Corrigé détaillé Centrale Physique 1 PC 2025 (page 2/2 : Partie A (questions 19 à 21) et partie B)

Partons de la loi de composition relativiste des vitesses donnée par l'énoncé :

En multipliant par le dénominateur, il vient :

D'où l'expression de la vitesse relative v_{M/\mathcal{R}'} :

Commentaires sur cette expression :

• Principe de relativité : la vitesse de \mathcal{R} par rapport à \mathcal{R}' étant -v_e, cette relation s'obtient directement à partir de la formule initiale en échangeant les rôles de \mathcal{R} et \mathcal{R}' et en substituant -v_e à v_e, ce qui assure la parfaite réciprocité entre les référentiels galiléens.
• Limite classique : à la limite non relativiste (|v_e| \ll c_0 et |v_{M/\mathcal{R}}| \ll c_0), le terme correctif au dénominateur devient négligeable devant 1, et l'on retrouve la loi d'addition galiléenne classique v_{M/\mathcal{R}'} \simeq v_{M/\mathcal{R}} - v_e.

Cas où v_{M/\mathcal{R}} = \pm c_0 : Injectons v_{M/\mathcal{R}} = \pm c_0 dans la formule établie :

De même, dans la loi directe d'addition, si v_{M/\mathcal{R}'} = \pm c_0, on obtient :

On a donc dans les deux cas :

Commentaire : Ce résultat traduit le postulat fondamental de la relativité restreinte formulé par Einstein : la célérité de la lumière dans le vide c_0 est une constante universelle invariante par changement de référentiel galiléen. Elle est totalement indépendante du mouvement de la source et de celui de l'observateur.

D'après la loi de composition relativiste des vitesses, pour une vitesse dans le référentiel de l'eau v_{M/\mathcal{R}'} = \frac{c_0}{n} et une vitesse d'entraînement v_e :

Tube 1 : entraînement dans le sens de la propagation (v_e = +v) La vitesse c_1 de la lumière dans le laboratoire s'écrit de manière exacte :

Puisque v \ll c_0, effectuons un développement limité au premier ordre en v/c_0 en utilisant (1 + \varepsilon)^{-1} \simeq 1 - \varepsilon :

Soit :

Tube 2 : entraînement en sens opposé à la propagation (v_e = -v) De même, pour le tube 2 où v_e = -v :

Au premier ordre en v/c_0 :

Soit :

À partir des célérités obtenues à la question Q20 :

on calcule directement la différence de célérité :

et la célérité moyenne au premier ordre en v/c_0 :

Ces grandeurs sont rigoureusement identiques à celles admises pour le modèle d'entraînement partiel de Fresnel introduit au début de la sous-partie III.1.

L'expérience de Fizeau mesurant le déphasage \Delta \varphi \propto \frac{\Delta c}{c_m^2}, le déplacement de franges obtenu est exactement le même dans les deux théories au premier ordre en v/c_0. Il est donc impossible, dans le cadre de cette expérience, de distinguer le modèle relativiste du modèle de Fresnel.

Pour une onde stationnaire unidimensionnelle de célérité c_a confinée dans une cavité de longueur d avec des conditions aux limites de type « extrémités fixes » (nœuds aux deux extrémités), la longueur de la cavité est un multiple entier de demi-longueurs d'onde :

La fréquence fondamentale (n = 1) est donc donnée par :

D'après le tableau 2, les diamètres moyens des grains de sable sont de l'ordre de d \sim 150\text{ à } 200\ \mu\text{m}. En prenant pour la célérité dans le solide la borne inférieure fournie par l'air, c_a > 350\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} (dans la silice solide, c_a est même de l'ordre de plusieurs milliers de mètres par seconde), on obtient :

Ce modèle de résonance acoustique interne prédit ainsi une fréquence dans le domaine des ultrasons (de l'ordre du mégahertz), alors que les fréquences mesurées pour le chant des dunes sont situées dans le domaine audible, entre 60\text{ Hz} et 100\text{ Hz} selon le tableau 2 (et jusqu'à 1\text{ kHz} pour les plages).

