Corrigé détaillé Mines Physique 2 PC 2025

D'après le théorème de Gauss appliqué à une distribution de masse à symétrie sphérique de masse totale M_T, le champ de gravitation à l'extérieur de la Terre (r \ge R_T) ne dépend que de la distance r = R_T + z au centre de la Terre :

où g_0 = g(0) est l'intensité de la pesanteur au sol.

L'altitude maximale de la troposphère étant h = 14\text{ km}, on a h \ll R_T (R_T = 6\,400\text{ km}). L'écart relatif maximal par rapport au sol est atteint au sommet de la troposphère (z = h) :

À l'ordre 1 en h/R_T, on obtient :

Application numérique :

Comme 0,44\% < 0,5\%, l'intensité de la pesanteur varie bien de moins de 0,5\% dans toute la troposphère.

Considérons une colonne d'air cylindrique verticale de section droite S, s'étendant de l'altitude z jusqu'au sommet de l'atmosphère (z \to +\infty). Les forces extérieures appliquées à cette colonne projetées sur l'axe vertical ascendant (Oz) sont :

• la force de pression exercée par l'air sous-jacent en z : \vec{F}_P = P(z) S\,\vec{e}_z ;
• la force de pression au sommet de l'atmosphère, où la pression est nulle : P(+\infty) = 0 ;
• les forces de pression latérales qui s'exercent horizontalement et n'ont pas de composante verticale par symétrie ;

• le poids de la colonne d'air :

  \vec{P}_{\text{poids}} = -\left(\int_z^{+\infty} \rho(z') g S\,\mathrm{d}z'\right) \vec{e}_z

À l'équilibre mécanique de la colonne, la somme des forces verticales est nulle :

En simplifiant par S, on obtient la relation intégrale :

En dérivant cette relation par rapport à z, on retrouve la relation fondamentale de la statique des fluides :

L'air étant modélisé par un gaz parfait de masse molaire \mathcal{M}_{\text{air}}, sa masse volumique s'exprime par :

En reportant cette expression dans la loi de l'hydrostatique et en utilisant T(z) = T_0(1-\Gamma z) :

Par identification avec la forme demandée \dfrac{\mathrm{d}P}{P} = - \dfrac{1}{1 - \dfrac{z}{H_1}} \dfrac{\mathrm{d}z}{H_0}, on identifie les deux hauteurs caractéristiques :

Applications numériques :

• Pour H_0, avec T_0 = 27^\circ\text{C} = 300\text{ K}, \mathcal{M}_{\text{air}} = 29\times 10^{-3}\text{ kg}\cdot\text{mol}^{-1}, \mathcal{R} = 8,3\text{ J}\cdot\text{K}^{-1}\cdot\text{mol}^{-1} et g = 9,8\text{ m}\cdot\text{s}^{-2} :

  H_0 = \frac{8,3 \times 300}{29\times 10^{-3} \times 9,8} = \frac{2490}{0,2842} \simeq 8{,}8\times 10^3\text{ m} = 8{,}8\text{ km}

• Le gradient thermique \Gamma se déduit de la décroissance linéaire de la température dans la troposphère, où T(h) = T_0(1-\Gamma h) = T_h avec h = 14\text{ km} et T_h = -64^\circ\text{C} = 209\text{ K} :

  \Gamma = \frac{T_0 - T_h}{T_0 h} = \frac{300 - 209}{300 \times 14} = \frac{91}{4200}\text{ km}^{-1} \implies H_1 = \frac{1}{\Gamma} = \frac{4200}{91}\text{ km} \simeq 46\text{ km}

  (avec T_h \simeq 210\text{ K}, on obtient H_1 \simeq 47\text{ km}).

D'après la question précédente, la pression vérifie l'équation différentielle :

En remarquant que \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}\left(1 - \frac{z}{H_1}\right) = -\frac{1}{H_1}, on réécrit :

En intégrant entre le sol (z = 0, P(0) = P_0) et l'altitude z :

Soit, en prenant l'exponentielle :

Calculons numériquement k à partir des valeurs trouvées :

(valeur entière retenue par l'énoncé dans la partie I.B où k = 5 et 1/\Gamma = 48\text{ km}, ce qui donne k = 48/8{,}8 \simeq 5{,}5 \approx 5).

Au sommet de la troposphère (z = h = 14\text{ km}) :

La pression au sommet de la troposphère vaut donc :

D'après les facteurs de conversion fournis dans l'énoncé, \left(\frac{210}{300}\right)^5 \simeq 0{,}15. Avec P_0 = 1{,}0\text{ bar} :

Considérons le système constitué par la parcelle d'air de volume V, située à l'altitude z le long de l'axe (Oz) vertical ascendant. Sa masse volumique est notée \rho_{\mathrm{S}}(z), de sorte que sa masse s'écrit :

Ce volume d'air est soumis à deux actions mécaniques :

• le poids de la parcelle d'air :

  \vec{P} = m\vec{g} = -\rho_{\mathrm{S}}(z) V g\,\vec{e}_z

• la résultante des forces de pression exercées par l'air atmosphérique extérieur sur la surface fermée délimitant le volume V. Par application de la formule de Green-Ostrogradski et compte tenu du fait que l'atmosphère environnante vérifie la relation fondamentale de la statique des fluides \vec{\nabla}P = -\rho_{\text{air}}(z)g\,\vec{e}_z, cette résultante s'identifie à la poussée d'Archimède :

