Feuille d'entraînement : Ondes électromagnétiques dans les milieux

Corrigés

1. Exercice 1CentraleSupélec Physique-Chimie 2 TSI 2023, Q23

   D'après l'équation de d'Alembert obtenue à la question Q21, le champ électrique dans le vide vérifie :

   \vec{\Delta}\vec{E} - \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial^2 \vec{E}}{\partial t^2} = \vec{0}

   En régime harmonique et dans le milieu isolant non chargé considéré, les équations de Maxwell sont modifiées en substituant \varepsilon_0 \underline{\varepsilon}_r à \varepsilon_0. Le champ électrique complexe \underline{\vec{E}} satisfait ainsi à l'équation de propagation :

   \vec{\Delta}\underline{\vec{E}} - \mu_0 \varepsilon_0 \underline{\varepsilon}_r \frac{\partial^2 \underline{\vec{E}}}{\partial t^2} = \vec{0}

   En utilisant la relation définissant la vitesse de la lumière dans le vide c^2 = \frac{1}{\varepsilon_0 \mu_0}, cette équation s'écrit :

   \vec{\Delta}\underline{\vec{E}} - \frac{\underline{\varepsilon}_r}{c^2} \frac{\partial^2 \underline{\vec{E}}}{\partial t^2} = \vec{0}

   Le champ électrique s'écrit sous forme d'une onde plane progressive sinusoïdale se propageant selon +x :

   \underline{\vec{E}}(x,t) = E_0 \mathrm{e}^{\mathrm{j}(\omega t - \underline{k} x)}\,\vec{u}_y

   Le champ ne dépendant spatialement que de la coordonnée x, le laplacien vectoriel se réduit à :

   \vec{\Delta}\underline{\vec{E}} = \frac{\partial^2 \underline{\vec{E}}}{\partial x^2} = (-\mathrm{j}\underline{k})^2 \underline{\vec{E}} = -\underline{k}^2 \underline{\vec{E}}

   Par ailleurs, la dérivée temporelle seconde en régime harmonique s'exprime par :

   \frac{\partial^2 \underline{\vec{E}}}{\partial t^2} = (\mathrm{j}\omega)^2 \underline{\vec{E}} = -\omega^2 \underline{\vec{E}}

   En reportant ces dérivées dans l'équation de propagation, on obtient :

   \left(-\underline{k}^2 + \frac{\underline{\varepsilon}_r \omega^2}{c^2}\right)\underline{\vec{E}} = \vec{0}

   Comme cette relation doit être vérifiée pour tout x et tout t (le champ n'étant pas identiquement nul), on en déduit la relation de dispersion :

   \boxed{\underline{k}^2 = \underline{\varepsilon}_r \frac{\omega^2}{c^2}}

   Résultat

   $${\underline{k}}^2={\underline{\epsilon }}_r\frac{{\omega }^2}{c^2}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

2. Exercice 2CentraleSupélec Physique-Chimie 2 TSI 2023, Q24

   L'onde se propage selon la direction \vec{u}_x. En substituant l'écriture complexe \underline{k} = k' - \mathrm{j}k'' dans l'expression du champ électrique complexe \underline{\vec{E}}, on obtient :

   \begin{aligned} \underline{\vec{E}}(x, t) &= E_0 \exp\big(\mathrm{j}(\omega t - (k' - \mathrm{j}k'')x)\big)\,\vec{u}_y \\ &= E_0 \mathrm{e}^{-k'' x} \exp\big(\mathrm{j}(\omega t - k'x)\big)\,\vec{u}_y. \end{aligned}

   Le champ électrique réel associé s'écrit donc :

   \vec{E}(x, t) = E_0 \mathrm{e}^{-k'' x} \cos(\omega t - k' x)\,\vec{u}_y.

   Comme k' > 0, l'onde se propage dans le sens des x croissants. Puisque k'' > 0, l'amplitude du champ électrique E(x) = E_0 \mathrm{e}^{-k'' x} décroît exponentiellement avec la distance de propagation x. On parle d'atténuation de l'onde, caractérisée par une profondeur de pénétration \delta = \frac{1}{k''}.

