Corrigé détaillé X ENS Physique PSI 2021

Nature du filtre : Le rapport d'amplitudes \frac{U_{\mathrm{s,m}}}{U_0} tend vers zéro à basse fréquence (f < 37\text{ kHz}) ainsi qu'à haute fréquence (f > 44\text{ kHz}), et présente un pic marqué autour de 40\text{ kHz}. La courbe de réponse correspond donc à celle d'un filtre passe-bande.

Fréquence propre f_{\mathrm{p}} : Le maximum de la réponse est atteint pour :

L'amplitude maximale correspondante vaut :

Bande passante \Delta f à -3\text{ dB} : La bande passante à -3\text{ dB} est délimitée par les fréquences de coupure f_1 et f_2 telles que :

En utilisant la donnée de l'énoncé 2^{0{,}5} \approx 1{,}4 ainsi que 35 / 1{,}4 = 25 :

Par lecture graphique sur la figure 2 à l'ordonnée 0{,}25 :

• fréquence de coupure basse : f_1 \approx 39{,}1\text{ kHz} ;
• fréquence de coupure haute : f_2 \approx 40{,}5\text{ kHz} à 40{,}6\text{ kHz}.

La bande passante est donc :

Facteur de qualité Q : Le facteur de qualité s'en déduit par :

L'oreille humaine moyenne est sensible aux ondes sonores dont la fréquence est comprise dans le domaine audible :

D'après la question 1, la fréquence propre d'émission de l'émetteur est :

Cette fréquence se situe au-delà de la limite supérieure des sons audibles par l'être humain, dans le domaine des ultrasons.

Dans le cadre de l'approximation acoustique, les perturbations p(\vec{r},t), \mu(\vec{r},t) et \vec{v}(\vec{r},t) sont des infiniment petits du premier ordre. Les grandeurs d'équilibre P_0 et \rho_0 sont uniformes et stationnaires, et la vitesse d'équilibre est nulle.

• Équation d'Euler linéarisée :

  En substituant P = P_0 + p, \rho = \rho_0 + \mu et \vec{v} dans l'équation (4) :

  \begin{aligned} (\rho_0 + \mu) \left( \frac{\partial \vec{v}}{\partial t} + (\vec{v} \cdot \vec{\operatorname{grad}})\vec{v} \right) &= -\vec{\operatorname{grad}}(P_0 + p) \end{aligned}

  Le terme convectif (\vec{v} \cdot \vec{\operatorname{grad}})\vec{v} est du second ordre par rapport à \vec{v}, de même que le produit \mu \frac{\partial \vec{v}}{\partial t}. De plus, P_0 étant uniforme, \vec{\operatorname{grad}} P_0 = \vec{0}. Il reste donc au premier ordre :

  \boxed{\rho_0 \frac{\partial \vec{v}}{\partial t} = -\vec{\operatorname{grad}} p}

• Équation de conservation de la masse linéarisée :

  En substituant \rho = \rho_0 + \mu et la vitesse dans l'équation (5) :

  \begin{aligned} \operatorname{div}\big((\rho_0 + \mu)\vec{v}\big) + \frac{\partial (\rho_0 + \mu)}{\partial t} &= 0 \\ \rho_0 \operatorname{div}\vec{v} + \operatorname{div}(\mu \vec{v}) + \frac{\partial \mu}{\partial t} &= 0 \end{aligned}

  car \rho_0 est uniforme et indépendant du temps. Le terme \operatorname{div}(\mu \vec{v}) est du second ordre en perturbations, donc négligeable. On obtient :

  \boxed{\frac{\partial \mu}{\partial t} + \rho_0 \operatorname{div}\vec{v} = 0}

• Relation thermodynamique (compressibilité isentropique) :

  Les transformations subies par le fluide lors du passage de l'onde acoustique sont supposées réversibles et adiabatiques (effets de conduction thermique négligeables), donc isentropiques. D'après l'équation (6), la variation de masse volumique au premier ordre s'écrit :

  \begin{aligned} \mathrm{d}\rho &= \left. \frac{\partial \rho}{\partial P} \right|_S \mathrm{d}P = \rho_0 \chi_S \, \mathrm{d}P \end{aligned}

  En identifiant les variations aux perturbations du premier ordre \mathrm{d}\rho = \mu et \mathrm{d}P = p, on en déduit :

  \boxed{\mu = \rho_0 \chi_S p}

D'après les résultats de la question Q3, les équations linéarisées régissant la perturbation acoustique s'écrivent :

Prenons la divergence de l'équation d'Euler linéarisée (1). En permutant les dérivations spatiale et temporelle :

Par ailleurs, dérivons l'équation de conservation de la masse (2) par rapport au temps t :

En égalant les deux expressions de \rho_0 \frac{\partial}{\partial t}(\operatorname{div}\vec{v}), il vient :

En injectant la relation constitutive isentropique (3), on obtient :

soit finalement :

On identifie cette relation à l'équation de d'Alembert sous la forme proposée :

avec pour expression de la célérité acoustique :

1. Détermination expérimentale de la célérité

L'émetteur envoie des trains d'ondes qui parviennent successivement aux deux récepteurs distants de d_{\text{rec}} = 17\text{ cm}. Le retard temporel \Delta t correspond au décalage entre les débuts (ou les maxima) des deux paquets d'ondes sur la figure 3.

