Corrigé détaillé Centrale Physique 1 PC 2023 (page 3/3 : Partie II (questions 34 à 48))

L'équation de Navier-Stokes pour un fluide newtonien incompressible et homogène (masse volumique \rho et viscosité dynamique \eta constantes) s'écrit :

Compte tenu des hypothèses précisées dans l'énoncé :

• l'action de la pesanteur est négligée : \vec{f}_v = \vec{0} ;
• les gradients de pression sont nuls : \overrightarrow{\operatorname{grad}} p = \vec{0} ;
• le champ des vitesses est de la forme \vec{v} = v'_x(y', t)\vec{e}_{x'}.

Évaluons chacun des termes différentiels :

En projetant l'équation de Navier-Stokes selon \vec{e}_{x'}, on obtient :

soit :

Cette équation se met bien sous la forme demandée F(v'_x) = D \, G(v'_x) avec :

Le coefficient D = \frac{\eta}{\rho} est appelé la viscosité cinématique (ou diffusivité de quantité de mouvement), usuellement notée \nu.

Considérons l'écoulement le long de l'obstacle de longueur caractéristique L à la vitesse caractéristique v :

• Temps caractéristique de convection : c'est le temps de transit d'une particule fluide sur la distance L à la vitesse v :

  \tau_{\text{conv}} \sim \frac{L}{v}

• Temps caractéristique de diffusion : d'après l'équation de diffusion obtenue à la question Q34 (\partial_t v'_x = D \, \partial^2_{y'} v'_x), la diffusion de quantité de mouvement par viscosité sur la distance caractéristique L s'effectue avec le coefficient de diffusion D = \eta / \rho en un temps caractéristique :

  \tau_{\text{diff}} \sim \frac{L^2}{D} = \frac{\rho L^2}{\eta}

Calculons le rapport de ces deux temps caractéristiques :

On reconnaît l'expression du nombre de Reynolds R_e introduite à la question Q1 :

Commentaire : Le nombre de Reynolds s'interprète ainsi comme le rapport du temps caractéristique de diffusion visqueuse sur le temps caractéristique de convection à l'échelle du corps. Pour le cycliste, R_e \sim 10^6 \gg 1 (question Q1), ce qui correspond à :

À l'échelle macroscopique L, le transport par convection est immensément plus rapide que le transport par diffusion visqueuse : le fluide n'a pas le temps de diffuser ses effets visqueux dans l'ensemble de l'écoulement pendant son temps de passage. Les effets de la viscosité restent donc confinés à une région très mince au voisinage de la paroi (la couche limite), l'écoulement extérieur se comportant comme un écoulement de fluide parfait.

Le phénomène de diffusion de quantité de mouvement dans la direction transversale y' est gouverné par l'équation établie à la question Q34 avec le coefficient de diffusion D = \eta/\rho. Le temps caractéristique associé à cette diffusion sur une distance transversale \delta est :

Par ailleurs, le temps caractéristique de convection de la quantité de mouvement dans la direction longitudinale x' sur la distance L, à la vitesse caractéristique v de l'écoulement extérieur, s'écrit d'après la question Q35 :

Dans la couche limite, les transferts par diffusion visqueuse transversale et par convection longitudinale s'équilibrent, ce qui impose que leurs temps caractéristiques soient du même ordre de grandeur :

On en déduit l'expression du carré de l'épaisseur de la couche limite :

où R_e = \dfrac{\rho\,v\,L}{\eta} est le nombre de Reynolds défini à la question Q1.

En prenant la racine carrée, on obtient bien l'ordre de grandeur recherché :

D'après la question Q36, l'épaisseur caractéristique de la couche limite s'écrit :

En prenant pour dimension longitudinale caractéristique du dos du cycliste L \sim 1\text{ m} et l'ordre de grandeur du nombre de Reynolds obtenu à la question Q1 pour v = 40\text{ km}\cdot\text{h}^{-1} :

On obtient ainsi :

L'épaisseur de la couche limite est de l'ordre du millimètre :

D'après la question Q37, l'épaisseur de la couche limite est \delta \sim 1\text{ mm}, tandis que la dimension caractéristique de l'obstacle est L \sim 1\text{ m}, soit un rapport d'aspect :

Commentaire de l'hypothèse (1) : \delta(x') \ll L

• Comme \delta / L \sim 10^{-3}, la couche limite est extrêmement fine par rapport à l'extension du cycliste : cette hypothèse géométrique fondamentale de Prandtl est parfaitement vérifiée en amont du décollement.

