Corrigé détaillé CCINP Physique Chimie MPI 2026

Soit un point M repéré par \vec{OM} = r\vec{u}_r (r > 0).

1. Expressions des champs vectoriels Le champ gravitationnel \vec{G}(M) créé par la masse ponctuelle m placée en O s'écrit :

Le champ électrostatique \vec{E}(M) créé par la charge ponctuelle q placée en O s'écrit :

2. Analogues gravitationnels de q et \varepsilon_0 Par comparaison directe des deux expressions :

L'analogie conduit à associer :

Remarque : On peut de façon équivalente poser q \longleftrightarrow -m et \varepsilon_0 \longleftrightarrow \dfrac{1}{4\pi G}, ce qui mène au même rapport \dfrac{q}{\varepsilon_0} \longleftrightarrow -4\pi G m.

3. Théorème de Gauss gravitationnel intégral En électrostatique, le flux sortant du champ électrique à travers une surface fermée S délimitant le volume V vaut :

où \mathrm{d}\vec{S} est orienté vers l'extérieur de la surface fermée S.

Par transposition analogique avec \rho(P) \longleftrightarrow \mu(P) et \dfrac{1}{\varepsilon_0} \longleftrightarrow -4\pi G, le flux du champ gravitationnel à travers la surface fermée S s'énonce :

où M_{\text{int}} est la masse totale contenue dans le volume V, et le vecteur surface \mathrm{d}\vec{S} est orienté vers l'extérieur de S.

1. Symétries et invariances

La distribution de masse présente une symétrie sphérique de centre O :

• Tout plan passant par O et le point M est plan de symétrie de la distribution. Le champ gravitationnel \vec{G}_T(M) appartient à l'intersection de tous ces plans, il est donc purement radial :

  \vec{G}_T(M) = G_r(r,\theta,\varphi)\,\vec{u}_r

• La distribution est invariante par rotation autour de tout axe passant par O. La composante G_r est donc indépendante des coordonnées angulaires \theta et \varphi :

  \vec{G}_T(M) = G_r(r)\,\vec{u}_r

2. Théorème de Gauss

On choisit comme surface de Gauss \mathcal{S} la sphère de centre O et de rayon r, orientée vers l'extérieur (\mathrm{d}\vec{S} = \mathrm{d}S\,\vec{u}_r). Le flux du champ gravitationnel à travers \mathcal{S} s'écrit :

D'après le théorème de Gauss gravitationnel établi en Q1 :

où M_{\text{int}}(r) désigne la masse contenue à l'intérieur de la sphère de rayon r.

3. Calcul du champ selon la région de l'espace

• À l'extérieur de la Terre (r \ge R_T) : La totalité de la masse terrestre M_T = \frac{4}{3}\pi R_T^3 \mu_T est intérieure à la surface de Gauss :

  M_{\text{int}}(r) = M_T

  D'où :

  \boxed{ \vec{G}_T(M) = -\frac{G M_T}{r^2}\,\vec{u}_r = -\frac{4}{3}\pi G \mu_T \frac{R_T^3}{r^2}\,\vec{u}_r \quad (r \ge R_T) }

• À l'intérieur de la Terre (r \le R_T) : La sphère de rayon r ne contient qu'une fraction de la masse terrestre :

  M_{\text{int}}(r) = \frac{4}{3}\pi r^3 \mu_T = M_T \left(\frac{r}{R_T}\right)^3

  D'où :

  \boxed{ \vec{G}_T(M) = -\frac{4}{3}\pi G \mu_T r\,\vec{u}_r = -\frac{G M_T}{R_T^3}\,r\,\vec{u}_r \quad (r \le R_T) }

D'après le principe de superposition, la présence de la poche de pétrole (sphère de centre C, de rayon r' et de masse volumique \mu_p) dans la Terre homogène (de masse volumique \mu_T) équivaut à la superposition :

• de la Terre pleine et homogène de masse volumique \mu_T, qui crée en M (situé à la surface r = R_T, sur l'axe OCZ avec \vec{u}_r = \vec{u}_z) le champ gravitationnel :

  \vec{G}_T(M) = -\frac{4}{3}\pi G \mu_T R_T \vec{u}_z \implies G_T(M) = -\frac{4}{3}\pi G \mu_T R_T
• d'une sphère de centre C, de rayon r', de masse volumique apparente \Delta \mu = \mu_p - \mu_T, dont la masse est \Delta m = \frac{4}{3}\pi r'^3 (\mu_p - \mu_T).

