Corrigé détaillé Centrale Physique Chimie 2 MP 2023

Dans le vide en présence de sources (densité volumique de charge \rho et densité volumique de courant \vec{\jmath}), les équations de Maxwell locales s'énoncent :

• Équation de Maxwell-Gauss (MG) :

  \operatorname{div}\vec{E} = \frac{\rho}{\varepsilon_0}

• Équation de Maxwell-Thomson (conservation du flux magnétique) (MT) :

  \operatorname{div}\vec{B} = 0

• Équation de Maxwell-Faraday (MF) :

  \vec{\operatorname{rot}}\vec{E} = -\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}

• Équation de Maxwell-Ampère (MA) :

  \vec{\operatorname{rot}}\vec{B} = \mu_0 \vec{\jmath} + \mu_0\varepsilon_0 \frac{\partial \vec{E}}{\partial t}

Dans une région de l'espace vide de charges et de courants, les densités de sources sont nulles : \rho = 0 et \vec{\jmath} = \vec{0}. Les équations de Maxwell deviennent alors :

où c = \frac{1}{\sqrt{\varepsilon_0\mu_0}} est la célérité de la lumière dans le vide.

Dans le vide de charges et de courants, les équations de Maxwell s'écrivent, d'après la question Q1 :

Prenons le rotationnel de l'équation de Maxwell-Faraday :

en vertu du théorème de Schwarz qui permet d'intervertir les dérivées spatiales et temporelles.

En utilisant l'identité vectorielle du formulaire :

Or \operatorname{div}\vec{E} = 0, donc le membre de gauche se réduit à -\Delta \vec{E}.

En injectant l'équation de Maxwell-Ampère dans le membre de droite :

On en déduit :

En posant c = \frac{1}{\sqrt{\varepsilon_0\mu_0}}, on obtient l'équation de d'Alembert vérifiée par \vec{E} :

Le champ électrique de l'onde incidente s'écrit :

• Direction et sens de propagation : la phase de l'onde est \phi(x,t) = \omega t - k x. Les plans d'onde (surfaces équiphases \phi = \text{cste}) vérifient x(t) = \frac{\omega}{k}t + \text{cste}. Avec les grandeurs \omega > 0 et k > 0, la vitesse de phase v_{\varphi} = \frac{\omega}{k} est positive. L'onde se propage donc selon la direction de l'axe (Ox), dans le sens des x croissants (vers la plaque située en x = 0).
• État de polarisation : le champ électrique vibre en permanence le long d'une direction fixe portée par \vec{u}_y. L'onde possède ainsi une polarisation rectiligne selon l'axe (Oy).

D'après la question Q2, le champ électrique vérifie dans le vide l'équation de d'Alembert :

Le champ \vec{E}_i ne dépendant spatialement que de la variable x, le laplacien vectoriel se réduit à :

En injectant ces expressions dans l'équation de propagation, on obtient :

Pour que cette équation soit vérifiée en tout point et à chaque instant avec E_0 \neq 0, il vient la relation de dispersion :

Un conducteur parfait est un modèle idéalisé de conducteur ohmique dont la conductivité électrique est infinie :

Les porteurs de charge mobiles s'y déplacent ainsi sans aucune résistance, c'est-à-dire sans dissipation d'énergie par effet Joule.

D'après la loi d'Ohm locale, le vecteur densité volumique de courant s'écrit :

Pour que \vec{\jmath}(M, t) conserve une valeur finie en tout point intérieur au conducteur, il est nécessaire que le champ électrique y soit identiquement nul :

1. Vérification de la relation de passage pour l'onde incidente seule

Le milieu 1 correspond au demi-espace x < 0 (vide) et le milieu 2 au conducteur parfait occupant x > 0. Le vecteur unitaire normal sortant du milieu 1 vers le milieu 2 est \vec{n}_{1\to 2} = \vec{u}_x.

D'après la question Q4, le champ électrique est nul dans le conducteur parfait : \vec{E}_2(M, t) = \vec{0}. La relation de passage (I.2) s'écrit alors en x = 0 :

Le membre de droite étant purement normal à l'interface, la composante tangentielle du champ électrique doit être nulle en x = 0 :

Or, pour l'onde incidente seule :

Cette composante est entièrement tangentielle et non identiquement nulle à tout instant t. L'onde incidente seule ne vérifie donc pas la relation de passage (I.2).

2. Détermination de \vec{E}_{0r}, \omega' et k'

En présence d'une onde réfléchie \vec{E}_r(M, t) = \vec{E}_{0r}\cos(\omega' t + k' x), le champ électrique total dans le milieu 1 est \vec{E}_1(x, t) = \vec{E}_i(x, t) + \vec{E}_r(x, t).

En x = 0, la condition aux limites impose :

car le champ incident n'ayant pas de composante normale, il n'y a pas de charges surfaciques induites (\sigma = 0).

Pour que cette égalité soit vérifiée pour tout t, il faut nécessairement :

L'onde réfléchie se propageant dans le vide (x < 0), elle vérifie l'équation de d'Alembert établie en Q2, ce qui impose la relation de dispersion (Q3) k' = \omega'/c, d'où :

3. Propagation et polarisation de l'onde réfléchie

Le champ électrique de l'onde réfléchie s'écrit :

• La phase s'écrit sous la forme \omega(t + x/c) : l'onde se propage selon la direction de l'axe (Ox), dans le sens des x décroissants (sens de -\vec{u}_x).
• Le champ électrique reste colinéaire au vecteur unitaire \vec{u}_y : l'onde possède un état de polarisation rectiligne selon l'axe (Oy).

D'après les questions Q3 et Q5, le champ électrique total dans le demi-espace x < 0 s'écrit comme la superposition de l'onde incidente et de l'onde réfléchie :

En utilisant l'identité trigonométrique \cos(a - b) - \cos(a + b) = 2 \sin a \sin b, il vient directement :

Pour le champ magnétique, chaque onde plane progressive harmonique vérifie la relation de structure dans le vide \vec{B} = \frac{1}{c} \vec{u} \wedge \vec{E}, où \vec{u} est le vecteur unitaire de propagation :

• Pour l'onde incidente se propageant selon +\vec{u}_x :

  \vec{B}_i(x, t) = \frac{1}{c}\vec{u}_x \wedge \vec{E}_i(x, t) = \frac{E_0}{c} \cos(\omega t - kx) \, \vec{u}_z

• Pour l'onde réfléchie se propageant selon -\vec{u}_x :

  \vec{B}_r(x, t) = \frac{1}{c}(-\vec{u}_x) \wedge \vec{E}_r(x, t) = \frac{1}{c}(-\vec{u}_x) \wedge \left[-E_0 \cos(\omega t + kx)\vec{u}_y\right] = \frac{E_0}{c} \cos(\omega t + kx) \, \vec{u}_z

Par superposition :

L'identité \cos(a - b) + \cos(a + b) = 2 \cos a \cos b conduit à :

Les variables spatiale x et temporelle t sont découplées sous la forme d'un produit f(x)g(t) : il s'agit d'une onde stationnaire (purement stationnaire du fait de la réflexion totale).

