Corrigé détaillé Mines Physique 1 PSI 2023 (page 2/2 : Parties II et III)

Pour générer un champ magnétique \vec{B}_0 = B_0\,\widehat{\mathrm{e}}_z uniforme à l'intérieur de la cavité cylindrique de rayon b :

• Géométrie du bobinage M :

  • On choisit un solénoïde cylindrique d'axe (Oz), coaxial à la cathode et à l'anode, et de rayon R_M > b.
  • Pour garantir l'uniformité du champ dans la zone utile et s'affranchir des effets de bord aux extrémités, le solénoïde doit être long devant son diamètre : sa longueur L doit vérifier L \gg R_M > b.
  • Le bobinage doit être constitué d'un enroulement régulier et dense de spires, caractérisé par une densité linéique uniforme de n spires par unité de longueur.

• Courant I dans le bobinage :

  • Le champ étant magnétostatique, le courant I doit être un courant continu (stationnaire).
  • D'après la règle de la main droite (ou du tire-bouchon), le courant doit circuler dans le sens orthoradial direct (selon \widehat{\mathrm{e}}_\theta) afin que le champ créé soit orienté selon +\widehat{\mathrm{e}}_z.

  • L'intensité I et la densité de spires n doivent vérifier la relation du solénoïde infini :

    \boxed{B_0 = \mu_0 n I \iff I = \frac{B_0}{\mu_0 n}}

En l'absence de charges dans la cavité (l'intérieur étant initialement vide), le potentiel électrostatique obéit à l'équation de Laplace :

En négligeant les effets de bord (cylindres supposés de longueur infinie devant leur rayon) et l'effet des fentes entre les secteurs de l'anode, la distribution présente une invariance par translation le long de (Oz) et par rotation autour de (Oz). Le potentiel électrostatique ne dépend donc que de la distance axiale r : V = V(r).

Dans le système de coordonnées cylindriques, l'opérateur laplacien scalaire s'écrit :

Une première intégration donne :

où K_1 est une constante réelle. Une seconde intégration conduit à :

En choisissant conventionnellement l'origine des potentiels sur la cathode, soit V(a) = 0, on obtient directement K_2 = 0.

L'anode est portée au potentiel V(b) = U_0 relativement à la cathode, ce qui donne :

Le potentiel électrostatique dans la cavité s'exprime donc par :

On étudie un électron de masse m_e, de charge q = -e, dans le référentiel du laboratoire supposé galiléen. L'électron est soumis à la seule force de Lorentz :

D'après la question Q12, le champ électrique dérive du potentiel V(r) et est purement radial :

Le champ magnétique imposé par le bobinage est uniforme et dirigé selon l'axe cylindrique :

Exprimons la composante axiale de la force de Lorentz en projetant sur \widehat{\mathrm{e}}_z :

Or \widehat{\mathrm{e}}_r \cdot \widehat{\mathrm{e}}_z = 0 par orthogonalité des vecteurs de base, et le produit mixte (\vec{v} \times \widehat{\mathrm{e}}_z) \cdot \widehat{\mathrm{e}}_z = 0 par propriété du produit vectoriel. Il en résulte :

D'après le principe fondamental de la dynamique appliqué à l'électron :

Les électrons étant émis par la cathode avec une vitesse initiale négligeable (vitesse thermique très faible devant les vitesses atteintes après accélération), on peut poser \dot{z}(0) = 0. Il vient alors :

Dans le référentiel du laboratoire supposé galiléen, le théorème du moment cinétique appliqué à un point matériel M par rapport à un axe fixe (Oz) s'énonce :

où L_z est la composante axiale du moment cinétique en un point de l'axe et \mathcal{M}_z le moment des forces extérieures par rapport à cet axe.

Pour un électron de masse m_e, de vecteur position \vec{OM} = r\,\widehat{\mathrm{e}}_r (en choisissant l'origine O sur l'axe (Oz) dans le plan du mouvement) et de vitesse \vec{v} = \dot{r}\,\widehat{\mathrm{e}}_r + r\dot{\theta}\,\widehat{\mathrm{e}}_\theta, le moment cinétique par rapport à O est :

d'où L_z = m_e r^2 \dot{\theta}.

