Corrigé détaillé E3A Physique Chimie PC 2020

La Terre, modélisée par une distribution de masse à symétrie sphérique de masse totale M_T, exerce sur le satellite assimilé à un point matériel M de masse m situé à la distance r = OM une force gravitationnelle attractive dirigée vers le centre de la Terre O.

Le vecteur unitaire des coordonnées sphériques \vec{u}_r = \dfrac{\overrightarrow{OM}}{r} étant dirigé de O vers M (figure 3), la loi universelle de la gravitation de Newton s'écrit :

Le système étudié est le satellite de masse m, assimilé à un point matériel M, dans le référentiel géocentrique supposé galiléen. Il n'est soumis qu'à la force gravitationnelle \vec{F} = -\dfrac{G M_T m}{r^2}\vec{u}_r.

a) Planéité de la trajectoire Appliquons le théorème du moment cinétique au point O fixe dans le référentiel géocentrique :

Le moment cinétique \vec{L}_O = \vec{OM} \wedge m\vec{v} est donc un vecteur constant au cours du temps. En supposant un mouvement non purement radial (\vec{L}_O \neq \vec{0}), on a à chaque instant :

Le vecteur position reste donc orthogonal au vecteur constant \vec{L}_O :

b) Conservation de l'énergie mécanique Le travail élémentaire de la force d'attraction gravitationnelle s'écrit :

Cette forme différentielle est une différentielle totale exacte : \delta W = -\mathrm{d}E_p, soit \mathrm{d}E_p = \dfrac{G M_T m}{r^2}\mathrm{d}r. En intégrant avec l'origine des énergies potentielles choisie à l'infini (E_p(\infty) = 0) :

La force \vec{F} dérive d'une énergie potentielle et est l'unique force exercée sur le satellite. Par le théorème de l'énergie mécanique :

c) Forme de l'énergie mécanique Dans le plan de la trajectoire, muni des coordonnées polaires (r, \theta), le vecteur vitesse est \vec{v} = \dot{r}\vec{u}_r + r\dot{\theta}\vec{u}_\theta. L'énergie cinétique s'exprime selon :

Le moment cinétique selon l'axe orthogonal \vec{u}_z s'écrit :

En introduisant la constante des aires C = r^2\dot{\theta} = \dfrac{\|\vec{L}_O\|}{m}, on a \dot{\theta} = \dfrac{C}{r^2}, d'où :

L'énergie mécanique totale est alors :

Cette expression est bien de la forme demandée E_m = \dfrac{m}{2}\left(\dfrac{\mathrm{d}r}{\mathrm{d}t}\right)^2 - \dfrac{A}{r} + \dfrac{B}{r^2}, en identifiant :

Dénomination usuelle La fonction E_{p\,\text{eff}}(r) est appelée énergie potentielle effective (ou potentiel effectif). Elle regroupe l'énergie potentielle d'interaction gravitationnelle et l'énergie cinétique orthoradiale (terme centrifuge).

Étude mathématique et existence du minimum La fonction est définie et dérivable sur ]0, +\infty[ :

Comme A > 0 et B > 0, la dérivée s'annule en une valeur unique :

Étudions le signe de la dérivée :

• pour r \in ]0, r_0[, \dfrac{\mathrm{d}E_{p\,\text{eff}}}{\mathrm{d}r}(r) < 0, la fonction est strictement décroissante ;
• pour r \in ]r_0, +\infty[, \dfrac{\mathrm{d}E_{p\,\text{eff}}}{\mathrm{d}r}(r) > 0, la fonction est strictement croissante.

De plus, aux limites :

La fonction E_{p\,\text{eff}}(r) admet donc bien un minimum global strict en r = r_0. La valeur minimale associée vaut :

Elle s'annule également pour r = \dfrac{B}{A} = \dfrac{r_0}{2}.

Allure de la courbe

Signification physique de r_0 L'énergie mécanique s'écrit E_m = \dfrac{1}{2}m\dot{r}^2 + E_{p\,\text{eff}}(r). Puisque \dfrac{1}{2}m\dot{r}^2 \ge 0, le mouvement n'est possible que si E_m \ge E_{p\,\text{eff}}(r).

Pour la valeur minimale de l'énergie mécanique E_m = E_{p\,\text{eff}}(r_0), la seule valeur accessible pour r est r = r_0, ce qui impose :

Le rayon reste donc constant : le point r_0 correspond au rayon d'une trajectoire circulaire stable.

Ordre de grandeur pour un satellite NAVSTAR D'après le texte introductif, les satellites NAVSTAR gravitent sur des orbites quasi circulaires d'altitude h \approx 2,00 \times 10^4\text{ km}. Avec le rayon terrestre R_T = 6,371 \times 10^3\text{ km}, on en déduit l'ordre de grandeur du rayon de l'orbite de travail :

D'après la troisième loi de Kepler rappelée en annexe, pour une orbite circulaire de rayon r autour de la Terre :

D'où l'expression de la période de révolution :

Le rayon de l'orbite vaut :

Avec les valeurs numériques de l'énoncé :

• R_T = 6,371 \times 10^3\text{ km} = 6,371 \times 10^6\text{ m} ;
• h \approx 2,00 \times 10^4\text{ km} = 2,00 \times 10^7\text{ m} ;
• r = 2,6371 \times 10^7\text{ m} ;
• G = 6,67430 \times 10^{-11}\text{ m}^3\cdot\text{kg}^{-1}\cdot\text{s}^{-2} ;
• M_T = 5,9722 \times 10^{24}\text{ kg}.

On calcule le produit :

Puis la période :

Soit, en heures et minutes :

Comparaison avec le jour sidéral et conclusion : Un jour sidéral terrestre vaut :

On constate immédiatement que :

La période de révolution du satellite est ainsi très proche de la moitié d'un jour sidéral :

(L'écart minime provient de l'arrondi sur l'altitude nominale h \approx 2,00 \times 10^4\text{ km} ; la valeur exacte T = T_{\text{sid}}/2 \approx 11\text{ h } 58\text{ min} correspond à h \approx 20\,180\text{ km}).

L'orbite d'un satellite NAVSTAR est donc une orbite semi-synchrone. Le satellite effectue exactement deux révolutions par jour sidéral, ce qui implique que la constellation repasse au-dessus des mêmes traces au sol toutes les 24 heures sidérales, garantissant ainsi une couverture géométrique reproductible et périodique pour les récepteurs terrestres.

Pour un corps ponctuel de masse m en orbite circulaire de rayon R_1 = R_T + h_1 autour de la Terre de masse M_T, avec l'origine de l'énergie potentielle gravitationnelle choisie à l'infini, l'énergie mécanique s'écrit classiquement :

Application numérique :

• G = 6{,}67430 \times 10^{-11}\text{ m}^3\cdot\text{kg}^{-1}\cdot\text{s}^{-2}
• M_T = 5{,}9722 \times 10^{24}\text{ kg}
• m = 800\text{ kg}
• R_1 = R_T + h_1 = (6{,}371 \times 10^3 + 1{,}50 \times 10^3)\times 10^3\text{ m} = 7{,}871 \times 10^6\text{ m}

En ne conservant que trois chiffres significatifs :

L'énergie que les moteurs du lanceur doivent fournir au satellite pour le placer sur l'orbite basse correspond à la variation d'énergie mécanique :

D'après la question Q5, E_{m1} \approx -2{,}03 \times 10^{10}\text{ J}, tandis que E_{m0} \approx -\beta = -5{,}006 \times 10^{10}\text{ J}. On a donc :

Le système doit nécessairement recevoir de l'énergie pour être satellisé.