D'après la question Q6, la superposition de l'onde incidente et de l'onde réfléchie sur le conducteur parfait en x = 0 donne naissance à une onde stationnaire dont le champ électrique est de la forme :

L'antenne A mesure une tension proportionnelle à la moyenne temporelle \langle \vec{E}^2 \rangle, soit :

La tension U varie donc spatialement de manière périodique en fonction de la position de l'antenne, avec une période spatiale \Delta d correspondant à la distance entre deux nœuds ou deux ventres consécutifs :

Pour déterminer précisément la valeur de \Delta d, on mesure la distance sur plusieurs périodes spatiales sur la figure 3 :

• Entre le premier minimum situé à d_1 \approx 37{,}3\text{ cm} et le cinquième minimum situé à d_5 \approx 42{,}75\text{ cm}, on compte 4\,\Delta d :

  4\,\Delta d = d_5 - d_1 \approx 42{,}75 - 37{,}3 = 5{,}45\text{ cm} \implies \Delta d \approx 1{,}36\text{ cm}
• On vérifie sur les maxima : entre le premier maximum à d_{\max, 1} \approx 37{,}95\text{ cm} et le quatrième à d_{\max, 4} \approx 42{,}05\text{ cm}, on a 3\,\Delta d \approx 4{,}10\text{ cm}, soit \Delta d \approx 1{,}37\text{ cm}.

On retient ainsi :

La célérité des ondes électromagnétiques dans l'air étant assimilée à celle dans le vide c = 3{,}00 \times 10^8\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}, on en déduit la fréquence :

D'après la question Q7, la fréquence est reliée à la distance \Delta d entre deux minima successifs par :

En considérant la vitesse de la lumière c parfaitement connue, la propagation des incertitudes conduit à l'incertitude-type relative :

Pour minimiser l'incertitude de lecture, la mesure est effectuée sur plusieurs pseudo-périodes. En mesurant la distance L = 4\Delta d entre le premier minimum (d_1 \approx 37{,}3\text{ cm}) et le cinquième minimum (d_5 \approx 42{,}7\text{ cm}), soit L \approx 5{,}4\text{ cm} :

L'incertitude de lecture sur chaque position peut être modélisée par une loi uniforme de demi-largeur \Delta = 0{,}05\text{ cm} (soit une graduation de 0{,}1\text{ cm}) :

L'incertitude-type sur la distance totale L = d_5 - d_1 vaut :

On en déduit l'incertitude-type sur \Delta d :

Avec f \approx 11\text{ GHz} et \Delta d \approx 1{,}35\text{ cm} :

(une estimation moins optimiste de la lecture conduirait à u(f) \approx 0{,}2\text{ GHz}).

Pour tester la compatibilité de cette mesure avec la valeur constructeur f_{\text{cons}} = 11\text{ GHz} et son incertitude-type u_{\text{cons}} = 0{,}6\text{ GHz}, on calcule l'écart normalisé E_n :

Avec f \approx 11{,}1\text{ GHz} :

Comme E_n < 2, l'écart entre la valeur mesurée et la spécification constructeur n'est pas significatif : la mesure est pleinement acceptable et valide les données constructeur.

• Rôle de la plaque de bois aggloméré \mathrm{S} : Inclinée à 45^\circ par rapport à l'axe de propagation, cette plaque d'un matériau diélectrique peu absorbant réfléchit partiellement et transmet partiellement l'onde électromagnétique incidente. Elle réalise une division d'amplitude de l'onde incidente en deux faisceaux et assure ensuite leur recombinaison vers le récepteur \mathrm{R}. Elle joue le rôle d'une lame séparatrice.

• Rôle des plaques métalliques \mathrm{P}_1 et \mathrm{P}_2 : Constituées d'un bon conducteur métallique, ces plaques réfléchissent totalement l'onde incidente sous incidence normale. Elles jouent le rôle de miroirs plans :

  • \mathrm{P}_1 constitue un miroir plan fixe ;
  • \mathrm{P}_2 constitue un miroir plan mobile (miroir chariotable), dont la translation d'abscisse x permet de faire varier la différence de marche entre les deux trajets.

Ce montage est l'analogue direct de l'interféromètre de Michelson utilisé en optique ondulatoire, transposé ici dans le domaine des ondes centimétriques.

L'onde émise par E est divisée par la séparatrice S en deux ondes de même pulsation \omega et de même polarisation, qui se propagent dans chacun des deux bras de l'interféromètre :

• L'onde 1 se réfléchit sur \mathrm{P}_1 (position fixe) :

  \vec{E}_1(t) = E_{01} \cos(\omega t - \phi_1) \vec{u}_y

• L'onde 2 se réfléchit sur \mathrm{P}_2 (position variable x). Un déplacement de la plaque de x fait varier le chemin optique de l'aller-retour de \Delta L = 2x, introduisant un déphasage supplémentaire de 2kx = \frac{4\pi x}{\lambda} :

  \vec{E}_2(t) = E_{02} \cos\left(\omega t - \phi_2(0) - \frac{4\pi x}{\lambda}\right) \vec{u}_y

Le récepteur R reçoit la somme de ces deux champs : \vec{E}_{\mathrm{tot}}(t) = \vec{E}_1(t) + \vec{E}_2(t). La puissance moyenne détectée est proportionnelle à \langle \vec{E}_{\mathrm{tot}}^2 \rangle :

où \Delta\phi_0 = \phi_2(0) - \phi_1 est une constante de phase dépendant du choix de l'origine de x.

La tension continue délivrée par le boîtier est donc de la forme :

avec U_0 \propto \frac{1}{2}(E_{01}^2 + E_{02}^2) la tension moyenne et C = \frac{2E_{01}E_{02}}{E_{01}^2 + E_{02}^2} le contraste des franges.

La fonction U(x) est périodique de période spatiale (interfrange) :

Sur la figure 4, on repère par exemple les positions des extrema :

• Les minima successifs se situent à x_1 \approx 1{,}35\text{ cm} et x_5 \approx 6{,}85\text{ cm}, soit sur 4 périodes :

  4i = x_5 - x_1 \approx 6{,}85 - 1{,}35 = 5{,}50\text{ cm} \implies i \approx 1{,}38\text{ cm}
• Les maxima successifs confirment cette valeur (x_{\max,1} \approx 0{,}65\text{ cm}, x_{\max,5} \approx 6{,}15\text{ cm}, soit 4i \approx 5{,}50\text{ cm}).

On en déduit la longueur d'onde :

La fréquence de l'onde dans l'air (assimilé au vide) vaut :

Par définition, le contraste (ou visibilité des franges) associé au signal de détection s'écrit :

D'après la figure 4, on relève les valeurs moyennes des extrema :

• pour les maxima : U_{\max} \approx 6{,}3 \pm 0{,}1\text{ V} ;
• pour les minima : U_{\min} \approx 2{,}2 \pm 0{,}1\text{ V}.