L'électron est soumis à la force de Lorentz :

• Le champ électrique étant purement radial (\vec{E} = E(r)\,\widehat{\mathrm{e}}_r), la force électrostatique est centrale : son moment par rapport à (Oz) est nul.

• La force magnétique s'écrit :

  \vec{F}_{\text{mag}} = -e\left(\dot{r}\,\widehat{\mathrm{e}}_r + r\dot{\theta}\,\widehat{\mathrm{e}}_\theta\right)\wedge B_0\widehat{\mathrm{e}}_z = -e\left(-\dot{r}B_0\,\widehat{\mathrm{e}}_\theta + r\dot{\theta}B_0\,\widehat{\mathrm{e}}_r\right) = -e B_0 r\dot{\theta}\,\widehat{\mathrm{e}}_r + e B_0 \dot{r}\,\widehat{\mathrm{e}}_\theta

Le moment de la force par rapport à (Oz) vaut donc :

Le théorème du moment cinétique conduit à :

En intégrant entre l'instant d'émission à la cathode où r=a et où les électrons partent avec une vitesse négligeable (\dot{\theta}(a) \simeq 0) et un instant ultérieur où l'électron se trouve au rayon r :

En introduisant la pulsation cyclotron \omega_c = \frac{eB_0}{m_e}, on obtient :

D'après le préambule précédant la question Q13, les électrons émettent au voisinage de l'anode (r = b) une onde électromagnétique dont la pulsation est égale à la vitesse angulaire de leur mouvement :

D'après le résultat de la question Q14, la vitesse angulaire en r = b s'écrit :

On en déduit la pulsation cyclotron nécessaire :

Comme \omega_c = \dfrac{e B_0}{m_e}, l'expression du champ magnétique B_0 à appliquer est :

Comme a = 1\text{ mm} et b = 6\text{ mm}, le rapport (a/b)^2 = 1/36 \approx 0{,}028 \ll 1 est négligeable devant 1, ce qui permet également d'écrire l'approximation :

Application numérique : Avec m_e = 9{,}1\cdot 10^{-31}\text{ kg}, e = 1{,}6\cdot 10^{-19}\text{ C}, f_0 = 2{,}45\cdot 10^9\text{ Hz}, a = 1\cdot 10^{-3}\text{ m} et b = 6\cdot 10^{-3}\text{ m} :

En se limitant à un seul chiffre significatif comme demandé :

On étudie un électron (masse m_e, charge q = -e) dans le référentiel du laboratoire supposé galiléen. Il est soumis à deux forces :

• la force électrostatique \vec{F}_e = -e\vec{E} = e\,\vec{\mathrm{grad}}\,V = -\vec{\mathrm{grad}}\,\mathcal{E}_p, qui dérive de l'énergie potentielle \mathcal{E}_p(r) = -e V(r) ;
• la force magnétique de Lorentz \vec{F}_m = -e(\vec{v}\wedge\vec{B}_0), orthogonale à chaque instant au vecteur vitesse \vec{v}.

La puissance développée par la force magnétique est identiquement nulle :

Le théorème de la puissance mécanique donne alors :

L'énergie mécanique \mathcal{E}_m = \mathcal{E}_c + \mathcal{E}_p est donc une intégrale première du mouvement : le mouvement est conservatif.

D'après la question Q13, le mouvement est plan (z = \text{cte}, soit \dot{z} = 0). Dans la base cylindrique, le carré de la vitesse s'écrit :

L'énergie mécanique s'écrit donc en tout point :

À l'émission sur la cathode en r = a, les électrons sont émis avec une vitesse initiale négligeable (\vec{v} \simeq \vec{0}) et le potentiel de référence est nul (V(a) = 0 d'après la question Q12). La constante du mouvement vaut donc :

On en déduit :

D'après la question Q14, \dot{\theta}(r) = \dfrac{\omega_c}{2}\left(1 - \dfrac{a^2}{r^2}\right), et d'après la question Q12, V(r) = U_0 \dfrac{\ln(r/a)}{\ln(b/a)}.
Puisque l'électron quitte la cathode en s'éloignant de l'axe vers l'anode, la vitesse radiale est positive (\dot{r} \ge 0), d'où :

ou, sous forme condensée avec le potentiel :