  \vec{F}_p = -\oiint P \vec{n}_{\text{ext}}\,\mathrm{d}S = -\iiint_V \vec{\nabla}P\,\mathrm{d}V = \rho_{\text{air}}(z) V g\,\vec{e}_z

La résultante \vec{F}_{\text{res}} des forces de pesanteur et de pression exercées sur le volume V est donc :

On applique le principe fondamental de la dynamique à la parcelle d'air de masse constante m = \rho_{\mathrm{S}}(z) V dans le référentiel terrestre supposé galiléen. En projetant sur l'axe vertical ascendant (Oz) et en utilisant l'expression de la résultante obtenue à la question Q4 :

En divisant par m = \rho_{\mathrm{S}}(z) V, on obtient l'équation différentielle régissant l'altitude z(t) :

À l'altitude d'arrivée z > z_0, la parcelle est à la pression de l'air environnant : P_{\mathrm{S}}(z) = P_{\text{air}}(z) = P(z). L'air étant assimilé à un gaz parfait de masse molaire \mathcal{M}_{\text{air}}, la masse volumique s'exprime par :

À pression identique, la masse volumique est inversement proportionnelle à la température. Par suite :

La parcelle d'air est plus dense que l'air ambiant ; l'accélération \ddot{z} est donc négative. La résultante des forces est dirigée vers le bas : le volume d'air va redescendre.

Un déplacement vers le haut (z > z_0) engendre une force de rappel vers la position initiale z_0. L'équilibre mécanique est donc stable vis-à-vis des déplacements verticaux : l'atmosphère est stable.

À l'altitude initiale z_0, la parcelle d'air est à l'équilibre avec le milieu extérieur, de sorte que :

Par définition des grandeurs h_{\text{air}} et h_{\mathrm{S}} introduites dans l'énoncé :

Pour un déplacement z - z_0 suffisamment faible, les développements au premier ordre s'écrivent :

D'après le résultat de la question Q5, l'équation différentielle régissant l'altitude z(t) est :

En développant le rapport des masses volumiques au premier ordre en z - z_0 :

L'équation différentielle devient ainsi :

En regroupant les termes en z, on obtient l'équation de Brunt–Väisälä :

où la constante vaut \text{cte} = N^2 z_0.

L'air atmosphérique est modélisé par un gaz parfait d'équation d'état :

En utilisant les expressions données de la pression et de la température :

la masse volumique s'écrit :

où \rho_0 = \dfrac{\mathcal{M}_{\text{air}} P_0}{\mathcal{R} T_0} désigne la masse volumique de l'air au sol.

Par définition de l'échelle de hauteur h_{\text{air}} :

En dérivant le logarithme népérien de \rho_{\text{air}}(z) :

On en déduit :

soit finalement :

Pour une évolution adiabatique et réversible (isentropique) d'un gaz parfait de masse m = \rho V fixée, la loi de Laplace s'écrit P V^\gamma = \text{cte}. En remplaçant le volume par V = m/\rho, on obtient :

En reliant l'état à l'altitude z à l'état de référence au sol (P_0, \rho_0), il vient :

La pression de la parcelle d'air s'ajuste instantanément à la pression atmosphérique environnante, donnée par P(z) = P_0 (1 - \Gamma z)^k. On en déduit :

Par définition de l'échelle de hauteur h_{\mathrm{S}} :

En prenant le logarithme népérien :

En dérivant par rapport à z :

Comme 1 - \Gamma z = \frac{T(z)}{T_0}, on obtient finalement :

D'après l'équation de Brunt–Väisälä établie à la question Q6, l'évolution de la cote z(t) d'une particule fluide écartée de sa position d'équilibre z_0 vérifie :

En utilisant les expressions obtenues aux questions Q7 et Q8 :

on obtient pour le carré de la pulsation de Brunt–Väisälä :

Avec les valeurs fournies par l'énoncé (k = 5, \gamma_{\text{air}} = 7/5 = 1{,}4, \Gamma > 0 et T(z) > 0) :

Tous les autres facteurs (g, \Gamma, T_0, T(z)) étant strictement positifs dans toute la troposphère, on a :

L'équation différentielle admet donc des solutions oscillatoires sinusoïdales à la pulsation N :

Une parcelle d'air déplacée verticalement est rappelée vers son altitude initiale et oscille autour de sa position d'équilibre sans s'en éloigner indéfiniment.

D'après l'énoncé, la norme de la force exercée par le vent ne dépend que de la masse volumique de l'air \rho_{\text{air}}, de la vitesse v et du rayon R de la sphère. Cherchons une expression sous la forme :

où C est une constante sans dimension.

