Corrigé détaillé Centrale Physique 2 PC 2020 (page 2/4 : Partie I (questions 15 à 21) et partie II (questions 22 à 34))

On étudie le satellite, assimilé à un point matériel de masse m, en orbite circulaire de rayon r = R_T + h autour de la Terre supposée à répartition sphérique de masse. Le mouvement est étudié dans le référentiel géocentrique, supposé galiléen sur la durée d'une orbite.

Le satellite n'est soumis qu'à la force d'attraction gravitationnelle exercée par la Terre :

où \vec{u}_r est le vecteur unitaire radial dirigé du centre de la Terre vers le satellite.

Pour une trajectoire circulaire de rayon r parcourue à vitesse scalaire v, l'accélération s'écrit dans la base de Frenet :

La deuxième loi de Newton projetée sur la direction normale donne :

La vitesse étant constante, le mouvement est circulaire uniforme. La période de révolution T vérifie 2\pi r = v T, soit :

À la surface de la Terre (r = R_T), l'intensité de la pesanteur g s'identifie au champ gravitationnel :

En substituant cette relation dans l'expression de T, on obtient :

Application numérique : D'après l'annexe 2, pour les satellites SPOT 6 et 7, l'altitude orbitale est h = 694\text{ km} = 6{,}94 \times 10^5\text{ m}. Les données fournies indiquent R_T = 6{,}38 \times 10^6\text{ m} et g = 9{,}81\text{ m}\cdot\text{s}^{-2}.

Commentaire : La valeur calculée (98{,}6\text{ min}) est en excellent accord avec la période annoncée dans l'annexe 2 (98{,}79\text{ min}), avec un écart relatif inférieur à 0{,}2\,\%. Ce très faible écart provient de l'aplatissement de la Terre aux pôles (terme quadripolaire J_2 du potentiel terrestre, responsable de la précession de l'orbite héliosynchrone) et des arrondis sur les constantes g et R_T.

Par définition, la résolution r correspond à la distance à la surface de la Terre vue par un pixel du capteur depuis le satellite situé à l'altitude h. Comme la résolution au sol r est très petite devant l'altitude orbitale h (r \ll h), l'approximation des petits angles est parfaitement vérifiée. L'angle sous-tendu \theta_r s'exprime donc par :

D'après les caractéristiques des satellites SPOT 6 et 7 données dans l'annexe 2 :

• l'altitude orbitale est h = 694\text{ km} = 6{,}94 \times 10^{5}\text{ m} ;
• la résolution annoncée en mode panchromatique est r = 1{,}5\text{ m}.

On obtient numériquement :

L'objet observé se situe à la surface de la Terre, à une distance du système optique égale à l'altitude h. Comme h \gg f, l'objet est considéré à l'infini et son image se forme dans le plan focal image du système optique.

Le grandissement transversal en valeur absolue est donné par :

On en déduit l'expression de la distance focale équivalente f :

où \theta_r = \frac{r}{h} est l'angle de résolution déterminé à la question Q16.

Avec les valeurs numériques fournies :

• h = 694\text{ km} = 694 \times 10^3\text{ m} ;
• r = 1{,}5\text{ m} ;
• r_p = 12\text{ }\mu\text{m} = 12 \times 10^{-6}\text{ m}.

Commentaire : La focale équivalente obtenue (f \approx 5{,}6\text{ m}) est considérable : elle est nettement supérieure aux dimensions physiques du satellite (indiquées en annexe 2 comme étant d'environ 1{,}55 \times 1{,}75 \times 2{,}7\text{ m}). Il serait donc impossible d'utiliser une simple lentille ou un tube optique rectiligne.

Cela justifie l'architecture optique retenue (télescope de Korsch à trois miroirs asphériques et deux miroirs de repliement), qui replie le faisceau lumineux plusieurs fois sur lui-même pour loger un trajet optique de plus de 5\text{ m} dans un volume très compact.

La diffraction d'une onde lumineuse de longueur d'onde \lambda_o par une ouverture circulaire de diamètre D (diamètre de la pupille d'entrée ou du miroir principal du télescope) donne lieu à une figure de diffraction appelée tache d'Airy.

