Corrigé détaillé X ENS Physique PSI 2021

Nature du filtre : Le rapport d'amplitudes \frac{U_{\mathrm{s,m}}}{U_0} tend vers zéro à basse fréquence (f < 37\text{ kHz}) ainsi qu'à haute fréquence (f > 44\text{ kHz}), et présente un pic marqué autour de 40\text{ kHz}. La courbe de réponse correspond donc à celle d'un filtre passe-bande.

Fréquence propre f_{\mathrm{p}} : Le maximum de la réponse est atteint pour :

L'amplitude maximale correspondante vaut :

Bande passante \Delta f à -3\text{ dB} : La bande passante à -3\text{ dB} est délimitée par les fréquences de coupure f_1 et f_2 telles que :

En utilisant la donnée de l'énoncé 2^{0{,}5} \approx 1{,}4 ainsi que 35 / 1{,}4 = 25 :

Par lecture graphique sur la figure 2 à l'ordonnée 0{,}25 :

• fréquence de coupure basse : f_1 \approx 39{,}1\text{ kHz} ;
• fréquence de coupure haute : f_2 \approx 40{,}5\text{ kHz} à 40{,}6\text{ kHz}.

La bande passante est donc :

Facteur de qualité Q : Le facteur de qualité s'en déduit par :

L'oreille humaine moyenne est sensible aux ondes sonores dont la fréquence est comprise dans le domaine audible :

D'après la question 1, la fréquence propre d'émission de l'émetteur est :

Cette fréquence se situe au-delà de la limite supérieure des sons audibles par l'être humain, dans le domaine des ultrasons.

Dans le cadre de l'approximation acoustique, les perturbations p(\vec{r},t), \mu(\vec{r},t) et \vec{v}(\vec{r},t) sont des infiniment petits du premier ordre. Les grandeurs d'équilibre P_0 et \rho_0 sont uniformes et stationnaires, et la vitesse d'équilibre est nulle.

• Équation d'Euler linéarisée :

  En substituant P = P_0 + p, \rho = \rho_0 + \mu et \vec{v} dans l'équation (4) :

  \begin{aligned} (\rho_0 + \mu) \left( \frac{\partial \vec{v}}{\partial t} + (\vec{v} \cdot \vec{\operatorname{grad}})\vec{v} \right) &= -\vec{\operatorname{grad}}(P_0 + p) \end{aligned}

  Le terme convectif (\vec{v} \cdot \vec{\operatorname{grad}})\vec{v} est du second ordre par rapport à \vec{v}, de même que le produit \mu \frac{\partial \vec{v}}{\partial t}. De plus, P_0 étant uniforme, \vec{\operatorname{grad}} P_0 = \vec{0}. Il reste donc au premier ordre :

  \boxed{\rho_0 \frac{\partial \vec{v}}{\partial t} = -\vec{\operatorname{grad}} p}

• Équation de conservation de la masse linéarisée :

  En substituant \rho = \rho_0 + \mu et la vitesse dans l'équation (5) :

  \begin{aligned} \operatorname{div}\big((\rho_0 + \mu)\vec{v}\big) + \frac{\partial (\rho_0 + \mu)}{\partial t} &= 0 \\ \rho_0 \operatorname{div}\vec{v} + \operatorname{div}(\mu \vec{v}) + \frac{\partial \mu}{\partial t} &= 0 \end{aligned}

  car \rho_0 est uniforme et indépendant du temps. Le terme \operatorname{div}(\mu \vec{v}) est du second ordre en perturbations, donc négligeable. On obtient :

  \boxed{\frac{\partial \mu}{\partial t} + \rho_0 \operatorname{div}\vec{v} = 0}

• Relation thermodynamique (compressibilité isentropique) :

  Les transformations subies par le fluide lors du passage de l'onde acoustique sont supposées réversibles et adiabatiques (effets de conduction thermique négligeables), donc isentropiques. D'après l'équation (6), la variation de masse volumique au premier ordre s'écrit :

  \begin{aligned} \mathrm{d}\rho &= \left. \frac{\partial \rho}{\partial P} \right|_S \mathrm{d}P = \rho_0 \chi_S \, \mathrm{d}P \end{aligned}

  En identifiant les variations aux perturbations du premier ordre \mathrm{d}\rho = \mu et \mathrm{d}P = p, on en déduit :

  \boxed{\mu = \rho_0 \chi_S p}

D'après les résultats de la question Q3, les équations linéarisées régissant la perturbation acoustique s'écrivent :

Prenons la divergence de l'équation d'Euler linéarisée (1). En permutant les dérivations spatiale et temporelle :

Par ailleurs, dérivons l'équation de conservation de la masse (2) par rapport au temps t :

En égalant les deux expressions de \rho_0 \frac{\partial}{\partial t}(\operatorname{div}\vec{v}), il vient :

En injectant la relation constitutive isentropique (3), on obtient :

soit finalement :

On identifie cette relation à l'équation de d'Alembert sous la forme proposée :

avec pour expression de la célérité acoustique :

1. Détermination expérimentale de la célérité

L'émetteur envoie des trains d'ondes qui parviennent successivement aux deux récepteurs distants de d_{\text{rec}} = 17\text{ cm}. Le retard temporel \Delta t correspond au décalage entre les débuts (ou les maxima) des deux paquets d'ondes sur la figure 3.