L'écart d'environ quatre ordres de grandeur (10^4) conduit à rejeter totalement ce premier modèle : le chant des dunes ne peut pas provenir d'une résonance acoustique à l'échelle individuelle des grains de sable.

Le grain mobile, sphérique de diamètre d, glisse sans frottement sur la bille fixe de centre O et de même diamètre d. La distance entre le centre O et le barycentre G du grain mobile est donc constante et vaut :

D'après la figure 5, l'angle polaire \theta repère la direction \vec{OG} par rapport à l'axe vertical ascendant (Oz). L'altitude du point G est donc :

En choisissant la référence d'énergie potentielle nulle au niveau du centre O (z = 0), l'énergie potentielle de pesanteur du grain s'écrit :

Déterminons à présent l'angle \theta_i correspondant à la position initiale G_i. Les sphères identiques de la couche inférieure sont au contact les unes des autres le long d'un plan incliné d'un angle \alpha sous l'horizontale. La normale à cette couche, orientée vers le haut, fait donc un angle \alpha avec la verticale ascendante (Oz).

Dans un empilement compact, le centre G_i du grain supérieur et les centres des deux grains inférieurs sur lesquels il repose forment un triangle équilatéral de côté d. La direction joignant le centre O à la position initiale G_i est donc inclinée d'un angle de \pi/6 (30^\circ) vers l'amont par rapport à la normale à la couche. L'angle polaire initial de G par rapport à la verticale ascendante (Oz) vaut donc :

La force exercée par la pesanteur le long de la trajectoire circulaire de rayon d s'obtient par dérivation du potentiel :

• Si \theta_i < 0 (soit \alpha < \pi/6), la position initiale est située en amont du sommet de la sphère de centre O (\theta = 0). La force de pesanteur tend à ramener le grain vers l'amont (F_\theta < 0), ce qui le maintient en appui contre le grain amont : la position G_i constitue alors un équilibre stable.
• Si \theta_i > 0 (soit \alpha > \pi/6), le grain G_i se situe au-delà du sommet de la sphère fixe. La composante du poids devient immédiatement motrice vers l'avant (F_\theta > 0) et le grain s'échappe spontanément du creux vers l'aval sans apport d'énergie extérieur : l'équilibre n'est plus possible.

Il existe donc une valeur minimale d'inclinaison qui interdit l'équilibre stable en G_i :

Dans l'empilement compact considéré, les centres de trois sphères en contact mutuel forment un triangle équilatéral de côté d. La normale à la ligne de pente (inclinée de \alpha par rapport à l'horizontale) fait un angle \alpha avec la verticale descendante, ou encore la normale ascendante fait un angle \alpha avec l'axe vertical ascendant (Oz).

Les positions initiale G_i et finale G_f sont situées de part et d'autre de cette normale à des angles de \pm \frac{\pi}{6} (puisque chaque côté du triangle équilatéral fait un angle de 30^\circ = \frac{\pi}{6} avec la hauteur issue de O). On a ainsi :

Le grain de masse m est en translation circulaire de rayon d autour de O. En l'absence de frottement, la réaction de contact exercée par la sphère support est purement normale à la trajectoire et ne travaille pas. Le système est donc conservatif et l'énergie mécanique se conserve :

D'après le résultat de la question précédente, E_{pp}(\theta) = mgd \cos\theta, d'où :

En posant a = \alpha et b = \frac{\pi}{6}, la relation trigonométrique de l'énoncé s'écrit :

soit :

On en déduit :

Le grain se déplaçant dans le sens de la descente (v_f > 0), on obtient :

D'après le résultat de la question Q24, la vitesse en fin de course s'écrit :

L'énoncé indique que lors du choc en G_f, une fraction \epsilon de l'énergie cinétique est dissipée, si bien que le pas suivant débute avec une vitesse v'_i telle que :

En substituant v_f^2, on obtient directement :