Le point M étant situé à l'extérieur de cette poche à la distance CM = d > r', le théorème de Gauss montre que le champ gravitationnel créé par cette sphère est identique à celui d'une masse ponctuelle \Delta m placée en C :

Par superposition, le champ total au point M s'écrit :

soit, en factorisant :

La variation relative s'en déduit directement :

On peut factoriser cette expression sous la forme :

Puisque le pétrole est moins dense que la roche environnante (\mu_p < \mu_T), le rapport \frac{\mu_p}{\mu_T} < 1, d'où \varepsilon > 0. Les vecteurs \vec{G}_T(M) et \vec{G}_{Tp}(M) étant dirigés selon -\vec{u}_z, leurs normes valent respectivement \|\vec{G}_T(M)\| = -G_T(M) et \|\vec{G}_{Tp}(M)\| = -G_{Tp}(M) = \|\vec{G}_T(M)\|(1 - \varepsilon). Comme \varepsilon > 0, on a :

Le champ gravitationnel devient donc moins intense en présence de la poche de pétrole.

Estimation numérique de \varepsilon : Avec les valeurs numériques proposées :

Avec un seul chiffre significatif :

Commentaire : La précision relative des gravimètres actuels est de l'ordre de 10^{-8}. La variation relative induite par la poche de pétrole (\varepsilon \approx 5\cdot 10^{-5}) est supérieure de plus de trois ordres de grandeur au seuil de détection des appareils. Cette anomalie gravimétrique est donc très aisément mesurable, ce qui justifie l'utilisation de la gravimétrie en prospection géophysique (détection de cavités, dômes de sel, gisements d'hydrocarbures).

Le référentiel terrestre \mathcal{R}', en rotation uniforme de vecteur rotation \vec{\Omega} = \Omega \vec{u}_z par rapport au référentiel géocentrique \mathcal{R} supposé galiléen, constitue un référentiel non galiléen.

Par définition, le poids \vec{P} = m\vec{g}(M) d'un point matériel M de masse m est la force apparente qui s'exerce sur lui lorsqu'il est immobile dans le référentiel terrestre \mathcal{R}'. La force de Coriolis étant nulle à vitesse relative nulle, le poids s'écrit comme la somme de la force d'attraction gravitationnelle \vec{F}_G et de la force d'inertie d'entraînement \vec{F}_{ie} :

• La force de gravitation exercée par la Terre (supposée à symétrie sphérique) sur le point M situé à l'extérieur (r \ge R_T) vaut :

  \vec{F}_G = m\vec{G}_T(M) = - \frac{G M_T m}{r^2}\vec{u}_r

• L'accélération d'entraînement du point M fixe dans \mathcal{R}' en rotation uniforme autour de l'axe (OZ) s'écrit, en notant H le projeté orthogonal de M sur l'axe des pôles :

  \vec{a}_e(M) = \vec{\Omega} \wedge (\vec{\Omega} \wedge \vec{HM}) = -\Omega^2 \vec{HM}

  La force d'inertie d'entraînement (force centrifuge) est donc :

  \vec{F}_{ie} = -m \vec{a}_e(M) = m \Omega^2 \vec{HM}

En sommant ces deux contributions, on obtient le champ de pesanteur :

À la surface de la Terre (r = R_T), le terme gravitationnel s'évalue à l'aide des données de l'annexe :

soit une intensité gravitationnelle \frac{GM_T}{R_T^2} \approx 10^{0{,}99} \approx 9{,}8\text{ m}\cdot\text{s}^{-2}.

Le terme d'inertie d'entraînement a pour norme maximale à l'équateur :

Cette contribution centrifuge est inférieure à 0{,}35\,\% de l'attraction gravitationnelle. Par conséquent :

Dans le référentiel terrestre \mathcal{R}' en rotation à la vitesse angulaire \vec{\Omega} par rapport au référentiel géocentrique galiléen \mathcal{R}, un train modélisé par un point matériel de masse m se déplaçant à la vitesse relative \vec{v}_r est soumis à la force d'inertie de Coriolis :

La norme de cette force vérifie la majoration :

Le poids du train étant donné par \|\vec{P}\| = mg, le rapport entre la force de Coriolis et le poids est majoré par :

Avec \Omega = 7{,}3\cdot 10^{-5}\text{ rad}\cdot\text{s}^{-1}, v_r = 100\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} et g \approx 9{,}8\text{ m}\cdot\text{s}^{-2} (estimé à la question Q4) :

Même à une vitesse élevée de 360\text{ km}\cdot\text{h}^{-1}, la force de Coriolis représente tout au plus environ 0{,}15\,\% du poids du train : elle peut donc être légitimement négligée devant le poids dans l'étude de la plupart des mouvements terrestres.

