Feuille d'entraînement : Réflexion, réfraction et fibres optiques

Corrigés

1. Exercice 1Polytechnique Physique A PC 2024, Q32

   Dans le cadre de l'approximation de l'acoustique géométrique, la direction locale du rayon sonore est portée par le vecteur d'onde \vec{k} = (k_x, k_z).

   L'angle i étant défini comme l'inclinaison du rayon par rapport à la verticale axiale z, les composantes horizontale et verticale de \vec{k} vérifient :

   k_x = \|\vec{k}\| \sin i \quad \text{et} \quad k_z = \|\vec{k}\| \cos i

   D'après la relation de dispersion établie à la question 31, la norme du vecteur d'onde vaut \|\vec{k}\| = \frac{\omega}{c(z)}. On en déduit immédiatement :

   \sin i = \frac{k_x}{\|\vec{k}\|} = \frac{k_x c(z)}{\omega}

   \boxed{\sin i = \frac{k_x c(z)}{\omega}}

   Puisque k_x et \omega sont constants le long d'un même rayon, cette relation se réécrit sous la forme :

   \frac{\sin i(z)}{c(z)} = \text{cte}

   En optique géométrique, la propagation dans un milieu stratifié d'indice n(z) est régie par la loi de Snell-Descartes pour la réfraction :

   n(z) \sin i(z) = \text{cte}

   Ce résultat est donc l'analogue acoustique de la loi de Snell-Descartes, où la célérité locale du son c(z) joue un rôle inversement proportionnel à celui de l'indice optique (n(z) \propto \frac{1}{c(z)}).

   Résultat

   $$\sin i=\frac{k_{x}c(z)}{\omega }$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

2. Exercice 2X-ENS Physique B PC 2024, Q15

   Considérons deux plans d'onde successifs du faisceau acoustique :

   • le plan d'onde \varphi_1 incident dans le milieu (1), orthogonal à la direction de propagation \vec{k}_1, passant par le point O à un instant t ;
   • le plan d'onde \varphi_2 réfracté dans le milieu (2), orthogonal à \vec{k}_2, passant par le point A à l'instant t + \Delta t.

   Désignons par H_1 le projeté orthogonal du point O sur le rayon incident passant par A (ou le pied de la perpendiculaire abaissée de O sur ce rayon) : le segment [O H_1] appartient au plan d'onde \varphi_1, donc le triangle (O H_1 A) est rectangle en H_1.

   Le vecteur d'onde \vec{k}_1 fait l'angle \theta_1 avec la normale à l'interface (l'axe Oz). Le plan d'onde étant orthogonal à \vec{k}_1, l'angle géométrique entre le plan d'onde \varphi_1 et l'interface (Ox) est égal à \theta_1. Dans le triangle rectangle (O H_1 A), la distance restant à parcourir dans le milieu (1) par le bord droit du faisceau pour atteindre A s'écrit :

   H_1 A = OA \sin\theta_1

   La durée nécessaire à l'onde incidente pour parcourir cette distance à la célérité c_1 vaut :

   \Delta t = \frac{H_1 A}{c_1} = \frac{OA \sin\theta_1}{c_1}

   Pendant cette même durée \Delta t, la partie du front d'onde ayant traversé l'interface en O s'est propagée dans le milieu (2) à la célérité c_2 dans la direction définie par \vec{k}_2. Elle a parcouru la distance O H_2 = c_2 \Delta t, où H_2 est le projeté orthogonal du point A sur le rayon réfracté issu de O.

   Le plan \varphi_2 étant orthogonal à \vec{k}_2, il fait un angle \theta_2 avec l'interface. Dans le triangle (O H_2 A), rectangle en H_2, l'hypoténuse est le segment commun [OA]. Il vient :

   O H_2 = OA \sin\theta_2

   La durée \Delta t s'exprime donc également par :

   \Delta t = \frac{O H_2}{c_2} = \frac{OA \sin\theta_2}{c_2}

   L'onde restant plane lors de sa traversée de l'interface, la continuité du front d'onde en tout point I de l'interface impose l'égalité des durées :

   \frac{OA \sin\theta_1}{c_1} = \frac{OA \sin\theta_2}{c_2}

   En simplifiant par OA \neq 0, on obtient la loi de réfraction :

   \boxed{\frac{\sin \theta_2}{c_2} = \frac{\sin \theta_1}{c_1}}

   Résultat

   $$\frac{\sin {\theta }_2}{c_2}=\frac{\sin {\theta }_1}{c_1}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

