Corrigé détaillé Mines Physique 2 MPI 2023

La période de révolution de la Terre autour du Soleil, correspondant à une année sidérale (ou tropique), vaut :

En supposant le mouvement de révolution de la Terre autour du Soleil circulaire et uniforme, la fraction \varphi de l'orbite parcourue par la Terre pendant la durée d'un cycle lunaire \tau_{\mathrm{c}\ell} = 30\text{ jours} est donnée par le rapport :

Application numérique avec deux chiffres significatifs :

soit :

Pendant la durée d'un cycle synodique \tau_{\mathrm{c}\ell}, la Terre décrit sur son orbite autour du Soleil un angle :

Pour retrouver la même phase relative (alignement Soleil-Terre-Lune identique), la Lune doit avoir effectué un tour complet (2\pi) plus l'angle dont le système a tourné autour du Soleil :

Or, en notant \omega_{\ell} = \frac{2\pi}{\tau_{\ell}} la vitesse angulaire de révolution de la Lune autour du centre de la Terre, l'angle parcouru s'écrit également :

On en déduit :

L'expression de la période de révolution sidérale de la Lune est donc :

Application numérique : avec \tau_{\mathrm{c}\ell} = 30\text{ jours} et \tau_{\mathrm{t}} \approx 365\text{ jours} (soit \varphi \approx 0{,}082) :

Avec deux chiffres significatifs :

Soit \alpha = 7{,}2^\circ l'angle au centre sous-tendant un arc de longueur s = 800\text{ km}. En assimilant la Terre à une sphère de circonférence C_{\mathrm{t}} et de diamètre D_{\mathrm{t}}, la longueur de l'arc est proportionnelle à l'angle au centre :

Le rapport des angles vaut :

La circonférence terrestre vaut donc :

La circonférence étant reliée au diamètre par C_{\mathrm{t}} = \pi D_{\mathrm{t}}, on en déduit l'expression du diamètre terrestre :

Avec \pi \approx 3{,}14, l'application numérique donne :

En conservant deux chiffres significatifs conformément aux consignes :

1. Rapport entre le diamètre lunaire et le diamètre terrestre

Notons D_\ell le diamètre de la Lune, D_{\mathrm{t}} celui de la Terre et D_{\text{omb}} le diamètre de la zone d'ombre terrestre à la distance Terre-Lune.

La Lune met \Delta t_1 = 1\text{ h} pour parcourir son propre diamètre D_\ell. Sa vitesse de défilement orbital vaut donc :

Lors d'une éclipse totale, la Lune reste entièrement immergée dans l'ombre pendant une durée \Delta t_2 = 2\text{ h}. Entre le moment où elle est tout juste entrée dans l'ombre et celui où elle commence à en sortir, le centre de la Lune parcourt la distance :

On en déduit le diamètre de l'ombre à la distance de la Lune :

Pour relier D_{\text{omb}} au diamètre terrestre D_{\mathrm{t}}, deux approches sont envisageables :

• Modèle des rayons parallèles (approximation usuelle) : le Soleil étant très éloigné, l'ombre portée par la Terre est assimilée à un cylindre de diamètre D_{\text{omb}} \approx D_{\mathrm{t}}. On obtient :

  D_{\mathrm{t}} = 3\,D_\ell \implies \boxed{\frac{D_\ell}{D_{\mathrm{t}}} = \frac{1}{3} \approx 0{,}33}

• Modèle du cône d'ombre (méthode complète d'Aristarque) : le Soleil et la Lune ayant le même diamètre apparent \alpha vu depuis la Terre (comme le montrent les éclipses totales de Soleil), le cône d'ombre converge avec le demi-angle \alpha/2. À la distance Terre-Lune d_{\mathrm{TL}}, le diamètre de l'ombre s'est rétréci de \Delta D = \alpha\,d_{\mathrm{TL}} = D_\ell, soit :

  D_{\text{omb}} = D_{\mathrm{t}} - D_\ell \implies 3\,D_\ell = D_{\mathrm{t}} - D_\ell \implies \boxed{\frac{D_\ell}{D_{\mathrm{t}}} = \frac{1}{4} = 0{,}25}

2. Valeur du diamètre lunaire évaluée par Aristarque

D'après la question Q3, le diamètre terrestre déterminé par Ératosthène est D_{\mathrm{t}} \approx 1{,}3 \cdot 10^4\text{ km} (12{,}7 \cdot 10^3\text{ km}).

• Avec le modèle des rayons parallèles :

  D_\ell = \frac{D_{\mathrm{t}}}{3} \approx \frac{1{,}3 \cdot 10^4}{3} \approx \mathbf{4{,}3 \cdot 10^3\text{ km}} \quad (\text{ou } 4{,}2 \cdot 10^3\text{ km})

• Avec le modèle du cône d'ombre :

  D_\ell = \frac{D_{\mathrm{t}}}{4} \approx \frac{1{,}3 \cdot 10^4}{4} \approx \mathbf{3{,}3 \cdot 10^3\text{ km}} \quad (\text{ou } 3{,}2 \cdot 10^3\text{ km})

3. Écart relatif et commentaire

L'écart relatif par rapport au diamètre réel D_{\ell,\text{réel}} = 3\,500\text{ km} vaut :

• Pour le modèle des rayons parallèles (D_\ell \approx 4{,}3 \cdot 10^3\text{ km}) :

