Corrigé détaillé Centrale Physique 1 PC 2023 (page 2/3 : Partie I (questions 14 à 26) et partie II (questions 27 à 33))

Soit un électron du plasma, de masse m_e et de charge q = -e.

Il est soumis à la force de Lorentz \vec{F}_L = -e(\vec{E} + \vec{V} \wedge \vec{B}). En formulant l'hypothèse que la partie magnétique est négligeable devant la partie électrique (\|\vec{V} \wedge \vec{B}\| \ll \|\vec{E}\|), la force de Lorentz se réduit à la force électrique :

Les interactions entre particules étant supposées négligeables et le poids négligé d'après l'énoncé, le principe fondamental de la dynamique appliqué à un électron dans le référentiel terrestre (supposé galiléen) s'écrit :

En notation complexe associée à la dépendance temporelle en \exp(\mathrm{i}\omega t), la dérivation temporelle équivaut au produit par \mathrm{i}\omega :

Les cations étant immobiles, seuls les électrons de densité volumique n participent au transport de charge. Le vecteur densité de courant volumique s'écrit donc :

Par définition de la conductivité complexe dans la loi d'Ohm locale \underline{\vec{j}} = \underline{\sigma}\underline{\vec{E}}, on identifie :

Sous la forme demandée :

on obtient, par identification de \varepsilon_0 \omega_p^2 = \frac{n e^2}{m_e} :

Le plasma est supposé localement neutre, de sorte que la densité volumique de charge macroscopique est nulle : \rho_{\text{vol}} = 0. Les équations de Maxwell s'écrivent donc :

En prenant le rotationnel de l'équation de Maxwell-Faraday et en utilisant l'identité vectorielle fournie par le formulaire :

Par permutation des opérateurs spatiaux et temporels :

D'après la question Q14, en régime sinusoïdal de pulsation \omega, \underline{\vec{j}} = \underline{\sigma}\,\underline{\vec{E}} = -\mathrm{i}\varepsilon_0 \frac{\omega_p^2}{\omega}\underline{\vec{E}}. La dérivée temporelle de la densité de courant s'exprime alors simplement :

En introduisant la célérité de la lumière dans le vide c = \frac{1}{\sqrt{\varepsilon_0\mu_0}}, il vient :

On en déduit l'équation vectorielle de propagation :

Le champ électrique étant polarisé selon \vec{e}_x et ne dépendant que de la coordonnée spatiale z, le laplacien vectoriel se réduit à :

On obtient ainsi l'équation aux dérivées partielles régissant \underline{E}_x(z, t) :

L'équation de propagation établie à la question Q15 s'écrit :

Pour une onde monochromatique de la forme \underline{E}_x(z, t) = E_0 \exp(\mathrm{i}(\omega t + \underline{k} z)), les dérivées spatiale et temporelle s'expriment par :

En substituant ces dérivées dans l'équation de propagation, on obtient :

Cette relation étant vérifiée en tout point z et à tout instant t pour une onde non nulle, on en déduit la relation de dispersion :

Domaine de transparence du plasma :

• Si \boldsymbol{\omega > \omega_p} : \underline{k}^2 > 0, donc le vecteur d'onde \underline{k} est réel (\underline{k} = \pm k avec k \in \mathbb{R}). Le champ électrique se propage alors sous la forme d'une onde plane progressive sans terme d'atténuation exponentielle dans l'espace. L'onde traverse le milieu sans être absorbée ni réfléchie en puissance : on dit que le plasma se trouve dans son domaine de transparence (pour \omega > \omega_p).
• Si \boldsymbol{\omega < \omega_p} : \underline{k}^2 < 0, donc \underline{k} est imaginaire pur (\underline{k} = \pm \mathrm{i}\kappa avec \kappa \in \mathbb{R}). L'onde est alors évanescente (décroissance exponentielle d'amplitude dans le plasma) et ne transporte aucune puissance moyenne : le milieu est opaque et réfléchit l'onde incidente.

