Corrigé détaillé CCINP Physique MP 2022

L'expression « très éloigné » signifie que le point d'observation M vérifie deux conditions :

1. L'approximation dipolaire (source quasi-ponctuelle) :

   r \gg d

   La distance d'observation est très grande devant les dimensions de la source.

2. La zone de rayonnement (ou zone d'onde) :

   r \gg \lambda = \frac{2\pi c}{\omega} \quad \left(\text{ou } r \gg \frac{c}{\omega}\right)

   La distance est très grande devant la longueur d'onde du rayonnement émis.

Dans le cadre de l'approximation dipolaire non relativiste, la source vérifie d \ll \lambda, de sorte que l'ensemble des conditions s'écrit :

Dans cette région, les composantes de champ décroissant en 1/r^2 (champ d'induction) et 1/r^3 (champ quasi-statique) sont négligeables devant la composante de rayonnement en 1/r.

Le dipôle oscillant est constitué de charges et de courants localisés sur l'axe (Oz), le courant étant orienté selon \vec{e}_z.

Considérons le point d'observation M(r, \theta, \phi) et le plan méridien \Pi_s = (M, \vec{e}_r, \vec{e}_\theta) qui contient l'axe (Oz) :

• L'axe (Oz) est entièrement inclus dans \Pi_s ; la distribution de charges \rho et la densité volumique de courant \vec{\jmath} = j_z \vec{e}_z sont donc contenues dans ce plan.
• Par conséquent, la réflexion par rapport au plan \Pi_s conserve les positions et laisse le vecteur densité de courant invariant (\vec{\jmath} \parallel \Pi_s). Le plan \Pi_s est donc un plan de symétrie pour la distribution de courants.

Le champ magnétique \vec{B} est un champ pseudovectoriel (vecteur axial). En tout point d'un plan de symétrie des courants, le champ magnétique est orthogonal à ce plan :

Le vecteur unitaire de la base sphérique directement orthogonal au plan (\vec{e}_r, \vec{e}_\theta) est \vec{e}_\phi (en effet, \vec{e}_r \wedge \vec{e}_\theta = \vec{e}_\phi). On en déduit :

Le champ magnétique est donc purement orthoradial, dirigé selon \vec{e}_\phi.

On dit que l'onde émise est localement plane pour les raisons suivantes :

1. Géométrie des surfaces d'onde :
   La phase de l'onde s'écrit \psi(r, t) = \omega\left(t - \frac{r}{c}\right). Les surfaces d'onde (surfaces à phase instantanée constante) sont des sphères concentriques de rayon r, se propageant dans la direction radiale \vec{u} = \vec{e}_r à la vitesse c. Dans la zone de rayonnement (r \gg \lambda), sur une dimension spatiale caractéristique de l'ordre de quelques longueurs d'onde \lambda, ces fronts d'onde sphériques sont assimilables à des plans tangents normaux à la direction de propagation \vec{e}_r. De plus, l'amplitude en 1/r varie de façon négligeable à cette échelle spatiale.

2. Structure des champs et transversalité :
   Les champs électrique et magnétique vérifient :

   \vec{E} \cdot \vec{e}_r = 0 \quad \text{et} \quad \vec{B} \cdot \vec{e}_r = 0

   L'onde est donc transverse. Le trièdre (\vec{e}_r, \vec{e}_\theta, \vec{e}_\phi) étant orthonormé direct, on a \vec{e}_r \wedge \vec{e}_\theta = \vec{e}_\phi.

3. Relation de structure entre \vec{E} et \vec{B} :
   En utilisant la relation \varepsilon_0 \mu_0 c^2 = 1, le rapport des amplitudes vaut :

   \frac{\|\vec{E}\|}{\|\vec{B}\|} = \frac{\frac{e d \omega^2}{4\pi\varepsilon_0 c^2}\frac{\sin\theta}{r}}{\frac{\mu_0 e d \omega^2}{4\pi c}\frac{\sin\theta}{r}} = \frac{1}{\varepsilon_0 \mu_0 c} = c

   On retrouve ainsi la relation fondamentale caractéristique d'une onde plane progressive dans le vide se propageant selon \vec{e}_r :

   \boxed{\vec{B} = \frac{\vec{e}_r \wedge \vec{E}}{c}}

Par définition, le vecteur de Poynting associé au champ électromagnétique dans le vide s'écrit :

