Corrigé détaillé E3A Physique Chimie PSI 2020

Les équations locales de Maxwell faisant intervenir le champ magnétique \vec{B} par des dérivées spatiales sont :

• L'équation de Maxwell-Thomson (ou conservation du flux magnétique) :

  \boxed{\operatorname{div} \vec{B} = 0}

• L'équation de Maxwell-Ampère :

  \boxed{\vec{\operatorname{rot}} \vec{B} = \mu_{0} \vec{\jmath} + \mu_{0} \varepsilon_{0} \frac{\partial \vec{E}}{\partial t}}

Remarque : Le champ \vec{B} intervient également par sa dérivée temporelle dans l'équation de Maxwell-Faraday (\vec{\operatorname{rot}} \vec{E} = -\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}), fondamentale pour l'induction mais non modifiée dans l'ARQS.

Dans le cadre de l'Approximation des Régimes Quasi Stationnaires (ARQS) :

• Le terme de courant de déplacement \vec{\jmath}_{\text{d}} = \varepsilon_0 \frac{\partial \vec{E}}{\partial t} est négligeable devant la densité de courant de conduction \vec{\jmath} (la durée de propagation des ondes \tau \sim L/c est négligeable devant le temps caractéristique d'évolution T des grandeurs électriques).

• L'équation de Maxwell-Ampère se simplifie donc sous sa forme quasi-statique :

  \boxed{\vec{\operatorname{rot}} \vec{B} = \mu_{0} \vec{\jmath}}

• L'équation de Maxwell-Thomson reste strictement inchangée :

  \operatorname{div} \vec{B} = 0

L'équation locale concernée est l'équation de Maxwell-Ampère dans l'ARQS (rappelée à la question A1) :

Considérons une surface géométrique quelconque S, ouverte, s'appuyant sur un contour fermé et orienté \Gamma = \partial S, le vecteur surface élémentaire \mathrm{d}\vec{S} étant orienté selon la règle de la main droite relativement au sens de parcours choisi pour \Gamma.

En intégrant le flux de cette équation à travers la surface S, on obtient :

• D'après le théorème de Stokes appliqué au champ \vec{B}, le membre de gauche s'écrit comme la circulation de \vec{B} le long de \Gamma :

  \iint_S (\vec{\operatorname{rot}} \vec{B}) \cdot \mathrm{d}\vec{S} = \oint_\Gamma \vec{B} \cdot \mathrm{d}\vec{\ell}

• Le membre de droite fait intervenir le courant électrique total traversant la surface S, appelé courant enlacé par le contour \Gamma :

  I_{\text{enlacé}} = \iint_S \vec{\jmath} \cdot \mathrm{d}\vec{S}

On aboutit ainsi à la forme intégrale, qui constitue le théorème d'Ampère :

L'approximation d'un solénoïde « infini » (ou solénoïde très long) est légitime sous deux conditions essentielles :

1. Condition géométrique : la longueur \ell du solénoïde doit être très grande devant son rayon a :

   \boxed{\ell \gg a}
2. Condition sur la zone d'observation : le point de mesure M doit être situé suffisamment loin des extrémités du solénoïde (au voisinage du centre, à une distance des bords bien supérieure à a) afin que les effets de bord soient totalement négligeables.

En outre, le pas d'enroulement doit être très faible devant le rayon a (condition assurée ici par l'hypothèse de spires circulaires jointives), ce qui permet d'assimiler l'enroulement hélicoïdal à une nappe continue de spires circulaires orthogonales à l'axe \mathrm{O}z.

On utilise le système de coordonnées cylindriques (r, \theta, z) associé à l'axe (\mathrm{O}z) du solénoïde.

Invariances de la distribution de courants :

• Le solénoïde étant supposé infini, la distribution de courants est invariante par toute translation le long de l'axe (\mathrm{O}z).
• En raison de la symétrie de révolution du dispositif, la distribution est invariante par toute rotation d'angle \theta autour de l'axe (\mathrm{O}z).

Par conséquent, le champ magnétique ne dépend ni de z ni de \theta ; son module ne dépend donc que de la coordonnée radiale r (et du temps t) :

Symétries de la distribution de courants : Considérons le point \mathrm{M}(r, \theta, z) :

• Le plan \Pi_-(M) = (\mathrm{M}, \vec{u}_r, \vec{u}_z) coupe les spires orthogonalement. La réflexion par rapport à ce plan inverse le sens de parcours du courant orthoradial (\vec{\jmath} \propto \vec{u}_\theta \to -\vec{u}_\theta). C'est donc un plan d'antisymétrie pour la distribution de courants. Le champ magnétique \vec{B}, étant un vecteur axial (pseudovecteur), est contenu dans tout plan d'antisymétrie des sources :

  \vec{B}(\mathrm{M}) \in \Pi_-(M) \implies B_\theta = 0.

• Le plan \Pi_+(M) = (\mathrm{M}, \vec{u}_r, \vec{u}_\theta), perpendiculaire à l'axe (\mathrm{O}z), est un plan de symétrie de la distribution de courants (pour un solénoïde infini, l'image d'une spire située à la cote z + \Delta z est la spire identique située en z - \Delta z, parcourue dans le même sens). Le champ magnétique \vec{B} est orthogonal à tout plan de symétrie des sources :

  \vec{B}(\mathrm{M}) \perp \Pi_+(M) \implies B_r = 0 \quad \text{et} \quad B_\theta = 0.

Le champ magnétique est donc colinéaire à \vec{u}_z et ne dépend spatialement que de la variable r :

D'après la question A4, le champ magnétique s'écrit \vec{B}(\mathrm{M}) = B_z(r)\,\vec{u}_z en coordonnées cylindriques.

1. Uniformité du champ intérieur

Considérons un premier contour rectangulaire orienté \Gamma_1 = ABCD tracé dans un plan méridien (\theta = \text{cte}), de hauteur h selon l'axe Oz, et entièrement contenu à l'intérieur du solénoïde (r < a) :

• [AB] est situé au rayon r_1 < a, de cote z variant de z_0 à z_0 + h, orienté selon +\vec{u}_z ;
• [BC] est un segment radial allant de r_1 à r_2 (r_2 < a), orienté selon +\vec{u}_r ;
• [CD] est situé au rayon r_2, orienté selon -\vec{u}_z ;
• [DA] est un segment radial allant de r_2 à r_1, orienté selon -\vec{u}_r.

Calculons la circulation de \vec{B} le long de \Gamma_1 :

• sur les segments radiaux [BC] et [DA], \vec{B} \cdot \mathrm{d}\vec{\ell} = B_z(r)\,\vec{u}_z \cdot (\pm \mathrm{d}r\,\vec{u}_r) = 0 ;
• sur [AB], \int_A^B \vec{B} \cdot \mathrm{d}\vec{\ell} = B_z(r_1)\,h ;
• sur [CD], \int_C^D \vec{B} \cdot \mathrm{d}\vec{\ell} = - B_z(r_2)\,h.