Pour minimiser l'énergie \Delta E à fournir par le lanceur, il faut maximiser E_{m0}(\lambda) :

Comme \alpha > 0, la fonction \lambda \mapsto \alpha \cos^2(\lambda) - \beta atteint son maximum lorsque \cos^2(\lambda) = 1, soit pour :

Pour cette valeur optimale (\lambda = 0) :

L'énergie minimale à apporter par le lanceur vaut ainsi :

Conclusion : Il est optimal de lancer les satellites depuis une base située le plus près possible de l'équateur (\lambda = 0), en effectuant le tir vers l'est, afin de bénéficier au maximum de la vitesse d'entraînement due à la rotation de la Terre sur elle-même. Cela permet d'économiser une quantité précieuse d'ergols (ou d'augmenter la charge utile emportée).

Pour une orbite circulaire de rayon r, l'énergie mécanique d'un satellite de masse m dans le champ de gravitation terrestre s'écrit :

En appliquant la règle énoncée, l'énergie mécanique sur l'orbite elliptique de transfert s'obtient en remplaçant r par le demi-grand axe a :

L'orbite de transfert est une ellipse bitangente aux deux orbites circulaires (orbite de Hohmann) :

• son périgée se situe sur l'orbite basse de rayon r_p = R_1 = R_T + h_1 ;
• son apogée se situe sur l'orbite finale de rayon r_a = R_2 = R_T + h_2, avec h_2 = 2{,}00 \times 10^4\text{ km}.

Le grand axe de l'ellipse vérifie ainsi :

d'où l'expression de l'énergie mécanique :

Calculons les rayons des deux orbites circulaires :

On en déduit le demi-grand axe :

Application numérique :

Pendant la phase d'allumage très brève (boost impulsionnel), le satellite n'a pas le temps de changer de position : la transition a lieu à la distance r = R_1 = R_T + h_1. L'énergie potentielle gravitationnelle reste donc inchangée durant cette impulsion :

Sur l'orbite basse circulaire de rayon R_1, la vitesse v_{c1} est reliée à l'énergie mécanique E_{m1} (d'après la question Q5) par :

Juste après l'impulsion, le satellite se trouve au périgée de l'orbite de transfert avec une vitesse V_1. Son énergie mécanique s'écrit alors :

où a = \dfrac{R_1 + R_2}{2} est le demi-grand axe de l'ellipse de transfert déterminé à la question Q7.

Le boost étant fourni dans le sens du mouvement orbital afin d'augmenter l'énergie mécanique, la variation de vitesse à appliquer est :

Application numérique :

• G M_T = 6{,}67430 \times 10^{-11} \times 5{,}9722 \times 10^{24} = 3{,}9860 \times 10^{14}\text{ m}^3\cdot\text{s}^{-2}
• R_1 = R_T + h_1 = 6{,}371 \times 10^6 + 1{,}50 \times 10^6 = 7{,}871 \times 10^6\text{ m}
• R_2 = R_T + h_2 = 6{,}371 \times 10^6 + 2{,}00 \times 10^7 = 2{,}637 \times 10^7\text{ m}
• a = \dfrac{R_1 + R_2}{2} = 1{,}712 \times 10^7\text{ m}

On obtient les vitesses :

D'où l'incrément de vitesse :

D'après la troisième loi de Kepler appliquée à l'orbite de transfert elliptique de demi-grand axe a :

Le transfert débutant au périgée et s'achevant à l'apogée, la trajectoire parcourue constitue exactement une demi-ellipse. La durée du transfert s'écrit donc :

D'après les questions Q5 et Q7 :

Avec les données de l'annexe :

• G = 6{,}67430 \times 10^{-11}\text{ m}^3\cdot\text{kg}^{-1}\cdot\text{s}^{-2} ;
• M_T = 5{,}9722 \times 10^{24}\text{ kg} ;
• G M_T \approx 3{,}9860 \times 10^{14}\text{ m}^3\cdot\text{s}^{-2}.

L'application numérique donne :

Soit, en convertissant en heures et minutes (1{,}115 \times 10^4 / 3600 \approx 3{,}097\text{ h}) :

1. Définition et caractéristiques orbitales

Un satellite géostationnaire est un satellite artificiel qui apparaît strictement immobile par rapport à tout observateur terrestre, c'est-à-dire fixe dans le référentiel terrestre lié à la Terre en rotation.

Pour satisfaire cette condition, son orbite doit présenter les caractéristiques suivantes :

• Forme et rayon : la trajectoire est circulaire, à distance constante R_{\text{géo}} du centre de la Terre, garantissant une vitesse angulaire constante égale à celle de la Terre.

• Période de révolution : elle est exactement égale à la période de rotation propre de la Terre dans le référentiel géocentrique, soit la durée d'un jour sidéral :

  T = T_{\text{sid}} \approx 23\text{ h } 56\text{ min } 4\text{ s} \approx 86\,164\text{ s}
• Sens de parcours : prograde (d'ouest en est), identique au sens de rotation de la Terre sur elle-même.
• Plan orbital : obligatoirement confondu avec le plan de l'équateur terrestre (inclinaison i = 0^\circ).

2. Détermination du rayon et de l'altitude orbitale

D'après la troisième loi de Kepler rappelée en annexe :

L'application numérique donne :

L'altitude h_{\text{géo}} = R_{\text{géo}} - R_T vaut donc :

3. Satellite à la verticale permanente d'une ville française ?

Dans le référentiel géocentrique galiléen, le satellite n'est soumis qu'à la force gravitationnelle attractive dirigée vers le centre O de la Terre. D'après le principe fondamental de la dynamique, le plan de toute orbite képlérienne passe nécessairement par le centre de la Terre O.

Pour qu'un satellite reste en permanence au zénith d'un point au sol de latitude \lambda, sa position devrait décrire dans le référentiel géocentrique un parallèle de latitude \lambda. Or, le seul parallèle dont le plan passe par le centre de la Terre est l'équateur (\lambda = 0).

Les villes de France métropolitaine se situant à des latitudes comprises entre 42^\circ\text{ N} et 51^\circ\text{ N}, il est physiquement impossible pour un satellite en orbite libre d'être à la verticale permanente d'une ville française.

4. Visibilité et usages

• Visibilité : pour une station au sol située à une latitude |\lambda| \lesssim 81^\circ, le satellite reste à des coordonnées horizontales invariables (azimut et angle d'élévation constants). Les antennes paraboliques de réception peuvent ainsi être pointées dans une direction fixe sans mécanisme de poursuite. En revanche, le satellite est sous l'horizon pour les zones polaires (|\lambda| \gtrsim 81^\circ).
• Usages : télécommunications (diffusion télévisuelle, relais de données), météorologie (surveillance continue d'un hémisphère complet par la famille de satellites Météosat).