L'ordre de grandeur de l'ouverture angulaire (demi-angle au sommet du cône de diffraction, correspondant au premier anneau sombre) est donné par :

Plus précisément, le rayon angulaire du premier zéro de la figure d'Airy s'écrit :

où D = 200\text{ mm} représente le diamètre d'ouverture du miroir principal (mentionné en annexe 2).

Le capteur étant placé dans le plan focal d'un instrument de focale équivalente f, une onde provenant de l'infini et diffractée sous un demi-angle \theta_d forme une tache d'Airy de rayon linéaire :

D'après la question Q18, l'ouverture angulaire s'écrit \theta_d = C \dfrac{\lambda_o}{D}, où C est une constante numérique sans dimension (C = 1{,}22 pour le rayon du premier anneau sombre, ou C = 2{,}44 si l'on considère le diamètre de la tache). Ainsi :

D'après l'annexe 2, les caractéristiques des instruments optiques mentionnent un « nombre d'ouverture (rapport entre diamètre d'ouverture et focale) de 16 ». Dans le vocabulaire usuel de la photographie et de l'optique instrumentale, le nombre d'ouverture noté N_O correspond en réalité au rapport focal :

En identifiant A = C comme constante numérique indéterminée, on obtient bien :

D'après la relation obtenue à la question Q19 :

Avec A = 2,44, N_O = 16 et \lambda_o = 600\text{ nm} = 0,600\text{ }\mu\text{m}, l'application numérique donne :

Commentaire :

• Avec le facteur A = 2 \times 1,22 = 2,44, la grandeur r_d représente le diamètre de la tache d'Airy sur le capteur.
• On constate que r_d \approx 24\text{ }\mu\text{m} = 2 r_p, où r_p = 12\text{ }\mu\text{m} est la taille d'un pixel (donnée en annexe 2). Le diamètre de la tache de diffraction couvre donc exactement deux pixels.
• Ce dimensionnement est optimal : il satisfait le critère d'échantillonnage de Shannon-Nyquist, garantissant que la résolution du capteur numérique est parfaitement adaptée à la limite de diffraction de l'optique, évitant à la fois le sous-échantillonnage (effet de repliement de spectre ou aliasing) et le sur-échantillonnage inutile.

On peut estimer la résolution spatiale r de l'image satellite par deux méthodes concordantes :

• À partir de l'échelle graphique (image intermédiaire, 500 pixels de large) : La barre d'échelle représentant 100\text{ m} occupe un peu plus de 40\,\% de la largeur totale de l'image, soit environ 210 \pm 20\text{ pixels}. La résolution spatiale vaut donc :

  r = \frac{100\text{ m}}{210\text{ pixels}} \approx 0{,}48\text{ m}\cdot\text{pixel}^{-1}

• À partir du zoom sur le bateau (vignette de 60 pixels de large) : Le bateau s'étend sur environ la moitié de la vignette, soit une longueur d'environ 30 \pm 5\text{ pixels}. Avec la longueur estimée à la question Q4 (L \approx 14\text{ m}), on retrouve :

  r = \frac{L}{N_{\text{pixels}}} \approx \frac{14\text{ m}}{30\text{ pixels}} \approx 0{,}47\text{ m}\cdot\text{pixel}^{-1}

On en déduit l'estimation :

Conclusion : La résolution mesurée (r \approx 45\text{ cm}) est nettement plus fine que la résolution nominale panchromatique des satellites SPOT 6 et 7 (r = 1{,}5\text{ m} d'après l'annexe 2). En revanche, elle coïncide remarquablement avec celle des satellites commerciaux à très haute résolution mentionnés dans l'annexe 2, notamment GeoEye 1, dont la résolution est de 41\text{ cm} par pixel. L'image de la figure 3 provient donc d'un satellite de cette génération et non de la constellation SPOT 6/7.

À l'ordre le plus bas (ordre zéro), le fluide est au repos : la vitesse macroscopique est identiquement nulle,

et la pression est la pression d'équilibre, notée p_0.

L'accélération particulaire s'annule :

L'équation d'Euler (II.1) se réduit ainsi à la relation fondamentale de la statique des fluides :

En tenant compte de \vec{g} = -g\vec{u}_z, il vient :

D'après le résultat de la question Q22, l'équilibre hydrostatique à l'ordre le plus bas vérifie :

Par projection sur les trois axes du repère cartésien, p_0 ne dépend que de la coordonnée verticale z et vérifie :

La masse volumique \rho et l'accélération de la pesanteur g étant supposées constantes dans tout le fluide, une intégration par rapport à z conduit à :

où C est une constante d'intégration.

