Feuille d'entraînement : Dynamique des fluides parfaits

Corrigés

1. Exercice 1X-ENS Physique B PC 2026, Q22

   Le système (1) gouverne l'hydrodynamique d'une couche fluide en eau peu profonde (shallow water) dans le référentiel terrestre tournant :

   1. La première équation :

      \frac{\partial h}{\partial t} + \operatorname{div}(h \vec{u}) = 0

      est l'équation de conservation de la masse (ou équation de continuité), intégrée sur la hauteur de la colonne de fluide pour un fluide incompressible de masse volumique \rho constante (la masse par unité de surface horizontale étant proportionnelle à h).

   2. La seconde équation :

      \frac{\partial \vec{u}}{\partial t} + (\vec{u} \cdot \vec{\operatorname{grad}}) \vec{u} = -g \, \vec{\operatorname{grad}} h + \vec{F}_c

      est l'équation de Navier-Stokes pour un fluide non visqueux (c'est-à-dire l'équation d'Euler ou de bilan de quantité de mouvement) écrite dans le référentiel terrestre tournant (non galiléen). Le terme d'accélération convective (\vec{u} \cdot \vec{\operatorname{grad}})\vec{u} est conservé, le terme -g \, \vec{\operatorname{grad}} h résulte du gradient horizontal de pression sous l'approximation hydrostatique, et \vec{F}_c est l'accélération complémentaire due à la force de Coriolis par unité de masse.

   Ensemble, ces deux équations constituent les équations de Saint-Venant (ou équations d'eau peu profonde).

   Indice, stratégie et pièges de cette question

2. Exercice 2CentraleSupélec Physique 1 PC 2024, Q31

   Le champ des vitesses dans l'eau s'écrit \vec{v}_1 = u_1(x,z,t)\,\vec{u}_x + w_1(x,z,t)\,\vec{u}_z (l'écoulement étant invariant par translation selon Oy). Par définition du potentiel des vitesses, \vec{v}_1 = \vec{\operatorname{grad}}\,\varphi_1, ce qui donne pour les composantes :

   \boxed{u_1(x,z,t) = \frac{\partial \varphi_1}{\partial x}(x,z,t) \quad \text{et} \quad w_1(x,z,t) = \frac{\partial \varphi_1}{\partial z}(x,z,t)}

   En z = -h, le fond océanique est modélisé par une paroi solide, plane, horizontale et fixe. L'eau étant considérée comme un fluide parfait, la condition aux limites est la condition d'imperméabilité (ou de non-pénétration) : la composante normale de la vitesse du fluide doit être égale à celle de la paroi, soit nulle ici :

   \vec{v}_1(x, -h, t) \cdot \vec{u}_z = w_1(x, -h, t) = 0

   En introduisant le potentiel des vitesses, on en déduit la condition limite portant sur \varphi_1 :

   \boxed{\frac{\partial \varphi_1}{\partial z}(x, -h, t) = 0}

   Résultat

   $$u_1(x,z,t)=\frac{\partial {\phi }_1}{\partial x}(x,z,t)\text{et}{w}_1(x,z,t)=\frac{\partial {\phi }_1}{\partial z}(x,z,t)$$

   $$\frac{\partial {\phi }_1}{\partial z}(x,-h,t)=0$$

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3. Exercice 3Mines-Ponts Physique 1 PC 2024, Q18

   L'écoulement est supposé :

   • stationnaire (régime permanent avec h_{\mathrm{e}}(t) = h_{\mathrm{e},0} = \text{cte}) ;
   • incompressible et homogène (masse volumique \rho_{\mathrm{e}} constante) ;
   • parfait (dissipation visqueuse négligée) ;
   • placé dans le champ de pesanteur uniforme \vec{g} = -g\,\widehat{u}_z.