Il n'est pas envisageable de faire fonctionner un système de positionnement par satellites comme le GPS uniquement à l'aide de satellites géostationnaires, pour deux raisons physiques et géométriques fondamentales :

1. Dégénérescence géométrique de la trilatération (composante Nord-Sud) : Tous les satellites géostationnaires sont obligatoirement situés dans le plan équatorial terrestre (d'après la question Q10). Pour déterminer sans ambiguïté les trois coordonnées spatiales (x,y,z) d'un récepteur ainsi que le décalage de son horloge interne, il faut mesurer les temps de propagation vers au moins quatre satellites dont les positions forment un volume non aplati dans l'espace.

   Si tous les émetteurs sont situés dans un même plan :

   • l'intersection des sphères de positionnement est symétrique par rapport au plan équatorial, créant une indétermination entre l'hémisphère Nord et l'hémisphère Sud ;
   • la composante perpendiculaire au plan équatorial (la latitude) est indéterminable pour un observateur à l'équateur (où les satellites sont tous alignés dans le ciel) et entachée d'une très forte incertitude géométrique ailleurs (facteur de dilution de la précision géométrique, noté GDOP, infini ou extrêmement grand selon la coordonnée z).

2. Impossibilité de couverture des zones de hautes latitudes et pôles : La courbure terrestre empêche la visibilité d'un satellite équatorial depuis les pôles. Le cercle d'horizon limite théorique vérifie :

   \cos \lambda_{\max} = \frac{R_T}{R_{\text{géo}}} = \frac{6{,}371 \times 10^3}{4{,}216 \times 10^4} \approx 0{,}151 \implies \lambda_{\max} \approx 81{,}3^\circ

   Au-delà de cette latitude, aucun satellite géostationnaire n'est visible. Même pour des latitudes tempérées ou boréales élevées (> 60^\circ), les satellites apparaissent très bas sur l'horizon, ce qui induit de forts masquages par le relief urbain ou naturel et une dégradation importante du signal par traversée oblique de l'atmosphère.

D'après la relation de Planck-Einstein, la différence d'énergie \Delta E entre les deux niveaux hyperfins considérés s'écrit :

Pour exprimer cette énergie en électron-volts (\text{eV}), on divise par la charge élémentaire e :

Application numérique avec les données de l'annexe :

Pour l'atome d'hydrogène, la transition entre l'état fondamental (n=1) et le premier état excité (n=2) met en jeu une énergie :

Les écarts entre niveaux électroniques principaux sont donc de l'ordre de quelques électron-volts (1 à 10\text{ eV}).

L'écart énergétique \Delta E de la transition du césium est environ 10^5 à 10^6 fois plus faible que les transitions électroniques ordinaires. Il s'agit d'une levée de dégénérescence de l'état fondamental due au couplage magnétique entre le spin de l'électron de valence et le spin du noyau (interaction spin-noyau), ce qui justifie pleinement le qualificatif d'hyperfin.

Dans le vide (et en première approximation dans l'atmosphère), les ondes électromagnétiques se propagent à la célérité c. La distance d séparant le satellite du récepteur est reliée à la durée de propagation \Delta t par :

Une incertitude ou précision spatiale voulue \Delta d = 10\text{ m} impose donc une précision temporelle :

Avec c = 299\,792\,458\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} \approx 3{,}00 \times 10^8\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} et \Delta d = 10\text{ m} :

La période propre associée à la transition hyperfine de l'atome de césium 133 vaut :

Cette période élémentaire est environ 300 fois plus petite que la précision requise \Delta t \approx 33\text{ ns}. De plus, la stabilité relative d'une horloge atomique (typiquement de 10^{-13} à 10^{-14}, soit une dérive cumulée bien inférieure à la nanoseconde par jour) garantit une incertitude temporelle négligeable devant 33 ns.

Une horloge atomique satisfait donc très largement cette exigence de précision.

Le texte indique que les horloges atomiques embarquées dérivent de \Delta t_{\text{rel}} = 38\ \mu\text{s} par jour en l'absence de correction relativiste.

La distance étant déduite du temps de parcours par la célérité c des ondes électromagnétiques dans le vide, l'ordre de grandeur de la dérive journalière en distance sur le positionnement vaut :

Avec c = 299\,792\,458\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} et \Delta t_{\text{rel}} = 38 \times 10^{-6}\text{ s} :

Une dérive temporelle de l'ordre de \Delta t_{\text{quartz}} \sim 1\text{ s} par mois correspondrait, si elle n'était pas corrigée, à une erreur sur la distance mesurée de :

À une échelle de temps plus courte, le taux de dérive relative de cette horloge à quartz vaut :

Le seuil de tolérance de \Delta t \approx 33\text{ ns} (établi à la question Q13 pour une incertitude métrique de 10\text{ m}) serait ainsi dépassé en une durée infime :

Conclusion : Un récepteur grand public ne peut pas utiliser son horloge interne pour mesurer directement la durée absolue de transit du signal. En revanche, le récepteur utilise le signal d'au moins quatre satellites simultanément : les équations de pseudo-distances permettent d'estimer simultanément les trois coordonnées spatiales (x, y, z) du récepteur et une quatrième inconnue, le décalage d'horloge du récepteur \delta t_{\text{rec}}. L'horloge à quartz se trouve ainsi virtuellement synchronisée sur les horloges atomiques du système GPS.

En négligeant la résistance R_S, le quartz est modélisé par la mise en parallèle de deux branches :

• la branche série constituée de l'inductance L et du condensateur C_S, d'impédance :

  \underline{Z}_S = jL\omega + \frac{1}{jC_S\omega} = \frac{1 - LC_S\omega^2}{jC_S\omega}
• la branche parallèle constituée du condensateur C_P, d'admittance \underline{Y}_P = jC_P\omega.

L'admittance équivalente \underline{Y} de l'ensemble s'écrit :

L'impédance complexe \underline{Z}(j\omega) = \dfrac{1}{\underline{Y}(j\omega)} s'en déduit immédiatement :

Par identification avec la forme proposée :

on obtient les expressions des grandeurs caractéristiques :

Puisque C_S > 0 et C_P > 0, la capacité équivalente série \frac{C_S C_P}{C_S + C_P} est strictement inférieure à C_S, ce qui garantit \omega_P > \omega_S.

Le module de l'impédance s'écrit :

Il présente les comportements remarquables suivants :

• quand \omega \to 0, |\underline{Z}| \sim \dfrac{1}{(C_S + C_P)\omega} \to +\infty (comportement capacitif) ;
• pour \omega = \omega_S, |\underline{Z}| = 0 (résonance série) ;
• quand \omega \to \omega_P, |\underline{Z}| \to +\infty (antirésonance ou résonance parallèle) ;
• pour \omega \gg \omega_P, |\underline{Z}| \sim \dfrac{1}{C_P\omega} \to 0 (comportement capacitif).

Dans un circuit électronique classique utilisant des composants discrets passifs :

• une inductance usuelle est comprise entre le microhenry (\mu\text{H}) et quelques dizaines de millihenrys (\text{mH}) ;
• une capacité usuelle s'échelonne du picofarad (\text{pF}) au millifarad (\text{mF}) ;
• une résistance de quelques dizaines de kilo-ohms (\text{k}\Omega) et une capacité de quelques picofarads (\text{pF}) sont des grandeurs courantes.

