Corrigé détaillé Mines Physique 2 PC 2023

Le plan de la voile étant supposé orthogonal à la direction du vent \widehat{e}_{x} et les particules se déplaçant toutes à la vitesse constante \vec{v}_{\mathrm{v}} = v_{\mathrm{v}} \widehat{e}_{x}, les particules qui entrent en collision avec la voile entre les instants t et t+\tau sont celles contenues à l'instant t dans un cylindre d'axe \widehat{e}_{x}, de section droite S et de longueur :

En négligeant les effets de bord, le volume de ce cylindre de collision s'écrit :

L'air étant homogène de masse volumique \rho_{\mathrm{a}}, la masse totale d'air contenue dans ce volume est :

Chaque particule ayant une masse individuelle m, le nombre de particules entrant en collision avec la voile pendant le temps \tau est le rapport N = \frac{M}{m}, soit :

Considérons une molécule d'air de masse m, assimilée à un point matériel dans le référentiel galiléen lié à la voile fixe.

Les hypothèses nécessaires sont les suivantes :

• la molécule a une vitesse initiale \vec{v}_i = \vec{v}_{\mathrm{v}} = v_{\mathrm{v}}\,\widehat{e}_x avant le choc ;
• lors de la collision, la particule cède intégralement sa quantité de mouvement à la voile, si bien que sa vitesse finale est nulle après le choc : \vec{v}_f = \vec{0} ;
• le transfert de quantité de mouvement s'effectue sur une durée caractéristique \tau sous l'action d'une force moyenne constante \vec{f}_{\mathrm{voile}\to\mathrm{mol}}.

La variation de quantité de mouvement de la molécule au cours du choc s'écrit :

D'après le principe fondamental de la dynamique moyenné sur la durée \tau du choc :

D'après le principe des actions réciproques (troisième loi de Newton), la force \vec{f} exercée par la molécule sur la voile lors de l'impact est opposée à cette force :

En projetant sur l'axe horizontal (\mathrm{O}, \widehat{e}_x) :

Pendant l'intervalle de temps \tau, N particules d'air entrent en collision avec la voile. Chacune exerçant en moyenne une force \vec{f} sur la voile pendant cette durée, la force propulsive totale \vec{F} exercée par le vent sur la voile s'écrit :

En utilisant les expressions obtenues aux questions 1 et 2 :

on obtient :

D'où l'expression de la force propulsive :

1. Expression de la surface S de la voile

La voile est modélisée par un triangle isocèle constitué de deux côtés de longueur identique a faisant entre eux un angle \alpha au sommet supérieur. L'aire d'un triangle de côtés adjacents a et d'angle compris \alpha s'écrit directement :

2. Expression de la surface S' située à droite de la verticale

D'après la vue de face (figure 1), notons :

• O le point d'attache du mât sur la planche ;
• A le sommet supérieur de la voile, de sorte que le segment [OA] de longueur a représente le mât ;
• I le point d'intersection de l'axe vertical (O,\widehat{e}_z) avec le second côté issu de A.

La surface grisée S' correspond au triangle OAI. Dans ce triangle :

• la longueur du côté OA vaut a ;
• l'angle au sommet A vaut \widehat{OAI} = \alpha ;
• l'angle entre le mât et la verticale vaut \widehat{AOI} = \theta ;
• le troisième angle vaut \widehat{AIO} = \pi - (\alpha + \theta).

En appliquant la loi des sinus dans le triangle OAI :

L'aire S' du triangle OAI s'en déduit par :

3. Relation caractérisant la configuration \mathscr{S}

Le flux de quantité de mouvement cédé par le vent étant uniforme sur la voile, la force propulsive se répartit proportionnellement à la surface. La symétrie de la force propulsive de part et d'autre de l'axe (O,\widehat{e}_z) impose donc :

En remplaçant par les expressions obtenues :

En utilisant la formule d'addition \sin(\alpha+\theta_{\mathrm{d}}) = \sin\alpha\cos\theta_{\mathrm{d}} + \cos\alpha\sin\theta_{\mathrm{d}} :

En divisant par \cos\theta_{\mathrm{d}}(2 - \cos\alpha) (non nul car \cos\alpha \le 1), on obtient bien :

4. Application numérique pour \alpha = 60^\circ

Pour \alpha = 60^\circ, on a \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} et \cos 60^\circ = \frac{1}{2}. On en déduit :

L'angle \theta_{\mathrm{d}} est donc :

Soit \mathcal{R} le référentiel d'étude lié au plan d'eau et \mathcal{R}_{\mathrm{p}} le référentiel lié à la planche à voile, en translation à la vitesse \vec{v}_{\mathrm{p}} par rapport à \mathcal{R}.