Notons u_n = (v_{i,n})^2 le carré de la vitesse au début du franchissement du n-ième grain de la couche inférieure. La suite (u_n)_{n\in\mathbb{N}} vérifie la relation de récurrence arithmético-géométrique :

avec :

Puisqu'une fraction strictement positive de l'énergie cinétique est dissipée à chaque choc, on a \epsilon \in ]0, 1[, d'où |a| < 1. D'après le formulaire fourni en annexe, la suite converge vers une limite indépendante de la valeur initiale :

Ainsi, la vitesse initiale d'un grain tend vers une valeur limite v_\text{lim} = \sqrt{u_\infty} telle que v_\text{lim}^2 = \kappa gd, avec :

Comme \alpha \in \left]0, \frac{\pi}{2}\right[ et \epsilon \in ]0, 1[, on a bien \kappa > 0.

1. Fréquence d'émission sonore

Lors de chaque étape élémentaire, le centre de masse du grain passe de la position G_i à G_f en décrivant un arc de cercle de rayon d et d'angle au centre :

La longueur de la trajectoire curviligne parcourue entre deux chocs consécutifs vaut ainsi \ell = d\,\Delta\theta = \frac{\pi}{3}d \simeq 1{,}05\,d. On peut également considérer, à l'échelle du réseau régulier sous-jacent, le pas spatial séparant deux cavités successives, qui vaut \ell = d. Les deux choix étant numériquement très proches (écart de 5\%), nous adoptons ici la longueur du pas spatial \ell = d (ou \ell = \frac{\pi}{3}d).

Le mouvement s'effectuant à la vitesse moyenne constante v = \sqrt{\kappa g d}, l'intervalle de temps séparant deux chocs successifs est \tau = \frac{\ell}{v}. La fréquence f des chocs (donc du son émis) s'écrit :

(En retenant la trajectoire curviligne \ell = \frac{\pi}{3}d, on obtiendrait f = \frac{3}{\pi}\sqrt{\frac{\kappa g}{d}}.)

2. Confrontation avec les données du tableau 2

D'après le modèle, le produit f\sqrt{d} = \sqrt{\kappa g} doit être une constante indépendante du site. Calculons ce produit pour chacune des cinq dunes du tableau 2 :

• Al Wagan : f\sqrt{d} = 80 \times \sqrt{200\cdot 10^{-6}} \simeq 1{,}13\text{ Hz}\cdot\text{m}^{1/2} ;
• Dumont : f\sqrt{d} = 83 \times \sqrt{174\cdot 10^{-6}} \simeq 1{,}10\text{ Hz}\cdot\text{m}^{1/2} ;
• Eureka : f\sqrt{d} = 90 \times \sqrt{165\cdot 10^{-6}} \simeq 1{,}16\text{ Hz}\cdot\text{m}^{1/2} ;
• Mar de dunas : f\sqrt{d} = 97 \times \sqrt{168\cdot 10^{-6}} \simeq 1{,}26\text{ Hz}\cdot\text{m}^{1/2} ;
• Omega 1 : f\sqrt{d} = 100 \times \sqrt{155\cdot 10^{-6}} \simeq 1{,}24\text{ Hz}\cdot\text{m}^{1/2}.

On constate que lorsque le diamètre d diminue de 200\,\mu\text{m} à 155\,\mu\text{m}, la fréquence f augmente de 80\text{ Hz} à 100\text{ Hz}. La valeur de f\sqrt{d} est quasiment constante :

avec des fluctuations inférieures à 7\%, largement compatibles avec les incertitudes de mesure sur le diamètre des grains (\pm 20 à \pm 70\,\mu\text{m}). Les données expérimentales sont donc tout à fait compatibles avec ce modèle.

3. Estimation de la constante \kappa

De la relation f\sqrt{d} = \sqrt{\kappa g}, on tire :

Avec g = 9{,}8\text{ m}\cdot\text{s}^{-2} :

(Si l'on retient \ell = \frac{\pi}{3}d, on obtient \kappa = \frac{\pi^2}{9}\frac{f^2 d}{g} \simeq 0{,}15, ce qui ne modifie pas l'ordre de grandeur.)

