du mouvement reste bornée et ne diverge pas à l'infini spatial :

• pour n > 0 (vers la droite de la source), on retient la solution avec \boxed{k'' > 0}, de sorte que \mathrm{e}^{-k''na} \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0 ;
• pour n < 0 (vers la gauche de la source), on retient la solution avec \boxed{k'' < 0}, de sorte que \mathrm{e}^{-k''na} = \mathrm{e}^{|k''|na} \xrightarrow[n \to -\infty]{} 0.

L'expression générale s'écrit donc u_n(t) = U_0 (-1)^n \mathrm{e}^{-|k''|\,|n|a} \cos(\omega t).

7.4. À un instant fixé t=0, les déplacements des masses oscillent entre les deux enveloppes \pm U_0 \mathrm{e}^{-|k''|\,|n|a} en changeant de signe d'une masse à la suivante :

7.5. On parle d'onde évanescente (et non propagative) car :

• l'amplitude du mouvement décroît exponentiellement avec la distance à la source au lieu d'avoir un module constant le long de la chaîne ;
• toutes les masses oscillent en phase ou en opposition de phase (onde purement stationnaire amortie) : il n'y a aucun retard de phase progressif ni transport d'énergie mécanique en moyenne dans le temps vers l'infini.

Les gammes de pulsations sont :

D'après la figure de l'énoncé, la position d'équilibre de la n-ième masse est na.

• La masse paire 2n est reliée :

  • à sa gauche, à la masse 2n-1 par un ressort de raideur \beta_2 ;
  • à sa droite, à la masse 2n+1 par un ressort de raideur \beta_1.

• La masse impaire 2n+1 est reliée :

  • à sa gauche, à la masse 2n par un ressort de raideur \beta_1 ;
  • à sa droite, à la masse 2n+2 par un ressort de raideur \beta_2.

On applique le principe fondamental de la dynamique à chaque masse dans le référentiel galiléen du laboratoire, projeté sur l'axe (Ox) :

Pour la masse paire 2n : Elle subit la force de rappel du ressort de gauche et celle du ressort de droite :

L'équation du mouvement s'écrit donc :

soit sous forme développée :

Pour la masse impaire 2n+1 : Elle subit la force de rappel du ressort de gauche (raideur \beta_1) et celle du ressort de droite (raideur \beta_2) :

L'équation du mouvement s'écrit donc :

soit sous forme développée :

D'après la question Q8, les équations du mouvement pour une maille élémentaire s'écrivent :

En introduisant les pulsations caractéristiques \omega_1 = \sqrt{\frac{\beta_1}{m}} et \omega_2 = \sqrt{\frac{\beta_2}{m}}, ces équations deviennent :

On injecte la solution d'onde progressive sous la forme proposée :

Pour les sites voisins 2n-1 et 2n+2, on a :

La dérivée seconde par rapport au temps se traduit par une multiplication par (-\omega)^2 = -\omega^2. En factorisant par \mathrm{e}^{i(2kna-\omega t)}, les équations (1) et (2) deviennent :

En multipliant par -1, on obtient :

Ce système linéaire s'écrit bien sous la forme d'un problème aux valeurs propres pour \omega^2 :

avec la matrice dynamique hermitienne \mathbf{D}(k) explicitée par :

Le problème aux valeurs propres établi à la question Q9 se réécrit sous forme d'un système linéaire homogène :

Ce système admet des amplitudes non nulles (\underline{U_0}, \underline{U_1}) \neq (0,0) si et seulement si son déterminant s'annule :

En utilisant l'expression de la matrice \mathbf{D}(k) :

Ce qui conduit à :

Développons le produit des termes hors-diagonale :

L'équation caractéristique s'écrit donc :

Comme \omega_1^4 + \omega_2^4 + 2\omega_1^2 \omega_2^2 \cos(2ka) \ge (\omega_1^2 - \omega_2^2)^2 \ge 0, on en déduit directement la relation de dispersion :

D'après la relation de dispersion obtenue à la question 10 :

on constate que l'expression de \omega(k) est strictement invariante par permutation de \omega_1 et \omega_2 :

Ainsi, pour une chaîne infinie possédant les mêmes deux raideurs \beta_A et \beta_B, les spectres de dispersion \omega(k) pour \omega_1/\omega_2 = 2/3 et \omega_1/\omega_2 = 3/2 sont rigoureusement identiques. Le spectre de volume (largeurs des bandes passantes et de la bande interdite) ne dépend pas de l'ordre d'alternance des ressorts.

