Feuille d'entraînement : Équations de Maxwell et ondes électromagnétiques dans le vide

Corrigés

1. Exercice 1CentraleSupélec Physique-Chimie 1 TSI 2025, Q21

   En magnétostatique (régime stationnaire indépendant du temps), le champ magnétique \vec{B} vérifie deux équations fondamentales de Maxwell :

   1. L'équation de Maxwell-Thomson (ou équation de conservation du flux magnétique) :

      \boxed{\mathrm{div}\,\vec{B} = 0}

      Sa forme intégrale, obtenue via le théorème de Green-Ostrogradsky pour toute surface fermée \mathcal{S} orientée vers l'extérieur, exprime la conservation du flux magnétique :

      \boxed{\oiint_{\mathcal{S}} \vec{B} \cdot \mathrm{d}\vec{S} = 0}

   2. L'équation de Maxwell-Ampère en régime indépendant du temps (le terme de courant de déplacement \varepsilon_0 \mu_0 \frac{\partial \vec{E}}{\partial t} étant nul) :

      \boxed{\vec{\mathrm{rot}}\,\vec{B} = \mu_0 \vec{\jmath}}

      où \vec{\jmath} désigne le vecteur densité volumique de courant et \mu_0 la perméabilité magnétique du vide.

      Sa forme intégrale, obtenue à l'aide du théorème de Stokes pour un contour fermé \mathcal{C} orienté délimitant une surface ouverte \mathcal{S} orientée selon la règle de la main droite, constitue le théorème d'Ampère :

      \boxed{\oint_{\mathcal{C}} \vec{B} \cdot \mathrm{d}\vec{\ell} = \mu_0 I_{\text{enlacé}} = \mu_0 \iint_{\mathcal{S}} \vec{\jmath} \cdot \mathrm{d}\vec{S}}

      où I_{\text{enlacé}} est le courant électrique total algébrique enlacé par le contour \mathcal{C}.

   Résultat

   $$\mathrm{div}\vec{B}=0$$

   $$\iint \vec{B}\cdot \mathrm{d}\vec{S}=0$$

   $$\overrightarrow{\mathrm{rot}}\vec{B}={\mu }_0\vec{ȷ}$$

   $${\oint }_{\mathcal{C}}\vec{B}\cdot \mathrm{d}\vec{\ell }={\mu }_0{I}_{\text{enlaceˊ}}={\mu }_0{\iint }_{\mathcal{S}}\vec{ȷ}\cdot \mathrm{d}\vec{S}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

2. Exercice 2CentraleSupélec Physique-Chimie 2 TSI 2025, Q47

   Le champ électrique de l'onde incidente émise par le flotteur s'écrit en tout point x et à tout instant t :

   \vec{E}_i(x, t) = E_0 \cos\left( \omega_c \left( t - \frac{x}{c} \right) + \varphi \right) \vec{u}.

   L'antenne du satellite récepteur se déplace selon la loi horaire x(t) = d_0 + v_k t. Le champ électrique capté par le récepteur au cours du temps s'obtient en évaluant l'onde incidente en sa position instantanée :

   \vec{E}_r(t) = \vec{E}_i(x(t), t) = E_0 \cos\left( \omega_c \left( t - \frac{d_0 + v_k t}{c} \right) + \varphi \right) \vec{u}.

   En regroupant les termes dépendant du temps dans l'argument du cosinus, on a :

   \begin{aligned} \vec{E}_r(t) &= E_0 \cos\left( \omega_c \left( 1 - \frac{v_k}{c} \right) t - \frac{\omega_c d_0}{c} + \varphi \right) \vec{u} \\ &= E_0 \cos\left( \omega'_c t + \varphi' \right) \vec{u}, \end{aligned}

   où la phase à l'origine vaut \varphi' = \varphi - \dfrac{\omega_c d_0}{c}.

   La pulsation de l'onde reçue par le satellite est la dérivée temporelle de la phase instantanée :

   \boxed{\omega'_c = \omega_c \left( 1 - \frac{v_k}{c} \right)}

   Puisque le satellite s'éloigne du flotteur (v_k > 0), on a \omega'_c \neq \omega_c (en l'occurrence \omega'_c < \omega_c).

   Cette modification de la fréquence (ou de la pulsation) d'une onde perçue par un observateur en mouvement relatif par rapport à la source est appelée l'effet Doppler (ou effet Doppler-Fizeau pour les ondes électromagnétiques).

