Corrigé détaillé E3A Physique Chimie PC 2023

Considérons le volume élémentaire de fluide \mathrm{d}\tau = \mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}z centré en M(x,y,z). Les forces de pression s'exercent perpendiculairement aux six faces du parallélépipède et sont dirigées vers l'intérieur du volume.

• Sur les deux faces d'aire \mathrm{d}S_x = \mathrm{d}y\,\mathrm{d}z, perpendiculaires à l'axe (Ox) :

  • en x - \dfrac{\mathrm{d}x}{2}, la force pressante s'écrit :

    \mathrm{d}\vec{F}_{x-} = P\left(x - \frac{\mathrm{d}x}{2}, y, z\right)\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}z\,\vec{e}_x

  • en x + \dfrac{\mathrm{d}x}{2}, la force pressante s'écrit :

    \mathrm{d}\vec{F}_{x+} = -P\left(x + \frac{\mathrm{d}x}{2}, y, z\right)\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}z\,\vec{e}_x

  La résultante selon \vec{e}_x vaut donc :

  \begin{aligned} \mathrm{d}\vec{F}_{p,x} &= \left[ P\left(x - \frac{\mathrm{d}x}{2}, y, z\right) - P\left(x + \frac{\mathrm{d}x}{2}, y, z\right) \right] \mathrm{d}y\,\mathrm{d}z\,\vec{e}_x \\ &= -\frac{\partial P}{\partial x}\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}z\,\vec{e}_x = -\frac{\partial P}{\partial x}\,\mathrm{d}\tau\,\vec{e}_x \end{aligned}

• De manière totalement analogue pour les faces perpendiculaires à (Oy) et (Oz) :

  \begin{aligned} \mathrm{d}\vec{F}_{p,y} &= -\frac{\partial P}{\partial y}\,\mathrm{d}\tau\,\vec{e}_y \\ \mathrm{d}\vec{F}_{p,z} &= -\frac{\partial P}{\partial z}\,\mathrm{d}\tau\,\vec{e}_z \end{aligned}

La force de pression totale s'exerçant sur le volume élémentaire \mathrm{d}\tau est la somme de ces trois composantes :

Par définition de l'équivalent volumique (ou densité volumique de force) \vec{F}_v tel que \mathrm{d}\vec{F}_p = \vec{F}_v\,\mathrm{d}\tau, on en déduit :

La force de pesanteur s'exerçant sur le volume élémentaire \mathrm{d}\tau est \mathrm{d}\vec{P} = \mathrm{d}m\,\vec{g} = \rho_0\vec{g}\,\mathrm{d}\tau. La force volumique associée s'écrit donc :

puisque l'axe (Oz) est vertical et orienté vers le bas.

À l'équilibre hydrostatique dans le référentiel d'étude, la somme des forces volumiques agissant sur la particule fluide est nulle :

En utilisant l'expression de \vec{F}_v obtenue à la question Q1, on en déduit la condition d'équilibre locale (équation fondamentale de la statique des fluides) :

D'après la condition d'équilibre locale obtenue à la question Q2 :

Par symétrie plane du problème, la pression ne dépend que de la coordonnée verticale z. La projection sur les axes donne :

L'eau de mer étant supposée incompressible et homogène, sa masse volumique \rho_0 est constante. En intégrant par rapport à z :

où C est une constante d'intégration. En utilisant la condition à la surface libre P(z=0) = P_0 :

On en déduit l'expression de la pression à la profondeur z :

Le sous-marin étant assimilé à un cylindre de rayon R et de longueur L entièrement immergé, son volume s'écrit :

La poussée d'Archimède \vec{\Pi} est égale à l'opposé du poids du volume de fluide déplacé. Avec l'axe (Oz) orienté verticalement vers le bas, l'accélération de la pesanteur s'écrit \vec{g} = g\,\vec{e}_z. L'expression vectorielle de la poussée d'Archimède est donc :

Signification physique :

• Par définition mécanique, cette force représente la résultante des forces de pression exercées par le fluide environnant sur l'ensemble de la surface fermée du solide immergé : \vec{\Pi} = \oiint -P\,\vec{n}_{\text{ext}}\,\mathrm{d}S. Les forces de pression étant plus intenses sur la partie inférieure du corps (où la profondeur et donc la pression sont plus grandes) que sur sa partie supérieure, la résultante est dirigée vers le haut.
• En vertu du théorème de Green-Ostrogradski et de la loi de l'hydrostatique, elle équivaut exactement à l'opposé du poids du volume de fluide déplacé par le corps immergé, et s'applique au centre de poussée (ou centre de carène), confondu ici avec le centre géométrique du cylindre.

