Feuille d'entraînement : Ondes et signaux

Corrigés

1. Exercice 1E3A Physique-Chimie PSI 2026, Q8

   L'équation locale de conservation de la masse (ou équation de continuité) pour un écoulement unidimensionnel dirigé selon \vec{u}_z s'écrit :

   \frac{\partial \varrho}{\partial t} + \frac{\partial (\varrho \tilde{v})}{\partial z} = 0

   En introduisant les champs perturbés \varrho(z, t) = \varrho_0 + \tilde{\varrho}(z, t) et \vec{v}(z, t) = \tilde{v}(z, t)\vec{u}_z, et sachant que l'état de repos est stationnaire et spatialement uniforme (\partial \varrho_0/\partial t = 0 et \partial \varrho_0/\partial z = 0), l'équation devient :

   \frac{\partial \tilde{\varrho}}{\partial t} + \varrho_0 \frac{\partial \tilde{v}}{\partial z} + \frac{\partial (\tilde{\varrho}\tilde{v})}{\partial z} = 0

   Dans le cadre de l'approximation acoustique (perturbations du premier ordre), le terme \tilde{\varrho}\tilde{v} est un infiniment petit du second ordre. En négligeant ce terme non linéaire devant les termes d'ordre un, on obtient l'équation linéarisée de conservation de la masse :

   \boxed{\frac{\partial \tilde{\varrho}}{\partial t} + \varrho_0 \frac{\partial \tilde{v}}{\partial z} = 0}

   Résultat

   $$\frac{\partial \tilde{\varrho }}{\partial t}+{\varrho }_0\frac{\partial \tilde{v}}{\partial z}=0$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

2. Exercice 2E3A Physique-Chimie PSI 2026, Q11

   Rappelons les trois équations obtenues aux questions Q8, Q9 et Q10 :

   • conservation de la masse :

     \frac{\partial \tilde{\varrho}}{\partial t} + \varrho_0 \frac{\partial \tilde{v}}{\partial z} = 0 \tag{1}

   • équation d'Euler acoustique :

     \varrho_0 \frac{\partial \tilde{v}}{\partial t} = -\frac{\partial \tilde{p}}{\partial z} \tag{2}

   • relation de couplage thermodynamique :

     \tilde{\varrho} = \varrho_0 \chi_s \tilde{p} \tag{3}

   En injectant la relation (3) dans l'équation de conservation de la masse (1), sachant que \varrho_0 et \chi_s sont des constantes de l'état de repos, il vient :

   \varrho_0 \chi_s \frac{\partial \tilde{p}}{\partial t} + \varrho_0 \frac{\partial \tilde{v}}{\partial z} = 0 \iff \chi_s \frac{\partial \tilde{p}}{\partial t} + \frac{\partial \tilde{v}}{\partial z} = 0 \tag{4}

   Pour éliminer la vitesse acoustique \tilde{v}, dérivons l'équation (4) par rapport au temps t :

   \chi_s \frac{\partial^2 \tilde{p}}{\partial t^2} + \frac{\partial^2 \tilde{v}}{\partial t \partial z} = 0

   et dérivons l'équation d'Euler (2) par rapport à l'espace z :

   \varrho_0 \frac{\partial^2 \tilde{v}}{\partial z \partial t} = -\frac{\partial^2 \tilde{p}}{\partial z^2}

   D'après le théorème de Schwarz, pour des champs de classe \mathscr{C}^2, les dérivées croisées commutent : \frac{\partial^2 \tilde{v}}{\partial t \partial z} = \frac{\partial^2 \tilde{v}}{\partial z \partial t}. En substituant \frac{\partial^2 \tilde{v}}{\partial t \partial z} = -\frac{1}{\varrho_0} \frac{\partial^2 \tilde{p}}{\partial z^2}, on obtient :