D'après la loi de composition classique des vitesses appliquée à une particule d'air, la vitesse absolue s'écrit comme la somme de la vitesse relative et de la vitesse d'entraînement :

La vitesse du vent apparent \vec{v}_{\mathrm{va}}, c'est-à-dire la vitesse du vent perçue dans le référentiel entraîné avec la planche, est donc donnée par :

Dans le cas de la navigation par vent arrière où \vec{v}_{\mathrm{v}} = v_{\mathrm{v}}\,\widehat{e}_x et \vec{v}_{\mathrm{p}} = v_{\mathrm{p}}\,\widehat{e}_x, cette vitesse s'exprime par :

Le système constitué de la planche à voile et de son pilote est étudié dans le référentiel terrestre supposé galiléen.

Le mouvement étant rectiligne et uniforme à la vitesse \vec{v}_{\mathrm{p}}, la première loi de Newton (principe d'inertie) appliquée au système dans le plan horizontal impose la compensation des forces motrice et résistive :

D'après le résultat de la question 5, la force propulsive est gouvernée par la vitesse du vent apparent \vec{v}_{\mathrm{va}} = (v_{\mathrm{v}} - v_{\mathrm{p}})\,\widehat{e}_x. En supposant dans un premier temps v_{\mathrm{p}} \le v_{\mathrm{v}}, la norme du vent apparent vaut v_{\mathrm{va}} = v_{\mathrm{v}} - v_{\mathrm{p}}, et les expressions des forces données par les relations (1) et (2) de l'énoncé s'écrivent :

La projection de l'équilibre des forces selon l'axe horizontal \widehat{e}_x donne :

Les grandeurs v_{\mathrm{p}} et v_{\mathrm{v}} - v_{\mathrm{p}} étant positives, la racine carrée conduit à :

On en déduit l'expression de la vitesse de la planche :

Toutes les grandeurs physiques intervenant dans \sigma (\rho_{\mathrm{e}}, \rho_{\mathrm{a}}, C_{\mathrm{p}}, C_{\mathrm{v}}, S_{\mathrm{p}}, S) étant strictement positives, le paramètre sans dimension \sigma est strictement positif :

Il n'est donc pas possible pour la planche à voile d'aller plus vite que le vent dans cette configuration de navigation par vent arrière.

D'après la loi de composition classique des vitesses (question Q5), la vitesse du vent apparent relativement à la planche s'écrit :

Calculons le carré scalaire de cette vitesse relative :

D'après les données de l'énoncé, la planche remonte au vent, ce qui signifie que :

avec 0 < \beta_0 < \frac{\pi}{2}, d'où \cos\beta_0 > 0 et \vec{v}_{\mathrm{v}} \cdot \vec{v}_{\mathrm{p}} < 0.

L'expression du carré de la norme devient donc :

La planche étant en mouvement (v_{\mathrm{p}} > 0) et le vent non nul (v_{\mathrm{v}} > 0), la quantité v_{\mathrm{p}}^2 + 2 v_{\mathrm{v}} v_{\mathrm{p}} \cos\beta_0 est strictement positive. Par conséquent :

Les normes étant strictement positives, on en déduit :

1. Intensité de la force résistive

On étudie le système {planche, gréement, véliplanchiste} dans le référentiel terrestre supposé galiléen.

D'après l'énoncé, le mouvement de la planche est supposé uniforme en module et en direction (\vec{v}_{\mathrm{p}} = \text{cte}). De plus, les bilans verticaux sont négligés (la poussée d'Archimède et la portance hydrodynamique compensent le poids total).

D'après le principe des actions réciproques ou la première loi de Newton appliquée dans le plan horizontal, la somme des forces horizontales s'exerçant sur le système est nulle :

Par conséquent, la force résistive \vec{F}_{\mathrm{res}} est directement opposée à la force propulsive \vec{F}_{\mathrm{pro}}, et leurs intensités sont rigoureusement égales :

2. Représentation des vecteurs

• Vitesse de la planche \vec{v}_{\mathrm{p}} : elle est colinéaire et de même sens que la direction du mouvement de la planche (orientée vers le haut et la droite, le long de l'axe de déplacement).

• Vitesse du vent réel \vec{v}_{\mathrm{v}} : le vent réel souffle suivant l'axe des x, soit \vec{v}_{\mathrm{v}} = v_{\mathrm{v}}\,\widehat{e}_x (orienté vers le bas sur la figure). D'après la relation du vent apparent définie à la question précédente :

  \vec{v}_{\mathrm{va}} = \vec{v}_{\mathrm{v}} - \vec{v}_{\mathrm{p}} \iff \vec{v}_{\mathrm{v}} = \vec{v}_{\mathrm{va}} + \vec{v}_{\mathrm{p}}

  Cette relation est bien vérifiée géométriquement : en sommant \vec{v}_{\mathrm{va}} (orienté vers le bas et la gauche) et \vec{v}_{\mathrm{p}} (orienté vers le haut et la droite), on obtient un vecteur \vec{v}_{\mathrm{v}} purement dirigé selon \widehat{e}_x (vertical vers le bas).