Avec \vec{E} = E_\theta \vec{e}_\theta et \vec{B} = B_\phi \vec{e}_\phi, compte tenu de la relation de base sphérique directe \vec{e}_\theta \wedge \vec{e}_\phi = \vec{e}_r, le vecteur de Poynting est purement radial :

En injectant les expressions des champs données dans l'énoncé :

il vient :

soit finalement :

Soit \mathcal{S} la sphère de centre O et de rayon r (avec r \gg \lambda). L'élément de surface de cette sphère, orienté vers l'extérieur suivant la normale unitaire \vec{e}_r, s'écrit en coordonnées sphériques :

D'après le résultat de la question Q4, le vecteur de Poynting est purement radial :

Le flux instantané \Phi(t) de \vec{\Pi} sortant de la sphère \mathcal{S} s'exprime donc par :

L'intégration sur \phi donne immédiatement 2\pi. L'énoncé précise par ailleurs la valeur de l'intégrale angulaire :

Le facteur géométrique issu de l'intégration vaut donc :

En regroupant les termes, on obtient :

D'après le résultat de la question Q5, le flux instantané du vecteur de Poynting à travers la sphère de rayon r, correspondant à la puissance instantanée cédée par le dipôle au champ électromagnétique, s'écrit :

En prenant la moyenne temporelle sur une période et en utilisant la donnée \langle \cos^2 \rangle = \frac{1}{2}, la puissance moyenne rayonnée (c'est-à-dire l'énergie moyenne rayonnée par unité de temps) vaut :

Selon l'interprétation stricte du terme « énergie » :

• Si l'énoncé entend par « énergie moyenne temporelle rayonnée » le débit moyen d'énergie (puissance moyenne rayonnée par l'électron, reprise sous cette appellation en Q7) :

  \boxed{P_{\text{moy}} = \langle \Phi \rangle = \frac{e^2 d^2 \omega^4}{12 \pi \varepsilon_0 c^3}}

• Si l'énoncé demande l'énergie moyenne rayonnée par période T = \frac{2\pi}{\omega} :

  \mathcal{E}_T = \langle \Phi \rangle \times T = \frac{e^2 d^2 \omega^4}{12 \pi \varepsilon_0 c^3} \times \frac{2\pi}{\omega}
  \boxed{\mathcal{E}_T = \frac{e^2 d^2 \omega^3}{6 \varepsilon_0 c^3}}

a) Le mouvement de l'électron mobile le long de l'axe (Oz) est régi par :

Son accélération instantanée s'obtient par double dérivation par rapport au temps :

Le carré de la norme de l'accélération s'écrit alors :

En prenant la valeur moyenne temporelle sur une période, avec la donnée \langle \cos^2(\omega t) \rangle = \frac{1}{2} :

D'après la question Q6, la puissance moyenne rayonnée par le dipôle est :

En faisant apparaître la quantité \langle \vec{\gamma} \cdot \vec{\gamma} \rangle :

On obtient bien la forme annoncée :

b) Par identification, l'expression de la constante K_e est :

D'après la relation P_L = K_e \langle \gamma^2 \rangle, la dimension de K_e vérifie :

Or, une puissance est le quotient d'une énergie par un temps : [P_L] = \mathrm{M} \cdot \mathrm{L}^2 \cdot \mathrm{T}^{-3}.
Une accélération a pour dimension [\gamma] = \mathrm{L} \cdot \mathrm{T}^{-2}, d'où [\gamma]^2 = \mathrm{L}^2 \cdot \mathrm{T}^{-4}.
On en déduit :

La dimension de K_e est :

Dans le Système International d'unités, son unité est donc le :

a) Définition de la puissance instantanée

La puissance instantanée développée par la force de réaction de rayonnement \vec{f}_{\text{ray}} appliquée à l'électron animé d'une vitesse \vec{v}(t) = \frac{\mathrm{d}\overrightarrow{OP}}{\mathrm{d}t} dans le référentiel d'étude est donnée par le produit scalaire :

b) Valeur moyenne sur une période

Le mouvement forcé de l'électron le long de l'axe Oz est décrit par :

En dérivant successivement par rapport au temps :

La force de réaction de rayonnement s'écrit donc :

La puissance instantanée développée par cette force est alors :

Sachant que \langle \sin^2(\omega t) \rangle = \frac{1}{2}, la valeur moyenne temporelle sur une période T = \frac{2\pi}{\omega} vaut :

On étudie l'électron de masse m_e, assimilé à un point matériel P, dans le référentiel du laboratoire supposé galiléen.

