Feuille d'entraînement : Référentiels non galiléens

Corrigés

1. Exercice 1E3A Physique-Chimie MPI 2025, Q1

   • Référentiel géocentrique : il a pour origine le centre de masse O de la Terre et ses trois axes sont dirigés vers trois étoiles lointaines considérées comme fixes.
   • Référentiel terrestre : il est lié à la Terre ; ses axes sont fixes par rapport au globe terrestre (par exemple définis localement par la verticale et le plan horizontal en un lieu donné).

   • Mouvement relatif : le référentiel terrestre est en rotation uniforme par rapport au référentiel géocentrique autour de l'axe des pôles (axe Nord-Sud), de vitesse angulaire constante :

     \vec{\Omega} = \Omega\,\vec{u}_z

     où la période de rotation correspond au jour sidéral (T_{\text{sid}} \approx 23\text{ h } 56\text{ min } 4\text{ s}, soit \Omega \approx 7{,}3 \times 10^{-5}\text{ rad}\cdot\text{s}^{-1}).

   Indice, stratégie et pièges de cette question

2. Exercice 2E3A Physique-Chimie MPI 2025, Q2

   Dans le modèle à répartition sphérique de masse pour la Terre, la force gravitationnelle exercée par la Terre sur l'objet M de masse m situé à la surface (OM = R_T) s'exprime par :

   \boxed{\vec{F}_g = -\frac{G M_T m}{R_T^2} \vec{u}_z}

   où \vec{u}_z = \frac{\vec{OM}}{R_T} est le vecteur unitaire radial dirigé vers l'extérieur. Sa norme vaut :

   F_g = \frac{G M_T m}{R_T^2}

   Le référentiel terrestre \mathcal{R}_T étant en rotation uniforme à la vitesse angulaire \vec{\Omega} = \Omega \vec{u}_{\Delta} autour de l'axe des Pôles par rapport au référentiel géocentrique galiléen, la force d'inertie d'entraînement (force centrifuge) s'écrit :

   \vec{F}_{ie} = -m\,\vec{\Omega} \wedge (\vec{\Omega} \wedge \vec{OM}) = m\,\Omega^2 \vec{HM}

   où H est la projection orthogonale de M sur l'axe des Pôles (figure 1).

   La distance de M à l'axe de rotation est HM = R_T \cos\lambda, ce qui donne pour la norme :

   \boxed{F_{ie} = m\,\Omega^2 R_T \cos\lambda}

   Vectoriellement, en projetant dans la base (\vec{u}_y, \vec{u}_z) représentée sur la figure 1, le vecteur unitaire porté par \vec{HM} s'écrit \vec{u}_{HM} = \cos\lambda\,\vec{u}_z - \sin\lambda\,\vec{u}_y, d'où :

   \boxed{\vec{F}_{ie} = m\,\Omega^2 R_T \cos\lambda \left( \cos\lambda\,\vec{u}_z - \sin\lambda\,\vec{u}_y \right)}

   Résultat

   $${\vec{F}}_g=-\frac{G{M}_{T}m}{R_T^2}{\vec{u}}_z$$

   $$F_{ie}=m{\Omega }^2{R}_T\cos \lambda$$

   $${\vec{F}}_{ie}=m{\Omega }^2{R}_T\cos \lambda \left(\cos \lambda {\vec{u}}_z-\sin \lambda {\vec{u}}_y\right)$$

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3. Exercice 3CentraleSupélec Physique-Chimie 1 MPI 2024, Q27

   Le référentiel \mathcal{R}_h, dont l'origine est le centre de masse du Soleil S et dont les axes pointent vers trois étoiles lointaines considérées comme fixes, est usuellement appelé le référentiel héliocentrique (ou référentiel de Copernic).

