Feuille d'entraînement : Dispersion, paquets d'ondes et chaînes d'oscillateurs

Corrigés

1. Exercice 1E3A Physique-Chimie PC 2026, Q21

   1. Définitions des vitesses de phase et de groupe

   • La vitesse de phase v_\varphi est la vitesse de propagation des surfaces d'égale phase (crêtes ou creux de l'onde pour une onde monochromatique) :

     v_\varphi = \frac{\omega}{k}

   • La vitesse de groupe v_g est la vitesse de propagation de l'enveloppe d'un paquet d'ondes, correspondant à la vitesse de transport de l'énergie :

     v_g = \frac{\mathrm{d}\omega}{\mathrm{d}k}

   2. Expressions en fonction de g et k

   D'après la relation de dispersion établie à la question Q20 :

   \omega(k) = \sqrt{g k} = g^{1/2} k^{1/2}

   On en déduit l'expression de la vitesse de phase :

   v_\varphi = \frac{\sqrt{gk}}{k} = \sqrt{\frac{g}{k}}

   \boxed{v_\varphi = \sqrt{\frac{g}{k}}}

   Puis l'expression de la vitesse de groupe par dérivation :

   v_g = \frac{\mathrm{d}\omega}{\mathrm{d}k} = \frac{1}{2} g^{1/2} k^{-1/2} = \frac{1}{2}\sqrt{\frac{g}{k}}

   \boxed{v_g = \frac{1}{2}\sqrt{\frac{g}{k}}}

   3. Relation reliant les deux vitesses

   En comparant directement les deux expressions obtenues :

   \boxed{v_g = \frac{1}{2} v_\varphi}

   Résultat

   $$v_{\phi }=\sqrt{\frac{g}{k}}$$

   $$v_g=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{g}{k}}$$

   $$v_g=\frac{1}{2}{v}_{\phi }$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

2. Exercice 2X-ENS Physique B PC 2026, Q1

   On étudie la n-ième masse de la chaîne, assimilée à un point matériel de masse m, dans un référentiel galiléen muni de l'axe (Ox) orienté vers la droite. Sa position à l'instant t est repérée par :

   x_n(t) = n a + u_n(t)

   La masse n est soumise à l'action des deux ressorts adjacents de raideur \beta et de longueur à vide supposée égale à la distance d'équilibre a :

   • la force exercée par le ressort situé à sa gauche (reliant la masse n-1 à la masse n) :

     \vec{F}_{\text{gauche}\to n} = -\beta \left[(x_n - x_{n-1}) - a\right] \vec{e}_x = -\beta(u_n - u_{n-1}) \vec{e}_x

   • la force exercée par le ressort situé à sa droite (reliant la masse n à la masse n+1) :

     \vec{F}_{\text{droite}\to n} = \beta \left[(x_{n+1} - x_n) - a\right] \vec{e}_x = \beta(u_{n+1} - u_n) \vec{e}_x

   D'après la deuxième loi de Newton projetée sur l'axe (Ox), le déplacement u_n(t) vérifie :

   m \frac{\mathrm{d}^2 u_n}{\mathrm{d}t^2} = \beta(u_{n+1} - u_n) - \beta(u_n - u_{n-1})

   soit finalement :

   \boxed{m \frac{\mathrm{d}^2 u_n}{\mathrm{d}t^2} = \beta (u_{n+1} + u_{n-1} - 2u_n)}

   Résultat

   $$m\frac{{\mathrm{d}}^2{u}_n}{\mathrm{d}{t}^2}=\beta (u_{n+1}+u_{n-1}-2u_n)$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

3. Exercice 3X-ENS Physique B PC 2026, Q2

   D'après l'équation du mouvement obtenue à la question 1 :

   m \frac{\mathrm{d}^2 u_n}{\mathrm{d}t^2} = \beta (u_{n+1} + u_{n-1} - 2u_n)

   On cherche une solution sous forme complexe \underline{u_n}(t) = U_0 e^{i(kna-\omega t)}. En dérivant deux fois par rapport au temps :