Le mouvement étant rectiligne le long de l'axe Oz, le vecteur position s'écrit :

Par dérivations temporelles successives :

L'électron est soumis à deux forces :

• la force de rappel élastique : \vec{f}_{\text{rappel}} = -m_e\omega_0^2 z(t)\,\vec{e}_z ;
• la force de réaction de rayonnement (force d'Abraham-Lorentz) : \vec{f}_{\text{ray}} = K_e\frac{\mathrm{d}\vec{\gamma}}{\mathrm{d}t} = K_e\dddot{z}(t)\,\vec{e}_z.

D'après le principe fondamental de la dynamique :

En projetant sur le vecteur unitaire \vec{e}_z, on obtient :

En divisant par m_e et en posant \tau = \frac{K_e}{m_e}, on aboutit à l'équation différentielle du mouvement :

D'après la question Q9, l'équation différentielle du mouvement libre s'écrit :

avec \tau = \dfrac{K_e}{m_e}.

En cherchant une solution sous la forme complexe \underline{z}(t) = \underline{z}_0 \mathrm{e}^{i\Omega t}, les dérivées successives par rapport au temps sont :

En injectant ces expressions dans l'équation différentielle et en simplifiant par \underline{z}(t) \neq 0, on obtient la relation caractéristique liant \Omega, \omega_0 et \tau :

soit :

Remarque (justification de la solution approchée) :
En supposant la perturbation radiative très faible (\tau\omega_0 \ll 1), cherchons \Omega = \pm \omega_0 + i\delta avec |\delta| \ll \omega_0. Au premier ordre en \delta et en \tau :

L'équation caractéristique devient :

On retrouve bien la forme annoncée :

La solution complexe du mouvement libre s'écrit sous la forme :

En injectant l'expression de \Omega = \pm \omega_0 + \frac{i}{2\tau_0} donnée par l'énoncé, on obtient :

En prenant la partie réelle, la position de l'électron est de la forme :

L'amplitude du mouvement s'amortit donc exponentiellement au cours du temps avec un temps caractéristique égal à 2\tau_0.

L'énergie mécanique totale de l'oscillateur harmonique est proportionnelle au carré de l'amplitude :

Ainsi :

On l'appelle également durée de vie radiative de l'oscillateur.

1. Énoncé du théorème de Gauss :
Le flux du champ électrostatique \vec{E} à travers toute surface fermée \mathcal{S} orientée vers l'extérieur est égal au quotient de la charge électrique totale Q_{\text{int}} contenue à l'intérieur de cette surface par la permittivité diélectrique du vide \varepsilon_0 :

2. Symétries et forme du champ :
Le modèle de Thomson décrit le proton comme une boule sphérique de centre O, de rayon a_0, chargée uniformément de charge totale +e. Sa densité volumique de charge est :

• Tout plan contenant O et le point P est un plan de symétrie de la distribution de charge. Le champ électrostatique en P appartient à l'intersection de tous ces plans, il est donc radial : \vec{E}(P) = E(r)\,\vec{e}_r, où r = OP.
• La distribution est invariante par toute rotation autour du centre O, de sorte que l'amplitude E ne dépend que de la distance radiale r.

3. Calcul du champ électrostatique pour r = OP < a_0 :
On choisit pour surface de Gauss \mathcal{S} la sphère de centre O et de rayon r < a_0.

• Le flux de \vec{E} à travers \mathcal{S} s'écrit :

  \Phi = \oiint_{\mathcal{S}} E(r)\,\vec{e}_r \cdot \vec{e}_r\,\mathrm{d}S = E(r) \oiint_{\mathcal{S}} \mathrm{d}S = 4\pi r^2 E(r)

• La charge intérieure à la sphère de rayon r est :

  Q_{\text{int}} = \rho \times \frac{4}{3}\pi r^3 = e \left(\frac{r}{a_0}\right)^3

D'après le théorème de Gauss :

En introduisant le vecteur position \overrightarrow{OP} = r\,\vec{e}_r, le champ électrostatique auquel est soumis l'électron en P est :

a) Expression de la pulsation propre \omega_0

D'après le résultat de la question Q12, le champ électrostatique régnant à l'intérieur de la boule de Thomson (OP < a_0) est :

L'électron, de charge q = -e, subit la force de Coulomb :

