Corrigé détaillé Centrale Physique Chimie 2 TSI 2023

On repère un point quelconque de l'espace M en coordonnées cylindriques (r, \theta, z) associées à la base locale (\vec{u}_r, \vec{u}_\theta, \vec{u}_z), où l'axe (Oz) coïncide avec l'axe de révolution du solénoïde.

1. Invariances et dépendance spatiale :

• Le solénoïde est supposé infini suivant (Oz) et parcouru par un courant stationnaire : la distribution de courant est invariante par toute translation le long de l'axe (Oz). Le champ \vec{B} ne dépend donc pas de la variable z.
• La distribution de courant présente une symétrie de révolution autour de l'axe (Oz) : elle est invariante par toute rotation d'angle \theta autour de cet axe. Le champ \vec{B} ne dépend donc pas de la variable \theta.

Par conséquent, le champ magnétique ne dépend que de la seule variable radiale r :

2. Direction du champ magnétique :

• Le plan \Pi_{as} = (M, \vec{u}_r, \vec{u}_z) contient l'axe (Oz). Le courant circule perpendiculairement à ce plan (selon \pm \vec{u}_\theta). La symétrie plane par rapport à \Pi_{as} inverse donc le sens des vecteurs densité de courant : \Pi_{as} est un plan d'antisymétrie pour la distribution de courant. Comme le champ magnétique \vec{B} est un pseudovecteur (vecteur axial), il appartient à ce plan :

  \vec{B}(M) \in \Pi_{as} \implies B_\theta(M) = 0

• Le plan \Pi_s = (M, \vec{u}_r, \vec{u}_\theta) perpendiculaire à l'axe (Oz) coupe le solénoïde orthogonalement. Par réflexion par rapport à ce plan, le sens de parcours circulaire du courant le long des spires est conservé : \Pi_s est un plan de symétrie pour la distribution de courant. Le champ magnétique \vec{B} est donc orthogonal à ce plan :

  \vec{B}(M) \perp \Pi_s \implies B_r(M) = 0 \quad \text{et} \quad B_\theta(M) = 0

On en déduit que le champ magnétique \vec{B} est purement axial, dirigé selon \vec{u}_z :

Le champ magnétique est dirigé selon l'axe (Oz) de la bobine et ne dépend que de la distance r à cet axe.

D'après la question Q1, le champ magnétique est dirigé selon l'axe du solénoïde et ne dépend que de la distance radiale : \vec{B}(r) = B_z(r)\,\vec{u}_z.

On applique le théorème d'Ampère sur un contour rectangulaire fermé \mathcal{C} = M_1 M_2 M_3 M_4 situé dans un demi-plan méridien (\vec{u}_r, \vec{u}_z), orienté selon la règle du tire-bouchon en cohérence avec le sens de parcours du courant :

• un segment [M_1 M_2] intérieur au solénoïde, parallèle à l'axe (Oz), de longueur L et situé à une distance r < R de l'axe, orienté selon +\vec{u}_z ;
• deux segments radiaux [M_2 M_3] et [M_4 M_1], orthogonaux à \vec{u}_z ;
• un segment [M_3 M_4] extérieur au solénoïde, parallèle à l'axe (Oz), de longueur L et situé à r_{\text{ext}} > R.

La circulation de \vec{B} le long du contour \mathcal{C} vaut :

Sur les segments radiaux, \vec{B}\cdot\mathrm{d}\vec{\ell} = B_z(r)\,\vec{u}_z\cdot(\mathrm{d}r\,\vec{u}_r) = 0. À l'extérieur, \vec{B}_{\text{ext}} = \vec{0} d'après l'énoncé. Il reste :

Le courant enlacé par ce contour correspond aux spires interceptées sur la longueur L. Avec n spires par unité de longueur parcourues chacune par le courant i, la surface s'appuyant sur \mathcal{C} est traversée par :

D'après le théorème d'Ampère en régime quasi stationnaire :

Le champ est donc uniforme à l'intérieur de la bobine et vaut :

1. Cas de la bobine infinie (solénoïde infini)

• À l'intérieur : Le champ magnétique est uniforme :

  \vec{B} = \mu_0 n i \vec{u}_z

  Il est colinéaire à l'axe (Oz), indépendant des coordonnées (r, \theta, z). Les lignes de champ sont des droites parallèles équidistantes orientées selon \vec{u}_z.