   Le théorème de Bernoulli s'applique donc le long d'une ligne de courant reliant un point \mathrm{A} de la surface libre du spa à un point \mathrm{B} situé à la section de sortie du tuyau d'arrosage :

   P_{\mathrm{A}} + \rho_{\mathrm{e}} g z_{\mathrm{A}} + \frac{1}{2}\rho_{\mathrm{e}} v_{\mathrm{s}}^2 = P_{\mathrm{B}} + \rho_{\mathrm{e}} g z_{\mathrm{B}} + \frac{1}{2}\rho_{\mathrm{e}} v_{\mathrm{t}}^2

   En choisissant l'axe vertical (Oz) orienté vers le haut avec l'origine z = 0 au niveau de l'axe du tuyau horizontal posé au sol :

   • à la surface libre (point \mathrm{A}) : z_{\mathrm{A}} = h_{\mathrm{e},0}, et la pression est égale à la pression atmosphérique : P_{\mathrm{A}} = P_0 ;
   • au débouché du tuyau à l'air libre (point \mathrm{B}) : z_{\mathrm{B}} = 0, et le jet débouchant impose : P_{\mathrm{B}} = P_0.

   D'après la question Q17, la conservation du débit volumique donne :

   v_{\mathrm{s}} = \left(\frac{d_{\mathrm{t}}}{d_{\mathrm{int}}}\right)^2 v_{\mathrm{t}}

   Comme le diamètre intérieur du tuyau est très petit devant celui du spa (d_{\mathrm{t}} \ll d_{\mathrm{int}}), on a :

   v_{\mathrm{s}}^2 = \left(\frac{d_{\mathrm{t}}}{d_{\mathrm{int}}}\right)^4 v_{\mathrm{t}}^2 \ll v_{\mathrm{t}}^2

   On peut donc légitimement négliger le terme cinétique \frac{1}{2}\rho_{\mathrm{e}}v_{\mathrm{s}}^2 devant \frac{1}{2}\rho_{\mathrm{e}}v_{\mathrm{t}}^2.

   La relation de Bernoulli se simplifie ainsi en :

   \rho_{\mathrm{e}} g h_{\mathrm{e},0} = \frac{1}{2}\rho_{\mathrm{e}} v_{\mathrm{t}}^2

   d'où l'expression de la vitesse d'écoulement dans le tuyau (formule de Torricelli) :

   \boxed{v_{\mathrm{t}} = \sqrt{2 g h_{\mathrm{e},0}}}

   Résultat

   $$v_{\mathrm{t}}=\sqrt{2g{h}_{\mathrm{e},0}}$$

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4. Exercice 4CCINP Physique PC 2023, Q25

   1. Équation d'Euler et première équation de couplage

   Pour un fluide parfait en négligeant les forces de pesanteur, l'équation d'Euler s'écrit sous forme locale :

   \rho \left( \frac{\partial \vec{v}}{\partial t} + (\vec{v} \cdot \vec{\nabla})\vec{v} \right) = -\vec{\mathrm{grad}}(p)

   Pour une onde plane se propageant selon l'axe (Ox), le champ de vitesse est purement longitudinal \vec{v}(x,t) = v_1(x,t)\vec{u}_x, la pression vaut p(x,t) = p_0 + p_1(x,t) avec p_0 uniforme, et la masse volumique est \rho(x,t) = \rho_0 + \rho_1(x,t).

   La projection de l'équation d'Euler sur l'axe (Ox) donne :

   (\rho_0 + \rho_1)\left(\frac{\partial v_1}{\partial t} + v_1 \frac{\partial v_1}{\partial x}\right) = -\frac{\partial (p_0 + p_1)}{\partial x} = -\frac{\partial p_1}{\partial x}

   Dans le cadre de l'approximation acoustique précisée à la question Q24, les grandeurs perturbées p_1, \rho_1 et v_1 sont infiniment petites d'ordre un. On néglige donc les termes d'ordre deux :

   • le terme convectif : v_1 \dfrac{\partial v_1}{\partial x} \ll \dfrac{\partial v_1}{\partial t} ;
   • le terme croisé : \rho_1 \dfrac{\partial v_1}{\partial t} \ll \rho_0 \dfrac{\partial v_1}{\partial t}.