   Conséquence énergétique : La densité volumique d'énergie électromagnétique et le flux d'énergie (vecteur de Poynting) étant proportionnels au carré de l'amplitude du champ électrique, l'énergie transportée par l'onde diminue au cours de la propagation selon la loi de Beer-Lambert en \mathrm{e}^{-2k'' x}.

   L'onde cède donc continûment de la puissance électromagnétique au milieu traversé : le milieu est absorbant (ou dissipatif) et l'énergie électromagnétique absorbée est convertie sous une autre forme (ici principalement en énergie thermique).

   Indice, stratégie et pièges de cette question

3. Exercice 3CentraleSupélec Physique-Chimie 2 TSI 2023, Q25

   D'après le résultat de la question Q23, la relation de dispersion s'écrit :

   \underline{k}^2 = \underline{\varepsilon}_r \frac{\omega^2}{c^2}

   En développant avec la forme complexe imposée \underline{k} = k' - \mathrm{j}k'' (où k', k'' \in \mathbb{R}) :

   \underline{k}^2 = (k' - \mathrm{j}k'')^2 = \left({k'}^2 - {k''}^2\right) - 2\mathrm{j}k'k''

   Si la permittivité relative est un réel strictement positif (\underline{\varepsilon}_r = \varepsilon_r \in \mathbb{R}^+), le membre de droite \varepsilon_r \frac{\omega^2}{c^2} est purement réel :

   \operatorname{Im}\left(\underline{k}^2\right) = 0 \iff -2k'k'' = 0

   L'énoncé précisant que k' > 0, il vient immédiatement :

   \boxed{k'' = 0}

   Il en découle que le vecteur d'onde est purement réel, avec k = k' = \sqrt{\varepsilon_r}\,\frac{\omega}{c}.

   L'onde plane s'écrit alors :

   \vec{E}(x,t) = E_0 \cos(\omega t - k'x)\,\vec{u}_y

   L'amplitude du champ électromagnétique reste constante au cours de la propagation : l'onde ne subit aucune atténuation. Le milieu se comporte comme un milieu transparent (non absorbant, ou diélectrique parfait sans pertes).

   Résultat

   $$k^{\prime \prime }=0$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

4. Exercice 4CentraleSupélec Physique-Chimie 2 TSI 2023, Q26

   Pour effacer le tatouage sans endommager les tissus cutanés sus-jacents, l'onde laser doit être très peu absorbée par la peau lors de sa traversée, tout en étant fortement absorbée par le pigment noir, dont le coefficient est k''_{\text{pigment}} = 5 \times 10^4\text{ m}^{-1} = 500\text{ cm}^{-1} quelle que soit la longueur d'onde. Il faut donc se placer dans un domaine spectral où le coefficient k'' des constituants de la peau est minimal :

   • Mélanine : son absorption décroît continûment avec la longueur d'onde, passant de plus de 100\text{ cm}^{-1} dans le proche UV et le visible à moins de 10\text{ cm}^{-1} au-delà de 700\text{ nm}.
   • Oxyhémoglobine : elle présente une absorption très marquée pour \lambda < 600\text{ nm} (k'' \in [10, 100]\text{ cm}^{-1}), mais devient très faiblement absorbante (k'' \lesssim 1\text{ à }10\text{ cm}^{-1}) pour \lambda \in [650\text{ nm}, 1100\text{ nm}].
   • Eau : elle est particulièrement transparente pour \lambda < 900\text{ nm} (k'' < 0{,}1\text{ cm}^{-1}), mais son absorption augmente sensiblement au-delà de 1100\text{ nm} pour atteindre plusieurs dizaines de \text{cm}^{-1} à 1400\text{ nm}.

   L'intersection des domaines de faible absorption de ces trois composants définit une « fenêtre thérapeutique » (ou fenêtre optique de la peau) située approximativement entre 650\text{ nm} et 1100\text{ nm}. Dans cet intervalle, l'atténuation cutanée globale reste inférieure à 10\text{ cm}^{-1}, soit au moins 50 fois plus faible que celle du pigment noir.