• À l'extérieur : Le champ magnétique est rigoureusement nul (\vec{B} = \vec{0}). Il n'y a donc aucune ligne de champ à l'extérieur.

2. Cas de la bobine de longueur finie

• Au centre du solénoïde : Le champ magnétique reste quasi-uniforme, orienté selon \vec{u}_z, avec une intensité maximale proche de celle du solénoïde infini (B \approx \mu_0 n i). Les lignes de champ y sont rectilignes et resserrées.
• Près des extrémités : Les lignes de champ s'évasent en sortant par la face supérieure (face Nord) et convergent en entrant par la face inférieure (face Sud). Sur l'axe, l'intensité du champ décroît progressivement pour valoir la moitié de sa valeur centrale aux extrémités (B \approx \frac{1}{2}\mu_0 n i pour un solénoïde long).
• À l'extérieur : Le champ n'est plus nul ; les lignes de champ se referment sur elles-mêmes en boucle continue de l'extérieur vers l'intérieur (propriété de flux conservatif \mathrm{div}\,\vec{B} = 0). L'intensité du champ décroît rapidement lorsqu'on s'éloigne de la bobine (comportement dipolaire à grande distance).

1. Nom de la force : Il s'agit de la force de Laplace (ou résultante des forces de Laplace).

2. Sens du courant et de la force :

   • Le pôle positif du générateur est relié au pivot O et le pôle négatif à l'arc conducteur. Le courant d'intensité I circule donc dans la partie mobile de l'axe O vers l'extrémité (le palet).
   • En utilisant la règle de la main droite (ou du trièdre direct) pour le produit vectoriel I\vec{\mathrm{d}\ell} \times \vec{B} avec \vec{B} dirigé vers le fond du plan (\vec{B} = -B\,\vec{u}_z), la force de Laplace est orthogonale à la tige et orientée vers le bas (dans le sens de \theta croissant, soit selon \vec{u}_\theta).

3. Expression de la force : En repérant un élément de tige par ses coordonnées cylindriques, un élément de longueur de la tige s'écrit \mathrm{d}\vec{\ell} = \mathrm{d}r\,\vec{u}_r (avec r \in [0, l]). La force élémentaire de Laplace subie par cet élément s'écrit :

   \mathrm{d}\vec{F}_L = I\,\mathrm{d}\vec{\ell} \times \vec{B} = I\,\mathrm{d}r\,\vec{u}_r \times (-B\,\vec{u}_z) = I B\,\mathrm{d}r\,\vec{u}_\theta

   En intégrant sur toute la longueur l de la partie mobile, on obtient la résultante :

   \boxed{\vec{F}_L = I l B\,\vec{u}_\theta}

   avec \vec{u}_\theta le vecteur unitaire orthoradial dirigé dans le sens des \theta croissants.

À l'instant t = 0^-, le générateur n'est pas branché, donc aucun courant ne traverse la partie mobile (I = 0) : la force de Laplace est nulle.

D'après les hypothèses de l'énoncé :

• l'action du poids est négligeable ;
• les forces de frottement sont négligeables ;
• la liaison pivot d'axe (Oz) est supposée parfaite, son moment par rapport à l'axe (Oz) est donc nul.

La seule action mécanique ayant un moment non nul par rapport à l'axe (Oz) est le couple de rappel exercé par la lame métallique :

La partie mobile étant au repos, elle est à l'équilibre mécanique. Le théorème du moment cinétique projeté sur l'axe (Oz) impose l'annulation du moment des forces extérieures par rapport à cet axe :

Comme la constante de torsion K est strictement positive, on en déduit :

La partie mobile se situe donc à la position d'angle nul, c'est-à-dire dans sa position de repos où la lame métallique n'est pas déformée.

On étudie la partie mobile, assimilée à une tige rigide de longueur l, mobile en rotation autour de l'axe fixe (Oz), dans le référentiel du laboratoire supposé galiléen.

