Corrigé détaillé CCINP Physique MP 2022 (page 2/2 : Parties III et IV)

a) La variable n représente le nombre de points (ou pas d'échantillonnage) de la grille de discrétisation utilisés pour calculer et tracer la courbe.

b) La variable X prend ses valeurs pour k allant de 0 à n-1, soit de x=a à x=b. La fonction g(\omega) est donc tracée sur l'intervalle :

c) D'après la question Q16b, la largeur à mi-hauteur vaut :

Les pulsations de coupure à mi-hauteur se situent donc en :

Ces deux pulsations sont bien contenues à l'intérieur de la plage d'abscisses choisie [a, b] = [\omega_0 - 10^8\,,\, \omega_0 + 10^8], de largeur b-a = 2\cdot 10^8\text{ rad}\cdot\text{s}^{-1} \approx 2\Delta\omega. De plus, l'axe des ordonnées réglé par plt.ylim(-1, 2) englobe pleinement les valeurs g(\omega_0) = 1 et g = 0{,}5.

d) La variable X est une liste Python contenant n = 10\,000 flottants régulièrement espacés selon une progression arithmétique de premier terme a et de dernier terme b, correspondant aux pulsations discrétisées :

a) D'après la définition de la fonction Python h(x), l'expression analytique de la fonction h(\omega) s'écrit :

Les zéros de h(\omega) correspondent ainsi aux pulsations pour lesquelles le gain en puissance est divisé par deux : g(\omega) = 1/2, ce qui définit précisément les pulsations de coupure à mi-hauteur \omega_1 et \omega_2.

b) Les deux lignes :

if f(a)*f(b)>0 : 
    return None

vérifient si f(a) et f(b) sont de signes strictement identiques. D'après le théorème des valeurs intermédiaires (ou théorème de Bolzano), pour qu'une fonction continue change de signe et s'annule au moins une fois sur l'intervalle [a,b], il est nécessaire que f(a) \cdot f(b) \le 0. Si ce n'est pas le cas, l'algorithme ne peut garantir l'existence d'une racine et s'interrompt prématurément en renvoyant None.

c) La condition de continuation de la boucle est abs(v-u) > 2*epsilon. La boucle s'arrête dès que la largeur de l'intervalle vérifie :

L'algorithme renvoie le milieu w = \frac{u+v}{2} de ce dernier intervalle. La distance entre la racine exacte \omega_c et cette approximation est donc majorée par le demi-intervalle :

L'argument optionnel n'étant pas spécifié lors des appels de dicho, la valeur par défaut est \varepsilon = 10^6. L'algorithme fournit donc ces résultats avec une précision de :

d) Les pulsations de coupure basse et haute obtenues numériquement valent :

La largeur de la bande passante à mi-hauteur s'en déduit par soustraction directe :

soit :

Le facteur de qualité s'obtient alors par le rapport :

Avec deux chiffres significatifs cohérents avec la valeur fournie de \omega_0 :

a) Rôle du paramètre d

La relation de récurrence de la méthode de Newton-Raphson s'écrit :

Dans le corps de la fonction, l'instruction x1 = x - f(x) / d(x) montre que le paramètre d représente la fonction dérivée f' de la fonction f dont on cherche le zéro.

b) Remplacement de expressionA

L'appel methode_newton(g, inconnue, ...) implique que la fonction inconnue(x) doit renvoyer la valeur de la dérivée g'(x).

En posant u(x) = \frac{\omega_0^2 - x^2}{\tau \omega_0^3}, la fonction g s'écrit g(x) = \frac{1}{1 + u(x)^2} - \frac{1}{2}. Sa dérivée exacte vaut :

On peut donc remplacer expressionA par l'expression analytique de cette dérivée :

Remarque : Une approximation numérique de la dérivée par différence finie centrée avec un pas h adapté à l'échelle du problème (par exemple h = 10^3\text{ rad}\cdot\text{s}^{-1}, tel que h \ll \Delta\omega \approx 10^8\text{ rad}\cdot\text{s}^{-1} tout en restant supérieur à la précision machine relative pour x \approx 4\cdot 10^{15}) est également envisageable :

c) Remplacement de expressionB

Pour préparer l'itération suivante de la boucle conditionnelle while, il faut actualiser la variable x en lui affectant la nouvelle valeur calculée x1 :