Parmi les quatre grandeurs fournies, deux présentent un ordre de grandeur particulièrement inhabituel :

1. L'inductance L = 11\,395\text{ H} est colossalement élevée : une bobine classique de cette inductance serait intransportable et impossible à intégrer dans un boîtier horloger millimétrique.
2. La capacité série C_S = 2{,}071 \times 10^{-15}\text{ F} \approx 2{,}1\text{ fF} (femtofarad) est extrêmement faible devant les capacités des composants usuels.

D'après les résultats de la question Q16, les pulsations de résonance série \omega_S et d'antirésonance \omega_P vérifient :

L'écart relatif recherché s'écrit donc :

Comme C_S \ll C_P, on effectue un développement limité au premier ordre en \dfrac{C_S}{C_P} :

On en déduit l'expression approchée de l'écart relatif :

Application numérique : avec C_S = 2{,}071 \times 10^{-15}\text{ F} et C_P = 3{,}05\text{ pF} = 3{,}05 \times 10^{-12}\text{ F} :

Commentaire :

• L'écart relatif est extrêmement faible : les pulsations \omega_S et \omega_P sont quasi confondues (\Delta f \approx f_0 \times 3{,}4 \times 10^{-4} \approx 11\text{ Hz}).
• La plage de fréquences [\omega_S, \omega_P] dans laquelle le composant présente un comportement purement inductif (\mathrm{Im}(\underline{Z}) > 0) est donc excessivement étroite.
• Cette étroitesse assure une stabilité en fréquence exceptionnelle aux oscillateurs utilisant ce quartz : même en cas de dérive des composants passifs associés au circuit oscillateur, la fréquence d'oscillation reste verrouillée dans cet intervalle ténu.

1. Aptitude des quartz horlogers pour un récepteur GPS :

• D'après le résultat de la question Q18, l'intervalle relatif entre les pulsations de résonance et d'antirésonance est extrêmement restreint :

  \frac{\omega_P - \omega_S}{\omega_P} \approx 3{,}4 \times 10^{-4}

  De plus, le facteur de qualité mécanique du quartz est remarquablement élevé :

  Q = \frac{L\omega_S}{R_S} \approx \frac{11\,395 \times 2\pi \times 32\,768}{28{,}57 \times 10^3} \approx 8{,}2 \times 10^4

  Cette sélectivité extrême confère à l'oscillateur une excellente stabilité fréquentielle à court terme, suffisante pour suivre le signal pendant la durée de propagation.

• La dérive à long terme de l'horloge à quartz du récepteur (évoquée en Q15) ne constitue pas un obstacle : comme indiqué en préambule, le récepteur capte simultanément le signal d'au moins quatre satellites, ce qui permet de déterminer à chaque instant non seulement ses trois coordonnées spatiales (x, y, z), mais également le biais temporel de son horloge interne par rapport au temps GPS des horloges atomiques embarquées.
• Nuance : Bien que le quartz horloger présente la stabilité requise, les circuits de réception GPS utilisent en pratique des quartz oscillant à des fréquences plus élevées (typiquement de 10 à quelques dizaines de mégahertz, sous forme de modules compensés en température TCXO), ou intègrent une boucle à verrouillage de phase (PLL) pour synthétiser des fréquences élevées adaptées au traitement direct des signaux radiofréquences du GPS (de l'ordre du gigahertz).

2. Intérêt d'une fréquence égale à une puissance entière de 2 :

En électronique numérique, une simple bascule bistable (de type D ou JK en mode basculement) permet de diviser la fréquence d'un signal logique par 2.

En reliant 15 bascules en cascade (compteur binaire asynchrone à 15 étages), on réalise une division de fréquence globale par un facteur 2^{15} = 32\,768 :

1. Négligeabilité du poids de l'électron

Le poids de l'électron s'écrit P = m_e g. À la surface de la Terre ou dans la basse ionosphère (z \sim 100\text{ km} où g \approx 9{,}5\text{ à }9{,}8\text{ m}\cdot\text{s}^{-2}), avec m_e = 9{,}109 \times 10^{-31}\text{ kg} et en prenant g \approx 9{,}8\text{ m}\cdot\text{s}^{-2} :

La norme de la force électrique exercée par l'onde électromagnétique vaut :

On en déduit le rapport :

Le poids de l'électron est donc totalement négligeable devant la force exercée par le champ électrique de l'onde.

2. Expression de la force de Lorentz

L'électron possédant une charge q = -e, la force de Lorentz s'exerçant sur lui s'écrit :

3. Négligeabilité de la composante magnétique

La composante magnétique de la force de Lorentz est \vec{F}_m = -e\left(\vec{v}_e \wedge \vec{B}\right). Sa norme vérifie :

Comme indiqué par l'énoncé, pour une onde plane progressive dans le vide, on a la relation d'amplitude :

Il vient ainsi pour le rapport des amplitudes :

L'électron étant non relativiste (\|\vec{v}_e\| \ll c), on a :

La force magnétique exercée par l'onde sur l'électron est donc négligeable devant la force électrique.

Considérons un électron libre de masse m_e et de charge -e, repéré dans le référentiel géocentrique supposé galiléen. Conformément aux approximations justifiées à la question précédente (Q20), on ne retient que la force électrique due à l'onde \underline{\vec{F}} = -e \underline{\vec{E}}(x,t).

Le principe fondamental de la dynamique s'écrit :

L'onde étant harmonique de dépendance temporelle en \exp(i\omega t), la dérivation temporelle équivaut en régime sinusoïdal établi à la multiplication par i\omega :

Le mouvement d'ensemble de ces n_e électrons par unité de volume donne naissance à une densité volumique de courant électrique :

Par identification avec la loi d'Ohm locale sous forme complexe \underline{\vec{j}} = \underline{\gamma} \underline{\vec{E}}, on en déduit la conductivité complexe du plasma :

Interprétation énergétique :
La puissance volumique moyenne cédée par le champ électromagnétique au plasma (effet Joule) s'exprime par :

Puisque la conductivité \underline{\gamma} est imaginaire pure, sa partie réelle est strictement nulle (\operatorname{Re}(\underline{\gamma}) = 0) :

Il n'y a donc aucune dissipation moyenne d'énergie par effet Joule dans le milieu : le plasma est non dissipatif. Le courant et le champ électrique étant en quadrature de phase (\Delta\varphi = -\pi/2), l'énergie est échangée de manière réversible entre le champ de l'onde et l'énergie cinétique des électrons sans perte thermique (modèle de plasma sans collisions).

1. Équations de Maxwell dans le plasma

Le plasma est localement neutre, soit une densité volumique de charge \rho = 0. En régime harmonique à la pulsation \omega (avec la convention temporelle \mathrm{e}^{i\omega t} et \frac{\partial}{\partial t} \leftrightarrow i\omega), la loi d'Ohm s'écrit \underline{\vec{\jmath}} = \underline{\gamma}\,\underline{\vec{E}}. Les équations de Maxwell s'écrivent donc :

avec \varepsilon_0 \mu_0 c^2 = 1.