D'où :

Ce contour étant entièrement intérieur, il n'enlace aucun courant de la nappe cylindrique : I_{\text{enlacé}} = 0. Le théorème d'Ampère donne immédiatement :

La composante B_z est indépendante de r à l'intérieur : le champ magnétique y est donc uniforme, noté \vec{B}_{\text{int}}(t) = B_{\text{int}}(t)\,\vec{u}_z.

2. Détermination de la valeur du champ intérieur

Considérons un second contour rectangulaire \Gamma_2 = A'B'C'D', toujours dans un plan méridien, de hauteur h selon Oz, à cheval sur la nappe de spires :

• [A'B'] est situé à l'intérieur (r < a), de longueur h, orienté selon +\vec{u}_z ;
• [C'D'] est situé à l'extérieur (r' > a), de longueur h, orienté selon -\vec{u}_z ;
• [B'C'] et [D'A'] sont radiaux (la circulation y est identiquement nulle car \vec{B} \perp \vec{u}_r).

Le champ extérieur étant admis nul (\vec{B}_{\text{ext}} = \vec{0}), la circulation de \vec{B} sur \Gamma_2 se réduit à celle sur le segment intérieur [A'B'] :

Le contour \Gamma_2 entoure les spires réparties sur la hauteur h. Le nombre de spires par unité de longueur étant n = N/\ell, le nombre de spires enlacées vaut N_{\text{enlacé}} = \frac{N}{\ell}\,h. Selon la règle de la main droite associée à l'orientation de \Gamma_2, le courant enlacé algébrique vaut :

En appliquant le théorème d'Ampère à \Gamma_2 :

Soit, en simplifiant par h :

Considérons un plan quelconque \Pi_a contenant l'axe (\mathrm{O}z) (par exemple les plans (\mathrm{O}xz) ou (\mathrm{O}yz)).

En tout point du bobinage traversant ce plan, le vecteur densité de courant \vec{\jmath} est orthoradial (\vec{\jmath} \propto \vec{u}_\theta), donc perpendiculaire à \Pi_a. La réflexion plane par rapport à \Pi_a inverse donc le sens du courant : tout plan contenant l'axe (\mathrm{O}z) est un plan d'antisymétrie pour la distribution de courants.

Le champ magnétique \vec{B} étant un champ de pseudovecteurs (ou vecteurs axiaux), en tout point d'un plan d'antisymétrie des courants, le champ magnétique est obligatoirement contenu dans ce plan.

Le point \mathrm{M} appartenant à l'axe (\mathrm{O}z), il appartient simultanément à une infinité de plans d'antisymétrie contenant cet axe. Il appartient notamment aux deux plans d'antisymétrie orthogonaux (\mathrm{O}xz) et (\mathrm{O}yz).

Le champ magnétique \vec{B}(\mathrm{M}) appartient donc à l'intersection de ces plans, qui est la droite (\mathrm{O}z) :

Le champ magnétique au point \mathrm{M} est ainsi colinéaire à l'axe (\mathrm{O}z).

• Point de vue des courants : Les spires circulaires sont entièrement contenues dans le plan z = 0. Le vecteur densité de courant volumique (ou surfacique), orienté selon \vec{u}_\theta, est tangent à ce plan. La symétrie plane par rapport au plan z = 0 laisse inchangés les vecteurs parallèles à celui-ci : la distribution de courants est invariante par cette réflexion. Le plan z = 0 est donc un plan de symétrie pour la distribution de courants :

  \Pi = \{z = 0\} = \Pi_s(\text{courants})

• Point de vue du champ magnétique : Le champ magnétique \vec{B} étant un champ de pseudovecteurs (vecteurs axiaux), un plan de symétrie pour les sources constitue un plan d'antisymétrie pour le champ magnétique. En notant \operatorname{sym} la réflexion par rapport au plan z = 0, la relation de transformation s'écrit :

  \vec{B}\bigl(\operatorname{sym}(M)\bigr) = -\operatorname{sym}\bigl(\vec{B}(M)\bigr)

• Relation entre B_z(-z) et B_z(z) : Pour un point M(0,0,z) de l'axe, son symétrique est M'(0,0,-z). Sachant que \vec{B}(M) = B_z(z)\,\vec{u}_z (d'après la question A6) et que \operatorname{sym}(\vec{u}_z) = -\vec{u}_z, on a :

  \vec{B}(M') = B_z(-z)\,\vec{u}_z = -\operatorname{sym}\bigl(B_z(z)\,\vec{u}_z\bigr) = -B_z(z)\,(-\vec{u}_z) = B_z(z)\,\vec{u}_z

  Par identification sur la composante axiale, on en déduit :

  \boxed{B_z(-z) = B_z(z)}

  La fonction B_z(z) est donc paire.

D'après l'expression fournie par l'énoncé, pour i(t) > 0 :

1. Champ magnétique maximal B_{z,\mathrm{max}} :
Le dénominateur (z^2+a^2)^{3/2} est minimal en z = 0, point où la fonction B_z(z) atteint son maximum :

2. Détermination de la distance z_{1/2} :
Par définition, la distance z_{1/2} > 0 vérifie l'égalité :

On en déduit l'expression de z_{1/2} :

3. Allure de la fonction B_z(z) :
La fonction est paire (conformément au résultat de la question A7), strictement décroissante pour z > 0, et tend vers 0 en 1/|z|^3 lorsque |z| \to +\infty (comportement dipolaire).

Sur les deux cartes de champ de la figure 5, le plan de coupe représenté est un plan méridien contenant l'axe de révolution Oz (axe vertical au centre).

• Invariance par rotation autour de l'axe Oz : Pour les deux dispositifs, la distribution de courants est invariante par rotation autour de l'axe Oz. Le champ \vec{B} ne dépend donc pas de l'angle azimutal \theta ; la carte de champ est identique dans n'importe quel plan méridien.

• Symétrie par rapport à l'axe Oz (plan méridien) : Tout plan contenant l'axe Oz coupe les spires orthogonalement : le vecteur densité de courant orthoradial \vec{\jmath} = j_\theta\,\vec{u}_\theta y est partout orthogonal. Tout plan méridien est donc un plan d'antisymétrie pour les courants (\Pi_a).

  Comme le champ magnétique est un pseudo-vecteur (vecteur axial), tout plan \Pi_a pour les courants est un plan de symétrie pour \vec{B} (\Pi_s) :

  \vec{B}(\operatorname{sym}_{\Pi}(M)) = \operatorname{sym}_{\Pi}(\vec{B}(M))

  Dans le plan de coupe (qui est lui-même un plan de symétrie du champ), cela se traduit par une symétrie miroir par rapport à l'axe vertical Oz, très nettement visible sur les deux cartes.