   \boxed{\text{Les longueurs d'onde les plus adaptées se situent dans le rouge lointain et le proche infrarouge : } 650\text{ nm} \lesssim \lambda \lesssim 1100\text{ nm}}

   Résultat

   $$\text{Les longueurs d’onde les plus adapteˊes se situent dans le rouge lointain et le proche infrarouge : }650\text{ nm}\lesssim \lambda \lesssim 1100\text{ nm}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

5. Exercice 5CentraleSupélec Physique-Chimie 2 TSI 2023, Q27

   • Jeu de courbes (a) : L'absorption est maximale dans la bande [400\text{ nm}, 500\text{ nm}], correspondant au violet et au bleu, tandis qu'elle est quasiment nulle pour \lambda > 550\text{ nm} (vert, jaune, rouge). La couleur perçue étant complémentaire du bleu absorbé, il s'agit d'encres de couleur jaune (à jaune-orangé).
     Remarque : La nomenclature standard des pigments confirme ce résultat (P.Y. pour Pigment Yellow, P.O. pour Pigment Orange).
   • Jeu de courbes (b) : L'absorption est très élevée pour toutes les longueurs d'onde inférieures à 600\text{ nm} (violet, bleu, vert), puis chute brutalement dans le rouge (\lambda > 600\text{ nm}). Ces pigments ne transmettent et ne diffusent que la partie rouge du spectre visible : il s'agit d'encres de couleur rouge.
     Remarque : Les codes indiquent P.R. pour Pigment Red.
   • Jeu de courbes (c) : L'absorption présente un plateau élevé dans la zone [600\text{ nm}, 800\text{ nm}] (orange, rouge) et un minimum d'absorption marqué dans la zone [450\text{ nm}, 550\text{ nm}]. Ces pigments diffusent préférentiellement les rayonnements bleu et vert : il s'agit d'encres de couleur bleue ou verte (cyan, bleu-vert).
     Remarque : Les codes confirment la présence de P.B. (Pigment Blue), P.G. (Pigment Green) et P.V. (Pigment Violet).

   En résumé :

   \boxed{\text{(a) : Jaune / Orange \quad ; \quad (b) : Rouge \quad ; \quad (c) : Bleu / Vert}}

   Résultat

   $$\text{(a) : Jaune / Orange ; (b) : Rouge ; (c) : Bleu / Vert}$$

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6. Exercice 6CentraleSupélec Physique-Chimie 2 TSI 2023, Q28

   Pour effacer efficacement un pigment par effet photothermique ou photomécanique sans léser la peau environnante, il faut remplir simultanément deux conditions :

   1. le laser doit émettre à une longueur d'onde fortement absorbée par le pigment ciblé (k'' élevé pour ce pigment) ;
   2. le rayonnement doit se situer dans une gamme où les constituants naturels de la peau (mélanine, oxyhémoglobine, eau) absorbent peu (fenêtre thérapeutique, typiquement entre 650\text{ nm} et 1100\text{ nm}).

   Comme le montrent les spectres de la figure 6, chaque famille de pigments colorés possède des bandes d'absorption propres et disjointes :

   • une encre rouge absorbe principalement dans le vert et le bleu (\lambda \sim 500\text{ nm}) ;
   • une encre jaune/orange absorbe dans le bleu et le proche UV (\lambda < 500\text{ nm}) ;
   • une encre bleue ou verte absorbe dans le rouge et le proche infrarouge (\lambda \sim 600\text{ à }800\text{ nm}).

   Par conséquent, un laser monochromatique unique ne peut pas fragmenter l'ensemble des couleurs : une longueur d'onde optimale pour un pigment sera quasiment transmise (non absorbée) par un autre.

   De plus, certaines teintes (comme le jaune ou l'orange) n'absorbent que dans des domaines de longueurs d'onde où l'hémoglobine et la mélanine absorbent également fortement, ce qui rend le ciblage sélectif très délicat et majore le risque de brûlures cutanées.

