Corrigé détaillé CCINP Physique Chimie TSI 2022 (page 5/5 : Partie IV)

D'après le tableau des canaux pour la VHF fourni en annexe, la fréquence correspondant au canal 16 est :

L'onde électromagnétique se propageant dans l'air (assimilé au vide) à la célérité c, la longueur d'onde \lambda associée s'exprime par :

Application numérique avec c = 3{,}0 \cdot 10^8 \text{ m}\cdot\text{s}^{-1} :

L'ordre de grandeur de la longueur d'onde est donc métrique :

L'expression du champ électrique est :

On peut qualifier cette onde à l'aide des adjectifs suivants :

• Électromagnétique : le signal est décrit par un champ électrique se propageant dans l'espace à la célérité c.
• Plane : la phase ne dépend spatialement que de l'abscisse x. Les surfaces d'équiphase définies par x = \text{cte} sont des plans orthogonaux à la direction de propagation \vec{u}_x.
• Progressive : l'onde se propage dans le sens des abscisses croissantes (fonction de la variable t - x/c).
• Harmonique (ou monochromatique) : la dépendance temporelle est sinusoïdale de pulsation unique \omega.
• Transverse : le champ électrique \vec{E} est perpendiculaire à la direction de propagation (\vec{E} \cdot \vec{u}_x = 0).
• Polarisée rectilignement : le vecteur champ électrique oscille selon une direction fixe dans l'espace, portée par le vecteur unitaire \vec{u}_y (polarisation horizontale, parallèle au plan de la mer).

Il s'agit donc d'une onde plane progressive harmonique (OPPH) électromagnétique, transverse et polarisée rectilignement.

L'expression du champ électrique de l'onde s'écrit :

• Direction de propagation : le terme de phase ne dépend dans l'espace que de la coordonnée x. Les surfaces d'onde sont des plans orthogonaux à l'axe (Ox). La direction de propagation est donc la droite (Ox), portée par le vecteur \vec{u}_x.

• Sens de propagation : pour une phase donnée \phi = \omega\left(t - \dfrac{x}{c}\right) = \text{cte}, la position d'un front d'onde vérifie :

  x(t) = c\,t + \text{cte} \quad \implies \quad v_\varphi = \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} = +c > 0

  L'onde se propage donc dans le sens des x croissants (vers les x > 0, c'est-à-dire dans le sens de +\vec{u}_x).

Dans le vide, en l'absence de charges (\rho = 0) et de courants de conduction (\vec{\jmath} = \vec{0}), les équations locales de Maxwell liant le champ électrique \vec{E} et le champ magnétique \vec{B} s'écrivent :

• Équation de Maxwell-Gauss (M-G) :

  \boxed{\mathrm{div}\,\vec{E} = 0}

• Équation de Maxwell-Thomson (conservation du flux magnétique) :

  \boxed{\mathrm{div}\,\vec{B} = 0}

• Équation de Maxwell-Faraday (M-F) :

  \boxed{\vec{\mathrm{rot}}\,\vec{E} = - \frac{\partial \vec{B}}{\partial t}}

• Équation de Maxwell-Ampère (M-A) :

  \boxed{\vec{\mathrm{rot}}\,\vec{B} = \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial \vec{E}}{\partial t}}

Prenons le rotationnel de l'équation de Maxwell-Faraday (rappelée en Q60) :

En injectant l'équation de Maxwell-Ampère dans le vide sans sources (\vec{\mathrm{rot}}\,\vec{B} = \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial \vec{E}}{\partial t}), le membre de droite devient :

Par ailleurs, d'après l'identité vectorielle rappelée dans l'énoncé :

Dans le vide en l'absence de charges, l'équation de Maxwell-Gauss donne \mathrm{div}\,\vec{E} = 0, d'où \vec{\mathrm{grad}}\left(\mathrm{div}\,\vec{E}\right) = \vec{0}. On en déduit :

Le champ électrique vérifie ainsi l'équation de d'Alembert :

D'après la question Q61, l'équation de propagation du champ électrique dans le vide s'écrit :

Le champ électrique de l'onde s'écrit :

Calculons ses dérivées partielles :