Dès la mise sous tension à t = 0^+, un courant d'intensité I circule le long de la partie mobile dans le champ magnétique \vec{B} = -B\,\vec{u}_z. Le bilan des actions mécaniques s'écrit :

1. Forces de Laplace réparties le long de la tige : Chaque élément de longueur \mathrm{d}\vec{l} = \mathrm{d}r\,\vec{u}_r (pour r \in [0, l]) subit la force élémentaire :

   \mathrm{d}\vec{F}_L = I\,\mathrm{d}r\,\vec{u}_r \wedge (-B\,\vec{u}_z) = I B\,\mathrm{d}r\,\vec{u}_\theta

   Le moment résultant par rapport à l'axe (Oz) est :

   M_z(\vec{F}_L) = \int_0^l r\,(I B\,\mathrm{d}r) = \frac{1}{2} I B l^2

2. Couple de rappel modélisant l'action de la lame métallique élastique :

   \vec{\Gamma} = -K\theta\,\vec{u}_z \implies M_z(\text{rappel}) = -K\theta

3. Action de la liaison pivot sur l'axe (Oz) : Cette liaison bloque les translations et laisse libre la rotation autour de (Oz), son moment par rapport à (Oz) est donc nul :

   M_z(\text{liaison}) = 0

4. Action normale de contact de l'arc de cercle conducteur sur le palet à l'extrémité : En l'absence de frottement, la réaction \vec{R}_c est portée par la normale au cercle, c'est-à-dire selon -\vec{u}_r. Son bras de levier par rapport à (Oz) est donc nul :

   M_z(\vec{R}_c) = 0

D'après les hypothèses de l'énoncé :

• le poids de la partie mobile est négligeable devant les autres actions ;
• les forces de frottement (dans la liaison et au contact du palet) sont négligées.

On applique le théorème du moment cinétique scalaire à la partie mobile, de moment d'inertie J, en rotation autour de l'axe fixe (Oz) dans le référentiel d'étude galiléen :

D'après le bilan des actions mécaniques de la question Q6, en négligeant le poids et les frottements :

On obtient ainsi :

En divisant par le moment d'inertie J > 0 :

Par identification avec l'équation demandée \ddot{\theta} + \omega_0^2 \theta = A, on en déduit :

D'après l'équation différentielle obtenue à la question Q7 :

L'angle \theta étant sans dimension ([\theta] = 1), sa dérivée seconde par rapport au temps a pour dimension :

Pour que l'équation différentielle soit homogène, le terme A doit donc être homogène à l'inverse du carré d'un temps :

Examinons à présent l'expression trouvée pour A = \dfrac{I B l^2}{2 J} :

• [I] = \mathrm{I} ;
• [l] = \mathrm{L} ;

• D'après l'expression de l'énergie cinétique de rotation \mathcal{E}_c = \dfrac{1}{2} J \dot{\theta}^2 ou ses unités (\mathrm{kg}\cdot\mathrm{m}^2), le moment d'inertie a pour dimension :

  [J] = \mathrm{M}\cdot\mathrm{L}^2

• Pour déterminer la dimension du champ magnétique B, on utilise la force de Laplace F = I l B, où [F] = \mathrm{M}\cdot\mathrm{L}\cdot\mathrm{T}^{-2} d'après le principe fondamental de la dynamique (F = m a) :

  [B] = \frac{[F]}{[I]\,[l]} = \frac{\mathrm{M}\cdot\mathrm{L}\cdot\mathrm{T}^{-2}}{\mathrm{I}\cdot\mathrm{L}} = \mathrm{M}\cdot\mathrm{T}^{-2}\cdot\mathrm{I}^{-1}

On en déduit la dimension du produit au numérateur, qui correspond à un moment de force :

Par conséquent :

L'expression de A est donc bien homogène.

D'après la question Q7, la position angulaire \theta(t) satisfait l'équation différentielle :

La solution générale est la somme d'une solution de l'équation homogène et d'une solution particulière constante :

où C_1 et C_2 sont deux constantes réelles déterminées par les conditions initiales.