   \chi_s \frac{\partial^2 \tilde{p}}{\partial t^2} - \frac{1}{\varrho_0} \frac{\partial^2 \tilde{p}}{\partial z^2} = 0 \iff \frac{\partial^2 \tilde{p}}{\partial z^2} = \varrho_0 \chi_s \frac{\partial^2 \tilde{p}}{\partial t^2}

   En posant la constante c_s définie par :

   \frac{1}{c_s^2} = \varrho_0 \chi_s

   la surpression \tilde{p}(z,t) vérifie l'équation aux dérivées partielles :

   \boxed{\frac{\partial^2 \tilde{p}}{\partial z^2} = \frac{1}{c_s^2} \frac{\partial^2 \tilde{p}}{\partial t^2}}

   Résultat

   $$\frac{{\partial }^2\tilde{p}}{\partial z^2}=\frac{1}{c_s^2}\frac{{\partial }^2\tilde{p}}{\partial t^2}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

3. Exercice 3ENS Physique U PSI 2026, Q1

   L'équation aux dérivées partielles (1) reliant le laplacien spatial du champ de surpression p(\vec{r},t) à sa dérivée temporelle seconde :

   \Delta p - \frac{1}{c^2} \frac{\partial^2 p}{\partial t^2} = 0

   est l'équation de d'Alembert (ou équation des ondes de d'Alembert).

   Indice, stratégie et pièges de cette question

4. Exercice 4ENS Physique U PSI 2026, Q2

   La fonction proposée s'écrit en coordonnées cartésiennes :

   p_{\vec{k},\omega}(\vec{r}, t) = p_{\vec{k},\omega}^{(0)} \cos(k_x x + k_y y + k_z z - \omega t).

   Calculons les dérivées partielles spatiales :

   \begin{aligned} \frac{\partial p_{\vec{k},\omega}}{\partial x} &= - k_x p_{\vec{k},\omega}^{(0)} \sin(\vec{k} \cdot \vec{r} - \omega t), \\ \frac{\partial^2 p_{\vec{k},\omega}}{\partial x^2} &= - k_x^2 p_{\vec{k},\omega}^{(0)} \cos(\vec{k} \cdot \vec{r} - \omega t) = - k_x^2 p_{\vec{k},\omega}(\vec{r}, t). \end{aligned}

   Il en va de même selon y et z, d'où pour le laplacien scalaire :

   \Delta p_{\vec{k},\omega} = \left(\frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2} + \frac{\partial^2}{\partial z^2}\right) p_{\vec{k},\omega} = -(k_x^2 + k_y^2 + k_z^2) p_{\vec{k},\omega} = - k^2 p_{\vec{k},\omega}(\vec{r}, t).

   Pour la dérivée temporelle seconde :

   \begin{aligned} \frac{\partial p_{\vec{k},\omega}}{\partial t} &= \omega p_{\vec{k},\omega}^{(0)} \sin(\vec{k} \cdot \vec{r} - \omega t), \\ \frac{\partial^2 p_{\vec{k},\omega}}{\partial t^2} &= -\omega^2 p_{\vec{k},\omega}^{(0)} \cos(\vec{k} \cdot \vec{r} - \omega t) = -\omega^2 p_{\vec{k},\omega}(\vec{r}, t). \end{aligned}

   En injectant ces résultats dans l'équation de d'Alembert (1), on obtient :

   \Delta p_{\vec{k},\omega} - \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 p_{\vec{k},\omega}}{\partial t^2} = \left(-k^2 + \frac{\omega^2}{c^2}\right) p_{\vec{k},\omega}(\vec{r}, t) = 0.

   Pour que cette égalité soit vérifiée en tout point \vec{r} et à tout instant t pour une solution non identiquement nulle, il faut et il suffit que :

   \omega^2 - c^2 k^2 = 0.

   Puisque \omega \geqslant 0 et k \geqslant 0, la condition s'écrit :

   \boxed{\omega = c k}

   Cette équation reliant la pulsation \omega au vecteur d'onde (ici sa norme k) s'appelle la relation de dispersion.