Commentaire de l'hypothèse (2) : |v'_y| \ll |v'_x|

• L'écoulement étant incompressible, le champ des vitesses vérifie :

  \operatorname{div}\vec{v} = 0 \iff \frac{\partial v'_x}{\partial x'} + \frac{\partial v'_y}{\partial y'} = 0.

• En estimant les ordres de grandeur des variations spatiales (\Delta v'_x \sim v_e sur la distance L, et \Delta v'_y \sim v'_y sur l'épaisseur \delta) :

  \frac{v_e}{L} \sim \frac{|v'_y|}{\delta} \implies \frac{|v'_y|}{|v'_x|} \sim \frac{\delta}{L} \sim 10^{-3} \ll 1.

  L'écoulement est donc très majoritairement tangentiel à la paroi, ce qui valide l'approximation quasi-parallèle.

Commentaire de l'hypothèse (3) : prépondérance des gradients transverses

• Pour les gradients d'ordre 1 :

  \left|\frac{\partial v'_x}{\partial x'}\right| \sim \frac{v_e}{L} \quad \text{et} \quad \left|\frac{\partial v'_x}{\partial y'}\right| \sim \frac{v_e}{\delta} \implies \frac{|\partial v'_x / \partial x'|}{|\partial v'_x / \partial y'|} \sim \frac{\delta}{L} \sim 10^{-3} \ll 1.

• Pour les dérivées secondes intervenant dans le laplacien visqueux de Navier-Stokes :

  \left|\frac{\partial^2 v'_x}{\partial x'^2}\right| \sim \frac{v_e}{L^2} \quad \text{et} \quad \left|\frac{\partial^2 v'_x}{\partial y'^2}\right| \sim \frac{v_e}{\delta^2} \implies \frac{|\partial^2 v'_x / \partial x'^2|}{|\partial^2 v'_x / \partial y'^2|} \sim \left(\frac{\delta}{L}\right)^2 \sim 10^{-6} \ll 1.

  Les gradients et les transferts visqueux transverses dominent ainsi très largement ceux dirigés le long de l'écoulement.

Dans le repère local (x', y'), l'écoulement dans la couche limite est décrit par le champ de vitesse \vec{v} = v'_x \vec{e}_{x'} + v'_y \vec{e}_{y'}, où la composante longitudinale v'_x est notée v.

L'équation de Navier-Stokes en régime stationnaire (\partial \vec{v}/\partial t = \vec{0}), sans force volumique (\vec{f}_v = \vec{0}) et pour un fluide de masse volumique \rho et de viscosité dynamique \eta, s'écrit :

En projetant suivant la direction longitudinale \vec{e}_{x'}, on obtient :

Évaluons chaque terme à la paroi immobile de l'obstacle (y' = 0) :

• Par condition d'adhérence du fluide visqueux à la paroi, la vitesse s'y annule :

  v'_x(x', y'=0) = 0 \quad \text{et} \quad v'_y(x', y'=0) = 0.

  Par conséquent, le terme d'accélération convective est strictement nul à la paroi :

  \left[ v'_x \frac{\partial v'_x}{\partial x'} + v'_y \frac{\partial v'_x}{\partial y'} \right]_{y'=0} = 0.

• Comme la composante v'_x(x', y'=0) = 0 pour tout x', sa dérivée spatiale le long de la paroi s'annule également :

  \frac{\partial^2 v'_x}{\partial x'^2}(x', y'=0) = 0.