La sensibilité horizontale indiquée est de 200\text{ }\mu\text{s/div}. La lecture graphique donne un décalage temporel de :

La célérité mesurée de l'onde acoustique est donc :

Application numérique avec d_{\text{rec}} = 0{,}17\text{ m} :

2. Comparaison avec la valeur théorique

D'après le résultat de la question 4, l'expression théorique de la célérité est :

Avec \rho_0 = 1{,}20\text{ kg}\cdot\text{m}^{-3} et \chi_S = 7{,}00 \times 10^{-6}\text{ Pa}^{-1}, on calcule :

En utilisant la donnée numérique 8{,}4^{-0{,}5} \approx 0{,}345 :

L'écart relatif entre la mesure et la valeur théorique vaut :

3. Commentaire

L'accord entre la valeur mesurée et la valeur théorique est excellent (écart inférieur à 2\%). Les faibles écarts constatés peuvent s'expliquer par :

• l'incertitude de lecture sur l'oscilloscope (repérage précis du début du front du paquet d'ondes, lié au temps de montée du transducteur) ;
• l'incertitude sur la distance effective d_{\text{rec}} entre les centres acoustiques réels des deux récepteurs ;
• la dépendance de la célérité vis-à-vis de la température ambiante réelle du laboratoire (c \propto \sqrt{T} pour un gaz parfait) et de l'humidité de l'air.

On étudie l'atome n de masse m, situé à la position x_n(t) = na + u_n(t), dans le référentiel du laboratoire supposé galiléen.

L'atome n est soumis à l'action de ses deux voisins immédiats par l'intermédiaire de deux ressorts identiques, de raideur K et de longueur à vide a :

• Le ressort situé à sa gauche relie l'atome n-1 à l'atome n. Sa longueur instantanée est \ell_{\text{g}} = x_n - x_{n-1} = a + u_n - u_{n-1}. La force exercée par ce ressort sur l'atome n s'écrit :

  \vec{F}_{\text{g}} = -K(\ell_{\text{g}} - a)\vec{e}_x = -K\big(u_n(t) - u_{n-1}(t)\big)\vec{e}_x

• Le ressort situé à sa droite relie l'atome n à l'atome n+1. Sa longueur instantanée est \ell_{\text{d}} = x_{n+1} - x_n = a + u_{n+1} - u_n. La force exercée par ce ressort sur l'atome n s'écrit :

  \vec{F}_{\text{d}} = +K(\ell_{\text{d}} - a)\vec{e}_x = +K\big(u_{n+1}(t) - u_n(t)\big)\vec{e}_x

En appliquant la deuxième loi de Newton à l'atome n et en tenant compte du fait que \frac{\mathrm{d}^2 x_n}{\mathrm{d}t^2} = \frac{\mathrm{d}^2 u_n}{\mathrm{d}t^2} (la position d'équilibre na étant constante), on obtient :

En projetant sur l'axe (Ox), on en déduit l'équation différentielle du mouvement :

D'après la question Q6, l'équation régissant l'écart à l'équilibre du n-ième atome s'écrit :

Dans le cadre de l'approximation des milieux continus, la position d'équilibre na est repérée par la variable d'espace continue x. Comme le pas du réseau vérifie a \ll \lambda_c, où \lambda_c est l'échelle spatiale caractéristique de variation du déplacement, on peut effectuer un développement limité à l'ordre 2 en puissances de a :

En sommant ces deux expressions, les termes du premier ordre se compensent exactement par symétrie :

En reportant ce résultat dans l'équation du mouvement, on obtient :

Le champ de déplacement u(x,t) vérifie donc l'équation de d'Alembert unidimensionnelle :

avec pour célérité de l'onde acoustique :

D'après la question 6, l'équation régissant le déplacement du n-ième atome s'écrit :

On injecte la solution recherchée sous forme d'onde plane discrète (équation 8 de l'énoncé) :

La dérivée temporelle seconde de u_n(t) vaut :

D'autre part, pour les atomes voisins :

Le membre de droite de l'équation du mouvement s'exprime donc sous la forme :

En réinjectant ces expressions dans l'équation différentielle et en simplifiant par u_n(t) \neq 0, on obtient :

Comme la pulsation est par convention positive (\omega \in \mathbb{R}^+), on prend la racine carrée :

On retrouve bien la forme demandée avec :

D'après l'équation (8), le déplacement du n-ième atome s'écrit sous forme d'onde plane :

La condition aux limites périodique (dite condition de Born-von Kármán) impose u_{N+1}(t) = u_1(t) à tout instant t, soit :

Pour u_0 \neq 0, en factorisant par u_0 \exp\big(\mathrm{i}(qa - \omega t)\big), on obtient :

Cette égalité impose que l'argument soit un multiple entier de 2\pi :

La chaîne étant constituée de N mailles de pas a, sa longueur totale macroscopique est L = Na. Il vient donc :

On identifie directement la forme demandée q = p q_0 avec :

Considérons deux nombres d'onde q et q' tels que q' = q + h \dfrac{2\pi}{a} avec h \in \mathbb{Z}.

