Corrigé détaillé E3A Physique Chimie PSI 2026

D'après le texte introductif, la production totale des centrales hydroélectriques françaises en 2022 s'élève à :

Le nombre de clients est N = 40\text{ millions} = 40 \times 10^6.

L'énergie électrique moyenne annuelle produite par client s'écrit :

Une année compte \Delta t = 365 \times 24\text{ h}. La puissance électrique moyenne par client vaut donc :

En effectuant le calcul approché :

Avec deux chiffres significatifs au maximum, on obtient P_{\text{client}} \approx 1,5 \cdot 10^2\text{ W}.

L'ordre de grandeur de la puissance moyenne produite par client est :

Soient deux points matériels P_1 et P_2 distants de r, repérés par le vecteur unitaire \vec{u}_{1\to 2} = \dfrac{\vec{P_1P_2}}{r}.

• La force électrostatique (loi de Coulomb) exercée par une charge ponctuelle q_1 située en P_1 sur une charge ponctuelle q_2 située en P_2 dans le vide s'écrit :

  \boxed{\vec{F}_{\text{él, } 1\to 2} = \frac{q_1 q_2}{4\pi\varepsilon_0 r^2}\,\vec{u}_{1\to 2}}

  où \varepsilon_0 est la permittivité diélectrique du vide.

• La force gravitationnelle (loi de Newton) exercée par une masse ponctuelle m_1 située en P_1 sur une masse ponctuelle m_2 située en P_2 s'écrit :

  \boxed{\vec{F}_{\text{grav, } 1\to 2} = -\frac{\mathscr{G} m_1 m_2}{r^2}\,\vec{u}_{1\to 2}}

  où \mathscr{G} est la constante de gravitation universelle.

Par comparaison de ces deux lois, on établit l'analogie formelle :

Le théorème de Gauss pour le champ gravitationnel s'énonce donc ainsi : le flux du champ gravitationnel \vec{G} sortant d'une surface fermée \Sigma quelconque est proportionnel à la masse intérieure M_{\text{int}} délimitée par cette surface :

La Terre est modélisée par une sphère de centre O, de rayon R_T et de masse volumique \mu_T uniforme (donc à symétrie sphérique).

• Invariances et symétries : tout plan contenant le centre O et le point M est plan de symétrie de la distribution, le champ gravitationnel est donc purement radial. De plus, la distribution est invariante par rotation autour de tout axe passant par O, le champ ne dépend donc que de la distance radiale r = OM :

  \vec{G}(M) = G(r)\,\vec{u}_r \quad \text{avec} \quad \vec{u}_r = \frac{\vec{OM}}{r}
• Surface de Gauss : on choisit une sphère \Sigma centrée en O de rayon r > R_T, orientée par le vecteur unitaire normal sortant \vec{n}_{\text{ext}} = \vec{u}_r.

• Calcul du flux :

  \begin{aligned} \Phi &= \oiint_{\Sigma} G(r)\,\vec{u}_r \cdot \vec{u}_r\,\mathrm{d}S = G(r) \oiint_{\Sigma} \mathrm{d}S = G(r) \cdot 4\pi r^2 \end{aligned}
• Masse intérieure : pour un point extérieur à la Terre (r > R_T), toute la masse terrestre est englobée : M_{\text{int}} = M_T.

D'après le théorème de Gauss gravitationnel :

Soit finalement pour tout point M extérieur à la Terre (r \ge R_T) :

En assimilant le champ de pesanteur terrestre au champ de gravitation créé par la Terre (d'après le résultat de la question Q2), la valeur du champ de pesanteur au niveau du sol (r = R_T) s'écrit :

À une altitude h au-dessus du sol, la distance au centre de la Terre est r = R_T + h. L'intensité de la pesanteur vaut :

Comme h \ll R_T, on effectue un développement limité à l'ordre 1 au voisinage de 0 selon (1+u)^\alpha = 1 + \alpha u + o(u) avec u = \frac{h}{R_T} et \alpha = -2 :

La variation relative de l'intensité du champ de pesanteur est donnée par :

La condition \left|\frac{\Delta g}{g_T}\right| \leqslant 0{,}1\,\% = 10^{-3} impose donc h \leqslant h_{\text{max}} avec :

Application numérique : D'après le document 2, R_T = 6{,}4 \cdot 10^3\text{ km}, d'où :

À l'échelle d'un barrage ou d'une retenue d'eau, la dénivellation considérée est de l'ordre de quelques dizaines de mètres (h \sim 10\text{ à }50\text{ m}).

D'après le résultat de la question Q3, la variation relative de l'intensité du champ de pesanteur reste inférieure à 0{,}1\,\% tant que h \le h_{\text{max}} = 3{,}2\text{ km}. Or, ici :

L'ordre de grandeur de la variation relative d'intensité est :

L'intensité de la pesanteur varie donc de manière totalement négligeable.

Par ailleurs, sur l'étendue spatiale horizontale du barrage (par exemple L = 605\text{ m} pour le barrage d'Isola 2000), la courbure de la Terre induit une variation angulaire de la direction de la verticale \Delta \theta \approx \frac{L}{R_T} \sim 10^{-4}\text{ rad}, également négligeable.

Considérons l'eau de la retenue, modélisée comme un fluide au repos, homogène et incompressible de masse volumique \mu_e, soumis au champ de pesanteur uniforme \vec{g} = g\,\vec{u}_z (l'axe (Oz) étant orienté verticalement vers le bas d'après la figure 1).

Dans le référentiel d'étude supposé galiléen, l'équation fondamentale de la statique des fluides s'écrit :

Par invariance par translation selon les directions horizontales \vec{u}_x et \vec{u}_y, le champ de pression ne dépend que de la cote z. La projection sur l'axe vertical (Oz) conduit à :

La masse volumique \mu_e et le champ de pesanteur g étant constants, l'intégration donne :

À l'interface air/eau plane en z = 0, la continuité de la pression impose la condition aux limites :

On en déduit l'expression du champ de pression en fonction de la profondeur z :

La paroi amont du barrage en contact avec l'eau est plane, verticale et normale à \vec{u}_x. Un élément de surface situé à la profondeur z, de largeur L selon l'axe (Oy) et de hauteur \mathrm{d}z, s'écrit :

La normale extérieure au fluide dirigée vers le barrage est \vec{n}_{\text{eau}\to\text{barrage}} = \vec{u}_x. La force élémentaire exercée par l'eau sur cette surface est donc :

La résultante des forces pressantes exercée par l'eau s'obtient par intégration sur la hauteur du barrage (z variant de 0 à H) :