Physiquement, échanger \omega_1 et \omega_2 correspond simplement à :

• décaler la définition de la maille élémentaire d'une distance a le long de la chaîne ;

• inverser le rôle des liaisons intracellulaires (\beta_1) et intercellulaires (\beta_2) :

  • pour \omega_1/\omega_2 = 2/3 < 1, le couplage intracellulaire est plus faible que le couplage intercellulaire (\beta_1 < \beta_2) ;
  • pour \omega_1/\omega_2 = 3/2 > 1, le couplage intracellulaire est plus fort que le couplage intercellulaire (\beta_1 > \beta_2).

En revanche, si les valeurs propres \omega^2 sont identiques, les vecteurs propres \begin{pmatrix} U_0 \\ U_1 \end{pmatrix} sont différents : la structure interne de l'onde (le rapport d'amplitude et le déphasage entre les sous-réseaux pair et impair) est modifiée. Comme le montrera la suite du problème, ces deux configurations correspondent à deux phases topologiques distinctes ; la différence se manifestera de façon spectaculaire en présence de bords ou d'une interface, où des modes localisés pourront apparaître dans un cas mais pas dans l'autre.

D'après la question Q10, la relation de dispersion fait intervenir le nombre d'onde k uniquement à travers le terme \cos(2ka). La fonction \omega(k) est donc périodique en k de période spatiale réciproque :

La première zone de Brillouin étant la période centrée sur l'origine, elle correspond à l'intervalle :

En comparaison avec la chaîne monoatomique (question Q3), pour laquelle la première zone de Brillouin était \left[-\frac{\pi}{a}, \, \frac{\pi}{a}\right] de largeur \frac{2\pi}{a}, la première zone de Brillouin de la chaîne dimérisée est deux fois plus petite (largeur divisée par 2).

La relation de dispersion s'écrit, d'après la question 10 :

où l'indice - correspond à la branche acoustique et l'indice + à la branche optique.

13.1. Solutions pour \omega en k=0

En k = 0, on a \cos(2ka) = 1. Le terme sous le radical se factorise :

d'où :

Les solutions pour \omega \ge 0 sont donc :

13.2. Solutions en bord de zone de Brillouin

Les bords de la première zone de Brillouin sont donnés par k = \pm \frac{\pi}{2a} (question 12), où \cos(2ka) = \cos(\pm \pi) = -1. Le terme sous le radical devient :

Le radical vaut donc |\omega_1^2 - \omega_2^2|. On en déduit :

Les deux valeurs prises aux bords de zone sont donc :

Une bande interdite de largeur |\sqrt{2}\omega_1 - \sqrt{2}\omega_2| sépare les deux branches dès que \omega_1 \neq \omega_2.

13.3. Développement limité en k=0 et vitesse à basse fréquence

Au voisinage de k=0, \cos(2ka) = 1 - 2k^2a^2 + o(k^2). Le terme sous le radical devient :

On obtient ainsi les développements limités :

Pour la branche acoustique à basse fréquence (\omega \to 0), \omega_-(k) \approx c_{\mathrm{bf}}|k|, ce qui donne la vitesse des ondes sonores :

13.4. Pente de la relation de dispersion

La pente correspond à la vitesse de groupe v_g = \frac{\mathrm{d}\omega}{\mathrm{d}k}. En dérivant \omega^2(k) par rapport à k :

• En k=0 :

  • Pour la branche optique (\omega_+(0) \neq 0), le numérateur s'annule proportionnellement à \sin(2ka), d'où :

    \boxed{\left.\frac{\mathrm{d}\omega_+}{\mathrm{d}k}\right|_{k=0} = 0}

  • Pour la branche acoustique (\omega_-(0) = 0), d'après le développement limité en 13.3 :

    \boxed{\left.\frac{\mathrm{d}\omega_-}{\mathrm{d}k}\right|_{k \to 0^+} = +c_{\mathrm{bf}} \quad \text{et} \quad \left.\frac{\mathrm{d}\omega_-}{\mathrm{d}k}\right|_{k \to 0^-} = -c_{\mathrm{bf}}}