• Pour la pulsation propre \omega(q) établie à la question Q8 :

  \begin{aligned} \omega(q') &= A \left| \sin\left(\frac{q' a}{2}\right) \right| \\ &= A \left| \sin\left(\frac{q a}{2} + h\pi\right) \right| \\ &= A \left| (-1)^h \sin\left(\frac{q a}{2}\right) \right| \\ &= \omega(q). \end{aligned}

  Les deux ondes possèdent donc la même pulsation.

• Pour le déplacement du n-ième atome à la date t, donné par l'équation (8) :

  \begin{aligned} u_n(q', t) &= u_0 \exp\left[ \mathrm{i}(q'na - \omega(q')t) \right] \\ &= u_0 \exp\left[ \mathrm{i}\left(qna + 2\pi h n - \omega(q)t\right) \right] \\ &= u_0 \exp\left[ \mathrm{i}(qna - \omega(q)t) \right] \times \mathrm{e}^{\mathrm{i} 2\pi h n}. \end{aligned}

  Comme h \in \mathbb{Z} et n \in \mathbb{Z}, le produit hn est un entier, d'où \mathrm{e}^{\mathrm{i} 2\pi h n} = 1. Il vient ainsi :

  u_n(q', t) = u_n(q, t) \quad \forall n \in [\![1 ; N]\!], \; \forall t.

Les deux nombres d'onde q et q' décrivent rigoureusement le même mouvement pour l'ensemble des atomes du réseau discret : ils représentent un seul et même mode physique.

Tout nombre d'onde réel q peut s'écrire de manière unique sous la forme q = q_0 + h\dfrac{2\pi}{a} avec h \in \mathbb{Z} et q_0 \in \left[-\dfrac{\pi}{a} ; \dfrac{\pi}{a}\right[. Pour décrire l'ensemble des modes physiques sans redondance, il suffit donc de restreindre l'étude à l'intervalle :

D'après la question Q8, la pulsation propre s'exprime par :

Sur la première zone de Brillouin, q \in \left[-\frac{\pi}{a}, \frac{\pi}{a}\right], la quantité \frac{qa}{2} appartient à l'intervalle \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]. La fonction \omega(q) est paire et présente les caractéristiques remarquables suivantes :

• À l'origine (q = 0) :

  \omega(0) = 0

  Pour q > 0, au voisinage de l'origine, \omega(q) \approx \frac{A a}{2} q = c_s q où c_s = a\sqrt{\frac{K}{m}} est la célérité acoustique trouvée à la question Q7. La demi-tangente à droite est de pente +c_s, et celle à gauche de pente -c_s.

• Aux limites de la zone (q = ± \frac{\pi}{a}) :

  \omega\left(\pm \frac{\pi}{a}\right) = A = 2\sqrt{\frac{K}{m}} = \omega_{\max}

• Tangentes aux bords de zone : Pour q \in \left]0, \frac{\pi}{a}\right], \omega(q) = A\sin\left(\frac{qa}{2}\right), d'où :

  \frac{\mathrm{d}\omega}{\mathrm{d}q} = \frac{Aa}{2}\cos\left(\frac{qa}{2}\right)

  En q \to \pm \frac{\pi}{a}, \cos\left(\frac{qa}{2}\right) \to 0 : la tangente est horizontale aux bords de la zone de Brillouin (\frac{\mathrm{d}\omega}{\mathrm{d}q} = 0).

D'après la question 8, la relation de dispersion s'écrit :

Pour |q|a \ll 1, un développement limité à l'ordre 1 au voisinage de 0 donne :

Le critère quantitatif permettant de linéariser la relation de dispersion est donc :

En reliant le nombre d'onde q à la longueur d'onde spatiale de l'excitation par q = \frac{2\pi}{\lambda}, ce critère devient :

Ce critère est rigoureusement identique à celui de l'approximation des milieux continus introduite à la question 7 (a \ll \lambda_c), où le pas du réseau a est très petit devant l'échelle spatiale de variation de la déformation.

Sous cette approximation, la pulsation s'écrit :

On a donc la relation linéaire :

Le facteur de proportionnalité est :

Il s'agit de la célérité des ondes acoustiques dans le milieu continu établie à la question 7. Dans ce domaine des grandes longueurs d'onde, le milieu n'est pas dispersif et la vitesse de phase v_\varphi = \frac{\omega}{|q|} est égale à la vitesse de groupe v_g = \frac{\mathrm{d}\omega}{\mathrm{d}|q|} = c_s.

Dans le domaine de l'optique et de l'électromagnétisme (ou de la physique quantique), l'onde électromagnétique se propageant dans le vide obéit à la relation de dispersion linéaire :

où c est la célérité de la lumière dans le vide.

Le quantum d'énergie associé à cette onde électromagnétique, de masse nulle et vérifiant la relation d'énergie-impulsion linéaire E = p c (soit E = \hbar\omega et p = \hbar k), est le photon.