À l'instant t = 0^+, la continuité de la position et de la vitesse de la partie mobile (d'inertie non nulle J) impose :

Or, l'expression de la vitesse angulaire s'écrit :

En appliquant les conditions initiales :

On en déduit l'expression de \theta(t) tant que le contact est assuré :

En remplaçant par les grandeurs du problème (A = \frac{I B l^2}{2J} et \omega_0^2 = \frac{K}{J}), cette expression s'écrit également :

D'après la question Q2 et l'énoncé, en présence du matériau ferromagnétique de perméabilité relative \mu_r, la norme du champ magnétique uniforme régnant au niveau de la partie mobile s'écrit :

D'après la question Q9, tant que le contact est assuré, l'angle évolue selon :

Le cosinus oscillant entre -1 et 1, la valeur maximale susceptible d'être atteinte par l'angle \theta en l'absence de rupture est :

Pour que la partie mobile puisse atteindre l'extrémité de l'arc au point S et donc quitter la zone de contact, il est nécessaire que l'angle maximal franchisse la valeur seuil \theta_S :

En remplaçant B par son expression, on en déduit la valeur maximale de la constante de rappel :

Effectuons l'application numérique avec les valeurs données :

• \mu_r = 500 ;
• \mu_0 = 1{,}257 \times 10^{-6}\text{ H}\cdot\text{m}^{-1} ;
• n = 2 \times 10^3\text{ m}^{-1} ;
• I = 1\text{ A} ;
• l = 3\text{ cm} = 3 \times 10^{-2}\text{ m} ;
• \theta_S = \frac{\pi}{60}\text{ rad}.

Le champ magnétique a pour valeur :

On obtient alors :

Soit :

La valeur donnée dans l'énoncé est K = 7 \times 10^{-3}\text{ kg}\cdot\text{m}^2\cdot\text{s}^{-2}. On a bien :

La condition est donc parfaitement satisfaite : la partie mobile est capable de vaincre le couple de rappel et de quitter l'arc conducteur.

D'après la question Q9, l'angle \theta(t) évolue selon :

La partie mobile quitte le contact avec l'arc conducteur à la date t_1 > 0 telle que \theta(t_1) = \theta_S :

On en déduit :

Comme la partie mobile part du repos en \theta(0)=0 et s'écarte dans le sens des \theta croissants, t_1 correspond à la plus petite valeur strictement positive :

Application numérique :

• \omega_0 = \sqrt{\dfrac{K}{J}} = \sqrt{\dfrac{7\times 10^{-3}}{2\times 10^{-6}}} = \sqrt{3500} \approx 59{,}2\text{ rad}\cdot\text{s}^{-1}
• B = \mu_r \mu_0 n I = 500 \times 1{,}257\times 10^{-6} \times 2\times 10^3 \times 1 \approx 1{,}26\text{ T}
• \dfrac{2K\theta_S}{I B l^2} = \dfrac{2 \times 7\times 10^{-3} \times \frac{\pi}{60}}{1 \times 1{,}257 \times (3\times 10^{-2})^2} \approx \dfrac{7{,}33\times 10^{-4}}{1{,}13\times 10^{-3}} \approx 0{,}648

L'argument du cosinus vaut ainsi :

D'où :

Et finalement :

1. Nouvelle équation différentielle

Dès que la partie mobile quitte l'arc conducteur (t' \ge 0), le circuit électrique est ouvert : le courant s'annule (I = 0), et la force de Laplace devient donc nulle (\vec{F}_L = \vec{0}).

Seul subsiste le couple mécanique de rappel de moment scalaire par rapport à l'axe (Oz) :

Puisque t' = t - t_1, on a \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t'} = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}. Le théorème du moment cinétique appliqué à la partie mobile en rotation autour de l'axe fixe (Oz) s'écrit alors :

soit, en introduisant la pulsation propre \omega_0 = \sqrt{\frac{K}{J}} déjà définie à la question Q7 :

2. Résolution pour \theta(t')

La solution générale de cette équation différentielle linéaire homogène du second ordre à coefficients constants est de la forme :

où C et D sont deux constantes réelles déterminées par les conditions initiales en t' = 0 (soit t = t_1).