   Résultat

   $${\omega }_c^{\prime }={\omega }_c\left(1-\frac{v_k}{c}\right)$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

3. Exercice 3CCINP Physique-Chimie TSI 2024, Q1

   Dans le vide en présence de charges et de courants, l'équation locale de Maxwell-Ampère relie le rotationnel du champ magnétique \vec{B}, le vecteur densité de courant volumique \vec{j} et la dérivée temporelle du champ électrique \vec{E} :

   \boxed{\vec{\mathrm{rot}}\,\vec{B} = \mu_0 \left( \vec{j} + \varepsilon_0 \frac{\partial \vec{E}}{\partial t} \right)}

   où :

   • \mu_0 désigne la perméabilité magnétique du vide ;
   • \varepsilon_0 désigne la permittivité diélectrique du vide ;
   • \vec{j}_{\mathrm{D}} = \varepsilon_0 \dfrac{\partial \vec{E}}{\partial t} est le vecteur densité de courant de déplacement de Maxwell.

   Résultat

   $$\overrightarrow{\mathrm{rot}}\vec{B}={\mu }_0\left(\vec{j}+{\epsilon }_0\frac{\partial \vec{E}}{\partial t}\right)$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

4. Exercice 4CCINP Physique-Chimie TSI 2024, Q2

   Dans le cadre de l'approximation des régimes lentement variables (ou régimes quasi-stationnaires magnétiques), le terme de courant de déplacement est négligeable devant le terme de conduction :

   \left\| \varepsilon_0 \frac{\partial \vec{E}}{\partial t} \right\| \ll \|\vec{j}\|

   L'équation de Maxwell-Ampère se réduit alors à celle de la magnétostatique :

   \boxed{\vec{\mathrm{rot}}\,\vec{B} = \mu_0\,\vec{j}}

   Résultat

   $$\overrightarrow{\mathrm{rot}}\vec{B}={\mu }_0\vec{j}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

5. Exercice 5CentraleSupélec Physique-Chimie 1 TSI 2024, Q49

   Dans le cas général, en présence de sources caractérisées par une densité volumique de charge \rho(M, t) et une densité volumique de courant \vec{\jmath}(M, t), les équations locales du champ électromagnétique, appelées équations de Maxwell, s'écrivent :

   • Équation de Maxwell-Gauss (MG) :

     \mathrm{div}\,\vec{E} = \frac{\rho}{\varepsilon_0}

   • Équation de Maxwell-Thomson (ou Maxwell-flux) (MT) :

     \mathrm{div}\,\vec{B} = 0

   • Équation de Maxwell-Faraday (MF) :

     \vec{\mathrm{rot}}\,\vec{E} = -\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}

   • Équation de Maxwell-Ampère (MA) :

     \vec{\mathrm{rot}}\,\vec{B} = \mu_0\left(\vec{\jmath} + \varepsilon_0 \frac{\partial \vec{E}}{\partial t}\right)

   Dans un milieu vide de charges et de courants électriques, on a en tout point \rho = 0 et \vec{\jmath} = \vec{0}. Les équations de Maxwell se réduisent alors à :

   \boxed{ \begin{aligned} \mathrm{div}\,\vec{E} &= 0 \quad &\text{(MG)} \\[4pt] \mathrm{div}\,\vec{B} &= 0 \quad &\text{(MT)} \\[4pt] \vec{\mathrm{rot}}\,\vec{E} &= -\frac{\partial \vec{B}}{\partial t} \quad &\text{(MF)} \\[4pt] \vec{\mathrm{rot}}\,\vec{B} &= \mu_0\varepsilon_0 \frac{\partial \vec{E}}{\partial t} \quad &\text{(MA)} \end{aligned} }

   Résultat

   $$\begin{array}{rlr}\mathrm{div}\vec{E}& =0& \text{(MG)}\\ \mathrm{div}\vec{B}& =0& \text{(MT)}\\ \overrightarrow{\mathrm{rot}}\vec{E}& =-\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}& \text{(MF)}\\ \overrightarrow{\mathrm{rot}}\vec{B}& ={\mu }_0{\epsilon }_0\frac{\partial \vec{E}}{\partial t}& \text{(MA)}\end{array}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