À la surface de la Terre, un point M est situé à la distance r = R_T du centre O. D'après la relation introduite avant la question Q4, les deux termes composant le champ de pesanteur \vec{g}(M) sont :

• le terme de gravitation : \vec{G}_T(M) = -\dfrac{GM_T}{R_T^2}\vec{u}_r, de norme :

  \|\vec{G}_T(M)\| = \frac{GM_T}{R_T^2}

• le terme d'inertie d'entraînement centrifuge : \vec{a}_{ie}(M) = \Omega^2 \vec{HM}, où H est le projeté orthogonal de M sur l'axe polaire OZ. La distance à l'axe des pôles vaut HM = R_T \sin\theta, avec \theta la colatitude (\theta \in [0, \pi]), d'où une norme :

  \|\vec{a}_{ie}(M)\| = \Omega^2 R_T \sin\theta

Le rapport des normes s'écrit :

Comme \sin\theta \le 1, le maximum est atteint à l'équateur (\theta = \pi/2) et le rapport est majoré par la quantité sans dimension :

Calculons la valeur de \eta en utilisant l'annexe :

La lecture du graphe de \log_{10}(x) en annexe donne pour \log_{10}(x) \approx 0,54 la valeur x \approx 3,5. On obtient donc :

Commentaire : La valeur de \eta est très faible devant 1 (de l'ordre de 0{,}35\,\%). Le terme d'inertie d'entraînement centrifuge est donc négligeable devant le champ gravitationnel. En première approximation, le champ de pesanteur est purement gravitationnel, et la variation relative de g entre les pôles (\sin\theta = 0) et l'équateur (\sin\theta = 1) reste minime.

a) La force gravitationnelle exercée par la Terre sur la masse m située à l'extérieur de celle-ci s'écrit :

Elle dérive de l'énergie potentielle E_{pG}(M) selon la relation \vec{F}_G = -\vec{\operatorname{grad}} E_{pG}. Comme le champ de force ne dépend que de la coordonnée radiale r, la circulation élémentaire donne :

avec C_1 une constante d'intégration. La condition de référence E_{pG}(r \to \infty) = 0 impose C_1 = 0, d'où :

b) D'après l'expression du poids donnée par l'énoncé, la force d'inertie d'entraînement (force centrifuge) s'exprime par :

En repérant le point M en coordonnées cylindriques d'axe (OZ), on a \vec{HM} = \rho \vec{u}_\rho avec \rho = HM. Le déplacement élémentaire s'écrit \mathrm{d}\vec{r} = \mathrm{d}\rho \vec{u}_\rho + \rho \mathrm{d}\varphi \vec{u}_\varphi + \mathrm{d}z \vec{u}_z. Le travail élémentaire de \vec{F}_e est :

La force dérive donc d'une énergie potentielle E_{pe} définie par \mathrm{d}E_{pe} = -\delta W(\vec{F}_e) = -m \Omega^2 \rho \mathrm{d}\rho, ce qui donne après intégration :

Au point r = 0, le point M est confondu avec le centre O, qui est situé sur l'axe de rotation des pôles ; par suite, H=O et le vecteur \vec{HM} est nul. La condition E_{pe}(r=0) = 0 implique ainsi C_2 = 0. On obtient bien :

c) Le poids \vec{P} = m\vec{g}(M) = \vec{F}_G(M) + \vec{F}_e(M) dérive de l'énergie potentielle de pesanteur par sommation :

Dans le repère sphérique lié à la Terre, où \theta désigne la colatitude (angle entre l'axe des pôles OZ et le vecteur \vec{OM}), la distance orthogonale à l'axe de rotation est :

On en déduit l'expression de l'énergie potentielle de pesanteur en coordonnées sphériques :

D'après la question Q7, l'énergie potentielle de pesanteur d'un point matériel de masse m s'écrit en coordonnées sphériques :

Au pôle Nord N, on a r = r_n et \theta = 0, d'où :

La condition définissant la surface équipotentielle (\Sigma), E_{pp}(M \in \Sigma) = E_{pp}(N), conduit à :

En divisant par -G M_T m et en multipliant par r_n :

D'après la question Q6, le paramètre sans dimension \eta = \frac{\Omega^2 R_T^3}{G M_T} \approx 3{,}5\cdot 10^{-3} \ll 1 mesure l'ordre de grandeur de l'effet d'entraînement. Comme \frac{r - r_n}{r_n} = \mathcal{O}(\eta), on peut poser au premier ordre dans le terme correctif r \approx r_n :

Par développement limité au premier ordre (1-u)^{-1} \approx 1+u au voisinage de u=0 :

On retrouve bien la forme demandée r(\theta) \approx r_n\left(1 + \varepsilon \sin^2\theta\right) avec :

Comme r_n \approx R_T, on a en première approximation \varepsilon \approx \frac{\eta}{2}.