On en déduit l'estimation numérique du contraste :

Le contraste obtenu est significativement inférieur à la valeur idéale \mathcal{C} = 1 (qui correspondrait à U_{\min} = 0). Plusieurs facteurs physiques concourent à cette diminution :

• Inégalité des amplitudes des deux ondes interférant au niveau de R : la séparatrice S est une simple plaque de bois aggloméré. En plus de ne pas vérifier strictement l'égalité des facteurs de réflexion et de transmission (R \neq T), le bois présente des pertes diélectriques par absorption. Les amplitudes E_1 et E_2 des deux faisceaux recombinés ne sont donc pas rigoureusement identiques, ce qui empêche une extinction destructive totale.
• Rayonnement direct et diffusions parasites : les cornets d'émission et de réception ont un diagramme de rayonnement présentant une certaine ouverture angulaire. Une partie de l'onde émise par E peut ainsi parvenir directement au récepteur R sans traverser l'interféromètre, ou après réflexion sur les éléments environnants (table, supports). Ce champ parasite non modulé constitue un fond continu qui s'ajoute à la tension mesurée, relevant la valeur de U_{\min}.
• Divergence du faisceau : lors du déplacement de la plaque \mathrm{P}_2, l'écart géométrique des trajets entraîne une légère dissymétrie supplémentaire d'atténuation géométrique entre les deux voies.

Le milieu 1 correspond au demi-espace x<0 et le milieu 2 au conducteur parfait occupant le demi-espace x>0. La normale unitaire sortante de 1 vers 2 est \vec{n}_{1 \to 2} = \vec{u}_x.

D'après le préambule de la sous-partie I.A.4, le champ magnétique est nul dans un conducteur parfait :

D'après la question Q6, le champ magnétique résultant dans le demi-espace x<0 s'écrit :

En x = 0^-, sa limite vaut :

La relation de passage (I.3) s'écrit :

Le courant surfacique étant nécessairement tangentiel à la surface de la plaque, \vec{\jmath}_s \cdot \vec{u}_x = 0. En effectuant le produit vectoriel par \vec{u}_x, on a :

Il vient ainsi :

Source physique du champ réfléchi :
L'onde incidente exerce sur les électrons de conduction du métal une force électrique \vec{F} = -e\vec{E}_i, ce qui génère un mouvement oscillatoire collectif de ces porteurs de charge, c'est-à-dire le courant surfacique induit \vec{\jmath}_s(M, t).
Ces charges accélérées rayonnent à leur tour une onde électromagnétique :

• vers le demi-espace x>0, l'onde rayonnée interfère de façon parfaitement destructive avec l'onde incidente, assurant un champ nul au sein du conducteur ;
• vers le demi-espace x<0, l'onde rayonnée se propage vers les x décroissants : elle constitue physiquement l'onde réfléchie \vec{E}_r(M, t).

La source physique du champ réfléchi est donc l'ensemble des courants surfaciques induits \vec{\jmath}_s(M, t) oscillant à la surface du conducteur.

D'après l'énoncé, des courants de conduction surfaciques ne peuvent circuler que le long des barreaux métalliques. La composante du champ électrique parallèle aux barreaux induit un courant qui la réfléchit totalement (comportement d'un conducteur parfait), tandis que la composante perpendiculaire ne peut induire de courant et est intégralement transmise sans atténuation.

• Cas no 1 : barreaux parallèles à l'axe Oy (parallèles à \vec{E})

  Le champ incident \vec{E}_i(x, t) = E_0\cos(\omega t - kx)\vec{u}_y est colinéaire aux barreaux. Des courants surfaciques \vec{\jmath}_s \parallel \vec{u}_y s'établissent librement et annulent le champ électrique tangentiel à la surface de la grille. L'onde incidente est donc totalement réfléchie comme sur une plaque conductrice pleine :

  \boxed{\vec{E}(x > 0, t) = \vec{0}}

• Cas no 2 : barreaux parallèles à l'axe Oz (perpendiculaires à \vec{E})

  Le champ incident est orthogonal aux barreaux. Aucun courant ne peut circuler le long de \vec{u}_y à travers l'espacement isolant entre les barreaux. La grille est transparente pour cette composante :

  \boxed{\vec{E}(x > 0, t) = E_0\cos(\omega t - kx)\vec{u}_y}

  L'onde transmise est identique à l'onde incidente (propagation selon +x, polarisation rectiligne selon \vec{u}_y).

• Cas no 3 : barreaux inclinés à 45^\circ dans le plan (yOz)

  Définissons le vecteur unitaire colinéaire aux barreaux \vec{u}_{\parallel} = \frac{1}{\sqrt{2}}(\vec{u}_y + \vec{u}_z) et le vecteur orthogonal dans le plan de la grille \vec{u}_{\perp} = \frac{1}{\sqrt{2}}(\vec{u}_y - \vec{u}_z). Le champ incident se décompose sous la forme :

  \vec{E}_i(x, t) = \frac{E_0}{\sqrt{2}}\cos(\omega t - kx)\vec{u}_{\parallel} + \frac{E_0}{\sqrt{2}}\cos(\omega t - kx)\vec{u}_{\perp}

  La composante parallèle est totalement réfléchie, seule la composante perpendiculaire est transmise :

  \boxed{\vec{E}(x > 0, t) = \frac{E_0}{\sqrt{2}}\cos(\omega t - kx)\vec{u}_{\perp} = \frac{E_0}{2}\cos(\omega t - kx)(\vec{u}_y - \vec{u}_z)}

  Il s'agit d'une onde plane progressive monochromatique se propageant selon +x, de pulsation \omega, polarisée rectilignement selon la direction perpendiculaire aux barreaux, d'amplitude E_0/\sqrt{2}.

D'après les résultats de la question précédente (Q13), la grille métallique ne transmet que la composante du champ électrique orthogonale à la direction de ses barreaux : elle sélectionne donc un état de polarisation rectiligne bien précis.

Ce dispositif se comporte ainsi exactement comme un polariseur rectiligne (ou film polaroïd, filtre polarisant), couramment utilisé en travaux pratiques d'optique ondulatoire (pour vérifier la loi de Malus ou réaliser des mesures de polarimétrie).

Pour une onde spatiale centimétrique, la longueur d'onde est typiquement \lambda \approx 1\text{ à }10\text{ cm}.

1. Choix du matériau réflecteur : un treillis ou grillage métallique

• Les ondes cosmiques reçues n'ont pas de direction de polarisation privilégiée fixée à l'avance (ou sont non polarisées). D'après l'étude de la grille (Q13-Q14), une grille unidirectionnelle ne réfléchirait que la composante du champ électrique parallèle à ses barreaux et transmettrait l'autre.
• Pour réfléchir toutes les polarisations comme une surface métallique pleine, la surface réflectrice doit être constituée d'un grillage métallique bidimensionnel (treillis à mailles carrées en aluminium ou acier inoxydable).