Évaluation de l'ordre de grandeur de la norme : La surface de contact vaut S = L \times H = 605 \times 15\text{ m}^2. En utilisant l'aide au calcul 6,05 \times 15 \approx 9 \cdot 10^1, on a :

Évaluons séparément les deux contributions à la norme F_{\text{eau}} :

• Contribution de la pression atmosphérique :

  P_0 L H = 1,0 \cdot 10^5 \times 9 \cdot 10^3 = 9 \cdot 10^8\text{ N}

• Contribution du terme hydrostatique :

  \frac{1}{2}\mu_e g L H^2 = \frac{1}{2} \mu_e g S H \approx \frac{1}{2} \times 1,0 \cdot 10^3 \times 9,8 \times 9 \cdot 10^3 \times 15 \approx 4,9 \times 135 \cdot 10^6 \approx 6,6 \cdot 10^8\text{ N}

La norme totale de la force exercée par l'eau vaut ainsi :

L'ordre de grandeur de la résultante des forces pressantes exercée par l'eau sur le barrage est donc :

L'approximation acoustique repose sur l'hypothèse des petites perturbations et consiste à :

1. Considérer que les variations des grandeurs thermodynamiques et cinématiques induites par le passage de l'onde sont très faibles devant leurs valeurs de référence au repos :

   |\tilde{p}(z,t)| \ll P_0, \qquad |\tilde{\varrho}(z,t)| \ll \varrho_0 \qquad \text{et} \qquad |\tilde{v}(z,t)| \ll c_s

   où c_s désigne la célérité des ondes sonores dans le fluide.

2. Linéariser les équations de la mécanique des fluides en négligeant tous les termes d'ordre supérieur ou égal à deux formés par le produit de grandeurs perturbées (tels que \tilde{\varrho}\,\tilde{v} ou \tilde{v}\,\frac{\partial \tilde{v}}{\partial z}), afin de ne conserver que les contributions du premier ordre.

L'équation locale de conservation de la masse (ou équation de continuité) pour un écoulement unidimensionnel dirigé selon \vec{u}_z s'écrit :

En introduisant les champs perturbés \varrho(z, t) = \varrho_0 + \tilde{\varrho}(z, t) et \vec{v}(z, t) = \tilde{v}(z, t)\vec{u}_z, et sachant que l'état de repos est stationnaire et spatialement uniforme (\partial \varrho_0/\partial t = 0 et \partial \varrho_0/\partial z = 0), l'équation devient :

Dans le cadre de l'approximation acoustique (perturbations du premier ordre), le terme \tilde{\varrho}\tilde{v} est un infiniment petit du second ordre. En négligeant ce terme non linéaire devant les termes d'ordre un, on obtient l'équation linéarisée de conservation de la masse :

L'équation (1) est l'équation d'Euler unidimensionnelle projetée selon l'axe (Oz), traduisant le principe fondamental de la dynamique appliqué à une particule fluide de masse volumique \varrho :

• \dfrac{\partial \tilde{v}}{\partial t} représente l'accélération locale, liée au caractère instationnaire de l'écoulement ;
• \tilde{v}\,\dfrac{\partial \tilde{v}}{\partial z} représente l'accélération convective, liée à l'inhomogénéité spatiale du champ de vitesse le long de la trajectoire ;
• -\dfrac{\partial P}{\partial z} représente la composante selon (Oz) de la force volumique due aux gradients de pression.

Dans le cadre de l'approximation acoustique :

• Le terme convectif \tilde{v}\,\dfrac{\partial \tilde{v}}{\partial z} est un produit de deux termes du premier ordre, il est donc du second ordre et négligeable devant l'accélération locale \dfrac{\partial \tilde{v}}{\partial t} ;
• En développant \varrho = \varrho_0 + \tilde{\varrho}, le produit \tilde{\varrho}\,\dfrac{\partial \tilde{v}}{\partial t} est également du second ordre, de sorte que \varrho\,\dfrac{\partial \tilde{v}}{\partial t} \approx \varrho_0\,\dfrac{\partial \tilde{v}}{\partial t} au premier ordre ;
• La pression au repos P_0 étant spatialement uniforme, on a \dfrac{\partial P}{\partial z} = \dfrac{\partial (P_0 + \tilde{p})}{\partial z} = \dfrac{\partial \tilde{p}}{\partial z}.

L'équation (1) se simplifie donc au premier ordre sous la forme :

Le passage de l'onde sonore étant supposé isentropique, l'entropie S d'une particule fluide reste constante. La masse volumique peut donc être vue comme une fonction de la seule pression P le long de cette évolution : \varrho = \varrho(P, S).

D'après la définition du coefficient de compressibilité isentropique fournie par l'énoncé :

Au premier ordre autour de l'état d'équilibre non perturbé (\varrho_0, P_0, T_0), le développement de Taylor de la masse volumique s'écrit :

En identifiant les perturbations acoustiques \tilde{\varrho}(z,t) = \varrho(z,t) - \varrho_0 et \tilde{p}(z,t) = P(z,t) - P_0, et en évaluant \left(\frac{\partial \varrho}{\partial P}\right)_S = \varrho_0 \chi_s à l'état de repos, on obtient :

Rappelons les trois équations obtenues aux questions Q8, Q9 et Q10 :

• conservation de la masse :

  \frac{\partial \tilde{\varrho}}{\partial t} + \varrho_0 \frac{\partial \tilde{v}}{\partial z} = 0 \tag{1}

• équation d'Euler acoustique :

  \varrho_0 \frac{\partial \tilde{v}}{\partial t} = -\frac{\partial \tilde{p}}{\partial z} \tag{2}

• relation de couplage thermodynamique :

  \tilde{\varrho} = \varrho_0 \chi_s \tilde{p} \tag{3}

En injectant la relation (3) dans l'équation de conservation de la masse (1), sachant que \varrho_0 et \chi_s sont des constantes de l'état de repos, il vient :

Pour éliminer la vitesse acoustique \tilde{v}, dérivons l'équation (4) par rapport au temps t :

et dérivons l'équation d'Euler (2) par rapport à l'espace z :

D'après le théorème de Schwarz, pour des champs de classe \mathscr{C}^2, les dérivées croisées commutent : \frac{\partial^2 \tilde{v}}{\partial t \partial z} = \frac{\partial^2 \tilde{v}}{\partial z \partial t}. En substituant \frac{\partial^2 \tilde{v}}{\partial t \partial z} = -\frac{1}{\varrho_0} \frac{\partial^2 \tilde{p}}{\partial z^2}, on obtient :

En posant la constante c_s définie par :

la surpression \tilde{p}(z,t) vérifie l'équation aux dérivées partielles :

L'équation différentielle (2) :

est l'équation de d'Alembert (ou équation des ondes unidimensionnelle).