  \frac{\Delta D_\ell}{D_{\ell,\text{réel}}} = \frac{4{,}3 \cdot 10^3 - 3\,500}{3\,500} \approx \mathbf{+23\%}

• Pour le modèle du cône d'ombre (D_\ell \approx 3{,}25 \cdot 10^3\text{ km}) :

  \frac{\Delta D_\ell}{D_{\ell,\text{réel}}} = \frac{3{,}25 \cdot 10^3 - 3\,500}{3\,500} \approx \mathbf{-7{,}1\%}

Commentaire : Les mesures purement géométriques d'Aristarque fournissent un ordre de grandeur remarquable dès le \mathrm{III}^{\text{ème}} siècle avant J.-C., avec une erreur relative comprise entre 7\% et 23\%. L'hypothèse des rayons parallèles surestime le diamètre lunaire car elle néglige la conicité de l'ombre terrestre, tandis que la prise en compte du cône d'ombre conduit à une précision spectaculaire.

Vu depuis la Terre, le diamètre de la Lune D_\ell est vu sous un diamètre apparent \theta = 2^\circ. Le rayon de la Lune étant très petit devant la distance Terre-Lune d_{\mathrm{T}\text{-}\mathrm{L}}, l'approximation des petits angles permet d'écrire :

où \theta est exprimé en radians. On en déduit l'expression de la distance Terre-Lune :

L'angle d'observation est \theta = 2^\circ = \dfrac{\pi}{90}\text{ rad} \approx 3{,}49 \cdot 10^{-2}\text{ rad}. Avec D_\ell = 3\,500\text{ km}, on obtient :

En assimilant la Lune à une sphère de diamètre D_\ell = 3\,500\text{ km} (soit R_\ell = 1{,}75 \cdot 10^6\text{ m}) et de masse volumique uniforme \rho \approx 3\text{ t}\cdot\text{m}^{-3} = 3{,}0 \cdot 10^3\text{ kg}\cdot\text{m}^{-3}, son volume vaut :

La masse de la Lune s'estime par :

En considérant la Lune à répartition sphérique de masse et en négligeant les effets de rotation, l'intensité du champ de pesanteur à sa surface s'écrit :

Sachant que le champ de pesanteur à la surface de la Terre vaut g_{\mathrm{t}} \approx 9{,}8\text{ m}\cdot\text{s}^{-2}, on obtient le rapport :

Le champ de pesanteur à la surface de la Lune est environ six fois plus faible que celui à la surface de la Terre.

Le champ électrique s'écrit :

Ce champ présente les caractéristiques suivantes :

• Onde plane : la phase ne dépend spatialement que de la coordonnée x, les surfaces d'onde sont des plans d'équation x = \text{cte} orthogonaux à la direction de propagation ;
• Progressive : l'argument est de la forme (\omega t - k x), l'onde se propage donc dans le sens des x croissants ;
• Harmonique (ou monochromatique) : la dépendance temporelle est sinusoïdale de pulsation unique \omega ;
• Transverse : le champ électrique est perpendiculaire à la direction de propagation \vec{e}_x ;
• Polarisée rectilignement : le vecteur champ électrique conserve une direction constante au cours du temps, parallèlement à l'axe (\mathrm{O}y).

Il s'agit donc d'une onde plane progressive harmonique (ou monochromatique), polarisée rectilignement selon \vec{e}_y.

Les grandeurs associées sont :

• E_0 : amplitude du champ électrique, exprimée en volt par mètre (\mathrm{V\cdot m^{-1}}) ;
• \omega : pulsation temporelle, exprimée en radian par seconde (\mathrm{rad\cdot s^{-1}}) ;
• k : nombre d'onde (ou norme du vecteur d'onde), exprimé en radian par mètre (\mathrm{rad\cdot m^{-1}}).

Le miroir situé en x = L est modélisé par un conducteur parfait (métal idéal). Le champ électrique est donc strictement nul à l'intérieur du métal :

La normale dirigée de la cavité (milieu 1) vers le métal (milieu 2) est \vec{n}_{12} = \vec{e}_x. La relation de passage s'écrit alors en x = L :

En projetant cette relation sur le plan de l'interface (engendré par \vec{e}_y et \vec{e}_z, orthogonal à \vec{e}_x), on constate que la composante tangentielle du champ électrique est continue et donc nulle à la surface du miroir :

Le champ électrique incident \vec{E}_i = E_0 \cos(\omega t - kx)\vec{e}_y est purement tangentiel. Lors de la réflexion sous incidence normale, l'onde réfléchie se propage vers les x décroissants à la même pulsation \omega et avec la même polarisation \vec{e}_y. Elle s'écrit sous la forme générale :

Le champ total dans la cavité au voisinage immédiat du miroir s'écrit \vec{E}(L^-, t) = \vec{E}_i(L, t) + \vec{E}_r(L, t). La condition aux limites impose :

Soit, pour tout instant t :

Par identification, on choisit E_{0r} = E_0 et \phi = -2kL + \pi, ce qui donne :

Dans la cavité assimilée au vide, la vitesse de propagation de l'onde est c = \dfrac{\omega}{k}.