4. Pertinence dans le cas du chant des plages

Pour le chant des plages, la fréquence observée atteint f \sim 1\text{ kHz} = 10^3\text{ Hz}. Si ce modèle s'appliquait, le diamètre des grains correspondant serait :

Or, les grains de sable d'une plage ont une granulométrie typique comprise entre 100\,\mu\text{m} et 500\,\mu\text{m} ; une taille de l'ordre du micromètre correspond à des argiles ou des poussières très fines, incompatibles avec du sable.

Par conséquent, ce modèle d'avalanche gravitaire n'est pas pertinent pour rendre compte du chant des plages (le phénomène des « sables chantants » ou « sifflants » sur les plages résulte d'autres mécanismes physiques, tels que le cisaillement forcé sous les pas ou la friction inter-granulaire de grains de silice très réguliers).

1. Expression du gradient de pression statique

En l'absence d'onde sonore, le fluide possède une vitesse \vec{v}_0 = v_0 \vec{u}_x uniforme et constante dans le temps, une masse volumique constante \rho_0, et une pression p_{\text{st}}(z). Toutes les dérivées spatio-temporelles du champ de vitesse s'annulent :

L'équation de Navier–Stokes se réduit alors à la relation fondamentale de la statique des fluides :

Comme \vec{g} = -g \vec{u}_z et que p_{\text{st}} ne dépend que de la cote z, la projection sur l'axe vertical \vec{u}_z donne directement :

(Compte tenu de la condition à la surface libre p_{\text{st}}(0) = p_0, on retrouve la loi hydrostatique p_{\text{st}}(z) = p_0 - \rho_0 g z).

2. Forme simplifiée de l'équation de Navier–Stokes

En présence de l'onde acoustique, on décompose les champs sous la forme :

où p_1, \rho_1 et \vec{v}_1 sont des perturbations acoustiques de petite amplitude (grandeurs du premier ordre).

L'équation de Navier–Stokes devient :

Procédons aux simplifications :

• Équilibre de base : D'après le résultat précédent, -\vec{\mathrm{grad}} p_{\text{st}} + \rho_0 \vec{g} = \vec{0}.

• Terme de pesanteur perturbé : Le terme résiduel de gravité est \rho_1 \vec{g}. En ordre de grandeur, \|\rho_1 \vec{g}\| \sim \rho_1 g \sim \frac{p_1}{c_a^2} g, tandis que le gradient de pression acoustique est de norme \|\vec{\mathrm{grad}} p_1\| \sim k p_1 = \frac{\omega}{c_a} p_1. Le rapport de ces deux termes vaut :

  \frac{\|\rho_1 \vec{g}\|}{\|\vec{\mathrm{grad}} p_1\|} \sim \frac{g}{\omega c_a}

  Pour des ondes acoustiques dans l'eau (c_a \simeq 1500\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}), dès que f \ge 10\text{ Hz} (\omega \ge 60\text{ rad}\cdot\text{s}^{-1}), on a \omega c_a \ge 9\cdot 10^4\text{ m}\cdot\text{s}^{-2} \gg g \simeq 9{,}8\text{ m}\cdot\text{s}^{-2}. La force de pesanteur sur les surdensités acoustiques est donc négligeable devant la force de pression : \rho_1 \vec{g} \ll \vec{\mathrm{grad}} p_1.

• Linéarisation du terme d'inertie : Au premier ordre, \rho_0 + \rho_1 \simeq \rho_0. Puisque \vec{v}_0 est uniforme, le terme convectif s'écrit :

  ((\vec{v}_0 + \vec{v}_1)\cdot\vec{\mathrm{grad}})(\vec{v}_0 + \vec{v}_1) = (\vec{v}_0 \cdot \vec{\mathrm{grad}})\vec{v}_1 + \mathcal{O}(v_1^2)
• Terme visqueux : \Delta(\vec{v}_0 + \vec{v}_1) = \Delta \vec{v}_1.