  (Ce résultat est par ailleurs cohérent avec l'hypothèse (3) de la couche limite : \left|\frac{\partial^2 v'_x}{\partial x'^2}\right| \ll \left|\frac{\partial^2 v'_x}{\partial y'^2}\right|).

En injectant ces conditions en y' = 0 dans l'équation projetée et en notant v = v'_x, il vient :

On en déduit immédiatement la relation demandée :

D'après le résultat de la question Q39, le gradient de pression dans la couche limite à la paroi est relié à la concavité du profil de vitesse par :

Puisque la viscosité dynamique est strictement positive (\eta > 0), le signe de \frac{\partial p}{\partial x'} est identique à celui de \left.\frac{\partial^2 v}{\partial y'^2}\right|_{y'=0}.

• Au point A : Le profil de vitesse présente une courbure orientée vers les vitesses décroissantes sur toute l'épaisseur de la couche limite : la pente \frac{\partial v}{\partial y'} décroît continûment depuis la paroi jusqu'au raccord avec l'écoulement extérieur. Ainsi :

  \frac{\partial^2 v}{\partial y'^2}(y' = 0) < 0 \implies \boxed{\frac{\partial p}{\partial x'} < 0}

  Le gradient de pression est favorable (l'écoulement accélère).

• Au point B : Le profil de vitesse possède un point d'inflexion situé dans l'écoulement (y'_I > 0). Entre la paroi et ce point d'inflexion, la pente \frac{\partial v}{\partial y'} augmente avec y' (profil à concavité inversée au voisinage de la paroi). Dès lors :

  \frac{\partial^2 v}{\partial y'^2}(y' = 0) > 0 \implies \boxed{\frac{\partial p}{\partial x'} > 0}

  Le gradient de pression est défavorable (adverse).

• Au point C (point de décollement) : Par définition du décollement, la contrainte pariétale s'annule, ce qui se traduit par une tangente normale à la paroi :

  \left.\frac{\partial v}{\partial y'}\right|_{y'=0} = 0

  Comme le fluide s'écoule vers l'aval au-dessus de la paroi (v(y') > 0 pour y' > 0), la dérivée première \frac{\partial v}{\partial y'} croît à partir de 0 pour les faibles valeurs de y'. La dérivée seconde à la paroi est donc strictement positive :

  \frac{\partial^2 v}{\partial y'^2}(y' = 0) > 0 \implies \boxed{\frac{\partial p}{\partial x'} > 0}

Condition nécessaire de décollement : Pour observer le décollement de la couche limite, il est nécessaire que le gradient longitudinal de pression soit défavorable (adverse), soit :

D'après la question Q40, une condition nécessaire pour observer le décollement de la couche limite est l'existence d'un gradient de pression défavorable dans le sens de l'écoulement :

De plus, d'après les hypothèses du modèle de Prandtl admises en amont du décollement, le gradient longitudinal de pression dans la couche limite est imposé par l'écoulement extérieur :

Distinguons les deux zones du dos du cycliste modélisé par le demi-cylindre :

• Entre les points M et N (x < 0) : L'écoulement extérieur contourne la face amont du cylindre en s'accélérant vers le sommet N. D'après la question Q33, la pression extérieure p_e décroît le long de la paroi dans le sens du fluide, soit :

  \frac{\partial p}{\partial x'} = \frac{\partial p_e}{\partial x'} < 0.

  Le gradient de pression est favorable (moteur). La condition nécessaire établie en Q40 n'est pas remplie :

  \boxed{\text{La couche limite ne peut pas décoller entre } M \text{ et } N.}

• Entre les points N et P (x > 0) : En aval du sommet N, les lignes de courant s'écartent et l'écoulement extérieur ralentit. D'après la question Q33, la pression extérieure remonte dans le sens du mouvement, soit :

  \frac{\partial p}{\partial x'} = \frac{\partial p_e}{\partial x'} > 0.