• Force résistive \vec{F}_{\mathrm{res}} : comme \vec{F}_{\mathrm{res}} = -\vec{F}_{\mathrm{pro}} = -(\vec{F}_{\mathrm{por}} + \vec{F}_{\mathrm{tra}}), le vecteur \vec{F}_{\mathrm{res}} s'applique sur la carène/dérive et est colinéaire à \vec{F}_{\mathrm{pro}}, de même norme, mais en sens inverse.

D'après la question Q8, la planche à voile étant en mouvement de translation rectiligne uniforme dans le référentiel terrestre supposé galiléen, le principe d'inertie impose :

La force propulsive totale \vec{F}_{\mathrm{pro}} = \vec{F}_{\mathrm{por}} + \vec{F}_{\mathrm{tra}} résulte de l'action du vent apparent sur la voile. En allure de près, cette force n'est pas colinéaire à la vitesse de déplacement \vec{v}_{\mathrm{p}} : elle possède une composante orthogonale à la direction d'avancement, tendant à faire dériver la planche vers le travers.

Pour équilibrer cette poussée latérale aérodynamique, la force hydrodynamique \vec{F}_{\mathrm{res}} doit impérativement posséder une composante non nulle perpendiculaire à la direction de déplacement :

Or, d'après les relations (4) de l'énoncé, la norme de cette composante s'écrit :

L'énoncé précise que pour un angle d'incidence nul par rapport à l'axe de la planche, C_{\mathrm{p},\perp}(\beta_e = 0) = 0, ce qui impliquerait F_{\perp} = 0.

Dans ce cas, la force de résistance serait purement axiale et ne pourrait compenser la composante latérale de \vec{F}_{\mathrm{pro}}, rendant l'équilibre impossible.

D'après la question Q7, la norme de la vitesse du vent apparent \vec{v}_{\mathrm{va}} = \vec{v}_{\mathrm{v}} - \vec{v}_{\mathrm{p}} vérifie :

La force propulsive totale s'exerçant sur la voile est la résultante de la portance et de la traînée. Les vecteurs unitaires \widehat{e}_{\perp,\mathrm{a}} et \widehat{e}_{\|,\mathrm{a}} étant orthogonaux, la norme de \vec{F}_{\mathrm{pro}} s'écrit d'après les équations (3) :

De même, la force de frottement hydrodynamique s'exerçant sur la planche et sa dérive est la somme de ses composantes parallèle et perpendiculaire au déplacement. Comme \widehat{e}_{\|,\mathrm{p}} \perp \widehat{e}_{\perp,\mathrm{p}}, la norme de \vec{F}_{\mathrm{res}} s'écrit d'après les équations (4) :

Lors d'un déplacement uniforme, l'équilibre des forces dans le plan horizontal impose (question Q8) :

soit :

On en déduit :

avec :

En remplaçant v_{\mathrm{va}}^2 par son expression, on obtient bien la relation demandée :

D'après la relation (5) issue de l'équilibre dynamique en déplacement uniforme :

En divisant cette égalité par v_{\mathrm{p}}^2 > 0, on obtient :

soit encore :

Or, par définition :

• les normes des vitesses sont strictement positives en régime de navigation : v_{\mathrm{v}} > 0 et v_{\mathrm{p}} > 0, d'où v_{\mathrm{v}}^2 > 0 ;
• pour 0 < \beta_0 < \dfrac{\pi}{2}, on a strictement \cos \beta_0 > 0, donc 2 v_{\mathrm{p}} v_{\mathrm{v}} \cos \beta_0 > 0.

Le numérateur est donc une somme de termes strictement positifs, ce qui impose :

On en déduit que :

D'après la question Q10, la relation (5) s'écrit :

En regroupant tous les termes d'un même côté et en divisant par v_{\mathrm{v}}^2 > 0, on obtient une équation sur le rapport adimensionné x = \frac{v_{\mathrm{p}}}{v_{\mathrm{v}}} > 0 :

Considérons le trinôme du second degré associé :

D'après la question Q11, pour 0 < \beta_0 < \pi/2, on a \sigma_1 > 1. Le coefficient de degré 2 est donc strictement positif :

La parabole représentant P est ainsi convexe (tournée vers le haut). De plus :

Le trinôme P(x) admet par conséquent deux racines réelles de signes opposés : une unique racine strictement positive x_+ > 0 (qui correspond à la solution physique) et une racine strictement négative.