Une onde plane progressive harmonique de pulsation \omega se propageant dans le vide selon les x croissants est caractérisée par le vecteur d'onde \vec{k} = \frac{\omega}{c}\vec{e}_x. Le champ électrique étant polarisé rectilignement selon \vec{e}_z et d'amplitude E_0, il s'écrit (en choisissant l'origine des phases nulle à l'origine) :

D'après l'équation de Maxwell-Faraday (ou la relation de structure de l'onde plane dans le vide), le champ magnétique associé vérifie :

Sachant que \vec{e}_x \wedge \vec{e}_z = -\vec{e}_y, on obtient :

L'amplitude du champ magnétique est donc :

La densité volumique d'énergie électrique instantanée s'écrit u_e = \frac{1}{2}\varepsilon_0 E^2. Sa moyenne temporelle vaut :

Comme \langle \cos^2(\dots) \rangle = \frac{1}{2}, on a :

De même, la densité volumique d'énergie magnétique instantanée est u_m = \frac{B^2}{2\mu_0}. Sa moyenne temporelle s'écrit :

En utilisant la relation des données \varepsilon_0 \mu_0 c^2 = 1, soit \frac{1}{\mu_0 c^2} = \varepsilon_0, il vient :

La densité volumique moyenne d'énergie électromagnétique totale est la somme des deux contributions :

D'après la question Q20, la densité volumique moyenne d'énergie électromagnétique associée à une onde plane progressive harmonique d'amplitude de champ électrique \delta E vaut :

En supposant les champs confinés dans un volume V, l'énergie électromagnétique moyenne contenue dans ce volume est :

L'énoncé précise que cette énergie moyenne correspond à celle de l'état fondamental d'un oscillateur harmonique quantique de pulsation \omega :

En égalant les deux expressions :

On en déduit l'amplitude \delta E des fluctuations du champ électrique :

On étudie l'électron, de masse m_e et de charge q = -e, dans le référentiel du laboratoire supposé galiléen. Soumis uniquement à la force électrique \vec{F} = -e\vec{E}, le principe fondamental de la dynamique s'écrit :

En régime forcé à la pulsation \omega, en utilisant la relation en ordre de grandeur donnée par le texte \left|\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}t}\right| = \omega |f| (ce qui correspond également au passage en régime sinusoïdal établi où la dérivation temporelle équivaut à une multiplication par i\omega), la relation entre les amplitudes s'écrit :

On en déduit immédiatement l'amplitude des fluctuations de vitesse de l'électron :

L'énergie cinétique associée à ces fluctuations de vitesse s'écrit :

D'après le résultat de la question Q21, l'amplitude du champ électrique fluctuant vérifie (\delta E)^2 = \frac{\hbar \omega}{\varepsilon_0 V}. En remplaçant cette expression dans celle de \delta E_c, on obtient :

D'où l'expression du déplacement d'énergie cinétique :

En régime forcé harmonique de pulsation \omega, la dérivation temporelle équivaut, en ordre de grandeur ou en valeur quadratique moyenne, à une multiplication par \omega :

D'après les questions précédentes (Q7a et Q8b), la puissance moyenne dissipée par la force de réaction de rayonnement s'écrit :

Or, l'énergie cinétique moyenne associée aux fluctuations de vitesse est donnée par :

En utilisant la relation admise K_e = \frac{m_e}{\tau_0 \omega^2}, on obtient :

L'énergie rayonnée par l'électron pendant une durée \Delta t compense (« équilibre ») la fluctuation d'énergie cinétique \delta E_c si :

La puissance de rayonnement équilibre donc bien la fluctuation d'énergie cinétique sur une durée du même ordre de grandeur que le temps caractéristique d'amortissement radiatif \tau_0.

D'après la question Q22, le déplacement moyen d'énergie cinétique associé à un mode de pulsation \omega s'écrit :

En appliquant la formule de moyenne temporelle et fréquentielle donnée par l'énoncé sur l'intervalle [\omega_1, \omega_2] = [\omega_-, \omega_+], il vient :

L'intégration de la fonction 1/\omega conduit immédiatement à un logarithme :

On en déduit l'expression finale de la fluctuation totale d'énergie cinétique :

a) Comparaison des pulsations de coupure et expression approchée

D'après l'énoncé (question Q24 et données) :

On en déduit immédiatement le rapport des deux pulsations de coupure :

Avec \alpha = \frac{1}{137}, on a :

La pulsation haute est donc très supérieure à la pulsation basse : \omega_+ \gg \omega_-, ce qui permet l'approximation :