   Résultat

   $$\omega =ck$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

5. Exercice 5ENS Physique U PSI 2026, Q7

   Considérons une particule fluide de masse constante \mathrm{d}m = \rho\,\mathrm{d}V occupant un parallélépipède de dimensions (\mathrm{d}x, \mathrm{d}y, \mathrm{d}z) et de volume \mathrm{d}V = \mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}z, animée de la vitesse \vec{v}(\vec{r}, t) dans le référentiel du laboratoire supposé galiléen.

   Sa quantité de mouvement est :

   \mathrm{d}\vec{q} = \mathrm{d}m\,\vec{v} = \rho\,\mathrm{d}V\,\vec{v}.

   Le taux de variation temporel de \mathrm{d}\vec{q} s'écrit, pour cette particule fermée (\mathrm{d}m = \text{cte}) :

   \frac{\mathrm{d}(\mathrm{d}\vec{q})}{\mathrm{d}t} = \mathrm{d}m\,\frac{\mathrm{D}\vec{v}}{\mathrm{D}t} = \rho\,\mathrm{d}V\left[\frac{\partial \vec{v}}{\partial t} + (\vec{v}\cdot\vec{\nabla})\vec{v}\right].

   Le fluide étant parfait et les forces volumiques extérieures (comme la pesanteur) étant négligées, les seules forces agissant sur la particule sont les forces de pression. Évaluons la composante de la résultante de ces forces selon \vec{e}_x :

   • sur la face d'abscisse x, normale sortante -\vec{e}_x, la force reçue est P(x, y, z, t)\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}z\,\vec{e}_x ;
   • sur la face d'abscisse x + \mathrm{d}x, normale sortante +\vec{e}_x, la force reçue est -P(x+\mathrm{d}x, y, z, t)\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}z\,\vec{e}_x.

   Le bilan selon \vec{e}_x donne :

   \mathrm{d}F_{p,x} = [P(x, y, z, t) - P(x+\mathrm{d}x, y, z, t)]\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}z = -\frac{\partial P}{\partial x}\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}z.

   Comme P(\vec{r}, t) = P_0 + p(\vec{r}, t) avec P_0 uniforme, \dfrac{\partial P}{\partial x} = \dfrac{\partial p}{\partial x}. En sommant sur les trois directions d'espace, la résultante des forces de pression s'écrit :

   \mathrm{d}\vec{F}_p = -\vec{\operatorname{grad}} p \,\, \mathrm{d}V.

   D'après le principe fondamental de la dynamique appliqué à la particule fluide :

   \rho\,\mathrm{d}V\left[\frac{\partial \vec{v}}{\partial t} + (\vec{v}\cdot\vec{\nabla})\vec{v}\right] = -\vec{\operatorname{grad}} p \,\, \mathrm{d}V.

   Dans le cadre de l'approximation acoustique :

   • la vitesse v est du premier ordre en perturbation, donc le terme convectif (\vec{v}\cdot\vec{\nabla})\vec{v} \sim v^2/\lambda est d'ordre 2, tout à fait négligeable devant \dfrac{\partial \vec{v}}{\partial t} \sim \omega v = \dfrac{c}{\lambda} v dès lors que v \ll c ;
   • la masse volumique \rho = \rho_0 + \rho est remplacée au premier ordre par \rho_0.

   En simplifiant par \mathrm{d}V, on obtient la relation d'Euler acoustique linéarisée :

   \boxed{\rho_0 \frac{\partial \vec{v}}{\partial t} \simeq -\vec{\operatorname{grad}} p}

   Résultat

   $${\rho }_0\frac{\partial \vec{v}}{\partial t}\simeq -\overrightarrow{\mathrm{grad}}p$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

6. Exercice 6X-ENS Modelisation PSI 2026, Q9

   D'après la question Q8, le coefficient de compressibilité isentropique de l'air assimilé à un gaz parfait est donné par :