Puisque la fonction P est strictement négative entre ses deux racines et strictement positive au-delà de sa racine positive x_+, la racine physique x_+ est strictement supérieure à 1 si et seulement si P(1) < 0 :

Or, l'évaluation du polynôme en x = 1 donne :

La condition v_{\mathrm{p}} > v_{\mathrm{v}} (soit x_+ > 1) équivaut donc à :

soit finalement :

D'après la relation (5) établie à la question Q10, la vitesse v_{\mathrm{p}} vérifie l'équation :

Sachant que \sigma_1 > 1 (question Q11), le discriminant réduit de ce trinôme du second degré en v_{\mathrm{p}} s'écrit :

Le produit des racines étant -v_{\mathrm{v}}^2 / (\sigma_1 - 1) < 0, il existe une unique solution physiquement acceptable (v_{\mathrm{p}} > 0) :

Posons u = \cos\beta_0. La fonction g : u \mapsto u + \sqrt{u^2 + \sigma_1 - 1} est strictement croissante sur ]0, 1] car :

Or, sur l'intervalle de navigation au près \beta_0 \in \left]0, \frac{\pi}{2}\right[, la fonction \beta_0 \mapsto \cos\beta_0 est strictement décroissante.

Par composition, à \sigma_1 fixé, la vitesse v_{\mathrm{p}} est une fonction strictement décroissante de l'angle \beta_0.

Pour obtenir la vitesse v_{\mathrm{p}} la plus grande possible, il faut donc choisir l'angle de navigation \beta_0 le plus petit possible :

D'après la relation (5) établie à la question Q10, le déplacement uniforme impose :

En divisant cette relation par v_{\mathrm{p}}^2 (avec v_{\mathrm{p}} > 0), on obtient :

Comme la direction de navigation est fixée au près, on a 0 < \beta_0 < \frac{\pi}{2}, d'où \cos\beta_0 > 0.

Pour une vitesse de vent réel v_{\mathrm{v}} donnée, la fonction :

est la somme de termes strictement décroissants de v_{\mathrm{p}} sur ]0, +\infty[. Elle est donc strictement décroissante de v_{\mathrm{p}}.

Réciproquement, la vitesse v_{\mathrm{p}} est une fonction strictement décroissante de \sigma_1 sur ]1, +\infty[ :

Par conséquent, à direction \beta_0 fixée, pour rendre la vitesse v_{\mathrm{p}} de la planche la plus grande possible, il faut choisir la valeur de \sigma_1 la plus petite possible, c'est-à-dire minimale et la plus proche possible de sa borne inférieure 1.

Considérons le parallélépipède fixe de volume \mathrm{d}\tau = \mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}z délimité par [x, x+\mathrm{d}x] \times [y, y+\mathrm{d}y] \times [z, z+\mathrm{d}z].

À l'instant t, la masse contenue dans ce volume est :

Pendant la durée \mathrm{d}t, la variation de cette masse s'écrit au premier ordre :

Pendant cette même durée \mathrm{d}t, de la matière traverse les six faces du volume de contrôle :

• Suivant l'axe x : le fluide entre par la face d'aire \mathrm{d}y\,\mathrm{d}z située en x et sort par celle située en x+\mathrm{d}x. Le bilan net entrant s'écrit :

  \begin{aligned} \delta m_x &= \left[ \rho(x,z,t)\,u_x(x,z,t) - \rho(x+\mathrm{d}x,z,t)\,u_x(x+\mathrm{d}x,z,t) \right] \mathrm{d}y\,\mathrm{d}z\,\mathrm{d}t \\ &= -\frac{\partial (\rho u_x)}{\partial x}\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}z\,\mathrm{d}t \end{aligned}

• Suivant l'axe y : le fluide ayant une vitesse nulle selon cette direction (u_y = 0), le flux de matière à travers les faces orthogonales à \widehat{e}_y est nul :

  \delta m_y = 0

• Suivant l'axe z : de façon similaire à la direction x :

  \begin{aligned} \delta m_z &= \left[ \rho(x,z,t)\,u_z(x,z,t) - \rho(x,z+\mathrm{d}z,t)\,u_z(x,z+\mathrm{d}z,t) \right] \mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}t \\ &= -\frac{\partial (\rho u_z)}{\partial z}\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}z\,\mathrm{d}t \end{aligned}

En l'absence de création ou de destruction de matière au sein du volume, la conservation de la masse impose :

Soit, en simplifiant par \mathrm{d}\tau\,\mathrm{d}t = \mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}z\,\mathrm{d}t :

On obtient ainsi la loi locale de conservation de la matière :

D'après le résultat de la question précédente (Q15), l'équation de conservation de la masse pour cet écoulement bidimensionnel invariant selon y s'écrit :

Un fluide est dit incompressible lorsque la masse volumique de chaque particule fluide reste constante au cours de son mouvement, soit :

En développant les dérivées des produits dans l'équation de conservation de la masse :

ce qui se regroupe sous la forme :

Le fluide étant homogène et de masse volumique non nulle (\rho \neq 0), la condition d'incompressibilité \dfrac{\mathrm{d}\rho}{\mathrm{d}t} = 0 impose directement :

Remarque : Si l'on considère dès le départ le fluide comme homogène et incompressible (\rho = \text{cste}), la masse volumique se factorise immédiatement dans l'équation de continuité, menant directement au même résultat.