   \boxed{\text{Il est impossible d'utiliser une seule longueur d'onde : retirer un tatouage multicolore impose d'associer plusieurs lasers distincts.}}

   Résultat

   $$\text{Il est impossible d’utiliser une seule longueur d’onde : retirer un tatouage multicolore impose d’associer plusieurs lasers distincts.}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

7. Exercice 7CentraleSupélec Physique-Chimie 2 TSI 2023, Q29

   D'après l'énoncé, la relation de structure s'écrit en représentation complexe :

   \underline{\vec{B}} = \frac{\underline{\vec{k}} \wedge \underline{\vec{E}}}{\omega}

   avec :

   \begin{aligned} \underline{\vec{k}} &= (k' - \mathrm{j}k'')\,\vec{u}_x \\ \underline{\vec{E}} &= E_0 \,\mathrm{e}^{\mathrm{j}(\omega t - \underline{k} x)}\,\vec{u}_y = E_0 \,\mathrm{e}^{-k'' x}\,\mathrm{e}^{\mathrm{j}(\omega t - k' x)}\,\vec{u}_y \end{aligned}

   Sachant que \vec{u}_x \wedge \vec{u}_y = \vec{u}_z, il vient :

   \underline{\vec{B}} = \frac{E_0}{\omega}\,(k' - \mathrm{j}k'')\,\mathrm{e}^{-k'' x}\,\mathrm{e}^{\mathrm{j}(\omega t - k' x)}\,\vec{u}_z

   En développant l'exponentielle complexe via la formule d'Euler :

   \mathrm{e}^{\mathrm{j}(\omega t - k' x)} = \cos(\omega t - k' x) + \mathrm{j}\sin(\omega t - k' x)

   on obtient :

   (k' - \mathrm{j}k'')\,\mathrm{e}^{\mathrm{j}(\omega t - k' x)} = \left[k'\cos(\omega t - k' x) + k''\sin(\omega t - k' x)\right] + \mathrm{j}\left[k'\sin(\omega t - k' x) - k''\cos(\omega t - k' x)\right]

   car -\mathrm{j}^2 = +1.

   Le champ magnétique réel correspond à la partie réelle du champ complexe :

   \begin{aligned} \vec{B}(x,t) &= \mathrm{Re}\left(\underline{\vec{B}}\right) \\ &= \frac{k' E_0}{\omega}\,\mathrm{e}^{-k'' x}\cos(\omega t - k' x)\,\vec{u}_z + \frac{k'' E_0}{\omega}\,\mathrm{e}^{-k'' x}\sin(\omega t - k' x)\,\vec{u}_z \end{aligned}

   On retrouve bien l'expression demandée :

   \vec{B} = \vec{B}_{0,1}\,\mathrm{e}^{-k'' x}\cos(\omega t - k' x) + \vec{B}_{0,2}\,\mathrm{e}^{-k'' x}\sin(\omega t - k' x)

   avec :

   \boxed{\vec{B}_{0,1} = \frac{k' E_0}{\omega}\,\vec{u}_z \quad \text{et} \quad \vec{B}_{0,2} = \frac{k'' E_0}{\omega}\,\vec{u}_z}

   Résultat

   $${\vec{B}}_{0,1}=\frac{k^{\prime }{E}_0}{\omega }{\vec{u}}_z\text{et}{\vec{B}}_{0,2}=\frac{k^{\prime \prime }{E}_0}{\omega }{\vec{u}}_z$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

8. Exercice 8CentraleSupélec Physique-Chimie 2 TSI 2023, Q30

   D'après l'énoncé, le vecteur de Poynting s'écrit avec les notations réelles sous la forme :