Le bon fonctionnement du magnétron impose que les électrons frôlent l'anode en r = b sans la percuter. Le rayon r = b constitue donc la distance maximale atteinte par les électrons, ce qui correspond à un point de rebroussement radial où la vitesse radiale s'annule :

D'après l'expression de la vitesse radiale établie à la question Q16 :

la condition \dot{r}(b) = 0 se traduit par :

Le facteur logarithmique se simplifiant strictement à l'unité, il vient :

En remplaçant la pulsation cyclotron par sa définition \omega_c = \frac{e B}{m_e}, on obtient la tension d'accélération requise, appelée tension de coupure de Hull :

On étudie le mouvement d'un électron, de masse m_e et de charge q = -e, dans le référentiel du laboratoire supposé galiléen. L'électron est soumis à la force de Lorentz :

le poids étant totalement négligeable devant les interactions électromagnétiques.

En coordonnées cylindriques, l'électron décrivant une trajectoire circulaire de rayon r à vitesse angulaire constante \dot{\theta} = \omega, son vecteur vitesse et son vecteur accélération s'écrivent :

Avec le champ magnétique uniforme \vec{B}_0 = B_0\,\widehat{\mathrm{e}}_z = \dfrac{m_e \omega_c}{e}\,\widehat{\mathrm{e}}_z, le produit vectoriel donne :

La composante magnétique de la force de Lorentz s'exprime donc sous la forme :

D'après le principe fondamental de la dynamique appliqué à l'électron :

soit :

On en déduit l'expression de la force électrique puis du champ électrique :

d'où :

Le champ électrique \vec{E} est radial et colinéaire à \widehat{\mathrm{e}}_r. Son intensité étant directement proportionnelle à la coordonnée radiale r, il s'agit bien d'une fonction linéaire de r.

Par définition, la tension positive U_0 de l'anode par rapport à la cathode s'écrit :

En coordonnées cylindriques, la relation locale entre le champ électrostatique et le potentiel s'écrit :

D'après la question Q18, la composante radiale du champ électrique s'écrit :

On en déduit la dérivée spatiale du potentiel :

En intégrant entre la cathode (r=a) et l'anode (r=b), on obtient :

On aboutit ainsi à l'expression de la différence de potentiel U_0 :

D'après la question Q18, le champ électrique radial permettant la rotation synchrone des électrons à la vitesse angulaire \omega s'écrit :

D'après la question Q19, la différence de potentiel U_0 = V(b) - V(a) est donnée par :

Le champ électrique s'exprime donc en fonction de U_0, a et b sous la forme :

La charge des électrons étant -e, la densité volumique de charge s'écrit \rho(r) = -e\,n(r), où n est la densité particulaire d'électrons.

D'après l'équation de Maxwell-Gauss sous forme locale :

En coordonnées cylindriques, compte tenu des symétries (E_\theta = 0, E_z = 0 et E_r ne dépend que de r) :

On en déduit l'expression de la densité particulaire des électrons, qui apparaît uniforme dans toute la cavité a < r < b :

Le nuage électronique forme un milieu continu en rotation d'axe (Oz), caractérisé par une densité de courant volumique :

Par invariance par translation selon z et par rotation autour de (Oz), ainsi que par le caractère orthoradial de \vec{j}, le champ magnétique induit par cette distribution est axial : \vec{B}_{\text{ind}} = B_{\text{ind}}(r)\,\widehat{\mathrm{e}}_z.