La sensibilité horizontale indiquée est de 200\text{ }\mu\text{s/div}. La lecture graphique donne un décalage temporel de :

La célérité mesurée de l'onde acoustique est donc :

Application numérique avec d_{\text{rec}} = 0{,}17\text{ m} :

2. Comparaison avec la valeur théorique

D'après le résultat de la question 4, l'expression théorique de la célérité est :

Avec \rho_0 = 1{,}20\text{ kg}\cdot\text{m}^{-3} et \chi_S = 7{,}00 \times 10^{-6}\text{ Pa}^{-1}, on calcule :

En utilisant la donnée numérique 8{,}4^{-0{,}5} \approx 0{,}345 :

L'écart relatif entre la mesure et la valeur théorique vaut :

3. Commentaire

L'accord entre la valeur mesurée et la valeur théorique est excellent (écart inférieur à 2\%). Les faibles écarts constatés peuvent s'expliquer par :

• l'incertitude de lecture sur l'oscilloscope (repérage précis du début du front du paquet d'ondes, lié au temps de montée du transducteur) ;
• l'incertitude sur la distance effective d_{\text{rec}} entre les centres acoustiques réels des deux récepteurs ;
• la dépendance de la célérité vis-à-vis de la température ambiante réelle du laboratoire (c \propto \sqrt{T} pour un gaz parfait) et de l'humidité de l'air.

On étudie l'atome n de masse m, situé à la position x_n(t) = na + u_n(t), dans le référentiel du laboratoire supposé galiléen.

L'atome n est soumis à l'action de ses deux voisins immédiats par l'intermédiaire de deux ressorts identiques, de raideur K et de longueur à vide a :

• Le ressort situé à sa gauche relie l'atome n-1 à l'atome n. Sa longueur instantanée est \ell_{\text{g}} = x_n - x_{n-1} = a + u_n - u_{n-1}. La force exercée par ce ressort sur l'atome n s'écrit :

  \vec{F}_{\text{g}} = -K(\ell_{\text{g}} - a)\vec{e}_x = -K\big(u_n(t) - u_{n-1}(t)\big)\vec{e}_x

• Le ressort situé à sa droite relie l'atome n à l'atome n+1. Sa longueur instantanée est \ell_{\text{d}} = x_{n+1} - x_n = a + u_{n+1} - u_n. La force exercée par ce ressort sur l'atome n s'écrit :

  \vec{F}_{\text{d}} = +K(\ell_{\text{d}} - a)\vec{e}_x = +K\big(u_{n+1}(t) - u_n(t)\big)\vec{e}_x

En appliquant la deuxième loi de Newton à l'atome n et en tenant compte du fait que \frac{\mathrm{d}^2 x_n}{\mathrm{d}t^2} = \frac{\mathrm{d}^2 u_n}{\mathrm{d}t^2} (la position d'équilibre na étant constante), on obtient :

En projetant sur l'axe (Ox), on en déduit l'équation différentielle du mouvement :

D'après la question Q6, l'équation régissant l'écart à l'équilibre du n-ième atome s'écrit :

Dans le cadre de l'approximation des milieux continus, la position d'équilibre na est repérée par la variable d'espace continue x. Comme le pas du réseau vérifie a \ll \lambda_c, où \lambda_c est l'échelle spatiale caractéristique de variation du déplacement, on peut effectuer un développement limité à l'ordre 2 en puissances de a :

En sommant ces deux expressions, les termes du premier ordre se compensent exactement par symétrie :

En reportant ce résultat dans l'équation du mouvement, on obtient :

Le champ de déplacement u(x,t) vérifie donc l'équation de d'Alembert unidimensionnelle :

avec pour célérité de l'onde acoustique :

D'après la question 6, l'équation régissant le déplacement du n-ième atome s'écrit :

On injecte la solution recherchée sous forme d'onde plane discrète (équation 8 de l'énoncé) :

La dérivée temporelle seconde de u_n(t) vaut :

D'autre part, pour les atomes voisins :

Le membre de droite de l'équation du mouvement s'exprime donc sous la forme :

En réinjectant ces expressions dans l'équation différentielle et en simplifiant par u_n(t) \neq 0, on obtient :

Comme la pulsation est par convention positive (\omega \in \mathbb{R}^+), on prend la racine carrée :

On retrouve bien la forme demandée avec :

D'après l'équation (8), le déplacement du n-ième atome s'écrit sous forme d'onde plane :

La condition aux limites périodique (dite condition de Born-von Kármán) impose u_{N+1}(t) = u_1(t) à tout instant t, soit :

Pour u_0 \neq 0, en factorisant par u_0 \exp\big(\mathrm{i}(qa - \omega t)\big), on obtient :

Cette égalité impose que l'argument soit un multiple entier de 2\pi :

La chaîne étant constituée de N mailles de pas a, sa longueur totale macroscopique est L = Na. Il vient donc :

On identifie directement la forme demandée q = p q_0 avec :

Considérons deux nombres d'onde q et q' tels que q' = q + h \dfrac{2\pi}{a} avec h \in \mathbb{Z}.

• Pour la pulsation propre \omega(q) établie à la question Q8 :

  \begin{aligned} \omega(q') &= A \left| \sin\left(\frac{q' a}{2}\right) \right| \\ &= A \left| \sin\left(\frac{q a}{2} + h\pi\right) \right| \\ &= A \left| (-1)^h \sin\left(\frac{q a}{2}\right) \right| \\ &= \omega(q). \end{aligned}

  Les deux ondes possèdent donc la même pulsation.