Par identification avec la modélisation proposée \vec{f}_{\text{rappel}} = -m_e \omega_0^2 \overrightarrow{OP}, il vient :

soit finalement :

b) Évaluation numérique de la longueur d'onde et commentaire

La pulsation propre \omega_0 correspond à une onde électromagnétique de longueur d'onde dans le vide :

Calculons numériquement la pulsation \omega_0 à l'aide des données :

• e = 1{,}60 \cdot 10^{-19}\text{ C}
• \varepsilon_0 = 8{,}85 \cdot 10^{-12}\text{ F}\cdot\text{m}^{-1}
• m_e = 9{,}10 \cdot 10^{-31}\text{ kg}
• a_0 = 5{,}29 \cdot 10^{-11}\text{ m}

On en déduit la longueur d'onde associée avec c = 3{,}00 \cdot 10^8\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} :

Commentaires :

• D'après le spectre électromagnétique fourni en tête de sujet, cette longueur d'onde se situe dans l'ultraviolet lointain (ou extrême UV).
• L'énergie photonique associée vaut \hbar\omega_0 = 1{,}05 \cdot 10^{-34} \times 4{,}12 \cdot 10^{16}\text{ J} \approx 4{,}3 \cdot 10^{-18}\text{ J} \approx 27\text{ eV} = 2 R_Y. Elle est du même ordre de grandeur que l'énergie d'ionisation de l'atome d'hydrogène (R_Y = 13{,}6\text{ eV}) et que les transitions électroniques de la série de Lyman (qui s'étendent de 10{,}2\text{ eV} à 13{,}6\text{ eV}, soit entre 91\text{ nm} et 122\text{ nm}). Le modèle classique de Thomson fournit ainsi un ordre de grandeur très satisfaisant des fréquences optiques caractéristiques de l'atome d'hydrogène.

a) Équation du mouvement

On étudie l'électron (charge q = -e, masse m_e) dans le référentiel du laboratoire supposé galiléen. Le mouvement s'effectue le long de l'axe Oz, repéré par \overrightarrow{OP}(t) = z(t)\vec{e}_z.

L'électron est soumis à trois forces :

• la force de rappel : \vec{f}_{\text{rappel}} = -m_e \omega_0^2 z(t)\vec{e}_z ;
• la force de réaction de rayonnement : \vec{f}_{\text{ray}} = K_e \frac{\mathrm{d}\vec{\gamma}}{\mathrm{d}t} = K_e \dddot{z}(t)\vec{e}_z ;
• la force électrostatique due au champ extérieur : \vec{f}_{\text{ext}} = q\vec{E}_{\text{ext}} = -e E_0 \cos(\omega t)\vec{e}_z.

Le principe fondamental de la dynamique s'écrit :

En projetant sur l'axe Oz et en introduisant le temps caractéristique \tau = \frac{K_e}{m_e}, on obtient :

soit, sous forme canonique :

b) Solution forcée et accélération complexe

On adopte la notation complexe en associant au champ électrique le signal \underline{E}_{\text{ext}}(t) = E_0 \mathrm{e}^{i\omega t}. En régime forcé, on cherche la position sous la forme \underline{z}(t) = \underline{Z}_0 \mathrm{e}^{i\omega t}.

Les dérivées temporelles s'écrivent :

En injectant ces relations dans l'équation différentielle :

d'où l'expression de la position complexe forcée :

La grandeur physique réelle s'en déduit par z(t) = \mathrm{Re}\big(\underline{z}(t)\big).

L'accélération complexe s'obtient directement par \underline{\vec{\gamma}}(t) = \ddot{\underline{z}}(t)\vec{e}_z = -\omega^2 \underline{z}(t)\vec{e}_z, ce qui donne :

a) Expression de la puissance moyenne rayonnée P

D'après la question Q14, l'accélération complexe de l'électron en régime forcé s'écrit :

L'accélération réelle \vec{\gamma}(t) = \operatorname{Re}(\underline{\vec{\gamma}}(t)) est sinusoïdale d'amplitude \gamma_0 = |\underline{\vec{\gamma}}|. La valeur moyenne temporelle du carré de l'accélération vaut donc :

En introduisant cette expression dans la formule de Larmor P_L = K_e \langle \vec{\gamma}\cdot\vec{\gamma} \rangle, avec \tau = \dfrac{K_e}{m_e}, on obtient la puissance rayonnée P :

b) Cas particuliers et comportements asymptotiques

• Pour \omega = \omega_0 : le terme d'inertie et de rappel s'annule (\omega_0^2 - \omega_0^2 = 0) et il vient :