En injectant ce résultat dans l'expression établie à la question Q24 :

on obtient bien la forme approchée :

b) Écriture sous la forme \delta E_{c,\text{tot}} = h \times (\text{constante})

Comme \hbar \omega_+ = m_e c^2, on a \frac{1}{\omega_+} = \frac{\hbar}{m_e c^2}. Sachant par ailleurs que \hbar = \frac{h}{2\pi}, il vient :

Avec V = (4a_0)^3 = 64 a_0^3, la constante s'écrit :

Puisque \delta E_{c,\text{tot}} est une énergie (en \text{J}) et h est la constante de Planck (en \text{J}\cdot\text{s}), le rapport \frac{\delta E_{c,\text{tot}}}{h} a la dimension de l'inverse d'un temps [T]^{-1} :

Calcul numérique de cette constante :

• \ln\left(\frac{1}{10\alpha^2}\right) = \ln(1876{,}9) \approx 7{,}537 ;
• \frac{c \alpha^3}{64 a_0} = \frac{3{,}00 \cdot 10^8 \times (1/137)^3}{64 \times 5{,}29 \cdot 10^{-11}} \approx 3{,}446 \cdot 10^{10}\text{ s}^{-1}.

D'où :

c) Commentaire et amélioration du modèle

• Commentaire : La valeur théorique issue de ce modèle semi-classique très simplifié (\approx 2{,}6 \cdot 10^5\text{ MHz}) est environ 250 fois plus grande que la valeur expérimentale de 1\,058\text{ MHz}. Néanmoins, elle fournit le bon ordre de grandeur d'un effet très faible par rapport aux transitions optiques usuelles (qui sont de l'ordre de 10^9\text{ MHz}), situant le décalage dans le domaine des radiofréquences / micro-ondes.

• Améliorations à apporter :

  1. Prise en compte de la densité d'états : Remplacer la moyenne uniforme sur les pulsations par une intégration pondérée par la densité spectrale des modes électromagnétiques du vide dans une boîte, g(\omega)\,\mathrm{d}\omega = \frac{V\omega^2}{\pi^2 c^3}\,\mathrm{d}\omega.
  2. Description quantique de l'électron : Remplacer le confinement ad hoc dans un volume macroscopique V=(4a_0)^3 par la densité de probabilité de présence issue de la fonction d'onde stationnaire \Psi(\vec{r}) de l'électron (solution de l'équation de Dirac ou de Schrödinger), le décalage étant modulé par |\Psi(\vec{r}=\vec{0})|^2.

a) Niveaux concernés par le déplacement de Lamb

D'après le préambule de la question, la fluctuation totale d'énergie s'écrit sous la forme :

Or, comme le rappelle l'énoncé et la figure 2, la densité de probabilité de présence à l'origine |\Psi(r=0)|^2 n'est non nulle que pour les états de moment cinétique orbital nul (l = 0, soit les orbitales ns). Pour toutes les orbitales ayant l \ge 1 (np, nd, etc.), la fonction d'onde s'annule en r = 0, donc |\Psi(r=0)|^2 = 0.

Par conséquent, à cet ordre d'approximation :

b) Comparaison des énergies

L'énergie associée au déplacement de Lamb du niveau 2s vaut :

En électron-volts :

D'après le modèle de Bohr, l'énergie des niveaux de l'atome d'hydrogène vaut \varepsilon_n = -\frac{R_Y}{n^2} avec R_Y = 13{,}6\text{ eV}. L'énergie de la transition désexcitatrice de 2p vers 1s (transition entre n=2 et n=1) est :

La fréquence associée à cette transition est :

Comparons ces deux grandeurs :

Le déplacement de Lamb représente une correction extrêmement faible (environ sept ordres de grandeur plus petite) par rapport à l'énergie de la transition 2p \to 1s.

c) Caractère relativiste de l'électron 2s

D'après les données de l'énoncé, la vitesse de l'électron sur une orbite de niveau n dans le modèle de Bohr est donnée par :

Pour le niveau n=2, avec \alpha = \frac{1}{137} :

Puisque v \ll c, l'électron 2s est largement non relativiste du point de vue cinématique (le facteur de Lorentz vaut \gamma \approx 1 + \frac{1}{2}\left(\frac{v}{c}\right)^2 \approx 1 + 6{,}7 \cdot 10^{-6} \approx 1).