Le champ ne dépendant spatialement que de la variable x, le laplacien vectoriel se réduit à :

En injectant ces expressions dans l'équation de d'Alembert :

Pour que cette égalité soit vérifiée en tout point x et à tout instant t, il faut et il suffit que :

soit :

L'onde électromagnétique plane progressive et monochromatique émise a pour expression :

La phase spatio-temporelle d'une onde plane s'écrivant sous la forme standard (\omega t - \vec{k}\cdot\vec{r}), on identifie par identification :

Comme \vec{r} = x\,\vec{u}_x + y\,\vec{u}_y + z\,\vec{u}_z, et que l'onde se propage dans le sens des x croissants (selon +\vec{u}_x), le vecteur d'onde \vec{k} est colinéaire à \vec{u}_x et a pour norme la pulsation spatiale (ou nombre d'onde) k = \frac{\omega}{c} = \frac{2\pi}{\lambda} :

L'onde étant une onde plane progressive harmonique se propageant dans le vide selon le vecteur d'onde \vec{k} = k\,\vec{u}_x (d'après la question Q63), la relation de structure issue de l'équation de Maxwell-Faraday s'écrit en notation réelle :

Avec \vec{E}(x,t) = E_0 \cos(\omega t - kx)\,\vec{u}_y et \vec{k} = k\,\vec{u}_x :

Le trièdre direct (\vec{u}_x, \vec{u}_y, \vec{u}_z) donne \vec{u}_x \wedge \vec{u}_y = \vec{u}_z. On obtient donc :

Remarque (par calcul direct du rotationnel) :

Une intégration par rapport au temps (la composante statique étant nulle en l'absence de champ uniforme extérieur) conduit au même résultat.

Par définition, dans le vide, le vecteur de Poynting s'écrit :

En utilisant l'expression du champ électrique \vec{E} et celle du champ magnétique \vec{B} obtenue à la question Q64 :

Comme le trièdre (\vec{u}_x, \vec{u}_y, \vec{u}_z) est orthonormé direct, on a \vec{u}_y \wedge \vec{u}_z = \vec{u}_x. Le produit vectoriel s'écrit alors :

D'où l'expression du vecteur de Poynting :

Signification physique :

• Le vecteur de Poynting \vec{\Pi} représente la densité volumique de flux d'énergie (ou densité surfacique de puissance) transportée par le champ électromagnétique. Son unité dans le Système International est le watt par mètre carré (\mathrm{W\cdot m^{-2}}).
• Sa direction et son sens indiquent la direction et le sens de propagation de l'énergie électromagnétique (ici dirigé selon +\vec{u}_x, dans le même sens que la propagation de la phase).

• Le flux de \vec{\Pi} à travers une surface orientée \Sigma représente la puissance électromagnétique instantanée traversant cette surface :

  \mathcal{P}(t) = \iint_\Sigma \vec{\Pi} \cdot \mathrm{d}\vec{S}

D'après le résultat de la question Q65, le vecteur de Poynting instantané s'écrit :

La moyenne temporelle sur une période T = \frac{2\pi}{\omega} du terme en cosinus carré vaut :

Il vient ainsi pour la valeur moyenne temporelle du vecteur de Poynting :

Or, d'après la relation établie à la question Q62, on a \mu_0 \varepsilon_0 c^2 = 1, d'où :

En injectant cette relation, on obtient finalement :

L'onde réfléchie se propage dans le demi-espace x < 0 selon la direction de l'axe (Ox), dans le sens des x décroissants (vers -x). Sa pulsation temporelle \omega et sa célérité c sont conservées lors de la réflexion, de sorte que sa phase s'écrit sous la forme \omega\left(t + \frac{x}{c}\right).

De plus, l'énoncé précise que l'onde se réfléchit totalement en opposition de phase au niveau de l'interface plane en x = 0 (ce qui traduit la continuité de la composante tangentielle du champ électrique, nulle à la surface d'un conducteur parfait : \vec{E}_i(0, t) + \vec{E}_r(0, t) = \vec{0}).