• Symétrie par rapport au plan horizontal médian z = 0 :

  • Pour la bobine plate, les spires sont situées dans le plan z = 0. Le vecteur courant \vec{\jmath} est contenu dans ce plan, donc le plan z = 0 est un plan de symétrie pour les courants (\Pi_s).
  • Pour le solénoïde de longueur \ell centré en z = 0, le plan médian z = 0 coupe le solénoïde en deux parties symétriques parcourues par des courants de même sens : c'est également un plan de symétrie pour les courants (\Pi_s).

  Un plan \Pi_s pour les courants est un plan d'antisymétrie pour le champ magnétique \vec{B} (\Pi_a) :

  \vec{B}(\operatorname{sym}_{z=0}(M)) = -\operatorname{sym}_{z=0}(\vec{B}(M))

  En composantes cylindriques, cela implique :

  B_z(r, -z) = B_z(r, z) \quad \text{et} \quad B_r(r, -z) = -B_r(r, z)

  Sur les cartes de champ, cette antisymétrie a deux conséquences directes :

  1. En z = 0, la composante radiale s'annule (B_r(r, 0) = 0) : les lignes de champ traversent le plan médian z = 0 orthogonalement.
  2. La pente des lignes de champ valant \frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}r} = \frac{B_z}{B_r}, elle est opposée en -z et en +z, ce qui confère au tracé géométrique des lignes de champ une invariance par réflexion par rapport à la droite horizontale z = 0.

Les deux cartes de champ présentent ainsi une double symétrie géométrique orthogonale (par rapport à l'axe vertical Oz et par rapport à l'axe horizontal z = 0).

1. Interprétation des observations topologiques

• Lignes de champ parallèles : la direction du champ magnétique \vec{B} est constante dans toute la section intérieure du solénoïde, orientée selon l'axe longitudinal \vec{u}_z.
• Lignes de champ qui se resserrent : la densité spatiale des lignes de champ est reliée à la norme du champ magnétique. Le fort resserrement des lignes à l'intérieur indique une intensité de champ \|\vec{B}\| nettement plus élevée qu'à l'extérieur. De plus, leur espacement régulier et leur parallélisme traduisent la quasi-uniformité du champ à l'intérieur du solénoïde.

2. Propriété relative au flux du champ \vec{B}

• D'après l'équation de Maxwell-Thomson \operatorname{div}\vec{B} = 0, le champ magnétique est à flux conservatif.

• Le flux de \vec{B} est donc constant à travers toute section droite d'un même tube de champ :

  \Phi = \iint_{S} \vec{B} \cdot \mathrm{d}\vec{S} = \text{cte}

  En ordre de grandeur, pour une section droite S d'un tube de champ, \Phi \approx B\,S.

• Le resserrement des lignes de champ au sein du solénoïde correspond à une diminution drastique de la section S du tube de champ : pour conserver le flux \Phi, la norme B doit nécessairement augmenter. Inversement, à l'extérieur, le même flux se reboucle à travers une aire infiniment plus grande, ce qui explique l'épanouissement des lignes et la faiblesse du champ extérieur.

La bobine émettrice, de résistance R_1 et d'inductance propre L_1, est modélisée par l'association en série de ces deux éléments. En adoptant la convention récepteur, la tension u_1(t) à ses bornes s'écrit :

Par définition, la puissance instantanée reçue par la bobine de la part du générateur est le produit de la tension à ses bornes par le courant qui la traverse :

En remplaçant l'expression de la tension, on obtient :

Le courant étant sinusoïdal de la forme i(t) = I_0 \cos(\omega t), sa dérivée temporelle est :

Le second terme de la puissance instantanée se réécrit comme la dérivée de l'énergie magnétique emmagasinée :

En prenant la moyenne temporelle sur une période T = \frac{2\pi}{\omega} :

• La moyenne de la dérivée d'une fonction périodique est nulle : \left\langle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\frac{1}{2}L_1 i^2\right) \right\rangle = 0 (car \langle \sin(2\omega t) \rangle = 0) ;
• Pour le terme ohmique dissipatif : \langle \cos^2(\omega t) \rangle = \frac{1}{2}, d'où \langle i^2(t) \rangle = \frac{1}{2} I_0^2.

On en déduit la puissance moyenne reçue :

La bobine réceptrice est située à la cote z = d. D'après l'énoncé, le champ magnétique créé par la bobine émettrice est supposé uniforme dans le plan de la bobine réceptrice et égal à sa valeur sur l'axe Oz :

En orientant la normale aux spires de la bobine réceptrice selon \vec{u}_z, le flux magnétique à travers une spire circulaire de rayon b et de surface S = \pi b^2 s'écrit :

La bobine réceptrice étant constituée de N_2 spires identiques orientées dans le même sens, le flux total \Phi à travers l'ensemble des spires est donné par la somme des flux à travers chaque spire :

On en déduit l'expression du flux total :

Le courant i(t) traversant la bobine émettrice étant variable au cours du temps, le champ magnétique \vec{B}(t) qu'elle engendre varie également. La bobine réceptrice étant immobile dans un champ magnétique dépendant du temps, le phénomène mis en évidence est le phénomène d'induction électromagnétique (plus précisément l'induction de Neumann).

L'équation locale de Maxwell à l'origine de ce phénomène est l'équation de Maxwell-Faraday :

La loi régissant l'apparition d'une force électromotrice induite par variation de flux magnétique est la loi de Faraday (ou loi de Faraday-Lenz) :

où l'orientation de la f.é.m. e(t) est cohérente avec le sens de parcours du contour et la normale choisie pour le calcul du flux \Phi.

En négligeant le flux magnétique propre devant le flux extérieur créé par la bobine émettrice, le flux total à travers le récepteur se réduit à :

D'après le résultat de la question B2 et l'expression imposée du courant i(t) = I_0 \cos(\omega t) :

En dérivant cette expression par rapport au temps :

On en déduit l'expression de la f.é.m. induite e(t) :

La bobine réceptrice, fermée sur elle-même, est le siège de la force électromotrice induite e(t). La loi des mailles s'écrit :

En négligeant l'inductance propre L_2 devant la résistance (L_2 \omega \ll R_2), l'intensité induite s'obtient simplement par :

La puissance instantanée cédée par la fem au circuit récepteur (qui est également la puissance instantanée dissipée par effet Joule dans la résistance R_2) est donnée par :

En utilisant l'expression de la fem obtenue à la question B4 :

l'expression de la puissance instantanée devient :

En prenant la moyenne temporelle sur une période, sachant que \langle \sin^2(\omega t) \rangle = \frac{1}{2}, on obtient :

D'après l'énoncé, le rendement de transmission de puissance est défini par :

En utilisant les expressions obtenues aux questions précédentes :

• d'après la question B1 : \langle P_{\text{reçue}} \rangle = \dfrac{1}{2} R_1 I_0^2 ;
• d'après la question B5 : \langle P_{\text{géné}} \rangle = \dfrac{\mu_0^2 \pi^2 N_1^2 N_2^2 a^4 b^4 \omega^2 I_0^2}{8 R_2 \left(d^2 + a^2\right)^3}.