   \boxed{\text{Référentiel héliocentrique (ou de Copernic)}}

   Résultat

   $$\text{Reˊfeˊrentiel heˊliocentrique (ou de Copernic)}$$

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4. Exercice 4CentraleSupélec Physique-Chimie 1 MPI 2024, Q28

   Un référentiel galiléen est un référentiel dans lequel le principe d'inertie (première loi de Newton) est vérifié : tout point matériel isolé ou pseudo-isolé (c'est-à-dire soumis à des forces dont la somme vectorielle est nulle) y est soit au repos, soit en mouvement de translation rectiligne uniforme :

   \sum \vec{F}_{\text{ext}} = \vec{0} \implies \vec{v} = \vec{\text{cte}}.

   D'après le préambule, le référentiel héliocentrique \mathcal{R}_h est considéré comme galiléen. Or, tout référentiel galiléen doit être animé d'un mouvement de translation rectiligne et uniforme par rapport à un autre référentiel galiléen.

   Le référentiel \mathcal{R} est en rotation uniforme autour de l'axe (Sz) par rapport à \mathcal{R}_h, avec un vecteur rotation non nul \vec{\omega} = \omega\,\vec{e}_z.

   \boxed{\text{Le référentiel }\mathcal{R}\text{ n'est pas en translation rectiligne uniforme par rapport à }\mathcal{R}_h\text{ : il est donc non galiléen.}}

   Résultat

   $$\text{Le reˊfeˊrentiel }\mathcal{R}\text{ n’est pas en translation rectiligne uniforme par rapport aˋ }{\mathcal{R}}_h\text{ : il est donc non galileˊen.}$$

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5. Exercice 5CentraleSupélec Physique-Chimie 1 MPI 2024, Q29

   On étudie le télescope JWST, assimilé à un point matériel de masse m immobile en L_2, dans le référentiel non galiléen \mathcal{R}.

   Le télescope est soumis à :

   • la force d'attraction gravitationnelle exercée par le Soleil :

     \vec{F}_S = -\frac{\mathcal{G} M_S m}{SL_2^2}\,\vec{e}_x = -\frac{\mathcal{G} M_S m}{(d_{TS} + r_{L_2})^2}\,\vec{e}_x

   • la force d'attraction gravitationnelle exercée par la Terre :

     \vec{F}_T = -\frac{\mathcal{G} M_T m}{TL_2^2}\,\vec{e}_x = -\frac{\mathcal{G} M_T m}{r_{L_2}^2}\,\vec{e}_x

   • la force d'inertie de Coriolis, nulle car le télescope est immobile dans \mathcal{R} (\vec{v}_r = \vec{0}) :

     \vec{F}_{ic} = -2m\,\vec{\omega}\wedge \vec{v}_r = \vec{0}

   • la force d'inertie d'entraînement centrifuge (le repère étant en rotation uniforme autour de l'axe (Sz) passant par l'origine fixe S) :

     \vec{F}_{ie} = -m\,\vec{\omega}\wedge(\vec{\omega}\wedge\vec{SL_2}) = m \omega^2 (d_{TS} + r_{L_2})\,\vec{e}_x

   La condition d'immobilité du télescope en L_2 dans le référentiel \mathcal{R} se traduit par le principe fondamental de la statique (ou principe fondamental de la dynamique avec \vec{a}_r = \vec{0}) :

   \vec{F}_S + \vec{F}_T + \vec{F}_{ie} = \vec{0}

   En explicitant chaque terme, la relation vectorielle s'écrit :

   \boxed{\left( m\omega^2(d_{TS} + r_{L_2}) - \frac{\mathcal{G}M_S m}{(d_{TS}+r_{L_2})^2} - \frac{\mathcal{G}M_T m}{r_{L_2}^2} \right)\vec{e}_x = \vec{0}}

   Résultat

   $$\left(m{\omega }^2(d_{TS}+r_{L_2})-\frac{\mathcal{G}{M}_{S}m}{(d_{TS}+r_{L_2}{)}^2}-\frac{\mathcal{G}{M}_{T}m}{r_{L_2}^2}\right){\vec{e}}_x=\vec{0}$$