• La condition de réflexion quasi-totale impose que la taille d'une maille a soit très inférieure à la longueur d'onde :

  a \ll \lambda \quad \implies \quad a \sim 1\text{ à }5\text{ mm}.

2. Conception mécanique pour une dimension de l'ordre de 100 m

• Réaliser un disque plein de 100\text{ m} de diamètre serait irréaliste d'un point de vue mécanique : la masse surfacique et la prise au vent (effet de voile dévastateur lors de tempêtes) détruiraient la structure ou exigeraient des moteurs de pointage surdimensionnés.

• L'utilisation d'un grillage métallique présente des atouts majeurs :

  • Allègement massif de la structure portée ;
  • Prise au vent considérablement réduite, l'air traversant la grille ;
  • Évacuation des intempéries (pluie, neige) sans accumulation sur la parabole.
• En pratique, le miroir parabolique est segmenté en panneaux modulaires grillagés montés sur une armature métallique rigide en treillis, assurant la conservation de la forme parabolique avec une précision meilleure que \lambda/16 \sim \text{quelques millimètres}.

L'onde électromagnétique est modélisée par une onde plane harmonique transverse se propageant selon \vec{u}_x. Le champ électrique s'écrit en représentation complexe :

Calculons la divergence de ce champ :

D'après l'équation de Maxwell-Gauss :

on en déduit directement :

Le plasma reste donc rigoureusement neutre localement en tout point M et à tout instant t en présence de l'onde.

La densité volumique de charge s'exprime en fonction des densités volumiques des porteurs :

Comme M \gg m, les cations sont immobiles sous l'effet de l'onde radio (modèle du plasma froid) ; leur répartition spatiale reste uniforme et inchangée par rapport à l'état de repos, soit n_c = n.

La neutralité locale \rho = 0 impose alors :

La densité volumique d'électrons reste uniforme, constante et égale à sa valeur d'équilibre n.

Considérons un électron de masse m, de charge -e et de vecteur vitesse \vec{v}. Dans le cadre du modèle du plasma froid dilué, on néglige les collisions entre particules ainsi que la composante magnétique de la force de Lorentz devant la composante électrique.

Dans le référentiel galiléen du laboratoire, le principe fondamental de la dynamique appliqué à un électron s'écrit :

En régime sinusoïdal établi, en adoptant la représentation complexe où la dépendance temporelle est en \exp(\mathrm{i}\omega t) (soit \frac{\partial}{\partial t} \leftrightarrow \mathrm{i}\omega), il vient :

Puisque les ions sont considérés comme immobiles (M \gg m), ils ne contribuent pas au transport de charge. Avec n_e = n d'après la question Q16, le vecteur densité volumique de courant dans le plasma est uniquement dû aux électrons :

On en déduit que \underline{\vec{\jmath}} et \underline{\vec{E}} sont bien reliés par une loi d'Ohm locale complexe \underline{\vec{\jmath}} = \underline{\theta}_B \underline{\vec{E}}, avec :

Dans le plasma, la densité volumique de charge est nulle (\rho = 0), et le courant volumique s'écrit \underline{\vec{\jmath}} = \underline{\theta}_B \underline{\vec{E}}. En régime sinusoïdal de pulsation \omega (avec la convention temporelle \mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega t}), les équations de Maxwell s'écrivent :

En appliquant l'opérateur rotationnel à l'équation de Maxwell-Faraday et en utilisant l'identité vectorielle \vec{\operatorname{rot}}(\vec{\operatorname{rot}}\underline{\vec{E}}) = \vec{\operatorname{grad}}(\operatorname{div}\underline{\vec{E}}) - \Delta \underline{\vec{E}} avec \operatorname{div}\underline{\vec{E}} = 0 :

Pour une onde plane se propageant selon l'axe Ox, de la forme \underline{\vec{E}}(x,t) = \underline{\vec{E}}_0 \exp(\mathrm{i}(\omega t - \underline{k} x)), le laplacien vectoriel se réduit à :

L'équation de propagation devient alors :

En introduisant la célérité de la lumière dans le vide c = 1/\sqrt{\varepsilon_0\mu_0} et l'expression de la conductivité complexe établie à la question Q17 (\underline{\theta}_B = -\mathrm{i}\frac{n e^2}{m\omega}) :

On en déduit :

avec :

qui est la pulsation plasma (pulsation de Langmuir).

D'après la relation de dispersion établie à la question Q18, le carré du nombre d'onde s'écrit :

L'onde est de la forme \underline{\vec{E}}(x, t) = \underline{\vec{E}}_0 \exp(\mathrm{i}(\omega t - \underline{k}x)). Deux régimes se présentent :

• Si \omega < \omega_p, \underline{k}^2 < 0 : le nombre d'onde \underline{k} = -\mathrm{i}\alpha (avec \alpha > 0) est imaginaire pur. L'onde présente une décroissance exponentielle en espace \exp(-\alpha x), caractéristique d'une onde évanescente sans propagation d'énergie à grande distance.
• Si \omega > \omega_p, \underline{k}^2 > 0 : le nombre d'onde k = \frac{1}{c}\sqrt{\omega^2 - \omega_p^2} est réel non nul. La phase se propage le long de l'axe (Ox) sans amortissement.

Par conséquent, l'onde peut se propager dans le plasma si et seulement si :

D'après la question Q18, pour \omega > \omega_p, la relation de dispersion s'écrit :

où k = \frac{1}{c}\sqrt{\omega^2 - \omega_p^2} > 0 correspond à une propagation dans le sens des x croissants.

Par définition, la vitesse de groupe est donnée par :

En différentiant la relation de dispersion, on obtient :

En remplaçant k par son expression en fonction de \omega, il vient :

D'après les questions Q18 et Q20, la vitesse de groupe s'écrit :

Elle dépend directement de la pulsation plasma \omega_p, et donc de la densité volumique électronique n_e.

Or, le milieu interstellaire traversé par l'onde sur la distance L n'est pas homogène : la densité électronique varie le long de la ligne de visée, n_e = n_e(\ell). Il en résulte que la pulsation plasma \omega_p(\ell) et la vitesse de groupe v_g(\omega, \ell) dépendent de la position \ell :

La vitesse de groupe n'étant pas uniforme le long du trajet, on ne peut pas la sortir de l'intégrale définissant le temps de parcours :

D'après la question Q20, la vitesse de groupe dans le plasma s'écrit :

Pour une pulsation \omega \to \infty (c'est-à-dire \omega \gg \omega_p en tout point de la ligne de visée), le terme correctif s'annule :

La célérité c étant constante et indépendante de la position le long du trajet, le temps de parcours à pulsation infinie vaut :

D'après l'expression de la vitesse de groupe établie à la question Q20, pour toute onde se propageant dans le plasma (\omega > \omega_p) :

Par conséquent, en chaque point de la ligne de visée :

En intégrant cette inégalité stricte sur le trajet de longueur L entre l'astre et la Terre, on obtient :

On en déduit immédiatement le signe de \tau(\omega) :

Concrètement, la grandeur \tau(\omega) représente le retard de propagation (ou retard de groupe) accumulé par la composante spectrale de pulsation \omega lors de sa traversée du plasma interstellaire par rapport à une propagation dans le vide.