• En bord de zone k = \pm \frac{\pi}{2a} :
  On a \sin(2ka) = \sin(\pm \pi) = 0. Comme les pulsations \omega_\pm(\pm \pi/(2a)) sont non nulles pour \omega_1, \omega_2 > 0, la pente est nulle pour les deux branches :

  \boxed{\left.\frac{\mathrm{d}\omega_\pm}{\mathrm{d}k}\right|_{k=\pm \frac{\pi}{2a}} = 0}

D'après l'étude menée à la question Q13, la relation de dispersion présente deux branches dans la première zone de Brillouin k \in \left[-\frac{\pi}{2a}, \frac{\pi}{2a}\right] :

1. Cas dimérisé : \omega_1/\omega_2 = 2/3 En prenant \omega_1 = \frac{2}{3}\omega_2 :

• Au centre de zone (k = 0) :

  • Branche optique : \omega_+(0) = \sqrt{2(\omega_1^2+\omega_2^2)} = \frac{\sqrt{26}}{3}\,\omega_2 \approx 1{,}70\,\omega_2, avec une tangente horizontale \left.\frac{\mathrm{d}\omega_+}{\mathrm{d}k}\right|_{0} = 0.

  • Branche acoustique : \omega_-(0) = 0, avec une pente non nulle :

    \left.\frac{\mathrm{d}\omega_-}{\mathrm{d}k}\right|_{0^\pm} = \pm c_{\mathrm{bf}} = \pm a\sqrt{\frac{2\omega_1^2\omega_2^2}{\omega_1^2+\omega_2^2}} = \pm \sqrt{\frac{8}{13}}\,a\omega_2 \approx \pm 0{,}78\,a\omega_2

• Aux bords de zone (k = \pm \frac{\pi}{2a}) :

  • Branche optique : \omega_+\left(\pm\frac{\pi}{2a}\right) = \sqrt{2}\max(\omega_1,\omega_2) = \sqrt{2}\,\omega_2 \approx 1{,}41\,\omega_2, avec tangente horizontale.
  • Branche acoustique : \omega_-\left(\pm\frac{\pi}{2a}\right) = \sqrt{2}\min(\omega_1,\omega_2) = \frac{2\sqrt{2}}{3}\,\omega_2 \approx 0{,}94\,\omega_2, avec tangente horizontale.

• Il apparaît ainsi une bande interdite de largeur :

  \Delta \omega = \sqrt{2}(\omega_2 - \omega_1) = \frac{\sqrt{2}}{3}\,\omega_2 \approx 0{,}47\,\omega_2

2. Cas homogène : \omega_1/\omega_2 = 1 (\omega_1 = \omega_2 = \omega_0) La chaîne redevient la chaîne monoatomique de pas a, mais décrite dans la cellule double 2a :

• Pour k \in \left[-\frac{\pi}{2a}, \frac{\pi}{2a}\right], les deux branches se simplifient en :

  \omega_+(k) = 2\omega_0 \cos\left(\frac{ka}{2}\right) \quad \text{et} \quad \omega_-(k) = 2\omega_0 \sin\left(\frac{|ka|}{2}\right)
• Au centre de zone (k = 0) : \omega_+(0) = 2\omega_0 (tangente horizontale) et \omega_-(0) = 0 (pente \pm c_0 = \pm a\omega_0).

• Aux bords de zone (k = \pm \frac{\pi}{2a}) :

  \omega_+\left(\pm\frac{\pi}{2a}\right) = \omega_-\left(\pm\frac{\pi}{2a}\right) = \sqrt{2}\,\omega_0 \approx 1{,}41\,\omega_0

  Les deux branches se rejoignent au bord de zone avec des pentes opposées \left.\frac{\mathrm{d}\omega_+}{\mathrm{d}k}\right|_{\pi/(2a)} = -\frac{a\omega_0}{\sqrt{2}} et \left.\frac{\mathrm{d}\omega_-}{\mathrm{d}k}\right|_{\pi/(2a)} = +\frac{a\omega_0}{\sqrt{2}} : le gap est fermé.