On en déduit :

L'onde réfléchie est donc une onde plane progressive se propageant selon les x décroissants, polarisée rectilignement selon \vec{u}_y, d'expression :

D'après le principe de superposition, dans le demi-espace x \le 0, le champ électrique total \vec{E}_{\text{tot}}(x,t) résulte de la somme du champ incident \vec{E}_i(x,t) et du champ réfléchi \vec{E}_r(x,t) déterminé en Q67 :

En appliquant la formule trigonométrique rappelée par l'énoncé, \cos(a-b) - \cos(a+b) = 2\sin a \sin b, en posant :

on obtient :

Le champ électrique total s'écrit donc :

1. Qualification du champ électrique total

L'expression obtenue en Q68,

présente une factorisation stricte de la dépendance spatiale et de la dépendance temporelle : il n'y a plus de terme de phase de la forme (\omega t \mp kx). Ce champ décrit donc une onde stationnaire (l'onde ne se propage pas dans l'espace).

2. Perturbation de la communication aux abords du hangar

L'amplitude du champ électrique total varie selon la position et s'annule en certains points particuliers appelés les nœuds de champ électrique. Ces nœuds correspondent aux abscisses x_n \le 0 vérifiant :

Sachant que k = \dfrac{2\pi}{\lambda}, les positions des nœuds sont données par :

En ces points (situés à la paroi x=0, puis à \lambda/2 \approx 0{,}96\text{ m}, à \lambda \approx 1{,}91\text{ m}, etc.) :

• le champ électrique résultant est rigoureusement nul à tout instant : \vec{E}_{\text{tot}}(x_n, t) = \vec{0} ;
• une antenne réceptrice (sensible au champ électrique) située en ces positions ou au voisinage immédiat ne reçoit aucun signal radioélectrique (interférence totalement destructive entre l'onde directe et l'onde réfléchie).

Ce phénomène d'extinction locale du signal (effet de « fading » ou zone d'ombre) perturbe ainsi la communication VHF à proximité de la paroi métallique.

Un compas magnétique marin est constitué d'un élément aimanté (équipage mobile) libre de s'orienter suivant la composante horizontale du champ magnétique terrestre local \vec{B}_T, indiquant ainsi la direction du nord magnétique.

D'après les lois de l'électromagnétisme (loi de Biot et Savart, théorème d'Ampère), tout câble électrique parcouru par un courant génère dans son voisinage un champ magnétique parasite \vec{B}_{\text{câble}}.

Ce champ s'ajoute vectoriellement au champ magnétique terrestre :

L'équipage mobile s'aligne alors sur le champ résultant \vec{B}_{\text{tot}}, ce qui dévie l'aiguille de la direction du nord magnétique d'un angle appelé déviation magnétique. Il s'agit donc d'une perturbation magnétique qui fausse l'indication du cap du navire.

On choisit un repère cylindrique d'axe (Oz) confondu avec le fil rectiligne infini, orienté dans le sens du courant I. La base locale associée en un point M(r, \theta, z) est (\vec{u}_r, \vec{u}_\theta, \vec{u}_z).

Invariances :

• Le fil étant infini et rectiligne, la distribution de courant est invariante par toute translation le long de l'axe (Oz) : \vec{B} ne dépend pas de z.
• La distribution de courant présente une symétrie de révolution autour de l'axe (Oz), elle est invariante par toute rotation d'angle \theta : \vec{B} ne dépend pas de \theta.

Le champ magnétique ne dépend donc que du paramètre d'espace r (distance orthogonale au fil) :

Symétries :

• Le plan \Pi_s = (M, \vec{u}_r, \vec{u}_z) contient le fil conducteur (et donc le vecteur densité de courant). C'est un plan de symétrie pour la distribution de courant. Le champ magnétique \vec{B} étant un pseudovecteur (vecteur axial), il est orthogonal à tout plan de symétrie de ses sources :

  \vec{B}(M) \perp \Pi_s \implies B_r(r) = 0 \quad \text{et} \quad B_z(r) = 0
• Vérification supplémentaire : Le plan \Pi_a = (M, \vec{u}_r, \vec{u}_\theta), orthogonal au fil, est un plan d'antisymétrie pour le courant. \vec{B}(M) appartient donc à ce plan, ce qui confirme que B_z(r) = 0.