2. Équation de propagation pour le champ électrique

Prenons le rotationnel de l'équation de Maxwell-Faraday :

En utilisant l'identité vectorielle de l'annexe \vec{\operatorname{rot}}(\vec{\operatorname{rot}}\,\underline{\vec{E}}) = \vec{\operatorname{grad}}(\operatorname{div}\underline{\vec{E}}) - \vec{\Delta}\underline{\vec{E}} et sachant que \operatorname{div}\underline{\vec{E}} = 0 :

Ce qui conduit à l'équation de propagation (équation de Helmholtz) :

3. Équation de dispersion

Pour l'onde plane harmonique se propageant selon Ox, \underline{\vec{E}}(x,t) = \underline{\vec{E}}_0 \mathrm{e}^{i(\omega t - kx)}, le laplacien vectoriel se réduit à :

L'équation de propagation devient alors :

D'après la question Q21, \underline{\gamma} = \dfrac{n_e e^2}{i m_e \omega}. Le terme en conductivité vaut donc :

en introduisant la pulsation plasma \omega_p = \sqrt{\dfrac{n_e e^2}{\varepsilon_0 m_e}}.

On en déduit immédiatement l'équation de dispersion :

La production d'électrons libres dans l'ionosphère est principalement régie par le mécanisme de photo-ionisation des molécules et atomes neutres par le flux de photons ionisants (UV, X) en provenance du Soleil :

Le taux de création d'électrons libres résulte d'un compromis entre deux facteurs antagonistes :

• La densité volumique des particules neutres n_{\text{neutres}}(z) décroît avec l'altitude selon la loi de l'atmosphère isotherme (raréfaction barométrique de l'air).
• Le flux de photons solaires ionisants \Phi(z) provient du sommet de l'atmosphère (z élevé) et s'atténue au fur et à mesure de sa propagation vers le sol par absorption photochimique. Le flux \Phi(z) est donc une fonction croissante de l'altitude z.

1. Croissance pour z < 350\text{ km} :
À basse altitude (z < 350\text{ km}), le flux solaire ionisant est fortement atténué par l'absorption dans les couches supérieures (effet d'écran). Lorsqu'on monte en altitude, le rayonnement solaire est de moins en moins filtré, ce qui entraîne une augmentation marquée du taux de photo-ionisation. De plus, la recombinaison électron-ion y est plus lente en raison d'une fréquence de collision plus faible. Ainsi, n_e(z) augmente avec z.

2. Chute pour z > 350\text{ km} :
À haute altitude (z > 350\text{ km}), le flux solaire ionisant est à son maximum (non atténué), mais l'atmosphère devient extrêmement raréfiée : il n'y a plus assez d'atomes ou de molécules neutres à ioniser. La raréfaction de la matière l'emporte alors sur l'abondance du flux solaire, conduisant à une décroissance de la densité d'électrons libres n_e(z) vers zéro.

D'après l'expression de la pulsation plasma obtenue en Q22, la fréquence plasma f_p associée s'écrit :

D'après la figure 6, la densité électronique maximale au pic de l'ionosphère (vers z \approx 350\text{ km}) vaut n_{e,\max} \approx 1{,}0 \times 10^{12}\text{ m}^{-3}.

Avec les données de l'énoncé :

• e = 1{,}602 \times 10^{-19}\text{ C},
• m_e = 9{,}109 \times 10^{-31}\text{ kg},
• \varepsilon_0 = 8{,}85 \times 10^{-12}\text{ F}\cdot\text{m}^{-1},

on obtient numériquement :

D'après la relation de dispersion établie à la question Q22 :

• Si f < f_p(z), k^2 < 0 : le vecteur d'onde k est imaginaire pur, l'onde est évanescente et subit une réflexion totale sur la couche ionosphérique.
• Si f > f_p(z), k est réel : l'onde se propage sans atténuation.

Pour qu'un signal émis par un satellite situé au-delà de l'ionosphère (z > 1\,000\text{ km}) puisse atteindre la surface terrestre sans être réfléchi, l'onde doit pouvoir se propager à toutes les altitudes traversées, ce qui impose f > f_p(z) pour tout z, soit :

La bande de fréquence utilisable correspond donc aux ondes dont la fréquence est strictement supérieure à environ 9{,}0\text{ MHz} (gamme des ondes métriques VHF, UHF et au-delà).

D'après la relation de dispersion démontrée à la question Q22, pour une onde se propageant dans le domaine passant (f > f_p), le nombre d'onde réel k s'écrit :

Comme \omega = 2\pi f et \omega_p = 2\pi f_p, le rapport des pulsations s'identifie au rapport des fréquences :

Par définition, la vitesse de phase de l'onde est donnée par v_\varphi = \frac{\omega}{k}, ce qui conduit à :

L'indice optique du milieu est alors défini par n = \frac{c}{v_\varphi}, d'où :

Particularités de cet indice :

• Pour toute onde progressive dans le plasma (f > f_p), on a 0 < n < 1, ce qui est inhabituel par rapport aux milieux diélectriques transparents usuels (pour lesquels n \geqslant 1). Il en résulte une vitesse de phase supérieure à la célérité de la lumière dans le vide (v_\varphi > c).
• L'indice optique dépend explicitement de la fréquence de l'onde : le plasma ionosphérique est donc un milieu dispersif.

D'après la question Q25, l'indice optique du plasma est donné par :

Par définition de la pulsation plasma (question Q22) :

Pour la fréquence GPS f_1 = 1\,575\text{ MHz}, la fréquence plasma maximale de l'ionosphère vaut f_{p,\max} \approx 9{,}0\text{ MHz} (question Q24), de sorte que :

On peut donc effectuer un développement limité au premier ordre selon le formulaire fourni (\sqrt{1-\epsilon} \simeq 1 - \frac{\epsilon}{2}) :

On identifie ainsi :

Évaluation numérique de la constante a :

Avec f_1 = 1\,575\text{ MHz} = 1{,}575 \times 10^9\text{ Hz}, on a :

La grandeur à tracer s'écrit donc :

Évaluation des extrema :

• Pour z \le 70\text{ km} et au-delà de H_0 = 1\,000\text{ km}, n_e \approx 0 : la fonction atteint sa valeur maximale qui est nulle :

  \boxed{[(n(z)-1)\times 10^5]_{\max} \approx 0}

• À l'altitude z \approx 350\text{ km}, la densité électronique est maximale avec n_{e,\max} \approx 1{,}0 \times 10^{12}\text{ m}^{-3}. La fonction atteint par conséquent son minimum :

  \boxed{[(n(z)-1)\times 10^5]_{\min} \approx -1{,}63 \times 10^{-12} \times 1{,}0 \times 10^{12} \approx -1{,}6}

Tracé de la fonction : La courbe présente une forme en puits symétrique, image inverse à l'échelle de celle de n_e(z) :

L'ionosphère est modélisée par un milieu stratifié en couches horizontales d'indice dépendant de l'altitude z : n = n(z). La normale aux interfaces est l'axe vertical Oz.

La loi de Snell-Descartes s'écrit tout au long du trajet :

où i(z) est l'angle du rayon par rapport à la verticale, et n_0 = 1 est l'indice du vide à l'entrée de l'ionosphère (z \ge 1\,000\text{ km}), avec i_0 l'angle d'incidence initial.

D'après la relation établie à la question Q26 :

Comme n_e(z) > 0 dans l'ionosphère, on a n(z) < 1 pour toute l'épaisseur de l'ionosphère (70\text{ km} < z < 1\,000\text{ km}).