15.1. Valeurs possibles de k'

En posant \underline{k} = k' + ik'', l'argument du cosinus s'écrit 2\underline{k}a = 2k'a + i 2k''a. D'après la formule trigonométrique fournie :

Pour que \cos(2\underline{k}a) soit un réel pur, sa partie imaginaire doit s'annuler :

Comme on cherche des solutions non purement réelles (k \notin \mathbb{R}), on a k'' \neq 0, donc \operatorname{sh}(2k''a) \neq 0. On en déduit :

Dans la première zone de Brillouin, qui est l'intervalle \left[-\frac{\pi}{2a}, \frac{\pi}{2a}\right], les valeurs possibles de k' sont :

• pour p = 0 : k' = 0 (centre de zone) ;
• pour p = \pm 1 : k' = \pm \frac{\pi}{2a} (bords de zone, identifiés modulo le vecteur du réseau réciproque \frac{\pi}{a}).

Les deux valeurs physiquement distinctes de k' dans la première zone de Brillouin sont donc :

15.2. Sélection de l'unique solution admissible

Analysons la relation de dispersion établie à la question 10 :

• Cas k' = 0 : On a \cos(2\underline{k}a) = \operatorname{ch}(2k''a) > 1 car k'' \neq 0. Le terme sous la racine vérifie :

  \Delta = \omega_1^4 + \omega_2^4 + 2\omega_1^2\omega_2^2\operatorname{ch}(2k''a) > (\omega_1^2 + \omega_2^2)^2

  Ainsi \sqrt{\Delta} > \omega_1^2 + \omega_2^2.

  • Avec le signe -, \omega^2 = \omega_1^2 + \omega_2^2 - \sqrt{\Delta} < 0, ce qui conduirait à une pulsation imaginaire pure (modes non entretenus sinusoïdalement).
  • Avec le signe +, \omega^2 = \omega_1^2 + \omega_2^2 + \sqrt{\Delta} > 2(\omega_1^2 + \omega_2^2) = \omega_{\max}^2. La pulsation \omega est donc située au-dessus de la bande optique.

  Ce cas est incompatible avec l'intervalle imposé entre \sqrt{2}\omega_1 et \sqrt{2}\omega_2.

• Cas k' = ± \frac{\pi}{2a} : On a \cos(2\underline{k}a) = -\operatorname{ch}(2k''a) < -1. Le discriminant s'écrit :

  \Delta = \omega_1^4 + \omega_2^4 - 2\omega_1^2\omega_2^2\operatorname{ch}(2k''a)

  Pour que \omega soit réelle, il faut \Delta \ge 0, soit 1 < \operatorname{ch}(2k''a) \le \frac{\omega_1^4 + \omega_2^4}{2\omega_1^2\omega_2^2}.
  Dans ce domaine, \Delta varie entre (\omega_1^2 - \omega_2^2)^2 (pour k'' \to 0) et 0. Dès lors :

  0 \le \sqrt{\Delta} < |\omega_1^2 - \omega_2^2|

  Les pulsations permises vérifient alors :

  \omega_1^2 + \omega_2^2 - |\omega_1^2 - \omega_2^2| < \omega^2 < \omega_1^2 + \omega_2^2 + |\omega_1^2 - \omega_2^2|

  soit :

  2\min(\omega_1^2, \omega_2^2) < \omega^2 < 2\max(\omega_1^2, \omega_2^2)

  Ce qui correspond exactement à une pulsation comprise entre \sqrt{2}\omega_1 et \sqrt{2}\omega_2.

Une seule solution est donc possible :

15.3. Forme spatiale des déplacements pour n > 0

Avec k' = \frac{\pi}{2a}, on a 2kna = 2k'na + i 2k''na = n\pi + i 2k''na. Le facteur de phase spatiale devient :

Pour que le déplacement reste physiquement borné lorsque n \to +\infty, il est nécessaire de choisir la racine telle que k'' > 0.

Pour les masses paires, avec la condition initiale u_0(0) = U_0 à t = 0 :

Les déplacements présentent une décroissance exponentielle modulée par une alternance de signe (-1)^n à chaque nouvelle cellule élémentaire (longueur 2a).