Cependant, il est indispensable de faire des corrections relativistes car :

• L'énergie de structure fine (termes relativistes de Dirac : correction à l'énergie cinétique, couplage spin-orbite, terme de Darwin) fait intervenir des termes correctifs en \left(\frac{v}{c}\right)^2 \sim \alpha^2 \sim 5 \cdot 10^{-5}, correspondant à des écarts d'énergie de l'ordre de 10^{-4} à 10^{-5}\text{ eV} (levée de dégénérescence entre 2p_{1/2} et 2p_{3/2}) ;
• Bien que faibles devant les énergies brutes de liaison (10\text{ eV}), ces écarts sont parfaitement résolus en spectroscopie et sont même supérieurs au déplacement de Lamb lui-même (\sim 4{,}4 \cdot 10^{-6}\text{ eV}). Pour interpréter les spectres fins, la prise en compte de la relativité via l'équation de Dirac est donc incontournable.

d) Raie \alpha de la série de Lyman

La raie \alpha de Lyman correspond à la désexcitation du niveau n=2 vers le niveau fondamental n=1. L'énergie du photon émis est :

On en déduit la longueur d'onde émise dans le vide :

1. Longueur d'onde et domaine spectral du photon émis :

La conservation de l'énergie lors de la désexcitation 2\text{p}_{3/2} \to 2\text{p}_{1/2} s'écrit, d'après la relation de Planck-Einstein :

Numériquement, avec h = 6{,}62 \cdot 10^{-34}\text{ J}\cdot\text{s}, c = 3{,}00 \cdot 10^8\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}, \Delta = 4{,}5 \cdot 10^{-5}\text{ eV} et e = 1{,}60 \cdot 10^{-19}\text{ C} :

La fréquence correspondante vaut :

D'après le spectre électromagnétique fourni en page 3 (fréquence comprise entre 10^9\text{ Hz} et 10^{12}\text{ Hz}), cette onde appartient au domaine des micro-ondes.

2. Conséquence sur la raie \alpha du spectre de Lyman :

L'état fondamental correspond à l'orbitale 1\text{s} (soit 1\text{s}_{1/2}). Du fait de la levée de dégénérescence par couplage spin-orbite, le niveau 2\text{p} est scindé en deux sous-niveaux d'énergies distinctes 2\text{p}_{1/2} et 2\text{p}_{3/2}.

La raie Lyman-\alpha donne donc lieu à deux transitions désexcitatrices permises :

La raie Lyman-\alpha est donc dédoublée en un doublet composé de deux raies de longueurs d'onde extrêmement proches, séparées d'un très faible écart :

Dans le modèle de Bohr (comme dans le modèle de Schrödinger non relativiste sans spin), l'énergie de l'atome d'hydrogène ne dépend que du nombre quantique principal n :

• L'état fondamental (n = 1) correspond à l'orbitale 1s (l = 0).
• Le premier niveau excité (n = 2), situé à \Delta E = E_2 - E_1 = 10{,}2\text{ eV} au-dessus du fondamental, regroupe les orbitales dégénérées pour lesquelles l \in \{0, 1\}, soit les orbitales 2s et 2p.

• La transition radiative entre le niveau n = 2 et le niveau n = 1 correspond à la raie Lyman-\alpha étudiée à la question Q26d :

  \lambda = \frac{hc}{\Delta E} = \frac{6{,}62 \cdot 10^{-34} \times 3{,}00 \cdot 10^8}{10{,}2 \times 1{,}60 \cdot 10^{-19}} \approx 122\text{ nm}

  Cette longueur d'onde appartient au domaine de l'ultraviolet (UV).

On reproduit ainsi la figure 3 complétée :

Les trois éléments identifiés sont donc :

1. Identification des orbitales :

• En l'absence de fluctuations quantiques, l'équation de Dirac prédit que les états ayant mêmes nombres quantiques n et j ont la même énergie. Les états 2\mathrm{s}_{1/2} (l=0, j=1/2) et 2\mathrm{p}_{1/2} (l=1, j=1/2) sont donc initialement dégénérés.

• L'interaction avec les fluctuations du vide (effet Lamb) augmente l'énergie des seuls états \mathrm{s} car la fonction d'onde à l'origine y est non nulle (\Psi_{2\mathrm{s}}(0) \neq 0, question Q26). Le niveau 2\mathrm{s}_{1/2} est ainsi surélevé par rapport au niveau 2\mathrm{p}_{1/2} :

  E(2\mathrm{p}_{1/2}) < E(2\mathrm{s}_{1/2}) < E(2\mathrm{p}_{3/2}).