D'après la question Q16, le domaine de transparence correspond aux pulsations supérieures à la pulsation plasma :

où \omega_p est la pulsation de coupure du plasma définie à la question Q14 :

Calculons numériquement la pulsation et la fréquence plasma :

Les deux bandes spectrales utilisées par le GPS ont pour fréquences centrales :

On constate que :

Dans le domaine de transparence du plasma (\omega > \omega_p), le vecteur d'onde k est réel et relié à la pulsation \omega par la relation de dispersion établie à la question Q16 :

Par définition, la vitesse de phase V_\varphi représente la vitesse de propagation des surfaces d'équiphase (\omega t + kz = \text{cste}) :

On obtient ainsi :

La vitesse de groupe V_g est définie mathématiquement par :

Elle représente physiquement :

• la vitesse de propagation de l'enveloppe d'un paquet d'ondes (ou d'un signal modulé centré autour de la pulsation \omega) ;
• la vitesse de transport de l'énergie et de l'information associées au paquet d'ondes (dans un milieu non dissipatif et peu dispersif).

Pour exprimer V_g, on utilise la relation de dispersion établie à la question Q16 dans le domaine de transparence (\omega > \omega_p) :

En différentiant cette relation par rapport à k, il vient :

Sachant que V_\varphi = \frac{\omega}{k}, on en déduit la relation remarquable :

En utilisant l'expression de la vitesse de phase obtenue à la question Q18, V_\varphi = \frac{c}{\sqrt{1 - \frac{\omega_p^2}{\omega^2}}}, on obtient :

D'après les questions Q18 et Q19, dans le domaine de transparence (\omega > \omega_p), les vitesses de phase et de groupe s'écrivent :

1. Étude des fonctions :

• En \omega \to \omega_p^+ :

  V_\varphi \xrightarrow[\omega \to \omega_p^+]{} +\infty \quad \text{et} \quad V_g \xrightarrow[\omega \to \omega_p^+]{} 0

  Les courbes présentent des tangentes verticales en \omega = \omega_p^+.

• En \omega \to +\infty :

  V_\varphi \xrightarrow[\omega \to +\infty]{} c^+ \quad \text{et} \quad V_g \xrightarrow[\omega \to +\infty]{} c^-

  La droite d'équation V = c est une asymptote horizontale commune.

• Pour tout \omega > \omega_p, on vérifie V_g < c < V_\varphi, V_\varphi(\omega) étant strictement décroissante et V_g(\omega) strictement croissante, avec V_g(\omega)\,V_\varphi(\omega) = c^2.

2. Tracé des courbes :

3. Commentaire au regard des fréquences GPS :

• D'après la question Q17, les fréquences du signal GPS vérifient \nu \sim 1{,}2\text{ à }1{,}6\text{ GHz} \gg \nu_p \approx 9{,}0\text{ MHz}, soit \omega \gg \omega_p (avec \omega/\omega_p \approx 140\text{ à }175).

• Dans ce domaine de très haute fréquence, on se situe sur le palier asymptotique :

  V_g \approx c \quad \text{et} \quad V_\varphi \approx c

  Le milieu est donc très peu dispersif pour ces ondes. L'étalement temporel des paquets d'ondes au cours de la traversée de l'ionosphère est minime, ce qui préserve l'intégrité de l'information modulée transmise par les satellites.

• Cependant, l'écart résiduel c - V_g \approx \frac{c\,\omega_p^2}{2\omega^2} \neq 0, bien que minuscule en valeur relative (\sim 10^{-5} à 10^{-4}), s'accumule sur plusieurs centaines de kilomètres d'épaisseur ionosphérique. Il engendre un retard de propagation \tau perceptible à l'échelle du nanoseconde, ce qui correspond à une erreur métrique sur le positionnement au sol.

1. Expression du champ magnétique \underline{\vec{B}}

D'après l'équation de Maxwell-Faraday :

Le champ électrique s'écrit \underline{\vec{E}}(z, t) = \underline{E}_x(z, t)\,\vec{e}_x = E_0 \exp(\mathrm{i}(\omega t + \underline{k} z))\vec{e}_x. En coordonnées cartésiennes, le rotationnel vaut :

En régime harmonique, la dérivée temporelle se traduit par \frac{\partial}{\partial t} \equiv \mathrm{i}\omega, d'où :

On en déduit l'expression du champ magnétique :

Dans le domaine de transparence où \underline{k} = k est réel, en introduisant la vitesse de phase V_\varphi = \frac{\omega}{k}, cette expression se réécrit :

2. Justification de l'hypothèse faite à la question Q14

À la question Q14, nous avions négligé la partie magnétique de la force de Lorentz agissant sur un électron devant la partie électrique.