• Continuité de la position : À l'instant t = t_1, la partie mobile se trouve à l'extrémité de l'arc conducteur :

  \theta(t'=0) = \theta(t_1) = \theta_S \implies C = \theta_S

• Continuité de la vitesse angulaire : En dérivant \theta(t'), on obtient :

  \dot{\theta}(t') = -C\omega_0 \sin(\omega_0 t') + D\omega_0 \cos(\omega_0 t') \implies \dot{\theta}(t'=0) = D\omega_0

  D'après la question Q9, l'expression de \theta(t) pendant la phase de contact est \theta(t) = \theta_{\text{éq}}(1 - \cos(\omega_0 t)) avec \theta_{\text{éq}} = \frac{I B l^2}{2K}. La vitesse angulaire à l'instant t_1 vaut donc :

  \dot{\theta}(t_1) = \omega_0 \theta_{\text{éq}} \sin(\omega_0 t_1)

  Par continuité de la vitesse angulaire en t_1, on a :

  D = \frac{\dot{\theta}(t_1)}{\omega_0} = \theta_{\text{éq}} \sin(\omega_0 t_1)

Comme \cos(\omega_0 t_1) = 1 - \frac{\theta_S}{\theta_{\text{éq}}} et que \sin(\omega_0 t_1) > 0, on a également :

L'expression de l'angle \theta(t') tant que le contact est rompu s'écrit donc :

ou, sous forme explicite en fonction des paramètres du système :

L'aiguille est fixée à l'extrémité de la partie mobile, à une distance l de l'axe de rotation (Oz).

Pour de petites oscillations (\theta \ll 1\text{ rad}, ce qui est bien vérifié ici puisque \theta_{\max} = 0{,}096\text{ rad} \ll 1), le déplacement vertical de l'aiguille par rapport à sa position de repos \theta = 0 s'écrit :

L'angle \theta évoluant entre la position de repos \theta_{\min} = 0 et l'angle maximal \theta_{\max}, la course totale de l'aiguille (amplitude crête-à-crête du déplacement) vaut :

Application numérique avec l = 3\text{ cm} = 3{,}0 \times 10^{-2}\text{ m} et \theta_{\max} = 0{,}096\text{ rad} :

Remarque : si l'on définit l'amplitude comme la demi-excursion autour de la position moyenne, on obtient a = \frac{\Delta z}{2} \approx 1{,}4\text{ mm}.

Analysons successivement les caractéristiques du mouvement de la partie mobile :

1. Absence de palier à \theta = 0 :
   Lorsque la partie mobile atteint la position \theta = 0, le contact électrique est fermé. Le circuit est parcouru par le courant I et la force de Laplace s'exerce. D'après l'équation différentielle établie à la question Q7 :

   \ddot{\theta}(0) = A - \omega_0^2 \times 0 = A > 0

   L'accélération angulaire n'étant pas nulle, la partie mobile ne peut pas stationner à \theta = 0 : elle repart immédiatement vers les angles croissants. Cela élimine la courbe 3, qui comporte des paliers d'attente à \theta = 0.

2. Continuité de la vitesse et absence de points anguleux :
   Les actions mécaniques appliquées (force de Laplace et couple élastique de rappel) sont d'intensité finie. En l'absence de choc mécanique ou de butée, l'accélération angulaire \ddot{\theta}(t) reste finie à tout instant. La vitesse angulaire \dot{\theta}(t) est donc continue : la fonction \theta(t) est de classe \mathcal{C}^1.
   Aux extrema du mouvement (\theta = 0 et \theta = \theta_{\max}), la vitesse angulaire s'annule nécessairement (\dot{\theta} = 0), ce qui impose des tangentes horizontales.

   • La courbe 2 présente des pointes anguleuses aux maxima (\theta = \theta_{\max}), ce qui supposerait une inversion instantanée de la vitesse par un choc au sommet : elle est donc exclue.
   • La courbe 4 présente des pointes anguleuses en « V » à la base (\theta = 0), ce qui correspondrait à un rebond élastique sur une butée : elle est donc également exclue.