1. Rôle des ballasts

Les ballasts sont des réservoirs situés entre la coque mince et la coque épaisse, permettant d'ajuster la flottabilité globale du sous-marin :

• Pour plonger : on ouvre les purges situées en partie haute afin de chasser l'air et de remplir les ballasts d'eau de mer. La masse totale du submersible augmente ; le poids devient supérieur à la poussée d'Archimède, entraînant l'immersion.
• Pour faire surface : on chasse l'eau des ballasts à l'aide d'air comprimé. La masse du sous-marin diminue ; le poids devient inférieur à la poussée d'Archimède, assurant la remontée.

2. Coque mince et coque épaisse

• Coque externe (mince) : elle délimite les ballasts et assure le profilage hydrodynamique du sous-marin. En immersion, les ballasts sont inondés d'eau de mer : la pression sur la face interne de la coque mince compense quasi exactement la pression de l'eau sur sa face externe (\Delta P \approx 0). Ne subissant aucune contrainte mécanique majeure d'écrasement, elle peut être de faible épaisseur.
• Coque interne (épaisse) : elle abrite l'équipage et le matériel, maintenus à la pression atmosphérique (P_{\text{int}} \approx P_0 \approx 1\text{ bar}). Elle subit donc directement sur sa face externe la totalité de la pression hydrostatique de l'eau présente dans les ballasts. Le gradient de pression \Delta P = P(z) - P_0 \approx \rho_0 g z engendre un effort d'écrasement considérable : cette coque doit être épaisse et très résistante afin d'éviter l'implosion.

3. Risque d'implosion à z_c = 300\text{ m}

D'après le résultat de la question Q3, la pression hydrostatique à la profondeur z_c = 300\text{ m} vaut :

Application numérique :

La différence de pression subie par la coque épaisse est :

L'acier « 100 HLES » (acier à haute limite d'élasticité) résiste à une contrainte (assimilée ici à une pression) de 100\text{ kg}\cdot\text{mm}^{-2} :

La pression de l'eau à 300\text{ m} (environ 3\text{ MPa}) est très largement inférieure à la résistance nominale du matériau (environ 980\text{ MPa}) :

Le fluide étudié étant un liquide, il est considéré comme incompressible (\rho = \rho_0 = \text{cste}). En régime stationnaire, la conservation de la masse à travers un tube de courant se traduit par la conservation du débit volumique D_v le long de l'écoulement.

L'écoulement étant modélisé comme unidimensionnel, la vitesse est considérée comme uniforme sur toute section droite. Le débit volumique à travers une section droite S où la vitesse vaut v s'écrit :

En exprimant l'égalité du débit volumique au niveau de la section d'entrée S_1 et au niveau du col S_2, on obtient la relation de continuité :

soit encore :

1. Conditions d'application du théorème de Bernoulli

Le théorème de Bernoulli s'applique le long d'une ligne de courant sous les hypothèses suivantes :

• écoulement stationnaire (ou permanent) ;
• fluide incompressible et homogène (\rho_0 = \text{cte}) ;
• fluide parfait (viscosité négligeable, pas de pertes de charge) ;
• forces volumiques conservatives dérivant d'une énergie potentielle (ici la pesanteur).

2. Différence de pression P(C) - P(E)

Le tube étant horizontal, les points E et C sont à la même altitude (z_E = z_C). La relation de Bernoulli entre E et C s'écrit :

D'après la question Q6, la conservation du débit volumique donne v_2 = v_1 \dfrac{S_1}{S_2}. On en déduit :

Comme S_1 > S_2, on a P(C) - P(E) < 0 : la pression chute au niveau de l'étranglement (effet Venturi).