Exprimons la dimension de chacune des grandeurs physiques dans le système international :

• [F_v] = \mathrm{M\cdot L\cdot T^{-2}}
• [\rho_{\text{air}}] = \mathrm{M\cdot L^{-3}}
• [v] = \mathrm{L\cdot T^{-1}}
• [R] = \mathrm{L}

L'égalité dimensionnelle s'écrit :

Par identification des exposants de chaque grandeur fondamentale :

On en déduit l'expression de la force de vent :

où C est une constante adimensionnelle de l'ordre de l'unité (liée au maître-couple S = \pi R^2 et au coefficient de traînée C_x par C = \frac{1}{2}\pi C_x).

À l'équilibre thermique et mécanique avec l'air extérieur, l'hélium à l'intérieur du ballon est à la température T et à la pression P de l'air environnant. En modélisant l'air et l'hélium comme des gaz parfaits, leurs masses volumiques s'écrivent :

En négligeant la masse de l'enveloppe, la masse du ballon est celle du gaz qu'il contient, de volume V = \frac{4}{3}\pi R^3 pour une géométrie sphérique. Le poids du ballon s'écrit donc :

D'après la question précédente, la force exercée par le vent est de la forme F_v = C \rho_{\text{air}} R^2 v^2, où C est une constante sans dimension d'ordre de grandeur unité. Le rapport x = F_v/\Pi vaut alors :

La force exercée par le vent est prépondérante devant le poids du ballon lorsque x > 1, c'est-à-dire :

Procédons à l'évaluation numérique de l'ordre de grandeur de R_c avec les données de l'énoncé :

• v = 120\text{ km}\cdot\text{h}^{-1} = \frac{120}{3{,}6}\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} \simeq 33\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} ;
• g \simeq 9{,}8\text{ m}\cdot\text{s}^{-2} \simeq 10\text{ m}\cdot\text{s}^{-2} ;
• d = \frac{\mathcal{M}_{\mathrm{He}}}{\mathcal{M}_{\text{air}}} = \frac{4{,}0}{29} \simeq 0{,}14.

Il vient :

En tenant compte du préfacteur géométrique \frac{3C}{4\pi} \sim 0{,}1 à 0{,}2, on obtient un rayon critique de l'ordre de :

Conclusion : Les ballons réels ont un rayon typique compris entre R \sim 1\text{ m} (ballon de 1892) et R \sim 25\text{ m} (record japonais JAXA ou ballon haute altitude de 2023). Pour tous ces ballons, R \ll R_c : la force exercée par les vents en altitude est donc largement prépondérante devant le poids du ballon (F_v \gg \Pi).

Le ballon, de volume constant V = 4\text{ m}^3, est fermé et gonflé au sol dans les conditions atmosphériques de référence (P_0 = 1,0\text{ bar} et T_0 = 300\text{ K}). En modélisant le dihydrogène comme un gaz parfait, la masse de gaz enfermée est constante tout au long de l'ascension :

À l'altitude maximale atteinte (juste avant l'éclatement), la pression extérieure vaut P_{\min} = 0,35\text{ bar} et la température T_{\min} = -18^\circ\text{C} = 255\text{ K}. La masse d'air déplacée par le ballon s'écrit alors :

Pour que le ballon ait pu s'élever jusqu'à cette altitude en l'absence de vent, la poussée d'Archimède doit être au moins égale au poids total du système {enveloppe + instruments + dihydrogène}, soit :

où M désigne la masse cumulée de l'enveloppe et des instruments embarqués. On obtient ainsi :

Application numérique :

D'où la masse maximale autorisée :

1. Résultante des forces de traction \vec{f}

La partie basse exerce sur chaque élément de longueur d\ell du cercle \mathcal{C} une force de tension d\vec{f} de norme df = \xi\,d\ell. Cette force est tangente au ballon le long du méridien et dirigée vers le bas.

Dans le repère sphérique de centre O et d'axe polaire (Oz), un point du cercle \mathcal{C} est repéré par l'angle polaire \theta, avec r = R\sin\theta. Le vecteur tangent unitaire dirigé vers le bas est :

Par raison de symétrie de révolution autour de l'axe (Oz), la résultante des composantes horizontales \cos\theta\,\vec{u}_\rho s'annule lors de l'intégration le long du cercle \mathcal{C}. Il ne subsiste que la composante verticale :

En intégrant sur la circonférence du cercle \mathcal{C}, de périmètre L = 2\pi r = 2\pi R\sin\theta, on obtient :

2. Résultante des forces de pression \vec{F}_p

Sur un élément de surface d\vec{S} = dS\,\vec{n}_{\text{ext}} de la calotte supérieure (orienté vers l'extérieur), la surpression intérieure exerce la force :

Par symétrie axiale, la résultante est purement verticale selon \vec{e}_z. La projection de d\vec{S} sur l'axe (Oz) vaut d\vec{S}\cdot\vec{e}_z = dS_z, qui correspond à l'aire de la projection de l'élément de surface sur le plan horizontal (Oxy).

En intégrant sur toute la calotte supérieure, la projection plane obtenue est le disque horizontal fermé de rayon r délimité par le cercle \mathcal{C}, d'aire S_{\text{proj}} = \pi r^2. Il vient donc :

On étudie la partie haute de la membrane du ballon dans le référentiel terrestre supposé galiléen. D'après l'énoncé, la masse de la membrane est négligée, de sorte que son poids est nul.