3. Concavité et points d'inflexion :
   Examinons le signe de la dérivée seconde \ddot{\theta}(t) :

   • Phase de contact (0 \le \theta \le \theta_S) :

     \ddot{\theta} = \omega_0^2(\theta_{\text{éq}} - \theta)

     Or, d'après les questions Q9 et Q10, la position d'équilibre sous tension vaut \theta_{\text{éq}} = \frac{I B l^2}{2K} \approx 0{,}081\text{ rad} > \theta_S \approx 0{,}052\text{ rad}. On a donc \ddot{\theta} > 0 sur tout cet intervalle : la courbe est convexe (concavité tournée vers le haut).

   • Phase hors contact (\theta_S < \theta \le \theta_{\max}) :

     \ddot{\theta} = -\omega_0^2 \theta < 0

     Puisque \theta > 0, on a \ddot{\theta} < 0 : la courbe est concave (concavité tournée vers le bas).

   • Au passage en \theta = \theta_S, \ddot{\theta} change brutalement de signe : il y a un point d'inflexion sur chaque front montant et descendant.

La seule courbe présentant à la fois une allure périodique lisse (\mathcal{C}^1), des tangentes horizontales aux extrema (\theta = 0 et \theta = \theta_{\max}), une zone convexe à la base et une zone concave au sommet est la courbe 1.

D'après la figure 4 et sa légende :

• Les atomes de fer (disques noirs) occupent les 8 sommets du cube et les centres des 6 faces :

  N(\mathrm{Fe}) = 8 \times \frac{1}{8} + 6 \times \frac{1}{2} = 1 + 3 = 4

• Les ions oxygène \mathrm{O}^{2-} (cercles blancs) occupent le centre du cube et les milieux des 12 arêtes :

  N(\mathrm{O}) = 1 \times 1 + 12 \times \frac{1}{4} = 1 + 3 = 4

Une maille contient donc 4 entités de fer pour 4 entités d'oxygène, soit une proportion stœchiométrique de 1 : 1.

La formule chimique de ce pigment est donc :

Dans l'oxyde ferreux de formule chimique \mathrm{FeO}, le nombre d'oxydation de l'oxygène sous forme d'ion oxyde \mathrm{O}^{2-} vaut :

L'espèce étant électriquement neutre, la somme des nombres d'oxydation des éléments constitutifs est nulle :

On en déduit immédiatement le degré d'oxydation du fer :

L'équation de la réaction considérée est :

D'après la loi de Hess, l'enthalpie standard de la réaction s'exprime en fonction des enthalpies standard de formation des réactifs et des produits :

Par convention, l'enthalpie standard de formation d'un corps pur simple dans son état de référence à la température considérée est nulle :

D'où :

Application numérique avec les données à T_0 = 298\text{ K} :

Puisque \Delta_r H^\circ(T_0) > 0, la réaction nécessite un apport de chaleur du milieu extérieur : elle est endothermique.

La relation de Van't Hoff s'écrit :

En supposant l'enthalpie standard de réaction \Delta_r H^\circ indépendante de la température (approximation d'Ellingham), on intègre cette relation différentielle entre la température de référence T_0 et une température T quelconque :

En composant par la fonction exponentielle, on en déduit l'expression de K^\circ(T) :

D'après la relation établie à la question Q18, la constante thermodynamique d'équilibre à T = 1300\text{ K} s'écrit :

Calculons l'argument de l'exponentielle avec les valeurs numériques suivantes :

• \Delta_r H^\circ = 156\times 10^3\text{ J}\cdot\text{mol}^{-1} (d'après Q17) ;
• R = 8{,}314\text{ J}\cdot\text{mol}^{-1}\cdot\text{K}^{-1} ;
• T_0 = 298\text{ K} et T = 1300\text{ K}.

On obtient :

D'où la valeur de la constante d'équilibre à 1300 K :

À T = 298\text{ K}, la constante K^\circ(T_0) = 7\times 10^{-19} \ll 1 indiquait une réaction quasi-nulle. À T = 1300\text{ K}, on a :

L'équilibre est donc très largement déplacé dans le sens direct : la réduction de l'oxyde de fer \mathrm{FeO} par le carbone est bien thermodynamiquement favorisée à 1300 K.