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6. Exercice 6E3A Physique-Chimie MPI 2023, Q1

   Un référentiel galiléen (ou inertiel) est un référentiel dans lequel le principe d'inertie (première loi de Newton) est vérifié :

   \boxed{\text{Tout point matériel mécaniquement isolé (ou pseudo-isolé) y est soit au repos, soit en mouvement rectiligne uniforme.}}

   Dans un tel référentiel, la relation fondamentale de la dynamique (deuxième loi de Newton) s'applique sans faire intervenir de forces d'inertie.

   Le référentiel terrestre est en rotation propre uniforme autour de l'axe des pôles par rapport au référentiel géocentrique, à la vitesse angulaire \omega_{\mathrm{T}} \approx 7{,}29 \times 10^{-5}\text{ rad}\cdot\text{s}^{-1}, avec une période de rotation de l'ordre de T_{\mathrm{rot}} \approx 24\text{ h} \approx 86\,400\text{ s}.

   On peut le considérer comme galiléen sous les conditions suivantes :

   • la durée caractéristique de l'expérience \Delta t est très faible devant la période de rotation propre de la Terre :

     \boxed{\Delta t \ll T_{\mathrm{rot}} \sim 24\text{ h}}
   • les effets liés à l'accélération de Coriolis a_{\mathrm{C}} \sim 2\omega_{\mathrm{T}} v sont négligeables devant les accélérations caractéristiques du mouvement étudié (typiquement l'accélération de la pesanteur g_0) ;
   • la force d'inertie d'entraînement (axifuge) est, quant à elle, usuellement incorporée dans la définition du vecteur pesanteur local \vec{g} = \vec{G}_{\mathrm{T}} + \omega_{\mathrm{T}}^2 \vec{H\mathrm{M}}.

   Résultat

   $$\text{Tout point mateˊriel meˊcaniquement isoleˊ (ou pseudo-isoleˊ) y est soit au repos, soit en mouvement rectiligne uniforme.}$$

   $$\Delta t\ll T_{\mathrm{rot}}\sim 24\text{ h}$$

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7. Exercice 7E3A Physique-Chimie MPI 2023, Q16

   Le point matériel M de masse m est étudié dans le référentiel \mathcal{R}_C lié à la capsule.

   Par rapport au référentiel géocentrique \mathcal{R}_{\text{géo}} supposé galiléen, la capsule est animée d'un mouvement de translation circulaire : le référentiel \mathcal{R}_C est donc non galiléen, avec un vecteur rotation instantané nul par rapport à \mathcal{R}_{\text{géo}} (\vec{\Omega}(\mathcal{R}_C/\mathcal{R}_{\text{géo}}) = \vec{0}).

   Dans ce référentiel \mathcal{R}_C, les forces appliquées à M sont :

   1. Force réelle (à distance) :

      • La force d'attraction gravitationnelle exercée par la Terre :

        \vec{F}_G = -\frac{G M_T m}{(R_T + h)^2}\,\vec{u}_r

        en assimilant la distance de M au centre de la Terre à r \approx R_T + h compte tenu de la faible taille de l'habitacle devant h.

   2. Forces d'inertie :

      • La force d'inertie d'entraînement \vec{F}_{ie} : le mouvement d'entraînement étant une translation, tous les points ont la même accélération d'entraînement \vec{a}_e(M) = \vec{a}(C/\mathcal{R}_{\text{géo}}) (accélération du centre de masse de la capsule), d'où :

        \vec{F}_{ie} = -m\,\vec{a}(C/\mathcal{R}_{\text{géo}})

      • La force d'inertie de Coriolis \vec{F}_{ic} : elle est identiquement nulle :

        \vec{F}_{ic} = -2m\,\vec{\Omega}(\mathcal{R}_C/\mathcal{R}_{\text{géo}})\wedge\vec{v}_r = \vec{0}

        à la fois parce que le mouvement d'entraînement est une translation (\vec{\Omega} = \vec{0}) et parce que M est immobile dans la capsule (\vec{v}_r = \vec{0}).