On aboutit ainsi à la forme simplifiée (linéarisée) de l'équation de Navier–Stokes pour l'onde acoustique (notée ici avec \underline{p} et \underline{\vec{v}} conformément à la suite de l'énoncé) :

Dans le cas particulier où l'eau est au repos en moyenne (\vec{v}_0 = \vec{0}, étudié dans la sous-partie II.1), celle-ci se réduit à :

Dans le cadre de l'approximation acoustique, les compressions et dilatations du fluide sont suffisamment rapides pour que les échanges thermiques soient négligeables, et les gradients d'amplitude suffisamment faibles pour négliger la dissipation visqueuse au sein de l'onde : l'évolution est isentropique.

Le coefficient de compressibilité isentropique \chi d'un volume V de fluide est défini par :

Pour une masse de fluide m = \rho V constante, la différentiation logarithmique donne :

On en déduit l'expression de \chi en fonction de la masse volumique \rho :

En se plaçant au premier ordre autour de l'état d'équilibre caractérisé par la masse volumique moyenne \rho_0, la fluctuation de masse volumique \underline{\rho} = \rho - \rho_0 s'écrit directement en fonction de la surpression acoustique \underline{p} :

Dans un fluide parfait (\eta = 0) au repos en moyenne (\vec{v}_0 = \vec{0}), l'équation de Navier-Stokes linéarisée obtenue à la question Q27 s'écrit :

Pour une onde plane progressive monochromatique se propageant selon le facteur de phase \exp[\mathrm{i}(\omega t - \vec{k}\cdot\vec{r})], les opérateurs différentiels deviennent :

L'équation d'Euler linéarisée devient ainsi :

En simplifiant par \mathrm{i}, on obtient la première relation :

L'équation locale de conservation de la masse est :

Avec \rho = \rho_0 + \underline{\rho} et \vec{v} = \underline{\vec{v}}, le terme convectif \operatorname{div}(\rho \vec{v}) = \operatorname{div}((\rho_0 + \underline{\rho})\underline{\vec{v}}) = \rho_0 \operatorname{div}\underline{\vec{v}} + \operatorname{div}(\underline{\rho}\underline{\vec{v}}) se réduit au premier ordre à \rho_0 \operatorname{div}\underline{\vec{v}}. L'équation de continuité linéarisée s'écrit donc :

D'après la relation issue de la compressibilité (question Q28), \underline{\rho} = \rho_0 \chi \underline{p}. En remplaçant \underline{\rho} :

En passant en notation complexe (\operatorname{div} \to -\mathrm{i}\vec{k}\cdot) :

Soit, en simplifiant par \mathrm{i} :

Multiplions scalairement par \vec{k} la première équation :

En y substituant l'expression de \vec{k}\cdot\underline{\vec{v}} issue de la seconde équation :

Pour une onde non triviale (\underline{p} \neq 0), on en déduit la relation de dispersion :

Le milieu est non dispersif et la célérité de phase c_a = \frac{\omega}{k} s'exprime par la relation de Newton-Laplace :

Application numérique :

D'après l'énoncé, le niveau sonore maximal du chant des baleines est I_{\mathrm{dB}} = 180\text{ dB} avec la pression de référence dans l'eau p_{\mathrm{ref}} = 1\ \mu\text{Pa} = 1{,}0\cdot 10^{-6}\text{ Pa}. On en déduit l'amplitude de la surpression acoustique :

Amplitude de l'onde de masse volumique D'après la relation de compressibilité obtenue en Q28, \underline{\rho} = \rho_0 \chi \underline{p}, l'amplitude de la fluctuation de masse volumique s'écrit :

Application numérique avec \rho_0 = 1{,}00\cdot 10^3\text{ kg}\cdot\text{m}^{-3} et \chi = 4{,}10\cdot 10^{-10}\text{ Pa}^{-1} :