Champ magnétique incident \vec{B}_i L'onde incidente se propage dans le sens des x croissants, soit suivant le vecteur unitaire \vec{u}_i = \vec{e}_x. D'après la relation de structure :

Puisque le repère (\vec{e}_x, \vec{e}_y, \vec{e}_z) est orthonormé direct, on a \vec{e}_x \wedge \vec{e}_y = \vec{e}_z. D'où :

Champ magnétique réfléchi \vec{B}_r L'onde réfléchie se propage dans le sens des x décroissants, soit suivant le vecteur unitaire \vec{u}_r = -\vec{e}_x. D'après la question Q8, le champ électrique réfléchi est :

En appliquant la relation de structure à l'onde réfléchie :

On obtient ainsi :

D'après les questions Q7 et Q8, le champ électrique total dans la cavité s'obtient par superposition du champ incident et du champ réfléchi :

En utilisant l'identité trigonométrique \cos p - \cos q = 2 \sin\left(\frac{p+q}{2}\right) \sin\left(\frac{q-p}{2}\right), avec :

on obtient :

(ou de manière équivalente \vec{E}(x,t) = -2E_0 \sin(k(L-x)) \sin(\omega t - kL) \, \vec{e}_y).

De même, pour le champ magnétique, d'après la question Q9 :

À l'aide de l'identité \cos p + \cos q = 2 \cos\left(\frac{p+q}{2}\right) \cos\left(\frac{p-q}{2}\right), sachant que le cosinus est une fonction paire :

Commentaires sur le résultat obtenu :

• Structure d'onde stationnaire : Les dépendances spatiale et temporelle sont totalement découplées sous la forme f(x)g(t) : il ne s'agit plus d'une onde progressive se propageant dans l'espace, mais d'une onde stationnaire.
• Amplitude et structure spatiale : L'amplitude varie sinusoïdalement dans l'espace. Le miroir parfait situé en x = L impose un nœud de champ électrique (\vec{E}(L,t) = \vec{0}) et par suite un ventre de champ magnétique d'amplitude 2E_0/c. Plus généralement, les nœuds de champ électrique correspondent aux ventres de champ magnétique, et inversement : il y a quadrature spatiale.
• Phase et quadrature temporelle : Le champ électrique dépend du temps par un sinus tandis que le champ magnétique en dépend par un cosinus. Les deux champs sont donc en quadrature de phase temporelle (\Delta \phi_t = \pi/2).
• Polarisation : La polarisation demeure inchangée par rapport aux ondes initiales : \vec{E} reste rectilignement polarisé selon \vec{e}_y et \vec{B} selon \vec{e}_z.

D'après la question Q10, les champs résultants dans la cavité s'écrivent :

Par définition, le vecteur de Poynting dans le vide/l'air s'exprime par :

Sachant que \vec{e}_y \wedge \vec{e}_z = \vec{e}_x et en utilisant la relation trigonométrique 2\sin u \cos u = \sin(2u), il vient :

La valeur moyenne temporelle sur une période \tau = \frac{2\pi}{\omega} s'obtient en intégrant la fonction sinusoïdale de pulsation 2\omega :

On en déduit que le flux moyen d'énergie est rigoureusement nul :

Rôle d'un miroir non parfaitement réfléchissant : Si les deux miroirs étaient des réflecteurs parfaits (R = 1), l'énergie électromagnétique resterait intégralement piégée à l'intérieur de la cavité. Un miroir de sortie partiellement transparent (R < 1) permet d'extraire une partie de la puissance lumineuse de la cavité pour former le faisceau laser utilisé vers la Lune.

Rôle de l'amplificateur optique : À chaque aller-retour dans la cavité, l'onde subit des pertes (extraction par le miroir de sortie, absorption résiduelle, diffusion). L'amplificateur optique (milieu à inversion de population) apporte du gain par émission stimulée. Il permet de compenser exactement les pertes au régime stationnaire afin d'entretenir l'oscillation laser.

Le miroir situé en x = 0 est également constitué d'un métal parfait. La composante tangentielle du champ électrique doit donc s'y annuler à tout instant :

D'après l'expression du champ électrique total obtenue à la question Q10, \vec{E}(x,t) = 2E_0 \sin(k(x-L)) \sin(\omega t - kL)\,\vec{e}_y, cette condition en x = 0 s'écrit :

Pour que cette relation soit vérifiée en dehors de la solution triviale E_0 = 0, il est nécessaire que :

Le nombre d'onde k ne peut donc pas prendre n'importe quelle valeur : il est quantifié.

En reliant le nombre d'onde à la fréquence f (ou \nu) par la relation de dispersion dans le vide k = \frac{\omega}{c} = \frac{2\pi f}{c}, où c = \frac{1}{\sqrt{\epsilon_0 \mu_0}} est la célérité de la lumière, on en déduit les fréquences propres autorisées dans la cavité :

La cavité optique constitue une cavité résonante : seules les fréquences multiples entiers de l'intervalle spectral libre \Delta f = \frac{c}{2L} (modes longitudinaux) peuvent donner lieu à des interférences constructives stationnaires et être amplifiées par effet laser.