3. Exercice 3X-ENS Physique B PC 2024, Q21

   D'après la question Q19, dans un milieu stratifié horizontalement, la loi de Snell-Descartes pour la réfraction acoustique impose la conservation de la quantité \frac{\sin\theta}{c} le long du rayon. En passant à la limite continue et en introduisant l'indice acoustique n(z) = \frac{1}{c(z)}, cette relation s'écrit pour toute altitude Z :

   n(Z)\sin\theta(Z) = \text{cste}

   En évaluant cette constante à l'origine du repère (x=0, Z=0) où n(0) = n_0 et \theta = \theta_0, on pose :

   A = n_0 \sin\theta_0

   d'où :

   \sin\theta(Z) = \frac{A}{n(Z)}

   L'angle \theta(Z) étant repéré par rapport à l'axe vertical (Oz), un déplacement élémentaire \mathrm{d}\vec{r} = \mathrm{d}x\,\vec{u}_x + \mathrm{d}Z\,\vec{u}_z le long du rayon acoustique satisfait :

   \begin{aligned} \mathrm{d}x &= \mathrm{d}s\,\sin\theta(Z) \\ \mathrm{d}Z &= \mathrm{d}s\,\cos\theta(Z) \end{aligned}

   La pente de la trajectoire cartésienne s'exprime donc par :

   \frac{\mathrm{d}Z}{\mathrm{d}x} = \frac{\cos\theta(Z)}{\sin\theta(Z)} = \frac{1}{\tan\theta(Z)}

   En utilisant la relation trigonométrique \frac{1}{\sin^2\theta} = 1 + \frac{\cos^2\theta}{\sin^2\theta} = 1 + \left(\frac{\mathrm{d}Z}{\mathrm{d}x}\right)^2, il vient :

   \frac{(n(Z))^2}{A^2} = 1 + \left(\frac{\mathrm{d}Z}{\mathrm{d}x}\right)^2

   ce qui correspond bien à l'équation différentielle (5) avec :

   \boxed{A = n_0 \sin\theta_0}

   Résultat

   $$A=n_0\sin {\theta }_0$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

4. Exercice 4CCINP Physique PC 2022, Q36

   La fréquence f_{\mathrm{L}} d'une onde lumineuse est une caractéristique de la source qui ne dépend pas du milieu traversé : elle est invariante lors du changement de milieu de propagation.

   Dans l'air (assimilé au vide), la célérité de la lumière est c et la longueur d'onde s'écrit :

   \lambda_0 = \frac{c}{f_{\mathrm{L}}}

   Dans le cristal de phosphure de gallium d'indice optique n_{\mathrm{GaP}}, la vitesse de phase de l'onde lumineuse est :

   v = \frac{c}{n_{\mathrm{GaP}}}

   Par conséquent, la longueur d'onde \lambda du laser dans le milieu est donnée par :

   \lambda = \frac{v}{f_{\mathrm{L}}} = \frac{c}{n_{\mathrm{GaP}} f_{\mathrm{L}}} = \frac{\lambda_0}{n_{\mathrm{GaP}}}

   \boxed{\lambda = \frac{\lambda_0}{n_{\mathrm{GaP}}}}

   Numériquement, avec n_{\mathrm{GaP}} = 3{,}32 :

   \lambda = \frac{\lambda_0}{3{,}32} \approx 0{,}301\,\lambda_0

   En utilisant la valeur \lambda_0 = 514{,}5\text{ nm} donnée dans la sous-partie III.1 :

   \lambda = \frac{514{,}5 \cdot 10^{-9}}{3{,}32} \approx 1{,}55 \cdot 10^{-7}\text{ m} = 155\text{ nm}

   Résultat

   $$\lambda =\frac{{\lambda }_0}{n_{\mathrm{GaP}}}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

5. Exercice 5ENS Physique C PC 2022, Q14

   Au dioptre d'entrée plan (normal à l'axe de la fibre), la loi de Snell-Descartes pour la réfraction s'écrit, l'indice de l'air étant égal à 1 :

   1 \cdot \sin \theta_{\text{in}} = n_1 \sin \theta_r

   D'après la géométrie de la fibre (figure 3), la normale au dioptre d'entrée est orthogonale à la normale à l'interface cœur-gaine. Les angles \theta_r et i_1 sont donc complémentaires :

   i_1 + \theta_r = \frac{\pi}{2} \implies \sin \theta_r = \cos i_1

   Pour que le rayon se propage sans atténuation, il doit subir une réflexion totale à chaque réflexion sur l'interface cœur-gaine (n_1 > n_2). La condition de réflexion totale impose :