  Le gradient de pression est défavorable (adverse). Le fluide au voisinage immédiat de la paroi, fortement ralenti par la viscosité, est freiné par cette surpression jusqu'à annulation de la contrainte pariétale \tau_w puis inversion de l'écoulement :

  \boxed{\text{La couche limite peut décoller uniquement entre } N \text{ et } P.}

Considérons une section droite de la couche limite à l'abscisse x', de hauteur \delta(x') et de largeur transverse L_t. Le fluide étant incompressible et homogène, la masse volumique \rho est constante.

• Dans l'écoulement réel, la composante longitudinale de la vitesse à l'altitude y' est v(x',y'). Le débit massique traversant cette tranche s'écrit :

  D_{m,\text{réel}}(x') = \int_0^{\delta(x')} \rho \, v(x',y') \, L_t \, \mathrm{d}y'

• Dans l'écoulement parfait hypothétique sur la même tranche géométrique, la vitesse serait uniforme et égale à la vitesse extérieure v_e(x') :

  D_{m,\text{parfait}}(x') = \int_0^{\delta(x')} \rho \, v_e(x') \, L_t \, \mathrm{d}y' = \rho L_t v_e(x') \delta(x')

Le déficit de débit massique à travers cette section par rapport à un écoulement non visqueux vaut donc :

Par définition de l'épaisseur de déplacement donnée dans l'énoncé, ce déficit s'exprime également sous la forme :

En identifiant les deux expressions et en simplifiant par \rho L_t v_e(x'), indépendant de la variable d'intégration y', on obtient :

Le débit massique de l'écoulement réel à travers la section droite de la couche limite, d'épaisseur \delta(x') et de largeur transverse L_t, s'écrit :

D'après la définition de l'épaisseur de déplacement obtenue à la question Q42, on a :

En multipliant par v_e, il vient :

On en déduit l'expression du débit massique réel :

Commentaire :

• Ce résultat confirme l'interprétation géométrique de l'épaisseur de déplacement : le débit massique réel dans la couche limite est identique à celui d'un écoulement de fluide parfait à vitesse uniforme v_e, traversant une section de même largeur L_t mais d'épaisseur effective réduite \delta_{\text{eff}} = \delta(x') - \delta^*(x').
• La présence de la viscosité ralentit le fluide au voisinage de la paroi ; tout se passe donc comme si la paroi imperméable était virtuellement déplacée d'une distance \delta^*(x') vers le fluide libre, refoulant ainsi les lignes de courant extérieures d'une même quantité.

Considérons le système fermé délimité par la surface \Sigma^*. L'écoulement étant en régime stationnaire, la masse et la quantité de mouvement contenues à l'intérieur du volume fixe de contrôle \Sigma sont indépendantes du temps :

1. Bilan de masse :

La masse du système fermé \Sigma^* se conserve entre les instants t et t + \mathrm{d}t :

En utilisant la stationnarité, il vient :

D'après le résultat de la question Q43, le débit massique traversant la couche limite à l'abscisse x' vaut :

Ainsi, \mathrm{d}m_e = D_m(x')\,\mathrm{d}t et \mathrm{d}m_s = D_m(x' + \mathrm{d}x')\,\mathrm{d}t = \left(D_m(x') + \frac{\mathrm{d}D_m}{\mathrm{d}x'}\mathrm{d}x'\right)\mathrm{d}t, ce qui donne au premier ordre :

2. Bilan de quantité de mouvement :

La variation de quantité de mouvement projetée sur l'axe x' du système \Sigma^* s'écrit :

• Entre les sections transversales AB en x' et CD en x'+\mathrm{d}x', la quantité de mouvement donnée par l'énoncé fournit :

  \mathrm{d}P_{s, x'} - \mathrm{d}P_{e, x'} = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x'}\left[\rho v_e^2(x') L_t (\delta(x') - \delta^*(x') - \theta(x'))\right]\mathrm{d}x'\,\mathrm{d}t

• Le fluide traversant la frontière supérieure BC pénètre dans la couche limite à la vitesse du fluide parfait extérieur \vec{v}_e \approx v_e(x') \vec{e}_{x'}, donc :

  \mathrm{d}P_{e,\text{sup}, x'} = v_e(x')\,\mathrm{d}m_{e,\text{sup}} = v_e(x') \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x'}\left[\rho v_e(x') L_t (\delta(x') - \delta^*(x'))\right]\mathrm{d}x'\,\mathrm{d}t

