Feuille d'entraînement : Cinématique des fluides

Corrigés

1. Exercice 1CCINP Physique PC 2026, Q30

   Considérons un écoulement unidimensionnel selon l'axe (Ox), où la masse volumique \rho(x,t) et la vitesse \vec{v}(x,t) = v(x,t)\,\vec{u}_x ne dépendent spatialement que de x.

   On définit un volume de contrôle fixe dans le référentiel d'étude (approche eulérienne), délimité par deux sections transversales d'aire S situées en x et x + \mathrm{d}x. Le volume géométrique de cette tranche est \mathrm{d}\tau = S\,\mathrm{d}x.

   À l'instant t, la masse de fluide contenue dans ce volume s'écrit :

   m(t) = \rho(x,t)\,S\,\mathrm{d}x.

   Pendant l'intervalle de temps \mathrm{d}t :

   • la masse entrant par la face en x est la masse du cylindre de fluide de longueur v(x,t)\,\mathrm{d}t et de section S :

     \delta m_e = \rho(x,t)\,v(x,t)\,S\,\mathrm{d}t ;

   • la masse sortant par la face en x + \mathrm{d}x est :

     \delta m_s = \rho(x+\mathrm{d}x,t)\,v(x+\mathrm{d}x,t)\,S\,\mathrm{d}t.

   En l'absence de création ou de destruction de matière (conservation de la masse), la variation de masse \mathrm{d}m = m(t+\mathrm{d}t) - m(t) du volume de contrôle est égale au bilan des flux de matière entrant et sortant :

   \begin{aligned} m(t+\mathrm{d}t) - m(t) &= \delta m_e - \delta m_s \\ \left[\rho(x, t+\mathrm{d}t) - \rho(x,t)\right] S\,\mathrm{d}x &= \left[\rho(x,t)\,v(x,t) - \rho(x+\mathrm{d}x,t)\,v(x+\mathrm{d}x,t)\right] S\,\mathrm{d}t. \end{aligned}

   Au premier ordre en \mathrm{d}t et \mathrm{d}x :

   \begin{aligned} \rho(x, t+\mathrm{d}t) - \rho(x,t) &= \frac{\partial \rho}{\partial t}\,\mathrm{d}t, \\ \rho(x+\mathrm{d}x,t)\,v(x+\mathrm{d}x,t) - \rho(x,t)\,v(x,t) &= \frac{\partial(\rho v)}{\partial x}\,\mathrm{d}x. \end{aligned}

   En injectant ces développements dans le bilan et en simplifiant par le facteur commun non nul S\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}t, on obtient :

   \frac{\partial \rho}{\partial t} + \frac{\partial(\rho v)}{\partial x} = 0.

   En introduisant le vecteur densité de courant volumique de masse \vec{\jmath}_m = \rho\vec{v}, l'opérateur \frac{\partial(\rho v)}{\partial x} s'identifie à \operatorname{div}(\rho\vec{v}) à une dimension. On en déduit l'équation locale de conservation de la masse (ou équation de continuité) en géométrie tridimensionnelle quelconque :

   \boxed{\frac{\partial \rho}{\partial t} + \operatorname{div}(\rho\vec{v}) = 0}

   Résultat

   $$\frac{\partial \rho }{\partial t}+\mathrm{div}(\rho \vec{v})=0$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

2. Exercice 2CCINP Physique PC 2026, Q31

   La dérivée particulaire (ou dérivée totale le long du mouvement) de la masse volumique \rho(\vec{r},t) s'écrit :

   \frac{\mathrm{D}\rho}{\mathrm{D}t} = \frac{\partial \rho}{\partial t} + \vec{v} \cdot \overrightarrow{\operatorname{grad}}\rho

   D'après la formule d'analyse vectorielle fournie dans le formulaire pour un champ scalaire a = \rho et un champ vectoriel \vec{b} = \vec{v} :

   \operatorname{div}(\rho \vec{v}) = \rho \operatorname{div}\vec{v} + \vec{v} \cdot \overrightarrow{\operatorname{grad}}\rho

   En injectant cette relation dans l'équation locale de conservation de la masse établie en Q30 :

   \begin{aligned} \frac{\partial \rho}{\partial t} + \operatorname{div}(\rho\vec{v}) &= 0 \\ \left(\frac{\partial \rho}{\partial t} + \vec{v} \cdot \overrightarrow{\operatorname{grad}}\rho\right) + \rho \operatorname{div}\vec{v} &= 0 \end{aligned}

   On obtient ainsi l'équation de continuité sous la forme :

   \frac{\mathrm{D}\rho}{\mathrm{D}t} + \rho \operatorname{div}\vec{v} = 0

   Un écoulement est dit incompressible si le volume de chaque particule fluide se conserve au cours de son mouvement, ce qui équivaut à une masse volumique constante le long de la trajectoire de la particule :

   \frac{\mathrm{D}\rho}{\mathrm{D}t} = 0

   La masse volumique \rho étant strictement positive, on en déduit la condition nécessaire et suffisante sur le champ de vitesse :

   \boxed{\operatorname{div}\vec{v} = 0}

   Le champ des vitesses d'un écoulement incompressible est donc à divergence nulle (champ solénoïdal).