Il s'ensuit que :

L'angle avec la verticale est donc strictement supérieur à l'angle initial : le rayon s'écarte de la normale (il devient plus horizontal) en pénétrant dans l'ionosphère.

Analysons les deux étapes de la traversée :

• De z = 1\,000\text{ km} à z = 350\text{ km} : la densité n_e(z) augmente, donc l'indice n(z) diminue jusqu'à un minimum. L'angle i(z) croît et atteint sa valeur maximale à z = 350\text{ km}. Le rayon s'éloigne de la verticale et se déporte vers la gauche (au-delà du tracé en pointillés).
• De z = 350\text{ km} à z = 70\text{ km} : la densité n_e(z) diminue, donc l'indice n(z) réaugmente jusqu'à n \approx 1. L'angle i(z) diminue : la trajectoire présente un point d'inflexion à z = 350\text{ km} et se redresse.
• En dessous de z = 70\text{ km} : n = 1, le rayon redevient rectiligne avec son angle d'origine i_0 (trajectoire parallèle au prolongement en pointillés), mais décalé vers la gauche.

Ce comportement correspond parfaitement à la figure (a), tandis que la figure (b) correspondrait au cas où n(z) > 1 (rayon qui se rapprocherait de la normale).

Un signal GPS est constitué d'un paquet d'ondes dont l'information et l'énergie se propagent à la vitesse de groupe locale v_g(z). Le trajet considéré étant vertical entre l'altitude H_0 et le sol (z = 0), le temps de propagation à travers l'ionosphère s'écrit :

En l'absence d'ionosphère (propagation rectiligne dans le vide à la célérité c), la durée de parcours sur la même distance serait :

Le retard \tau_1 induit par l'ionosphère est la différence de ces deux durées :

En factorisant par \frac{1}{c}, on obtient bien :

L'erreur de distance associée est alors :

D'après l'expression de la vitesse de groupe v_g = c\sqrt{1 - \frac{f_p^2}{f_1^2}}, le terme sous l'intégrale s'écrit :

Comme la fréquence maximale du plasma f_{p,\max} \approx 9{,}0\text{ MHz} est très inférieure à la fréquence de travail f_1 = 1575\text{ MHz} (d'après Q24), on a \frac{f_p^2}{f_1^2} \ll 1. En utilisant le développement limité fourni en annexe (1-\epsilon)^{-1/2} \simeq 1 + \frac{\epsilon}{2}, il vient :

Or, d'après les définitions de la pulsation plasma \omega_p = 2\pi f_p = \sqrt{\frac{e^2 n_e}{\varepsilon_0 m_e}} et de la constante a = \frac{e^2}{8\pi^2 m_e \varepsilon_0} introduite à la question Q26 :

Par conséquent :

En intégrant sur l'épaisseur de l'ionosphère et en sortant les constantes de l'intégrale :

Avec la définition du contenu électronique total C_{ET} = \displaystyle\int_0^{H_0} n_e\,\mathrm{d}z, on aboutit à :

Le Contenu Électronique Total de l'ionosphère correspond à l'intégrale de la densité électronique selon l'altitude :

Ce terme représente l'aire sous la courbe n_e(z) de la figure 6. On peut assimiler cette courbe à un triangle de sommet (z_0 \approx 350\text{ km},\, n_{e,\max} \approx 1{,}0 \times 10^{12}\text{ m}^{-3}) et de base s'étendant de z_1 \approx 100\text{ km} à z_2 \approx 700\text{ km}, soit une largeur \Delta z \approx 600\text{ km} = 6{,}0 \times 10^5\text{ m}.

L'estimation de l'aire donne :

Remarque : cette valeur correspond à 30\text{ TECU} (1\text{ TECU} = 10^{16}\text{ m}^{-2}), en parfait accord avec les valeurs diurnes représentées sur la figure 8.

D'après le résultat de la question Q28, l'erreur de distance associée à la fréquence f_1 = 1575\text{ MHz} = 1{,}575 \times 10^9\text{ Hz} s'exprime par :

Avec la constante calculée à la question Q26 :

On obtient :

Commentaire : L'erreur de distance provoquée par la traversée de l'ionosphère est d'environ 5\text{ m} au zénith. Cette valeur est du même ordre de grandeur que la précision globale visée pour la localisation civile (10\text{ m}). L'ionosphère constitue ainsi l'une des sources majeures d'erreur systématique du système GPS ; elle ne peut donc pas être négligée et nécessite une correction systématique (notamment par utilisation de signaux bifréquences).

D'après la question Q28, le retard temporel induit par l'ionosphère pour une onde de fréquence f s'écrit :

où a = \frac{e^2}{8\pi^2 m_e \varepsilon_0} et C_{ET} = \int_0^{H_0} n_e\,\mathrm{d}z.

Pour les deux fréquences émises f_1 = 1575\text{ MHz} et f_2 = 1228\text{ MHz}, les retards respectifs subis par les paquets d'ondes valent :

Puisque f_1 > f_2, la vitesse de groupe à la fréquence f_2 est plus faible (v_g(f_2) < v_g(f_1)), si bien que le signal de fréquence f_2 subit un retard plus important : \tau_2 > \tau_1. L'écart de temps d'arrivée mesuré au sol entre les deux signaux (le signal à f_2 arrivant après celui à f_1) s'écrit en valeur absolue :

Les constantes fondamentales, la célérité c et les fréquences d'émission f_1 et f_2 étant parfaitement connues, la mesure de \tau_{\text{ret}} donne directement accès au contenu électronique total de l'ionosphère :

La mesure différentielle en temps réel permet donc de déterminer C_{ET} sans modélisation préalable de l'ionosphère.

Pour en déduire l'erreur de distance L_1 = c\tau_1 = \frac{a}{f_1^2} C_{ET}, on injecte l'expression de C_{ET} :

Application numérique :

• c = 299\,792\,458\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} \approx 3{,}00 \times 10^8\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}
• f_1 = 1575\text{ MHz} = 1{,}575 \times 10^9\text{ Hz}
• f_2 = 1228\text{ MHz} = 1{,}228 \times 10^9\text{ Hz}
• \tau_{\text{ret}} = 6{,}7 \times 10^{-7}\text{ s}

Le facteur géométrique vaut :

D'où l'erreur de distance :

1. Principe d'obtention de la carte en temps réel

Comme établi à la question précédente, la mesure de la différence des temps d'arrivée \tau_{\text{ret}} = \tau_2 - \tau_1 des signaux émis par un satellite sur les deux fréquences porteuses f_1 et f_2 permet de déterminer le contenu électronique intégré le long du trajet de visée.

Un réseau dense de stations réceptrices GPS permanentes réparties à la surface du globe mesure en continu ces retards différentiels pour l'ensemble des satellites visibles. Les données brutes sont corrigées de l'inclinaison pour obtenir le Contenu Électronique Total vertical (VTEC, Vertical Total Electron Content). Un traitement informatique centralisé en temps réel interpole ensuite ces valeurs sur une grille géographique mondiale pour générer la carte de C_{ET}.