  Par conséquent :

  • L'orbitale du niveau intermédiaire est l'orbitale 2\mathrm{s}_{1/2}.
  • L'orbitale du niveau inférieur est l'orbitale 2\mathrm{p}_{1/2}.

2. Transition de structure fine 2\mathrm{p}_{3/2} \to 2\mathrm{p}_{1/2} :

• L'écart énergétique vaut \Delta = 4{,}5 \cdot 10^{-5}\text{ eV} = 4{,}5 \cdot 10^{-5} \times 1{,}60 \cdot 10^{-19}\text{ J} = 7{,}20 \cdot 10^{-24}\text{ J}.

• La longueur d'onde émise (calculée en Q27) est :

  \lambda = \frac{hc}{\Delta} = \frac{6{,}62 \cdot 10^{-34} \times 3{,}00 \cdot 10^8}{7{,}20 \cdot 10^{-24}} \approx 2{,}76 \cdot 10^{-2}\text{ m} \approx \mathbf{2{,}8\text{ cm}}.
• D'après le spectre fourni, à \nu \approx 10{,}9\text{ GHz}, le domaine associé est celui des micro-ondes.

3. Transition associée au déplacement de Lamb 2\mathrm{s}_{1/2} \to 2\mathrm{p}_{1/2} :

• Énergie : la fréquence associée est \nu_{\text{Lamb}} = 1\,058\text{ MHz}, soit :

  \delta E = h \nu_{\text{Lamb}} = 6{,}62 \cdot 10^{-34} \times 1{,}058 \cdot 10^9\text{ J} = 7{,}00 \cdot 10^{-25}\text{ J} \approx \mathbf{4{,}38 \cdot 10^{-6}\text{ eV}}.

• Longueur d'onde :

  \lambda = \frac{c}{\nu_{\text{Lamb}}} = \frac{3{,}00 \cdot 10^8}{1{,}058 \cdot 10^9} \approx \mathbf{0{,}284\text{ m} = 28{,}4\text{ cm}}.
• Domaine : cette fréquence (\nu \approx 1\text{ GHz}, \lambda \approx 28\text{ cm}) se situe à la limite entre les ondes radio et les micro-ondes (ondes décimétriques).

Prenons comme référence l'énergie du niveau 2\mathrm{p}_{1/2} sans champ magnétique, notée E_0. Les énergies des états sans champ s'écrivent :

• E(2\mathrm{p}_{1/2}) = E_0 ;
• E(2\mathrm{s}_{1/2}) = E_0 + \delta E_{\text{totale}} (décalage de Lamb vers le haut) ;
• E(2\mathrm{p}_{3/2}) = E_0 + \Delta (écart de structure fine).

En présence du champ magnétique extérieur B_{\text{ext}}, l'effet Zeeman lève la dégénérescence des sous-niveaux :

• L'état 2\mathrm{p}_{3/2} se sépare en 4 sous-niveaux équidistants d'intervalle \frac{4}{3}\mu_B B_{\text{ext}}, correspondant à m = 3/2, 1/2, -1/2, -3/2 :

  E(2\mathrm{p}_{3/2},\, m) = E_0 + \Delta + m \cdot \frac{4}{3}\mu_B B_{\text{ext}}.

  Le sous-niveau le plus bas (m = -3/2) a pour énergie :

  E(2\mathrm{p}_{3/2},\, m=-3/2) = E_0 + \Delta - 2\mu_B B_{\text{ext}}.

• L'état 2\mathrm{s}_{1/2} se scinde en 2 sous-niveaux séparés de 2\mu_B B_{\text{ext}} (m = \pm 1/2) :

  E(2\mathrm{s}_{1/2},\, m = \pm 1/2) = E_0 + \delta E_{\text{totale}} \pm \mu_B B_{\text{ext}}.

• L'état 2\mathrm{p}_{1/2} se scinde en 2 sous-niveaux séparés de \frac{1}{3}\mu_B B_{\text{ext}} (m = \pm 1/2) :

  E(2\mathrm{p}_{1/2},\, m = \pm 1/2) = E_0 \pm \frac{1}{6}\mu_B B_{\text{ext}}.