6. Exercice 6CentraleSupélec Physique-Chimie 1 TSI 2024, Q50

   Dans la cavité, le milieu est assimilé au vide dépourvu de charges (\rho = 0) et de courants (\vec{\jmath} = \vec{0}). D'après la question Q49, les équations de Maxwell s'écrivent :

   \begin{aligned} \mathrm{div}\,\vec{E} &= 0 \quad \text{(Maxwell-Gauss)} \\ \vec{\mathrm{rot}}\,\vec{E} &= -\frac{\partial \vec{B}}{\partial t} \quad \text{(Maxwell-Faraday)} \\ \vec{\mathrm{rot}}\,\vec{B} &= \varepsilon_0 \mu_0 \frac{\partial \vec{E}}{\partial t} \quad \text{(Maxwell-Ampère)} \end{aligned}

   Prenons le rotationnel de l'équation de Maxwell-Faraday :

   \vec{\mathrm{rot}}\left(\vec{\mathrm{rot}}\,\vec{E}\right) = \vec{\mathrm{rot}}\left(-\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}\right)

   En inversant l'ordre des dérivations spatio-temporelles, puis en substituant \vec{\mathrm{rot}}\,\vec{B} par son expression issue de l'équation de Maxwell-Ampère, on obtient :

   \vec{\mathrm{rot}}\left(\vec{\mathrm{rot}}\,\vec{E}\right) = -\frac{\partial}{\partial t}\left(\vec{\mathrm{rot}}\,\vec{B}\right) = -\frac{\partial}{\partial t}\left(\varepsilon_0 \mu_0 \frac{\partial \vec{E}}{\partial t}\right) = -\varepsilon_0 \mu_0 \frac{\partial^2 \vec{E}}{\partial t^2}

   D'autre part, d'après l'identité vectorielle fournie dans le formulaire :

   \vec{\mathrm{rot}}\left(\vec{\mathrm{rot}}\,\vec{E}\right) = \vec{\mathrm{grad}}\left(\mathrm{div}\,\vec{E}\right) - \Delta \vec{E}

   Or, en l'absence de charges volumiques, \mathrm{div}\,\vec{E} = 0, d'où :

   \vec{\mathrm{rot}}\left(\vec{\mathrm{rot}}\,\vec{E}\right) = -\Delta \vec{E}

   En égalant les deux expressions obtenues :

   -\Delta \vec{E} = -\varepsilon_0 \mu_0 \frac{\partial^2 \vec{E}}{\partial t^2}

   soit finalement :

   \boxed{\Delta \vec{E}(M, t) - \varepsilon_0 \mu_0 \frac{\partial^2 \vec{E}(M, t)}{\partial t^2} = \vec{0}}

   Cette équation est usuellement appelée équation de d'Alembert (ou équation des ondes).

   Résultat

   $$\Delta \vec{E}(M,t)-{\epsilon }_0{\mu }_0\frac{{\partial }^2\vec{E}(M,t)}{\partial t^2}=\vec{0}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

7. Exercice 7CCINP Physique-Chimie TSI 2023, Q13

   La longueur d'onde dans le vide \lambda_0 d'une onde électromagnétique est reliée à sa fréquence f et à la célérité de la lumière dans le vide c par la relation :

   \lambda_0 = \frac{c}{f}

   Avec c = 3,00 \cdot 10^8\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} et f = 30\text{ GHz} = 3,0 \cdot 10^{10}\text{ Hz}, on obtient :

   \begin{aligned} \lambda_0 &= \frac{3,00 \cdot 10^8}{3,0 \cdot 10^{10}} = 1,0 \cdot 10^{-2}\text{ m} = 1,0\text{ cm} \end{aligned}

   \boxed{\lambda_0 = 1,0 \cdot 10^{-2}\text{ m} = 1,0\text{ cm}}

   Résultat

   $${\lambda }_0=1,0\cdot 10^{-2}\text{ m}=1,0\text{ cm}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

8. Exercice 8CCINP Physique-Chimie TSI 2023, Q28

   Dans le vide, en l'absence de charge (\rho = 0) et de courant (\vec{\jmath} = \vec{0}), les équations de Maxwell s'écrivent sous forme locale :

   • Équation de Maxwell-Gauss (M-G) :

     \boxed{\mathrm{div}\,\vec{E} = 0}

   • Équation de Maxwell-Thomson (conservation du flux magnétique) :

     \boxed{\mathrm{div}\,\vec{B} = 0}

   • Équation de Maxwell-Faraday (M-F) :