   \vec{\Pi}(x,t) = \frac{\vec{E}(x,t) \wedge \vec{B}(x,t)}{\mu_0}

   D'après les résultats des questions Q24 et Q29, les champs électrique et magnétique s'écrivent :

   \begin{aligned} \vec{E}(x,t) &= E_0 \, \mathrm{e}^{-k'' x} \cos(\omega t - k' x) \, \vec{u}_y \\ \vec{B}(x,t) &= \frac{E_0}{\omega} \, \mathrm{e}^{-k'' x} \left( k' \cos(\omega t - k' x) + k'' \sin(\omega t - k' x) \right) \vec{u}_z \end{aligned}

   Sachant que \vec{u}_y \wedge \vec{u}_z = \vec{u}_x, le produit vectoriel donne :

   \vec{\Pi}(x,t) = \frac{E_0^2}{\mu_0 \omega} \, \mathrm{e}^{-2k'' x} \left[ k' \cos^2(\omega t - k' x) + k'' \cos(\omega t - k' x)\sin(\omega t - k' x) \right] \vec{u}_x

   Prenons la moyenne temporelle sur une période T = \frac{2\pi}{\omega}. En utilisant l'identité \cos(u)\sin(u) = \frac{1}{2}\sin(2u) :

   \begin{aligned} \langle \cos^2(\omega t - k' x) \rangle &= \frac{1}{2} \\ \langle \cos(\omega t - k' x)\sin(\omega t - k' x) \rangle &= \frac{1}{2}\langle \sin(2(\omega t - k' x)) \rangle = 0 \end{aligned}

   On en déduit la valeur moyenne temporelle du vecteur de Poynting :

   \boxed{\langle \vec{\Pi}(x,t) \rangle = \frac{k' E_0^2}{2\mu_0 \omega} \, \mathrm{e}^{-2k'' x} \, \vec{u}_x}

   Résultat

   $$⟨\vec{\Pi }(x,t)⟩=\frac{k^{\prime }{E}_0^2}{2{\mu }_0\omega }{\mathrm{e}}^{-2k^{\prime \prime }x}{\vec{u}}_x$$

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9. Exercice 9CentraleSupélec Physique-Chimie 2 TSI 2023, Q31

   Considérons une tranche cylindrique élémentaire d'axe (Ox), de section droite transversale S (perpendiculaire à l'axe (Ox)), comprise entre les abscisses x et x + \mathrm{d}x. Le volume de cette tranche est :

   \mathrm{d}V = S\,\mathrm{d}x

   L'onde plane se propageant selon \vec{u}_x, le vecteur de Poynting est dirigé selon \vec{u}_x : il n'y a aucun flux électromagnétique à travers la surface latérale du cylindre.

   En régime périodique établi, l'énergie électromagnétique moyenne stockée dans le volume \mathrm{d}V est constante dans le temps (\frac{\mathrm{d}\langle U_{\text{em}}\rangle}{\mathrm{d}t} = 0). Le principe de conservation de l'énergie en moyenne temporelle stipule donc que la puissance moyenne cédée par l'onde électromagnétique au milieu matériel au sein du volume \mathrm{d}V, notée \mathrm{d}\langle P_{\text{cédée}} \rangle = p_v(x)\,\mathrm{d}V, est égale au flux net entrant du vecteur de Poynting moyen à travers la frontière du cylindre :

   \mathrm{d}\langle P_{\text{cédée}} \rangle = \langle P_{\text{entrant}}(x) \rangle - \langle P_{\text{sortant}}(x + \mathrm{d}x) \rangle

   avec :

   \begin{aligned} \langle P_{\text{entrant}}(x) \rangle &= \langle \vec{\Pi}(x,t) \rangle \cdot \vec{u}_x \, S = \langle \Pi_x(x) \rangle \, S \\ \langle P_{\text{sortant}}(x + \mathrm{d}x) \rangle &= \langle \vec{\Pi}(x + \mathrm{d}x,t) \rangle \cdot \vec{u}_x \, S = \langle \Pi_x(x + \mathrm{d}x) \rangle \, S \end{aligned}

   Au premier ordre en \mathrm{d}x, on a :