À l'équilibre mécanique, la résultante des forces extérieures appliquées à cette calotte sphérique est donc nulle :

En utilisant les expressions établies à la question précédente :

• la résultante des forces de pression intérieure et extérieure s'écrit :

  \vec{F}_p = (P_i - P_e) \pi r^2\,\vec{e}_z

• la résultante des forces de traction exercées par la partie basse le long du cercle \mathcal{C} vaut :

  \vec{f} = -2\pi R \xi \sin^2\theta\,\vec{e}_z

Comme le cercle frontière a pour rayon r = R \sin\theta, on a r^2 = R^2 \sin^2\theta, d'où :

Pour toute calotte non triviale (\theta \in ]0, \pi/2[), le facteur \pi R^2 \sin^2\theta est non nul. On peut donc simplifier :

On obtient bien la loi de Jurin–Laplace :

D'après la loi de Jurin–Laplace établie à la question précédente (Q14), l'équilibre mécanique de la membrane au sol (z = 0) s'écrit :

On en déduit l'expression de la tension linéique \xi :

Avec P_0 = 1{,}0\text{ bar} = 1{,}0 \times 10^5\text{ Pa}, P_1 = 2{,}0\text{ bar} = 2{,}0 \times 10^5\text{ Pa} et R_1 = 2{,}0\text{ m} :

Le paramètre adimensionné \beta s'en déduit immédiatement :

Numériquement :

Le ballon sphérique contient une masse fixe d'hélium de rapport adiabatique \gamma_{\mathrm{He}}. L'ascension étant adiabatique et réversible, l'hélium suit la loi de Laplace :

Le volume étant proportionnel à R^3, on a :

D'après la question précédente, au sol (z=0), la loi de Jurin–Laplace s'écrit P_1 = P_0 + \frac{2\xi}{R_1} = P_0(1+\beta), où \beta = \frac{2\xi}{P_0 R_1}. On obtient ainsi :

À l'altitude z, la loi de Jurin–Laplace s'écrit également :

En égalant les deux expressions de la pression interne P_i et en divisant par P_0, il vient :

Sachant que \delta(z) = \frac{P_e(z)}{P_0}, on identifie la relation \psi(x) = \delta(z) avec :

Avec \beta = 1 et \gamma_{\mathrm{He}} = 5/3, cette fonction s'écrit numériquement \psi(x) = 2x^5 - x.

Montrons que R > R_1 :

• Au sol (z = 0), x = 1 et \delta(0) = 1, ce qui vérifie bien \psi(1) = 1.
• Lorsque le ballon s'élève (z > 0), la pression atmosphérique décroît, de sorte que \delta(z) = \frac{P_e(z)}{P_0} < 1.

• La dérivée de la fonction \psi au voisinage de x=1 vaut :

  \psi'(1) = 3\gamma_{\mathrm{He}}(1+\beta) - \beta = 5 \times 2 - 1 = 9 > 0

  La fonction \psi est donc strictement croissante au voisinage de x=1. Comme \psi(x) = \delta(z) < 1 = \psi(1), on en déduit que :

  x < 1

Puisque x = \frac{R_1}{R}, cela prouve que :

Le ballon se dilate sous l'effet de la baisse de la pression extérieure au cours de son ascension.

La relation d'équilibre établie à la question Q16 s'écrit :

avec x = R_1 / R et R_1 = 2{,}0\text{ m}. La résolution s'effectue par lecture graphique conjointe sur la figure 4.

Sur la graduation de la figure 4 :

• en ordonnée, l'intervalle [0\,;\,1] comporte 10 divisions, soit 0{,}10 par carreau ;
• pour le graphe de gauche, l'intervalle [0{,}8\,;\,1{,}0] comporte 4 carreaux, soit 0{,}05 par carreau en abscisse ;
• pour le graphe de droite, l'axe des abscisses est gradué à raison de 1{,}5\text{ km} par carreau (2 carreaux pour 3\text{ km}).

1. À l'altitude z = 3\text{ km} :

• Sur le graphe de droite, à z = 3\text{ km}, on lit \delta(3\text{ km}) \simeq 0{,}72.
• En reportant \psi(x) \simeq 0{,}72 sur le graphe de gauche, on lit x \simeq 0{,}97.

• On en déduit le rayon :

  R(3\text{ km}) = \frac{R_1}{x} \simeq \frac{2{,}0}{0{,}97} \simeq 2{,}1\text{ m}

2. À l'altitude z = 9\text{ km} :

• Sur le graphe de droite, à z = 9\text{ km}, on lit \delta(9\text{ km}) \simeq 0{,}35.
• En reportant \psi(x) \simeq 0{,}35 sur le graphe de gauche, on lit x \simeq 0{,}91.

• On en déduit le rayon :

  R(9\text{ km}) = \frac{R_1}{x} \simeq \frac{2{,}0}{0{,}91} \simeq 2{,}2\text{ m}

3. À l'altitude z = 15\text{ km} :

• Sur le graphe de droite, à z = 15\text{ km}, on lit \delta(15\text{ km}) \simeq 0{,}15.
• En reportant \psi(x) \simeq 0{,}15 sur le graphe de gauche, on lit x \simeq 0{,}87.