   3. Forces de contact : M n'est pas en contact avec les parois de la capsule, il n'y a donc aucune réaction de support : \vec{R} = \vec{0}.

   \boxed{\text{Forces agissant sur } M \text{ dans } \mathcal{R}_C \text{ : la force gravitationnelle } \vec{F}_G \text{ et la force d'inertie d'entraînement } \vec{F}_{ie}.}

   Résultat

   $$\text{Forces agissant sur }M\text{ dans }{\mathcal{R}}_C\text{ : la force gravitationnelle }{\vec{F}}_G\text{ et la force d’inertie d’entraıˆnement }{\vec{F}}_{ie}.$$

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8. Exercice 8Mines-Ponts Physique 2 MPI 2023, Q16

   Soit un point matériel M de masse m, en mouvement dans un référentiel non galiléen \mathcal{R} en rotation à la vitesse angulaire instantanée \vec{\Omega} = \vec{\Omega}_{\mathcal{R}/\mathcal{R}_0} par rapport à un référentiel galiléen \mathcal{R}_0, l'origine de \mathcal{R} étant notée O'.

   On distingue deux forces d'inertie :

   1. La force d'inertie d'entraînement :

      \boxed{\vec{F}_{\mathrm{ie}} = - m \vec{a}_{\mathrm{e}}(M)}

      où l'accélération d'entraînement générale s'écrit :

      \vec{a}_{\mathrm{e}}(M) = \vec{a}(O')_{\mathcal{R}_0} + \left(\frac{\mathrm{d}\vec{\Omega}}{\mathrm{d}t}\right)_{\mathcal{R}_0} \wedge \vec{O'M} + \vec{\Omega} \wedge \left(\vec{\Omega} \wedge \vec{O'M}\right)

      Dans le cas d'une rotation uniforme (\vec{\Omega} = \text{cte}) autour d'un axe fixe (\Delta), en notant H le projeté orthogonal de M sur cet axe, cette force se réduit à la force centrifuge axifuge :

      \vec{F}_{\mathrm{ie}} = - m\,\vec{\Omega}\wedge(\vec{\Omega}\wedge\vec{HM}) = m\,\Omega^2\,\vec{HM}

   2. La force d'inertie de Coriolis (ou complémentaire) :

      \boxed{\vec{F}_{\mathrm{ic}} = - m \vec{a}_{\mathrm{c}}(M) = - 2 m \, \vec{\Omega} \wedge \vec{v}_{\mathrm{r}}(M)}

   Signification des grandeurs introduites :

   • m : masse du point matériel étudié (en \mathrm{kg}) ;
   • \vec{\Omega} : vecteur rotation instantanée du référentiel \mathcal{R} par rapport au référentiel galiléen \mathcal{R}_0 (en \mathrm{rad\cdot s^{-1}}) ;
   • \vec{a}(O')_{\mathcal{R}_0} : accélération de l'origine O' du référentiel d'entraînement par rapport à \mathcal{R}_0 (en \mathrm{m\cdot s^{-2}}) ;
   • \vec{O'M} : vecteur position de M dans \mathcal{R} (en \mathrm{m}) ;
   • \vec{HM} : vecteur joignant l'axe de rotation au point M, orthogonal à l'axe (\Delta) (en \mathrm{m}) ;
   • \vec{v}_{\mathrm{r}}(M) = \left(\frac{\mathrm{d}\vec{O'M}}{\mathrm{d}t}\right)_{\mathcal{R}} : vecteur vitesse relative de M mesurée dans le référentiel non galiléen \mathcal{R} (en \mathrm{m\cdot s^{-1}}).