D'après la question Q16, l'incompressibilité du fluide et l'invariance selon l'axe (O, \widehat{e}_y) (avec u_y = 0) se traduisent par une divergence nulle du champ de vitesse :

L'écoulement étant irrotationnel (\vec{\operatorname{rot}}(\vec{u}) = \vec{0}), il dérive du potentiel des vitesses \phi(x,z,t) tel que :

En injectant ces composantes dans la condition d'incompressibilité, il vient :

On reconnaît l'expression du laplacien scalaire \Delta \phi en coordonnées cartésiennes bidimensionnelles. Par conséquent :

Le potentiel des vitesses vérifie ainsi l'équation de Laplace dans tout le volume du fluide.

L'équation d'Euler (6) s'écrit, en négligeant les effets visqueux et pour un écoulement irrotationnel :

Le fluide étant homogène et incompressible, sa masse volumique \rho est uniforme et constante. En divisant l'égalité par \rho, on obtient :

Exprimons chaque terme sous la forme d'un gradient :

• L'écoulement étant irrotationnel, \vec{u} = \vec{\operatorname{grad}}\phi. D'après le théorème de Schwarz, on peut permuter la dérivation temporelle et le gradient spatial :

  \frac{\partial \vec{u}}{\partial t} = \frac{\partial}{\partial t}\vec{\operatorname{grad}}\phi = \vec{\operatorname{grad}}\left(\frac{\partial \phi}{\partial t}\right).

• Le champ de pesanteur dérive de l'énergie potentielle :

  g \widehat{e}_z = \vec{\operatorname{grad}}(gz).

• La masse volumique \rho étant constante :

  \frac{1}{\rho}\vec{\operatorname{grad}}(p) = \vec{\operatorname{grad}}\left(\frac{p}{\rho}\right).

En regroupant l'ensemble des termes sous l'opérateur gradient par linéarité :

Le gradient spatial de la quantité entre parenthèses étant identiquement nul dans tout le fluide, cette quantité ne dépend pas des coordonnées d'espace (x, y, z). Elle ne peut donc dépendre que de la variable temporelle t :

Cette relation constitue l'équation de Bernoulli instationnaire pour un écoulement potentiel.

Cas d'un écoulement stationnaire :

Si l'écoulement est stationnaire, les champs ne dépendent plus explicitement du temps, si bien que \dfrac{\partial \phi}{\partial t} = 0 et la fonction f(t) est une constante indépendante du temps notée C. On retrouve ainsi :

Il s'agit du théorème de Bernoulli (ou relation de Bernoulli).

La surface libre du fluide est repérée par l'ensemble des points d'altitude z = \eta(x, t). On définit la fonction implicite associée :

En l'absence d'évaporation et de déferlement, la surface libre est une surface matérielle : une particule de fluide située sur la surface libre y reste à tout instant. L'équation F=0 doit donc être conservée au cours du déplacement de chaque particule fluide, ce qui impose l'annulation de sa dérivée particulaire :

D'après la définition de la dérivée particulaire rappelée dans l'énoncé :

Calculons les différentes dérivées de F(x, z, t) :

En projetant le produit scalaire \vec{u} \cdot \vec{\operatorname{grad}}F avec \vec{u} = u_x \widehat{e}_x + u_z \widehat{e}_z, il vient :

Soit encore :

L'écoulement étant irrotationnel, le champ de vitesse dérive du potentiel des vitesses (\vec{u} = \vec{\operatorname{grad}}\phi), d'où u_x = \dfrac{\partial \phi}{\partial x} et u_z = \dfrac{\partial \phi}{\partial z}. On obtient ainsi la relation demandée à la surface libre :

En l'absence d'effets de tension superficielle à la surface libre, la continuité des contraintes normales à l'interface eau-air impose l'égalité des pressions de part et d'autre. La pression atmosphérique p_0 étant supposée uniforme et constante immédiatement au-dessus de la surface libre, la pression du fluide en z = \eta(x,t) vaut :

D'après le résultat de la question Q18, l'intégrale première d'Euler s'écrit pour tout point du fluide :

En évaluant cette relation sur la surface libre, c'est-à-dire en z = \eta(x,t) :

En remplaçant p(x, z = \eta, t) par p_0, les termes p_0/\rho se simplifient de part et d'autre de l'égalité :