   Il vient ainsi au premier ordre :

   \boxed{\rho_0 \frac{\partial v_1}{\partial t} + \frac{\partial p_1}{\partial x} = 0}

   2. Équation de continuité et seconde équation de couplage

   L'équation locale de conservation de la masse s'écrit :

   \frac{\partial \rho}{\partial t} + \operatorname{div}(\rho \vec{v}) = 0

   Soit, en géométrie unidimensionnelle selon (Ox) :

   \frac{\partial (\rho_0 + \rho_1)}{\partial t} + \frac{\partial}{\partial x} \big( (\rho_0 + \rho_1) v_1 \big) = 0

   Comme l'état d'équilibre est stationnaire (\partial \rho_0/\partial t = 0) et spatialement uniforme (\partial \rho_0/\partial x = 0) :

   \frac{\partial \rho_1}{\partial t} + \rho_0 \frac{\partial v_1}{\partial x} + \frac{\partial (\rho_1 v_1)}{\partial x} = 0

   En négligeant le terme quadratique \dfrac{\partial (\rho_1 v_1)}{\partial x} devant le terme d'ordre un \rho_0 \dfrac{\partial v_1}{\partial x}, on obtient la seconde équation de couplage :

   \boxed{\frac{\partial \rho_1}{\partial t} + \rho_0 \frac{\partial v_1}{\partial x} = 0}

   Résultat

   $${\rho }_0\frac{\partial v_1}{\partial t}+\frac{\partial p_1}{\partial x}=0$$

   $$\frac{\partial {\rho }_1}{\partial t}+{\rho }_0\frac{\partial v_1}{\partial x}=0$$

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5. Exercice 5CentraleSupélec Physique 1 PC 2023, Q32

   L'équation de Navier-Stokes s'écrit de manière générale :

   \rho \left( \frac{\partial \vec{v}_e}{\partial t} + (\vec{v}_e \cdot \overrightarrow{\operatorname{grad}})\vec{v}_e \right) = \vec{f}_v - \overrightarrow{\operatorname{grad}} p_e + \eta \Delta \vec{v}_e

   Précisons les hypothèses valables pour l'écoulement extérieur modélisé :

   • Fluide parfait (viscosité négligeable) : \eta = 0, donc le terme de diffusion visqueuse \eta \Delta \vec{v}_e = \vec{0} ;
   • Forces volumiques négligées : l'action de la pesanteur est négligée, d'où \vec{f}_v = \vec{0} ;
   • Écoulement stationnaire : \dfrac{\partial \vec{v}_e}{\partial t} = \vec{0} ;
   • Fluide incompressible et homogène : la masse volumique \rho est constante dans l'espace et le temps ;
   • Écoulement irrotationnel : \overrightarrow{\operatorname{rot}}(\vec{v}_e) = \vec{0}.

   En utilisant la formule vectorielle fournie :

   (\vec{v}_e \cdot \overrightarrow{\operatorname{grad}})\vec{v}_e = \underbrace{\overrightarrow{\operatorname{rot}}(\vec{v}_e) \wedge \vec{v}_e}_{=\,\vec{0}} + \frac{1}{2} \overrightarrow{\operatorname{grad}}(v_e^2) = \overrightarrow{\operatorname{grad}}\left(\frac{v_e^2}{2}\right)

   L'équation de Navier-Stokes se réduit alors à :

   \rho \, \overrightarrow{\operatorname{grad}}\left(\frac{v_e^2}{2}\right) = -\overrightarrow{\operatorname{grad}} p_e

   Comme \rho est uniforme et constante, on peut l'intégrer sous le gradient :

   \overrightarrow{\operatorname{grad}}\left( \frac{p_e}{\rho} + \frac{v_e^2}{2} \right) = \vec{0}

   Le gradient de cette grandeur scalaire étant nul en tout point d'un domaine connexe, on en déduit directement que :

   \boxed{\frac{p_e}{\rho} + \frac{v_e^2}{2} = \text{cte} \quad \text{dans tout l'écoulement}}

   Résultat

   $$\frac{p_e}{\rho }+\frac{v_e^2}{2}=\text{cte}\text{dans tout l’eˊcoulement}$$

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6. Exercice 6CentraleSupélec Physique 2 PC 2023, Q25