2. Commentaire et explication de l'évolution entre les deux cartes

• Localisation du maximum de C_{ET} : L'ionisation de la haute atmosphère résulte essentiellement de la photo-ionisation par les rayonnements ultraviolets et X solaires. La densité électronique maximale (zones claires sur la carte, atteignant 30 à 40\text{ TECU}) se situe donc dans l'hémisphère éclairé (face diurne), au voisinage de l'équateur géomagnétique (anomalie d'ionisation équatoriale) et du zénith solaire. À l'inverse, sur la face nocturne, l'absence de flux ionisant et la recombinaison conduisent à un C_{ET} très faible (< 10\text{ TECU}).

• Évolution temporelle : L'intervalle de temps entre les deux cartes est de :

  \Delta t = 19\text{ h } 35\text{ min} - 15\text{ h } 30\text{ min} = 4\text{ h } 05\text{ min} \approx 4{,}08\text{ h}

  En raison de la rotation de la Terre d'ouest en est à la vitesse angulaire de 15^\circ/\text{h}, le point sub-solaire se déplace vers l'ouest d'un angle de :

  \Delta \lambda = 15^\circ \times 4{,}08 \approx 61^\circ \text{ vers l'ouest}

  On constate effectivement sur la figure 8 que la structure à fort C_{ET}, initialement centrée vers 15^\circ\text{W} - 30^\circ\text{W} à 15:30 UTC (au large de l'Afrique et au-dessus de l'Atlantique), s'est translatée vers l'ouest pour se positionner vers 75^\circ\text{W} - 90^\circ\text{W} à 19:35 UTC (au-dessus de l'Amérique du Sud et du Pacifique Est).

Dans chaque couple d'oxydoréduction noté conventionnellement \text{Ox}/\text{Red}, l'oxydant capte des électrons pour former le réducteur conjugué. En milieu acide (la cellule étant dotée d'une membrane échangeuse de protons \mathrm{H}^+), les demi-équations s'écrivent :

• Pour le couple \mathrm{H}^+_{(\mathrm{aq})}/\mathrm{H}_{2(\mathrm{g})} :

  \boxed{2\,\mathrm{H}^+_{(\mathrm{aq})} + 2\,\mathrm{e}^- = \mathrm{H}_{2(\mathrm{g})}}

• Pour le couple \mathrm{O}_{2(\mathrm{g})}/\mathrm{H}_2\mathrm{O}_{(\mathrm{l})} :

  \boxed{\mathrm{O}_{2(\mathrm{g})} + 4\,\mathrm{H}^+_{(\mathrm{aq})} + 4\,\mathrm{e}^- = 2\,\mathrm{H}_2\mathrm{O}_{(\mathrm{l})}}

• Pile à combustible : siège d'une transformation spontanée où le dihydrogène est oxydé et le dioxygène est réduit. En combinant les deux demi-équations obtenues à la question Q32, l'équation de la réaction s'écrit :

  \boxed{2\,\mathrm{H}_{2\,(\mathrm{g})} + \mathrm{O}_{2\,(\mathrm{g})} \longrightarrow 2\,\mathrm{H}_2\mathrm{O}_{(\mathrm{l})}}

  (ou, sous forme équivalente : \mathrm{H}_{2\,(\mathrm{g})} + \frac{1}{2}\,\mathrm{O}_{2\,(\mathrm{g})} \longrightarrow \mathrm{H}_2\mathrm{O}_{(\mathrm{l})}).

• Électrolyseur : siège d'une transformation forcée correspondant à la décomposition de l'eau en dihydrogène et dioxygène. L'équation de la réaction est l'inverse de la précédente :

  \boxed{2\,\mathrm{H}_2\mathrm{O}_{(\mathrm{l})} \longrightarrow 2\,\mathrm{H}_{2\,(\mathrm{g})} + \mathrm{O}_{2\,(\mathrm{g})}}

• Identification du combustible et du comburant pour la pile :

  D'après le document 1 :

  • « le combustible [est apporté] à l'anode », or « le compartiment anodique est équipé d'un diffuseur poreux pour permettre au dihydrogène de se répartir uniformément » : le combustible est donc le dihydrogène \mathrm{H}_{2\,(\mathrm{g})}.
  • « le comburant [est apporté] à la cathode », or « le dioxygène provient de l'air qui est en contact direct avec la cathode » : le comburant est donc le dioxygène \mathrm{O}_{2\,(\mathrm{g})}.
  \boxed{\text{Combustible : } \mathrm{H}_{2\,(\mathrm{g})} \qquad ; \qquad \text{Comburant : } \mathrm{O}_{2\,(\mathrm{g})}}

1. Espèces réagissant aux électrodes

• Électrolyseur :

  • Électrode de droite : oxydation de l'eau liquide selon :

    2\,\mathrm{H_2O}_{(l)} \longrightarrow \mathrm{O}_{2\,(g)} + 4\,\mathrm{H}^+_{(aq)} + 4\,\mathrm{e}^-

    L'eau \mathrm{H_2O}_{(l)} est consommée, avec dégagement de dioxygène \mathrm{O}_{2\,(g)}.

  • Électrode de gauche : réduction des protons selon :

    2\,\mathrm{H}^+_{(aq)} + 2\,\mathrm{e}^- \longrightarrow \mathrm{H}_{2\,(g)}

    Les protons \mathrm{H}^+ sont réduits en dihydrogène \mathrm{H}_{2\,(g)} qui est dirigé vers le réservoir.

• Pile à combustible :

  • Électrode de droite : oxydation du dihydrogène provenant du réservoir selon :

    \mathrm{H}_{2\,(g)} \longrightarrow 2\,\mathrm{H}^+_{(aq)} + 2\,\mathrm{e}^-

  • Électrode de gauche : réduction du dioxygène de l'air ambiant selon :

    \mathrm{O}_{2\,(g)} + 4\,\mathrm{H}^+_{(aq)} + 4\,\mathrm{e}^- \longrightarrow 2\,\mathrm{H_2O}_{(l)}

2. Polarité et rôle de chaque électrode

• Électrolyseur (fonctionnement forcé / récepteur) :

  • Électrode de droite : siège d'une oxydation \longrightarrow Anode, reliée à la borne positive, polarité (+).
  • Électrode de gauche : siège d'une réduction \longrightarrow Cathode, reliée à la borne négative, polarité (-).

• Pile à combustible (fonctionnement spontané / générateur) :

  • Électrode de gauche : siège d'une réduction \longrightarrow Cathode, polarité (+).
  • Électrode de droite : siège d'une oxydation \longrightarrow Anode, polarité (-).

3. Porteurs de charge et sens de circulation

• Dans les électrolytes (membranes PEM échangeuses de protons) :

  • Les porteurs de charge sont les ions oxonium / protons \mathrm{H}^+.

  • Ils migrent de l'anode vers la cathode :

    • dans l'électrolyseur : de droite à gauche ;
    • dans la pile : de droite à gauche.

• Dans les fils électriques métalliques :

  • Les porteurs de charge sont les électrons \mathrm{e}^-.

  • Ils circulent toujours, à l'extérieur, de l'anode vers la cathode :

    • pour l'électrolyseur : de l'anode (droite) vers la borne (+) du générateur, et de la borne (-) du générateur vers la cathode (gauche) ;
    • pour la pile : de l'anode (droite, -) vers la résistance R, puis de la résistance vers la cathode (gauche, +).