3. Diagramme (P, T) de l'eau

Les deux points caractéristiques sont :

• le point triple \mathrm{T} : équilibre simultané des trois phases (solide, liquide, vapeur) ;
• le point critique \mathrm{C_r} : extrémité de la courbe d'équilibre liquide-vapeur au-delà duquel les phases liquide et gaz ne se distinguent plus (fluide supercritique).

4. Apparition d'une bulle de vapeur (cavitation)

Considérons une particule fluide initialement au point M dans l'état liquide à la température T et à la pression P(E) > P_{\text{sat}}(T). L'écoulement étant rapide, les échanges thermiques sont négligeables et l'évolution est quasi-isotherme.

Lorsque le fluide s'accélère vers le col C, sa vitesse augmente considérablement (v_2 > v_1), ce qui entraîne une chute de pression. Si la vitesse au col est suffisamment grande, la pression locale P(C) peut descendre en dessous de la pression de vapeur saturante de l'eau à cette température :

Le fluide traverse la courbe d'ébullition (trajectoire verticale descendante M \to M') : une vaporisation locale se produit brutalement, conduisant à l'apparition de microbulles de vapeur d'eau au niveau de la section minimale S_2 (le col C).

1. Cas du fluide parfait (non visqueux) : Pour un fluide incompressible en écoulement stationnaire dans un tube horizontal, la conservation du débit volumique donne v(x) = \frac{D_v}{S(x)}. D'après le théorème de Bernoulli, la pression s'écrit :

• De E à C (convergent) : la section S(x) diminue, la vitesse v(x) augmente, donc la pression P(x) décroît jusqu'à un minimum au col C où la section S_2 est minimale.
• De C à S (divergent) : la section réaugmente, le fluide ralentit et la pression remonte.

• Le tube étant symétrique (S(E) = S(S) = S_1 et S(A) = S(B)), la courbe est symétrique par rapport à l'abscisse x_C, avec une restauration complète de la pression en sortie :

  P(S) = P(E)

2. Prise en compte de la viscosité du fluide : La viscosité induit des contraintes de cisaillement au sein du fluide et aux parois, entraînant une dissipation irréversible d'énergie mécanique en énergie thermique (dissipation visqueuse). Il en résulte une diminution continue de la pression totale le long de l'écoulement. La pression est donc inférieure en tout point à celle calculée sans viscosité, et la remontée de pression dans le divergent est incomplète :

3. Graphique comparatif :

4. Nom du phénomène : Le phénomène responsable de cette chute supplémentaire et irréversible de pression s'appelle les pertes de charge (ou la dissipation visqueuse).

1. Influence de la température de l'eau sur la discrétion acoustique

La cavitation est la vaporisation locale du fluide provoquée par une chute de pression sous la pression de vapeur saturante :

L'implosion des bulles de cavitation génère un bruit acoustique important, très néfaste à la discrétion du sous-marin.

D'après le diagramme d'état (P, T) de l'eau (établi à la question Q7), la pression de vapeur saturante P_{\text{sat}}(T) est une fonction strictement croissante de la température. Ainsi :

En eau chaude, la pression de vapeur saturante étant plus élevée, le seuil de pression critique est atteint pour une dépression moins marquée (donc à des vitesses d'hélice plus faibles). La cavitation y apparaît donc plus facilement :

2. Apparition des bulles à l'extrémité de l'hélice

À l'extrémité des pales, à une distance R_{\text{hélice}} = D/2 de l'axe, la vitesse linéaire de rotation v = \omega R_{\text{hélice}} est identique en haut et en bas de l'hélice. La dépression dynamique induite par l'écoulement autour du profil de pale est donc la même.