La relation entre la longueur d'onde dans le vide \lambda, la célérité de la lumière c et la fréquence de l'onde f s'écrit :

L'adjonction d'un cristal non linéaire doubleur de fréquence génère une onde à la fréquence harmonique f' = 2f. La nouvelle longueur d'onde \lambda' de l'impulsion laser vaut donc :

Application numérique :

Le domaine du visible s'étendant d'environ 400\text{ nm} (violet) à 750\text{ nm} (rouge), cette longueur d'onde appartient au :

L'impulsion laser se propage dans le vide à la célérité c = \dfrac{1}{\sqrt{\epsilon_0 \mu_0}} \approx 3{,}0 \cdot 10^8\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}. Le signal effectuant un trajet aller-retour sur la distance Terre-Lune d_{\mathrm{T}\text{-}\mathrm{L}}, la durée de propagation vérifie :

On en déduit l'expression de la distance Terre-Lune :

Application numérique :

Avec deux chiffres significatifs :

Comparaison et commentaire :

• La mesure d'Aristarque obtenue à la question Q5 donnait d_{\text{Aristarque}} \approx 1{,}0 \cdot 10^5\text{ km}, soit une valeur environ 4 fois plus faible :

  \frac{d_{\mathrm{T}\text{-}\mathrm{L}}}{d_{\text{Aristarque}}} \approx 3{,}8 \approx 4
• Cet écart s'explique directement par l'observation d'Aristarque qui surestimait le diamètre angulaire apparent de la Lune (\theta \approx 2^\circ, alors que la valeur réelle est voisine de 0{,}5^\circ, soit un facteur 4 plus faible). Comme d_{\mathrm{T}\text{-}\mathrm{L}} = D_\ell / \theta, une surestimation d'un facteur 4 de l'angle conduit à une sous-estimation d'un facteur 4 de la distance.
• La télémétrie laser moderne est d'une précision remarquable : en mesurant la durée d'aller-retour avec une résolution de l'ordre de la picoseconde sur un grand nombre d'impulsions, elle permet de déterminer la distance Terre-Lune au millimètre près, mettant notamment en évidence l'éloignement séculaire de la Lune d'environ 3{,}8\text{ cm par an} sous l'effet des marées.

Lors de la formation de la Terre primitive, alors à l'état liquide (ou magmatique), les matériaux ont subi un processus de différenciation gravitationnelle :

• les éléments chimiques les plus denses (principalement le fer et le nickel) ont migré vers le centre pour constituer le noyau terrestre ;
• les matériaux moins denses (roches silicatées) sont restés en périphérie pour former le manteau et la croûte primitive.

Selon le modèle de la fission de Georges Darwin, les forces centrifuges liées à une rotation rapide ont conduit à l'expulsion d'un bourrelet de matière situé à l'équateur, c'est-à-dire issu exclusivement des couches superficielles de la Terre.

Le matériau éjecté ayant formé la Lune est donc quasi exclusivement composé de roches silicatées superficielles, dépourvu du fer dense concentré au cœur de la Terre. La densité moyenne de la Lune (environ 3{,}3) est ainsi nettement inférieure à la densité moyenne de la Terre entière (environ 5{,}5), mais remarquablement proche de celle du manteau terrestre : cette concordance constitue un argument fort en faveur d'un arrachement des couches externes terrestres.

Soit un point matériel M de masse m, en mouvement dans un référentiel non galiléen \mathcal{R} en rotation à la vitesse angulaire instantanée \vec{\Omega} = \vec{\Omega}_{\mathcal{R}/\mathcal{R}_0} par rapport à un référentiel galiléen \mathcal{R}_0, l'origine de \mathcal{R} étant notée O'.

On distingue deux forces d'inertie :

1. La force d'inertie d'entraînement :

   \boxed{\vec{F}_{\mathrm{ie}} = - m \vec{a}_{\mathrm{e}}(M)}

   où l'accélération d'entraînement générale s'écrit :

   \vec{a}_{\mathrm{e}}(M) = \vec{a}(O')_{\mathcal{R}_0} + \left(\frac{\mathrm{d}\vec{\Omega}}{\mathrm{d}t}\right)_{\mathcal{R}_0} \wedge \vec{O'M} + \vec{\Omega} \wedge \left(\vec{\Omega} \wedge \vec{O'M}\right)

   Dans le cas d'une rotation uniforme (\vec{\Omega} = \text{cte}) autour d'un axe fixe (\Delta), en notant H le projeté orthogonal de M sur cet axe, cette force se réduit à la force centrifuge axifuge :

   \vec{F}_{\mathrm{ie}} = - m\,\vec{\Omega}\wedge(\vec{\Omega}\wedge\vec{HM}) = m\,\Omega^2\,\vec{HM}

2. La force d'inertie de Coriolis (ou complémentaire) :

   \boxed{\vec{F}_{\mathrm{ic}} = - m \vec{a}_{\mathrm{c}}(M) = - 2 m \, \vec{\Omega} \wedge \vec{v}_{\mathrm{r}}(M)}

Signification des grandeurs introduites :

• m : masse du point matériel étudié (en \mathrm{kg}) ;
• \vec{\Omega} : vecteur rotation instantanée du référentiel \mathcal{R} par rapport au référentiel galiléen \mathcal{R}_0 (en \mathrm{rad\cdot s^{-1}}) ;
• \vec{a}(O')_{\mathcal{R}_0} : accélération de l'origine O' du référentiel d'entraînement par rapport à \mathcal{R}_0 (en \mathrm{m\cdot s^{-2}}) ;
• \vec{O'M} : vecteur position de M dans \mathcal{R} (en \mathrm{m}) ;
• \vec{HM} : vecteur joignant l'axe de rotation au point M, orthogonal à l'axe (\Delta) (en \mathrm{m}) ;
• \vec{v}_{\mathrm{r}}(M) = \left(\frac{\mathrm{d}\vec{O'M}}{\mathrm{d}t}\right)_{\mathcal{R}} : vecteur vitesse relative de M mesurée dans le référentiel non galiléen \mathcal{R} (en \mathrm{m\cdot s^{-1}}).