D'après la question Q18, la pulsation plasma locale s'écrit :

Pour n_e \approx 10^{-4}\text{ cm}^{-3} = 10^2\text{ m}^{-3}, on évalue l'ordre de grandeur de la fréquence plasma f_p :

Pour des ondes d'observation du gigahertz, f \sim 10^9\text{ Hz} \gg f_p, soit \frac{\omega_p}{\omega} \ll 1.

En utilisant l'expression de la vitesse de groupe établie à la question Q20 :

le temps de parcours s'écrit :

À l'ordre 1 en \left(\frac{\omega_p}{\omega}\right)^2, le développement limité donne :

Le retard de groupe par rapport au vide s'obtient alors par :

En introduisant la mesure de dispersion \mathrm{DM} = \int_0^L n_e\,\mathrm{d}\ell, on obtient bien l'expression recherchée :

avec :

D'après la question Q24, l'expression de la constante A est :

Vérifions d'abord la dimension de A dans le Système International :

• La force électrostatique donne [e^2 / (4\pi\varepsilon_0)] = [F \cdot r^2] = \mathrm{M}\cdot\mathrm{L}^3\cdot\mathrm{T}^{-2}.
• Ainsi, [A] = \dfrac{\mathrm{M}\cdot\mathrm{L}^3\cdot\mathrm{T}^{-2}}{\mathrm{M}\cdot(\mathrm{L}\cdot\mathrm{T}^{-1})} = \mathrm{L}^2\cdot\mathrm{T}^{-1}, l'unité SI de A est donc le \mathrm{m}^2\cdot\mathrm{s}^{-1}.

Procédons à l'application numérique avec les valeurs données par l'énoncé :

On obtient au dénominateur :

et au numérateur :

D'où :

D'après la relation établie à la question Q24 :

avec A > 0 et \mathrm{DM} > 0.

• Le temps de parcours t(f) est une fonction strictement décroissante de la fréquence f. Par conséquent, les composantes spectrales de plus haute fréquence se propagent plus vite (leur vitesse de groupe v_g est plus proche de c) et sont détectées en premier. Au fil du temps, la fréquence du signal reçu doit donc décroître.

• Sur l'enregistrement de la figure 6 (spectrogramme temps-fréquence d'un péritio) :

  • vers t \approx 250\text{ ms}, le signal est détecté aux plus hautes fréquences de la bande (f \approx 1500\text{ MHz}) ;
  • vers t \approx 600\text{ ms}, le signal n'est plus présent qu'aux plus basses fréquences (f \approx 1250\text{ MHz}).

De plus, la dérivée \left|\dfrac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}f}\right| = \dfrac{2A\,\mathrm{DM}}{f^3} augmente lorsque la fréquence diminue, ce qui correspond bien à la concavité de la trajectoire observée dans le plan (t, f).

D'après la relation établie à la question Q24, l'instant d'arrivée d'une composante de fréquence f est donné par :

Pour deux composantes de fréquences f_1 et f_2 arrivant respectivement aux instants t_1 et t_2, on a :

soit :

Effectuons une lecture graphique sur la figure 6 aux deux extrémités de la trace spectrale :

• à haute fréquence : f_1 = 1500\text{ MHz} = 1{,}50 \times 10^9\text{ Hz}, on lit t_1 \approx 380\text{ ms} ;
• à basse fréquence : f_2 = 1200\text{ MHz} = 1{,}20 \times 10^9\text{ Hz}, on lit t_2 \approx 650\text{ ms}.

Le retard relatif entre ces deux fréquences vaut :

Calculons le facteur de fréquence :

Avec A = 1{,}34 \times 10^{-7}\text{ m}^2\cdot\text{s}^{-1} (calculé en Q25) :

Convertissons cette grandeur dans l'unité usuelle \mathrm{pc}\cdot\mathrm{cm}^{-3} :

On en déduit :

Compte tenu de la précision de lecture sur le spectrogramme (de l'ordre de \pm 30\text{ ms}), on retient :

D'après le résultat de la question Q27, la mesure de dispersion estimée pour le péritio de la figure 6 est :

Cette valeur est précisément de l'ordre de grandeur de « quelques centaines de \text{pc}\cdot\text{cm}^{-3} » typiquement mesurée pour les sources radio extragalactiques (telles que les sursauts radio rapides).

Par conséquent, sur le seul critère de la mesure de dispersion \mathrm{DM}, on ne peut pas exclure une origine extragalactique aux péritios.

Les parois de la cavité (x=0, x=a, y=0, y=b, z=0 et z=d) sont constituées d'un conducteur parfait dans lequel règne un champ électrique nul (\vec{E}=\vec{0}). D'après la relation de passage du champ électrique (équation I.2), la composante tangentielle du champ électrique est continue à l'interface, ce qui impose sur chaque paroi intérieure :

Examinons les composantes tangentielles sur les différentes faces :

• Sur les parois en x = 0 et x = a : le vecteur normal est \vec{u}_x. Les composantes tangentielles sont donc E_y et E_z.

  • En x = 0 : \sin(k_x \times 0) = 0, donc E_y(0,y,z,t) = E_z(0,y,z,t) = 0 est naturellement vérifiée pour tout (y,z,t).

  • En x = a : E_y(a,y,z,t) = 0 et E_z(a,y,z,t) = 0 pour tout (y,z,t) impose :

    \sin(k_x a) = 0 \implies k_x a = m\pi \quad (m \in \mathbb{N})

• Sur les parois en y = 0 et y = b : le vecteur normal est \vec{u}_y. Les composantes tangentielles sont E_x et E_z.

  • En y = 0 : \sin(k_y \times 0) = 0, les composantes sont nulles.

  • En y = b : E_x(x,b,z,t) = E_z(x,b,z,t) = 0 impose :

    \sin(k_y b) = 0 \implies k_y b = n\pi \quad (n \in \mathbb{N})

• Sur les parois en z = 0 et z = d : le vecteur normal est \vec{u}_z. Les composantes tangentielles sont E_x et E_y.

  • En z = 0 : \sin(k_z \times 0) = 0, les composantes sont nulles.