D'après les résultats des questions Q10 et Q13 :

• Bandes de propagation (bandes permises, zones grisées sur le diagramme) :
  Ce sont les intervalles de pulsation \omega pour lesquels il existe un nombre d'onde réel k \in \left[-\frac{\pi}{2a}, \frac{\pi}{2a}\right] vérifiant la relation de dispersion. L'onde se propage sans amortissement spatial :

  • Bande acoustique (inférieure) : \omega \in \left[0,\, \sqrt{2}\min(\omega_1, \omega_2)\right] ;
  • Bande optique (supérieure) : \omega \in \left[\sqrt{2}\max(\omega_1, \omega_2),\, \sqrt{2(\omega_1^2 + \omega_2^2)}\right].

• Bandes interdites (zones blanches sur le diagramme) :
  Ce sont les intervalles de pulsation pour lesquels aucune solution à k réel n'existe. Le nombre d'onde est alors nécessairement complexe (k = k' + ik''), ce qui correspond à des ondes évanescentes exponentiellement atténuées dans l'espace :

  • Bande interdite centrale (gap) : \omega \in \left]\sqrt{2}\min(\omega_1, \omega_2),\, \sqrt{2}\max(\omega_1, \omega_2)\right[ ;
  • Bande interdite supérieure : \omega > \sqrt{2(\omega_1^2 + \omega_2^2)}.

Comportement en \dfrac{\omega_1}{\omega_2} = 1 :

Lorsque \dfrac{\omega_1}{\omega_2} = 1, on a \omega_1 = \omega_2 = \omega_0 (soit \beta_1 = \beta_2).

Physiquement, le réseau perd sa dimérisation et redevient la chaîne monoatomique de période spatiale a. Le spectre devient continu de \omega = 0 jusqu'à la pulsation de coupure \omega_{\max} = 2\omega_0.

D'après la question Q9, la matrice dynamique s'écrit :

Calculons la matrice associée à la combinaison linéaire proposée :

Par identification avec les coefficients de \mathbf{D}(k), on obtient :

• Pour les termes diagonaux :

  \boxed{ d_0 = \omega_1^2 + \omega_2^2 }

• Pour les termes hors diagonaux :

  d_x(k) - i\,d_y(k) = -(\omega_1^2 + \omega_2^2 \mathrm{e}^{-i 2ka}) = -\omega_1^2 - \omega_2^2 \cos(2ka) + i\,\omega_2^2 \sin(2ka)

En séparant les parties réelle et imaginaire (puisque d_x(k) et d_y(k) sont réels) :

D'après la question Q17, les composantes du vecteur \vec{d}(k) sont :

On en déduit immédiatement la relation :

La trajectoire de \vec{d}(k) dans le plan (Oxy) est donc un cercle de centre C(-\omega_1^2, 0) et de rayon R = \omega_2^2.

Sens de parcours : posons l'angle de paramétrage \theta = 2ka. Lorsque k croît de -\frac{\pi}{2a} à \frac{\pi}{2a}, \theta varie de -\pi à \pi :

• pour k = -\frac{\pi}{2a} (\theta = -\pi) : le point de départ est d_x = -\omega_1^2 + \omega_2^2 et d_y = 0 (extrémité droite) ;
• pour k \in \left(-\frac{\pi}{2a}, 0\right) (\theta \in (-\pi, 0)) : \sin\theta < 0, d'où d_y(k) > 0. Le point passe par le sommet supérieur en k = -\frac{\pi}{4a} où d_x = -\omega_1^2 et d_y = +\omega_2^2 ;
• pour k = 0 (\theta = 0) : d_x = -\omega_1^2 - \omega_2^2 et d_y = 0 (extrémité gauche) ;
• pour k \in \left(0, \frac{\pi}{2a}\right) (\theta \in (0, \pi)) : \sin\theta > 0, d'où d_y(k) < 0. Le point passe par le sommet inférieur en k = \frac{\pi}{4a} où d_x = -\omega_1^2 et d_y = -\omega_2^2 ;
• pour k = \frac{\pi}{2a} (\theta = \pi) : retour au point de départ (-\omega_1^2 + \omega_2^2, 0).

Le cercle est donc parcouru une fois dans le sens trigonométrique direct (anti-horaire).

Position de l'origine O(0,0) par rapport au cercle : La distance du centre C(-\omega_1^2, 0) à l'origine vaut d(C, O) = \omega_1^2, tandis que le rayon vaut R = \omega_2^2.