En effectuant le rapport des deux puissances moyennes, le terme en I_0^2 se simplifie :

On identifie ainsi l'expression cherchée :

Le facteur k = \dfrac{\pi^2}{4} \simeq 2{,}47 est bien un scalaire sans dimension.

Considérons deux circuits filiformes (1) et (2). En milieu linéaire non magnétique, le flux magnétique \Phi_{1\to 2} créé par le circuit (1) parcouru par un courant i_1 à travers le circuit (2) est proportionnel à l'intensité i_1 :

De même, le flux \Phi_{2\to 1} créé par le circuit (2) parcouru par i_2 à travers le circuit (1) s'écrit \Phi_{2\to 1} = M_{21} \, i_2. Le théorème de réciprocité assure l'égalité des coefficients :

Le coefficient M est l'inductance mutuelle (ou mutuelle inductance) des deux circuits. Il s'exprime par le quotient du flux envoyé par l'un des circuits à travers l'autre par l'intensité qui lui donne naissance :

L'inductance mutuelle a la même dimension qu'une inductance propre L. À partir de la loi de Faraday e = -M\,\frac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t}, et sachant qu'une tension s'exprime en \mathrm{V} = \mathrm{J}\cdot\mathrm{C}^{-1} = \mathrm{kg}\cdot\mathrm{m}^2\cdot\mathrm{s}^{-3}\cdot\mathrm{A}^{-1}, on en déduit la dimension de M :

Son unité dans le Système international est le henry (\mathrm{H}), équivalent à un \mathrm{Wb}\cdot\mathrm{A}^{-1} ou un \mathrm{V}\cdot\mathrm{s}\cdot\mathrm{A}^{-1}.

Orientons les deux mailles dans le sens horaire, en cohérence avec le sens de parcours des intensités i_1(t) et i_2(t) sur la figure 7.

Le flux magnétique total embrassé par chaque circuit s'écrit :

En convention récepteur pour les bobines, la tension aux bornes de chaque enroulement découle de la loi de Faraday (u_L = -\ e_{\text{ind}} = \frac{\mathrm{d}\Phi}{\mathrm{d}t}) :

Appliquons la loi des mailles à chacun des deux circuits :

• Circuit primaire (1) :

  E - R_1 i_1 - u_{L_1} = 0 \implies E = R_1 i_1 + L_1 \frac{\mathrm{d}i_1}{\mathrm{d}t} + M \frac{\mathrm{d}i_2}{\mathrm{d}t}

• Circuit secondaire (2) :

  - u_{L_2} - R_2 i_2 = 0 \implies 0 = R_2 i_2 + L_2 \frac{\mathrm{d}i_2}{\mathrm{d}t} + M \frac{\mathrm{d}i_1}{\mathrm{d}t}

Le système d'équations électriques couplées vérifiées par i_1(t) et i_2(t) s'écrit donc :

D'après la question Q-C2, les lois des mailles s'écrivent :

En multipliant l'équation (1) par i_1 et l'équation (2) par i_2, puis en les sommant membre à membre, on obtient :

On reconnaît des dérivées de produits :

Le bilan s'écrit donc bien sous la forme :

avec l'énergie magnétique totale du système :

Interprétation du bilan de puissance :

• E i_1 représente la puissance électrique instantanée fournie par la source de tension E au circuit primaire ;
• R_1 i_1^2 + R_2 i_2^2 représente la puissance totale dissipée par effet Joule dans les résistances des deux circuits ;
• \dfrac{\mathrm{d}\mathcal{E}_{\mathrm{mag}}}{\mathrm{d}t} représente le taux de variation temporelle de l'énergie stockée sous forme magnétique dans l'ensemble des deux bobines en interaction.

D'après la question C3, l'énergie magnétique stockée dans le système de deux bobines couplées s'écrit :

En factorisant par \dfrac{1}{2} i_2^2 (en supposant i_2 \neq 0), il vient :

En introduisant la variable adimensionnée x = \dfrac{i_1}{i_2}, on obtient la forme requise :

avec :

D'après la question C4, pour tout couple de courants (i_1, i_2) avec i_2 \neq 0, l'énergie magnétique s'écrit :

Puisque \mathcal{E}_{\mathrm{mag}} \ge 0 pour tous courants i_1 et i_2, et que i_2^2 > 0, le trinôme du second degré P(x) doit être positif ou nul pour tout x \in \mathbb{R} :

Le coefficient du terme de plus haut degré est l'inductance propre L_1, strictement positive pour un bobinage réel (L_1 > 0). Pour qu'un polynôme de degré 2 garde un signe positif ou nul sur tout \mathbb{R}, il est nécessaire et suffisant que son discriminant réduit \Delta' soit négatif ou nul :

Comme les inductances propres L_1 et L_2 sont positives, on en déduit :

L'inductance mutuelle vérifie donc bien une majoration de la forme M \le M_{\mathrm{max}}, avec :

Le couplage par mutuelle induction intervient dans de nombreux dispositifs technologiques et industriels :

1. Le transformateur électrique (distribution d'énergie et électronique de puissance) :

   • Description et principe : Deux bobinages (primaire et secondaire) sont enroulés autour d'un même circuit magnétique fermé en matériau ferromagnétique doux feuilleté. Le circuit magnétique canalise les lignes de champ, assurant un coefficient de couplage très proche de l'unité (k \approx 1). Une tension alternative appliquée au primaire crée un flux magnétique alternatif qui induit, par mutuelle inductance, une force électromotrice aux bornes du secondaire proportionnelle au rapport du nombre de spires (u_2/u_1 \approx N_2/N_1).
   • Utilité : Il permet d'élever la tension pour le transport de l'électricité sur de longues distances (lignes Très Haute Tension), ce qui minimise les pertes par effet Joule en ligne (\mathcal{P}_{\text{J}} \propto I^2), puis de l'abaisser pour une utilisation industrielle ou domestique sécurisée, tout en assurant une isolation galvanique entre circuits.

2. Les systèmes d'identification sans contact RFID et NFC (badges d'accès, cartes de transport, paiement sans contact) :

   • Description et principe : Un lecteur émet un champ magnétique haute fréquence (typiquement 13{,}56\text{ MHz} pour le NFC) via une bobine primaire. Lorsqu'un badge ou une carte passive s'approche à quelques centimètres, sa propre boucle conductrice intercepte ce flux magnétique variable. Par induction mutuelle, une tension induite apparaît aux bornes de la bobine du récepteur.
   • Utilité : Cette tension est d'abord redressée pour télé-alimenter la puce électronique du badge sans aucune pile intégrée, puis la puce module sa propre impédance (rétromodulation de charge), ce qui perturbe par mutuelle induction le courant dans la bobine lectrice et permet l'échange sécurisé de données à courte distance.