1. Système et référentiel d'étude

• Système : morceau de roche assimilé à un point matériel M de masse m.
• Référentiel : référentiel terrestre \mathcal{R}_{\mathrm{T}}, en rotation uniforme à la vitesse angulaire \vec{\Omega} = \Omega \vec{u}_z autour de l'axe Sud-Nord par rapport au référentiel géocentrique supposé galiléen.

2. Bilan des forces

Dans le référentiel d'étude non galiléen \mathcal{R}_{\mathrm{T}}, la masse m est soumise à :

• La force gravitationnelle exercée par la Terre (supposée à répartition sphérique de masse) :

  \vec{F}_{\mathrm{g}} = -\frac{\mathcal{G} M_{\mathrm{T}} m}{R_{\mathrm{T}}^2}\,\vec{e}_r

  dirigée vers le centre O de la Terre.

• La réaction du sol (action de contact de la surface terrestre) :

  \vec{R}

  normale au sol si l'on néglige les frottements solides à l'équilibre.

• La force d'inertie de Coriolis : la roche étant posée sur le sol, sa vitesse relative est nulle dans le référentiel terrestre (\vec{v}_{\mathrm{r}} = \vec{0}) :

  \vec{F}_{\mathrm{ic}} = -2m\,\vec{\Omega} \wedge \vec{v}_{\mathrm{r}} = \vec{0}

• La force d'inertie d'entraînement (force centrifuge d'inertie) :

  \vec{F}_{\mathrm{ie}} = m \Omega^2 \vec{HM} = m \Omega^2 R_{\mathrm{T}} \cos\lambda\,\vec{u}_\rho

  où H est le projeté orthogonal de M sur l'axe de rotation des pôles et \vec{u}_\rho le vecteur unitaire perpendiculaire à cet axe, dirigé vers l'extérieur.

La résultante des forces volumiques constitue le poids effectif local :

À l'équilibre sur la surface, on a \vec{P} + \vec{R} = \vec{0}.

3. Schéma de la situation

1. Justification de la forme de la Terre

À l'état fluide ou déformable, la surface libre de la Terre s'ajuste pour coïncider avec une surface équipotentielle du champ de pesanteur effectif \vec{g}_{\text{eff}} = \vec{g} + \vec{a}_{\text{ie}} (ou orthogonale en tout point à \vec{g}_{\text{eff}}).

D'après le bilan de la question précédente :

• aux pôles (\lambda = \pm \pi/2), la distance à l'axe de rotation est nulle (r_\perp = 0), donc la force d'inertie d'entraînement centrifuge est nulle ;
• à l'équateur (\lambda = 0), la distance à l'axe est maximale (r_\perp = R_{\text{eq}}) et la force d'inertie d'entraînement est purement centrifuge centrifuge, orientée vers l'extérieur : elle s'oppose directement à l'attraction gravitationnelle.

Cette force centrifuge repousse la matière vers l'extérieur à l'équateur, ce qui conduit à un renflement équatorial et à un aplatissement aux pôles : la Terre adopte ainsi la forme d'un ellipsoïde de révolution aplati (sphéroïde oblate).

2. Estimation de la variation \rho = R_{\mathrm{eq}} - R_{\mathrm{p}}

Dans le référentiel terrestre en rotation uniforme à la pulsation \Omega, la force de gravitation dérive de l'énergie potentielle E_{\mathrm{p,g}}(r) = -\frac{\mathcal{G} M_{\mathrm{T}} m}{r} et la force d'inertie d'entraînement dérive de l'énergie potentielle centrifuge :

L'énergie potentielle effective totale d'une particule fluide de masse m en surface s'écrit :

La surface d'un fluide à l'équilibre étant une équipotentielle :

soit :

En posant \rho = R_{\mathrm{eq}} - R_{\mathrm{p}} \ll R_{\mathrm{T}}, on a au premier ordre :

En identifiant g = \frac{\mathcal{G} M_{\mathrm{T}}}{R_{\mathrm{T}}^2}, il vient :

Application numérique : Avec R_{\mathrm{T}} \approx \frac{D_{\mathrm{t}}}{2} \approx 6{,}5 \cdot 10^3\text{ km} = 6{,}5 \cdot 10^6\text{ m} (d'après Q3), g \approx 9{,}8\text{ m}\cdot\text{s}^{-2} et \Omega = \frac{2\pi}{T_{\text{rot}}} \approx \frac{2\pi}{86400} \approx 7{,}3 \cdot 10^{-5}\text{ rad}\cdot\text{s}^{-1} :

À l'équateur (\lambda = 0), le vecteur unitaire orthogonal à l'axe de rotation coïncide avec le vecteur unitaire radial : \vec{u}_\rho = \vec{e}_r.

Le bilan des forces s'exerçant sur la masse m au repos dans le référentiel terrestre s'écrit, d'après les résultats de la question Q17 :

où g = \frac{\mathcal{G} M_{\mathrm{T}}}{R_{\mathrm{T}}^2} est l'accélération de la pesanteur à l'équateur et R_N la composante normale de la réaction du sol.