   \sin i_1 > \frac{n_2}{n_1}

   Comme i_1 \in \left[0, \frac{\pi}{2}\right], cette condition équivaut à :

   \cos i_1 < \sqrt{1 - \sin^2 i_1} = \sqrt{1 - \left(\frac{n_2}{n_1}\right)^2} = \frac{\sqrt{n_1^2 - n_2^2}}{n_1}

   En injectant cette relation dans la loi de réfraction au dioptre d'entrée, on obtient :

   \sin \theta_{\text{in}} = n_1 \cos i_1 < \sqrt{n_1^2 - n_2^2}

   La fonction sinus étant strictement croissante sur \left[0, \frac{\pi}{2}\right], il vient :

   \theta_{\text{in}} < \theta_c \quad \text{avec} \quad \sin \theta_c = \sqrt{n_1^2 - n_2^2}

   Par définition de l'ouverture numérique ON = \sin \theta_c, on a :

   \boxed{ON = \sqrt{n_1^2 - n_2^2}}

   Résultat

   $$ON=\sqrt{n_1^2-n_2^2}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

6. Exercice 6CentraleSupélec Physique 1 PC 2026, Q41

   1. Évaluation numérique de l'angle de réfraction \beta

   À l'interface d'entrée air \to huile, la loi de Snell-Descartes pour la réfraction s'écrit :

   n_{\text{air}} \sin\alpha = n \sin\beta

   D'où l'expression de l'angle de réfraction :

   \sin\beta = \frac{n_{\text{air}}}{n}\sin\alpha

   Avec n_{\text{air}} = 1, n = 1{,}4 et \alpha = 84{,}2^\circ :

   \sin\beta = \frac{\sin(84{,}2^\circ)}{1{,}4} \simeq \frac{0{,}9949}{1{,}4} \simeq 0{,}7106

   Soit :

   \boxed{\beta = \arcsin(0{,}7106) \simeq 45{,}3^\circ}

   2. Pénétration de la lumière dans le film

   Le faisceau passe de l'air (n_{\text{air}} = 1) vers le liquide plus réfringent (n = 1{,}4 > n_{\text{air}}). Ainsi, pour tout angle d'incidence \alpha \in [0\,;\,90^\circ] :

   \sin\beta = \frac{n_{\text{air}}}{n} \sin\alpha \leqslant \frac{n_{\text{air}}}{n} = \frac{1}{1{,}4} \simeq 0{,}714 < 1

   Il n'existe donc aucun angle limite au-delà duquel se produirait une réflexion totale : la lumière pénètre toujours dans le liquide (seule l'énergie transmise décroît lorsque \alpha \to 90^\circ, le coefficient de réflexion R tendant vers 1 sous incidence strictement rasante).

   3. Angle d'émergence des rayons après transmission

   Le film étant modélisé localement par une lame à faces parallèles, la normale à la face de sortie est parallèle à la normale à la face d'entrée. L'angle d'incidence sur la seconde interface (dans le liquide) est donc égal à \beta.

   D'après la loi de Snell-Descartes à l'interface de sortie liquide \to air, l'angle d'émergence i_e vérifie :

   n \sin\beta = n_{\text{air}} \sin i_e

   Or n \sin\beta = n_{\text{air}} \sin\alpha, d'où :

   \sin i_e = \sin\alpha \implies \boxed{i_e = \alpha = 84{,}2^\circ}

   Les rayons émergents ressortent ainsi parallèles à la direction des rayons incidents.

   Résultat

   $$\beta =\arcsin (0,7106)\simeq 45,3^{\circ }$$

   $$i_e=\alpha =84,2^{\circ }$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

7. Exercice 7CentraleSupélec Physique 1 PC 2024, Q47

   D'après la question Q45, la houle sans vent en régime d'eau peu profonde (kh \ll 1) possède une vitesse de phase indépendante de la pulsation \omega :

   c = \sqrt{gh}

   Pour la profondeur de référence h_0, la célérité vaut donc :

   c_0 = \sqrt{gh_0}

   Le rapport des vitesses s'écrit alors :

   \frac{c}{c_0} = \sqrt{\frac{h}{h_0}} = \frac{1}{\sqrt{\dfrac{h_0}{h}}}

   On peut donc écrire la vitesse de phase sous la forme :

   \boxed{c = \frac{c_0}{n(h)}}

   avec pour indice de réfraction :

   \boxed{n(h) = \sqrt{\frac{h_0}{h}}}

   La grandeur n(h) est bien sans dimension, et elle vaut l'unité pour h = h_0, en accord parfait avec l'énoncé.