Par lecture graphique sur la courbe de la figure 9 représentant l'évolution du rendement en fonction de la fréquence :

• le maximum de la courbe est atteint pour une fréquence :

  \boxed{f_{\mathrm{max}} \simeq 14 \text{ à } 15\text{ kHz}}

• la valeur du rendement maximal correspondant se situe à :

  \boxed{\eta_{\mathrm{max}} \simeq 0{,}074 \quad (\text{soit } 7{,}4\,\%)}

  Compte tenu des barres d'erreur expérimentales, toute valeur comprise entre 0{,}070 et 0{,}076 est acceptable.

D'après la loi théorique de Yates établie à la question B6 :

avec \omega = 2\pi f, les autres grandeurs étant maintenues constantes. On prévoyait donc une croissance parabolique stricte du rendement avec la fréquence :

ce qui conduirait théoriquement à une valeur non bornée de \eta lorsque la fréquence augmente.

La comparaison avec la courbe expérimentale (figure 9) montre que :

• À basses fréquences (f \lesssim 10\text{ kHz}) : le rendement croît de façon monotone et convexe avec la fréquence, ce qui est en bon accord qualitatif avec la loi en f^2 prévue par le modèle.
• À hautes fréquences (f > f_{\max} \simeq 15\text{ kHz}) : le rendement atteint un maximum puis décroît continûment jusqu'à environ 0{,}046 à 50\text{ kHz}.

Le comportement théorique de Yates n'est donc pas vérifié à hautes fréquences.

Considérons un circuit oscillant idéal constitué d'une bobine d'inductance L et d'un condensateur de capacité C connectés en série. La loi des mailles s'écrit :

Sachant que i(t) = \frac{\mathrm{d}q}{\mathrm{d}t}, on obtient l'équation différentielle d'un oscillateur harmonique non amorti :

Par identification avec la forme canonique \frac{\mathrm{d}^2 q}{\mathrm{d}t^2} + \omega_0^2\, q(t) = 0, la pulsation propre \omega_0 du circuit s'exprime par :

D'après l'hypothèse de l'énoncé, le maximum de rendement est atteint lorsque la pulsation imposée coïncide avec la pulsation propre du circuit :

En élevant au carré et en isolant la capacité parasite C_{\mathrm{p}}, on obtient l'expression littérale :

À la question D1, la fréquence expérimentale au sommet de la courbe a été estimée à f_{\mathrm{max}} \simeq 14{,}5\text{ kHz} (ou dans l'intervalle [14\text{ kHz} \,;\, 15\text{ kHz}]). Avec L = 0{,}86\text{ mH} = 0{,}86 \times 10^{-3}\text{ H} :

Compte tenu de l'incertitude de lecture sur f_{\mathrm{max}} (entre 14\text{ kHz} et 15\text{ kHz}), on obtient :

1. Interprétation de l'évolution observée :

   Pour un écartement longitudinal d fixé, le rendement \eta décroît de façon monotone et marquée lorsque la distance à l'axe (désalignement transversal) augmente, jusqu'à devenir quasi nul pour un décalage d'environ 8\text{ cm}.

   Physiquement, le transfert d'énergie repose sur le flux magnétique \Phi créé par la bobine émettrice à travers la bobine réceptrice. D'après l'étude de la bobine plate (question A8 et figure 5), le champ magnétique \vec{B} est maximal sur l'axe de symétrie et décroît radialement à mesure que l'on s'en éloigne. Lorsque le récepteur est désaligné, il intercepte une zone où l'intensité du champ magnétique est plus faible et où les lignes de champ commencent à s'incurver (pouvant même traverser la spire en sens inverse sur les bords), ce qui entraîne une diminution drastique du flux embrassé \Phi, de la f.é.m. induite, et par suite du rendement.

2. Influence de l'écartement d sur la chute de rendement :

   L'effondrement du rendement avec le désalignement est beaucoup plus brutal à faible distance (d = 5\text{ cm}) qu'à plus grande distance (d = 7\text{ cm}) :

   • À petite distance (d = 5\text{ cm}), le champ magnétique est très intense près de l'axe mais fortement concentré spatialement : le gradient radial de champ magnétique \left|\frac{\partial B_z}{\partial r}\right| est très élevé. Dès que l'on décale légèrement la bobine réceptrice, celle-ci sort immédiatement du « faisceau » étroit de champ intense, d'où une chute très abrupte du rendement.
   • À plus grande distance (d = 7\text{ cm}), les lignes de champ se sont évasées (divergence spatiale du champ dipolaire). Le champ axial est plus faible (le rendement à l'alignement r=0 est plus bas), mais sa répartition spatiale transverse est plus étalée et homogène. La variation radiale du flux est donc plus progressive, ce qui atténue la pente de décroissance du rendement.

1. Commentaire des résultats expérimentaux (figure 11) :

• Pour une distance d fixée (10\text{ cm} ou 13\text{ cm}), le rendement \eta ne diminue que très faiblement lorsque l'angle d'inclinaison relative entre les bobines passe de 0^\circ à 90^\circ (baisse relative inférieure à 20\,\% à 30\,\%, passant d'environ 0{,}0070 à 0{,}0058 pour d = 10\text{ cm}).
• Le rendement ne s'annule absolument pas à 90^\circ, contrairement à ce que prédirait un modèle simpliste où le champ magnétique serait purement axial uniforme (\Phi \propto \cos\theta).
• L'écartement longitudinal d reste le paramètre prépondérant : le rendement est divisé par un facteur d'environ 3 entre d = 10\text{ cm} et d = 13\text{ cm}.

2. Justification qualitative et contraste avec la question D5 :

• Cas du désalignement latéral (D5) : comme l'illustre la carte de champ de la bobine plate (figure 5, à droite), les lignes de champ sont très denses sur l'axe et bouclent rapidement autour des spires. En translatant la bobine réceptrice perpendiculairement à l'axe, celle-ci quitte rapidement la zone de fort champ et intercepte des lignes de champ de sens opposé, ce qui entraîne une chute drastique du flux net et l'effondrement du rendement.
• Cas de la rotation angulaire (D6) : la bobine réceptrice reste centrée au même endroit de l'axe, où la norme du champ magnétique \|\vec{B}\| reste du même ordre de grandeur. De plus, les lignes de champ de la bobine plate sont fortement divergentes et incurvées (allure dipolaire) : elles possèdent des composantes axiale et radiale comparables en dehors de l'axe strict. Ainsi, quelle que soit son inclinaison, la surface de la bobine secondaire continue d'intercepter une quantité notable de lignes de champ. Le flux net varie donc très peu avec l'angle.