  P_0 = P(\omega_0) = \frac{e^2 E_0^2 \tau}{2 m_e} \frac{\omega_0^4}{\tau^2 \omega_0^6}

  soit :

  \boxed{P_0 = \frac{e^2 E_0^2}{2 m_e \tau \omega_0^2} = \frac{e^2 E_0^2}{2 K_e \omega_0^2}}

• Pour \omega \ll \omega_0 : le dénominateur est dominé par \omega_0^4 (car (\omega_0^2-\omega^2)^2 \approx \omega_0^4 et \tau^2\omega^6 \ll \omega_0^4). La puissance varie comme \omega^4 :

  \boxed{P(\omega) \approx \frac{e^2 E_0^2 \tau}{2 m_e} \frac{\omega^4}{\omega_0^4} = P_0 \, (\tau \omega_0)^2 \left(\frac{\omega}{\omega_0}\right)^4}

  En particulier, pour \omega = 0 :

  \boxed{P(0) = 0}

• Pour \omega \gg \omega_0 : dans le domaine non relativiste où l'approximation dipolaire reste valable, on a généralement \omega \tau \ll 1, de sorte que (\omega_0^2 - \omega^2)^2 \approx \omega^4 \gg \tau^2 \omega^6. La puissance devient indépendante de la pulsation :

  \boxed{P(\omega) \approx \frac{K_e e^2 E_0^2}{2 m_e^2} = \frac{e^2 E_0^2 \tau}{2 m_e}}

• Pour \omega \to +\infty : formellement, le terme en \tau^2 \omega^6 l'emporte au dénominateur sur \omega^4, ce qui donne P(\omega) \sim \dfrac{e^2 E_0^2}{2 m_e \tau \omega^2}, d'où :

  \boxed{\lim_{\omega \to +\infty} P(\omega) = 0}

a) Pulsation de résonance, largeur à mi-hauteur et facteur de qualité

La fonction de profil de résonance s'écrit au voisinage de \omega_0 :

• Pulsation de résonance \omega_r : Le dénominateur de g(\omega) est minimal (égal à 1) lorsque le terme au carré s'annule, c'est-à-dire pour :

  \boxed{ \omega_r = \omega_0 }

  On a alors g(\omega_r) = 1, soit P(\omega_r) = P_0.

• Largeur à mi-hauteur \Delta\omega : Les pulsations de coupure à mi-hauteur \omega_c vérifient la condition g(\omega_c) = \frac{1}{2}, soit :

  \left(\frac{\omega_0^2-\omega_c^2}{\tau\omega_0^3}\right)^2 = 1 \iff \frac{\omega_0^2-\omega_c^2}{\tau\omega_0^3} = \pm 1

  Comme les pulsations de coupure sont très proches de \omega_0 (\omega_c \approx \omega_0), on peut factoriser :

  \omega_0^2 - \omega_c^2 = (\omega_0 - \omega_c)(\omega_0 + \omega_c) \approx 2\omega_0 (\omega_0 - \omega_c)

  L'égalité devient :

  \frac{2\omega_0(\omega_0 - \omega_c)}{\tau\omega_0^3} \approx \pm 1 \implies \omega_0 - \omega_c \approx \pm \frac{\tau\omega_0^2}{2}

  Les deux pulsations de coupure (basse et haute) sont donc :

  \omega_1 \approx \omega_0 - \frac{\tau\omega_0^2}{2} \quad \text{et} \quad \omega_2 \approx \omega_0 + \frac{\tau\omega_0^2}{2}

  La largeur à mi-hauteur (bande passante à -3\text{ dB}) vaut :

  \boxed{ \Delta\omega = \omega_2 - \omega_1 = \tau \omega_0^2 = \frac{1}{\tau_0} }

• Facteur de qualité Q : Par définition, pour une résonance aiguë :

  \boxed{ Q = \frac{\omega_0}{\Delta\omega} = \frac{1}{\omega_0 \tau} = \omega_0 \tau_0 }

  L'hypothèse \omega_0\tau \ll 1 assure bien que Q \gg 1.

b) Application numérique dans le domaine optique

Le temps caractéristique associé à la réaction de rayonnement vaut :

Dans le domaine optique (domaine visible), pour une onde lumineuse de longueur d'onde typique \lambda_0 \approx 470\text{ nm} à 500\text{ nm}, la pulsation propre vaut typiquement :

(valeur reprise explicitement en Partie III). On en déduit :