• Pour le déplacement du n-ième atome à la date t, donné par l'équation (8) :

  \begin{aligned} u_n(q', t) &= u_0 \exp\left[ \mathrm{i}(q'na - \omega(q')t) \right] \\ &= u_0 \exp\left[ \mathrm{i}\left(qna + 2\pi h n - \omega(q)t\right) \right] \\ &= u_0 \exp\left[ \mathrm{i}(qna - \omega(q)t) \right] \times \mathrm{e}^{\mathrm{i} 2\pi h n}. \end{aligned}

  Comme h \in \mathbb{Z} et n \in \mathbb{Z}, le produit hn est un entier, d'où \mathrm{e}^{\mathrm{i} 2\pi h n} = 1. Il vient ainsi :

  u_n(q', t) = u_n(q, t) \quad \forall n \in [\![1 ; N]\!], \; \forall t.

Les deux nombres d'onde q et q' décrivent rigoureusement le même mouvement pour l'ensemble des atomes du réseau discret : ils représentent un seul et même mode physique.

Tout nombre d'onde réel q peut s'écrire de manière unique sous la forme q = q_0 + h\dfrac{2\pi}{a} avec h \in \mathbb{Z} et q_0 \in \left[-\dfrac{\pi}{a} ; \dfrac{\pi}{a}\right[. Pour décrire l'ensemble des modes physiques sans redondance, il suffit donc de restreindre l'étude à l'intervalle :

D'après la question Q8, la pulsation propre s'exprime par :

Sur la première zone de Brillouin, q \in \left[-\frac{\pi}{a}, \frac{\pi}{a}\right], la quantité \frac{qa}{2} appartient à l'intervalle \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]. La fonction \omega(q) est paire et présente les caractéristiques remarquables suivantes :

• À l'origine (q = 0) :

  \omega(0) = 0

  Pour q > 0, au voisinage de l'origine, \omega(q) \approx \frac{A a}{2} q = c_s q où c_s = a\sqrt{\frac{K}{m}} est la célérité acoustique trouvée à la question Q7. La demi-tangente à droite est de pente +c_s, et celle à gauche de pente -c_s.

• Aux limites de la zone (q = ± \frac{\pi}{a}) :

  \omega\left(\pm \frac{\pi}{a}\right) = A = 2\sqrt{\frac{K}{m}} = \omega_{\max}

• Tangentes aux bords de zone : Pour q \in \left]0, \frac{\pi}{a}\right], \omega(q) = A\sin\left(\frac{qa}{2}\right), d'où :

  \frac{\mathrm{d}\omega}{\mathrm{d}q} = \frac{Aa}{2}\cos\left(\frac{qa}{2}\right)

  En q \to \pm \frac{\pi}{a}, \cos\left(\frac{qa}{2}\right) \to 0 : la tangente est horizontale aux bords de la zone de Brillouin (\frac{\mathrm{d}\omega}{\mathrm{d}q} = 0).

D'après la question 8, la relation de dispersion s'écrit :

Pour |q|a \ll 1, un développement limité à l'ordre 1 au voisinage de 0 donne :

Le critère quantitatif permettant de linéariser la relation de dispersion est donc :

En reliant le nombre d'onde q à la longueur d'onde spatiale de l'excitation par q = \frac{2\pi}{\lambda}, ce critère devient :

Ce critère est rigoureusement identique à celui de l'approximation des milieux continus introduite à la question 7 (a \ll \lambda_c), où le pas du réseau a est très petit devant l'échelle spatiale de variation de la déformation.

Sous cette approximation, la pulsation s'écrit :

On a donc la relation linéaire :

Le facteur de proportionnalité est :

Il s'agit de la célérité des ondes acoustiques dans le milieu continu établie à la question 7. Dans ce domaine des grandes longueurs d'onde, le milieu n'est pas dispersif et la vitesse de phase v_\varphi = \frac{\omega}{|q|} est égale à la vitesse de groupe v_g = \frac{\mathrm{d}\omega}{\mathrm{d}|q|} = c_s.

Dans le domaine de l'optique et de l'électromagnétisme (ou de la physique quantique), l'onde électromagnétique se propageant dans le vide obéit à la relation de dispersion linéaire :

où c est la célérité de la lumière dans le vide.

Le quantum d'énergie associé à cette onde électromagnétique, de masse nulle et vérifiant la relation d'énergie-impulsion linéaire E = p c (soit E = \hbar\omega et p = \hbar k), est le photon.

L'équation locale de Maxwell-Gauss reliant le champ électrique \vec{E} à la densité volumique de charge \rho en tout point de l'espace s'écrit :

Considérons un volume macroscopique V délimité par une surface fermée \Sigma, orientée vers l'extérieur par son vecteur surface élémentaire \mathrm{d}\vec{S}. En intégrant l'équation de Maxwell-Gauss sur le volume V, on obtient :

Or, d'après le théorème de Green-Ostrogradski (théorème de flux-divergence), le flux sortant du champ \vec{E} à travers \Sigma est égal à l'intégrale de sa divergence sur le volume intérieur :

En identifiant la charge totale intérieure au volume V délimité par la surface \Sigma :

On en déduit la forme intégrale, à savoir le théorème de Gauss :

Dans le diélectrique, la densité volumique totale de charge est la somme des charges libres et des charges liées de polarisation :

L'équation de Maxwell-Gauss locale s'écrit alors :

En introduisant le vecteur déplacement électrique \vec{D} = \varepsilon_0 \vec{E} + \vec{P}, on obtient l'équation locale :

En intégrant cette relation sur un volume V délimité par une surface fermée \Sigma orientée vers l'extérieur et en appliquant le théorème de Green-Ostrogradsky :

On en déduit l'expression du théorème de Gauss pour le champ \vec{D} sous forme intégrale :

où Q_{\text{libre, int}} désigne la charge libre totale contenue à l'intérieur de la surface fermée \Sigma.