D'après l'identification menée à la question précédente, l'expression de c_s est :

Par analyse dimensionnelle :

• la masse volumique au repos a pour dimension [\varrho_0] = \mathrm{M}\cdot\mathrm{L}^{-3} ;

• le coefficient de compressibilité isentropique \chi_s = \frac{1}{\varrho}\left(\frac{\partial \varrho}{\partial P}\right)_S a la dimension de l'inverse d'une pression :

  [\chi_s] = [P]^{-1} = \left(\frac{\mathrm{M}\cdot\mathrm{L}\cdot\mathrm{T}^{-2}}{\mathrm{L}^2}\right)^{-1} = \mathrm{M}^{-1}\cdot\mathrm{L}\cdot\mathrm{T}^2

Le produit vérifie donc :

La grandeur c_s a donc la dimension d'une vitesse (son unité dans le Système international est le \mathrm{m}\cdot\mathrm{s}^{-1}).

Elle représente la célérité (ou vitesse de propagation) de l'onde acoustique dans le milieu au repos.

L'air est modélisé par un gaz parfait de masse molaire moyenne \mathcal{M}_{\text{air}}. Pour une masse m de gaz occupant un volume V sous la pression P_0 et à la température T_0, l'équation d'état s'écrit :

La masse volumique au repos \varrho_0 = \frac{m}{V} s'en déduit directement :

Pour un gaz parfait de rapport des capacités thermiques \gamma = \frac{c_P}{c_V} constant subissant une évolution isentropique (réversible et adiabatique), la loi de Laplace donne :

La masse m de la quantité de fluide considérée étant conservée, son volume est relié à la masse volumique par V = \frac{m}{\varrho}, ce qui conduit à :

D'après la loi de Laplace obtenue à la question Q13, une évolution isentropique d'un gaz parfait vérifie :

Par différentiation logarithmique à entropie constante S :

Le coefficient de compressibilité isentropique défini par \chi_s = \frac{1}{\varrho}\left(\frac{\partial \varrho}{\partial P}\right)_S vaut donc :

Au repos, sous la pression P_0, ce coefficient s'écrit \chi_{s,0} = \frac{1}{\gamma P_0}.

En utilisant l'expression de la célérité issue de la question Q12 et la masse volumique au repos \varrho_0 = \frac{P_0 \mathcal{M}_{\text{air}}}{R T_0} issue de la question Q13 :

On en déduit :

L'air sec étant principalement constitué de diazote (\mathrm{N}_2) et de dioxygène (\mathrm{O}_2), de fractions molaires respectives notées x_{\mathrm{N}_2} et x_{\mathrm{O}_2}, sa masse molaire moyenne s'exprime par :

1. Masse molaire moyenne de l'air

L'air est constitué d'environ 80\,\% de diazote \mathrm{N}_2 et 20\,\% de dioxygène \mathrm{O}_2 en fractions molaires :

Avec \mathcal{M}_N = 14 \cdot 10^{-3}\text{ kg}\cdot\text{mol}^{-1} et \mathcal{M}_O = 16 \cdot 10^{-3}\text{ kg}\cdot\text{mol}^{-1} :

2. Masse volumique de l'air \varrho_0

D'après le modèle du gaz parfait établi à la question Q13 :

En convertissant P_0 = 1{,}0\text{ bar} = 1{,}0 \cdot 10^5\text{ Pa} et avec T_0 = 3{,}0 \cdot 10^2\text{ K} :

En arrondissant à deux chiffres significatifs :

3. Célérité des ondes sonores c_s

D'après la formule de Laplace établie à la question Q14 :

En utilisant l'aide au calcul \gamma R = 1{,}4 \times 8{,}3 \approx 10\text{ J}\cdot\text{K}^{-1}\cdot\text{mol}^{-1} et l'approximation \mathcal{M}_{\text{air}} \approx 29 \cdot 10^{-3}\text{ kg}\cdot\text{mol}^{-1} \approx 30 \cdot 10^{-3}\text{ kg}\cdot\text{mol}^{-1} = 3{,}0 \cdot 10^{-2}\text{ kg}\cdot\text{mol}^{-1} :

Le signal émis est une salve ultrasonore (paquet d'ondes) dont l'enveloppe se propage à la vitesse de groupe v_g. L'air étant modélisé comme un milieu faiblement dispersif, la vitesse de groupe s'identifie à la vitesse de phase (célérité des ondes acoustiques) :

Le paquet d'ondes se propage ainsi à la célérité c_s sans déformation notable de son enveloppe.

L'onde effectue un aller-retour dans l'air sur la distance d = H_{\text{capteur}} - h(t_{\text{mes}}) séparant le capteur de la surface libre de l'eau. La durée de propagation aller-retour \Delta t vérifie :

On en déduit l'expression de la hauteur d'eau :

D'après la figure 3, le centre du paquet d'ondes émis est situé à t_{\text{ém}} = 0{,}00\text{ s} et le centre du paquet d'ondes reçu se situe à t_{\text{réc}} \approx 42\text{ à }43\text{ ms}, soit :

Application numérique avec les données de l'énoncé (H_{\text{capteur}} = 8{,}5\text{ m} et c_s = 3{,}4 \cdot 10^2\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}) :

Compte tenu de l'incertitude de lecture sur le graphique (\Delta t \in [42\text{ ms} \,;\, 43\text{ ms}]) :

Le bassin de rétention, de section horizontale constante S, contient une colonne d'eau de hauteur h_0 comprise entre les altitudes z = H (fond du bassin) et z = H + h_0 (surface libre), l'origine des altitudes étant prise à l'entrée de la turbine (z_E = 0).

Une tranche d'eau d'épaisseur \mathrm{d}z située à l'altitude z possède une masse :

Son énergie potentielle de pesanteur dans le champ uniforme \vec{g} = -g\,\vec{u}_z, en choisissant l'origine des énergies potentielles en z_E = 0, s'écrit :

L'énergie potentielle totale stockée dans la retenue d'eau est obtenue par intégration sur toute la hauteur du réservoir :

On reconnaît la masse totale d'eau retenue M = \mu_e \, S \, h_0 (soit M = \mu_e V_{\text{retenue}}) et l'altitude de son centre de masse z_G = H + \dfrac{h_0}{2}.

En l'absence de pertes, toute cette énergie potentielle serait intégralement convertie en énergie électrique :

Pourquoi s'agit-il d'une énergie maximale ?

• Il s'agit d'une borne supérieure correspondant à un rendement de conversion global unitaire (\eta = 1).