   \chi_s = \frac{1}{\gamma P}

   L'équation d'état du gaz parfait pour une masse m occupant un volume V s'écrit :

   P V = \frac{m}{M_a} R T

   La masse volumique de l'air \rho = \frac{m}{V} s'exprime donc sous la forme :

   \rho = \frac{P M_a}{R T}

   En injectant ces deux expressions dans la définition de la célérité du son V_{\mathrm{son}} = \sqrt{\dfrac{1}{\rho \chi_s}}, on obtient :

   \frac{1}{\rho \chi_s} = \frac{\gamma P}{\rho} = \frac{\gamma P}{\dfrac{P M_a}{R T}} = \frac{\gamma R T}{M_a}

   D'où l'expression recherchée :

   \boxed{V_{\mathrm{son}} = \sqrt{\frac{\gamma R T}{M_a}}}

   Résultat

   $$V_{\mathrm{son}}=\sqrt{\frac{\gamma RT}{M_a}}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

7. Exercice 7CCINP Physique-Chimie PSI 2025, Q12

   On applique le principe fondamental de la dynamique à la particule d'air de volume \mathrm{d}V et de masse \mathrm{d}m = \rho\,\mathrm{d}V, dans le référentiel du laboratoire supposé galiléen.

   La pesanteur et la viscosité étant négligées, la particule n'est soumise qu'aux forces de pression surfaciques :

   \mathrm{d}\vec{F}_p = -\vec{\operatorname{grad}}(P)\,\mathrm{d}V

   L'équation de la dynamique (équation d'Euler) s'écrit alors :

   \rho\,\mathrm{d}V\,\frac{\mathrm{D}\vec{v}}{\mathrm{D}t} = -\vec{\operatorname{grad}}(P)\,\mathrm{d}V \iff \rho\,\frac{\mathrm{D}\vec{v}}{\mathrm{D}t} = -\vec{\operatorname{grad}}(P)

   Pour une onde plane unidimensionnelle se propageant selon (Ox), la vitesse est purement longitudinale : \vec{v}(x,t) = v(x,t)\,\vec{e}_x. En explicitant la dérivée particulaire fournie dans les données :

   \frac{\mathrm{D}\vec{v}}{\mathrm{D}t} = \left( \frac{\partial v}{\partial t} + v\,\frac{\partial v}{\partial x} \right) \vec{e}_x

   La projection de l'équation du mouvement selon le vecteur unitaire \vec{e}_x donne :

   \rho\left(\frac{\partial v}{\partial t} + v\,\frac{\partial v}{\partial x}\right) = -\frac{\partial P}{\partial x}

   On injecte les grandeurs décomposées P(x,t) = P_0 + p(x,t) et \rho(x,t) = \rho_0 + \mu(x,t), où P_0 est uniforme :

   (\rho_0 + \mu)\left(\frac{\partial v}{\partial t} + v\,\frac{\partial v}{\partial x}\right) = -\frac{\partial p}{\partial x}

   Dans le cadre de l'approximation acoustique, on ne conserve que les termes d'ordre 1 par rapport aux petites perturbations v, p et \mu :

   • le terme convectif v\,\frac{\partial v}{\partial x} est du second ordre et est négligé devant l'accélération locale \frac{\partial v}{\partial t} ;
   • le produit \mu\,\frac{\partial v}{\partial t} est également du second ordre et est négligé devant \rho_0\,\frac{\partial v}{\partial t}.