Le rapport des amplitudes des forces s'écrit :

Comme B = \frac{E}{V_\varphi} et que pour les ondes GPS étudiées, \omega \gg \omega_p (établi à la question Q17), la vitesse de phase est très proche de la célérité de la lumière dans le vide : V_\varphi \approx c. Il vient donc :

L'énoncé précise explicitement que les électrons du plasma sont « non relativistes (leur vitesse V est très inférieure à c) ». On en déduit :

La composante magnétique de la force de Lorentz est donc parfaitement négligeable devant la composante électrique dans le principe fondamental de la dynamique appliqué aux électrons, ce qui justifie l'hypothèse formulée à la question Q14.

Les signaux GPS étant constitués de paquets d'ondes (ondes modulées transportant l'information temporelle), l'enveloppe du signal se propage à la vitesse de groupe V_g.

Lorsque le satellite est au zénith (à la verticale du capteur), l'onde traverse l'ionosphère sur une distance égale à son épaisseur d sous incidence normale. La durée de traversée est :

En l'absence d'ionosphère (propagation dans le vide à la célérité c), cette durée serait :

Le retard ionosphérique \tau subi par le signal s'écrit donc :

D'après la question Q19, la vitesse de groupe s'exprime par :

D'où :

D'après la question Q17, pour les fréquences GPS, on a \omega \gg \omega_p, ce qui permet d'effectuer un développement limité à l'ordre 1 en \left(\frac{\omega_p}{\omega}\right)^2 :

On en déduit l'expression approchée du retard ionosphérique :

Soit C le centre de la Terre, O la position du capteur à la surface terrestre (CO = R_T), et M le point où le rayon issu du satellite entre dans l'ionosphère.

En négligeant l'altitude du bas de l'ionosphère (h_1 = 80\text{ km} \ll d = 720\text{ km}), la couche ionosphérique s'étend de la surface terrestre (r = R_T) jusqu'au sommet de l'ionosphère (r = R_T + d). De plus, la réfraction étant négligée, l'onde se propage en ligne droite.

Lorsque le satellite est à l'horizon pour le capteur, la ligne de visée (OM) est tangente à la Terre en O, de sorte que le triangle COM est rectangle en O :

où L = OM est la longueur de trajectoire dans l'ionosphère. On en déduit :

Comme d \ll R_T (d/R_T \approx 0{,}11), on peut approcher cette distance au premier ordre par :

D'après le résultat de la question Q22, le retard ionosphérique accumulé sur une épaisseur L à la vitesse de groupe V_g s'écrit :

En injectant l'expression approchée de L :

Le retard \tau étant inversement proportionnel au carré de la fréquence \nu, le retard maximal est obtenu pour la fréquence la plus basse des deux bandes GPS, soit \nu_2 = 1227{,}6\text{ MHz}.

Application numérique :

• Épaisseur de l'ionosphère : d = 800 - 80 = 720\text{ km} = 7{,}2 \times 10^5\text{ m} ;
• Distance parcourue : L \approx \sqrt{2 \times 6{,}4 \times 10^6 \times 7{,}2 \times 10^5} \approx 3{,}04 \times 10^6\text{ m} \approx 3{,}0 \times 10^3\text{ km}
  (la formule complète \sqrt{2 R_T d + d^2} donnerait 3{,}12 \times 10^6\text{ m}) ;
• Fréquence plasma (question Q17) : \nu_p \approx 8{,}95\text{ MHz} ;
• Célérité de la lumière : c = 3{,}0 \times 10^8\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}.

Les signaux émis par les satellites GPS sont des paquets d'ondes modulés portant une information temporelle (codes pseudo-aléatoires). L'information et l'énergie associées à ces paquets se propagent donc à la vitesse de groupe V_g.