• Dans la réalité, de nombreuses pertes énergétiques inévitables réduisent l'énergie électrique produite :

  • des pertes de charge visqueuses (régulières le long de la conduite forcée et singulières au niveau des coudes, vannes et rétrécissements) dissipent une partie de l'énergie mécanique sous forme thermique ;
  • l'eau quitte la turbine avec une énergie cinétique résiduelle non nulle et à une altitude z_S < z_E ;
  • le rendement mécanique de la turbine est strictement inférieur à 1 en raison des frottements mécaniques sur l'arbre et des turbulences internes ;
  • le rendement électromécanique de l'alternateur est également inférieur à 1 (pertes par effet Joule dans les bobinages, pertes magnétiques fer et frottements).

D'après les hypothèses de l'énoncé :

• l'épaisseur des aubes est négligée,
• l'écoulement est supposé invariant par rotation autour de l'axe (Oz) à un rayon r fixé,
• l'écoulement pénètre et est éjecté sur toute la périphérie sans composante axiale (V_a = 0).

La surface d'entrée correspond à la surface latérale d'un cylindre de rayon R_e et de hauteur e_e :

Le vecteur vitesse normal à cette surface cylindrique est porté par la direction radiale, de composante V_{r,e}. Le débit volumique entrant s'écrit donc :

De même, la surface de sortie correspond à la surface latérale d'un cylindre de rayon R_s et de hauteur e_s :

Le débit volumique sortant s'exprime ainsi :

L'eau étant considérée comme un fluide incompressible en écoulement stationnaire, la conservation de la masse implique la conservation du débit volumique à travers la roue :

Le référentiel terrestre lié au bâti de l'installation peut être considéré comme galiléen aux échelles de temps caractéristiques de l'écoulement.

Le référentiel lié à la roue Francis est en rotation à la vitesse angulaire \omega \neq 0 autour de l'axe vertical (Oz) fixe par rapport au référentiel terrestre.

N'étant pas en mouvement de translation rectiligne et uniforme par rapport à un référentiel galiléen, le référentiel lié à la roue Francis est donc un référentiel non galiléen.

1. Définition du volume de contrôle et du système fermé

Plaçons-nous dans le référentiel \mathcal{R}' lié à la roue Francis, en rotation uniforme à la vitesse angulaire \omega autour de l'axe vertical (Oz). Dans ce référentiel, la géométrie des aubes est fixe et l'écoulement est stationnaire.

On définit le volume de contrôle fixe V_c dans \mathcal{R}' délimité par :

• la surface cylindrique d'entrée \mathcal{S}_e de rayon R_e et de hauteur e_e ;
• la surface cylindrique de sortie \mathcal{S}_s de rayon R_s et de hauteur e_s ;
• les parois solides étanches de la roue (aubes, flasques).

On considère le système fermé coïncident \Sigma constitué du fluide :

• à l'instant t : par le fluide présent dans V_c et la masse \delta m s'apprêtant à entrer par \mathcal{S}_e pendant \text{d}t ;
• à l'instant t+\text{d}t : par le fluide présent dans V_c et la masse \delta m sortie par \mathcal{S}_s pendant \text{d}t.

Par conservation de la masse en écoulement stationnaire incompressible :

2. Bilan de moment cinétique dans \mathcal{R}'

Le moment cinétique de \Sigma par rapport à l'axe (Oz) dans \mathcal{R}' vérifie :

L'écoulement étant stationnaire dans \mathcal{R}', L'_{z,V_c}(t+\text{d}t) = L'_{z,V_c}(t), d'où :

Pour une particule fluide située à la distance R de l'axe avec une vitesse relative \vec{W} = W_r \vec{u}_r + W_\theta \vec{u}_\theta + W_a \vec{u}_z, le moment cinétique par rapport à (Oz) est :

En intégrant sur les sections d'entrée et de sortie où les grandeurs sont supposées uniformes à rayon fixé :

3. Théorème du moment cinétique et couple utile

Appliquons le théorème du moment cinétique à \Sigma par rapport à l'axe (Oz) dans \mathcal{R}' :

Les actions extérieures appliquées à \Sigma comprennent :

• les forces de pression sur \mathcal{S}_e et \mathcal{S}_s : colinéaires à la normale locale \vec{u}_r, leur bras de levier par rapport à (Oz) est nul, donc leur moment selon (Oz) est nul ;
• le poids : dirigé selon l'axe vertical (Oz), son moment par rapport à cet axe est nul ;
• l'action des parois de la roue sur le fluide, qui exerce un moment scalaire \Gamma_{\text{roue}\to\text{fluide}} ;
• les forces d'inertie d'entraînement et de Coriolis, dont le moment scalaire est noté \Gamma_{\text{inertie}}.

On a ainsi :

D'après le principe des actions réciproques, le couple scalaire utile transmis par le fluide à la roue est \Gamma_i = -\Gamma_{\text{roue}\to\text{fluide}}, soit :

La loi de composition des vitesses donne \vec{V} = \vec{U} + \vec{W}, avec la vitesse d'entraînement \vec{U} = R\omega\,\vec{u}_\theta, soit sur la composante orthoradiale :

Il vient :

Comme \Gamma_{\text{inertie}} = -\mu_e \mathcal{D}_v \omega \left( R_s^2 - R_e^2 \right), les termes d'inertie s'annulent exactement :

D'après la question Q18, le débit volumique s'écrit \mathcal{D}_v = 2\pi R_e e_e V_{r,e} = 2\pi R_s e_s V_{r,s}, d'où :

On en déduit l'expression demandée :

Le rotor de la turbine tourne à la vitesse angulaire constante \vec{\omega} = \omega \vec{u}_z par rapport au référentiel du laboratoire. La vitesse d'entraînement d'un point M repéré en coordonnées cylindriques par \vec{OM} = r \vec{u}_r + z \vec{u}_z est donnée par le champ des vitesses d'un solide indéformable :

où U = \|\vec{U}(M)\| = r \omega.

Dans le plan perpendiculaire à l'axe de rotation (Oz), la loi de composition des vitesses s'écrit :

En projetant cette relation dans la base cylindrique locale (\vec{u}_r, \vec{u}_\theta) :

• selon \vec{u}_r, sachant que la vitesse d'entraînement est purement orthoradiale (\vec{U} \cdot \vec{u}_r = 0) :

  W_{//, r} = V_r

• selon \vec{u}_\theta :

  V_\theta = U + W_{//, \theta} \iff W_{//, \theta} = V_\theta - U

Par définition, l'angle non orienté \beta est l'angle entre le vecteur vitesse relative dans le plan \vec{W}_{//} et la vitesse d'entraînement \vec{U} = U \vec{u}_\theta. Dans le triangle rectangle formé par les composantes radiale et orthoradiale de \vec{W}_{//} (figure 6 de l'énoncé) :

• le côté opposé à \beta est la composante radiale W_{//, r} = V_r ;
• le côté adjacent à \beta est la composante orthoradiale W_{//, \theta} = V_\theta - U.