Amplitude de l'onde de vitesse D'après l'équation d'Euler projetée en Q29, \rho_0 \omega \underline{\vec{v}} = \vec{k} \underline{p}. Comme pour une onde plane progressive \|\vec{k}\| = k = \omega / c_a, la norme de la vitesse acoustique s'exprime par :

Application numérique avec c_a \simeq 1{,}56\cdot 10^3\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} (calculée en Q29) :

Commentaires

• Perturbation de la masse volumique et de la pression : Près de la surface libre, la pression statique vaut p_{\mathrm{st}}(0) = p_0 = 1\text{ bar} = 10^5\text{ Pa}. Les fluctuations relatives valent :

  \frac{|\underline{p}|}{p_0} = \frac{10^3}{10^5} = 10^{-2} = 1\% \ll 1, \qquad \frac{|\underline{\rho}|}{\rho_0} = \chi |\underline{p}| \simeq 4{,}1\cdot 10^{-7} \ll 1

  La variation de masse volumique induite par l'onde est infime devant la masse volumique moyenne de l'eau.

• Vitesse des particules fluides : L'amplitude de vitesse acoustique est de l'ordre d'une fraction de millimètre par seconde. En la comparant à la célérité du son :

  \frac{|\underline{\vec{v}}|}{c_a} = \frac{6{,}4\cdot 10^{-4}}{1{,}56\cdot 10^3} \simeq 4{,}1\cdot 10^{-7} \ll 1

  Le nombre de Mach acoustique est extrêmement faible.

• Validité de l'approximation acoustique : Même pour un son émis à un niveau exceptionnel (180\text{ dB}, parmi les plus puissants du règne animal), les hypothèses de linéarisation de l'acoustique (|\underline{p}| \ll p_{\mathrm{st}}, |\underline{\rho}| \ll \rho_0 et |\underline{\vec{v}}| \ll c_a) sont parfaitement vérifiées.

En l'absence de courant d'ensemble (\vec{v}_0 = \vec{0}), l'équation de Navier-Stokes linéarisée (question Q27) relative aux fluctuations acoustiques s'écrit :

Pour une onde plane progressive harmonique dépendant de l'espace et du temps via le facteur \exp\left[\mathrm{i}\left(\omega t - \vec{k}\cdot\vec{r}\right)\right], les opérateurs différentiels spatio-temporels se traduisent par les substitutions :

L'équation de Navier-Stokes devient ainsi :

Par ailleurs, l'équation de conservation de la masse couplée à la compressibilité isentropique établie à la question Q29 reste inchangée :

En effectuant le produit scalaire de l'équation de Navier-Stokes par le vecteur d'onde \vec{k}, on obtient :

En substituant \vec{k}\cdot\underline{\vec{v}} = \chi\omega\underline{p} et sachant que \underline{p} \neq 0 :

En l'absence de viscosité (\eta = 0), on retrouve la relation de dispersion non dissipative :

On en déduit donc l'équation de dispersion sous la forme demandée :

Application numérique :

La fréquence correspondante est f_c = \dfrac{\omega_c}{2\pi} \simeq 3{,}2\cdot 10^{11}\text{ Hz} \simeq 320\text{ GHz}.

1. Justification de la faible atténuation en basse fréquence

D'après la question Q31, l'équation de dispersion s'écrit :

Comme \omega_c = \frac{1}{\eta\chi} \simeq 2{,}0 \cdot 10^{12}\text{ rad}\cdot\text{s}^{-1}, pour toutes les fréquences audibles (f \lesssim 20\text{ kHz}) et même ultrasonores (f \lesssim 10\text{ MHz}), on a \omega \ll \omega_c. En effectuant un développement limité à l'ordre 1 en \omega/\omega_c :

avec :

Pour une onde se propageant selon (Ox), l'amplitude de pression évolue selon :

L'atténuation spatiale est gouvernée par le facteur \mathrm{e}^{-k'' x}. Puisque k'' \propto f^2, l'absorption visqueuse est extrêmement faible aux basses fréquences (domaine audio) et ne devient notable qu'à des fréquences élevées.