D'où le taux de variation de quantité de mouvement selon x' :

3. Bilan des forces extérieures :

Les forces extérieures appliquées à \Sigma^* projetées sur l'axe x' sont :

• Les forces de pression sur les faces d'entrée AB et de sortie CD, où la pression p(x') ne dépend pas de y' :

  \begin{aligned} \mathrm{d}f_{p, AB} + \mathrm{d}f_{p, CD} &= p(x') L_t \delta(x') - p(x'+\mathrm{d}x') L_t \delta(x'+\mathrm{d}x') \\ &= -\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x'}[p(x') \delta(x')] L_t \mathrm{d}x' \\ &= -\left(\delta(x')\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}x'} + p(x')\frac{\mathrm{d}\delta}{\mathrm{d}x'}\right) L_t \mathrm{d}x' \end{aligned}

• La force de pression sur la frontière supérieure BC (donnée par l'énoncé) :

  \mathrm{d}f_{p,\text{sup}}(x') = p(x') \frac{\mathrm{d}\delta(x')}{\mathrm{d}x'} L_t \mathrm{d}x'

  On constate que le terme p(x')\frac{\mathrm{d}\delta}{\mathrm{d}x'} se simplifie exactement, si bien que la résultante des forces de pression selon x' vaut :

  \mathrm{d}f_{p, x'} = -\delta(x') \frac{\mathrm{d}p(x')}{\mathrm{d}x'} L_t \mathrm{d}x'

• La force de frottement visqueux à la paroi sur la trace AD :

  \mathrm{d}f = -\tau_w L_t \mathrm{d}x'

  (le frottement sur la trace BC étant négligé).

La résultante des forces extérieures selon x' s'écrit donc :

4. Application du principe fondamental de la dynamique :

En appliquant \frac{\mathrm{d}P_{\Sigma^*, x'}}{\mathrm{d}t} = F_{\text{ext}, x'} et en divisant chaque membre par L_t \mathrm{d}x', on obtient :

Dans l'écoulement extérieur stationnaire, incompressible, homogène et parfait (Q32), la relation de Bernoulli s'écrit :

Par dérivation le long de la paroi selon l'abscisse x' :

Tant que la couche limite n'a pas décollé, la pression transversale est uniforme et le gradient de pression longitudinal y est imposé par l'écoulement extérieur (hypothèse du préambule II.B.2) :

Rappelons le bilan de quantité de mouvement établi à la question Q44 :

Développons le premier terme du membre de gauche à l'aide de la règle de dérivation d'un produit :

En réinjectant cette identité dans le membre de gauche, les termes en v_e \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x'}[\rho v_e (\delta - \delta^*)] se compensent exactement :

D'autre part, en remplaçant \frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}x'} par son expression issue de Bernoulli, le membre de droite devient :

L'égalité \text{LHS} = \text{RHS} conduit immédiatement à la simplification du terme \rho v_e \delta \frac{\mathrm{d}v_e}{\mathrm{d}x'} :

soit, en divisant par -\rho v_e^2 :

D'après l'énoncé, la couche limite décolle lorsque la contrainte pariétale \tau_w s'annule. Comme S(\lambda) = \frac{\tau_w \theta}{\eta v_e} avec \theta > 0 et v_e > 0, cette condition équivaut à :

La lecture du tableau 3 donne directement la valeur du paramètre au décollement :

Ce paramètre s'écrit par définition :

Pour 0 \leqslant \frac{x'}{L} \leqslant 0{,}1, \frac{v_e}{v_0} = 19 \left(\frac{x'}{L}\right), de sorte que \frac{\mathrm{d}(v_e/v_0)}{\mathrm{d}(x'/L)} = +19 > 0 et \lambda > 0 : le gradient est favorable et il ne peut y avoir de décollement.