   Résultat

   $$c=\frac{c_0}{n(h)}$$

   $$n(h)=\sqrt{\frac{h_0}{h}}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

8. Exercice 8CentraleSupélec Physique 1 PC 2024, Q48

   D'après la question Q47, l'indice de réfraction associé à une profondeur locale h s'écrit :

   n(h) = \sqrt{\frac{h_0}{h}}.

   Pour x \in \left[0 \,;\, \frac{h_0}{\beta}\right], la profondeur varie selon le profil linéaire :

   h(x) = h_0 - \beta x.

   En substituant cette expression dans la définition de l'indice, on obtient :

   n(x) = \sqrt{\frac{h_0}{h_0 - \beta x}} = \frac{1}{\sqrt{1 - \beta\,\dfrac{x}{h_0}}}.

   \boxed{n(x) = \frac{1}{\sqrt{1 - \beta\,\dfrac{x}{h_0}}}}

   Résultat

   $$n(x)=\frac{1}{\sqrt{1-\beta \frac{x}{h_0}}}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

9. Exercice 9CentraleSupélec Physique 1 PC 2024, Q49

   Considérons le milieu découpé en tranches élémentaires d'épaisseur \mathrm{d}x, invariantes selon Oy. Chaque interface entre deux tranches successives est un plan vertical parallèle à (Oy) de normale \vec{u}_x.

   D'après la loi de Snell-Descartes pour la réfraction de la houle énoncée par le texte :

   n(x - \mathrm{d}x)\,\sin(\theta(x - \mathrm{d}x)) = n(x)\,\sin(\theta(x))

   Par continuité et récurrence de proche en proche à travers toutes les tranches, la quantité n(x)\sin(\theta(x)) est un invariant de la trajectoire :

   n(x)\,\sin(\theta(x)) = \text{cte}

   En x = 0, l'onde incidente issue du domaine x \le 0 possède un angle d'incidence \theta_0 et se propage dans un milieu d'indice n_0 = n(h_0) = 1. L'invariant vaut donc :

   n(x)\,\sin(\theta(x)) = n(0)\,\sin(\theta_0) = \sin(\theta_0)

   D'où :

   \sin(\theta(x)) = \frac{\sin(\theta_0)}{n(x)}

   En utilisant l'expression de l'indice n(x) établie à la question Q48, n(x) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \beta \frac{x}{h_0}}}, on obtient bien pour tout x \in \left[0 ; \frac{h_0}{\beta}\right] :

   \boxed{\sin(\theta(x)) = \sin(\theta_0)\,\sqrt{1 - \beta\,\frac{x}{h_0}}}

   Résultat

   $$\sin (\theta (x))=\sin ({\theta }_0)\sqrt{1-\beta \frac{x}{h_0}}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

10. Exercice 10Polytechnique Physique A PC 2024, Q33

    D'après la relation établie à la question Q32, l'inclinaison i du rayon sonore par rapport à la verticale vérifie :

    \sin i(z) = \frac{k_x}{\omega}\, c(z)

    Comme la fonction sinus est bornée par 1, la propagation sous forme de rayon n'est possible que si :

    \sin i(z) \le 1 \iff c(z) \le \frac{\omega}{k_x}

    De manière équivalente, la relation de dispersion obtenue à la question Q31 s'écrit :

    k_z(z)^2 = \frac{\omega^2}{c(z)^2} - k_x^2 \ge 0

    ce qui impose également c(z) \le \frac{\omega}{k_x}.

    Par hypothèse, c(z) croît de manière continue et indéfinie lorsque z diminue (en s'enfonçant dans le Soleil). Il existe donc une profondeur limite, notée z_{\text{min}}, pour laquelle cette borne est atteinte :

    \boxed{c(z_{\text{min}}) = \frac{\omega}{k_x}}

    À cette altitude z_{\text{min}}, on a \sin i = 1, soit i = \frac{\pi}{2} : le rayon sonore devient strictement horizontal (k_z = 0). Pour z < z_{\text{min}}, on aurait k_z^2 < 0 (champ évanescent) ; le rayon ne peut donc pas pénétrer dans cette région et subit une réflexion totale continue, remontant vers la surface.

    Résultat

    $$c(z_{\text{min}})=\frac{\omega }{k_x}$$

    Indice, stratégie et pièges de cette question