D'après les questions précédentes, dans le plasma ionosphérique :

Le paquet d'ondes subit donc un ralentissement au cours de la traversée de l'ionosphère, ce qui introduit un temps de parcours effectif \Delta t supérieur au temps de trajet dans le vide \Delta t_{\text{vide}} d'une durée égale au retard ionosphérique \tau > 0 :

Pour déterminer la position du récepteur, le GPS calcule la distance capteur-satellite (pseudo-distance) en supposant une propagation rectiligne à la vitesse de la lumière dans le vide c :

Ne pas tenir compte du fait que V_g < c dans l'ionosphère conduit donc à une surestimation de la distance capteur-satellite de la quantité :

Le positionnement au sol reposant sur le principe de multilatération (intersection des sphères centrées sur les satellites et de rayons D_{\text{calc}}), toute erreur systématique \Delta D sur les distances satellite-capteur altère la résolution géométrique et induit inévitablement un décalage sur la position déterminée au sol.

D'après l'énoncé, le décalage maximal au sol est donné par le produit du facteur géométrique maximal \mathrm{DOP}_{\max} et du décalage maximal de la distance capteur-satellite :

avec, d'après les questions Q23 et Q24 :

Sur la figure 8, on lit que la valeur maximale du \mathrm{DOP} au cours de la journée atteint :

On en déduit l'estimation du décalage maximal de positionnement au sol :

Pour évaluer l'incertitude-type associée par une méthode de type B, considérons que l'erreur algébrique de positionnement \delta selon la direction de déplacement suit une distribution uniforme sur l'intervalle symétrique [-\delta_{\max}, +\delta_{\max}] (de largeur 2\delta_{\max}), le satellite pouvant induire une avance ou un retard géométrique sur le repérage le long de la trajectoire.

D'après la formule fournie dans l'énoncé avec a = -\delta_{\max} et b = +\delta_{\max} :

L'application numérique donne :

La vitesse moyenne sur un essai est évaluée par le rapport entre la distance L' du segment et la durée de parcours \Delta t :

Le déclenchement du chronométrage par une application GPS repose sur le franchissement des positions de départ et d'arrivée. Une incertitude de positionnement au sol \delta sur chacune de ces bornes se traduit par une incertitude sur la distance effective parcourue entre les deux repérages, soit :

Si l'on considère la seule incertitude sur la position (le chronométrage propre de l'horloge étant extrêmement précis), l'incertitude-type relative sur la vitesse vaut :

En prenant l'évaluation de type B obtenue à la question Q25, u(\delta) \approx 50\text{ m}, et la longueur du parcours L' = 5{,}00\text{ km} = 5{,}00 \times 10^3\text{ m} :

D'après l'énoncé, l'écoulement extérieur est supposé irrotationnel dans tout le domaine d'étude :

D'après les relations entre opérateurs fournies dans l'énoncé (rappelant que le rotationnel d'un gradient est identiquement nul), un champ vectoriel à rotationnel nul dérive d'un champ scalaire \varphi, appelé potentiel des vitesses, tel que :

Par ailleurs, le fluide est homogène (masse volumique \rho uniforme et constante) et l'écoulement est incompressible. L'équation locale de conservation de la masse s'écrit :

En injectant l'expression du champ de vitesse en fonction de \varphi dans la condition d'incompressibilité et en utilisant l'identité \operatorname{div}(\overrightarrow{\operatorname{grad}}\varphi) = \Delta \varphi, il vient :

Le potentiel des vitesses \varphi vérifie donc l'équation de Laplace :

Loin en amont du cylindre, l'écoulement est uniforme et unidirectionnel selon l'axe (Ox) :

Par définition du potentiel des vitesses \varphi, on a \vec{v}_0 = \overrightarrow{\operatorname{grad}}\,\varphi. En coordonnées cartésiennes, cela se traduit par le système d'équations aux dérivées partielles :

L'intégration de ce système conduit immédiatement à :

où C est une constante d'intégration arbitraire. En choisissant l'origine du potentiel telle que \varphi(0, y, z) = 0, on obtient bien :

Surfaces équipotentielles : Les surfaces équipotentielles sont définies par \varphi(x, y, z) = \text{cte}, soit :

Lignes de courant : Par définition, les lignes de courant sont les courbes tangentes en tout point au champ des vitesses \vec{v}_0. L'équation différentielle d'une ligne de courant s'écrit :

ce qui impose \mathrm{d}y = 0 et \mathrm{d}z = 0, soit y = \text{cte} et z = \text{cte}.