• On en déduit le rayon :

  R(15\text{ km}) = \frac{R_1}{x} \simeq \frac{2{,}0}{0{,}87} \simeq 2{,}3\text{ m}

L'énoncé indique que la résistance R de la thermistance est de l'ordre de quelques \text{k}\Omega, ce qui correspond à une conductance :

avec G^* = 1\text{ S}. On a donc :

Évaluons alors les différents termes de l'équation de Steinhart–Hart :

Le terme cubique est ainsi très inférieur au terme linéaire :

Il est donc tout à fait raisonnable de négliger le terme en \left[\ln(G/G^*)\right]^3 devant les autres termes. L'approximation proposée est :

Pour un conducteur cylindrique homogène de longueur \ell, de section s et de conductivité électrique \gamma_{\text{el}}, la résistance électrique s'écrit :

La conductance électrique G = 1/R est donc reliée à la conductivité par :

D'après la loi approchée retenue à la question Q18 :

On en déduit l'expression de la conductance :

Comme les dimensions géométriques s et \ell sont indépendantes de la température, la conductivité électrique s'écrit :

La conductivité varie donc bien proportionnellement au facteur de Boltzmann \exp\left[-\mathcal{E}/(k_{\mathrm{B}} T)\right], avec :

Application numérique : Avec k_{\mathrm{B}} = 1,4 \times 10^{-23}\text{ J}\cdot\text{K}^{-1}, T^* = 1\text{ K} et B = 2,31 \times 10^{-4} :

L'électron-volt (\text{eV}) étant l'unité usuelle et adaptée à la physique des semi-conducteurs et aux écarts d'énergie entre bandes électroniques, avec 1\text{ eV} = 1,6 \times 10^{-19}\text{ J} :

Soit, avec deux chiffres significatifs :

On étudie le mouvement d'un porteur de charge individuel de masse m et de charge q au sein du semi-conducteur, dans le référentiel du matériau supposé galiléen.

Ce porteur est soumis à :

• la force électrique \vec{F}_e = q\vec{E} imposée par le champ électrique \vec{E} ;
• la force de frottement fluide \vec{f} = -\dfrac{m}{\tau} \vec{v}, modélisant l'effet statistique des chocs avec le réseau ;
• le poids, très largement négligeable devant la force électrique.

Le principe fondamental de la dynamique appliqué au porteur s'écrit :

soit l'équation différentielle du premier ordre :

En régime permanent, le régime transitoire de durée caractéristique \tau s'est amorti et la vitesse devient constante (\mathrm{d}\vec{v}/\mathrm{d}t = \vec{0}) :

Le vecteur densité volumique de courant électrique dû à l'ensemble de ces porteurs de charge, présents avec une densité volumique n_q, est donné par :

Par identification avec la loi d'Ohm locale \vec{j} = \gamma_{\text{el}} \vec{E}, on en déduit la conductivité électrique de Drude :

L'écart énergétique entre le niveau de référence (bande de valence) et le niveau excité (bande de conduction) est noté \mathcal{E}. D'après la statistique de Boltzmann, la probabilité d'occupation thermique d'un niveau d'énergie supérieure est pondérée par le facteur \exp(-\Delta E / k_{\mathrm{B}} T). Le rapport des densités volumiques de porteurs dans ces deux bandes s'écrit donc :

D'après le modèle de Drude établi à la question Q20, la conductivité électrique vaut :

L'énoncé précisant que la durée moyenne \tau entre deux chocs ne dépend pas de la température, et q, m étant constants, la dépendance thermique de la conductivité est uniquement portée par celle de n_q. La densité n_0 des états de valence étant quasi-invariante avec la température (car n_q \ll n_0), on a :

Cette dépendance thermique est rigoureusement identique à la loi admise et exploitée à la question Q19. L'énergie \mathcal{E} s'identifie donc directement à la valeur calculée à la question Q19 :

En négligeant les effets de bord, le système est invariant par toute translation parallèle au plan (Oxy) des armatures. Le champ électrostatique ne dépend donc que de la coordonnée z :

De plus, tout plan perpendiculaire aux armatures (par exemple (Oxz) et (Oyz)) est un plan de symétrie de la distribution de charges. En tout point de l'espace, le champ \vec{E} doit appartenir à ces plans de symétrie, ce qui impose :

Le champ électrique est donc perpendiculaire aux armatures et dirigé selon l'axe vertical (Oz) (de l'armature chargée positivement vers l'armature chargée négativement, soit vers les z croissants).

Au sein du milieu isolant (équivalent au vide), il n'y a aucune charge volumique (\rho = 0). L'équation locale de Maxwell-Gauss s'écrit :

La composante E_z est donc indépendante de z.

Le champ électrique \vec{E} est donc uniforme dans tout l'espace compris entre les armatures.

Considérons une surface de Gauss cylindrique fermée de section droite \Delta S, d'axe parallèle à (Oz), à cheval sur l'interface de l'armature inférieure portant la densité surfacique de charge +\sigma_0 :

• la base inférieure est située à l'intérieur du métal conducteur de l'armature inférieure, où règne l'équilibre électrostatique, de sorte que \vec{E}_{\text{int}} = \vec{0} ;
• la base supérieure est située dans l'espace inter-armatures (assimilé au vide), où \vec{E} = E\,\vec{e}_z ;
• la paroi latérale est parallèle à \vec{e}_z, de sorte que \vec{E} \cdot \vec{n}_{\text{ext}} = 0 en tout point de cette paroi.