L'équation de Maxwell-Ampère en régime stationnaire s'écrit \vec{\mathrm{rot}}\,\vec{B}_{\text{ind}} = \mu_0 \vec{j}. En coordonnées cylindriques :

La variation de champ magnétique induit entre la cathode (r=a) et l'anode (r=b) vaut :

En introduisant l'expression de la densité particulaire n = \frac{4\varepsilon_0 U_0}{e(b^2 - a^2)} obtenue à la question Q20 et la vitesse de la lumière dans le vide c = 1/\sqrt{\varepsilon_0\mu_0}, on a :

D'après la question Q19, la tension s'écrit U_0 = \frac{m_e}{2e}\omega(\omega_c - \omega)(b^2 - a^2). Sachant que B_0 = \frac{m_e \omega_c}{e}, on forme le rapport :

Pour que des électrons de charge négative soient accélérés vers l'anode, la tension U_0 est positive, ce qui implique 0 < \omega < \omega_c. On en déduit 0 < 1 - \frac{\omega}{\omega_c} < 1, ce qui permet de majorer ce rapport :

où v_{\text{max}} = \omega b est la vitesse maximale atteinte par les électrons au voisinage de l'anode.

Application numérique : Avec \omega \simeq 2\pi f_0 = 2\pi \times 2{,}45\cdot 10^9\text{ rad}\cdot\text{s}^{-1} \simeq 1{,}5\cdot 10^{10}\text{ rad}\cdot\text{s}^{-1} et b = 6\text{ mm} :

Le champ propre induit représente au maximum environ 10\,\% du champ extérieur B_0.

1. Dimension de la susceptibilité magnétique \chi :

   L'aimantation \vec{M} représente le moment dipolaire magnétique par unité de volume. Puisqu'un moment magnétique s'exprime en \mathrm{A\cdot m^2} (comme le produit d'un courant par une surface), l'aimantation a pour dimension :

   [M] = \frac{\mathrm{I\cdot L^2}}{\mathrm{L^3}} = \mathrm{I\cdot L^{-1}} \quad (\text{en }\mathrm{A\cdot m^{-1}}).

   D'après le théorème d'Ampère macroscopique sous forme de circulation (\oint \vec{H}\cdot\mathrm{d}\vec{\ell} = I_{\text{enlacé, libre}}), l'excitation magnétique \vec{H} a également la dimension d'un courant surfacique :

   [H] = \mathrm{I\cdot L^{-1}} \quad (\text{en }\mathrm{A\cdot m^{-1}}).

   La relation constitutive du milieu linéaire \vec{M} = \chi \vec{H} implique donc immédiatement que :

   \boxed{[\chi] = 1}

   La susceptibilité magnétique \chi est une grandeur sans dimension.

2. Relation liant \vec{H} et le champ magnétique \vec{B} :

   De façon générale dans un milieu matériel, le champ magnétique \vec{B}, l'excitation magnétique \vec{H} et l'aimantation \vec{M} sont reliés par :

   \boxed{\vec{B} = \mu_0(\vec{H} + \vec{M})}

   Pour le milieu linéaire considéré ici où \vec{M} = \chi \vec{H}, cette relation devient :

   \vec{B} = \mu_0(1 + \chi)\vec{H}.

3. Définition et expression de la perméabilité magnétique relative µ_r :

   La perméabilité magnétique absolue \mu du milieu est définie par la relation linéaire \vec{B} = \mu \vec{H}. La perméabilité relative \mu_r est définie comme le rapport adimensionné de la perméabilité du milieu à celle du vide :

   \boxed{\mu_r = \frac{\mu}{\mu_0}}

   de sorte que \vec{B} = \mu_0 \mu_r \vec{H}. Par identification avec \vec{B} = \mu_0(1+\chi)\vec{H}, on obtient son expression :

   \boxed{\mu_r = 1 + \chi}

1. Uniformité des champs dans le milieu magnétique

D'après l'énoncé, le champ magnétique à l'intérieur du cylindre est de la forme :

L'équation de conservation du flux magnétique (Maxwell-Thomson) s'écrit :

En coordonnées cylindriques, compte tenu de l'absence de composantes radiale et orthoradiale (B_r = 0, B_\theta = 0), la divergence se réduit à :

La fonction B_0(z) est donc constante : le champ magnétique \vec{B} est uniforme dans le milieu :

Le milieu étant supposé linéaire, homogène et isotrope (relations établies à la question Q22) :

Les trois champs \vec{B}, \vec{H} et \vec{M} sont donc rigoureusement uniformes à l'intérieur du matériau.