Lorsque les deux bobines sont infiniment éloignées l'une de l'autre, le champ magnétique créé par l'une n'atteint plus l'autre : le flux mutuel s'annule, donc l'inductance mutuelle tend vers zéro (M \to 0). Puisque k = M/M_{\max}, on attend à cette limite :

D'après l'expression fournie de la fonction de transfert en sortie ouverte :

Pour k = 0, le numérateur est nul tandis que le dénominateur reste non nul pour toute pulsation \omega > 0. On a donc \underline{H} = 0, d'où :

Aucune tension n'apparaît aux bornes du circuit secondaire.

Vérifions ce résultat à l'aide du circuit équivalent (figure 12) :

• pour k = 0, l'inductance de la branche parallèle centrale vaut kL = 0. Son impédance \underline{Z}_{\text{shunt}} = \mathrm{j}\omega(kL) est donc nulle, ce qui équivaut à un court-circuit reliant le conducteur supérieur au conducteur inférieur de référence ;

• ce court-circuit impose une d.d.p. nulle à l'entrée de la partie secondaire du circuit. La boucle secondaire n'est alors soumise à aucune source de tension : en sortie ouverte, aucun courant ne circule dans l'impédance série secondaire ((1-k)L + R) ni dans le condensateur C, ce qui confirme immédiatement que :

  \underline{v}_2 = 0

À basse fréquence, c'est-à-dire pour \omega \to 0 :

• l'impédance d'un condensateur tend vers l'infini : \underline{Z}_C = \frac{1}{\mathrm{j}C\omega} \to \infty, il se comporte comme un interrupteur ouvert (ou coupe-circuit) ;
• l'impédance d'une bobine tend vers zéro : \underline{Z}_L = \mathrm{j}L_{\text{éq}}\omega \to 0, elle se comporte comme un court-circuit (ou fil conducteur).

Les condensateurs sont donc omis du schéma (branches ouvertes ne dérivant aucun courant), et toutes les inductances sont remplacées par des fils parfaits.

Sur ce circuit équivalent :

• L'inductance mutuelle de liaison modélisée par la branche centrale parallèle d'inductance kL devient un court-circuit reliant directement le rail supérieur au potentiel de référence. La tension aux bornes de cette branche centrale est donc strictement nulle.
• Le secondaire étant en sortie ouverte, aucun courant ne circule dans la partie droite du montage (i_2 = 0). Il n'y a donc aucune chute de tension aux bornes de la résistance R du secondaire.

On en déduit immédiatement la valeur asymptotique de la tension de sortie :

Vérifions la cohérence avec l'expression de la fonction de transfert :

Lorsque \omega \to 0, le numérateur tend vers 0 tandis que le dénominateur tend vers la constante finie et non nulle R (R = 10\ \Omega) :

Ce résultat est parfaitement cohérent avec l'analyse du schéma équivalent aux basses fréquences.

1. Étude théorique à partir de l'expression de \underline{H} : La fonction de transfert s'écrit :

• À basse fréquence (\omega \to 0) : Le dénominateur est dominé par le terme constant non nul R. On obtient :

  \underline{H} \underset{\omega \to 0}{\sim} \frac{\mathrm{j}\omega L k}{R} \implies |\underline{H}| \underset{\omega \to 0}{\sim} \frac{L k}{R}\,\omega

  Le gain en décibels s'écrit alors :

  G_{\mathrm{dB}} = 20\log |\underline{H}| \underset{\omega \to 0}{\sim} 20\log\left(\frac{2\pi L k}{R}\right) + 20\log f

  La pente théorique à basse fréquence est donc :

  \boxed{p_{\mathrm{BF, th}} = +20\text{ dB/décade}}

• À haute fréquence (\omega \to \infty) : Comme k = 0{,}01 \neq 1, k^2 - 1 \neq 0 et le dénominateur est dominé par le terme de plus haut degré en pulsation, \mathrm{j}\omega^3 C L^2(k^2 - 1). Il vient :

  \underline{H} \underset{\omega \to \infty}{\sim} \frac{\mathrm{j}\omega L k}{\mathrm{j}\omega^3 C L^2(k^2 - 1)} = \frac{k}{C L (k^2 - 1)\,\omega^2} \implies |\underline{H}| \underset{\omega \to \infty}{\sim} \frac{k}{|k^2 - 1|\,C L\,\omega^2}

  Le gain en décibels s'exprime par :

  G_{\mathrm{dB}} \underset{\omega \to \infty}{\sim} 20\log\left(\frac{k}{4\pi^2 |k^2 - 1|\,C L}\right) - 40\log f

  La pente théorique à haute fréquence est donc :

  \boxed{p_{\mathrm{HF, th}} = -40\text{ dB/décade}}

2. Mesure des pentes sur le diagramme de Bode (figure 13) :

• À basse fréquence : Pour une décade choisie entre f_1 = 10^2\text{ Hz} et f_2 = 10^3\text{ Hz}, on lit :

  \begin{aligned} G_{\mathrm{dB}}(10^2\text{ Hz}) &\simeq -65\text{ dB} \\ G_{\mathrm{dB}}(10^3\text{ Hz}) &\simeq -45\text{ dB} \end{aligned}

  La variation de gain sur une décade vaut :

  \boxed{p_{\mathrm{BF, exp}} = \frac{-45 - (-65)}{\log_{10}(10^3/10^2)} \simeq +20\text{ dB/décade}}

• À haute fréquence : Sur la décade comprise entre f_3 = 10^5\text{ Hz} et f_4 = 10^6\text{ Hz}, on lit :

  \begin{aligned} G_{\mathrm{dB}}(10^5\text{ Hz}) &\simeq -54\text{ dB} \\ G_{\mathrm{dB}}(10^6\text{ Hz}) &\simeq -94\text{ dB} \end{aligned}

  La variation de gain sur cette décade donne :

  \boxed{p_{\mathrm{HF, exp}} = \frac{-94 - (-54)}{\log_{10}(10^6/10^5)} \simeq -40\text{ dB/décade}}

Conclusion : Les pentes mesurées sur le diagramme de Bode coïncident parfaitement avec les pentes déduites de l'expression théorique de \underline{H}. Le filtre se comporte globalement comme un filtre passe-bande d'ordre 1 à basse fréquence et d'ordre 2 à haute fréquence.