• Cas \omega_1 > \omega_2 (\omega_1^2 > \omega_2^2) : d(C, O) > R, l'abscisse maximale du cercle -\omega_1^2 + \omega_2^2 est strictement négative. L'origine O est extérieure au cercle.
• Cas \omega_1 < \omega_2 (\omega_1^2 < \omega_2^2) : d(C, O) < R, l'abscisse maximale -\omega_1^2 + \omega_2^2 est strictement positive. L'origine O est intérieure au cercle.

L'intégrale définissant \nu s'interprète comme la variation totale de l'angle polaire \phi(k) lorsque k parcourt la première zone de Brillouin \left[-\frac{\pi}{2a}, \frac{\pi}{2a}\right] :

D'après la question Q18, lorsque k croît de -\frac{\pi}{2a} à \frac{\pi}{2a}, le vecteur \vec{d}(k) décrit un cercle complet de centre C(-\omega_1^2, 0) et de rayon R = \omega_2^2, parcouru dans le sens trigonométrique. L'invariant \nu correspond à l'indice de l'origine O(0,0) par rapport à ce lacet orienté (nombre de tours effectués autour de l'origine).

• Cas \omega_1 > \omega_2 : L'origine O(0,0) est strictement à l'extérieur du cercle fermé décrit par \vec{d}(k), car le point le plus à droite du cercle a pour abscisse -\omega_1^2 + \omega_2^2 < 0. Le vecteur \vec{d}(k) oscille angulairement sans jamais faire le tour de l'origine. Le lacet fermé n'enveloppant pas O, la variation totale de l'angle sur la période est nulle :

  \Delta \phi = 0 \implies \boxed{\nu = 0}

• Cas \omega_1 < \omega_2 : L'origine O(0,0) est située à l'intérieur du cercle, car -\omega_1^2 + \omega_2^2 > 0 tandis que -\omega_1^2 - \omega_2^2 < 0. En k = -\frac{\pi}{2a}, le vecteur se trouve sur le demi-axe Ox positif en (\omega_2^2 - \omega_1^2, 0), d'où \phi = 0. Lorsque k augmente jusqu'à \frac{\pi}{2a}, le vecteur parcourt le cercle une fois dans le sens direct : l'angle polaire \phi(k) croît continûment de 0 à 2\pi, soit une variation \Delta \phi = 2\pi. Le vecteur effectue exactement un tour dans le sens trigonométrique :

  \Delta \phi = 2\pi \implies \boxed{\nu = 1}

D'après la question Q19, l'invariant topologique d'une chaîne SSH vaut :

Chaîne de droite (n \ge 0) Elle est fixée avec la condition \omega_1^d/\omega_2^d > 1. Son invariant topologique est donc constant sur tout le graphique :

Chaîne de gauche (n < 0) Son invariant topologique dépend de la valeur du rapport \omega_1^g/\omega_2^g :

• Pour \dfrac{\omega_1^g}{\omega_2^g} < 1 :

  \boxed{\nu_g = 1}

  La différence des invariants vaut alors :

  |\nu_g - \nu_d| = |1 - 0| = 1.

• Pour \dfrac{\omega_1^g}{\omega_2^g} > 1 :

  \boxed{\nu_g = 0}

  La différence des invariants vaut alors :

  |\nu_g - \nu_d| = |0 - 0| = 0.

Vérification graphique Sur le diagramme des fréquences propres :

• Pour \omega_1^g/\omega_2^g < 1, on observe effectivement une unique branche de points (un mode propre isolé) traversant la zone blanche (le gap spectral) entre les deux continua d'états de volume grisés. Le nombre de solutions dans la zone blanche est donc égal à 1.
• Pour \omega_1^g/\omega_2^g > 1, la zone blanche ne comporte aucun état propre. Le nombre de solutions dans le gap est donc égal à 0.

Dans les deux domaines, le nombre d'états propres dans la zone blanche est ainsi rigoureusement égal à :

Pour la valeur \omega_1^g/\omega_2^g = 0{,}7 < 1, la pulsation propre isolée se trouve dans la zone blanche du spectre, c'est-à-dire au sein de la bande interdite (gap) commune aux deux milieux semi-infinis.