En l'absence de perturbation (au repos), la surface libre plane du liquide se situe à l'altitude z = 0. La continuité de la pression à l'interface liquide-air impose :

On en déduit que C = P_{\text{air}}, d'où l'expression explicite de la pression hydrostatique :

L'équation d'Euler (II.1) s'écrit :

En y introduisant \vec{v} = \vec{v}_1 et P = p_0(z) + p_1(x, z, t) :

À l'ordre 1 en perturbation :

• le terme convectif \rho (\vec{v}_1 \cdot \overrightarrow{\operatorname{grad}}) \vec{v}_1, quadratique en vitesse, est un terme du second ordre négligeable devant le terme d'accélération locale \rho \frac{\partial \vec{v}_1}{\partial t} ;

• les termes d'ordre 0 se compensent exactement d'après l'équation de la statique des fluides établie à la question Q22 :

  -\overrightarrow{\operatorname{grad}} p_0 + \rho \vec{g} = \vec{0}

Il reste donc l'équation d'Euler linéarisée au premier ordre :

L'équation obtenue à la question Q24 reliant \vec{v}_1 et p_1 s'écrit :

Cette équation aux dérivées partielles est linéaire et homogène par rapport aux grandeurs perturbatives \vec{v}_1 et p_1, à coefficients indépendants du temps.

En vertu de cette linéarité, le théorème de superposition (ou l'analyse de Fourier) s'applique : toute perturbation générale peut se décomposer en une somme (ou une intégrale) de modes harmoniques de la forme \exp(\mathrm{j}\omega t).

L'étude d'un mode monochromatique de pulsation \omega suffit donc à décrire la dynamique complète du système.

D'après la question Q24, l'équation d'Euler linéarisée s'écrit :

En adoptant la notation complexe introduite dans l'énoncé :

la dérivation temporelle se traduit par une multiplication par \mathrm{j}\omega :

L'opérateur gradient n'agissant que sur les coordonnées d'espace, on a de même :

En injectant ces expressions dans l'équation d'Euler linéarisée et en simplifiant par \mathrm{e}^{\mathrm{j}\omega t}, il vient :

soit finalement :

D'après le résultat de la question Q26, l'amplitude complexe du champ de vitesse s'exprime sous la forme :

Le rotationnel d'un champ de gradient étant identiquement nul (\overrightarrow{\operatorname{rot}}(\overrightarrow{\operatorname{grad}}\,f) = \vec{0} pour tout champ scalaire f), on en déduit :

En multipliant par le facteur temporel \exp(\mathrm{j}\omega t) et en prenant la partie réelle, il vient pour le champ de vitesse physique :

L'écoulement est donc irrotationnel (le vecteur tourbillon est nul).

Dans un domaine simplement connexe, un champ vectoriel irrotationnel dérive d'un potentiel scalaire. On introduit ainsi le potentiel des vitesses \phi(x,z,t) tel que :

soit, en projection sur les axes de l'écoulement bidimensionnel :

Le fluide est supposé homogène (\rho = \text{Cte}) et incompressible. L'équation locale de conservation de la masse s'écrit :

Puisque la masse volumique \rho est uniforme et constante, cette équation se réduit à la condition d'incompressibilité du champ des vitesses :

À l'ordre 1 de la théorie des perturbations, le champ de vitesse est \vec{v} = \vec{v}_1, d'où :

D'après la question Q27, l'écoulement est irrotationnel et dérive d'un potentiel des vitesses \phi(x,z,t) tel que \vec{v}_1 = \overrightarrow{\operatorname{grad}}\phi. En utilisant l'identité vectorielle rappelée dans le formulaire du sujet (\operatorname{div}(\overrightarrow{\operatorname{grad}}\phi) = \Delta \phi), il vient :

soit :

Le potentiel des vitesses satisfait donc l'équation de Laplace.