L'expression de la fonction de transfert simplifiée est :

On souhaite l'identifier à la forme canonique :

Par identification immédiate :

• Au numérateur :

  H_0 = k

• Pour le terme en \omega^2 au dénominateur :

  \left(\frac{\omega}{\omega_0}\right)^2 = \omega^2 LC \implies \frac{1}{\omega_0^2} = LC \implies \omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}

• Pour le terme en \mathrm{j}\omega au dénominateur :

  \frac{\omega}{Q\omega_0} = \omega RC \implies \frac{1}{Q} = R C \omega_0 = RC \frac{1}{\sqrt{LC}} = R\sqrt{\frac{C}{L}}

  ce qui donne :

  Q = \frac{1}{R}\sqrt{\frac{L}{C}}

On obtient finalement les paramètres suivants :

D'après la question E4, la fonction de transfert simplifiée s'écrit sous la forme canonique :

En posant la pulsation réduite u = \omega/\omega_0, le gain s'exprime par :

Le gain |\underline{H}| est maximal lorsque le polynôme sous la racine au dénominateur, noté D(u^2) = (1 - u^2)^2 + \dfrac{u^2}{Q^2}, est minimal. En posant X = u^2 \ge 0 :

La dérivée s'annule pour :

La condition d'existence d'une résonance en gain (X_{\mathrm{r}} > 0) est Q > \dfrac{1}{\sqrt{2}}.

La pulsation de résonance s'écrit alors :

et la fréquence de résonance associée est :

Calculons numériquement le facteur de qualité Q et la fréquence propre f_0 :

Comme Q \gg \dfrac{1}{\sqrt{2}}, le terme correctif vaut :

On en déduit donc avec une excellente approximation :

Commentaires :

• La condition Q \gg 1/\sqrt{2} est largement vérifiée : le système présente une résonance aiguë et très marquée, visible sur la figure 13 par un pic très fin qui culmine à une fréquence située très légèrement au-dessus de 3 \times 10^4\text{ Hz}, en parfait accord avec 31{,}3\text{ kHz}.
• La quasi-égalité entre f_{\mathrm{r}} et f_0 justifie d'assimiler dans la pratique la fréquence de résonance à la fréquence propre f_0 du résonateur LC.

D'après l'expression établie à la question E5 :

la fréquence de résonance ne dépend que des caractéristiques propres des composants constitutifs (L, C et R). Elle est donc indépendante du coefficient de couplage k (dans le cadre de l'approximation du couplage lâche k \ll 1).

Dans le cas d'un récepteur mobile (téléphone en cours d'utilisation sur un socle, véhicule électrique en mouvement, implant médical) :

• la distance d, l'alignement et l'orientation relative des deux bobines varient au cours du temps, ce qui entraîne une modification continue de l'inductance mutuelle M et donc du coefficient de couplage k ;
• l'indépendance de f_{\mathrm{r}} vis-à-vis de k garantit que la condition de résonance reste satisfaite à une fréquence d'alimentation fixe, imposée par le générateur (f = f_{\mathrm{r}}) ;
• il n'est donc pas nécessaire d'implémenter un système asservi complexe de poursuite de fréquence (auto-tuning) pour adapter en temps réel la fréquence de travail aux déplacements du récepteur.

Sur la courbe de gain expérimental de la figure 15, l'abscisse du maximum de résonance est directement repérée :

D'après la question E5, la valeur théorique attendue est :

L'écart relatif entre ces deux grandeurs s'écrit :

L'accord est très satisfaisant (écart inférieur à 10\,\%) pour une manipulation de travaux pratiques. Cet écart s'explique essentiellement par :

• les tolérances de fabrication des composants utilisés (notamment la capacité nominale C et l'inductance L, qui présentent couramment une incertitude de 5 à 10\,\%) ;
• les approximations introduites dans la modélisation (fonction de transfert simplifiée négligeant certains termes couplés dépendant de k).

D'après le diagramme de Bode en gain expérimental (figure 15), le sommet de la courbe de résonance atteint la ligne horizontale en pointillés repérée à l'ordonnée :

On en déduit la valeur du gain maximal :

D'après l'expression canonique obtenue à la question E4 :

Pour un facteur de qualité élevé (Q \gg 1/\sqrt{2}), la résonance est aiguë et a lieu à une pulsation très proche de la pulsation propre (\omega_{\mathrm{r}} \simeq \omega_0). Le gain à la résonance s'écrit alors :

En utilisant la valeur du facteur de qualité théorique déterminée à la question E5, soit Q = \frac{1}{R}\sqrt{\frac{L}{C}} \simeq 16{,}9 :

On constate que :

L'hypothèse d'un couplage faible (k \ll 1) introduite dans la sous-partie E est donc parfaitement validée.

Pour un système du second ordre présentant une résonance aiguë (Q \gg 1/\sqrt{2}), le facteur de qualité est relié à la largeur de bande passante à -3\text{ dB} par :

où f_1 et f_2 désignent les fréquences pour lesquelles le gain en décibels chute de 3\text{ dB} par rapport à sa valeur maximale :

D'après la figure 15 :

• le maximum de gain vaut G_{\mathrm{dB, max}} \simeq -6\text{ dB}, atteint pour f_{\mathrm{r}} \simeq 34{,}0\text{ kHz} ;

• le niveau à -3\text{ dB} sous le maximum correspond à une ordonnée de :

  G_{\mathrm{dB}} = -6 - 3 = -9\text{ dB}

• l'intersection de la ligne à -9\text{ dB} avec la courbe expérimentale fournit les fréquences de coupure :

  f_1 \simeq 31{,}5\text{ kHz} \quad \text{et} \quad f_2 \simeq 36{,}5\text{ kHz}

La bande passante à -3\text{ dB} vaut donc :

On en déduit l'estimation expérimentale du facteur de qualité :

Compte tenu de la précision des lectures graphiques sur échelle logarithmique, on retiendra :

Comparaison avec l'expression théorique : D'après la question E4 (et l'application numérique de la question E5) :

On constate que la valeur expérimentale est significativement inférieure à la prédiction théorique (Q_{\text{exp}} \approx 7 < Q_{\mathrm{th}} \approx 17).

Cet écart s'explique par le fait que le modèle théorique ne prend en compte que la résistance nominale R = 10\ \Omega. En pratique, d'autres sources de dissipation d'énergie sont présentes :

• la résistance interne ohmique propre des enroulements des bobines (non négligeable devant 10\ \Omega) ;
• la résistance interne de sortie du générateur ou de l'amplificateur de courant ;
• d'éventuelles pertes diélectriques au sein des condensateurs.

La résistance totale équivalente du circuit R_{\mathrm{tot}} étant supérieure à R, le facteur de qualité réel Q \propto 1/R_{\mathrm{tot}} est plus faible et la résonance se trouve amortie et élargie.

Sur la figure 16, la courbe correspondant au couplage résonant présente un pic très marqué.

L'axe des ordonnées présente des graduations principales espacées de 0{,}05. Le sommet de la courbe se situe légèrement au-dessus de la ligne 0{,}20, à une fréquence voisine de 38\text{ kHz}. On estime ainsi :

(une lecture comprise entre 0{,}21 et 0{,}23 est tout à fait acceptable).