Le flux du champ électrique sortant de ce cylindre se réduit donc au flux à travers sa base supérieure :

La charge totale enfermée dans le cylindre est portée par l'armature :

D'après le théorème de Gauss :

On en déduit l'intensité du champ électrostatique E = \frac{\sigma_0}{\varepsilon_0}. Compte tenu de la direction de \vec{E} déterminée à la question précédente (dirigé de l'armature chargée positivement vers l'armature négative, soit selon +\vec{e}_z) :

Le champ électrostatique étant relié au potentiel scalaire par \vec{E} = -\vec{\nabla} V, la composante selon l'axe (Oz) vérifie :

La tension de polarisation U_0 entre l'armature inférieure (portant la charge positive +\sigma_0 en z=0) et l'armature supérieure (en z=e) s'obtient par circulation du champ électrostatique :

Le champ \vec{E} = \frac{\sigma_0}{\varepsilon_0}\vec{e}_z étant uniforme (d'après la question Q23), on en déduit :

Par définition, la capacité C_0 d'un condensateur est le coefficient de proportionnalité entre la charge totale Q_0 = \sigma_0 S portée par l'armature positive et la tension U_0 entre ses armatures :

En substituant l'expression de U_0, on obtient l'expression de la capacité du condensateur plan :

soit :

Le milieu isolant a un volume V = S e. Il contient un nombre total de molécules d'eau dipolaires :

Chaque molécule possédant un moment dipolaire moyen \vec{p}_m = p_m \vec{e}_z, le moment dipolaire électrique total du milieu isolant s'écrit par additivité :

Soit, en norme ou en grandeur algébrique selon l'axe (Oz) :

Par ailleurs, les charges de dépolarisation se répartissent sur les deux faces en regard :

• une charge Q = +\sigma S sur la surface supérieure en z = e ;
• une charge -Q = -\sigma S sur la surface inférieure en z = 0.

Ces deux plans chargés opposés distants de e constituent globalement un dipôle électrostatique de moment dipolaire :

En identifiant les deux expressions de \vec{p}_{\text{tot}} :

On en déduit immédiatement :

L'énergie potentielle d'un dipôle de moment \vec{p} plongé dans le champ électrique extérieur \vec{E} = E\,\vec{e}_z s'écrit :

où \theta est l'angle entre \vec{p} et l'axe (Oz).

Limite à très basse température (T \to 0) :
L'énergie d'agitation thermique k_{\mathrm{B}}T devient négligeable devant l'énergie potentielle d'interaction (k_{\mathrm{B}}T \ll p_{\mathrm{H}_2\mathrm{O}} E). Les dipôles se figent tous dans l'état de plus basse énergie, correspondant à \cos\theta = 1 (alignement parfait sur le champ \vec{E}). La projection moyenne du moment dipolaire sur \vec{e}_z tend donc vers la valeur maximale :

Limite à très haute température (T \to +\infty) :
L'agitation thermique est dominante (k_{\mathrm{B}}T \gg p_{\mathrm{H}_2\mathrm{O}} E) et rend les orientations des molécules parfaitement isotropes dans l'espace. Par symétrie sphérique, la moyenne spatiale de \cos\theta est nulle, d'où :

Température de transition T_c :
La transition entre le régime de saturation (ordonné) et le régime désordonné s'opère lorsque l'énergie thermique est de l'ordre de grandeur de l'écart énergétique électrostatique :

On en déduit l'ordre de grandeur de la température caractéristique :

Le moment dipolaire électrique est par définition le produit d'une charge par une distance, son unité dans le Système International (SI) est le coulomb-mètre :

D'après la relation établie à la question Q23, \vec{E} = \frac{\sigma_0}{\varepsilon_0}\vec{e}_z, le produit \varepsilon_0 E est homogène à une densité surfacique de charge électrique \sigma_0 :

La relation admise \vec{p}_m = \alpha \varepsilon_0 \vec{E} conduit ainsi à l'analyse dimensionnelle suivante pour \alpha :

Dans le système international d'unités :

D'après la figure 7, l'armature inférieure (en z=0) porte la densité surfacique de charge libre +\sigma_0, tandis que la surface adjacente de l'isolant porte la densité de charge de dépolarisation -\sigma.

La densité surfacique totale de charge au niveau de l'électrode inférieure vaut donc :

Par application du théorème de Gauss (ou de la relation de passage du champ électrique à l'interface, le champ étant nul dans le conducteur parfait), le champ électrostatique régnant dans le milieu isolant s'écrit :

D'après les questions Q25 (\sigma = n_p p_m) et Q27 (p_m = \alpha \varepsilon_0 E), on a :

En reportant cette relation dans l'expression du champ électrique :

Le champ électrique dans l'isolant s'exprime donc en fonction de la charge libre \sigma_0 :

La différence de potentiel entre les deux armatures distantes de e est :

La charge libre portée par l'armature positive étant Q = \sigma_0 S, la capacité du condensateur s'en déduit :

En reconnaissant l'expression de la capacité dans le vide C_0 = \dfrac{\varepsilon_0 S}{e} établie à la question Q24, on obtient :

On étudie un satellite de masse m_s, assimilé à un point matériel, en orbite circulaire de rayon r = R_T + h autour de la Terre de masse M_T. L'étude est menée dans le référentiel géocentrique, supposé galiléen compte tenu de la durée de l'orbite.