   \langle \Pi_x(x + \mathrm{d}x) \rangle - \langle \Pi_x(x) \rangle = \frac{\mathrm{d}\langle \Pi_x \rangle}{\mathrm{d}x}\,\mathrm{d}x

   d'où :

   p_v(x) \, S\,\mathrm{d}x = -\frac{\mathrm{d}\langle \Pi_x \rangle}{\mathrm{d}x} \, S\,\mathrm{d}x \implies p_v(x) = -\frac{\mathrm{d}\langle \Pi_x(x) \rangle}{\mathrm{d}x}

   D'après le résultat de la question Q30, la composante suivant \vec{u}_x du vecteur de Poynting moyen s'écrit :

   \langle \Pi_x(x) \rangle = \frac{k' E_0^2}{2\mu_0 \omega}\,\mathrm{e}^{-2k'' x}

   En dérivant par rapport à x :

   \begin{aligned} \frac{\mathrm{d}\langle \Pi_x(x) \rangle}{\mathrm{d}x} &= \frac{k' E_0^2}{2\mu_0 \omega} \left(-2k''\right) \mathrm{e}^{-2k'' x} \\ &= -\frac{k' k''}{\omega\mu_0} E_0^2 \, \mathrm{e}^{-2k'' x} \end{aligned}

   On en déduit directement :

   \boxed{p_v(x) = \frac{k'k''}{\omega \mu_0} \mathrm{e}^{-2k''x} E_0^2}

   Résultat

   $$p_v(x)=\frac{k^{\prime }{k}^{\prime \prime }}{\omega {\mu }_0}{\mathrm{e}}^{-2k^{\prime \prime }x}{E}_0^2$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

10. Exercice 10CentraleSupélec Physique-Chimie 2 TSI 2023, Q32

    D'après le résultat de la question Q31, la puissance volumique moyenne cédée localement par le faisceau laser au pigment s'écrit :

    p_v(x) = p_v(0)\,\mathrm{e}^{-2k''x} \quad \text{avec} \quad p_v(0) = \frac{k'k''}{\omega\mu_0}E_0^2

    L'atténuation spatiale de la puissance volumique sur l'épaisseur du pigment, de longueur L_p = 1\,\mu\text{m} = 10^{-6}\text{ m}, est gouvernée par le facteur sans dimension 2k''L_p.

    D'après les données de l'énoncé, pour un laser Nd:Yag (\lambda = 1064\text{ nm}), le coefficient d'atténuation vaut k'' = 5\times 10^4\text{ m}^{-1}. On a donc :

    \begin{aligned} 2k''L_p &= 2 \times (5\times 10^4\text{ m}^{-1}) \times (10^{-6}\text{ m}) \\ &= 0{,}10 \ll 1 \end{aligned}

    De manière équivalente, la longueur caractéristique d'atténuation en puissance :

    \delta_p = \frac{1}{2k''} = \frac{1}{10^5\text{ m}^{-1}} = 10\,\mu\text{m}

    est nettement supérieure à la taille du pigment : L_p \ll \delta_p.

    Par conséquent, pour tout x \in [0, L_p], on a 2k''x \le 0{,}10, ce qui permet d'effectuer un développement limité à l'ordre zéro :

    \mathrm{e}^{-2k''x} \approx 1

    L'écart relatif maximal de p_v sur toute la traversée du pigment est d'environ :

    1 - \mathrm{e}^{-2k''L_p} \approx 1 - \mathrm{e}^{-0{,}10} \approx 9{,}5\% \approx 10\%

    \boxed{\text{Comme } L_p \ll \frac{1}{2k''} \iff 2k''L_p \ll 1\text{, la puissance volumique } p_v(x) \approx p_v(0) \text{ est quasi-uniforme dans le pigment.}}

    Résultat

    $$\text{Comme }{L}_p\ll \frac{1}{2k^{\prime \prime }}⟺2k^{\prime \prime }{L}_p\ll 1\text{, la puissance volumique }{p}_v(x)\approx p_v(0)\text{ est quasi-uniforme dans le pigment.}$$

    Indice, stratégie et pièges de cette question