   Résultat

   $$\mathrm{div}\vec{v}=0$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

3. Exercice 3CentraleSupélec Physique 1 PC 2024, Q28

   L'équation locale de conservation de la masse pour un écoulement s'écrit :

   \frac{\partial \rho}{\partial t} + \mathrm{div}(\rho \vec{v}) = 0

   Les fluides étant homogènes et incompressibles, leurs masses volumiques respectives \rho_1 et \rho_2 sont uniformes et constantes, ce qui conduit à la condition d'incompressibilité :

   \mathrm{div}\,\vec{v}_1 = 0 \quad \text{et} \quad \mathrm{div}\,\vec{V}_2 = 0

   Pour le fluide (1) (eau) : Le champ de vitesse dérive du potentiel \varphi_1 selon \vec{v}_1 = \vec{\mathrm{grad}}(\varphi_1). D'après le formulaire :

   \mathrm{div}\,\vec{v}_1 = \mathrm{div}(\vec{\mathrm{grad}}\,\varphi_1) = \Delta \varphi_1

   La condition d'incompressibilité impose immédiatement :

   \boxed{\Delta \varphi_1 = 0}

   Pour le fluide (2) (air) : Le champ des vitesses s'écrit \vec{V}_2 = \vec{\mathrm{grad}}(Ux + \varphi_2) = U\vec{u}_x + \vec{\mathrm{grad}}(\varphi_2). En prenant la divergence :

   \begin{aligned} \mathrm{div}\,\vec{V}_2 &= \mathrm{div}(U\vec{u}_x) + \mathrm{div}(\vec{\mathrm{grad}}\,\varphi_2) \\ &= \frac{\partial U}{\partial x} + \Delta \varphi_2 \end{aligned}

   La vitesse du vent non perturbé U étant constante et uniforme, \dfrac{\partial U}{\partial x} = 0, d'où :

   \mathrm{div}\,\vec{V}_2 = \Delta \varphi_2 = 0

   On obtient ainsi :

   \boxed{\Delta \varphi_2 = 0}

   Les potentiels des vitesses vérifient donc tous deux l'équation de Laplace (écoulements à potentiel laplacien).

   Résultat

   $$\Delta {\phi }_1=0$$

   $$\Delta {\phi }_2=0$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

4. Exercice 4CentraleSupélec Physique 1 PC 2024, Q31

   Le champ des vitesses dans l'eau s'écrit \vec{v}_1 = u_1(x,z,t)\,\vec{u}_x + w_1(x,z,t)\,\vec{u}_z (l'écoulement étant invariant par translation selon Oy). Par définition du potentiel des vitesses, \vec{v}_1 = \vec{\operatorname{grad}}\,\varphi_1, ce qui donne pour les composantes :

   \boxed{u_1(x,z,t) = \frac{\partial \varphi_1}{\partial x}(x,z,t) \quad \text{et} \quad w_1(x,z,t) = \frac{\partial \varphi_1}{\partial z}(x,z,t)}

   En z = -h, le fond océanique est modélisé par une paroi solide, plane, horizontale et fixe. L'eau étant considérée comme un fluide parfait, la condition aux limites est la condition d'imperméabilité (ou de non-pénétration) : la composante normale de la vitesse du fluide doit être égale à celle de la paroi, soit nulle ici :

   \vec{v}_1(x, -h, t) \cdot \vec{u}_z = w_1(x, -h, t) = 0

   En introduisant le potentiel des vitesses, on en déduit la condition limite portant sur \varphi_1 :

   \boxed{\frac{\partial \varphi_1}{\partial z}(x, -h, t) = 0}

   Résultat

   $$u_1(x,z,t)=\frac{\partial {\phi }_1}{\partial x}(x,z,t)\text{et}{w}_1(x,z,t)=\frac{\partial {\phi }_1}{\partial z}(x,z,t)$$

   $$\frac{\partial {\phi }_1}{\partial z}(x,-h,t)=0$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

5. Exercice 5Mines-Ponts Physique 2 PC 2024, Q11

   L'équation locale traduisant la conservation de la masse (ou équation de continuité) s'écrit :