16.a) Dépendance spatiale et invariance de \vec{D}

Les armatures possèdent des dimensions latérales très grandes devant leur écartement (\ell_y, \ell_z \gg L). On néglige les effets de bord et on modélise les armatures comme des plans infinis parallèles au plan (y\mathrm{O}z).

• Invariances : La distribution de charges libres est invariante par translation selon \vec{e}_y et \vec{e}_z. Le champ \vec{D} ne dépend donc que de la coordonnée x :

  \vec{D}(\vec{r}) = \vec{D}(x).

• Symétries : Tout plan orthogonal aux armatures contenant \vec{e}_x (notamment (x\mathrm{O}y) et (x\mathrm{O}z)) est un plan de symétrie de la distribution de charges. Le champ \vec{D} appartient à l'intersection de ces plans :

  \vec{D}(x) = D(x)\,\vec{e}_x.

• Théorème de Gauss local : Dans chacune des trois zones (zone I : x < 0, zone II : 0 < x < L, zone III : x > L), il n'y a aucune charge libre en volume (\rho_{\text{libre}} = 0). Ainsi :

  \operatorname{div}\vec{D} = \frac{\mathrm{d}D_x}{\mathrm{d}x} = 0.

La composante D_x est donc constante selon x dans chaque zone : l'amplitude de \vec{D} est constante par morceaux, prenant respectivement les valeurs uniformes D_{\mathrm{I}}, D_{\mathrm{II}} et D_{\mathrm{III}}.

16.b) Champ \vec{D} hors du système \mathcal{S}

Les densités surfaciques de charges libres portées par les armatures sont :

Un plan infini uniformément chargé avec une densité surfacique libre \sigma crée un champ déplacement électrique :

Par superposition des champs créés par les deux armatures :

• En zone I (x < 0) :

  \vec{D}_{\mathrm{I}} = \left( -\frac{\sigma_0}{2} - \frac{\sigma_L}{2} \right)\vec{e}_x = \left( \frac{Q}{2S} - \frac{Q}{2S} \right)\vec{e}_x = \vec{0}.

• En zone III (x > L) :

  \vec{D}_{\mathrm{III}} = \left( +\frac{\sigma_0}{2} + \frac{\sigma_L}{2} \right)\vec{e}_x = \left( -\frac{Q}{2S} + \frac{Q}{2S} \right)\vec{e}_x = \vec{0}.

16.c) Champ \vec{D} dans l'intervalle ]0, L[

En zone II (0 < x < L), par superposition ou en appliquant la relation de passage à la traversée de l'armature en x = 0 :

Comme \vec{D}_{\mathrm{I}} = \vec{0}, il vient immédiatement :

Remarque : La relation de passage en x = L, soit \vec{D}_{\mathrm{III}} - \vec{D}_{\mathrm{II}} = \sigma_L\,\vec{e}_x = +\frac{Q}{S}\,\vec{e}_x, redonne bien \vec{D}_{\mathrm{III}} = \vec{0}.

16.d) Capacité C du condensateur

Dans le milieu diélectrique linéaire, homogène et isotrope (au repos mécanique), la polarisation est \vec{P} = \varepsilon_0(\varepsilon_r - 1)\vec{E}, de sorte que :

Le champ électrique dérive du potentiel électrostatique (\vec{E} = -\vec{\operatorname{grad}} V = -\frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}x}\,\vec{e}_x) :

La différence de potentiel entre les deux armatures vaut donc :

Par définition de la capacité d'un condensateur reliant la charge Q de l'armature portée au potentiel le plus élevé à la tension U :

d'où :

1. Position des barycentres G_+ et G_-

La maille élémentaire représentée en figure 6 comporte 6 ions alternés :

• 3 ions positifs, portant chacun une charge +e ;
• 3 ions négatifs, portant chacun une charge -e.

Dans la configuration non déformée, les trois charges positives forment un triangle équilatéral de centre O, et les trois charges négatives un autre triangle équilatéral de même centre O. Les barycentres coïncident : G_+ = G_- = O, et le moment dipolaire est nul.

Sous l'effet de l'action mécanique \vec{F} selon l'axe horizontal (Ox) :

• La maille conserve un axe de symétrie horizontal : les barycentres G_+ et G_- se situent donc tous les deux sur cet axe horizontal médian.
• En revanche, la déformation rompt la symétrie centrale : les barycentres G_+ et G_- ne sont plus confondus et se séparent d'une distance d_\pm le long de l'axe (Ox).

2. Expression du moment dipolaire p_{\text{hex}}

D'après le préambule, le moment dipolaire associé à une distribution neutre de charges est donné par :

où q est la valeur absolue de la charge portée par chaque barycentre, et \vec{d} = \vec{G_-G_+} est le vecteur joignant le barycentre des charges négatives à celui des charges positives (\|\vec{d}\| = d_\pm).

La maille représentée contenant 3 charges positives +e et 3 charges négatives -e, la charge totale de chaque barycentre vaut :

La valeur absolue du moment dipolaire p_{\text{hex}} créé par la déformation s'écrit donc :

D'après la définition du vecteur déplacement électrique et l'expression de la polarisation totale issue de l'équation (10) :

Comme établi à la question 16, le théorème de Gauss appliqué à \vec{D} ne fait intervenir que la densité de charges libres \rho_{\text{libre}}. Dans le milieu piézoélectrique isolant, \rho_{\text{libre}} = 0, et les charges libres restent localisées sur les armatures : -Q en x = 0 et +Q en x = L.