2. Expression de B_0

Le théorème d'Ampère pour l'excitation magnétique \vec{H} s'écrit sous forme intégrale :

où I_{f,\,\text{enlacé}} est le courant libre total enlacé par le contour fermé \mathcal{C}.

On choisit un contour rectangulaire fermé \mathcal{C} orienté selon la règle de la main droite associée à \widehat{\mathrm{e}}_\theta, composé de :

• un segment intérieur le long de l'axe (Oz), de z = 0 à z = \ell, sur lequel \vec{H} = H_0\,\widehat{\mathrm{e}}_z avec H_0 = \frac{B_0}{\mu_0 \mu_r} ;
• deux segments horizontaux radiaux aux extrémités z=0 et z=\ell ;
• un segment vertical extérieur dans l'espace extérieur où le champ magnétique est négligé (\vec{H}_{\text{ext}} \simeq \vec{0}).

Le long des segments horizontaux, \vec{H} est orthogonal au déplacement \mathrm{d}\vec{\ell} \propto \widehat{\mathrm{e}}_r (ou de circulation négligeable), et à l'extérieur \vec{H} \simeq \vec{0}. La circulation de \vec{H} se résume donc au trajet intérieur :

Ce contour enlace l'intégralité des N_1 spires de la bobine 1 parcourues par le courant I_1, ainsi que les N_2 spires de la bobine 2 parcourues par le courant I_2. Les deux courants étant orientés dans le même sens :

On en déduit :

Comme \vec{B} = \mu_0 \mu_r \vec{H}, on obtient finalement :

Le champ magnétique étant nul à l'extérieur du barreau et uniforme de valeur B_0 à l'intérieur, le flux de \vec{B} à travers une section droite du cylindre de rayon R vaut :

avec B_0 = \dfrac{\mu_0 \mu_r}{\ell}(N_1 I_1 + N_2 I_2) établi à la question Q23.

Le flux total \Phi_1 embrassé par les N_1 spires de la bobine \text{N}^\circ\,1 s'écrit :

Par identification avec l'expression constitutive \Phi_1 = L_1 I_1 + M_0 I_2, on obtient l'inductance propre L_1 et l'inductance mutuelle M_0.

De même, le flux total \Phi_2 embrassé par les N_2 spires de la bobine \text{N}^\circ\,2 s'écrit :

Par identification avec \Phi_2 = M_0 I_1 + L_2 I_2, on identifie l'inductance propre L_2.

On en déduit :

Le flux magnétique total à travers la bobine 2, orientée dans le même sens que la bobine 1, s'écrit comme la somme du flux propre et du flux mutuel :

D'après la loi de Faraday, la force électromotrice induite dans la bobine 2 est :

La bobine 2 étant fermée sur elle-même et de conductance G (soit une résistance électrique R_2 = \frac{1}{G}), la loi des mailles s'écrit :

À altitude z fixée, adoptons la notation complexe avec \underline{I}_1 = I \mathrm{e}^{\mathrm{j}\omega t}, de sorte que I_1(t) = \mathrm{Re}(\underline{I}_1). L'équation différentielle devient :

On en déduit l'amplitude complexe du courant induit :

En prenant la partie réelle I_2(z,t) = \mathrm{Re}(\underline{I}_2), il vient :

Par identification avec la forme demandée I_2(z,t) = I [\beta(z) \sin(\omega t) - \alpha(z) \cos(\omega t)], on obtient :

Conditions d'approximation :

• On se place dans le cadre de l'approximation des régimes quasi stationnaires (ARQS magnétique), de sorte que le champ magnétique vérifie à tout instant l'équation de Maxwell-Thomson \mathrm{div}\,\vec{B} = 0.
• Le système est invariant par rotation autour de l'axe (Oz) : le champ magnétique présente une symétrie axiale, sa composante orthoradiale est nulle (B_\theta = 0) et sa composante radiale B_r(r,z) ne dépend pas de \theta.
• La bobine \mathrm{N}^\circ\,2 est considérée comme une bobine plate (épaisseur axiale négligeable), localisée à l'altitude z, chaque spire embrassant le même flux propre et mutuel.