   \boxed{\frac{\partial \rho}{\partial t} + \operatorname{div}(\rho \vec{v}) = 0}

   Elle peut également s'écrire sous la forme équivalente :

   \frac{\partial \rho}{\partial t} + \vec{\nabla} \cdot (\rho \vec{v}) = 0

   Résultat

   $$\frac{\partial \rho }{\partial t}+\mathrm{div}(\rho \vec{v})=0$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

6. Exercice 6X-ENS Physique B PC 2024, Q1

   La taille caractéristique a de la particule fluide doit satisfaire la double inégalité :

   \boxed{\ell_{\text{micro}} \ll a \ll L_{\text{macro}}}

   où :

   • \ell_{\text{micro}} est l'échelle microscopique caractéristique, représentée par la distance intermoléculaire moyenne d dans un liquide ou par le libre parcours moyen \ell_{\text{libre}} dans un gaz. Cette condition (a \gg \ell_{\text{micro}}) garantit que la particule renferme un nombre de molécules N \gg 1, de sorte que les grandeurs thermodynamiques et mécaniques locales (\rho, p, T, \vec{v}) soient bien définies avec des fluctuations statistiques relatives négligeables (\sim 1/\sqrt{N} \ll 1) ;
   • L_{\text{macro}} est l'échelle macroscopique spatiale sur laquelle varient significativement les champs d'écoulement (dans le cas présent, la longueur d'onde acoustique \lambda ou une échelle caractéristique du milieu). Cette condition (a \ll L_{\text{macro}}) autorise l'assimilation de la particule fluide à un point géométrique et permet l'emploi du calcul différentiel (milieu continu).

   Résultat

   $${\ell }_{\text{micro}}\ll a\ll L_{\text{macro}}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

7. Exercice 7CentraleSupélec Physique 1 PC 2023, Q27

   D'après l'énoncé, l'écoulement extérieur est supposé irrotationnel dans tout le domaine d'étude :

   \overrightarrow{\operatorname{rot}}(\vec{v}_e) = \vec{0}

   D'après les relations entre opérateurs fournies dans l'énoncé (rappelant que le rotationnel d'un gradient est identiquement nul), un champ vectoriel à rotationnel nul dérive d'un champ scalaire \varphi, appelé potentiel des vitesses, tel que :

   \boxed{\vec{v}_e = \overrightarrow{\operatorname{grad}}\varphi}

   Par ailleurs, le fluide est homogène (masse volumique \rho uniforme et constante) et l'écoulement est incompressible. L'équation locale de conservation de la masse s'écrit :

   \frac{\partial \rho}{\partial t} + \operatorname{div}(\rho \vec{v}_e) = 0 \implies \operatorname{div}(\vec{v}_e) = 0

   En injectant l'expression du champ de vitesse en fonction de \varphi dans la condition d'incompressibilité et en utilisant l'identité \operatorname{div}(\overrightarrow{\operatorname{grad}}\varphi) = \Delta \varphi, il vient :

   \operatorname{div}(\overrightarrow{\operatorname{grad}}\varphi) = 0

   Le potentiel des vitesses \varphi vérifie donc l'équation de Laplace :

   \boxed{\Delta \varphi = 0}

   Résultat

   $${\vec{v}}_e=\overrightarrow{\mathrm{grad}}\phi$$

   $$\Delta \phi =0$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

8. Exercice 8CentraleSupélec Physique 2 PC 2023, Q26

   L'équation locale de conservation de la masse (ou équation de continuité) s'écrit de manière générale :

   \frac{\partial \mu}{\partial t} + \operatorname{div}(\mu \vec{v}) = 0

   Dans le cas d'un écoulement unidimensionnel le long de l'axe (Ox), où \vec{v}(x,t) = v_1(x,t)\,\vec{u}_x, elle prend la forme scalaire :

   \frac{\partial \mu}{\partial t} + \frac{\partial(\mu v)}{\partial x} = 0

   On injecte la décomposition du champ de masse volumique \mu(x,t) = \mu_0 + \mu_1(x,t) et de la vitesse v(x,t) = v_1(x,t) :

   \frac{\partial(\mu_0 + \mu_1)}{\partial t} + \frac{\partial\bigl((\mu_0 + \mu_1)v_1\bigr)}{\partial x} = 0

   Puisque l'état d'équilibre est homogène et stationnaire, \frac{\partial \mu_0}{\partial t} = 0. Le développement donne ainsi :

   \frac{\partial \mu_1}{\partial t} + \mu_0 \frac{\partial v_1}{\partial x} + \frac{\partial(\mu_1 v_1)}{\partial x} = 0