   L'équation du mouvement linéarisée devient ainsi :

   \boxed{\rho_0\,\frac{\partial v}{\partial t} = -\frac{\partial p}{\partial x}}

   Résultat

   $${\rho }_0\frac{\partial v}{\partial t}=-\frac{\partial p}{\partial x}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

8. Exercice 8CCINP Physique-Chimie PSI 2025, Q14

   Rappelons les deux équations locales obtenues précédemment :

   • Équation d'Euler linéarisée (Q12) :

     \rho_0\,\frac{\partial v}{\partial t} = -\frac{\partial p}{\partial x} \tag{1}

   • Équation de conservation de la masse linéarisée (Q13) :

     \frac{\partial \mu}{\partial t} + \rho_0\,\frac{\partial v}{\partial x} = 0 \tag{2}

   En substituant la relation thermodynamique \mu(x,t) = \rho_0 \chi_S\,p(x,t) dans l'équation (2), et en simplifiant par la masse volumique constante \rho_0 > 0, il vient :

   \chi_S\,\frac{\partial p}{\partial t} + \frac{\partial v}{\partial x} = 0 \tag{3}

   Dérivons l'équation (3) par rapport au temps t :

   \chi_S\,\frac{\partial^2 p}{\partial t^2} + \frac{\partial^2 v}{\partial t\,\partial x} = 0

   D'après le théorème de Schwarz sur l'interversion des dérivées partielles, \frac{\partial^2 v}{\partial t\,\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial v}{\partial t}\right). En dérivant l'équation d'Euler (1) par rapport à x, on obtient :

   \frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial v}{\partial t}\right) = -\frac{1}{\rho_0}\,\frac{\partial^2 p}{\partial x^2}

   En combinant ces deux relations, on aboutit à :

   \chi_S\,\frac{\partial^2 p}{\partial t^2} - \frac{1}{\rho_0}\,\frac{\partial^2 p}{\partial x^2} = 0 \iff \frac{\partial^2 p}{\partial x^2} - \rho_0 \chi_S\,\frac{\partial^2 p}{\partial t^2} = 0

   La surpression acoustique p(x,t) vérifie donc bien une équation de d'Alembert à une dimension spatiale :

   \boxed{\frac{\partial^2 p}{\partial x^2} - \frac{1}{c_0^2}\,\frac{\partial^2 p}{\partial t^2} = 0}

   Par identification avec le terme \frac{1}{c_0^2} = \rho_0 \chi_S, on déduit la célérité c_0 de l'onde acoustique :

   \boxed{c_0 = \frac{1}{\sqrt{\rho_0\,\chi_S}}}

   Résultat

   $$\frac{{\partial }^{2}p}{\partial x^2}-\frac{1}{c_0^2}\frac{{\partial }^{2}p}{\partial t^2}=0$$

   $$c_0=\frac{1}{\sqrt{{\rho }_0{\chi }_S}}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

9. Exercice 9CCINP Physique-Chimie PSI 2025, Q16

   L'onde incidente plane progressive harmonique se propageant selon les x croissants s'écrit sous forme complexe, d'après la question Q15 :

   \begin{aligned} \underline{p_i}(x,t) &= p_{im}\,\mathrm{e}^{\mathrm{j}(\omega t - kx)} \\ \underline{v_i}(x,t) &= v_{im}\,\mathrm{e}^{\mathrm{j}(\omega t - kx)} = \frac{p_{im}}{Z}\,\mathrm{e}^{\mathrm{j}(\omega t - kx)} \end{aligned}

   Injectons ces grandeurs dans l'équation d'Euler linéarisée établie à la question Q12 :

   \rho_0\,\frac{\partial \underline{v_i}}{\partial t} = -\frac{\partial \underline{p_i}}{\partial x}

   En calculant les dérivées partielles :

   \begin{aligned} \frac{\partial \underline{v_i}}{\partial t} &= \mathrm{j}\omega\,\underline{v_i} \\ \frac{\partial \underline{p_i}}{\partial x} &= -\mathrm{j}k\,\underline{p_i} \end{aligned}

   On obtient :

   \rho_0\,(\mathrm{j}\omega)\,\underline{v_i} = -(-\mathrm{j}k)\,\underline{p_i} = \mathrm{j}k\,\underline{p_i} \implies \rho_0\,\omega\,\underline{v_i} = k\,\underline{p_i}