4. Tensions U_e et U_p et conventions

• Générateur de l'électrolyseur (convention générateur) : le courant débité I_e sort par le pôle (+) (vers la droite dans le fil supérieur). La flèche de tension U_e est orientée dans le même sens que le courant I_e, soit dirigée vers la droite (pointant vers la borne positive reliée à l'anode).
• Résistance de décharge de la pile (convention récepteur) : le courant I_p circule de la cathode (+) vers l'anode (-) à travers la résistance R (de gauche à droite). En convention récepteur, la flèche de tension U_p aux bornes de la résistance est orientée en sens opposé au courant, soit vers la gauche (pointant vers la borne reliée à la cathode).

1. Justification de l'allure de la courbe courant-potentiel :

La courbe présente deux branches correspondant aux deux processus électrochimiques ayant lieu à l'interface électrolyte/catalyseur de platine :

• Branche cathodique (j < 0, pour E \le 0\text{ V}) : elle correspond à la réduction des protons en dihydrogène gazeux à la cathode :

  2\,\mathrm{H}^+ + 2\,\mathrm{e}^- \longrightarrow \mathrm{H}_{2\,(\mathrm{g})}

  À \mathrm{pH} = 0, le potentiel thermodynamique d'équilibre vaut E_{\text{eq}}(\mathrm{H}^+/\mathrm{H}_2) = 0{,}00\text{ V}. Sur platine, cette réaction est très rapide (système quasi-réversible) : la surtension cathodique seuil |\eta_c| est quasi nulle. Le courant cathodique croît donc en valeur absolue dès que le potentiel descend en dessous de 0\text{ V}.

• Branche anodique (j > 0, pour E \gtrsim 1{,}7\text{ V}) : elle correspond à l'oxydation de l'eau en dioxygène gazeux à l'anode :

  2\,\mathrm{H}_2\mathrm{O}_{(\mathrm{l})} \longrightarrow \mathrm{O}_{2\,(\mathrm{g})} + 4\,\mathrm{H}^+ + 4\,\mathrm{e}^-

  À \mathrm{pH} = 0, le potentiel d'équilibre vaut E^\circ(\mathrm{O}_2/\mathrm{H}_2\mathrm{O}) = 1{,}23\text{ V}. Cette réaction est cinétiquement lente sur platine : elle nécessite une surtension anodique notable \eta_a \approx 0{,}5\text{ à }0{,}6\text{ V}. Le courant anodique n'apparaît donc de façon significative qu'au-delà d'un potentiel seuil de l'ordre de 1{,}7\text{ à }1{,}8\text{ V}.

• Domaine intermédiaire (0\text{ V} < E < 1{,}7\text{ V}) : aucun processus d'oxydation ou de réduction ne s'y déroule, la densité de courant est quasi nulle (domaine d'électroinactivité).

Les annotations à porter dans les cadres du document 2 sont ainsi :

• Côté cathodique (j < 0) : « Réduction de \mathrm{H}^+ en \mathrm{H}_2 » (et E_{\text{eq}} \approx 0\text{ V}) ;
• Côté anodique (j > 0) : « Oxydation de \mathrm{H}_2\mathrm{O} en \mathrm{O}_2 » (avec E^\circ = 1{,}23\text{ V} et seuil à \approx 1{,}8\text{ V}).

2. Absence de plateau de diffusion :

Un plateau de courant limite de diffusion apparaît lorsque le transport de matière par diffusion devient l'étape limitante, c'est-à-dire quand l'espèce réactive est diluée et s'épuise au voisinage immédiat de l'électrode. Ici :

• À l'anode, l'espèce oxydée est le solvant \mathrm{H}_2\mathrm{O}, présent en quantité extrêmement importante ([\mathrm{H}_2\mathrm{O}] \approx 55{,}5\text{ mol}\cdot\mathrm{L}^{-1}) : il n'y a aucun risque de déplétion en eau à la surface de l'électrode.
• À la cathode, la membrane échangeuse de protons (PEM) présente une densité très élevée en groupements acides sulfoniques (concentration effective en \mathrm{H}^+ de plusieurs moles par litre). Aux densités de courant étudiées, les protons ne s'épuisent pas à l'interface.

Le régime de fonctionnement reste gouverné par l'activation cinétique (transfert de charge) et non par la diffusion, ce qui explique l'absence de plateau limite de diffusion.

D'après la question Q33, la réaction modélisant le fonctionnement de l'électrolyseur s'écrit :

Cette transformation met en jeu un échange de n = 4 électrons entre les couples redox \mathrm{H}^+/\mathrm{H}_2 et \mathrm{O}_2/\mathrm{H}_2\mathrm{O} :

L'enthalpie libre standard de réaction s'exprime par :

On en déduit l'expression de la constante d'équilibre :

L'application numérique donne :

Remarque : Si la réaction avait été écrite pour une seule mole d'eau (\mathrm{H}_2\mathrm{O}_{(\mathrm{l})} = \mathrm{H}_{2\,(\mathrm{g})} + \frac{1}{2}\,\mathrm{O}_{2\,(\mathrm{g})} avec n = 2), on obtiendrait \log_{10} K_e' = -41, soit K_e' = 10^{-41}.

Justification de la nécessité d'un générateur de tension :

• La constante d'équilibre est extraordinairement faible (K_e \lll 1, soit \Delta_r G^\circ \approx 475\text{ kJ}\cdot\text{mol}^{-1} \gg 0) : la réaction de dissociation de l'eau est thermodynamiquement impossible de façon spontanée à 298\text{ K}.
• Le sens spontané de la réaction est le sens inverse (celui de la pile à combustible). Pour forcer le système dans le sens de l'électrolyse, il est impératif de lui fournir de l'énergie sous forme de travail électrique.

• Le générateur impose une différence de potentiel U_e entre les électrodes supérieure à la force contre-électromotrice thermodynamique d'équilibre de la cellule :

  U_e > E_{\text{eq}}(\mathrm{O}_2/\mathrm{H}_2\mathrm{O}) - E_{\text{eq}}(\mathrm{H}^+/\mathrm{H}_2) \approx 1{,}23\text{ V}

  afin de vaincre cette barrière thermodynamique, à laquelle s'ajoutent les surtensions cinétiques aux électrodes et la chute ohmique.

En fonctionnement électrolyseur, la tension U_e aux bornes de la cellule (en convention générateur pour l'alimentation, ou récepteur pour la cellule) s'écrit en tenant compte de la chute ohmique :

où E_a est le potentiel de l'anode (siège de l'oxydation de \mathrm{H}_2\mathrm{O} en \mathrm{O}_2) et E_c le potentiel de la cathode (siège de la réduction de \mathrm{H}^+ en \mathrm{H}_2).

Pour observer un courant non nul et donc la formation continue de dihydrogène, la tension minimale à appliquer correspond au seuil où le courant commence à circuler (I \to 0^+) :

D'après la courbe courant-potentiel du document 2 :

• À la cathode, le courant cathodique (j < 0) apparaît dès que le potentiel devient inférieur à :

  E_{c,\text{seuil}} \approx 0{,}00\text{ V} \quad (\text{ou } -0{,}05\text{ V})

• À l'anode, le courant anodique (j > 0) commence à décoller nettement de zéro pour un potentiel :

  E_{a,\text{seuil}} \approx 1{,}85\text{ V} \quad (\text{compris entre } 1{,}80\text{ V et } 1{,}90\text{ V})

On en déduit la tension minimale d'électrolyse :