   L'écoulement étant supposé parfait et l'influence de la pesanteur négligée, le fluide vérifie l'équation d'Euler :

   \mu \left( \frac{\partial \vec{v}}{\partial t} + (\vec{v}\cdot\vec{\nabla})\vec{v} \right) = -\vec{\nabla} p

   Dans le cadre d'un écoulement unidimensionnel selon (Ox), avec \vec{v} = v_1(x,t)\,\vec{u}_x, cette équation se projette sous la forme scalaire :

   \mu(x,t) \left( \frac{\partial v_1}{\partial t} + v_1 \frac{\partial v_1}{\partial x} \right) = -\frac{\partial p}{\partial x}

   On décompose les grandeurs en la somme de l'état de repos uniforme et d'une perturbation du premier ordre :

   \mu(x,t) = \mu_0 + \mu_1(x,t) \quad \text{et} \quad p(x,t) = p_0 + p_1(x,t)

   Dans le cadre de l'approximation acoustique :

   • le terme convectif v_1 \dfrac{\partial v_1}{\partial x} est d'ordre 2 en perturbation et est négligé devant l'accélération locale \dfrac{\partial v_1}{\partial t} ;

   • le produit \mu_1 \dfrac{\partial v_1}{\partial t} est également du second ordre, de sorte que :

     \mu \frac{\partial v_1}{\partial t} = (\mu_0 + \mu_1)\frac{\partial v_1}{\partial t} \approx \mu_0 \frac{\partial v_1}{\partial t}
   • la pression au repos p_0 étant uniforme, \dfrac{\partial p}{\partial x} = \dfrac{\partial p_1}{\partial x}.

   Au premier ordre, l'équation d'Euler linéarisée s'écrit donc :

   \boxed{\mu_0 \frac{\partial v_1}{\partial t} = -\frac{\partial p_1}{\partial x}}

   Résultat

   $${\mu }_0\frac{\partial v_1}{\partial t}=-\frac{\partial p_1}{\partial x}$$

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7. Exercice 7E3A Physique-Chimie PC 2023, Q7

   1. Conditions d'application du théorème de Bernoulli

   Le théorème de Bernoulli s'applique le long d'une ligne de courant sous les hypothèses suivantes :

   • écoulement stationnaire (ou permanent) ;
   • fluide incompressible et homogène (\rho_0 = \text{cte}) ;
   • fluide parfait (viscosité négligeable, pas de pertes de charge) ;
   • forces volumiques conservatives dérivant d'une énergie potentielle (ici la pesanteur).

   2. Différence de pression P(C) - P(E)

   Le tube étant horizontal, les points E et C sont à la même altitude (z_E = z_C). La relation de Bernoulli entre E et C s'écrit :

   P(E) + \frac{1}{2}\rho_0 v_1^2 = P(C) + \frac{1}{2}\rho_0 v_2^2

   D'après la question Q6, la conservation du débit volumique donne v_2 = v_1 \dfrac{S_1}{S_2}. On en déduit :

   \begin{aligned} P(C) - P(E) &= \frac{1}{2}\rho_0 \left(v_1^2 - v_2^2\right) \\ &= \frac{1}{2}\rho_0 v_1^2 \left[1 - \left(\frac{S_1}{S_2}\right)^2\right] \end{aligned}

   \boxed{P(C) - P(E) = \frac{1}{2}\rho_0 v_1^2 \left(1 - \frac{S_1^2}{S_2^2}\right)}

   Comme S_1 > S_2, on a P(C) - P(E) < 0 : la pression chute au niveau de l'étranglement (effet Venturi).

   3. Diagramme (P, T) de l'eau

   Les deux points caractéristiques sont :

   • le point triple \mathrm{T} : équilibre simultané des trois phases (solide, liquide, vapeur) ;
   • le point critique \mathrm{C_r} : extrémité de la courbe d'équilibre liquide-vapeur au-delà duquel les phases liquide et gaz ne se distinguent plus (fluide supercritique).