En revanche, d'après la relation fondamentale de l'hydrostatique (question Q3), la pression au repos croît avec la profondeur z :

Pour une hélice de diamètre D = 10\text{ m}, le haut de l'hélice se situe à une immersion inférieure de D par rapport au bas. L'écart de pression statique vaut :

La pression statique environnante étant nettement plus faible au sommet de l'hélice, la pression absolue locale P atteint la valeur critique P_{\text{sat}}(T) en premier en ce point :

1. Équation locale de conservation de la masse

L'équation locale de conservation de la masse s'écrit de manière générale :

Le fluide étant supposé incompressible et homogène, sa masse volumique est uniforme et constante (\rho = \rho_0 = \text{cte}), ce qui simplifie l'équation sous la forme :

2. Condition d'imperméabilité de la paroi \Sigma

La paroi \Sigma de la microbulle est située à la coordonnée radiale r = R(t). L'imperméabilité de la paroi signifie qu'il n'y a pas de transfert de matière à travers l'interface liquide-gaz : le fluide immédiatement au contact de la paroi se déplace radialement à la même vitesse que celle-ci :

3. Déduction de la loi de vitesse radiale

Le champ de vitesse étant purement radial et à symétrie sphérique, \vec{v}(r,t) = v(r,t)\,\vec{e}_r. D'après l'expression de la divergence en coordonnées sphériques fournie dans les données :

Il en résulte que la quantité r^2\,v(r,t) est indépendante de r et ne dépend que du temps t. En introduisant la fonction scalaire temporelle -A(t) comme constante d'intégration spatiale, on obtient :

ce qui correspond bien à la relation demandée.

4. Expression de A(t)

En évaluant le champ de vitesse sur la paroi de la bulle en r = R(t) :

En injectant la condition d'imperméabilité v(R(t), t) = \frac{\mathrm{d}R(t)}{\mathrm{d}t}, on en déduit directement :

L'eau de mer étant modélisée comme un fluide parfait homogène et incompressible de masse volumique \rho_0, l'équation de Navier-Stokes se réduit à l'équation d'Euler :

où la pesanteur est négligée conformément à l'énoncé.

L'écoulement étant purement radial et à symétrie sphérique, la vitesse s'écrit \vec{v} = v(r,t)\,\vec{e}_r. D'après les formules fournies :

La projection de l'équation d'Euler sur l'axe radial \vec{e}_r donne :

soit :

D'après le résultat de la question Q10, v(r,t) = -\dfrac{A(t)}{r^2}. Calculons les différentes dérivées :

En réinjectant ces expressions dans la projection de l'équation d'Euler, il vient :

D'où l'expression finale :

L'équation différentielle fournie par l'énoncé s'écrit :

La bulle existe pour t \in [0, \tau], avec R(0) = R_0 et R(\tau) = 0. En séparant les variables :

En intégrant entre t = 0 et t = \tau :

On effectue le changement de variable u = \frac{R}{R_0}, d'où \mathrm{d}R = R_0\,\mathrm{d}u :

On obtient ainsi l'expression du temps de Rayleigh :

Application numérique :

• \rho_0 = 1,0\cdot 10^3\text{ kg}\cdot\text{m}^{-3}
• p_{\infty,0} = 1,0\cdot 10^5\text{ Pa}
• p_{\text{sat}}(T) = 2,4\cdot 10^3\text{ Pa} d'où p_{\infty,0} - p_{\text{sat}}(T) = 9,76\cdot 10^4\text{ Pa}
• R_0 = 2,0\text{ mm} = 2,0\cdot 10^{-3}\text{ m}
• J = 0,747

Commentaire : Dans une boisson pétillante (soda, eau gazeuse, champagne), une bulle subsiste typiquement pendant plusieurs secondes lors de sa montée vers la surface libre (\tau_{\text{boisson}} \sim 1\text{ à }10\text{ s}). Le temps d'implosion par cavitation calculé ici est de l'ordre d'une fraction de milliseconde (\sim 0,2\text{ ms}), soit environ quatre ordres de grandeur plus court. Il s'agit d'un effondrement extrêmement bref et violent.