D'après l'étude menée à la question 15, une onde de pulsation située dans la bande interdite ne peut pas se propager dans le volume (k \notin \mathbb{R}) : elle est purement évanescente. Les déplacements s'écrivent donc sous la forme d'ondes spatialement amorties :

• pour la chaîne de droite (n \ge 0), l'amplitude décroît exponentiellement vers la droite :

  u_n(t) \propto (-1)^n \mathrm{e}^{-\kappa_d n a} \, \mathrm{e}^{-i\omega t} \quad (\kappa_d > 0) ;

• pour la chaîne de gauche (n < 0), l'amplitude décroît exponentiellement vers la gauche :

  u_n(t) \propto (-1)^n \mathrm{e}^{+\kappa_g n a} \, \mathrm{e}^{-i\omega t} \quad (\kappa_g > 0).

L'amplitude maximale est atteinte à la jonction entre les deux chaînes (n = 0), et le mode est confiné au voisinage immédiat de cette frontière.

On parle de mode de bord (ou état d'interface) car :

• son énergie mécanique est spatialement piégée à la frontière (le bord de chaque domaine semi-infini) séparant deux phases de topologies distinctes ;
• il ne pénètre pas au cœur du matériau (le volume), où toute propagation à cette fréquence est interdite.

Le système (1) gouverne l'hydrodynamique d'une couche fluide en eau peu profonde (shallow water) dans le référentiel terrestre tournant :

1. La première équation :

   \frac{\partial h}{\partial t} + \operatorname{div}(h \vec{u}) = 0

   est l'équation de conservation de la masse (ou équation de continuité), intégrée sur la hauteur de la colonne de fluide pour un fluide incompressible de masse volumique \rho constante (la masse par unité de surface horizontale étant proportionnelle à h).

2. La seconde équation :

   \frac{\partial \vec{u}}{\partial t} + (\vec{u} \cdot \vec{\operatorname{grad}}) \vec{u} = -g \, \vec{\operatorname{grad}} h + \vec{F}_c

   est l'équation de Navier-Stokes pour un fluide non visqueux (c'est-à-dire l'équation d'Euler ou de bilan de quantité de mouvement) écrite dans le référentiel terrestre tournant (non galiléen). Le terme d'accélération convective (\vec{u} \cdot \vec{\operatorname{grad}})\vec{u} est conservé, le terme -g \, \vec{\operatorname{grad}} h résulte du gradient horizontal de pression sous l'approximation hydrostatique, et \vec{F}_c est l'accélération complémentaire due à la force de Coriolis par unité de masse.

Ensemble, ces deux équations constituent les équations de Saint-Venant (ou équations d'eau peu profonde).

Le vecteur rotation propre de la Terre \vec{\Omega} est dirigé selon l'axe Sud-Nord, orthogonalement au plan équatorial. Par définition de la latitude \hat{\ell}, l'angle entre le plan équatorial et la verticale locale ascendante \vec{e}_z vaut \hat{\ell}.

L'angle entre le vecteur rotation \vec{\Omega} et le vecteur unitaire \vec{e}_z est donc la colatitude :

Le produit scalaire s'écrit ainsi :

On en déduit l'expression du paramètre de Coriolis f :

À l'équateur (\hat{\ell} = 0) :

• le paramètre de Coriolis s'annule : \boxed{f = 0} ;
• la composante horizontale de la force de Coriolis agissant sur les écoulements horizontaux s'annule identiquement : \vec{F}_c = -f \vec{e}_z \wedge \vec{u} = \vec{0}.

L'hypothèse d'écoulement horizontal implique que la composante verticale de la vitesse est nulle, soit :

Le repère local (\vec{e}_x, \vec{e}_y, \vec{e}_z) étant orthonormé direct, les produits vectoriels des vecteurs de base vérifient :

Il vient ainsi pour le terme de Coriolis \vec{F}_c = -f\,\vec{e}_z \wedge \vec{u} :

Les trois composantes de \vec{F}_c dans la base (\vec{e}_x, \vec{e}_y, \vec{e}_z) s'écrivent donc :

Les grandeurs perturbées \eta, u et v sont du premier ordre devant les grandeurs d'équilibre (H et vitesse nulle au repos). Tout produit de deux grandeurs perturbées est donc du second ordre et sera négligé.