En divisant par l'accélération de la pesanteur g, on obtient la condition aux limites dynamique à la surface libre :

D'après la question Q17, le potentiel des vitesses satisfait l'équation de Laplace \Delta \phi = 0. Le système étant invariant par translation suivant l'axe (O, \widehat{e}_y), le potentiel des vitesses ne dépend pas de y, de sorte que l'équation s'écrit :

En introduisant la forme à variables séparées \phi(x,z,t) = X(x,t)\,Z(z), les dérivées partielles spatiales de \phi s'expriment par :

L'équation de Laplace devient ainsi :

En divisant cette égalité par le produit X(x,t)\,Z(z) (en tout point où la fonction ne s'annule pas), on sépare les variables spatiales :

Le membre de gauche est une fonction exclusive de z, indépendante de x et de t. Le membre de droite est une fonction de (x,t), indépendante de z. Pour que cette égalité soit vérifiée en tout point (x,z) du fluide et à tout instant t, ces deux membres doivent nécessairement être égaux à une même constante, notée \mu, indépendante de x, z et t :

On obtient ainsi le système différentiel découplé :

Le profil de la surface libre est donné par l'onde plane progressive :

Sa dérivée temporelle vaut donc :

D'autre part, la recherche d'une solution sous la forme à variables séparées \phi(x,z,t) = X(x,t) Z(z) conduit à :

La condition cinématique de surface au repos s'écrit :

Soit, en remplaçant par les expressions obtenues :

En choisissant X(x,t) = \sin(kx - \omega t) et en posant \left.\frac{\mathrm{d}Z}{\mathrm{d}z}\right|_{z=0} = \gamma = \text{cste}, cette relation est vérifiée à tout instant t et pour toute position x dès lors que :

De plus, la fonction X(x,t) = \sin(kx - \omega t) vérifie bien l'équation issue de la séparation des variables établie à la question précédente :

ce qui identifie la constante de séparation positive \mu = k^2.

D'après les questions précédentes (Q21 et Q22), la fonction Z(z) est solution de :

La solution générale de cette équation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constants peut s'écrire sous la forme :

où C_1 et C_2 sont deux constantes d'intégration.

Sa dérivée par rapport à z est :

La condition d'imperméabilité au fond du réservoir (relation (7)) impose :

Il en découle :

D'après la question Q22, la condition à la surface au repos (z = 0) s'écrit :

ce qui conduit à :

En identifiant avec la forme proposée par l'énoncé, Z(z) = \zeta \dfrac{\cosh[k(z+H)]}{\sinh(kH)}, on en déduit immédiatement :

La fonction Z(z) s'écrit donc :

Le potentiel des vitesses total associé à la vague linéaire est ainsi :

La condition aux limites cinématique linéarisée ayant été utilisée à la question Q22, la condition de surface au repos non encore employée est la condition dynamique linéarisée issue de la relation de Bernoulli (question Q20) :

D'après les résultats de la question Q23, le potentiel des vitesses de la vague linéaire s'écrit :

En évaluant sa dérivée temporelle partielle en z=0, on obtient :

En injectant cette expression ainsi que \eta(x,t) = A\cos(kx - \omega t) dans la condition dynamique, il vient :

Cette égalité devant être vérifiée pour tout x et tout t, on en déduit immédiatement la relation de dispersion :

Par définition, la vitesse de phase d'une onde plane progressive sinusoïdale s'écrit :

En utilisant la relation de dispersion obtenue à la question Q24, \omega = \sqrt{g k \tanh(kH)} (avec \omega > 0 et k > 0), on en déduit immédiatement :

La longueur d'onde de la vague linéaire étant \lambda = \dfrac{2\pi}{k}, la quantité adimensionnée kH s'exprime sous la forme :

1. Cas des faibles profondeurs (H \ll \lambda, régime d'« eau peu profonde ») : La condition H \ll \lambda équivaut à kH \ll 1. Au premier ordre au voisinage de zéro, \tanh(kH) \sim kH. L'expression de la vitesse de phase devient :

2. Cas des grandes profondeurs (H \gg \lambda, régime d'« eau profonde ») : La condition H \gg \lambda équivaut à kH \gg 1. Lorsque x \to +\infty, \tanh(x) \to 1. L'expression de la vitesse de phase se simplifie en :

Commentaires :

• En eau peu profonde (H \ll \lambda), la vitesse de phase ne dépend plus du vecteur d'onde k ni de la pulsation \omega : le milieu est non dispersif. Toutes les composantes spectrales se déplacent à la même célérité c = \sqrt{gH}, fixée uniquement par la hauteur d'eau H. C'est le régime typique des tsunamis en haute mer ou des vagues au voisinage immédiat du rivage.
• En eau profonde (H \gg \lambda), la vitesse de phase ne dépend plus de la profondeur H, mais elle augmente avec la longueur d'onde \lambda (v_{\varphi} \propto \sqrt{\lambda}) : le milieu est dispersif. Les ondes de grande longueur d'onde voyagent plus vite que les ondes courtes, expliquant pourquoi la houle générée par une tempête lointaine arrive au rivage ordonnée par fréquences décroissantes.