   \frac{\mathrm{d}^2 \underline{u_n}}{\mathrm{d}t^2} = -\omega^2 \underline{u_n}(t)

   Les déplacements des masses voisines s'écrivent :

   \begin{aligned} \underline{u}_{n+1}(t) &= U_0 e^{i(k(n+1)a-\omega t)} = \underline{u}_n(t) e^{ika} \\ \underline{u}_{n-1}(t) &= U_0 e^{i(k(n-1)a-\omega t)} = \underline{u}_n(t) e^{-ika} \end{aligned}

   En injectant ces grandeurs dans l'équation différentielle et en simplifiant par \underline{u}_n(t) \neq 0 :

   \begin{aligned} -m \omega^2 &= \beta \left(e^{ika} + e^{-ika} - 2\right) \\ -m \omega^2 &= 2\beta \left(\cos(ka) - 1\right) \end{aligned}

   En utilisant la formule trigonométrique rappelée, avec \theta = \frac{ka}{2}, soit 1 - \cos(ka) = 2 \sin^2\left(\frac{ka}{2}\right), il vient :

   m \omega^2 = 4\beta \sin^2\left(\frac{ka}{2}\right) \implies \omega^2 = \frac{4\beta}{m}\sin^2\left(\frac{ka}{2}\right)

   Par convention physique, la pulsation \omega est positive ou nulle. On obtient ainsi la relation de dispersion :

   \boxed{\omega(k) = 2\sqrt{\frac{\beta}{m}} \left|\sin\left(\frac{ka}{2}\right)\right|}

   Résultat

   $$\omega (k)=2\sqrt{\frac{\beta }{m}}\left|\sin \left(\frac{ka}{2}\right)\right|$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

4. Exercice 4X-ENS Physique B PC 2026, Q5

   D'après la question 2, pour k > 0 au voisinage de 0, la relation de dispersion s'écrit :

   \omega(k) = 2\sqrt{\frac{\beta}{m}} \sin\left(\frac{ka}{2}\right) \underset{k \to 0^+}{=} 2\sqrt{\frac{\beta}{m}} \left(\frac{ka}{2} + \mathcal{O}(k^3)\right) = a\sqrt{\frac{\beta}{m}} \, k + \mathcal{O}(k^3)

   La pente de la relation de dispersion en k = 0^+ vaut ainsi :

   \boxed{c_0 = \left. \frac{\mathrm{d}\omega}{\mathrm{d}k} \right|_{k \to 0^+} = a\sqrt{\frac{\beta}{m}}}

   Cette pente possède plusieurs significations physiques majeures :

   • Vitesse de propagation des ondes acoustiques : dans ce domaine, la vitesse de groupe v_g = \frac{\mathrm{d}\omega}{\mathrm{d}k} et la vitesse de phase v_\varphi = \frac{\omega}{k} coïncident :

     v_g = v_\varphi = c_0 = a\sqrt{\frac{\beta}{m}}

     Le milieu est donc non dispersif à basse fréquence ; c_0 représente la célérité du son (ou d'une onde élastique longitudinale) dans la chaîne.

   • Limite continue : la condition k \to 0 correspond à une longueur d'onde grande devant le pas du réseau (\lambda = \frac{2\pi}{k} \gg a). L'onde ne sonde plus la structure discrète de la matière : la chaîne se comporte comme un milieu élastique continu 1D de masse linéique \mu = \frac{m}{a} et de raideur équivalente K = \beta a, où la célérité s'écrit c_0 = \sqrt{\frac{K}{\mu}} = a\sqrt{\frac{\beta}{m}}.