L'équation de Laplace se rencontre dans plusieurs domaines fondamentaux de la physique :

1. Électrostatique dans le vide de charge : Le champ électrique dérive du potentiel scalaire (\vec{E} = -\overrightarrow{\operatorname{grad}} V). Dans une région dépourvue de charges libres (\rho_{\text{ch}} = 0), l'équation de Maxwell-Gauss \operatorname{div} \vec{E} = \frac{\rho_{\text{ch}}}{\varepsilon_0} = 0 conduit directement à :

   \Delta V = 0

2. Thermique en régime permanent sans source : La densité de courant thermique vérifie la loi de Fourier (\vec{j}_Q = -\lambda_{\text{th}} \overrightarrow{\operatorname{grad}} T). Le bilan d'énergie en régime stationnaire en l'absence de terme source volumique s'écrit \operatorname{div}\vec{j}_Q = 0, ce qui donne, pour une conductivité thermique \lambda_{\text{th}} uniforme :

   \Delta T = 0

3. Diffusion de matière stationnaire : De manière analogue, d'après la loi de Fick (\vec{\jmath}_N = -D \overrightarrow{\operatorname{grad}} n), le régime stationnaire sans réactions chimiques volumiques conduit à \operatorname{div}\vec{\jmath}_N = 0, soit :

   \Delta n = 0
4. Gravitation hors des masses : Le champ gravitationnel dérive du potentiel gravitationnel (\vec{\mathcal{G}} = -\overrightarrow{\operatorname{grad}} \Phi) et vérifie le théorème de Gauss \operatorname{div}\vec{\mathcal{G}} = -4\pi \mathcal{G} \rho. Dans le vide (\rho = 0), le potentiel vérifie \Delta \Phi = 0.

Le fond du liquide, situé en z = -h, est une paroi solide, plane, fixe et imperméable.

Pour un fluide parfait, la condition aux limites cinématique à la paroi est la condition d'imperméabilité (ou de non-interpénétration) : la composante normale de la vitesse du fluide doit être nulle au contact du fond :

soit :

D'après la question Q27, la vitesse dérive du potentiel des vitesses selon \vec{v}_1 = \overrightarrow{\operatorname{grad}}\phi, ce qui donne pour la composante verticale :

On en déduit immédiatement qu'en z = -h :

D'après la question précédente (Q27), le gradient du potentiel des vitesses s'identifie directement au champ des vitesses du fluide au premier ordre :

On peut considérer que ce gradient est borné sur tout l'espace (\forall x \in \mathbb{R}) pour deux raisons physiques majeures :

1. Considération énergétique : la vitesse du fluide doit rester finie en tout point du domaine afin que la densité volumique d'énergie cinétique, \frac{1}{2}\rho \|\vec{v}_1\|^2, ne diverge pas. Une vitesse infinie à l'infini nécessiterait une énergie totale infinie apportée au fluide, ce qui est physiquement impossible.

2. Hypothèse de linéarisation : le modèle d'ondes linéaires développé dans cette partie repose explicitement sur l'hypothèse de petites perturbations énoncée dans le préambule de la partie II, à savoir :

   \|\vec{v}_1\| \ll c

   où c est la célérité des ondes de surface. Une divergence de \vec{v}_1 lorsque x \to \pm\infty violerait cette hypothèse fondamentale.

Le potentiel des vitesses est cherché sous la forme à variables séparées :

L'équation de Laplace (II.2) pour cet écoulement bidimensionnel s'écrit :

En injectant l'expression de \phi, on obtient :

soit, en divisant par \underline{f}(x)\,\underline{g}(z)\,\mathrm{e}^{\mathrm{j}\omega t} (pour les points où ce produit est non nul) :

Le membre de gauche ne dépend que de x et celui de droite uniquement de z ; ils sont donc égaux à une même constante réelle. D'après la question Q31, le gradient de \phi (et donc la vitesse \vec{v}_1) reste borné pour tout x \in \mathbb{R}. La fonction \underline{f}(x) ne peut donc pas présenter de comportement exponentiel croissant ou décroissant à l'infini : elle doit osciller harmoniquement en x. La constante de séparation est donc nécessairement strictement négative, notée -k^2 avec k \in \mathbb{R}^{+*} :

L'équation différentielle satisfaite par \underline{g}(z) s'écrit alors :

Sa solution générale s'exprime commodément sous la forme :

où A et B sont deux constantes complexes d'intégration.

Sa dérivée par rapport à z vaut :

La condition d'imperméabilité au fond z = -h, établie à la question Q30, impose \left.\frac{\partial\phi}{\partial z}\right|_{z=-h} = 0, soit :

On en déduit que \underline{g}(z) s'écrit bien sous la forme :

où k est une constante et A une constante complexe d'intégration.