     \boxed{\vec{\mathrm{rot}}\,\vec{E} = -\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}}

   • Équation de Maxwell-Ampère (M-A) :

     \boxed{\vec{\mathrm{rot}}\,\vec{B} = \mu_0\varepsilon_0 \frac{\partial \vec{E}}{\partial t}}

   Résultat

   $$\mathrm{div}\vec{E}=0$$

   $$\mathrm{div}\vec{B}=0$$

   $$\overrightarrow{\mathrm{rot}}\vec{E}=-\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}$$

   $$\overrightarrow{\mathrm{rot}}\vec{B}={\mu }_0{\epsilon }_0\frac{\partial \vec{E}}{\partial t}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

9. Exercice 9CCINP Physique-Chimie TSI 2023, Q29

   Partons de l'équation de Maxwell-Faraday dans le vide (établie à la question Q28) :

   \vec{\mathrm{rot}}\,\vec{E} = -\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}

   Prenons le rotationnel de cette relation :

   \vec{\mathrm{rot}}\!\left(\vec{\mathrm{rot}}\,\vec{E}\right) = \vec{\mathrm{rot}}\!\left(-\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}\right) = -\frac{\partial}{\partial t}\left(\vec{\mathrm{rot}}\,\vec{B}\right)

   En utilisant l'équation de Maxwell-Ampère dans le vide sans courant (\vec{\jmath} = \vec{0}) :

   \vec{\mathrm{rot}}\,\vec{B} = \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial \vec{E}}{\partial t}

   il vient :

   \vec{\mathrm{rot}}\!\left(\vec{\mathrm{rot}}\,\vec{E}\right) = -\mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial^2 \vec{E}}{\partial t^2}

   D'après l'identité d'analyse vectorielle donnée en formulaire :

   \vec{\mathrm{rot}}\!\left(\vec{\mathrm{rot}}\,\vec{E}\right) = \vec{\mathrm{grad}}(\mathrm{div}\,\vec{E}) - \Delta\vec{E}

   Or, en l'absence de charges (\rho = 0), l'équation de Maxwell-Gauss donne \mathrm{div}\,\vec{E} = 0, d'où \vec{\mathrm{grad}}(\mathrm{div}\,\vec{E}) = \vec{0}. On en déduit :

   -\Delta\vec{E} = -\mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial^2 \vec{E}}{\partial t^2}

   soit finalement :

   \boxed{\Delta\vec{E} - \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial^2 \vec{E}}{\partial t^2} = \vec{0}}

   Résultat

   $$\Delta \vec{E}-{\mu }_0{\epsilon }_0\frac{{\partial }^2\vec{E}}{\partial t^2}=\vec{0}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

10. Exercice 10CentraleSupélec Physique-Chimie 2 TSI 2023, Q20

    Dans le vide dépourvu de charges et de courants, les densités volumiques de charge et de courant sont nulles :

    \rho = 0 \quad \text{et} \quad \vec{\jmath} = \vec{0}

    Les quatre équations de Maxwell locales s'écrivent alors :

    • Équation de Maxwell-Gauss (MG) :

      \boxed{\operatorname{div} \vec{E} = 0}

    • Équation de Maxwell-Thomson (ou conservation du flux magnétique) (MT) :

      \boxed{\operatorname{div} \vec{B} = 0}

    • Équation de Maxwell-Faraday (MF) :

      \boxed{\vec{\operatorname{rot}}\,\vec{E} = -\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}}

    • Équation de Maxwell-Ampère (MA) :

      \boxed{\vec{\operatorname{rot}}\,\vec{B} = \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial \vec{E}}{\partial t} = \frac{1}{c^2}\frac{\partial \vec{E}}{\partial t}}

      avec c = \dfrac{1}{\sqrt{\varepsilon_0\mu_0}} la vitesse de la lumière dans le vide.

    Résultat

    $$\mathrm{div}\vec{E}=0$$

    $$\mathrm{div}\vec{B}=0$$

    $$\overrightarrow{\mathrm{rot}}\vec{E}=-\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}$$

    $$\overrightarrow{\mathrm{rot}}\vec{B}={\mu }_0{\epsilon }_0\frac{\partial \vec{E}}{\partial t}=\frac{1}{c^2}\frac{\partial \vec{E}}{\partial t}$$

    Indice, stratégie et pièges de cette question