La masse m quitte la surface du sol (expulsion) dès lors que le contact est rompu, soit R_N \le 0. À la limite de décollement (R_N = 0), la force d'inertie centrifuge compense exactement l'attraction gravitationnelle :

La période de rotation critique nécessaire pour provoquer cette expulsion vaut donc :

Application numérique : Avec R_{\mathrm{T}} \approx \frac{D_{\mathrm{t}}}{2} \approx 6{,}4 \cdot 10^6\text{ m} (en cohérence avec la question Q3) et g \approx 9{,}8\text{ m}\cdot\text{s}^{-2} :

Comparaison et commentaire : La période actuelle de rotation de la Terre est de T_0 \approx 24\text{ h} \approx 8{,}6 \cdot 10^4\text{ s}. La période critique T_{\mathrm{c}} est environ 17 fois plus courte que la période actuelle (T_0 / T_{\mathrm{c}} \approx 17).

Pour que la Terre expulse spontanément de la matière sous l'effet de la force centrifuge, il aurait fallu qu'elle tourne sur elle-même en moins d'une heure et demie. Cela nécessiterait un moment cinétique propre colossal, bien supérieur au moment cinétique total actuel du système Terre-Lune (qui se conserve en l'absence de couples extérieurs). Cette valeur déraisonnable montre que la seule force d'entraînement centrifuge due à la rotation propre est insuffisante pour expliquer la formation de la Lune : la théorie de la fission de Darwin est physiquement intenable.

1. Puissance solaire absorbée par la Lune :

Le Soleil est assimilé à un corps noir sphérique de rayon R_{\mathrm{s}} à la température de surface T_{\mathrm{s}}. D'après la loi de Stefan-Boltzmann, la puissance surfacique qu'il rayonne est \mathcal{P}_{\mathrm{s}} = \sigma T_{\mathrm{s}}^4. La puissance totale rayonnée par le Soleil s'écrit donc :

Cette puissance se propage de manière isotrope dans l'espace. À la distance D_{\mathrm{s}-\ell} du Soleil, la puissance surfacique (ou flux solaire incident) traversant une sphère centrée sur le Soleil vaut :

La Lune intercepte ce rayonnement solaire par sa surface apparente, correspondant au disque de projection de section droite d'aire S_{\mathrm{app}} = \pi R_\ell^2. La puissance solaire reçue par la Lune est ainsi :

Par définition de l'albédo \mathcal{A}, la fraction d'énergie solaire réfléchie est \mathcal{A}, de sorte que la fraction absorbée vaut 1 - \mathcal{A}. La puissance solaire absorbée par la Lune est donc :

2. Puissance perdue par rayonnement :

En assimilant la Lune à un corps noir à la température T_\ell, elle émet sur toute sa surface sphérique d'aire totale S_\ell = 4\pi R_\ell^2 une puissance surfacique \mathcal{P}_\ell = \sigma T_\ell^4. La puissance totale émise par la Lune par rayonnement s'écrit :

3. Puissance totale perdue par la Lune :

Le bilan thermique radiatif global de la Lune traduit que la puissance totale nette perdue est l'écart entre la puissance qu'elle émet par rayonnement et la puissance solaire qu'elle absorbe :

Soit, en remplaçant par les expressions obtenues :

La loi de Fourier modélise le transfert thermique par conduction dans un milieu matériel isotrope. Elle relie localement le vecteur densité de flux thermique au gradient du champ de température sous la forme :

Les grandeurs introduites sont :

• \vec{\jmath}_{\mathrm{th}} : le vecteur densité de courant thermique (ou densité de flux thermique), exprimé en watt par mètre carré (\mathrm{W \cdot m^{-2}}) ;
• \lambda : la conductivité thermique du milieu considéré, exprimée en watt par mètre par kelvin (\mathrm{W \cdot m^{-1} \cdot K^{-1}}) ;
• T : la température, exprimée en kelvin (\mathrm{K}) ;
• \overrightarrow{\operatorname{grad}} T : le gradient spatial de température, exprimé en kelvin par mètre (\mathrm{K \cdot m^{-1}}).

Considérons un volume fixe quelconque V entièrement inclus dans le milieu i (i \in \{1, 2, 3, 4\}), délimité par une surface fermée S orientée vers l'extérieur par le vecteur normal unitaire \vec{n}_{\mathrm{ext}}. Le milieu est assimilé à une phase condensée indéformable de masse volumique \rho_i et de capacité thermique massique c_i.

Le premier principe de la thermodynamique appliqué au système contenu dans V pendant une durée \mathrm{d}t, en l'absence de travail utile et de sources de chaleur internes volumiques, s'écrit :

La variation d'énergie interne s'exprime par :

Le transfert thermique traversant la frontière S s'écrit, d'après la définition du vecteur densité de flux thermique \vec{\jmath}_{\mathrm{th}, i} :

Par le théorème de Green-Ostrogradski, le bilan thermique devient :

Ce résultat étant valable pour tout volume V, on obtient la forme locale de conservation de l'énergie :

En utilisant la loi de Fourier rappelée à la question Q21 (\vec{\jmath}_{\mathrm{th}, i} = -\lambda_i\,\overrightarrow{\operatorname{grad}}\,T_i) et compte tenu du fait que la conductivité thermique \lambda_i est uniforme et constante dans chaque milieu :

On aboutit ainsi à l'équation de la chaleur pour le milieu i :

où le coefficient de diffusion thermique (ou diffusivité thermique) s'exprime par :

Unité de la diffusivité thermique :

• [\lambda_i] = \mathrm{W\cdot m^{-1}\cdot K^{-1}} = \mathrm{J\cdot s^{-1}\cdot m^{-1}\cdot K^{-1}}
• [\rho_i c_i] = \mathrm{J\cdot m^{-3}\cdot K^{-1}}

On en déduit immédiatement que l'unité de D_i dans le Système International est le \mathrm{m^2\cdot s^{-1}}.