On a donc :

D'où :

ce qui conduit bien à la relation demandée :

D'après la question Q20, le couple utile exercé par le fluide sur la roue s'écrit :

En utilisant la relation établie à la question Q18, D_v = 2\pi R_e e_e V_{r,e} = 2\pi R_s e_s V_{r,s}, cette expression se simplifie sous la forme :

D'après la relation issue du triangle des vitesses obtenue à la question Q21, avec U(M) = r\,\omega :

En injectant ces composantes dans l'expression de \Gamma_i, on obtient :

D'où l'expression du couple utile :

La puissance indiquée \mathcal{P}_i transmise par le fluide à la roue mobile tournant à la vitesse angulaire \omega vaut :

Soit :

Écart entre couple disponible et couple utile Le couple disponible \Gamma sur l'arbre de transmission est inférieur au couple utile \Gamma_i en raison de l'existence de couples résistants d'origine dissipative :

• les frottements mécaniques au niveau des organes de guidage en rotation (paliers, roulements, butées mécaniques) et des garnitures d'étanchéité ;
• les frottements visqueux (frottement de disque) entre les parois externes du rotor et le fluide environnant.

En présence d'un couple résistant de pertes \Gamma_{\text{pertes}} > 0, le principe fondamental de la dynamique appliqué au rotor en régime permanent impose \Gamma = \Gamma_i - \Gamma_{\text{pertes}} < \Gamma_i.

Non, un transformateur ne peut pas fonctionner en régime continu.

Le principe de fonctionnement du transformateur repose sur le phénomène d'induction électromagnétique (loi de Faraday) :

où \Phi_2(t) est le flux magnétique total à travers l'enroulement secondaire.

En régime continu (stations permanentes où toutes les grandeurs sont indépendantes du temps) :

• l'intensité i_1 du courant primaire est constante, donc le champ magnétique \vec{B} créé dans le circuit magnétique l'est également ;

• le flux magnétique \Phi_2 à travers le secondaire est par conséquent constant au cours du temps :

  \frac{\mathrm{d}\Phi_2}{\mathrm{d}t} = 0 \implies e_2 = 0

La force électromotrice induite au secondaire étant nulle, aucune tension n'est délivrée à la charge et aucun transfert d'énergie n'a lieu du primaire vers le secondaire.

L'équation locale de Maxwell-Thomson (aussi appelée équation de Maxwell-flux) traduit le caractère à flux conservatif du champ magnétique :

D'après les hypothèses de l'énoncé, la perméabilité relative \mu_r du circuit magnétique est suffisamment grande pour négliger les fuites de lignes de champ dans l'air (\mu_r \gg 1) : les lignes de champ de \vec{B} sont canalisées à l'intérieur du tore et restent tangentes à ses parois latérales.

En appliquant le théorème de Green-Ostrogradsky à un volume tubulaire délimité par deux sections droites transversales S_1 et S_2 orientées dans le même sens et par la surface latérale \Sigma_{\text{lat}} sur laquelle \vec{B}\cdot \vec{n} = 0, la conservation du flux s'écrit :

Par ailleurs, comme le rayon moyen a est grand devant les dimensions de la section droite (a \gg \sqrt{S}), le champ magnétique peut être considéré comme uniforme sur toute la section S.

Le flux magnétique \Phi(t) est donc identique à travers chaque section droite du circuit magnétique :

L'équation de Maxwell-Faraday s'écrit sous forme locale :

Par application du théorème de Stokes à un contour fermé orienté \Gamma bordant une surface ouverte \Sigma, on obtient la loi d'induction de Faraday pour la force électromotrice induite e :

où \Phi_{\text{tot}} est le flux magnétique total traversant le contour \Gamma.

D'après la question Q24, en l'absence de fuites magnétiques, le même flux magnétique \Phi(t) = B(t)\,S traverse chaque section droite du tore.

Pour les conducteurs parfaits (résistivité nulle), le champ électrique est nul au sein du fil conducteur (\vec{E} = \vec{0}). La circulation du champ électrique entre les bornes le long d'un contour fermé comprenant le bobinage et le segment reliant les bornes donne :

• Au primaire (N_1 spires), en convention récepteur, la tension u_1(t) s'oppose à la force électromotrice induite e_1(t) :

  u_1(t) = -e_1(t) = N_1 \frac{\mathrm{d}\Phi}{\mathrm{d}t}

• Au secondaire (N_2 spires), en convention générateur, la tension u_2(t) est égale à la force électromotrice induite e_2(t) :

  u_2(t) = e_2(t) = N_2 \frac{\mathrm{d}\Phi}{\mathrm{d}t}

  (les enroulements étant bobinés dans le même sens sur le tore, les spires sont homologues).

En éliminant le terme \dfrac{\mathrm{d}\Phi}{\mathrm{d}t}, on obtient la loi de transformation des tensions :

où m = \dfrac{N_2}{N_1} est le rapport de transformation du transformateur.

Dans le cadre de l'approximation des régimes quasi-stationnaires (ARQS), le courant de déplacement est négligeable et le théorème d'Ampère s'écrit pour le vecteur excitation magnétique \vec{H} :

où \mathcal{C} est un contour fermé orienté et I_{\text{libre, enlacé}} la somme algébrique des courants libres traversant une surface s'appuyant sur \mathcal{C}.

Le matériau magnétique étant supposé linéaire, homogène et isotrope :

Le champ d'induction magnétique \vec{B} restant borné et la perméabilité relative étant idéalisée (\mu_r \to \infty), on a \vec{H} \approx \vec{0} dans le noyau ferromagnétique. La circulation de \vec{H} le long du contour \mathcal{C} fermé suivant la ligne moyenne du tore (de longueur 2\pi a) est donc nulle :

Sur la figure 7, le circuit primaire est en convention récepteur (le courant i_1(t) entre par la borne repérée) tandis que le secondaire débite dans une charge en convention générateur (le courant i_2(t) sort par la borne repérée). Compte tenu du sens identique d'enroulement des spires au primaire et au secondaire, les ampère-tours s'opposent :

On en déduit la loi de transformation des intensités :

avec m = \dfrac{N_2}{N_1} le rapport de transformation introduit à la question Q25.