La Terre possédant une distribution de masse à symétrie sphérique, la seule force appliquée au satellite est l'attraction gravitationnelle :

où \vec{e}_r est le vecteur unitaire radial dirigé du centre de la Terre vers le satellite.

Pour une trajectoire circulaire de rayon r parcourue à vitesse angulaire \omega = \frac{2\pi}{T}, l'accélération est purement centripète :

D'après la deuxième loi de Newton appliquée au satellite :

En projetant sur \vec{e}_r et en remplaçant r par R_T + h, on obtient :

soit encore :

Cette relation est la troisième loi de Kepler (ou loi des périodes), appliquée ici au cas particulier d'une orbite circulaire où le demi-grand axe coïncide avec le rayon de l'orbite a = r = R_T + h.

D'après la troisième loi de Kepler établie à la question Q29, le rapport \dfrac{T^2}{(R_T + h)^3} ne dépend que de la masse de la Terre : il est donc identique pour le satellite GPS et pour un satellite géostationnaire.

Un satellite géostationnaire a pour période de révolution la période de rotation terrestre, soit T_{\text{géo}} = 24\text{ h}, et son orbite circulaire a pour rayon :

En écrivant l'égalité des rapports keplériens :

on obtient le rayon de l'orbite GPS :

En utilisant la donnée numérique fournie en fin d'énoncé, \left(\dfrac{1}{2}\right)^{2/3} \simeq 0{,}63 :

L'altitude h_{\text{GPS}} s'en déduit par :

Avec deux chiffres significatifs :

On étudie un électron de charge q = -e et de masse m_e dans le référentiel terrestre supposé galiléen. En ne retenant que les actions électromagnétiques, le principe fondamental de la dynamique s'écrit :

Dans l'onde électromagnétique progressive se propageant à une vitesse proche de c, le champ magnétique est relié au champ électrique par \|\vec{B}\| \sim \frac{\|\vec{E}\|}{c}. Le rapport des normes des forces magnétique et électrique vérifie donc :

Le mouvement des électrons étant non relativiste (v \ll c), la partie magnétique de la force de Lorentz est tout à fait négligeable devant la partie électrique. De plus, à l'ordre 1 en l'amplitude de l'onde (champ de faible intensité), le terme convectif (\vec{v}\cdot\vec{\nabla})\vec{v} est d'ordre 2 et l'accélération se réduit à la dérivée temporelle locale \frac{\partial \vec{v}}{\partial t}. L'équation différentielle régissant la vitesse de l'électron devient ainsi :

L'onde plane progressive a pour champ électrique complexe :

En régime sinusoïdal établi, la vitesse adopte la même dépendance spatiotemporelle et \frac{\mathrm{d}\underline{\vec{v}}}{\mathrm{d}t} = \mathrm{i}\omega \underline{\vec{v}}. L'équation du mouvement donne :

La densité volumique de courant électronique est \vec{j}_e = -e n_e \vec{v}. En notation complexe, on obtient la relation linéaire recherchée :

1. Négligeabilité du courant ionique

Dans le modèle du plasma froid sans collisions, chaque espèce chargée i de masse m_i et de charge q_i répond au champ électrique de l'onde selon la relation établie à la question Q31 :

La densité volumique de courant associée s'écrit donc :

En vertu de la quasi-neutralité locale globale du plasma, les densités volumiques de charges sont du même ordre de grandeur (n_{\text{ion}} |q_{\text{ion}}| \sim n_e e). Les amplitudes des densités de courant sont donc inversement proportionnelles aux masses :

Les ions les plus légers sont au moins des protons (m_p \simeq 1836\,m_e) et, dans l'ionosphère (essentiellement \mathrm{O}^+, \mathrm{NO}^+, \mathrm{O}_2^+), m_{\text{ion}} \gtrsim 30\,000\,m_e. Du fait de leur inertie considérablement plus grande, les ions oscillent avec une amplitude négligeable devant celle des électrons. On a donc :

2. Relation de dispersion

Dans l'ionosphère, les équations de Maxwell s'écrivent :

En appliquant le rotationnel à l'équation de Maxwell-Faraday et en utilisant la relation vectorielle rappelée en fin d'énoncé :

Pour une onde plane transversale transverse, ou par neutralité volumique moyenne en régime linéaire (\operatorname{div}\vec{E} = 0), il reste :

En notation complexe, pour \underline{\vec{E}} = \vec{E}_0 \exp[\mathrm{i}(\omega t + k z)] :

D'après la question Q31, \underline{\vec{j}}_e = -\mathrm{i}\dfrac{n_e e^2}{m_e \omega} \underline{\vec{E}}, de sorte que :

L'équation de propagation devient :

En multipliant par c^2, on obtient la relation de dispersion sous la forme demandée :

avec la pulsation de plasma :