   4. Apparition d'une bulle de vapeur (cavitation)

   Considérons une particule fluide initialement au point M dans l'état liquide à la température T et à la pression P(E) > P_{\text{sat}}(T). L'écoulement étant rapide, les échanges thermiques sont négligeables et l'évolution est quasi-isotherme.

   Lorsque le fluide s'accélère vers le col C, sa vitesse augmente considérablement (v_2 > v_1), ce qui entraîne une chute de pression. Si la vitesse au col est suffisamment grande, la pression locale P(C) peut descendre en dessous de la pression de vapeur saturante de l'eau à cette température :

   P(C) \leqslant P_{\text{sat}}(T)

   Le fluide traverse la courbe d'ébullition (trajectoire verticale descendante M \to M') : une vaporisation locale se produit brutalement, conduisant à l'apparition de microbulles de vapeur d'eau au niveau de la section minimale S_2 (le col C).

   Résultat

   $$P(C)-P(E)=\frac{1}{2}{\rho }_0{v}_1^2\left(1-\frac{S_1^2}{S_2^2}\right)$$

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8. Exercice 8Mines-Ponts Physique 2 PC 2023, Q18

   L'équation d'Euler (6) s'écrit, en négligeant les effets visqueux et pour un écoulement irrotationnel :

   \rho\left[\frac{\partial \vec{u}}{\partial t} + \frac{1}{2} \vec{\operatorname{grad}}(\vec{u} \cdot \vec{u})\right] = -\rho g \widehat{e}_z - \vec{\operatorname{grad}}(p).

   Le fluide étant homogène et incompressible, sa masse volumique \rho est uniforme et constante. En divisant l'égalité par \rho, on obtient :

   \frac{\partial \vec{u}}{\partial t} + \frac{1}{2} \vec{\operatorname{grad}}(\vec{u} \cdot \vec{u}) + g \widehat{e}_z + \frac{1}{\rho}\vec{\operatorname{grad}}(p) = \vec{0}.

   Exprimons chaque terme sous la forme d'un gradient :

   • L'écoulement étant irrotationnel, \vec{u} = \vec{\operatorname{grad}}\phi. D'après le théorème de Schwarz, on peut permuter la dérivation temporelle et le gradient spatial :

     \frac{\partial \vec{u}}{\partial t} = \frac{\partial}{\partial t}\vec{\operatorname{grad}}\phi = \vec{\operatorname{grad}}\left(\frac{\partial \phi}{\partial t}\right).

   • Le champ de pesanteur dérive de l'énergie potentielle :

     g \widehat{e}_z = \vec{\operatorname{grad}}(gz).

   • La masse volumique \rho étant constante :

     \frac{1}{\rho}\vec{\operatorname{grad}}(p) = \vec{\operatorname{grad}}\left(\frac{p}{\rho}\right).

   En regroupant l'ensemble des termes sous l'opérateur gradient par linéarité :

   \vec{\operatorname{grad}}\left( \frac{\partial \phi}{\partial t} + \frac{1}{2}\vec{u}\cdot\vec{u} + gz + \frac{p}{\rho} \right) = \vec{0}.

   Le gradient spatial de la quantité entre parenthèses étant identiquement nul dans tout le fluide, cette quantité ne dépend pas des coordonnées d'espace (x, y, z). Elle ne peut donc dépendre que de la variable temporelle t :

   \boxed{\frac{\partial \phi}{\partial t} + \frac{1}{2} \vec{u} \cdot \vec{u} + gz + \frac{p}{\rho} = f(t)}

   Cette relation constitue l'équation de Bernoulli instationnaire pour un écoulement potentiel.

   Cas d'un écoulement stationnaire :

   Si l'écoulement est stationnaire, les champs ne dépendent plus explicitement du temps, si bien que \dfrac{\partial \phi}{\partial t} = 0 et la fonction f(t) est une constante indépendante du temps notée C. On retrouve ainsi :

   \boxed{p + \frac{1}{2}\rho u^2 + \rho gz = \text{cste}}

   Il s'agit du théorème de Bernoulli (ou relation de Bernoulli).