Allure de r(\theta) dans un plan méridien :

Paramètre d'aplatissement : Dans le plan équatorial, la colatitude vaut \theta = \frac{\pi}{2}, soit \sin^2\theta = 1. Le rayon équatorial est donc :

Le paramètre d'aplatissement s'en déduit immédiatement :

soit :

a) Justification de l'hypothèse de la norme g constante

En négligeant le terme centrifuge devant l'attraction gravitationnelle (question Q6), la norme du champ de pesanteur à la distance r = R_T + z du centre de la Terre s'écrit :

Pour une altitude z \ll R_T, un développement limité au premier ordre donne :

Pour une différence d'altitude h = 1\text{ m}, la variation relative de la norme de g vaut :

Application numérique avec h = 1\text{ m} et R_T = 6{,}4\cdot 10^6\text{ m} :

La variation de g sur la hauteur de chute est de l'ordre de quelques dixièmes de millionième, ce qui justifie parfaitement de considérer le champ de pesanteur comme uniforme et de norme g constante au cours du mouvement.

b) Équation horaire du mouvement de O_1

On étudie le point O_1 lié au corps C_1 de masse m dans le référentiel terrestre local, supposé galiléen pendant la durée de la chute. Le corps est lâché dans une chambre vide : il n'est soumis qu'à son poids \vec{P} = m\vec{g}.

La deuxième loi de Newton s'écrit :

En projetant sur l'axe vertical descendant orienté par le vecteur unitaire \vec{u}_z (tel que \vec{g} = g\vec{u}_z) avec pour origine la position initiale O_{10} :

Le corps étant lâché sans vitesse initiale (\dot{z}_1(0) = 0) depuis l'origine (z_1(0) = 0), deux intégrations successives par rapport au temps donnent :

a) Les deux rayons se propagent dans l'air d'indice n = 1.

Le bras supérieur fait intervenir une réflexion par le coin de cube mobile C_1. Lors du déplacement de C_1 d'une distance z_1(t), la longueur du trajet aller-retour varie de 2z_1(t). Comme C_1 tombe vers le bas (dans le sens des z croissants, donc en se rapprochant des lames séparatrices), le chemin optique du rayon 1 diminue de 2z_1(t) = gt^2.

Le bras inférieur fait intervenir le coin de cube C_2, fixe en z_2 = 0{,}3\text{ m}. Par symétrie du dispositif par rapport au plan médian, le chemin optique associé au bras fixe s'écrit de manière analogue avec z_2.

En choisissant la différence de chemins optiques \delta(P,t) = L_2 - L_1(t), on obtient :

(Une convention de signe opposée \delta(P,t) = gt^2 - 2z_2 est également tout à fait recevable.)

b) L'intensité résultant de l'interférence de deux ondes d'égales amplitudes s'écrit :

Les minima d'intensité correspondent aux interférences destructives, vérifiant :

Entre l'instant t_0 du premier minimum et l'instant t_q du q-ième minimum suivant (q \in \mathbb{N}^*), l'ordre d'interférence varie de q unités. Par conséquent :

La variation de différence de marche correspond à q longueurs d'onde (avec \delta décroissant au cours du temps) :

On en déduit :

c) La relation précédente se réécrit sous la forme :

La fonction linéaire y(q) exploitée expérimentalement est donc :

où y(q) est exprimée en \mu\text{s}^2 (en cohérence avec l'échelle de temps de la figure 3(b)).