   Sachant que k = \dfrac{\omega}{c_0}, cette égalité devient :

   \rho_0\,\omega\,\underline{v_i} = \frac{\omega}{c_0}\,\underline{p_i} \implies \underline{p_i} = \rho_0\,c_0\,\underline{v_i}

   Par définition de l'impédance acoustique Z = \dfrac{p_{im}}{v_{im}} = \dfrac{\underline{p_i}(x,t)}{\underline{v_i}(x,t)}, on en déduit :

   \boxed{Z = \rho_0\,c_0}

   Résultat

   $$Z={\rho }_0{c}_0$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

10. Exercice 10E3A Physique-Chimie PSI 2025, Q20

    D'après la relation constitutive obtenue à la question Q17, on a :

    \mu(x,t) = \rho_0 \chi_S p(x,t)

    En dérivant cette relation par rapport au temps et en l'injectant dans l'équation de conservation de la masse linéarisée (question Q19) :

    \frac{\partial \mu}{\partial t} + \rho_0 \frac{\partial v}{\partial x} = 0 \implies \rho_0 \chi_S \frac{\partial p}{\partial t} + \rho_0 \frac{\partial v}{\partial x} = 0

    Soit, en simplifiant par \rho_0 :

    \chi_S \frac{\partial p}{\partial t} + \frac{\partial v}{\partial x} = 0

    Dérivons cette équation par rapport au temps :

    \chi_S \frac{\partial^2 p}{\partial t^2} + \frac{\partial}{\partial t}\left(\frac{\partial v}{\partial x}\right) = 0

    Par ailleurs, l'équation d'Euler linéarisée (question Q18) s'écrit :

    \frac{\partial v}{\partial t} = -\frac{1}{\rho_0}\frac{\partial p}{\partial x}

    En la dérivant par rapport à x et en appliquant le théorème de Schwarz aux fonctions régulières (\frac{\partial^2 v}{\partial t \partial x} = \frac{\partial^2 v}{\partial x \partial t}) :

    \frac{\partial}{\partial t}\left(\frac{\partial v}{\partial x}\right) = -\frac{1}{\rho_0}\frac{\partial^2 p}{\partial x^2}

    En combinant ces deux relations, on obtient l'équation de d'Alembert vérifiée par la surpression p(x,t) :

    \boxed{\frac{\partial^2 p}{\partial x^2} - \rho_0 \chi_S \frac{\partial^2 p}{\partial t^2} = 0}

    Par identification avec la forme canonique de l'équation d'onde à une dimension \frac{\partial^2 p}{\partial x^2} - \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 p}{\partial t^2} = 0, la célérité c des ondes ultrasonores s'exprime par :

    \boxed{c = \frac{1}{\sqrt{\rho_0 \chi_S}}}

    Application numérique La cornée étant principalement constituée d'eau, on prend \rho_0 = 1{,}0 \cdot 10^3\text{ kg}\cdot\text{m}^{-3}, et d'après l'annexe 1, \chi_S = 3{,}6 \cdot 10^{-10}\text{ Pa}^{-1} :

    \begin{aligned} c &= \frac{1}{\sqrt{1{,}0 \cdot 10^3 \times 3{,}6 \cdot 10^{-10}}} = \frac{1}{\sqrt{36 \cdot 10^{-8}}} = \frac{1}{6 \cdot 10^{-4}} = \frac{10^4}{6} \approx 1{,}67 \cdot 10^3\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} \end{aligned}

    \boxed{c \approx 1{,}7 \cdot 10^3\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}}

    Résultat

    $$\frac{{\partial }^{2}p}{\partial x^2}-{\rho }_0{\chi }_S\frac{{\partial }^{2}p}{\partial t^2}=0$$

    $$c=\frac{1}{\sqrt{{\rho }_0{\chi }_S}}$$

    $$c\approx 1,7\cdot 10^3\text{ m}\cdot {\text{s}}^{-1}$$

    Indice, stratégie et pièges de cette question