   Dans le cadre de l'approximation acoustique, les perturbations sont d'ordre 1 (\mu_1 \ll \mu_0 et v_1 \ll c_s), si bien que le terme \mu_1 v_1 est un infiniment petit du second ordre, négligeable devant les termes du premier ordre. L'équation de conservation de la masse linéarisée s'écrit donc :

   \boxed{\frac{\partial \mu_1}{\partial t} + \mu_0 \frac{\partial v_1}{\partial x} = 0}

   Résultat

   $$\frac{\partial {\mu }_1}{\partial t}+{\mu }_0\frac{\partial v_1}{\partial x}=0$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

9. Exercice 9E3A Physique-Chimie PC 2023, Q6

   Le fluide étudié étant un liquide, il est considéré comme incompressible (\rho = \rho_0 = \text{cste}). En régime stationnaire, la conservation de la masse à travers un tube de courant se traduit par la conservation du débit volumique D_v le long de l'écoulement.

   L'écoulement étant modélisé comme unidimensionnel, la vitesse est considérée comme uniforme sur toute section droite. Le débit volumique à travers une section droite S où la vitesse vaut v s'écrit :

   D_v = v \, S

   En exprimant l'égalité du débit volumique au niveau de la section d'entrée S_1 et au niveau du col S_2, on obtient la relation de continuité :

   \boxed{v_1 \, S_1 = v_2 \, S_2}

   soit encore :

   v_2 = v_1 \frac{S_1}{S_2}

   Résultat

   $$v_1{S}_1=v_2{S}_2$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

10. Exercice 10Mines-Ponts Physique 2 PC 2023, Q15

    Considérons le parallélépipède fixe de volume \mathrm{d}\tau = \mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}z délimité par [x, x+\mathrm{d}x] \times [y, y+\mathrm{d}y] \times [z, z+\mathrm{d}z].

    À l'instant t, la masse contenue dans ce volume est :

    m(t) = \rho(x,z,t)\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}z

    Pendant la durée \mathrm{d}t, la variation de cette masse s'écrit au premier ordre :

    \mathrm{d}m = m(t+\mathrm{d}t) - m(t) = \frac{\partial \rho}{\partial t}(x,z,t)\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}z\,\mathrm{d}t

    Pendant cette même durée \mathrm{d}t, de la matière traverse les six faces du volume de contrôle :

    • Suivant l'axe x : le fluide entre par la face d'aire \mathrm{d}y\,\mathrm{d}z située en x et sort par celle située en x+\mathrm{d}x. Le bilan net entrant s'écrit :

      \begin{aligned} \delta m_x &= \left[ \rho(x,z,t)\,u_x(x,z,t) - \rho(x+\mathrm{d}x,z,t)\,u_x(x+\mathrm{d}x,z,t) \right] \mathrm{d}y\,\mathrm{d}z\,\mathrm{d}t \\ &= -\frac{\partial (\rho u_x)}{\partial x}\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}z\,\mathrm{d}t \end{aligned}

    • Suivant l'axe y : le fluide ayant une vitesse nulle selon cette direction (u_y = 0), le flux de matière à travers les faces orthogonales à \widehat{e}_y est nul :

      \delta m_y = 0

    • Suivant l'axe z : de façon similaire à la direction x :

      \begin{aligned} \delta m_z &= \left[ \rho(x,z,t)\,u_z(x,z,t) - \rho(x,z+\mathrm{d}z,t)\,u_z(x,z+\mathrm{d}z,t) \right] \mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}t \\ &= -\frac{\partial (\rho u_z)}{\partial z}\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}z\,\mathrm{d}t \end{aligned}

    En l'absence de création ou de destruction de matière au sein du volume, la conservation de la masse impose :

    \mathrm{d}m = \delta m_x + \delta m_y + \delta m_z

    Soit, en simplifiant par \mathrm{d}\tau\,\mathrm{d}t = \mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}z\,\mathrm{d}t :

    \frac{\partial \rho}{\partial t} = -\frac{\partial (\rho u_x)}{\partial x} - \frac{\partial (\rho u_z)}{\partial z}

    On obtient ainsi la loi locale de conservation de la matière :

    \boxed{\frac{\partial \rho}{\partial t} + \frac{\partial (\rho u_x)}{\partial x} + \frac{\partial (\rho u_z)}{\partial z} = 0}

    Résultat

    $$\frac{\partial \rho }{\partial t}+\frac{\partial (\rho u_x)}{\partial x}+\frac{\partial (\rho u_z)}{\partial z}=0$$

    Indice, stratégie et pièges de cette question