La pente de la droite vaut a = \frac{\lambda}{g} = 64\,598\ \mu\text{s}^2 = 64\,598 \cdot 10^{-12}\text{ s}^2. On en déduit :

Avec \lambda = 632{,}82\text{ nm} = 632{,}82 \cdot 10^{-9}\text{ m}, le calcul s'écrit :

D'après les formules brutes et les formules en oxydes fournies dans le tableau 2, les réactions de synthèse à haute température des quatre constituants du clinker (ciment) à partir des oxydes réactifs s'écrivent :

• Pour le composé A (\mathrm{Ca}_3\mathrm{SiO}_{5,(\mathrm{s})} ou 3\,\mathrm{CaO}\cdot\mathrm{SiO}_2, silicate tricalcique) :

  \boxed{3\,\mathrm{CaO}_{(\mathrm{s})} + \mathrm{SiO}_{2,(\mathrm{s})} = \mathrm{Ca}_3\mathrm{SiO}_{5,(\mathrm{s})}}

• Pour le composé B (\mathrm{Ca}_2\mathrm{SiO}_{4,(\mathrm{s})} ou 2\,\mathrm{CaO}\cdot\mathrm{SiO}_2, silicate dicalcique) :

  \boxed{2\,\mathrm{CaO}_{(\mathrm{s})} + \mathrm{SiO}_{2,(\mathrm{s})} = \mathrm{Ca}_2\mathrm{SiO}_{4,(\mathrm{s})}}

• Pour le composé C (\mathrm{Ca}_3\mathrm{Al}_2\mathrm{O}_{6,(\mathrm{s})} ou 3\,\mathrm{CaO}\cdot\mathrm{Al}_2\mathrm{O}_3, aluminate tricalcique) :

  \boxed{3\,\mathrm{CaO}_{(\mathrm{s})} + \mathrm{Al}_2\mathrm{O}_{3,(\mathrm{s})} = \mathrm{Ca}_3\mathrm{Al}_2\mathrm{O}_{6,(\mathrm{s})}}

• Pour le composé D (\mathrm{Ca}_4\mathrm{Al}_2\mathrm{Fe}_2\mathrm{O}_{10,(\mathrm{s})} ou 4\,\mathrm{CaO}\cdot\mathrm{Al}_2\mathrm{O}_3\cdot\mathrm{Fe}_2\mathrm{O}_3, aluminoferrite tétracalcique) :

  \boxed{4\,\mathrm{CaO}_{(\mathrm{s})} + \mathrm{Al}_2\mathrm{O}_{3,(\mathrm{s})} + \mathrm{Fe}_2\mathrm{O}_{3,(\mathrm{s})} = \mathrm{Ca}_4\mathrm{Al}_2\mathrm{Fe}_2\mathrm{O}_{10,(\mathrm{s})}}

Soit un échantillon de ciment de masse totale m_{\text{tot}}. Les pourcentages massiques des composants \text{A}, \text{B}, \text{C} et \text{D} sont notés p_5, p_6, p_7, p_8, et leurs masses molaires respectives M_5, M_6, M_7, M_8. Les quantités de matière présentes dans l'échantillon valent :

D'après les équations de réaction établies à la question précédente :

• Le dioxyde de fer \mathrm{Fe}_2\mathrm{O}_3 (oxyde 4, masse molaire M_4) n'apparaît que dans le composé \text{D} à raison d'une mole de \mathrm{Fe}_2\mathrm{O}_3 par mole de \text{D} :

  n_4 = n_{\text{D}} \implies m_4 = n_{\text{D}} M_4 = \frac{M_4}{M_8} p_8 m_{\text{tot}} \implies p_4 = \frac{M_4}{M_8} p_8

• L'alumine \mathrm{Al}_2\mathrm{O}_3 (oxyde 3, masse molaire M_3) est présente dans \text{C} et \text{D} (une mole par mole de chacun) :

  n_3 = n_{\text{C}} + n_{\text{D}} \implies p_3 = \frac{M_3}{M_7} p_7 + \frac{M_3}{M_8} p_8

• La silice \mathrm{SiO}_2 (oxyde 2, masse molaire M_2) est présente dans \text{A} et \text{B} (une mole par mole de chacun) :

  n_2 = n_{\text{A}} + n_{\text{B}} \implies p_2 = \frac{M_2}{M_5} p_5 + \frac{M_2}{M_6} p_6

• La chaux \mathrm{CaO} (oxyde 1, masse molaire M_1) intervient dans tous les constituants avec les stœchiométries respectives 3, 2, 3 et 4 :

  n_1 = 3n_{\text{A}} + 2n_{\text{B}} + 3n_{\text{C}} + 4n_{\text{D}} \implies p_1 = 3\frac{M_1}{M_5} p_5 + 2\frac{M_1}{M_6} p_6 + 3\frac{M_1}{M_7} p_7 + 4\frac{M_1}{M_8} p_8