Lorsque la distance à l'axe r devient très grande devant le rayon du cylindre (r \gg a), le terme en a^2/r^2 devient négligeable devant 1. Le potentiel des vitesses tend alors asymptotiquement vers :

D'après le repère polaire défini sur la figure 11, le passage en coordonnées cartésiennes donne x = r \cos\theta, d'où :

Or, d'après le résultat de la question Q28, l'écoulement uniforme de vitesse \vec{v}_0 = v_0 \vec{e}_x régnant loin du cylindre admet pour potentiel des vitesses :

Par identification des deux expressions asymptotiques pour r \to +\infty, on en déduit immédiatement :

D'après les questions Q27 et Q29, le champ de vitesse dérive du potentiel :

avec

En coordonnées cylindriques, l'invariance par translation le long de l'axe (Oz) implique que la composante axiale est nulle (v_{ez} = 0). Le gradient s'écrit :

On en déduit par dérivation :

On obtient ainsi les deux composantes polaires du champ de vitesse :

Le cylindre étant immobile et imperméable, la condition aux limites pour un écoulement de fluide parfait (non visqueux) impose l'annulation de la composante normale de la vitesse à la paroi (condition de non-pénétration) :

soit :

D'après les composantes établies à la question Q30 :

En évaluant cette composante à la surface du cylindre (r = a) :

La vitesse normale est donc strictement nulle en tout point de la paroi :

La condition aux limites d'imperméabilité à la surface du cylindre est bien vérifiée.

L'équation de Navier-Stokes s'écrit de manière générale :

Précisons les hypothèses valables pour l'écoulement extérieur modélisé :

• Fluide parfait (viscosité négligeable) : \eta = 0, donc le terme de diffusion visqueuse \eta \Delta \vec{v}_e = \vec{0} ;
• Forces volumiques négligées : l'action de la pesanteur est négligée, d'où \vec{f}_v = \vec{0} ;
• Écoulement stationnaire : \dfrac{\partial \vec{v}_e}{\partial t} = \vec{0} ;
• Fluide incompressible et homogène : la masse volumique \rho est constante dans l'espace et le temps ;
• Écoulement irrotationnel : \overrightarrow{\operatorname{rot}}(\vec{v}_e) = \vec{0}.

En utilisant la formule vectorielle fournie :

L'équation de Navier-Stokes se réduit alors à :

Comme \rho est uniforme et constante, on peut l'intégrer sous le gradient :

Le gradient de cette grandeur scalaire étant nul en tout point d'un domaine connexe, on en déduit directement que :

Dans un écoulement plan, stationnaire et incompressible, le débit volumique entre deux lignes de courant données est conservé. Par conséquent :

• Pour x < 0 (face amont du cylindre) : En suivant le sens de l'écoulement (de l'infini amont vers le point d'arrêt à x = -a, la vitesse s'annule et la pression est maximale : p = p_0 + \frac{1}{2}\rho v_0^2). Le long de la paroi, depuis le point d'arrêt frontal (x = -a) jusqu'au sommet du cylindre (x = 0), on observe sur la figure 12 un resserrement progressif des lignes de courant. La vitesse du fluide v_e augmente donc le long de la paroi (atteignant son maximum 2v_0 en x=0, d'après le résultat de la question Q31).

  D'après la relation de Bernoulli établie à la question Q32,

  \frac{p_e}{\rho} + \frac{v_e^2}{2} = \text{cte}

  l'augmentation de la vitesse s'accompagne d'une diminution de la pression p_e. La pression atteint ainsi sa valeur minimale au sommet du cylindre en x = 0.

• Pour x > 0 (face aval du cylindre) : Du sommet (x = 0) jusqu'au point d'arrêt arrière (x = +a), on observe au contraire un écartement des lignes de courant. La vitesse du fluide v_e diminue donc le long de la paroi (jusqu'à s'annuler au point d'arrêt aval).

  Toujours d'après la relation de Bernoulli, cette décélération entraîne une augmentation de la pression p_e.