1. Première différence d'énergie (flèche de gauche) :

La première flèche en gros pointillés relie le sous-niveau le plus bas issu de 2\mathrm{p}_{3/2} (soit m = -3/2) au sous-niveau supérieur issu de 2\mathrm{s}_{1/2} (soit m = +1/2) :

2. Seconde différence d'énergie (flèche de droite) :

La seconde flèche en gros pointillés s'étend verticalement depuis le troisième trait du groupe inférieur, correspondant au sous-niveau abaissé de 2\mathrm{s}_{1/2} (m = -1/2), jusqu'au quatrième trait tout en bas, qui est le sous-niveau abaissé issu de 2\mathrm{p}_{1/2} (m = -1/2) :

Remarque : si l'on considérait alternativement une transition entre le sous-niveau relevé de 2\mathrm{s}_{1/2} (m = +1/2) et le sous-niveau abaissé de 2\mathrm{p}_{1/2} (m = -1/2), l'écart d'énergie s'écrirait \Delta E_2' = \delta E_{\text{totale}} + \frac{7}{6}\mu_B B_{\text{ext}}.

1. Utilisation d'un champ magnétique :

   • L'application du champ magnétique extérieur \vec{B}_{\text{ext}} lève la dégénérescence des niveaux 2\text{s}_{1/2}, 2\text{p}_{1/2} et 2\text{p}_{3/2} par effet Zeeman en séparant les sous-niveaux de différentes valeurs du nombre quantique magnétique m.
   • L'écart énergétique entre sous-niveaux dépend continûment de l'intensité B_{\text{ext}}. Il devient ainsi possible d'ajuster l'écart énergétique entre un sous-niveau de 2\text{s}_{1/2} et un sous-niveau de 2\text{p} pour le faire coïncider avec l'énergie des photons d'une source micro-ondes (dont la fréquence est souvent fixe), puis d'extrapoler les résonances à champ nul (B_{\text{ext}} \to 0) afin de déterminer avec une très haute précision le décalage de Lamb \delta E_{\text{totale}}.

2. Introduction d'un champ électromagnétique micro-ondes :

   • L'écart énergétique du décalage de Lamb correspond à une fréquence \nu \approx 1\,058\text{ MHz} (\lambda \approx 28\text{ cm}) et celui de la structure fine à \Delta \approx 10{,}9\text{ GHz} (\lambda \approx 2{,}8\text{ cm}) : ces transitions se situent précisément dans le domaine des micro-ondes (ou radiofréquences).
   • Le champ micro-ondes permet d'induire par résonance des transitions dipolaires électriques permises (\Delta l = \pm 1) transférant les atomes de l'état métastable 2\text{s}_{1/2} vers les états 2\text{p}_{1/2} ou 2\text{p}_{3/2}.

3. Paramètres que les expérimentateurs font varier :

   • Les expérimentateurs font varier soit l'intensité du champ magnétique extérieur B_{\text{ext}} (à fréquence micro-onde fixée, méthode privilégiée expérimentalement car la source micro-ondes fonctionne à fréquence de cavité résonnante stable), soit la fréquence \nu du champ électromagnétique radiofréquence à champ magnétique fixé.

4. Origine de l'intensité de courant mesurée par le détecteur :

   • L'état 2\text{s}_{1/2} est métastable (sa désexcitation radiative vers l'état fondamental 1\text{s}_{1/2} est interdite par émission dipolaire électrique à un photon car \Delta l = 0, conférant une durée de vie de l'ordre de 0{,}1\text{ s}). Les atomes dans l'état 2\text{s}_{1/2} ont donc le temps d'atteindre la cible de tungstène.
   • Leur énergie interne d'excitation (10{,}2\text{ eV}) étant supérieure au travail d'extraction du tungstène (environ 4{,}5\text{ eV}), ils éjectent des électrons lors de leur collision avec la cible (effet Auger/émission secondaire).
   • Ces électrons émis sont collectés par une électrode, ce qui produit un courant électrique.
   • À la résonance, les atomes excités vers 2\text{p} se désexcitent en un temps extrêmement court (\tau \sim 10^{-9}\text{ s}) vers le fondamental 1\text{s}_{1/2} bien avant d'atteindre la cible : ils ne peuvent plus éjecter d'électrons, ce qui se traduit par un creux de courant détecté (baisse de l'ordre de 10^{-14}\text{ A}).

a) Accélération de l'électron On se place dans le référentiel lié au proton, supposé fixe à l'origine O et galiléen. L'électron, de masse m_e et de charge -e, est en mouvement circulaire de rayon \rho sous l'action de la seule force coulombienne attractive exercée par le proton de charge +e :

où \vec{e}_\rho = \frac{\vec{r}}{\rho} est le vecteur unitaire radial dirigé du proton vers l'électron.