   Résultat

   $$c_0={\frac{\mathrm{d}\omega }{\mathrm{d}k}|}_{k\to 0^{+}}=a\sqrt{\frac{\beta }{m}}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

5. Exercice 5CentraleSupélec Physique 2 PC 2025, Q19

   Considérons la maille associée à la cavité n. Elle est parcourue par le courant de maille i_n(t) et est constituée :

   • d'une bobine d'inductance L, aux bornes de laquelle la tension vaut :

     u_{L,n} = L \frac{\mathrm{d}i_n}{\mathrm{d}t}

   • d'un condensateur propre de capacité C, parcouru par l'intensité i_n(t), dont la tension u_n vérifie :

     i_n = C \frac{\mathrm{d}u_n}{\mathrm{d}t} \implies \frac{\mathrm{d}u_n}{\mathrm{d}t} = \frac{i_n}{C}

   • d'un condensateur de couplage de capacité C_c partagé avec la maille n-1, parcouru par le courant net (i_n - i_{n-1}) dans le sens de circulation de la maille n, de sorte que sa tension vérifie :

     \frac{\mathrm{d}u_{C,n-1}}{\mathrm{d}t} = \frac{i_n - i_{n-1}}{C_c}

   • d'un condensateur de couplage de capacité C_c partagé avec la maille n+1, parcouru par le courant net (i_n - i_{n+1}) dans le sens de circulation de la maille n, de sorte que sa tension vérifie :

     \frac{\mathrm{d}u_{C,n}}{\mathrm{d}t} = \frac{i_n - i_{n+1}}{C_c}

   En convention récepteur, la loi des mailles appliquée à la maille n s'écrit :

   u_{L,n} + u_n + u_{C,n-1} + u_{C,n} = 0

   En dérivant cette relation par rapport au temps t, on obtient :

   \frac{\mathrm{d}u_{L,n}}{\mathrm{d}t} + \frac{\mathrm{d}u_n}{\mathrm{d}t} + \frac{\mathrm{d}u_{C,n-1}}{\mathrm{d}t} + \frac{\mathrm{d}u_{C,n}}{\mathrm{d}t} = 0

   Soit en remplaçant par les expressions des dérivées des tensions :

   L \frac{\mathrm{d}^2 i_n}{\mathrm{d}t^2} + \frac{i_n}{C} + \frac{i_n - i_{n-1}}{C_c} + \frac{i_n - i_{n+1}}{C_c} = 0

   En regroupant les termes selon les courants i_{n-1}, i_n et i_{n+1}, on aboutit à la relation différentielle :

   \boxed{L \frac{\mathrm{d}^2 i_n}{\mathrm{d}t^2} + \left(\frac{1}{C} + \frac{2}{C_c}\right) i_n - \frac{1}{C_c}(i_{n-1} + i_{n+1}) = 0}

   Résultat

   $$L\frac{{\mathrm{d}}^2{i}_n}{\mathrm{d}{t}^2}+\left(\frac{1}{C}+\frac{2}{C_c}\right)i_n-\frac{1}{C_c}(i_{n-1}+i_{n+1})=0$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

6. Exercice 6CentraleSupélec Physique 2 PC 2025, Q20

   D'après la question Q19, la relation couplant les intensités dans les cavités successives distantes de H s'écrit :

   L \frac{\mathrm{d}^2 i_n}{\mathrm{d}t^2} + \left(\frac{1}{C} + \frac{2}{C_c}\right) i_n - \frac{1}{C_c}(i_{n-1} + i_{n+1}) = 0

   En introduisant la capacité équivalente \Gamma définie par \dfrac{1}{\Gamma} = \dfrac{1}{C} + \dfrac{2}{C_c}, cette équation devient :

   L \frac{\mathrm{d}^2 i_n}{\mathrm{d}t^2} + \frac{1}{\Gamma} i_n - \frac{1}{C_c}(i_{n-1} + i_{n+1}) = 0

   On recherche les modes propres de cette structure périodique discrète de pas spatial H sous la forme d'une onde harmonique progressive :

   \underline{i}_n(t) = \underline{I}_0 \, \mathrm{e}^{\mathrm{j}(\Omega t - k n H)}

   La dérivée temporelle seconde de \underline{i}_n s'écrit :

   \frac{\mathrm{d}^2 \underline{i}_n}{\mathrm{d}t^2} = -\Omega^2 \, \underline{i}_n