Le champ \vec{D} reste nul à l'extérieur du condensateur, et la condition de passage à travers l'armature en x = 0 donne, comme à la question 16.c :

En projetant la relation liant \vec{D} et \vec{E} selon l'axe \vec{e}_x, on en déduit la composante du champ électrique :

La tension entre les deux armatures s'obtient par circulation du champ électrostatique. À l'ordre un en \xi (puisque |\xi| \ll L) :

En reconnaissant la capacité C = \dfrac{\varepsilon_0 \varepsilon_r S}{L} obtenue à la question 16.d, on aboutit bien à l'équation électrique du matériau piézoélectrique :

D'après l'équation (12), la force extérieure qu'il faut appliquer à l'armature mobile située en x = L + \xi pour maintenir un allongement \xi en présence d'une charge Q est :

D'après le principe des actions réciproques (troisième loi de Newton), la force de rappel exercée par le matériau piézoélectrique sur cette armature est l'opposée de la force extérieure :

Étudions à présent le mouvement de l'armature mobile de charge +Q :

• Système : armature mobile de masse effective m.
• Référentiel : référentiel du laboratoire, supposé galiléen.

• Cinématique : la position de l'armature est x(t) = L + \xi(t), d'où une accélération :

  \vec{a}(t) = \frac{\mathrm{d}^2 x}{\mathrm{d}t^2}\,\vec{e}_x = \frac{\mathrm{d}^2 \xi}{\mathrm{d}t^2}\,\vec{e}_x

• Bilan des forces :

  • la force de rappel élastique et piézoélectrique : \vec{F}_{\text{rappel}} = -(\gamma Q + k\xi)\,\vec{e}_x ;
  • la force de frottement fluide modélisant la dissipation interne : \vec{f}_\xi = -\alpha \frac{\mathrm{d}\xi}{\mathrm{d}t}\,\vec{e}_x.

L'application du principe fondamental de la dynamique donne :

En projetant sur l'axe (\mathrm{O}x) orienté par \vec{e}_x et en regroupant tous les termes dans le membre de gauche, on obtient l'équation différentielle régissant le mouvement de l'armature :

D'après l'équation électrique (11) établie à la question précédente :

En reportant cette expression de la charge Q(t) dans l'équation différentielle du mouvement (13), il vient :

Soit, en regroupant les termes en \xi(t) :

En régime sinusoïdal forcé, en adoptant les représentations complexes \underline{U}(t) = U_0\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega t} et \underline{\xi}(t) = \underline{\xi}_0\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega t}, les dérivées temporelles se traduisent par une multiplication par \mathrm{i}\omega :

On en déduit la fonction de transfert électromécanique :

Puisque par hypothèse k > \gamma^2 C, on peut factoriser le dénominateur par (k - \gamma^2 C) > 0 :

Par identification avec la forme canonique proposée :

on obtient :

D'après l'expression de \underline{H}_{\text{elm}}(\omega) obtenue à la question Q20 :

Le module de la fonction de transfert s'écrit directement :

Pour déterminer la pulsation \omega_m > 0 maximisant |\underline{H}_{\text{elm}}(\omega)|, on cherche la valeur qui minimise la quantité présente sous le radical au dénominateur. En introduisant la variable u = \left(\frac{\omega}{\omega_0}\right)^2 > 0, considérons la fonction :

Il s'agit d'un trinôme du second degré en u, dont le coefficient dominant est strictement positif (+1). Sa dérivée première par rapport à u est :

Cette dérivée s'annule en un extremum unique, qui est un minimum global :

Pour qu'il existe une pulsation de résonance \omega_m > 0 non nulle, il faut et il suffit que u_m > 0, soit :

Comme Q_{\text{elm}} > 0, la condition d'existence d'une résonance en élongation est :

Sous cette condition, la pulsation \omega_m à laquelle la réponse du système est maximale s'exprime par :

D'après le résultat de la question Q21, la pulsation de résonance s'écrit :

Dans le cadre de l'approximation d'une résonance aiguë, c'est-à-dire pour Q_{\text{elm}} \gg 1, on a 1/(2 Q_{\text{elm}}^2) \ll 1. Par développement limité à l'ordre 1 :

Comportement asymptotique de |\underline{H}_{\text{elm}}(\omega)| :

• Pour \omega \ll \omega_m (soit \omega \ll \omega_0) :

  |\underline{H}_{\text{elm}}(\omega)| \approx \frac{|H_0|}{\sqrt{1^2 + 0}} = |H_0|

  En particulier, en régime statique (\omega = 0) :

  \boxed{|\underline{H}_{\text{elm}}(0)| = |H_0|}

• Pour \omega \gg \omega_m (soit \omega \gg \omega_0) : Le terme prépondérant sous le radical est \left(\frac{\omega}{\omega_0}\right)^4, d'où :

  |\underline{H}_{\text{elm}}(\omega)| \approx |H_0| \left(\frac{\omega_0}{\omega}\right)^2

  Le module tend donc vers zéro selon une loi en 1/\omega^2 (pente de -40\text{ dB/décade} en représentation de Bode) :

  \boxed{\lim_{\omega \to +\infty} |\underline{H}_{\text{elm}}(\omega)| = 0}

Valeur à la résonance : En substituant \omega = \omega_m \approx \omega_0 dans l'expression du module :

Puisque Q_{\text{elm}} \gg 1, le pic de résonance est extrêmement marqué devant la valeur statique (Q_{\text{elm}}|H_0| \gg |H_0|).