D'après la relation de dispersion obtenue à la question Q32, pour \omega > \omega_p :

La vitesse de phase de l'onde s'écrit par définition v_{\varphi} = \frac{\omega}{k}, d'où :

Puisque les fréquences GPS (f \sim 1\text{ GHz}) sont très supérieures à la fréquence de plasma (f_p \simeq 8{,}9\text{ MHz}), on a \left(\frac{f_p}{f}\right)^2 \ll 1. On effectue un développement limité à l'ordre 1 :

L'erreur relative commise en approximant v_{\varphi} par la célérité c dans le vide est donc :

Application numérique : Avec f_p = 8{,}9\text{ MHz} et f_p^2 \simeq 79{,}2\text{ MHz}^2 :

• Pour f_1 = 1{,}2\text{ GHz} = 1200\text{ MHz} :

  \varepsilon_{r,1} = \frac{79{,}2}{2 \times (1200)^2} = \frac{79{,}2}{2{,}88 \times 10^6} \simeq 2{,}75 \times 10^{-5}

  Soit :

  \boxed{ \varepsilon_{r,1} \simeq 2{,}8 \times 10^{-5} \quad (\text{soit } 2{,}8 \times 10^{-3}\,\%) }

• Pour f_2 = 1{,}6\text{ GHz} = 1600\text{ MHz} :

  \varepsilon_{r,2} = \frac{79{,}2}{2 \times (1600)^2} = \frac{79{,}2}{5{,}12 \times 10^6} \simeq 1{,}55 \times 10^{-5}

  Soit :

  \boxed{ \varepsilon_{r,2} \simeq 1{,}5 \times 10^{-5} \quad (\text{soit } 1{,}5 \times 10^{-3}\,\%) }

Le signal émis par le satellite transporte de l'information (modulation codant l'instant d'émission). Il se propage donc à la vitesse de groupe v_g = \frac{\mathrm{d}\omega}{\mathrm{d}k}.

En différentiant la relation de dispersion établie à la question Q32, k^2 c^2 = \omega^2 - \omega_p^2, il vient :

Comme f \gg f_p, un développement limité au premier ordre non nul donne :

L'ionosphère s'étend entre z_1 = 100\text{ km} et z_2 = 800\text{ km}, soit une épaisseur traversée à la verticale :

Le temps de traversée dans le plasma est t = \frac{L}{v_g}, tandis qu'il serait de t_0 = \frac{L}{c} dans le vide. Le retard temporel accumulé lors de la traversée de la couche s'écrit donc :

Le récepteur GPS détermine la pseudo-distance au satellite en multipliant la durée de propagation mesurée par la célérité dans le vide c. Le décalage temporel \Delta t induit une surestimation de la distance :

où \varepsilon_r = \frac{1}{2}\frac{f_p^2}{f^2} est l'écart relatif calculé à la question Q33.

Ordre de grandeur : Avec L = 7{,}0 \times 10^5\text{ m} et les valeurs de \varepsilon_r obtenues à la question Q33 :

• Pour f_1 = 1{,}2\text{ GHz} (\varepsilon_{r,1} \simeq 2{,}8 \times 10^{-5}) :

  \begin{aligned} \Delta d_1 &\simeq 7{,}0 \times 10^5 \times 2{,}8 \times 10^{-5} \simeq 20\text{ m} \\ \Delta t_1 &\simeq \frac{20}{3{,}0 \times 10^8} \simeq 67\text{ ns} \end{aligned}

• Pour f_2 = 1{,}6\text{ GHz} (\varepsilon_{r,2} \simeq 1{,}5 \times 10^{-5}) :

  \begin{aligned} \Delta d_2 &\simeq 7{,}0 \times 10^5 \times 1{,}5 \times 10^{-5} \simeq 11\text{ m} \\ \Delta t_2 &\simeq \frac{11}{3{,}0 \times 10^8} \simeq 35\text{ ns} \end{aligned}

L'imprécision sur la distance est de l'ordre d'une dizaine à une vingtaine de mètres (pour un décalage temporel de quelques dizaines de nanosecondes).

Le temps de propagation d'un signal entre le satellite et le récepteur à une fréquence f donnée s'écrit :

où d est la distance géométrique réelle, t_{\text{vide}} = d/c le temps de propagation qu'on cherche à déterminer, et le terme dispersif s'écrit (d'après le résultat de la question Q34) :

Comme la densité électronique n_e varie fortement dans le temps et dans l'espace (activité solaire, cycle jour/nuit), la constante A n'est pas connue précisément a priori.

En mesurant simultanément le temps de propagation aux deux fréquences GPS f_1 et f_2 :

On dispose d'un système linéaire de deux équations à deux inconnues (t_{\text{vide}} et A). En formant la combinaison linéaire (dite « combinaison libre d'ionosphère ») :

on élimine rigoureusement le terme correctif A, ce qui donne directement :

L'utilisation de deux fréquences permet donc d'éliminer en temps réel l'erreur systématique due à la traversée de l'ionosphère sans modélisation préalable de la densité électronique, réduisant l'incertitude sur la distance de quelques dizaines de mètres à une précision métrique ou centimétrique.