Compte tenu de la symétrie sphérique du problème où T_i = T_i(r, t), le Laplacien donné dans les rappels de l'énoncé se réduit à sa partie radiale, ce qui donne explicitement :

D'après la figure 3, la Lune est découpée en quatre milieux emboîtés :

• Milieu 4 : la graine solide (0 \leqslant r \leqslant R_4) ;
• Milieu 3 : le noyau liquide (R_4 \leqslant r \leqslant R_3) ;
• Milieu 2 : le manteau rocheux (R_3 \leqslant r \leqslant R_2) ;
• Milieu 1 : la croûte (R_2 \leqslant r \leqslant R_\ell).

Les quatre interfaces sont donc situées aux rayons r = R_4, r = R_3, r = R_2 et r = R_\ell.

Le flux thermique sortant à travers une sphère de rayon r s'exprime, compte tenu de la symétrie sphérique et de la loi de Fourier, par :

1. Interfaces internes (r = R_4, r = R_3, r = R_2) :
Considérons une coquille sphérique entourant l'interface entre les milieux i+1 et i, d'épaisseur 2\varepsilon comprise entre R - \varepsilon et R + \varepsilon. Lorsque \varepsilon \to 0, le volume et la capacité thermique de la coquille tendent vers zéro. En l'absence de source d'énergie surfacique localisée à l'interface, le bilan d'énergie impose la continuité du flux thermique \Phi, soit la continuité de la composante radiale de la densité de courant thermique :

On en déduit les trois premières équations de conservation :

• À l'interface graine / noyau liquide (r = R_4) :

  \Phi_4(R_4) = \Phi_3(R_4) \iff -\lambda_4 \left.\frac{\partial T_4}{\partial r}\right|_{r=R_4} = -\lambda_3 \left.\frac{\partial T_3}{\partial r}\right|_{r=R_4}

• À l'interface noyau liquide / manteau (r = R_3) :

  \Phi_3(R_3) = \Phi_2(R_3) \iff -\lambda_3 \left.\frac{\partial T_3}{\partial r}\right|_{r=R_3} = -\lambda_2 \left.\frac{\partial T_2}{\partial r}\right|_{r=R_3}

• À l'interface manteau / croûte (r = R_2) :

  \Phi_2(R_2) = \Phi_1(R_2) \iff -\lambda_2 \left.\frac{\partial T_2}{\partial r}\right|_{r=R_2} = -\lambda_1 \left.\frac{\partial T_1}{\partial r}\right|_{r=R_2}

2. Interface externe avec l'espace (r = R_\ell) :
À la surface de la Lune, le flux thermique par conduction issu de la croûte est intégralement évacué vers l'espace sous forme de rayonnement net (puissance totale perdue P_{\mathrm{tot}} déterminée à la question Q20) :

soit encore en termes de densité surfacique de flux :

Le profil de température de la figure 4 montre que la température croît avec la profondeur, atteignant sa valeur maximale au centre de la Lune (r = 0, dans la graine, où T \approx 1\,900\text{--}2\,000\text{ K}), alors qu'elle est plus faible dans le noyau liquide situé au-dessus (T \approx 1\,200\text{--}1\,600\text{ K}).

Ce constat n'est pas incompatible avec la présence d'une graine solide pour les raisons suivantes :

• Effet de la pression : L'état physique du fer dépend à la fois de la température locale T et de la pression locale P. En s'enfonçant vers le centre de l'astre, la pression hydrostatique croît continûment en raison du poids des couches sus-jacentes.

• Évolution de la température de fusion : D'après la relation de Clapeyron :

  \frac{\mathrm{d}T_{\mathrm{fus}}}{\mathrm{d}P} = \frac{T\,\Delta v_{\mathrm{fus}}}{\Delta h_{\mathrm{fus}}}

  Puisque le fer solide est plus dense que le fer liquide à ces pressions (\Delta v_{\mathrm{fus}} = v_{\mathrm{liq}} - v_{\mathrm{sol}} > 0) et que la fusion est endothermique (\Delta h_{\mathrm{fus}} > 0), la température de fusion T_{\mathrm{fus}}(P) est une fonction strictement croissante de la pression.

• Comparaison des profils : Avec la profondeur, la pression augmente suffisamment vite pour que la température de fusion locale T_{\mathrm{fus}}(P) croisse plus rapidement que la température réelle T :

  • dans le noyau liquide : T(r) > T_{\mathrm{fus}}(P(r)), le fer est à l'état liquide ;
  • dans la graine : T(r) < T_{\mathrm{fus}}(P(r)), le fer se solidifie.

La profondeur z et le rayon r sont reliés par r = R_\ell - z. On identifie ainsi trois points remarquables :

• Au centre de la Lune (z = 1\,750\text{ km}) : r = 0 ;
• À la frontière noyau-manteau (z = 1\,400\text{ km}) : r = R_{\mathrm{n}} = 1\,750 - 1\,400 = 350\text{ km} = 3{,}5 \cdot 10^5\text{ m} ;
• À la surface de la Lune (z = 0) : r = R_\ell = 1\,750\text{ km} = 1{,}75 \cdot 10^6\text{ m}.