Considérons un cylindre fermé élémentaire \mathcal{V} d'axe (Oz), de rayon R, compris entre les plans de cote z et z+\mathrm{d}z. Le flux sortant de \vec{B}_{1\to 2} à travers la surface fermée \mathcal{S} délimitant \mathcal{V} est nul :

Ce flux total se décompose en trois contributions :

• à travers le disque supérieur en z+\mathrm{d}z d'orientation +\widehat{\mathrm{e}}_z : +\Phi_{\text{spire}}(z+\mathrm{d}z) ;
• à travers le disque inférieur en z d'orientation -\widehat{\mathrm{e}}_z : -\Phi_{\text{spire}}(z) ;

• à travers la paroi latérale de rayon R et de hauteur \mathrm{d}z, d'orientation +\widehat{\mathrm{e}}_r :

  \mathrm{d}\Phi_{\text{lat}} = B_r(R, z) \times 2\pi R\,\mathrm{d}z

Le bilan de flux s'écrit donc :

soit :

Le flux total créé par la bobine \mathrm{N}^\circ\,1 à travers les N_2 spires de la bobine \mathrm{N}^\circ\,2 s'écrit par définition de l'inductance mutuelle :

En utilisant la valeur de M_0 obtenue à la question Q24 (M_0 = \frac{\mu_0 \mu_r \pi R^2 N_1 N_2}{\ell}), le flux à travers une spire vaut :

En dérivant par rapport à z, on obtient :

On en déduit l'expression de la composante radiale du champ magnétique au niveau de la bobine \mathrm{N}^\circ\,2 :

Un élément de fil de longueur \mathrm{d}\vec{\ell} = R\,\mathrm{d}\theta\,\widehat{\mathrm{e}}_\theta de la bobine \mathrm{N}^\circ\,2, parcouru par le courant I_2(z,t), subit la force de Laplace :

En intégrant sur la circonférence de rayon R, la composante radiale s'annule par symétrie cylindrique (\int_0^{2\pi}\widehat{\mathrm{e}}_r\,\mathrm{d}\theta = \vec{0}). La résultante sur les N_2 spires est donc purement axiale :

En injectant l'expression de B_r obtenue à la question Q26 :

on obtient :

On reconnaît l'inductance mutuelle à l'origine M_0 établie à la question Q24, ainsi que M(z) = M_0 f(z) :

Calculons la valeur moyenne temporelle du produit des courants sur une période T = \frac{2\pi}{\omega}. Avec I_1(t) = I\cos(\omega t) et I_2(z,t) = I\left[\beta(z)\sin(\omega t) - \alpha(z)\cos(\omega t)\right] (question Q25) :

En remplaçant \alpha(z) = \frac{\omega^2 L_2 G^2 M(z)}{1 + (\omega L_2 G)^2} (question Q25), la force moyenne s'écrit :

En fonction de la fonction adimensionnée f(z) :

Commentaires :

• Signe de la force : La fonction f(z) est positive et strictement décroissante avec l'altitude z (\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}z} < 0). Le signe « - » assure donc que :

  \langle F_z \rangle > 0.

  La force moyenne est toujours dirigée vers le haut (+\widehat{\mathrm{e}}_z). Il s'agit d'une force répulsive exercée par la bobine \mathrm{N}^\circ\,1 sur la bobine \mathrm{N}^\circ\,2, conséquence directe de la loi de modération de Lenz. Cette force permet de compenser le poids de la bobine \mathrm{N}^\circ\,2 et d'assurer ainsi sa lévitation magnétique.

• Influence de z et stabilité de l'équilibre : L'inductance mutuelle M(z) diminue lorsque z augmente ; l'amplitude de la force répulsive \langle F_z \rangle décroît donc lorsque la bobine s'éloigne (z \to \infty, \langle F_z \rangle \to 0). Il existe une position d'équilibre z_{\text{eq}} telle que \langle F_z(z_{\text{eq}}) \rangle = m_2 g.

  • Si la bobine monte (z > z_{\text{eq}}), la force répulsive diminue : le poids l'emporte et la rappelle vers le bas.
  • Si la bobine descend (z < z_{\text{eq}}), la force répulsive augmente et la repousse vers le haut.

  L'équilibre en lévitation selon l'axe vertical est par conséquent stable.