D'après la question Q24, la relation de dispersion de la vague linéaire s'écrit :

En dérivant cette relation par rapport à k, et en utilisant \dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}u}(\tanh u) = 1 - \tanh^2 u = \dfrac{1}{\cosh^2 u}, on obtient :

Par définition de la vitesse de groupe v_g = \dfrac{\mathrm{d}\omega}{\mathrm{d}k}, il vient :

Comme \omega^2 = gk\tanh(kH), on a \dfrac{gk\tanh(kH)}{\omega k} = \dfrac{\omega^2}{\omega k} = \dfrac{\omega}{k} = v_{\varphi}. De plus :

On en déduit l'expression de la vitesse de groupe :

Par identification avec la relation proposée par l'énoncé v_g = \dfrac{v_{\varphi}}{n}\left[1 + \dfrac{nkH}{\sinh(2kH)}\right], on trouve l'entier :

Étudions les valeurs extrêmes du rapport \dfrac{v_g}{v_{\varphi}} = \dfrac{1}{2}\left(1 + \dfrac{X}{\sinh X}\right) avec la variable adimensionnée X = 2kH > 0 :

• En eau peu profonde (kH \ll 1, soit X \to 0) : au voisinage de zéro, \sinh X \approx X, d'où :

  \lim_{kH \to 0} \frac{v_g}{v_{\varphi}} = \frac{1}{2}(1 + 1) = 1

• En eau profonde (kH \gg 1, soit X \to +\infty) : la fonction \sinh X = \dfrac{\mathrm{e}^X - \mathrm{e}^{-X}}{2} \to +\infty diverge exponentiellement, donc \dfrac{X}{\sinh X} \to 0, d'où :

  \lim_{kH \to +\infty} \frac{v_g}{v_{\varphi}} = \frac{1}{2}(1 + 0) = \frac{1}{2}

La fonction X \mapsto \dfrac{X}{\sinh X} étant strictement décroissante sur ]0, +\infty[, le rapport \dfrac{v_g}{v_{\varphi}} varie de manière strictement monotone entre ces deux limites.

Les valeurs extrêmes (bornes) du rapport v_g / v_{\varphi} sont donc :

Dans le cadre de la théorie linéaire, les petites perturbations de la surface libre vérifient le principe de superposition. La vague résultante de la superposition des deux ondes \eta_1(x,t) et \eta_2(x,t) s'écrit :

En utilisant l'identité trigonométrique \cos p + \cos q = 2 \cos\left(\frac{p-q}{2}\right)\cos\left(\frac{p+q}{2}\right), il vient :

Quitte à numéroter les ondes de sorte que k_1 \geqslant k_2 > 0 (la parité de la fonction cosinus assurant l'invariance par échange de 1 et 2), et sachant que la relation de dispersion \omega(k) = \sqrt{gk\tanh(kH)} est une fonction strictement croissante de k, on a également \omega_1 \geqslant \omega_2 > 0.

Par identification avec la forme requise \eta(x,t) = 2A \cos(kx - \omega t)\cos(k'x - \omega' t) sous les conditions k < k' et \omega < \omega', on obtient :

Comme k_1, k_2 > 0 et \omega_1, \omega_2 > 0, les inégalités k < k' et \omega < \omega' sont strictement vérifiées dès lors que k_1 \neq k_2.

À un instant fixé (choisi arbitrairement à t=0), le profil spatial \eta(x,0) = 2A \cos(kx)\cos(k'x) correspond à un phénomène de battements spatiaux : une onde rapidement oscillante de porteuse spatiale de période \lambda' = \frac{2\pi}{k'} modulée par une enveloppe lente de période \lambda = \frac{2\pi}{k} (d'équations \pm 2A\cos(kx)).

1. Nature des lignes pointillées

Pour une onde plane progressive harmonique, le profil de hauteur s'écrit à un instant t fixé :

L'argument \phi(\vec{R}, t) = \vec{k} \cdot \vec{R} - \omega t représente la phase de l'onde. À un instant t donné, les points pour lesquels la phase est constante vérifient :

Il s'agit d'équations de droites orthogonales au vecteur d'onde \vec{k}.

Les lignes pointillées représentent donc les surfaces d'onde (ou fronts d'onde, ou lignes de crêtes / creux) à un instant donné.