1. Constantes relatives au noyau de fer :
Le modèle simplifié (segment en trait gris pointillé pour z \in [1\,400\text{ km}\,;\, 1\,750\text{ km}]) donne :

Comme T_{\mathrm{n}}(r) = a_{\mathrm{n}} - b_{\mathrm{n}} r, on en déduit directement :

Puis pour le gradient thermique b_{\mathrm{n}} :

En unités du Système International :

2. Constantes relatives à la couche rocheuse :
Le segment en trait gris pointillé représentant la roche (z \in [0\,;\, 1\,400\text{ km}]) relie la température à l'interface noyau-roche T_{\mathrm{r}}(R_{\mathrm{n}}) = 1\,200\text{ K} à la température de surface extrapolée T_{\mathrm{r}}(R_\ell) = 500\text{ K} (le modèle simplifié lissant la très forte chute thermique localisée dans la croûte) :

L'ordonnée fictive à l'origine a_{\mathrm{r}} s'obtient alors par :

Ce que l'on vérifie également à l'interface : a_{\mathrm{r}} = 1\,200 + 0{,}50 \times 350 = 1\,375\text{ K}.
Avec deux chiffres significatifs :

L'énergie interne d'un volume élémentaire \mathrm{d}V de matière assimilée à une phase condensée indilatable s'écrit, en prenant l'origine des énergies internes à T = 0\text{ K} :

où C_{\mathrm{v}} désigne la capacité thermique volumique du milieu considéré.

Compte tenu de la symétrie sphérique du problème, le volume d'une coquille sphérique d'épaisseur \mathrm{d}r est \mathrm{d}V = 4\pi r^2 \mathrm{d}r.

1. Contribution du noyau (0 \le r \le R_{\mathrm{n}}) Avec le profil thermique linéaire T_{\mathrm{n}}(r) = a_{\mathrm{n}} - b_{\mathrm{n}} r et la capacité thermique volumique C_{\mathrm{v,n}} :

2. Contribution de la couche de roche (R_{\mathrm{n}} \le r \le R_\ell) Avec le profil thermique linéaire T_{\mathrm{r}}(r) = a_{\mathrm{r}} - b_{\mathrm{r}} r et la capacité thermique volumique C_{\mathrm{v,r}} :

3. Énergie interne totale de la Lune L'énergie interne totale est la somme de ces deux composantes :

L'évaluation numérique menée avec les valeurs des constantes trouvées à la question précédente et les capacités volumiques moyennes correspondantes fournit la valeur annoncée par l'énoncé :

Lorsque la Lune est totalement refroidie et thermalisée, sa température est uniforme et égale à T_{\mathrm{f}} en tout point :

En adoptant la même référence d'énergie interne nulle à T = 0\text{ K} qu'à la question précédente, l'énergie interne finale U_{\mathrm{f}} s'obtient en intégrant la densité volumique d'énergie interne u_{\mathrm{f}} = C_{\mathrm{v}} T_{\mathrm{f}} sur le volume total de la Lune, composé de la sphère centrale du noyau (indice \mathrm{n}) de rayon R_{\mathrm{n}} et de la coquille sphérique rocheuse (indice \mathrm{r}) comprise entre R_{\mathrm{n}} et R_\ell :

où les volumes respectifs des deux zones valent :

On en déduit l'expression de l'énergie interne finale de la Lune :

L'application numérique fournie par l'énoncé donne bien :

L'énergie interne cédée par la Lune lors de son refroidissement complet jusqu'à la température uniforme T_{\mathrm{f}} = 250\text{ K} vaut :

D'après les applications numériques fournies aux questions Q26 et Q27 :

En modélisant la perte énergétique globale par la puissance totale rayonnée nette estimée à la question Q20, soit P_{\mathrm{tot}} \sim 10^{15}\text{ W}, le temps nécessaire au refroidissement s'estime par :

En réalisant l'application numérique :

Sachant qu'une année compte environ 1\text{ an} \approx 365{,}25 \times 86\,400\text{ s} \approx 3{,}15 \cdot 10^7\text{ s} :

Commentaires sur le résultat obtenu :

• Échelle de temps : Cette durée de l'ordre d'un million d'années est extrêmement brève à l'échelle des temps géologiques et cosmologiques, sachant que la Lune et la Terre sont âgées d'environ 4{,}5\text{ milliards d'années} (4{,}5 \cdot 10^9\text{ ans}). Si ce modèle était exact, la Lune serait totalement refroidie et inerte depuis très longtemps.

• Limites physiques du modèle :

  • La puissance d'évacuation P_{\mathrm{tot}} a été supposée constante et égale à sa valeur actuelle : or, à mesure que la surface se refroidit, le flux radiatif émis décroît fortement (selon T^4).
  • La résistance thermique conductive interne est le facteur limitant : les roches du manteau et de la croûte sont de très mauvais conducteurs thermiques. Le temps de diffusion thermique interne \tau_{\mathrm{diff}} \sim R_\ell^2 / D est de plusieurs milliards d'années, ce qui piège la chaleur dans les profondeurs de l'astre.
  • Les sources internes de chaleur (désintégration des radioéléments naturels tels que l'uranium, le thorium et le potassium) entretiennent un flux thermique permanent au cours du temps.