   Pour les mailles voisines n-1 et n+1, la somme des intensités vaut :

   \begin{aligned} \underline{i}_{n-1} + \underline{i}_{n+1} &= \underline{I}_0 \, \mathrm{e}^{\mathrm{j}(\Omega t - k n H)} \left( \mathrm{e}^{\mathrm{j} k H} + \mathrm{e}^{-\mathrm{j} k H} \right) \\ &= 2 \cos(kH) \, \underline{i}_n \end{aligned}

   En injectant ces relations dans l'équation différentielle, on obtient :

   \left( -L \Omega^2 + \frac{1}{\Gamma} - \frac{2}{C_c}\cos(kH) \right) \underline{i}_n = 0

   Pour une solution non triviale (\underline{i}_n \neq 0), la relation de dispersion s'en déduit :

   \begin{aligned} L \Omega^2 &= \frac{1}{\Gamma} \left( 1 - \frac{2\Gamma}{C_c} \cos(kH) \right) \\ \Omega^2 &= \frac{1}{\Gamma L} \left( 1 - \frac{2\Gamma}{C_c} \cos(kH) \right) \end{aligned}

   En posant \Omega_a^2 = \dfrac{1}{\Gamma L} et \beta = \dfrac{2\Gamma}{C_c}, on retrouve bien :

   \boxed{\Omega^2 = \Omega_a^2 \big(1 - \beta \cos(kH)\big)}

   avec

   \boxed{\Omega_a^2 = \frac{1}{\Gamma L}, \quad \beta = \frac{2\Gamma}{C_c} \quad \text{et} \quad \frac{1}{\Gamma} = \frac{1}{C} + \frac{2}{C_c}}

   Résultat

   $${\Omega }^2={\Omega }_a^2(1-\beta \cos (kH))$$

   $${\Omega }_a^2=\frac{1}{\Gamma L},\beta =\frac{2\Gamma }{C_c}\text{et}\frac{1}{\Gamma }=\frac{1}{C}+\frac{2}{C_c}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

7. Exercice 7ENS Physique-Chimie L PC 2025, Q17

   La description discrète de la chaîne par la suite des positions \{x_n(t)\} des centres des billes est acceptable sous deux conditions physiques équivalentes (l'une géométrique, l'autre temporelle) :

   1. Condition de déformation localisée (géométrique) :
      Le recouvrement \delta_n entre deux billes successives doit être très faible devant le diamètre a d'une bille :

      \delta_n \ll a

      Les déformations élastiques restent alors infinitésimales et très localisées au voisinage immédiat des zones de contact. Le reste de la bille n'est pas déformé et se déplace en bloc, autorisant ainsi l'assimilation de chaque bille à un solide indéformable de masse m, repéré par l'abscisse de son centre de masse x_n(t).

   2. Condition quasi-statique (temporelle) :
      Le temps caractéristique de transit d'une onde élastique volumique au travers d'une bille, \tau_{\text{transit}} \sim a / c_{\text{son}}, doit être très court devant la durée caractéristique \tau de la sollicitation mécanique (temps de passage de l'onde ou durée du contact) :

      \tau_{\text{transit}} \sim \frac{a}{c_{\text{son}}} \ll \tau

      Cette condition assure que les déformations internes s'adaptent instantanément à l'échelle de la bille sans exciter de modes propres de vibration volumique internes.