D'après la figure 7, le circuit primaire est orienté en convention récepteur et le circuit secondaire en convention générateur. Les puissances instantanées s'écrivent :

En utilisant la loi de transformation des tensions (question Q25) et celle des intensités (question Q26) :

On en déduit :

À chaque instant, il y a conservation intégrale de la puissance (p_2(t) = p_1(t)), de sorte que les puissances actives moyennes vérifient \mathcal{P}_2 = \mathcal{P}_1. Le rendement de conversion d'un transformateur idéal est donc :

Dans un transformateur réel, plusieurs phénomènes dissipatifs dégradent ce rendement :

• les pertes par effet Joule (ou « pertes cuivre »), dues à la résistance électrique non nulle des enroulements primaire et secondaire ;

• les pertes fer (ou « pertes magnétiques ») localisées dans le noyau ferromagnétique, qui se décomposent en :

  • pertes par courants de Foucault : dissipation thermique par effet Joule due aux courants induits par le flux magnétique variable dans le circuit magnétique conducteur ;
  • pertes par hystérésis : énergie dissipée sous forme thermique au cours du cycle d'aimantation périodique du matériau ferromagnétique.

Les transformateurs sont des convertisseurs statiques dépourvus de pièces mécaniques en mouvement, ce qui supprime les frottements mécaniques. Pour les transformateurs réels de distribution ou de puissance (comme ceux des centrales électriques), le rendement est particulièrement élevé, d'ordre de grandeur typique :

1. Propriétés d'un milieu ferromagnétique doux

Un matériau ferromagnétique est dit « doux » lorsqu'il présente les caractéristiques suivantes :

• Une grande facilité d'aimantation et de désaimantation, se traduisant par une excitation coercitive H_c très faible.
• Une perméabilité magnétique relative maximale très élevée (typiquement \mu_r \sim 10^3 \text{ à } 10^5).
• Une aimantation à saturation B_{\text{sat}} élevée (de l'ordre de 1\text{ à }2\text{ T}).
• Un cycle d'hystérésis étroit : l'énergie volumique dissipée sous forme thermique par période (pertes par hystérésis données par la formule de Warburg w = \oint H\,\mathrm{d}B) est ainsi minimale, ce qui est idéal pour les circuits magnétiques soumis à des régimes variables alternatifs (transformateurs, moteurs).

2. Tracé du cycle d'hystérésis

En régime sinusoïdal permanent, le point de fonctionnement décrit le cycle fermé ci-dessous dans le sens trigonométrique (anti-horaire) :

• Lorsque H décroît depuis la saturation (branche supérieure descendante, parcourue de droite à gauche), le retard à la désaimantation maintient B > 0 : le cycle coupe l'axe des ordonnées en (0, +B_r) puis l'axe des abscisses en (-H_c, 0).
• Lorsque H croît depuis la saturation négative (branche inférieure montante, parcourue de gauche à droite), le cycle coupe l'axe des ordonnées en (0, -B_r) puis l'axe des abscisses en (+H_c, 0).

3. Ordre de grandeur de l'excitation coercitive H_c

Pour un matériau ferromagnétique doux (alliages fer-silicium, ferrites douces, mu-métal), l'excitation coercitive est typiquement comprise entre 1\text{ A}\cdot\text{m}^{-1} et 100\text{ A}\cdot\text{m}^{-1} :

1. Impédance d'entrée \underline{Z}_e du montage à ALI

L'ALI est supposé idéal et fonctionne en régime linéaire (bouclage sur l'entrée inverseuse). Par conséquent :

• les courants d'entrée sont nuls : i_+ = i_- = 0 ;
• la tension différentielle d'entrée est nulle : \varepsilon = V_+ - V_- = 0, soit V_- = V_+.

L'entrée non-inverseuse (+) est reliée à la masse à travers la résistance R/2. Comme i_+ = 0, aucun courant ne la traverse, d'où V_+ = 0\text{ V}. L'entrée inverseuse (-) constitue donc une masse virtuelle :

D'après le schéma de la figure 8, la tension d'entrée du montage \underline{u}_e est appliquée entre l'entrée de la résistance R et la masse. Le courant \underline{i}_{\text{entrant}} pénétrant dans le montage à travers cette résistance s'écrit :

L'intensité \underline{i} étant orientée vers la gauche (sortante du montage), on a \underline{i} = -\underline{i}_{\text{entrant}} = -\frac{\underline{u}_e}{R}, ce qui conduit directement à l'impédance d'entrée :

2. Hypothèse sur l'intensité i_2(t)

Le circuit secondaire débite sur l'étage 1 suivi du montage à ALI. L'impédance équivalente de charge vue par le secondaire est :

Cette résistance étant très élevée (R = 470\text{ k}\Omega), l'amplitude du courant secondaire est extrêmement faible devant celle des courants usuels. On peut raisonnablement émettre l'hypothèse d'un fonctionnement à vide du transformateur :

3. Relation entre u_r(t) et l'excitation magnétique H(t)

On précise les hypothèses de travail :

• approximation des régimes quasi-stationnaires (ARQS) magnétiques satisfaite à f = 50\text{ Hz} ;
• tore mince (a \gg \sqrt{S}) : le champ d'excitation magnétique \vec{H} est uniforme sur chaque section droite et orthoradial \vec{H}(t) = H(t)\,\vec{u}_\theta le long du cercle moyen ;
• courant secondaire négligeable : i_2(t) \approx 0 ;
• résistance primaire r purement ohmique : u_r(t) = r\,i_1(t) (convention récepteur).

On applique le théorème d'Ampère le long du contour circulaire \mathcal{C} de rayon moyen a, orienté selon \vec{u}_\theta :

Le courant total enlacé par ce contour s'écrit I_{\text{enlacé}} = N_1 i_1(t) \pm N_2 i_2(t) \approx N_1 i_1(t) compte tenu de i_2(t) \approx 0. Il vient :

En utilisant la loi d'Ohm aux bornes du conducteur ohmique de résistance r, u_r(t) = r\,i_1(t), on obtient la relation de proportionnalité u_r(t) = K \cdot H(t) avec :

L'amplificateur linéaire intégré (ALI) est supposé idéal et fonctionne en régime linéaire grâce à la présence d'une boucle de rétroaction négative reliant la sortie à l'entrée inverseuse. Par conséquent :

• les courants d'entrée sont nuls : \underline{i}^+ = \underline{i}^- = 0 ;
• la tension différentielle d'entrée est nulle : \varepsilon = V^+ - V^- = 0 \implies V^- = V^+.