   Résultat

   $$\frac{\partial \varphi }{\partial t}+\frac{1}{2}\vec{u}\cdot \vec{u}+gz+\frac{p}{\rho }=f(t)$$

   $$p+\frac{1}{2}\rho u^2+\rho gz=\text{cste}$$

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9. Exercice 9CentraleSupélec Physique 2 PC 2022, Q30

   L'équation d'Euler régissant l'écoulement d'un fluide parfait en l'absence de forces volumiques autres que les forces de pression s'écrit :

   \mu \left(\frac{\partial \vec{v}}{\partial t} + (\vec{v} \cdot \vec{\mathrm{grad}}) \vec{v}\right) = -\vec{\mathrm{grad}} P

   Sous les hypothèses de l'énoncé :

   • l'écoulement est stationnaire, donc le terme d'accélération locale s'annule : \dfrac{\partial \vec{v}}{\partial t} = \vec{0} ;
   • l'écoulement est unidirectionnel et unidimensionnel selon l'axe (Ox) : \vec{v}(x) = v(x)\,\vec{e}_x, et la pression ne dépend que de x, soit \vec{\mathrm{grad}} P = \dfrac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}x}\,\vec{e}_x.

   Le terme d'accélération convective s'écrit alors :

   (\vec{v} \cdot \vec{\mathrm{grad}})\vec{v} = \left(v(x)\,\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\right)(v(x)\,\vec{e}_x) = v\,\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}x}\,\vec{e}_x

   En projetant l'équation d'Euler sur l'axe (Ox), on obtient :

   \mu\,v\,\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}x} = -\frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}x}

   Par identification avec la relation demandée \mu\,v\,\dfrac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}x} = K\,\dfrac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}x}, on en déduit la valeur de la constante sans dimension K :

   \boxed{K = -1}

   Résultat

   $$K=-1$$

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10. Exercice 10E3A Physique-Chimie PC 2022, Q12

    1. Écoulement parfait :
       Un écoulement est dit parfait si les forces de viscosité (frottements internes et dissipation visqueuse) sont négligeables par rapport aux forces d'inertie et de pression (\eta \to 0). Dans ce cadre, les contraintes tangentielles (de cisaillement) sont nulles, et les forces de contact surfaciques au sein du fluide ou sur les parois sont purement normales (forces de pression).

    2. Écoulement homogène et incompressible :

       • Homogène signifie que la composition et les propriétés thermodynamiques du fluide, notamment sa masse volumique \mu, sont uniformes dans tout le domaine considéré à un instant donné :

         \vec{\mathrm{grad}}\,\mu = \vec{0}

       • Incompressible (ou isochore) signifie que le volume des particules fluides ne varie pas au cours du mouvement, c'est-à-dire que la dérivée particulaire de la masse volumique est nulle :

         \frac{\mathrm{D}\mu}{\mathrm{D}t} = \frac{\partial \mu}{\partial t} + (\vec{v}\cdot\vec{\mathrm{grad}})\mu = 0

         L'équation locale de conservation de la masse \frac{\partial \mu}{\partial t} + \mathrm{div}(\mu\vec{v}) = 0 implique alors que le champ de vitesse est à divergence nulle :

         \boxed{\mathrm{div}\,\vec{v} = 0}

         Pour un écoulement à la fois homogène et incompressible, la masse volumique \mu est constante dans tout le fluide et à tout instant (\mu = \text{cte}).

    3. Écoulement stationnaire (ou permanent) :
       Un écoulement est dit stationnaire si les grandeurs de champ (description eulérienne), telles que le champ de vitesse \vec{v}(\vec{r},t) et le champ de pression P(\vec{r},t), ne dépendent pas explicitement du temps t :

       \boxed{\frac{\partial \vec{v}}{\partial t} = \vec{0} \quad \text{et} \quad \frac{\partial P}{\partial t} = 0}

    Résultat

    $$\mathrm{div}\vec{v}=0$$

    $$\frac{\partial \vec{v}}{\partial t}=\vec{0}\text{et}\frac{\partial P}{\partial t}=0$$

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