Dans l'eau de mer assimilée à un milieu linéaire, homogène et isotrope de permittivité absolue \varepsilon = \varepsilon_0 \varepsilon_r et de perméabilité magnétique \mu_0, les quatre équations de Maxwell s'écrivent :

Prenons la divergence de l'équation de Maxwell-Ampère :

Or, d'après l'identité vectorielle rappelée dans les données, la divergence d'un rotationnel est identiquement nulle (\operatorname{div}(\vec{\operatorname{rot}}\vec{B}) = 0). En substituant \operatorname{div}\vec{E} = \frac{\rho}{\varepsilon} (équation de Maxwell-Gauss), il vient :

Comme \varepsilon est constant et \mu_0 \neq 0, on obtient l'équation locale de conservation de la charge électrique :

D'après la loi d'Ohm locale dans l'eau de mer homogène, \vec{j} = \gamma\vec{E}, d'où :

L'équation de conservation de la charge devient alors :

Cette équation différentielle linéaire du premier ordre s'intègre sous la forme :

où l'on a introduit le temps de relaxation des charges :

Application numérique avec \varepsilon_r = 81, \varepsilon_0 = 8,85\cdot 10^{-12}\text{ F}\cdot\text{m}^{-1} et \gamma = 4\text{ S}\cdot\text{m}^{-1} :

Ce temps de relaxation est extrêmement court devant toutes les échelles temporelles caractéristiques des ondes utilisées (pour des fréquences inférieures à quelques dizaines de mégahertz, et a fortiori dans le domaine VLF de 3 à 30 kHz où la période varie entre 30 et 330 \mus). Tout déséquilibre initial de charge se dissipe donc quasi instantanément vers les frontières du milieu. L'eau de mer est ainsi un milieu localement neutre :

D'après la question Q13, l'eau de mer est un milieu localement neutre (\rho = 0), ce qui simplifie l'équation de Maxwell-Gauss en :

Prenons le rotationnel de l'équation de Maxwell-Faraday :

En utilisant l'identité vectorielle fournie, \vec{\operatorname{rot}}(\vec{\operatorname{rot}}\vec{E}) = \vec{\operatorname{grad}}(\operatorname{div}\vec{E}) - \vec{\Delta}\vec{E}, et la condition \operatorname{div}\vec{E} = 0, le membre de gauche s'écrit :

Par ailleurs, l'équation de Maxwell-Ampère dans l'eau de mer s'écrit avec la loi d'Ohm locale \vec{\jmath} = \gamma\vec{E} :

En dérivant cette expression par rapport au temps :

En identifiant les deux expressions de \vec{\operatorname{rot}}(\vec{\operatorname{rot}}\vec{E}), on obtient :

soit l'équation aux dérivées partielles vérifiée par le champ électrique :

Cette équation est également vérifiée par la représentation complexe \underline{\vec{E}}(M,t).

Le champ électrique recherché sous forme d'onde plane progressive harmonique s'écrit :

Les dérivées temporelles et spatiales en régime harmonique complexe se traduisent par les règles de dérivation :

En reportant ces opérateurs dans l'équation aux dérivées partielles obtenue à la question Q14 :

on obtient pour une onde d'amplitude non nulle (\underline{\vec{E}} \neq \vec{0}) :

La relation de dispersion de l'OPPH dans l'eau de mer s'écrit donc :

ou de façon équivalente :

Cas limite du vide : Dans le vide, la conductivité est nulle (\gamma = 0) et la permittivité absolue coïncide avec celle du vide (\varepsilon = \varepsilon_0). La relation de dispersion devient alors :

Le vecteur d'onde est alors purement réel (k \in \mathbb{R}^+) :

où c = \frac{1}{\sqrt{\mu_0\varepsilon_0}} est la célérité des ondes électromagnétiques dans le vide. On retrouve bien la relation de dispersion classique dans le vide, non dispersive et sans atténuation.

Le champ électrique de l'OPPH polarisée selon \vec{u}_x se propageant selon \vec{u}_z s'écrit en représentation complexe :

avec \underline{\vec{k}} = \underline{k}\,\vec{u}_z = (k_r - j k_i)\,\vec{u}_z.