L'entrée non-inverseuse (+) est reliée à la masse à travers le conducteur ohmique de résistance R/2. Aucun courant n'y pénétrant (\underline{i}^+ = 0), le potentiel est nul :

Appliquons la loi des nœuds au potentiel au niveau de la borne (-), où se rejoignent la branche d'entrée de résistance R et la branche de contre-réaction constituée du conducteur ohmique R et du condensateur C en parallèle :

Compte tenu de V^- = 0, cette équation se réécrit :

On en déduit l'expression de la fonction de transfert :

Par identification avec la forme canonique \underline{H}(\jmath\omega) = \dfrac{H_0}{1 + \jmath \dfrac{\omega}{\omega_0}}, on obtient :

1. Fonction réalisée par le montage à ALI

D'après la question Q30, la fonction de transfert du montage s'écrit :

Numériquement, avec R = 470\text{ k}\Omega et C = 47\text{ nF} :

La fréquence du générateur étant f = 50\text{ Hz}, la pulsation du signal vaut :

Pour \omega \gg \omega_0, le terme imaginaire domine au dénominateur :

En régime temporel, la division par \jmath\omega correspond à une intégration :

Dans ces conditions d'utilisation, le montage se comporte comme un intégrateur inverseur.

2. Proportionnalité entre u_s(t) et B(t)

Le flux magnétique à travers les N_2 spires du secondaire de section droite S s'écrit :

D'après la loi de Faraday, la force électromotrice induite au secondaire est e_2(t) = -\frac{\mathrm{d}\Phi_{\text{tot}}}{\mathrm{d}t}. Compte tenu de l'orientation de u_2(t) (question Q25) :

En reliant la tension du secondaire à l'entrée de l'intégrateur (u_e(t) = u_2(t)), on obtient :

En régime périodique établi, la constante d'intégration est nulle, d'où :

(Le signe dépend de la convention de fléchage ; on a en valeur absolue |K'| = \frac{N_2 S}{RC}.)

3. Intérêt de l'étage 1

L'étage 1 constitue un pont diviseur de tension (atténuateur) :

• Éviter la saturation de l'ALI : la tension induite u_2(t) peut atteindre plusieurs dizaines de volts lorsque le matériau ferromagnétique est saturé à 50\text{ Hz}, ce qui excéderait la tension de saturation de l'ALI (\pm 15\text{ V}). L'étage 1 réduit l'amplitude de la tension en entrée du montage intégrateur (u_e = \frac{1}{12}u_2).
• Garantir le fonctionnement à vide : en présentant une impédance d'entrée élevée, il limite le courant i_2(t) appelé au secondaire, préservant la validité de l'approximation du transformateur à vide (i_2 \approx 0) établie en Q29.

Dans un câble coaxial comportant un diélectrique de permittivité relative \varepsilon_r \sim 2, la célérité des ondes électrocinétiques vaut :

(pour une ligne aérienne dans l'air, elle est très proche de la célérité dans le vide, soit c \approx c_0 = 3\cdot 10^8\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}).

La fréquence du réseau électrique alternatif est f = 50\text{ Hz}, ce qui correspond à une période temporelle :

La longueur d'onde associée à la propagation du signal est :

(ou \lambda = 6\,000\text{ km} en prenant c = 3\cdot 10^8\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}).

L'acheminement de l'électricité dans le département des Alpes-Maritimes met en jeu des lignes de transport dont la longueur caractéristique est de l'ordre de :

Le temps de propagation sur cette distance est :

On constate ainsi que :

1. Tension efficace du réseau domestique : En France et en Europe, la valeur efficace de la tension délivrée par une prise électrique standard à la fréquence f = 50\text{ Hz} est :

   \boxed{U_{\mathrm{e, eff}} = 230\text{ V}}

2. Expression de la puissance moyenne (ou active) : La puissance instantanée consommée s'écrit :

   \begin{aligned} p(t) &= u_{\mathrm{EDF}}(t)\, i_{\mathrm{EDF}}(t) \\ &= 2\, U_{\mathrm{e, eff}}\, I_{\mathrm{e, eff}} \cos(2\pi f t)\cos(2\pi f t + \varphi) \\ &= U_{\mathrm{e, eff}}\, I_{\mathrm{e, eff}} \left[ \cos(\varphi) + \cos(4\pi f t + \varphi) \right] \end{aligned}

   En prenant la moyenne temporelle \langle \cdot \rangle sur une période (le terme fluctuant à la fréquence 2f étant de moyenne nulle), on obtient :

   \boxed{\mathscr{P} = U_{\mathrm{e, eff}}\, I_{\mathrm{e, eff}} \cos\varphi}

3. Justification de l'imposition d'un facteur de puissance proche de 1 : Le facteur de puissance est défini par k = \cos\varphi. Pour une tension d'alimentation fixée U_{\mathrm{e, eff}} et pour fournir une puissance active \mathscr{P} déterminée au client, l'intensité efficace requise dans les lignes d'alimentation vaut :

   I_{\mathrm{e, eff}} = \frac{\mathscr{P}}{U_{\mathrm{e, eff}} \cos\varphi}

   Si \cos\varphi < 1, l'intensité efficace I_{\mathrm{e, eff}} augmente pour une même puissance active utile consommée :

   • les pertes par effet Joule dans les lignes de transport et de distribution, données par \mathscr{P}_J = R_{\mathrm{ligne}}\, I_{\mathrm{e, eff}}^2 \propto \frac{1}{\cos^2\varphi}, augmentent fortement ;
   • les générateurs, transformateurs et lignes doivent être dimensionnés pour supporter une puissance apparente S = U_{\mathrm{e, eff}} I_{\mathrm{e, eff}} = \frac{\mathscr{P}}{\cos\varphi} plus élevée.

   Pour limiter ces pertes non facturées et éviter le surdimensionnement du réseau, le distributeur impose donc aux industriels un facteur de puissance proche de 1 (\cos\varphi \gtrsim 0{,}93).

4. Justification du transport sous très haute tension (THT) : Pour transporter une puissance donnée \mathscr{P} sur une ligne de résistance totale R_{\mathrm{ligne}} avec un facteur de puissance proche de 1, le courant efficace de ligne s'exprime par I_{\mathrm{eff}} \approx \frac{\mathscr{P}}{U_{\mathrm{eff}}}. Les pertes par effet Joule en ligne s'écrivent alors :

   \mathscr{P}_J = R_{\mathrm{ligne}}\, I_{\mathrm{eff}}^2 = R_{\mathrm{ligne}}\, \frac{\mathscr{P}^2}{U_{\mathrm{eff}}^2}

   À puissance transportée \mathscr{P} fixée, les pertes Joule varient en 1/U_{\mathrm{eff}}^2. L'utilisation de très hautes tensions (telles que 400\text{ kV}) permet donc :

   • de réduire considérablement la dissipation thermique par effet Joule sur de grandes distances ;
   • de minimiser la chute de tension en ligne \Delta U \approx R_{\mathrm{ligne}} I_{\mathrm{eff}} ;
   • d'employer des câbles conducteurs de section beaucoup plus faible, allégeant les structures de soutènement (pylônes).