1. Équation de conservation de la masse : Avec h(x,y,t) = H + \eta(x,y,t) où H est une constante :

Le flux de masse volumique surfacique s'écrit :

Comme le mouvement est purement horizontal dans le plan (\vec{e}_x, \vec{e}_y), \vec{u} = u\,\vec{e}_x + v\,\vec{e}_y, soit :

Au premier ordre, l'équation de continuité devient :

2. Équation du mouvement : Le terme d'accélération convective est quadratique en vitesse :

Le gradient de hauteur libre se réduit à :

En utilisant l'expression de la force de Coriolis établie à la question Q24, \vec{F}_c = f v\,\vec{e}_x - f u\,\vec{e}_y (déjà d'ordre 1), l'équation de Navier-Stokes linéarisée s'écrit :

En projetant suivant les vecteurs unitaires \vec{e}_x et \vec{e}_y, on obtient :

Système d'équations linéarisé : Le système régissant la dynamique des oscillations de faible amplitude est donc :

D'après la question Q25, le système linéarisé décrivant les oscillations de faible amplitude s'écrit, sous l'hypothèse de Kelvin où f(\hat{\ell}) = f_0 est constant :

On cherche des solutions sous forme d'ondes planes en notation complexe :

Les dérivées partielles agissant sur chaque composante se traduisent par :

En substituant dans le système et après simplification par le facteur \mathrm{e}^{i(k_x x + k_y y - \omega t)} non nul :

En multipliant chacune de ces trois équations par i (puisqu'i(-i) = 1 et i^2 = -1), on isole \omega au membre de gauche :

Ce système se réécrit sous forme matricielle :

qui est bien un problème aux valeurs propres de la forme :

avec la matrice :

L'équation aux valeurs propres \mathbf{M}\underline{\Psi_0} = \omega \underline{\Psi_0} admet des solutions non nulles si et seulement si :

En injectant l'expression de la matrice \mathbf{M} obtenue à la question Q26 :

Développons ce déterminant suivant la première ligne :

Les parties imaginaires se compensent exactement, ce qui conduit à l'équation séculaire :

On en déduit deux types de solutions, correspondant à trois branches :

• une branche stationnaire (mode géostrophique) :

  \omega = 0 ;

• deux branches dispersives et propagatives (modes d'inertie-gravité ou ondes de Poincaré) :

  \omega^2 = f_0^2 + g H (k_x^2 + k_y^2).

En s'autorisant les pulsations positives et négatives, les trois relations de dispersion s'écrivent :

D'après la question Q27, les branches propagatives obéissent à la relation de dispersion :

où k = \sqrt{k_x^2 + k_y^2} représente le nombre d'onde horizontal.

À haute fréquence, c'est-à-dire pour \omega \gg |f_0| (ou gH k^2 \gg f_0^2, ce qui correspond à des longueurs d'onde très inférieures au rayon de déformation de Rossby), le terme lié à la rotation terrestre devient négligeable devant le terme d'onde de gravité :

Dans ce régime asymptotique, le milieu devient non dispersif. La vitesse de phase v_\varphi = \frac{\omega}{k} et la vitesse de groupe v_g = \frac{\mathrm{d}\omega}{\mathrm{d}k} coïncident et définissent la vitesse de propagation c :

D'après les résultats des questions Q27 et Q28, pour k_y = 0, les pulsations propres \omega vérifient :

On obtient trois branches distinctes :

Distinguons les trois cas demandés :

• Cas f_0 = 1 et f_0 = -1 : Puisque f_0 n'intervient que par son carré f_0^2 = (\pm 1)^2 = 1, les relations de dispersion sont rigoureusement identiques pour ces deux cas :

  \omega^{(0)} = 0, \qquad \omega^{(\pm)} = \pm \sqrt{1 + c^2 k_x^2}.

  Les branches non-constantes sont des hyperboles présentant un extremum en k_x = 0 valant \omega = \pm 1, avec des asymptotes de pentes \pm c pour k_x \to \pm\infty.

• Cas f_0 = 0 : Le paramètre de Coriolis s'annule (situation équatoriale) :

  \omega^{(0)} = 0, \qquad \omega^{(\pm)} = \pm c |k_x|.

  En s'autorisant les fréquences négatives, les deux branches dynamiques forment simplement les deux droites sécantes \omega = c k_x et \omega = -c k_x.