D'après l'équation de Maxwell-Faraday en notation complexe :

Pour une onde plane de vecteur d'onde complexe \underline{\vec{k}}, l'opérateur rotationnel s'identifie à -j\underline{\vec{k}}\wedge, d'où :

Comme \vec{u}_z \wedge \vec{u}_x = \vec{u}_y, on obtient :

Calculons à présent la moyenne temporelle du vecteur de Poynting \vec{\Pi} = \frac{1}{\mu_0}\vec{E}\wedge\vec{B}. En utilisant la formule rappelée dans les données du problème :

En explicitant le produit vectoriel entre \underline{\vec{E}} et le conjugué \underline{\vec{B}}^* :

Or \underline{k} - \underline{k}^* = (k_r - j k_i) - (k_r + j k_i) = -2jk_i, ce qui donne e^{-j(-2jk_i)z} = e^{-2k_i z}. De plus, \underline{k}^* = k_r + j k_i et \vec{u}_x \wedge \vec{u}_y = \vec{u}_z. On en déduit :

On obtient ainsi finalement pour la moyenne temporelle du vecteur de Poynting :

D'après le résultat de la question Q16, l'intensité énergétique de l'onde s'écrit :

En identifiant cette expression avec la forme proposée par l'énoncé, I(z) = I(0)e^{-\alpha z} où I(0) = \frac{k_r |\underline{E}_0|^2}{2\mu_0\omega}, on en déduit immédiatement :

L'atténuation en décibels est définie par :

où \log désigne le logarithme décimal. En remplaçant \alpha par son expression en fonction de k_i, on obtient l'atténuation par unité de longueur :

La grandeur \frac{20}{\ln 10} étant une constante indépendante de z, l'atténuation par unité de longueur est bien proportionnelle à la partie imaginaire k_i du vecteur d'onde.

D'après la question Q15, la relation de dispersion de l'onde dans l'eau de mer s'écrit :

Sous l'hypothèse \omega \ll \dfrac{\gamma}{\varepsilon} (qui correspond au régime du conducteur ohmique où le courant de déplacement est négligeable devant le courant de conduction), le terme imaginaire domine très largement :

Comme -j = \mathrm{e}^{-j\pi/2} = \left(\dfrac{1 - j}{\sqrt{2}}\right)^2, la racine carrée donne :

On en déduit l'expression de l'épaisseur de peau (ou profondeur de pénétration) \delta :

Pour une onde se propageant et s'atténuant vers les z > 0, on retient la solution avec le signe + (\underline{k} = k_r - j k_i avec k_r = k_i = 1/\delta > 0).

D'après le résultat de la question Q17, l'atténuation par unité de longueur s'écrit :

L'atténuation par unité de longueur est inversement proportionnelle à \delta, et croît donc comme la racine carrée de la fréquence (\sqrt{f} ou \sqrt{\omega}) : les ondes de plus haute fréquence sont plus rapidement amorties.

Applications numériques : Avec \gamma = 4\text{ S}\cdot\text{m}^{-1} et \mu_0 = 4\pi\cdot 10^{-7}\text{ H}\cdot\text{m}^{-1} :

• Pour f_1 = 3\text{ kHz} = 3{,}0\cdot 10^3\text{ Hz} :

  \delta_1 = \frac{1}{\sqrt{\pi \times 3{,}0\cdot 10^3 \times 4\pi\cdot 10^{-7} \times 4}} = \frac{1}{\sqrt{16\pi^2 \times 3{,}0\cdot 10^{-4}}} \approx \boxed{4{,}6\text{ m}}

• Pour f_2 = 30\text{ kHz} = 3{,}0\cdot 10^4\text{ Hz} :

  \delta_2 = \frac{\delta_1}{\sqrt{10}} \approx \boxed{1{,}5\text{ m}}

Commentaire en relation avec la figure 9 : L'épaisseur de peau \delta dans l'eau de mer est très faible, comprise entre seulement 1{,}5\text{ m} et 4{,}6\text{ m} pour la bande VLF. À une immersion normale de plusieurs dizaines ou centaines de mètres (z_c > 300\text{ m}), l'onde radio est quasi totalement absorbée (e^{-z/\delta} \approx 0).

Pour capter le signal de télécommunication sans devoir remonter à la surface — ce qui compromettrait sa furtivité —, le sous-marin déroule une antenne filaire tractée qui remonte flotter à proximité immédiate de la surface (à une profondeur de l'ordre de quelques mètres, inférieure ou comparable à \delta), comme le montre précisément la figure 9.