Commentaires :

• Gain de rendement important : En couplage résonant, le rendement maximal atteint environ 22\,\%, alors qu'il n'était que d'environ 7{,}4\,\% en régime non résonant (question D1). L'apport de la résonance permet ainsi de tripler l'efficacité du transfert de puissance à distance fixée.
• Origine physique : À la résonance, l'effet inductif des bobines est compensé par les condensateurs insérés (L\omega \approx 1/(C\omega)), ce qui permet une forte surtension et une circulation de courant accrue au récepteur, maximisant la puissance transmise.
• Sélectivité fréquentielle : Le pic de résonance est nettement plus pointu que l'optimum large observé en régime non résonant. Un transfert efficace n'est donc possible que sur une bande de fréquence étroite centrée autour de la fréquence de résonance.

1. Caractère déterminant de la fréquence de travail :

   Oui, le choix de la fréquence de travail est absolument déterminant. Comme le montre la courbe de couplage résonant de la figure 16, le rendement présente un pic très étroit centré sur la résonance (f \simeq 38\text{ kHz}). Un écart de seulement quelques kilohertz autour de cette valeur entraîne un effondrement du rendement, qui retombe aux faibles valeurs observées en régime non résonant. Pour maximiser la puissance transmise, la fréquence du générateur doit donc être calée avec précision sur la fréquence propre du système :

   f \simeq f_0 = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}.

2. Choix des paramètres R, L et C pour optimiser le transfert :

   • Résistance R : Elle doit être la plus faible possible. En effet, les pertes par effet Joule dans les bobines s'en trouvent minimisées, et le facteur de qualité

     Q = \frac{1}{R}\sqrt{\frac{L}{C}}

     est alors maximal, ce qui accentue la surtension et la circulation des courants résonants.

   • Produit LC : Il est contraint par la fréquence de fonctionnement souhaitée f_0 selon la relation LC = \frac{1}{4\pi^2 f_0^2}.
   • Rapport L/C : À fréquence propre fixée (produit LC donné), l'expression du facteur de qualité montre qu'il convient de maximiser l'inductance L et de minimiser la capacité C (rapport L/C le plus élevé possible). Une forte inductance favorise en outre le couplage magnétique mutuel M.

Ces dispositifs visent à pallier la décroissance rapide du champ magnétique avec la distance et les fuites de flux :

1. Intérêt d'un noyau ferromagnétique :

   • Canalisation et concentration du flux : grâce à sa perméabilité magnétique relative très élevée (\mu_{\mathrm{r}} \gg 1), le matériau ferromagnétique canalise les lignes de champ magnétique de l'émetteur vers le récepteur en réduisant les fuites dans l'air.
   • Augmentation du couplage : l'inductance mutuelle M et le coefficient de couplage k = M/\sqrt{L_1 L_2} augmentent significativement, ce qui accroît le rendement de transfert \eta sans nécessiter l'augmentation du nombre de spires (ce qui évite d'augmenter la résistance ohmique R).
   • Blindage et sécurité : le confinement du champ limite le rayonnement parasite dans l'environnement immédiat.

2. Intérêt d'une chaîne de résonateurs en ligne (répéteurs résonants) :

   • Accroissement notable de la distance de transmission : le champ proche d'une bobine isolée décroît très vite (en 1/d^3). En intercalant des résonateurs intermédiaires couplés de proche en proche à la même fréquence propre \omega_0, l'énergie est relayée d'un résonateur au suivant. La décroissance globale du rendement avec la distance totale devient quasi linéaire au lieu d'être fortement puissance.
   • Guidage du transfert d'énergie : l'agencement spatial des répéteurs permet de contourner des obstacles matériels et de diriger les flux d'énergie le long de trajectoires non rectilignes.

Une hélice de rayon r, de hauteur h et comportant n spires possède un pas vertical p = h/n. En développant un tour de l'hélice dans un plan, la longueur d'une spire correspond à l'hypoténuse d'un triangle rectangle de côtés 2\pi r et p. La longueur totale \ell du fil vaut donc :

Avec n = 5{,}25, r = 0{,}30\text{ m} et h = 0{,}20\text{ m} :

Comme h \ll 2\pi n r, la hauteur est tout à fait négligeable devant le développement circonférentiel :

À la résonance, la fréquence vaut f = 9{,}90\text{ MHz}, soit une pulsation :

L'expression de la résistance ohmique donnée par l'énoncé est :

Avec \mu_0 = 4\pi \cdot 10^{-7}\text{ H}\cdot\text{m}^{-1}, \sigma = 5{,}9 \cdot 10^7\ \Omega^{-1}\cdot\text{m}^{-1} et a = 3\text{ mm} = 3 \cdot 10^{-3}\text{ m} :

On en déduit :

L'effet responsable de la dépendance de la résistance avec la pulsation \omega est l'effet de peau (ou effet pelliculaire). À haute fréquence, les courants de Foucault induits à l'intérieur du conducteur s'opposent aux variations du champ et confinent la densité volumique de courant \vec{\jmath} au voisinage immédiat de la surface.

Supposons que l'épaisseur de peau \delta soit petite devant le rayon du fil (\delta \ll a). Le courant circule alors principalement dans une fine couronne périphérique d'épaisseur caractéristique \delta et de rayon a. La section efficace de conduction est assimilable à l'aire de cette couronne :

La résistance électrique d'un fil de longueur \ell, de section S_{\mathrm{eff}} et de conductivité \sigma s'écrit d'après la loi d'Ohm macroscopique :

En utilisant l'expression fournie dans les données de l'énoncé pour l'épaisseur de peau, \delta = \sqrt{\dfrac{2}{\mu_0 \sigma \omega}} :

À un facteur 2 près (dû à la décroissance exponentielle réelle de la densité de courant dans le cylindre), on retrouve bien la dépendance de l'expression de R_0 :

La distance caractéristique régissant la pénétration des champs électromagnétiques et des courants dans un conducteur ohmique est l'épaisseur de peau \delta, dont l'expression est rappelée dans les données :

avec \omega = 2\pi f.

À la fréquence de résonance f = 9{,}90\text{ MHz} = 9{,}90 \times 10^6\text{ Hz}, avec \mu_0 = 4\pi \times 10^{-7}\text{ H}\cdot\text{m}^{-1} et \sigma = 5{,}9 \times 10^7\ \Omega^{-1}\cdot\text{m}^{-1} :

Comparons cette épaisseur de peau au rayon du fil a = 3\text{ mm} = 3 \times 10^{-3}\text{ m} :

Puisque \delta \ll a, la densité de courant est confinée dans une pellicule superficielle extrêmement mince devant la section totale du conducteur. Le cœur du fil ne participe pratiquement plus à la conduction.

D'après la question E4, le facteur de qualité d'un oscillateur RLC série vaut :