D'après l'équation de Laplace \Delta \phi = 0 (question Q28) appliquée à la forme à variables séparées \underline{\phi}(x,z,t) = \underline{f}(x)\underline{g}(z)\,\mathrm{e}^{\mathrm{j}\omega t}, la fonction \underline{f}(x) vérifie :

Puisque le gradient de \phi doit rester borné pour tout x \in \mathbb{R} (question Q31), k est nécessairement un réel positif (k \ge 0). La solution générale de cette équation différentielle s'écrit sous forme de combinaison linéaire d'ondes progressives se propageant selon l'axe x :

où C_1 et C_2 sont des constantes complexes.

En utilisant \underline{g}(z) = A \cosh(k(z+h)) établi à la question Q32, le potentiel complexe s'écrit de manière générale :

où \underline{\phi}_0^+ et \underline{\phi}_0^- sont des amplitudes complexes associées aux ondes se propageant respectivement vers les x > 0 et vers les x < 0.

Pour une onde progressive monochromatique se propageant dans le sens des x croissants, en notant \underline{\phi}_0^+ = \Phi_0\,\mathrm{e}^{\mathrm{j}\psi_0} avec \Phi_0 et \psi_0 réels, le potentiel réel est la partie réelle du potentiel complexe :

(ou la superposition d'ondes progressives se propageant dans les deux sens).

Signification de k : La grandeur k représente le nombre d'onde spatial selon la direction horizontale x. Elle caractérise la périodicité spatiale de l'onde de surface : la longueur d'onde spatiale de l'ondulation à la surface est donnée par

Par ailleurs, le facteur \cosh(k(z+h)) montre que k^{-1} = \frac{\lambda}{2\pi} représente également la profondeur de pénétration du mouvement fluide : l'amplitude du champ de vitesses décroît depuis la surface libre (z=0) vers le fond (z=-h) sur une échelle de profondeur caractéristique de l'ordre de 1/k.

La solution s'écrit sous la forme :

On peut dégager plusieurs caractéristiques physiques fondamentales :

• Caractère propagatif horizontal : le terme \cos(\omega t - kx + \psi_0) décrit une onde progressive harmonique se propageant selon la direction horizontale +Ox avec une vitesse de phase v_\varphi = \omega / k.

• Structure selon la verticale : il n'y a pas de propagation selon z (onde stationnaire/évanescente sur la verticale). Le facteur spatial \cosh(k(z+h)) module l'amplitude de l'onde :

  • elle est maximale à la surface libre (z = 0, où le facteur vaut \cosh(kh)) ;
  • elle décroît de façon monotone en s'enfonçant dans le fluide pour atteindre son minimum au fond (z = -h, où le facteur vaut 1).

• Mouvements du fluide : en dérivant \phi, les composantes de la vitesse sont :

  \begin{aligned} v_{1,x} &= \frac{\partial \phi}{\partial x} = k \Phi_0 \cosh(k(z+h))\sin(\omega t - kx + \psi_0) \\ v_{1,z} &= \frac{\partial \phi}{\partial z} = k \Phi_0 \sinh(k(z+h))\cos(\omega t - kx + \psi_0) \end{aligned}

  La composante verticale v_{1,z} s'annule bien en z = -h (imperméabilité du fond), tandis que la vitesse horizontale v_{1,x} y reste non nulle (glissement parfait d'un fluide non visqueux). De plus, v_{1,x} et v_{1,z} étant en quadrature de phase dans l'espace et le temps, les particules de fluide décrivent des trajectoires elliptiques aplaties.

• Caractère d'onde de surface : l'agitation du fluide est confinée au voisinage de l'interface :

  • en eau profonde (kh \gg 1, soit h \gg \lambda) : \cosh(k(z+h)) \approx \frac{1}{2}\mathrm{e}^{kh}\mathrm{e}^{kz}. L'amplitude décroît exponentiellement sous la surface avec une profondeur de pénétration caractéristique \delta = 1/k = \lambda/(2\pi). Le fond n'a plus aucune influence ;
  • en eau peu profonde (kh \ll 1, soit h \ll \lambda) : \cosh(k(z+h)) \approx 1, le mouvement horizontal devient homogène sur toute la tranche d'eau.