Le champ magnétique créé par le fil est donc purement orthoradial et ne dépend que de la distance r :

D'après l'étude menée à la question précédente, le champ magnétique créé en tout point M s'écrit en coordonnées cylindriques :

Les lignes de champ magnétique sont les courbes tangentes en tout point au vecteur \vec{B}. Comme le champ est purement orthoradial :

• les lignes de champ sont des cercles concentriques centrés sur le fil, situés dans des plans perpendiculaires au fil ;
• le sens de parcours des lignes de champ est donné par la règle de la main droite (ou du tire-bouchon de Maxwell) en fonction du sens du courant I ;
• la densité des lignes de champ décroît à mesure que la distance r au fil augmente, traduisant la décroissance de l'intensité du champ magnétique.

Dans un plan perpendiculaire au fil, avec un courant I dirigé vers l'avant (hors du plan de la feuille, noté \odot) le long de l'axe vertical (Oz), les lignes de champ sont orientées dans le sens trigonométrique (sens direct associé à \vec{u}_\theta).

On se place dans le système de coordonnées cylindriques (r, \theta, z) dont l'axe (Oz) coïncide avec le fil rectiligne orienté dans le sens du courant I. D'après la question Q71, le champ magnétique s'écrit sous la forme :

Pour déterminer l'expression du champ à une distance d du fil, on choisit comme contour d'Ampère \mathcal{C} le cercle d'axe (Oz), de rayon r = d, situé dans un plan perpendiculaire au fil. On l'oriente selon \vec{u}_\theta (règle de la main droite associée au sens de I).

• Circulation de \vec{B} le long de \mathcal{C} : L'élément de longueur infinitésimal le long de \mathcal{C} est \mathrm{d}\vec{\ell} = d\,\mathrm{d}\theta\,\vec{u}_\theta. La circulation s'écrit :

  \begin{aligned} \oint_{\mathcal{C}} \vec{B} \cdot \mathrm{d}\vec{\ell} &= \int_{0}^{2\pi} B_\theta(d)\,\vec{u}_\theta \cdot \left(d\,\mathrm{d}\theta\,\vec{u}_\theta\right) \\ &= B_\theta(d)\,d \int_{0}^{2\pi} \mathrm{d}\theta \\ &= 2\pi d\,B_\theta(d) \end{aligned}

• Courant enlacé : Une surface orientée s'appuyant sur le contour \mathcal{C} (par exemple le disque de rayon d) est traversée par l'unique fil dans le sens positif :

  I_{\text{enl}} = I

D'après le théorème d'Ampère :

ce qui donne immédiatement :

Le champ magnétique créé par le fil à une distance d s'exprime donc par :

ou, en norme :

D'après l'expression établie en Q73, le champ magnétique parasite créé par un conducteur décroît en 1/d :

Pour limiter ou supprimer la perturbation du compas, plusieurs solutions pratiques peuvent être mises en œuvre :

1. Augmenter la distance d'éloignement (d) : Placer le compas le plus loin possible des câbles d'alimentation transportant de forts courants (batteries, moteur, guindeau), car l'intensité du champ perturbateur est inversement proportionnelle à d.
2. Acheminer ensemble et torsader les conducteurs d'aller et de retour : Les fils d'aller (+I) et de retour (-I) de chaque circuit d'alimentation doivent cheminer côte à côte ou, mieux encore, former une paire torsadée. À une distance d grande devant l'écartement des deux fils, les champs magnétiques créés par ces courants opposés se compensent mutuellement (décroissance dipolaire en 1/d^2 au lieu de 1/d). L'utilisation d'un câble coaxial permet d'annuler rigoureusement le champ magnétique à l'extérieur.
3. Mettre en place un blindage magnétique : Enfermer les câbles ou la cuvette du compas dans une gaine en matériau ferromagnétique doux à forte perméabilité magnétique relative (tel que le fer doux ou le \mu-métal), ce qui canalise les lignes de champ et isole magnétiquement l'instrument.
4. Compenser le compas : Régler les aimants et sphères de compensation (sphères de Thomson) intégrés au compas de route pour compenser les champs magnétiques résiduels inhérents au navire.