Représentation graphique :

1. Comparaison des courbes théorique et expérimentale :

• Points communs au voisinage de la résonance : les deux courbes présentent un pic de résonance très marqué et étroit autour d'une fréquence centrale f_0 \approx f_p \approx 40\text{ kHz}. Dans les deux cas, l'amplitude s'atténue rapidement dès que l'on s'écarte de cette fréquence.

• Différence à basse fréquence :

  • La fonction de transfert électromécanique \underline{H}_{\text{elm}}(\omega) = \frac{\underline{\xi}_0}{U_0} correspond à un filtre passe-bas du second ordre : en régime statique (\omega \to 0), le déplacement tend vers une valeur finie non nulle |\underline{H}_{\text{elm}}(0)| = |H_0|.
  • La courbe expérimentale de la figure 2 tend vers zéro aux basses fréquences, traduisant un comportement passe-bande. En effet, le microphone mesure la surpression acoustique p(t) engendrée par la vibration de l'armature : or, un déplacement statique (\omega = 0) ne génère aucune surpression propagative (\underline{p} \propto \mathrm{i}\omega \underline{\xi} ou -\omega^2 \underline{\xi} selon le couplage de rayonnement).

2. Discussion de l'approximation de résonance aiguë : À la question Q1, l'évaluation expérimentale a fourni :

D'après l'expression exacte de la pulsation de résonance obtenue à la question Q21 :

Le terme correctif vaut :

L'écart relatif entre la pulsation de résonance \omega_m et la pulsation propre \omega_0 est alors :

Soit un décalage en fréquence inférieur à 15\text{ Hz} pour une fréquence propre de 40\text{ kHz}, ce qui est largement en-dessous de la précision des mesures expérimentales.

Le dipôle \mathrm{AB} est constitué de la mise en parallèle de la branche capacitive d'impédance Z_0 = \frac{1}{\mathrm{i}C_0\omega} et de la branche motrice d'impédance série :

L'impédance équivalente Z_{\mathrm{AB}} vérifie :

Transformons séparément le numérateur et le dénominateur :

• Pour le numérateur :

  \begin{aligned} Z_m &= R_m \left[ 1 + \mathrm{i}\left( \frac{L_m\omega}{R_m} - \frac{1}{R_m C_m\omega} \right) \right] \\ &= R_m \left[ 1 + \mathrm{i}\frac{L_m\omega_r}{R_m} \left( \frac{\omega}{\omega_r} - \frac{\omega_r}{\omega} \right) \right] \end{aligned}

  en posant :

  \omega_r = \frac{1}{\sqrt{L_m C_m}} \quad \text{et} \quad Q_r = \frac{L_m\omega_r}{R_m} = \frac{1}{R_m}\sqrt{\frac{L_m}{C_m}}

• Pour le dénominateur :

  \begin{aligned} Z_m + \frac{1}{\mathrm{i}C_0\omega} &= R_m + \mathrm{i}L_m\omega + \frac{1}{\mathrm{i}\omega}\left( \frac{1}{C_m} + \frac{1}{C_0} \right) \\ &= R_m + \mathrm{i}L_m\omega + \frac{1}{\mathrm{i}C_{\text{éq}}\omega} \end{aligned}

  où C_{\text{éq}} = \frac{C_0 C_m}{C_0 + C_m} représente la mise en série des capacités C_m et C_0. On factorise de même par R_m :

  \begin{aligned} Z_m + \frac{1}{\mathrm{i}C_0\omega} &= R_m \left[ 1 + \mathrm{i}\frac{L_m\omega_a}{R_m} \left( \frac{\omega}{\omega_a} - \frac{\omega_a}{\omega} \right) \right] \end{aligned}

  en posant :

  \omega_a = \frac{1}{\sqrt{L_m C_{\text{éq}}}} = \sqrt{\frac{C_0 + C_m}{L_m C_0 C_m}} \quad \text{et} \quad Q_a = \frac{L_m\omega_a}{R_m} = \frac{1}{R_m}\sqrt{\frac{L_m(C_0 + C_m)}{C_0 C_m}}

En simplifiant par R_m, on retrouve exactement l'expression demandée :

avec :

Le module de Z_{\mathrm{AB}} s'en déduit immédiatement :

D'après l'expression établie à la question précédente (Q24), le module de l'impédance s'écrit :

en posant :

Minima du numérateur et du dénominateur :

• La quantité \left( \frac{\omega}{\omega_r} - \frac{\omega_r}{\omega} \right)^2 est positive ou nulle et s'annule uniquement pour \omega = \omega_r (car \omega > 0). Ainsi :

  \forall \omega > 0, \quad N(\omega) \ge 1 \quad \text{avec} \quad N(\omega_r) = 1.

  Le minimum du numérateur N(\omega) est donc atteint en :

  \boxed{\omega = \omega_r}

• De même, \left( \frac{\omega}{\omega_a} - \frac{\omega_a}{\omega} \right)^2 est positive ou nulle et s'annule uniquement pour \omega = \omega_a. Ainsi :

  \forall \omega > 0, \quad D(\omega) \ge 1 \quad \text{avec} \quad D(\omega_a) = 1.