  • En z = d : E_x(x,y,d,t) = E_y(x,y,d,t) = 0 impose :

    \sin(k_z d) = 0 \implies k_z d = \ell\pi \quad (\ell \in \mathbb{N})

Seules des valeurs discrètes de k_x, k_y et k_z sont donc autorisées :

Dans le vide intérieur de la cavité (0 < x < a, 0 < y < b, 0 < z < d), le champ électrique vérifie l'équation de d'Alembert (établie à la question Q2) :

Chacune des composantes cartésiennes E_u(x,y,z,t) (pour u \in \{x, y, z\}) est constituée de fonctions trigonométriques du type \cos ou \sin de pulsation spatiale k_x selon x, k_y selon y et k_z selon z, et de pulsation temporelle \omega. On a donc :

Le laplacien scalaire de chaque composante vaut ainsi :

L'équation de d'Alembert impose alors :

En utilisant la relation entre pulsation et fréquence \omega = 2\pi f_{mn\ell} et les expressions des composantes du vecteur d'onde établies à la question Q29 :

il vient :

On en déduit l'expression des fréquences propres de la cavité :

où (m, n, \ell) sont des entiers naturels, deux d'entre eux au moins étant non nuls pour assurer un champ non identiquement nul compatible avec \operatorname{div}\vec{E} = 0.

1. Détermination du triplet (m, n, \ell)

L'échauffement du papier (virage au bleu) est proportionnel à la puissance volumique dissipée, donc à la moyenne temporelle \langle \vec{E}^2 \rangle. Les taches sombres correspondent aux ventres du champ électrique.

• Sur la figure 8a (coupe selon (Ox, Oz) à y = b/2) et la figure 8c (coupe selon (Ox, Oy) à z = d/2), on observe 3 motifs sombres selon la direction Ox, soit :

  m = 3

• Sur la figure 8c (coupe selon (Ox, Oy)), on observe 2 rangées de taches selon l'axe vertical Oy, soit :

  n = 2

• Sur la figure 8a et la figure 8b (coupe selon (Oz, Oy) à x = a/2), on compte 3 colonnes de taches selon la direction Oz, soit :

  \ell = 3

Le mode propre excité dans la cavité est ainsi caractérisé par le triplet :

2. Accord de fréquence avec le klystron

D'après la formule établie à la question Q30, la fréquence propre associée s'écrit :

Avec a = 0{,}360\text{ m}, b = 0{,}240\text{ m}, d = 0{,}265\text{ m} et c = 3{,}00 \times 10^8\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} :

D'où :

Cette valeur coïncide remarquablement avec la fréquence de fonctionnement du klystron (f = 2{,}45\text{ GHz}).

3. Justification de l'aspect de la figure 8b

La figure 8b correspond à la coupe x = a/2 = 18\text{ cm}. En cette position :

Par conséquent, la composante E_x s'annule identiquement sur cette feuille (E_x = 0), et le champ électrique n'a que deux composantes non nulles :

Examinons les conditions aux limites sur les parois métalliques conductrices parfaites :

• Sur les parois horizontales y = 0 et y = b : la normale est \vec{u}_y. La composante tangentielle E_z s'annule car \sin(k_y y) = 0. En revanche, la composante normale E_y ne s'annule pas :

  E_y(a/2, 0, z, t) = -E_2 \sin(k_z z)\cos(\omega t)

  Elle présente 3 ventres le long de la paroi en z. C'est pourquoi les 3 taches sombres s'étendent et touchent directement les bords supérieur (y = b) et inférieur (y = 0).

• Sur les parois verticales z = 0 et z = d : la normale est \vec{u}_z. La composante tangentielle E_y s'annule (\sin(k_z z) = 0). La seule composante non nulle est la composante normale :

  E_z(a/2, y, 0, t) = -E_3 \sin(k_y y)\cos(\omega t)

  Or, on constate sur la figure 8b que les bords verticaux z = 0 et z = d restent parfaitement clairs (absence totale d'échauffement). On en déduit que :

  \boxed{E_3 \ll E_2}

  L'onde injectée par le guide d'onde dans la cavité est principalement polarisée selon \vec{u}_y, de sorte que l'amplitude E_3 de la composante selon z est négligeable devant E_2.

Dans le vide intérieur de la cavité, le champ électromagnétique vérifie l'équation de Maxwell-Faraday :

Le champ électrique s'écrit \vec{E}(x, t) = E_y(x, t) \vec{u}_y = E_0 \sin\left(\frac{n\pi x}{a}\right) \sin(\omega t) \vec{u}_y. En calculant son rotationnel :

On en déduit la dérivée temporelle du champ magnétique :

En intégrant par rapport au temps, et en considérant qu'aucun champ magnétique statique ne s'ajoute au régime sinusoïdal établi, on obtient :

Par ailleurs, le champ électrique vérifie l'équation de propagation de d'Alembert dans le vide :

Ce qui impose la relation de dispersion du mode :

Il vient ainsi pour l'amplitude maximale B_0 :

Le champ magnétique dans la cavité s'écrit donc :

La densité volumique d'énergie électromagnétique s'écrit comme la somme des composantes électrique et magnétique :

En utilisant le champ électrique donné dans l'énoncé et le champ magnétique déterminé à la question Q32 :

L'intégration sur le volume de la cavité, invariant selon les directions transverses d'aire S, donne pour l'énergie électrique :

Comme n est un entier strictement positif, la valeur moyenne spatiale vaut :

D'où :

Or, d'après la question Q32, E_0 = c B_0 et avec \varepsilon_0 c^2 = \frac{1}{\mu_0}, on a \varepsilon_0 E_0^2 = \frac{B_0^2}{\mu_0}, ce qui conduit à :

De la même manière, pour l'énergie magnétique, sachant que \displaystyle\int_0^a \cos^2\left(\frac{n\pi x}{a}\right)\mathrm{d}x = \frac{a}{2} :

L'énergie électromagnétique totale contenue dans la cavité est donc la somme :

On constate que :

• L'énergie électromagnétique totale W est indépendante du temps : l'énergie globale se conserve dans la cavité en l'absence de pertes (parois parfaitement conductrices).
• Il y a un échange perpétuel d'énergie entre la forme purement électrique et la forme purement magnétique, en quadrature temporelle l'une par rapport à l'autre (analogue à un oscillateur harmonique sans amortissement).
• Les valeurs moyennes temporelles vérifient l'équipartition : \langle W_e \rangle = \langle W_m \rangle = \frac{W}{2}.

Dans un conducteur ohmique de conductivité \sigma, la loi d'Ohm locale s'écrit \vec{\jmath} = \sigma \vec{E}. L'équation de Maxwell-Ampère générale prend la forme :

En régime harmonique à la fréquence f (pulsation \omega = 2\pi f), l'ordre de grandeur de la dérivée temporelle est donné par \|\partial \vec{E}/\partial t\| \sim \omega \|\vec{E}\|. Le rapport entre le courant de déplacement et le courant de conduction s'évalue donc par :

Lorsque \varepsilon_0 f \ll \sigma, le courant de déplacement est tout à fait négligeable devant le courant de conduction. L'équation de Maxwell-Ampère se simplifie alors sous la forme :

Vérifions numériquement cette condition pour les parois en acier inoxydable du four à micro-ondes avec f = 2{,}45\text{ GHz} = 2{,}45 \times 10^9\text{ Hz}, \sigma = 1{,}5 \times 10^6\text{ S}\cdot\text{m}^{-1} et \varepsilon_0 = 8{,}85 \times 10^{-12}\text{ F}\cdot\text{m}^{-1} :

Le rapport vaut ainsi :

La condition \varepsilon_0 f \ll \sigma est donc très largement vérifiée dans le cadre du four à micro-ondes.