1. Stabilité thermodynamique du fer métallique dans l'eau

Le domaine de stabilité thermodynamique de l'eau est compris entre les deux droites en pointillés de pente -0{,}06\,\text{V}\cdot\text{pH}^{-1} associées aux couples :

• \mathrm{O}_{2(g)}/\mathrm{H}_2\mathrm{O}_{(\ell)} : E_2 = E^\circ_2 - 0{,}06\,\mathrm{pH} = 1{,}23 - 0{,}06\,\mathrm{pH} ;
• \mathrm{H}^+_{(aq)}/\mathrm{H}_{2(g)} : E_3 = E^\circ_3 - 0{,}06\,\mathrm{pH} = -0{,}06\,\mathrm{pH}.

Le domaine d'existence du fer métallique \mathrm{Fe}_{(s)} se situe entièrement sous la droite relative au couple \mathrm{H}^+_{(aq)}/\mathrm{H}_{2(g)} : il n'y a aucun recouvrement entre le domaine de stabilité de l'eau et celui de \mathrm{Fe}_{(s)}.

Au contact de l'eau, même désaérée, le fer subit une réaction d'oxydoréduction spontanée où il s'oxyde en réduisant les protons de l'eau avec dégagement de dihydrogène :

2. Diagramme simplifié et domaines de comportement

Les différents domaines sont définis ainsi :

• Domaine d'immunité : \mathrm{Fe}_{(s)} est stable ; le métal ne peut pas s'oxyder spontanément.
• Domaine de corrosion : les espèces stables sont des ions solubles (\mathrm{Fe}^{2+}, \mathrm{Fe}^{3+}, \mathrm{FeO}_2^{2-}). L'oxydation entraîne une dissolution continue et une dégradation du matériau.
• Domaine de passivation : les espèces stables sont des solides insolubles (\mathrm{Fe}_2\mathrm{O}_{3(s)}, \mathrm{Fe}_3\mathrm{O}_{4(s)}, \mathrm{Fe(OH)}_{2(s)}). S'ils forment un film superficiel continu, adhérent et imperméable, ils protègent cinétiquement le métal sous-jacent contre une oxydation ultérieure.

1. Corrosion spontanée du fer seul :

En l'absence de magnésium, le fer plongé dans l'électrolyte adopte un potentiel mixte (ou potentiel de corrosion) E_{\text{corr}} fixé par l'égalité des intensités anodique et cathodique :

Puisque i_{\text{corr}} > 0, le fer s'oxyde spontanément selon \mathrm{Fe}_{(s)} \to \mathrm{Fe}^{2+}_{(aq)} + 2\,\mathrm{e}^- : il subit une corrosion uniforme.

2. Protection par blocs de magnésium (anode sacrificielle) :

Lorsque l'on relie électriquement des blocs de magnésium à la conduite en acier (fer), le magnésium possède un potentiel standard d'oxydoréduction nettement plus réducteur que celui du fer (E^\circ(\mathrm{Mg}^{2+}/\mathrm{Mg}) \approx -2{,}37\text{ V} \ll E^\circ(\mathrm{Fe}^{2+}/\mathrm{Fe}) \approx -0{,}44\text{ V}).

Le courant anodique total est alors la somme des courants d'oxydation de chaque métal :

Le nouveau potentiel mixte E'_{\text{corr}} du système couplé est déterminé par la condition d'électroneutralité globale :

Comme la courbe anodique du magnésium est très décalée vers les potentiels cathodiques, ce point de fonctionnement impose un nouveau potentiel mixte :

À ce potentiel E'_{\text{corr}}, le courant d'oxydation du fer est strictement nul :

Le fer est ainsi placé dans son domaine d'immunité et ne subit plus aucune corrosion. C'est le magnésium qui s'oxyde à sa place en fournissant les électrons nécessaires à la réduction des protons :

1. Hypothèses de modélisation et notations :

• La conduite est modélisée par un cylindre de longueur \ell = 100\text{ m} et de diamètre extérieur D = 0{,}30\text{ m}.
• Seule la surface latérale externe S en contact avec le milieu souterrain est soumise à la corrosion du sol et nécessite le courant de protection cathodique. Les surfaces des extrémités sont négligées.
• La densité de courant de protection j est supposée uniforme sur toute la surface extérieure du tube.
• Le courant est délivré de manière continue pendant la durée \Delta t = 5\text{ ans} (sur la base d'années de 365\text{ jours}).
• La résistivité du sol \varrho_{\text{sol}} est une donnée d'ambiance fixant la valeur requise de j, mais n'intervient pas directement dans le bilan de charge faradique.

2. Intensité du courant de protection :

La surface extérieure latérale de la conduite cylindrique vaut :

Application numérique :

L'intensité du courant nécessaire pour maintenir la densité de protection cathodique j = 11\text{ mA}\cdot\text{m}^{-2} est :

Application numérique :

3. Nombre de blocs de magnésium :

La durée de fonctionnement souhaitée exprimée en heures est :

La charge électrique totale à fournir par les anodes sacrificielles sur cette période est :

Application numérique :

Chaque électrode de magnésium de masse m_{\text{électrode}} = 5{,}0\text{ kg} délivre une charge maximale :

Le nombre théorique d'anodes nécessaires est donc :

Pour garantir une protection complète pendant au moins 5 ans, il faut arrondir à l'entier supérieur :

Ces 9 blocs seront répartis régulièrement le long des 100\text{ m} de la conduite (soit un bloc environ tous les 11\text{ m}) afin d'assurer une répartition homogène du potentiel de polarisation.

L'équation de réduction de l'oxyde \mathrm{Fe_2O_3(s)} en \mathrm{Fe_3O_4(s)} par \mathrm{CO(g)} s'écrit :

D'après les réactions fournies dans l'énoncé :

où les grandeurs sont exprimées en \mathrm{kJ\cdot mol^{-1}}.

La réaction (R) s'obtient directement par la combinaison linéaire :

Par conséquent, son enthalpie libre standard de réaction vaut :

Pour toute température T \in [500\text{ K}\,;\,1\,500\text{ K}] :

• le terme constant est négatif (-32{,}1\text{ kJ}\cdot\text{mol}^{-1} < 0) ;
• le coefficient de température est négatif (-53{,}80\cdot 10^{-3}\text{ kJ}\cdot\text{mol}^{-1}\cdot\text{K}^{-1} < 0) et T > 0.

Aux bornes du domaine :

On a donc \Delta_r G^\circ(T) < 0 sur l'ensemble du domaine de température. La constante d'équilibre vérifie :