   Résultat

   $${\vec{F}}_{\mathrm{ie}}=-m{\vec{a}}_{\mathrm{e}}(M)$$

   $${\vec{F}}_{\mathrm{ic}}=-m{\vec{a}}_{\mathrm{c}}(M)=-2m\vec{\Omega }\wedge {\vec{v}}_{\mathrm{r}}(M)$$

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9. Exercice 9E3A Physique-Chimie MPI 2025, Q3

   D'après les résultats établis à la question Q2, les normes des deux forces s'écrivent :

   \begin{aligned} F_g &= \frac{G M_T m}{R_T^2} \\ F_{ie} &= m \Omega^2 R_T \cos\lambda \end{aligned}

   1. Application numérique pour la force de gravitation :

   F_g = \frac{6{,}67 \cdot 10^{-11} \times 6{,}0 \cdot 10^{24} \times 75}{(6{,}4 \cdot 10^6)^2} \approx 7{,}3 \cdot 10^2\text{ N} \quad (\text{soit } 733\text{ N})

   \boxed{F_g \approx 7{,}3 \cdot 10^2\text{ N}}

   2. Application numérique pour la force d'inertie d'entraînement :

   F_{ie} = 75 \times (7{,}3 \cdot 10^{-5})^2 \times 6{,}4 \cdot 10^6 \times \cos(49^\circ) \approx 1{,}7\text{ N}

   \boxed{F_{ie} \approx 1{,}7\text{ N}}

   3. Commentaire : Comparons les ordres de grandeur des deux forces par leur rapport :

   \frac{F_{ie}}{F_g} \approx \frac{1{,}7}{733} \approx 2{,}3 \cdot 10^{-3} \approx 0{,}2\,\%

   La force d'inertie d'entraînement (force centrifuge liée à la rotation de la Terre) est environ 400 fois plus faible que la force de gravitation, représentant moins de 0{,}3\,\% de cette dernière.

   En excellente approximation, le poids \vec{P} = \vec{F}_g + \vec{F}_{ie} est donc dominé par l'attraction gravitationnelle : la verticale du lieu (direction du fil à plomb) est quasiment confondue avec la direction radiale vers le centre de la Terre.

   Résultat

   $$F_g\approx 7,3\cdot 10^2\text{ N}$$

   $$F_{ie}\approx 1,7\text{ N}$$

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10. Exercice 10X-ENS Physique MPI 2024, Q26

    Le référentiel \mathcal{R}_t lié à la turbine est en translation rectiligne et uniforme à la vitesse v_t \vec{u}_x par rapport au référentiel du laboratoire (supposé galiléen) : il s'agit donc d'un référentiel galiléen.

    Dans ce référentiel, la vitesse initiale relative du neutron s'écrit, d'après la loi de composition des vitesses :

    \vec{v}_{\mathrm{rel, entrée}} = (v_n - v_t)\,\vec{u}_x

    Comme v_n > v_t, le neutron pénètre dans la turbine avec une vitesse relative horizontale dirigée vers la droite, tangentiellement au bord inférieur de la plaque.

    En l'absence de gravité et de frottements, le neutron subit le long de la surface concave une série continue de réflexions élastiques spéculaires sous incidence rasante. Sa trajectoire épouse donc la paroi et décrit un demi-cercle.

    Par conservation de l'énergie cinétique dans \mathcal{R}_t, la norme de la vitesse relative reste constante au cours du guidage. Le neutron ressort ainsi au niveau du bord supérieur après avoir effectué un demi-tour (180^\circ), avec une vitesse relative horizontale dirigée vers la gauche :

    \vec{v}_{\mathrm{rel, sortie}} = -(v_n - v_t)\,\vec{u}_x

    \boxed{\text{Dans le référentiel de la turbine, la trajectoire du neutron est un demi-cercle le long de la paroi.}}

    Résultat

    $$\text{Dans le reˊfeˊrentiel de la turbine, la trajectoire du neutron est un demi-cercle le long de la paroi.}$$

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