2. Continuité du profil de vague à l'interface

L'interface séparant les deux zones de profondeur est la droite d'équation x = 0. Les vecteurs d'onde s'écrivent dans la base orthonormée (\widehat{e}_x, \widehat{e}_y) :

En un point \vec{R} = x \widehat{e}_x + y \widehat{e}_y, les hauteurs de vague dans chaque zone sont données par :

La surface de l'eau ne présentant pas de déchirure, le profil de la surface libre doit être continu à la frontière x = 0 en tout point y et à tout instant t :

soit :

Pour que cette égalité soit satisfaite pour tout y et tout t :

• L'amplitude maximale de part et d'autre doit être identique, ce qui impose :

  \boxed{A_1 = A_2 = A}

  (avec un déphasage à l'origine que l'on peut choisir nul : \phi_0 = 0).

• Les phases spatiales le long de la ligne de discontinuité doivent être identiques en tout y, ce qui impose l'égalité des composantes tangentielles :

  k_1 \sin i_1 = k_2 \sin i_2 \implies \frac{\sin i_1}{\sin i_2} = \frac{k_2}{k_1}

3. Relation entre les angles et les profondeurs

D'après la question Q24, la relation de dispersion générale est \omega^2 = g k \tanh(kH). Dans l'approximation des eaux peu profondes (k_1 H_1 \ll 1 et k_2 H_2 \ll 1), on a \tanh(kH) \approx kH, ce qui conduit (conformément à Q25) à :

La pulsation temporelle \omega étant conservée à la traversée de l'interface :

On en déduit immédiatement :

La fonction recherchée est donc la fonction racine carrée :

D'après la question Q28, la traversée d'une discontinuité de profondeur obéit à la loi de réfraction :

En modélisant l'approche du rivage comme une succession continue de couches d'isobathes parallèles à l'axe (O, \widehat{e}_y), cette relation se généralise sous forme d'invariant le long du rayon de propagation :

où i(x) \in [0, \pi/2[ est l'angle entre le vecteur d'onde \vec{k}(x) et la normale aux lignes de niveau du fond (direction x).

À l'approche du rivage, la profondeur de l'eau diminue continûment (H(x) \to 0). Par conséquent :

• \sin i(x) \propto \sqrt{H(x)} diminue également ;
• l'angle i(x) décroît et tend vers 0.

La direction de propagation des vagues, donnée par \vec{k}, s'infléchit donc progressivement pour devenir perpendiculaire au rivage (i \to 0, propagation selon \widehat{e}_x).

1. Rapport des amplitudes des vagues dans les deux zones :

En régime stationnaire et en l'absence de toute dissipation d'énergie, le flux d'énergie mécanique moyen se propageant selon (O, \widehat{e}_x) est intégralement conservé à travers l'interface x = 0 pour une tranche de longueur \mathrm{d}y :

En utilisant l'expression du flux moyen \mathrm{d}P = E_{\mathrm{m}} v_g\,\mathrm{d}y avec E_{\mathrm{m}} = \frac{1}{2}\rho g A^2, il vient :

On en déduit immédiatement le rapport des amplitudes :

2. Évolution de l'amplitude à l'approche du rivage :

Dans le régime des ondes en eau peu profonde (kH \ll 1), établi aux questions Q25 et Q26, la dispersion est négligeable et les vitesses de groupe et de phase coïncident :

Le rapport des amplitudes s'écrit alors en fonction des profondeurs locales :

À l'approche du rivage, la profondeur H diminue (H \to 0), ce qui entraîne un ralentissement de l'onde (v_g diminue). Pour assurer la conservation du flux d'énergie, l'amplitude A de la vague augmente : c'est le phénomène de surélévation (ou loi de Green).

3. Commentaire au regard des résultats de la question 28 :

• À la question Q28, la simple continuité du profil de surface \eta(0, y, t) imposait A_1 = A_2, car l'énoncé négligeait a priori toute onde réfléchie.
• Ce résultat était en réalité incompatible avec la conservation de l'énergie : si A_1 = A_2 avec v_{g,2} < v_{g,1}, le flux d'énergie transmis \mathrm{d}P_2 serait strictement inférieur au flux incident \mathrm{d}P_1. Pour une discontinuité abrupte, une onde réfléchie doit nécessairement exister pour concilier continuité géométrique et conservation de l'énergie.
• Dans le cas d'une pente douce (variation continue et lente de H), la réflexion est effectivement négligeable (approximation WKB) et la loi de Green s'applique : l'amplitude augmente au fur et à mesure que H décroît.
• Enfin, puisque A croît tandis que H décroît, le rapport A/H augmente rapidement. L'hypothèse de faible amplitude (A \ll H) et le modèle linéaire cessent d'être valables près du rivage, ce qui annonce le phénomène non linéaire de déferlement des vagues.