2. Expression du coefficient d'atténuation \beta en \mathrm{dB\cdot km^{-1}}

Le niveau sonore I_{\mathrm{dB}} s'écrit :

En notant d_0 = 1\text{ km} = 10^3\text{ m}, le coefficient d'atténuation \beta mesurant la perte en décibels par kilomètre est défini par :

En remplaçant k'' par son expression :

3. Applications numériques

Avec les données de l'énoncé :

Choisissons deux fréquences caractéristiques :

• Domaine audio (chant des cétacés, sonars passifs) : prenons f_1 = 1{,}0\text{ kHz} = 10^3\text{ Hz} :

  \beta_1 \simeq 5{,}4 \cdot 10^{-11} \times (10^3)^2 = 5{,}4 \cdot 10^{-5}\text{ dB/km}

• Domaine ultrasonore (sonars de cartographie des fonds marins, échographie) : prenons f_2 = 100\text{ kHz} = 10^5\text{ Hz} :

  \beta_2 \simeq 5{,}4 \cdot 10^{-11} \times (10^5)^2 = 0{,}54\text{ dB/km}

  Pour f = 1\text{ MHz}, on obtiendrait \beta \simeq 54\text{ dB/km}.

4. Comparaison et conclusion

La valeur mesurée dans l'Atlantique aux fréquences audio est \beta_{\mathrm{mes}} \sim 0{,}12\text{ dB/km}, alors que le modèle purement visqueux prédit à 1\text{ kHz} une valeur \beta_1 \simeq 5{,}4 \cdot 10^{-5}\text{ dB/km}, soit plus de 2000 fois plus faible.

On en conclut que la viscosité de cisaillement du fluide ne constitue pas le mécanisme d'atténuation dominant dans l'eau de mer. L'atténuation réelle y est gouvernée par :

• la relaxation chimique des sels dissous (dissociation/recombinaison ionique du sulfate de magnésium \mathrm{MgSO}_4 et de l'acide borique induite par l'onde de pression) ;
• la viscosité de volume (de compression) du fluide ;
• la diffusion acoustique par les microbulles, les particules en suspension et les gradients de température/salinité.

1. Ordre de grandeur de la vitesse d'un courant océanique :

Les grands courants océaniques de surface (tels que le Gulf Stream) possèdent des vitesses de l'ordre de quelques nœuds, soit typiquement entre 1 et 2\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}. Exprimée en kilomètres par heure :

Cette valeur vérifie très largement la hiérarchie imposée par l'énoncé :

2. Linéarisation de \operatorname{div}(\rho\vec{v}) :

La masse volumique et le champ de vitesse s'écrivent :

Le produit de flux convectif s'écrit donc :

Au premier ordre par rapport aux grandeurs acoustiques perturbations, le terme du second ordre \underline{\rho}\,\underline{\vec{v}} est négligé :

Prenons la divergence de cette expression par linéarité de l'opérateur \operatorname{div} :

• \rho_0 et \vec{v}_0 étant uniformes dans l'espace, \operatorname{div}(\rho_0\vec{v}_0) = 0 ;
• \operatorname{div}(\rho_0\underline{\vec{v}}) = \rho_0 \operatorname{div}\underline{\vec{v}} ;
• d'après la formule d'analyse vectorielle donnée par l'énoncé, \operatorname{div}(\underline{\rho}\vec{v}_0) = \underline{\rho}\operatorname{div}\vec{v}_0 + \overrightarrow{\operatorname{grad}}\,\underline{\rho}\cdot\vec{v}_0 = (\vec{v}_0\cdot\overrightarrow{\operatorname{grad}})\underline{\rho} puisque \vec{v}_0 est uniforme (\operatorname{div}\vec{v}_0 = 0).