  Le minimum du dénominateur D(\omega) est donc atteint en :

  \boxed{\omega = \omega_a}

Nature des extremums de |Z_{\mathrm{AB}}| : Les pulsations caractéristiques sont distinctes car \omega_a = \omega_r \sqrt{1 + \frac{C_m}{C_0}} > \omega_r. En faisant abstraction de la lente variation du facteur 1/(C_0\omega) :

• Pour \omega = \omega_r, le numérateur N(\omega) passe par son minimum absolu (N(\omega_r) = 1) alors que le dénominateur est strictement supérieur à 1 (D(\omega_r) > 1). Le quotient \frac{N(\omega)}{D(\omega)} présente donc un creux prononcé :

  \boxed{|Z_{\mathrm{AB}}(\omega_r)| \text{ correspond à un \textbf{minimum}} \text{ de } |Z_{\mathrm{AB}}|.}

• Pour \omega = \omega_a, le dénominateur D(\omega) passe par son minimum absolu (D(\omega_a) = 1) alors que le numérateur est strictement supérieur à 1 (N(\omega_a) > 1). Le quotient \frac{N(\omega)}{D(\omega)} présente alors un pic très élevé :

  \boxed{|Z_{\mathrm{AB}}(\omega_a)| \text{ correspond à un \textbf{maximum}} \text{ de } |Z_{\mathrm{AB}}|.}

La source impose une tension d'amplitude U_0 constante aux bornes du dipôle \mathrm{AB}. L'amplitude I_0(\omega) du courant électrique circulant dans le transducteur s'exprime donc par la loi d'Ohm :

D'après les résultats de la question Q25 :

• À la pulsation \omega = \omega_r : le module de l'impédance |Z_{\mathrm{AB}}| présente un minimum prononcé (la branche motionnelle série L_m\text{--}C_m\text{--}R_m est à sa propre résonance et présente une impédance minimale égale à R_m). L'amplitude du courant total I_0 appelé par le transducteur est alors maximale. La puissance électrique convertie en énergie mécanique de vibration est maximale, provoquant une élongation maximale du matériau piézoélectrique et donc une amplitude maximale de la surpression acoustique :

  \boxed{\text{Pour } \omega = \omega_r, \text{ on observe une résonance d'émission acoustique.}}

• À la pulsation \omega = \omega_a : le module de l'impédance |Z_{\mathrm{AB}}| présente un maximum local très élevé (la branche motionnelle L_m\text{--}C_m présente un comportement inductif qui entre en résonance parallèle avec le condensateur C_0, formant un circuit bouchon). L'amplitude du courant I_0 délivré par la source est alors minimale. Le couplage électromécanique n'est plus alimenté, l'amplitude de vibration du cristal s'effondre et l'émission sonore devient quasi nulle :

  \boxed{\text{Pour } \omega = \omega_a, \text{ on observe une anti-résonance.}}

En régime sinusoïdal établi de pulsation \omega, en adoptant la convention récepteur pour le dipôle \mathcal{S} alimenté sous la tension U(t) par le courant I(t) chargeant l'armature en x = L, la charge Q(t) et le courant I(t) sont liés par :

L'équation différentielle régissant le mouvement de l'armature mobile (équation 13) s'écrit en notation complexe :

On en déduit l'expression de l'élongation complexe :

En reportant cette expression dans l'équation électrique du matériau piézoélectrique (équation 11) :

L'impédance du système Z_\mathcal{S} = \underline{U}/\underline{I} admet donc pour admittance Y_\mathcal{S} = 1/Z_\mathcal{S} :

Cette admittance correspond rigoureusement à l'association en parallèle :

• d'une capacité C_0 = C (admittance \mathrm{i}C_0\omega) ;
• d'une branche série comprenant une résistance R_m = \dfrac{\alpha}{\gamma^2 C^2}, une inductance L_m = \dfrac{m}{\gamma^2 C^2} et une capacité C_m = \dfrac{\gamma^2 C^2}{k - \gamma^2 C}.

Le système électromécanique \mathcal{S} admet donc exactement le circuit équivalent de la figure 8, ce qui établit que son impédance Z_\mathcal{S} se met sous la forme de l'équation (15) :

En régime sinusoïdal établi à la pulsation \omega, avec les grandeurs complexes associées, l'intensité du courant s'écrit :

D'après l'équation électrique (11), la charge s'exprime en fonction de la tension et de l'élongation :

En injectant cette relation dans l'équation du mouvement (13) :

soit, en regroupant les termes en \underline{\xi} :

On en déduit l'expression du courant \underline{I} :

L'admittance complexe Y_{\mathcal{S}} = \frac{\underline{I}}{\underline{U}} du transducteur s'écrit donc :

Or, pour le dipôle électrocinétique représenté sur la figure 8, l'admittance équivalente est la somme de l'admittance de la capacité C_0 et de l'admittance de la branche série (R_m, L_m, C_m) :

Par identification directe de ces deux expressions, on obtient les équivalences électromécaniques :

Dans le modèle électrocinétique représenté sur la figure 8, les éléments réactifs (l'inductance L_m et les capacités C_0 et C_m) emmagasinent et échangent de l'énergie sans la dissiper en moyenne. Le seul composant dissipatif est le conducteur ohmique, caractérisé par sa résistance motionnelle R_m, qui dissipe de la puissance par effet Joule :

Ce résultat est parfaitement cohérent avec le modèle électromécanique :

• Dans le modèle mécanique, la dissipation d'énergie est modélisée par la force de frottement visqueux \vec{f}_\xi = -\alpha \frac{\mathrm{d}\xi}{\mathrm{d}t}\vec{e}_x, caractérisée par le coefficient d'amortissement \alpha. La puissance mécanique dissipée s'écrit instantanément :

  \mathcal{P}_{\text{diss, méca}}(t) = -\vec{f}_\xi \cdot \left(\frac{\mathrm{d}\xi}{\mathrm{d}t}\vec{e}_x\right) = \alpha \left(\frac{\mathrm{d}\xi}{\mathrm{d}t}\right)^2

• D'après la relation établie à la question Q28 :

  R_m = \frac{\alpha}{\gamma^2 C^2}

  La résistance R_m est directement proportionnelle au coefficient de dissipation mécanique \alpha. En l'absence de dissipation mécanique (\alpha = 0), on a R_m = 0 : le circuit équivalent devient alors purement réactif (non dissipatif).