Dans le conducteur ohmique, en adoptant l'équation de Maxwell-Ampère simplifiée établie à la question Q34, les équations locales du champ électromagnétique s'écrivent :

En appliquant l'opérateur rotationnel à l'équation de Maxwell-Ampère et en utilisant l'identité vectorielle fournie par le formulaire :

Par ailleurs :

On en déduit l'équation vérifiée par le champ magnétique :

Caractère irréversible :
Cette équation est une équation de diffusion (ou équation de la diffusion magnétique). Elle fait intervenir une dérivée temporelle d'ordre un, \frac{\partial \vec{B}}{\partial t}, alors que les dérivées spatiales sont d'ordre deux (\Delta). Par conséquent, elle n'est pas invariante par renversement du temps (t \mapsto -t) : sous cette transformation, le laplacien reste invariant alors que la dérivée temporelle change de signe. Cette rupture de la symétrie par renversement temporel traduit le caractère irréversible du phénomène, lié à la dissipation d'énergie électromagnétique sous forme thermique par effet Joule (\vec{\jmath}\cdot\vec{E} = \sigma E^2 > 0).

Phénomène analogue :
On retrouve une équation identique en thermique avec l'équation de la chaleur (diffusion thermique régie par la loi de Fourier) :

où T est la température et D_{\mathrm{th}} la diffusivité thermique (on peut citer de façon analogue la diffusion de matière régie par les lois de Fick).

D'après la question Q35, le champ magnétique dans le conducteur vérifie l'équation de diffusion :

En introduisant la forme complexe proposée \underline{\vec{B}}(x,t) = \underline{f}(x)\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega t}\,\vec{u}_z, le laplacien vectoriel se réduit à :

L'équation différentielle vérifiée par \underline{f}(x) s'écrit donc :

On introduit la longueur caractéristique \delta, appelée épaisseur de peau :

Sachant que (1+\mathrm{i})^2 = 1 + 2\mathrm{i} - 1 = 2\mathrm{i}, on a :

L'équation différentielle devient ainsi :

L'équation caractéristique associée, r^2 - \left(\frac{1+\mathrm{i}}{\delta}\right)^2 = 0, admet pour racines :

La solution générale est donc de la forme :

Le conducteur occupant le demi-espace x > 0, l'amplitude du champ doit rester bornée lorsque x \to +\infty. Comme \mathrm{Re}\left(\frac{1+\mathrm{i}}{\delta}\right) = \frac{1}{\delta} > 0, le terme en \underline{C}_2 diverge exponentiellement, ce qui impose :

En x = 0, la condition aux limites impose \vec{B}(0, t) = B_0 \cos(\omega t)\,\vec{u}, soit en représentation complexe \underline{f}(0) = B_0. On en déduit \underline{C}_1 = B_0.

Finalement, la fonction complexe \underline{f}(x) s'écrit :

avec :

D'après le résultat de la question Q36, l'expression réelle du champ magnétique dans le conducteur (x > 0) est :

où \vec{u} est le vecteur unitaire de polarisation tangentiel à la paroi.

Commentaires sur l'expression du champ :

• Il s'agit d'une onde plane progressive amortie se propageant dans le conducteur vers les x croissants.

• Le terme oscillant \cos(\omega t - x/\delta) décrit la propagation d'une onde à la vitesse de phase :

  v_\varphi = \omega \delta = \sqrt{\frac{2\omega}{\mu_0\sigma}}

  associée à une longueur d'onde dans le métal \lambda_{\mathrm{m}} = 2\pi\delta.

• Le facteur exponentiel \exp(-x/\delta) traduit une atténuation spatiale très rapide de l'amplitude du champ au fur et à mesure de sa pénétration dans le métal, due aux pertes par effet Joule associées aux courants de Foucault induits.

Interprétation de \delta : La grandeur \delta = \sqrt{\frac{2}{\mu_0\sigma\omega}} représente l'épaisseur de peau (ou profondeur de pénétration) :

Au-delà de quelques épaisseurs de peau (à x \approx 3\delta à 5\delta), le champ électromagnétique ainsi que les densités volumiques de courant sont pratiquement nuls : les phénomènes électromagnétiques sont confinés dans une fine couche superficielle du métal (effet de peau ou effet Kelvin).

La puissance cédée par un champ électromagnétique aux porteurs de charge par unité de volume correspond au travail de la force de Lorentz par unité de temps et de volume. La force magnétique ne travaillant pas, cette puissance s'écrit :

Pour un conducteur ohmique régi par la loi d'Ohm locale \vec{\jmath} = \sigma \vec{E}, cette puissance volumique, entièrement dissipée sous forme thermique par effet Joule, s'exprime par :

Dans le métal de l'une des parois, l'épaisseur de peau \delta \sim 8\ \mu\text{m} est infime devant les dimensions macroscopiques des parois ; on peut donc modéliser chaque paroi par un demi-espace semi-infini.

En repérant la profondeur de pénétration dans le conducteur par la coordonnée normale X \ge 0, le champ magnétique s'écrit sous forme complexe :

D'après l'équation de Maxwell-Ampère sans courant de déplacement (établie à la question Q34) :

D'après la question Q38, la puissance volumique moyenne cédée au conducteur s'écrit :

En utilisant la relation définissant l'épaisseur de peau (question Q36), \delta^2 = \frac{2}{\mu_0 \sigma \omega}, soit \mu_0 \sigma \delta^2 = \frac{2}{\omega} :

La puissance moyenne dissipée dans une paroi de surface S s'obtient par intégration sur le demi-espace :

À l'autre paroi (x = a), l'amplitude du champ magnétique vaut |\cos(n\pi)| B_0 = B_0. Par symétrie, la dissipation est identique dans les deux parois. La puissance moyenne totale dissipée vaut ainsi :

Par définition, le facteur de qualité de la cavité s'écrit :

où W est l'énergie électromagnétique stockée dans la cavité et \Delta W_T est l'énergie dissipée sur une période T = \frac{2\pi}{\omega}.