Comme \vec{v}_0 = v_0\vec{u}_x, on a (\vec{v}_0\cdot\overrightarrow{\operatorname{grad}})\underline{\rho} = v_0 \dfrac{\partial \underline{\rho}}{\partial x}. On en déduit :

3. Linéarisation de (\vec{v}\cdot\overrightarrow{\operatorname{grad}})\vec{v} :

Développons le terme convectif :

Le champ moyen \vec{v}_0 étant uniforme, toutes ses dérivées spatiales sont nulles :

En négligeant le terme quadratique d'ordre deux (\underline{\vec{v}}\cdot\overrightarrow{\operatorname{grad}})\underline{\vec{v}}, il reste au premier ordre :

Dans le cadre d'un fluide parfait (\eta = 0), l'équation de Navier-Stokes linéarisée établie à la question Q27 s'écrit :

Pour une onde plane progressive harmonique dépendant de l'espace et du temps via le facteur \exp[\mathrm{i}(\omega t - \vec{k}\cdot\vec{r})], les opérateurs différentiels s'expriment par :

Le terme convectif devient alors :

En posant la grandeur scalaire :

l'accélération particulaire s'écrit :

L'équation du mouvement devient :

En simplifiant par \mathrm{i}, on obtient la première relation :

Considérons à présent l'équation locale de conservation de la masse :

Grâce au résultat de la question Q33, l'équation linéarisée s'écrit :

D'après la question Q28, \underline{\rho} = \rho_0 \chi \underline{p}. En divisant par la constante \rho_0, il vient :

En passant aux grandeurs complexes harmoniques :

En divisant par \mathrm{i} et en réarrangeant :

L'expression explicite de la grandeur \Omega est donc :

D'après la question Q34, les équations linéarisées du mouvement s'écrivent :

avec \Omega = k v_0 \cos\theta. En projetant la première relation selon le vecteur d'onde \vec{k} = k \vec{u} (k > 0), on obtient :

En substituant l'expression de \vec{k} \cdot \underline{\vec{v}} issue de la seconde relation :

Pour une perturbation acoustique non nulle (\underline{p} \neq 0), et en rappelant que la célérité du son dans l'eau au repos est c_a = 1/\sqrt{\rho_0 \chi} (d'après la question Q29), il vient :

Pour une onde se propageant dans le sens de \vec{k} (\omega > 0 et \omega - \Omega > 0 car v_0 \ll c_a), on retient la racine positive :

La célérité c'_a de l'onde acoustique dans le référentiel du laboratoire est définie par la vitesse de phase c'_a = \frac{\omega}{k} :

Discussion : peut-on parler de loi de composition des vitesses ?

• D'un point de vue cinématique : oui. Dans le référentiel \mathcal{R}' lié au fluide en mouvement, le fluide est au repos et l'onde acoustique s'y propage à la vitesse \vec{c}_{a/\mathcal{R}'} = c_a \vec{u}. Le référentiel \mathcal{R}' se déplace à la vitesse d'entraînement \vec{v}_0 = v_0 \vec{u}_x par rapport au laboratoire \mathcal{R}. La loi classique (galiléenne) de composition des vitesses donne pour la vitesse de propagation de la phase dans \mathcal{R} :

  \vec{c}'_a = \vec{c}_{a/\mathcal{R}'} + \vec{v}_0 = c_a \vec{u} + \vec{v}_0

  Sa projection selon la direction d'observation \vec{u} redonne précisément :

  \vec{c}'_a \cdot \vec{u} = c_a + \vec{v}_0 \cdot \vec{u} = c_a + v_0 \cos\theta = c'_a

  Il y a donc entraînement total de l'onde sonore par l'écoulement.

• D'un point de vue conceptuel : comme souligné dans le préambule du sujet, une onde n'est pas un corpuscule matériel : c_a et c'_a sont des célérités de phase (propagation d'un état vibratoire sans transport global de matière) et non les vitesses d'un point matériel. Cependant, l'onde sonore nécessitant un support matériel pour se propager, ce support entraîne intégralement avec lui la perturbation, ce qui valide l'application formelle de la composition galiléenne des vitesses.