• De plus, le courant dans la branche motionnelle étant lié à la vitesse de déplacement par i_m(t) = -\gamma C \frac{\mathrm{d}\xi}{\mathrm{d}t}, la puissance dissipée par effet Joule dans la résistance R_m vaut :

  \mathcal{P}_J(t) = R_m \, i_m(t)^2 = \frac{\alpha}{\gamma^2 C^2} \left(-\gamma C \frac{\mathrm{d}\xi}{\mathrm{d}t}\right)^2 = \alpha \left(\frac{\mathrm{d}\xi}{\mathrm{d}t}\right)^2 = \mathcal{P}_{\text{diss, méca}}(t)

L'égalité stricte des puissances dissipées confirme la cohérence physique entre les deux descriptions.

Dans le vide, les ondes électromagnétiques se propagent à la célérité c et vérifient l'équation de d'Alembert. Pour une onde plane progressive monochromatique de pulsation \omega et de vecteur d'onde \vec{k}, la relation de dispersion s'écrit classiquement :

où k = \|\vec{k}\| est la norme du vecteur d'onde.

Sous l'angle corpusculaire, un photon possède une énergie \mathcal{E} = \hbar\omega et une quantité de mouvement de norme p = \hbar k. Sa masse au repos étant nulle, la relation énergie-impulsion relativiste \mathcal{E}^2 = p^2 c^2 + m^2 c^4 se réduit à \mathcal{E} = pc, ce qui redonne immédiatement :

On en déduit l'expression demandée pour k(\omega) :

Considérons le système fermé constitué des particules interagissantes. Lors de l'absorption du phonon par le photon incident, l'énergie totale se conserve :

En remplaçant les énergies par leurs expressions données par l'énoncé :

• pour le photon incident : \mathcal{E}_i = \hbar \omega ;
• pour le phonon incident : \mathcal{E} = \hbar \Omega ;
• pour le photon émergent : \mathcal{E}_f = \hbar \omega'.

Il vient :

En simplifiant par la constante de Planck réduite \hbar \neq 0, on obtient la relation :

Couleur de la radiation :

Une radiation de longueur d'onde dans le vide \lambda = 600\text{ nm} se situe dans le domaine visible, plus précisément dans le domaine de la couleur orange (intervalle usuel d'environ 590\text{ nm} à 620\text{ nm}).

Longueur d'onde acoustique dans le cristal :

L'onde acoustique se propage à la célérité c_s avec une fréquence F, d'où :

Application numérique :

Résolution du spectromètre optique :

D'après le résultat de la question précédente (Q31), la conservation de l'énergie impose \omega' = \omega + \Omega, ce qui s'écrit en termes de fréquences optiques f_{\text{opt}}' = f_{\text{opt}} + F, soit un décalage en fréquence :

La relation entre la fréquence optique et la longueur d'onde dans le vide est f_{\text{opt}} = \frac{c}{\lambda}. Comme la fréquence acoustique F = 2{,}00 \times 10^8\text{ Hz} est extrêmement petite devant la fréquence optique :

on a \frac{F}{f_{\text{opt}}} = 4{,}00 \times 10^{-7} \ll 1, soit \Omega \ll \omega.

On peut donc différentier la relation \lambda = \frac{c}{f_{\text{opt}}} au premier ordre pour obtenir la variation |\Delta\lambda| = |\lambda' - \lambda| :

Application numérique :

On constate que :

L'écart en longueur d'onde induit par l'onde acoustique est environ quatre ordres de grandeur inférieur à la limite de résolution du spectromètre. Il est donc impossible de mesurer la fréquence F, et par suite la longueur d'onde \Lambda = c_s/F, par spectrométrie optique directe.

Lors de l'interaction, le système {photon incident + phonon} donne naissance au photon émergent par absorption du phonon. Le principe de conservation de la quantité de mouvement totale s'écrit :

En remplaçant les quantités de mouvement par leurs expressions en fonction des vecteurs d'onde respectifs (\vec{p}_i = \hbar \vec{k}_i, \vec{P}_i = \hbar \vec{q} et \vec{p}_f = \hbar \vec{k}_f) et en simplifiant par \hbar, on obtient :

D'après la figure 10 :

• le vecteur d'onde incident est dirigé selon l'axe optique (\Delta) = (\mathrm{O}x) : \vec{k}_i = k_i \vec{u}_x ;
• le vecteur d'onde du phonon est orthogonal à l'axe optique et dirigé selon \vec{u}_y : \vec{q} = q \vec{u}_y ;
• le vecteur d'onde du photon émergent fait un angle \theta avec l'axe optique (\Delta) : \vec{k}_f = k_f \cos\theta\,\vec{u}_x + k_f \sin\theta\,\vec{u}_y.

Par projection sur les axes \vec{u}_y et \vec{u}_x, on déduit directement :

• Selon \vec{u}_y :

  \boxed{q = k_f \sin\theta}

• Selon \vec{u}_x :

  \boxed{k_i = k_f \cos\theta}