   Indice, stratégie et pièges de cette question

8. Exercice 8ENS Physique-Chimie L PC 2025, Q21

   La vitesse de phase v_\phi d'une onde est la vitesse de déplacement, dans la direction de propagation, d'une surface ou d'un point d'état vibratoire (ou de phase) constant. Pour une onde se propageant selon l'axe (Ox), elle correspond à la vitesse à laquelle se déplace un motif remarquable (crête, creux, plan d'onde) au cours du temps :

   \left. \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} \right|_{\text{phase cste}} = v_\phi

   D'après le système d'équations (8), le champ de déplacement s'écrit sous la forme d'une onde progressive se propageant vers les x croissants :

   u(x,t) = F(\theta) \quad \text{avec} \quad \theta = \frac{x - c\,t}{L_0}

   Une condition de phase constante correspond à \theta = \text{cste}, soit :

   x - c\,t = \text{cste}

   En dérivant cette relation par rapport au temps, on identifie directement la vitesse de phase :

   v_\phi = \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} = c

   En introduisant l'expression de la célérité c donnée à l'équation (8), il vient :

   \boxed{v_\phi = c = \sqrt{\frac{24}{5\pi}}\,A^{1/4} c_{\mathrm{son}} = \sqrt{\frac{24}{5\pi}}\,A^{1/4} \sqrt{\frac{Y}{\rho}}}

   Résultat

   $$v_{\varphi }=c=\sqrt{\frac{24}{5\pi }}{A}^{1/4}{c}_{\mathrm{son}}=\sqrt{\frac{24}{5\pi }}{A}^{1/4}\sqrt{\frac{Y}{\rho }}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

9. Exercice 9CentraleSupélec Physique 1 PC 2024, Q43

   Dans l'approximation de l'eau profonde (kh \gg 1), on a :

   \lim_{kh \to +\infty} \tanh(kh) = 1

   La relation de dispersion établie à la question Q42, \omega^2 = gk \tanh(kh), se simplifie en :

   \omega^2 = gk

   Comme la pulsation \omega et le nombre d'onde k sont positifs pour une onde se propageant dans le sens des x croissants, on obtient :

   \boxed{\omega(k) = \sqrt{gk}}

   La vitesse de phase de l'onde est définie par :

   v_\varphi = \frac{\omega}{k} = \frac{\sqrt{gk}}{k}

   \boxed{v_\varphi = \sqrt{\frac{g}{k}}}

   La vitesse de groupe est la dérivée de la pulsation par rapport au nombre d'onde :

   v_g = \frac{\mathrm{d}\omega}{\mathrm{d}k} = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}k}\left(\sqrt{g}\,k^{1/2}\right) = \frac{1}{2}\sqrt{\frac{g}{k}}

   \boxed{v_g = \frac{1}{2}\sqrt{\frac{g}{k}} = \frac{v_\varphi}{2}}

   La vitesse de phase dépend du nombre d'onde k (ou de manière équivalente, v_g \neq v_\varphi), par conséquent :

   le phénomène de propagation de la houle en eau profonde est dispersif.

   Résultat

   $$\omega (k)=\sqrt{gk}$$

   $$v_{\phi }=\sqrt{\frac{g}{k}}$$

   $$v_g=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{g}{k}}=\frac{v_{\phi }}{2}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

10. Exercice 10CentraleSupélec Physique 1 PC 2024, Q45

    D'après la question Q42, la relation de dispersion de la houle sans vent s'écrit :

    \omega^2 = gk \tanh(kh)

    Au voisinage des rivages, dans l'approximation des eaux peu profondes (kh \ll 1), on a :

    \tanh(kh) \underset{kh \to 0}{=} kh + \mathcal{O}\left((kh)^3\right)

    En ne conservant que le premier ordre, la relation de dispersion devient :

    \omega^2 \approx gk \times kh = gh\,k^2

    Comme \omega > 0 et k > 0, la pulsation s'écrit linéairement en fonction de k :

    \boxed{\omega = k\sqrt{gh}}

    On en déduit l'expression de la vitesse de phase :

    v_\varphi = \frac{\omega}{k} = \sqrt{gh}

    et celle de la vitesse de groupe :

    v_g = \frac{\mathrm{d}\omega}{\mathrm{d}k} = \sqrt{gh}

    soit :

    \boxed{v_\varphi = v_g = \sqrt{gh}}

    Résultat

    $$\omega =k\sqrt{gh}$$

    $$v_{\phi }=v_g=\sqrt{gh}$$

    Indice, stratégie et pièges de cette question