L'énergie dissipée par effet Joule au cours d'une période s'exprime en fonction de la puissance moyenne dissipée dans les parois par :

Le facteur de qualité s'écrit donc sous la forme classique :

D'après la question Q33, l'énergie totale stockée dans la cavité (en négligeant l'effet des pertes sur la structure du champ) vaut :

D'après la question Q39, la puissance moyenne dissipée dans les deux parois métalliques de la cavité est :

En injectant ces deux grandeurs dans l'expression de Q, il vient :

D'après la question Q40, le facteur de qualité de la cavité s'écrit :

où l'épaisseur de peau dans les parois métalliques a été établie à la question Q36 :

En combinant ces deux expressions, il vient :

Avec les valeurs numériques de l'énoncé :

• a = 36\text{ cm} = 0{,}36\text{ m} ;
• f = 2{,}45\text{ GHz} = 2{,}45 \times 10^9\text{ Hz} ;
• \mu_0 = 1{,}26 \times 10^{-6}\text{ H}\cdot\text{m}^{-1} ;
• \sigma = 1{,}5 \times 10^6\text{ S}\cdot\text{m}^{-1}.

L'épaisseur de peau vaut :

On en déduit la valeur du facteur de qualité :

En l'absence de source alimentant la cavité, la décroissance temporelle de l'énergie électromagnétique totale W(t) stockée dans la cavité est due à la dissipation par effet Joule dans les parois. Le bilan d'énergie moyenné sur une période s'écrit :

Par définition du facteur de qualité Q donnée par l'énoncé, pour une période T = \dfrac{2\pi}{\omega} :

où \Delta W_T est l'énergie dissipée au cours d'une période T :

On en déduit :

En reportant dans le bilan d'énergie, W(t) vérifie l'équation différentielle :

La solution est une décroissance exponentielle :

avec pour temps caractéristique de décroissance de l'énergie :

D'après la question Q42, l'énergie contenue dans la cavité décroît avec le temps caractéristique :

Avec les valeurs obtenues en Q41 (Q \approx 2{,}2 \times 10^4) et la fréquence du four f = 2{,}45\text{ GHz} (\omega = 2\pi f \approx 1{,}54 \times 10^{10}\text{ rad}\cdot\text{s}^{-1}) :

D'après le préambule de la partie I.B et l'enregistrement de la figure 6, la durée typique d'un péritio est de quelques centaines de millisecondes (\Delta t \approx 200\text{ à }400\text{ ms}).

Le temps de relaxation de la cavité \tau \approx 1{,}4\ \mu\text{s} est inférieur de cinq ordres de grandeur à la durée observée des péritios. Par conséquent, la simple vidange de l'onde stationnaire piégée dans la cavité ne peut absolument pas expliquer les péritios.

Le rayonnement associé à un péritio ne provient pas de l'énergie rémanente stockée dans la cavité passive, mais du fait que le générateur (magnétron/klystron) continue à fonctionner et à émettre activement pendant la phase mécanique d'ouverture de la porte (temps de déclenchement des interrupteurs de sécurité de l'ordre de 100\text{ à }400\text{ ms}).

Le potassium possède un numéro atomique Z = 19. D'après la règle de Klechkowski, les sous-couches électroniques se remplissent par ordre croissant de la valeur de n + \ell, puis de n :

La configuration électronique à l'état fondamental du potassium s'écrit donc :

Le potassium possédant un seul électron sur sa couche de valence (n=4), il appartient à la première colonne du tableau périodique (groupe 1) : c'est un métal alcalin.

La perte de cet unique électron de valence permet à l'atome d'adopter la configuration électronique de l'argon [\mathrm{Ar}], qui confère une grande stabilité (règle de l'octet). L'élément forme donc très facilement le cation \mathrm{K}^+. Le nombre d'oxydation non nul usuel du potassium est donc :

Une saumure est une solution aqueuse concentrée de chlorure de sodium. Les espèces chimiques initialement présentes en quantité notable sont les ions sodium \mathrm{Na}^+, les ions chlorure \mathrm{Cl}^- et le solvant eau \mathrm{H}_2\mathrm{O}.

À la cathode (réduction) : Les oxydants susceptibles d'être réduits sont :

• l'eau (ou les ions \mathrm{H}^+) selon le couple \mathrm{H}^+/\mathrm{H}_2 (E^\circ = 0{,}00\text{ V}) ;
• les ions \mathrm{Na}^+ selon le couple \mathrm{Na}^+/\mathrm{Na} (E^\circ = -2{,}71\text{ V}).

Thermodynamiquement, l'oxydant qui est réduit le plus facilement est celui qui possède le potentiel standard le plus élevé. Comme :

la réaction prévisible à la cathode est la réduction de l'eau (ou des protons) :

À l'anode (oxydation) : Les réducteurs susceptibles d'être oxydés sont :

• l'eau selon le couple \mathrm{O}_2/\mathrm{H}_2\mathrm{O} (E^\circ = 1{,}23\text{ V}) ;
• les ions chlorure \mathrm{Cl}^- selon le couple \mathrm{Cl}_2/\mathrm{Cl}^- (E^\circ = 1{,}36\text{ V}).

Thermodynamiquement, le réducteur qui s'oxyde le plus facilement est celui qui possède le potentiel standard le plus faible. Comme :

la réaction prévisible à l'anode est l'oxydation de l'eau :

D'un point de vue thermodynamique, le potentiel d'équilibre du couple de l'eau est inférieur à celui du couple du chlore :

L'oxydation de l'eau devrait donc se produire en premier.

L'inversion observée expérimentalement s'explique par des considérations cinétiques :

• L'oxydation de l'eau en dioxygène (2\,\mathrm{H_2O} \to \mathrm{O_2} + 4\,\mathrm{H^+} + 4\,\mathrm{e^-}) est une réaction complexe impliquant le transfert de quatre électrons et la rupture de liaisons covalentes. Le couple \mathrm{O_2/H_2O} est un système lent, présentant une très forte surtension anodique \eta_a(\mathrm{O_2}) sur la plupart des matériaux d'anode (souvent comprise entre +0{,}5\text{ V} et +1\text{ V}) :

  E_{\text{ox}}(\mathrm{H_2O}) = E_{\text{eq}}(\mathrm{O_2/H_2O}) + \eta_a(\mathrm{O_2}).

• L'oxydation des ions chlorure (2\,\mathrm{Cl^-} \to \mathrm{Cl_2} + 2\,\mathrm{e^-}) est en revanche un système rapide sur les électrodes usuelles (titane platiné, graphite, DSA), caractérisé par une faible surtension anodique \eta_a(\mathrm{Cl^-}) \approx 0{,}1\text{ V} :

  E_{\text{ox}}(\mathrm{Cl^-}) = E_{\text{eq}}(\mathrm{Cl_2/Cl^-}) + \eta_a(\mathrm{Cl^-}).
• De plus, la solution étant une saumure concentrée en ions \mathrm{Cl^-} ([\mathrm{Cl^-}] \sim 5\text{ mol}\cdot\text{L}^{-1}), le courant limite de diffusion associé est très élevé et le potentiel d'équilibre est légèrement abaissé.

Grâce à ces propriétés cinétiques, le potentiel effectif d'oxydation des ions chlorure est inférieur à celui de l'eau :

Lorsque l'on augmente le potentiel de l'anode E_A, c'est donc l'oxydation de \mathrm{Cl^-} en \mathrm{Cl_2} qui démarre en premier et supporte le courant d'électrolyse.