D'après le principe fondamental de la dynamique appliqué à l'électron :

Il vient directement le vecteur accélération :

L'accélération est purement centripète, de norme :

b) Énergies potentielle, cinétique et mécanique totale

• Énergie potentielle : La force électrostatique dérive de l'énergie potentielle E_p(\rho) telle que \vec{F} = -\vec{\nabla} E_p = -\frac{\mathrm{d}E_p}{\mathrm{d}\rho} \vec{e}_\rho, soit :

  \frac{\mathrm{d}E_p}{\mathrm{d}\rho} = \frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 \rho^2}

  En choisissant l'origine de l'énergie potentielle à l'infini (E_p(\infty) = 0), on obtient :

  \boxed{E_p = -\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 \rho}}

• Énergie cinétique : Pour un mouvement circulaire uniforme de rayon \rho et de vitesse v, l'accélération centripète vaut a = \frac{v^2}{\rho}. La relation fondamentale donne :

  m_e \frac{v^2}{\rho} = \frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 \rho^2} \implies m_e v^2 = \frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 \rho}

  L'énergie cinétique E_c = \frac{1}{2}m_e v^2 s'écrit donc :

  \boxed{E_c = \frac{e^2}{8\pi\varepsilon_0 \rho}}

• Énergie totale : L'énergie mécanique totale est la somme de l'énergie cinétique et de l'énergie potentielle :

  \begin{aligned} E &= E_c + E_p \\ &= \frac{e^2}{8\pi\varepsilon_0 \rho} - \frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 \rho} \end{aligned}

  D'où :

  \boxed{E = -\frac{e^2}{8\pi\varepsilon_0 \rho}}

a) Interprétation du bilan

D'après la question Q32 :

• l'énergie mécanique totale de l'électron sur une orbite circulaire de rayon \rho vaut E = -\dfrac{e^2}{8\pi\varepsilon_0\rho}, de sorte que le membre de droite s'écrit \dfrac{\mathrm{d}E}{\mathrm{d}t} ;
• la norme de l'accélération centripète est \gamma = \dfrac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 m_e \rho^2}. D'après la formule de Larmor (Q7), la puissance rayonnée s'écrit P_L = K_e \gamma^2 = K_e \left(\dfrac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 m_e \rho^2}\right)^2.

Le bilan traduit donc la conservation de l'énergie (théorème de la puissance mécanique) appliquée à l'électron : la perte d'énergie mécanique de l'atome est intégralement rayonnée sous forme d'ondes électromagnétiques :

Remarque : Le membre de gauche imprimé dans l'énoncé omet l'exposant 2 sur la parenthèse ; l'analyse dimensionnelle et la formule de Larmor imposent d'écrire -K_e\left(\dfrac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 m_e \rho^2}\right)^2.

b) Équation différentielle pour \rho(t)

En dérivant l'énergie mécanique par rapport au temps :

En égalant avec l'opposé de la puissance de Larmor :

En simplifiant par \dfrac{e^2}{8\pi\varepsilon_0 \rho^2}, on obtient l'équation différentielle :

En remplaçant K_e = \dfrac{e^2}{6\pi\varepsilon_0 c^3}, cette équation s'écrit également :

c) Temps de retour \Delta t

L'équation différentielle est à variables séparables :

L'intégration donne :

Avec \rho_n = n^2 a_0 et \rho_{n-1} = (n-1)^2 a_0, il vient \rho_n^3 - \rho_{n-1}^3 = a_0^3 \left(n^6 - (n-1)^6\right), d'où :

d) Application numérique pour la transition du niveau 2 au niveau 1

Pour n = 2 :

Le temps de désexcitation devient :

Valeurs numériques :

On calcule :

Commentaire : Le document précise en page 14 que la durée de vie des états 2p_{1/2} et 2p_{3/2} est d'environ 10^{-9}\text{ s}. L'accord entre ce modèle semi-classique radiatif et la valeur expérimentale est excellent, ce qui valide la cohérence de l'approche énergétique de Bohr amortie par la réaction de rayonnement.