Pour 0{,}1 \leqslant \frac{x'}{L} \leqslant 1, on a :

et l'expression de l'épaisseur de quantité de mouvement est :

En injectant ces relations dans la définition de \lambda, le nombre de Reynolds R_e se simplifie :

Au point de décollement, \lambda = \lambda_{\text{déc}} = -0{,}0820, ce qui conduit à :

On en déduit la position relative du point de décollement :

1. Mécanisme de dissipation d'énergie sans injection d'air : D'après la question Q46, la couche limite subit un gradient de pression adverse (\mathrm{d}p/\mathrm{d}x' > 0) et se décolle dès le premier tiers du dos (x'/L \approx 0{,}31). Ce décollement précoce crée, en aval, une vaste zone de recirculation turbulente (sillage large) caractérisée par une forte dépression sur l'arrière du cycliste. Il en résulte une traînée de pression (ou traînée de culot) prépondérante, qui constitue l'essentiel de la traînée aérodynamique et dissipe une énergie considérable sous forme thermique dans le sillage.

2. Effet du jet d'air injecté par le casque : En canalisant l'air incident et en le refoulant à grande vitesse par un orifice calibré, le casque injecte un fluide riche en énergie cinétique directement au niveau de la couche limite sur le dos du cycliste :

• Ce ré-énergisement de la couche limite apporte de la quantité de mouvement aux particules fluides ralenties par les frottements visqueux près de la paroi ;
• Les couches de fluide pariétales peuvent ainsi continuer à progresser contre le gradient de pression adverse sans s'inverser, ce qui maintient la contrainte de frottement \tau_w > 0.

3. Réduction de la dissipation : Le point de décollement est donc retardé vers l'aval (voire supprimé). Cela entraîne :

• Un resserrement notable de la largeur du sillage de recirculation ;
• Une meilleure remontée de pression sur le dos du cycliste, réduisant drastiquement la traînée de forme ;
• Une diminution importante de la puissance dissipée pour vaincre la résistance de l'air.

1. Calcul des vitesses moyennes

La distance parcourue est D = 180\text{ km} = 1{,}80 \times 10^5\text{ m}. Les durées de parcours sont :

Les vitesses moyennes associées valent :

2. Expression de la puissance développée

En régime permanent sur route horizontale (\alpha = 0), d'après les expressions établies à la question Q12, la puissance mécanique fournie par le cycliste compense la traînée aérodynamique et la résistance au roulement :

3. Puissance supplémentaire requise avec le matériel de 2016

Avec le matériel de 2016 (SC_x = 0{,}25\text{ m}^2), la puissance développée à la vitesse v_{2016} était :

Pour atteindre la vitesse v_{2017} avec ce même équipement de 2016, il aurait dû fournir :

La puissance supplémentaire qu'aurait dû développer Patrick Lange est donc :

Si l'on ne comptabilise que la part aérodynamique (l'effort contre le roulement variant très peu sur cet écart de vitesse), on trouve \Delta \mathcal{P}_{\text{aéro}} = 212{,}7 - 192{,}8 \approx 19{,}9\text{ W}.

4. Comparaison avec la question Q13 et conclusion

À la question Q13, le passage du casque classique au casque profilé en goutte d'eau procurait un gain de puissance de \Delta \mathcal{P} \approx 24\text{ W} à 54{,}5\text{ km}\cdot\text{h}^{-1}. Ici, l'apport du casque à flux d'air par rapport au casque profilé traditionnel représente un gain de l'ordre de 22\text{ W} à environ 40\text{ km}\cdot\text{h}^{-1}.

L'ordre de grandeur de ce gain en puissance est tout à fait comparable à celui de la première innovation étudiée en Q13. Néanmoins, à une vitesse plus faible (\approx 40\text{ km}\cdot\text{h}^{-1} au lieu de 54{,}5\text{ km}\cdot\text{h}^{-1}), un gain de 22\text{ W} est encore plus spectaculaire en valeur relative : il représente près de 8\text{ à } 9\,\% de la puissance totale produite par le triathlète, ce qui lui a permis de gagner près de 9 minutes sur l'épreuve cycliste et de remporter le titre mondial.