Sous forme matricielle \mathrm{oxy} = \mathrm{gob} \cdot \mathrm{cim}, la matrice s'écrit :

La ligne 5 du script Python se complète donc ainsi :

gob = np.array([
    [3*M1/M5, 2*M1/M6, 3*M1/M7, 4*M1/M8],
    [M2/M5,   M2/M6,   0,       0      ],
    [0,       0,       M3/M7,   M3/M8  ],
    [0,       0,       0,       M4/M8  ]
])

a) Équilibres acido-basiques et quotients réactionnels

Pour le diacide modélisé par \mathrm{CO_{2,(aq)},H_2O} (ou \mathrm{H_2CO_{3,(aq)}}), les deux déprotonations successives dans l'eau s'écrivent :

• Première acidité :

  \mathrm{CO_2,H_2O_{(aq)}} + \mathrm{H_2O_{(l)}} \rightleftharpoons \mathrm{HCO_{3,(aq)}^-} + \mathrm{H_3O_{(aq)}^+}

  Le quotient réactionnel associé à cet équilibre est :

  \boxed{Q_{r,1} = \frac{[\mathrm{HCO_3^-}][\mathrm{H_3O^+}]}{[\mathrm{CO_2,H_2O}]}}

• Seconde acidité :

  \mathrm{HCO_{3,(aq)}^-} + \mathrm{H_2O_{(l)}} \rightleftharpoons \mathrm{CO_{3,(aq)}^{2-}} + \mathrm{H_3O_{(aq)}^+}

  Le quotient réactionnel associé à cet équilibre est :

  \boxed{Q_{r,2} = \frac{[\mathrm{CO_3^{2-}}][\mathrm{H_3O^+}]}{[\mathrm{HCO_3^-}]}}

Remarque : les concentrations sont implicitement adimensionnées par la concentration standard c^\circ = 1\text{ mol}\cdot\text{L}^{-1}.

b) Attribution des courbes de la figure 4

Lorsque le \text{pH} augmente, les espèces se déprotonent successivement :

• En milieu fortement acide (\text{pH} faible), la forme la plus protonée est majoritaire : la courbe (1) correspond à \mathbf{CO_{2,(aq)},H_2O} (ou \mathrm{H_2CO_3}).
• À \text{pH} intermédiaire, l'ampholyte est majoritaire : la courbe (2) correspond à l'ion hydrogénocarbonate \mathbf{HCO_3^-}.
• En milieu fortement basique (\text{pH} élevé), la forme la plus déprotonée est majoritaire : la courbe (3) correspond à l'ion carbonate \mathbf{CO_3^{2-}}.

c) Détermination des constantes d'acidité K_{a1} et K_{a2}

À l'équilibre, lorsque deux espèces successives sont en égale proportion (50\,\% à l'intersection des courbes) :

• À l'intersection des courbes (1) et (2), [\mathrm{CO_2,H_2O}] = [\mathrm{HCO_3^-}], d'où :

  \text{pH} = \text{p}K_{a1}

  La lecture graphique sur la figure 4 donne directement :

  \text{p}K_{a1} = 6{,}4

  On en déduit la constante d'acidité :

  K_{a1} = 10^{-\text{p}K_{a1}} = 10^{-6{,}4} = 10^{0{,}6} \cdot 10^{-7}

  D'après la courbe de \log_{10}(x) en annexe, \log_{10}(4{,}0) \approx 0{,}60, d'où 10^{0{,}6} \approx 4{,}0, soit :

  \boxed{K_{a1} \approx 4 \cdot 10^{-7}}

• À l'intersection des courbes (2) et (3), [\mathrm{HCO_3^-}] = [\mathrm{CO_3^{2-}}], d'où :

  \text{pH} = \text{p}K_{a2}

  La lecture graphique sur la figure 4 donne l'abscisse de l'intersection à mi-chemin entre 10{,}2 et 10{,}4 :

  \text{p}K_{a2} = 10{,}3

  On en déduit :

  K_{a2} = 10^{-\text{p}K_{a2}} = 10^{-10{,}3} = 10^{0{,}7} \cdot 10^{-11}

  D'après la courbe en annexe, \log_{10}(5{,}0) \approx 0{,}70, d'où 10^{0{,}7} \approx 5{,}0, soit :

  \boxed{K_{a2} \approx 5 \cdot 10^{-11}}

Les espèces présentes en solution aqueuse (en dehors de l'eau) sont : \mathrm{CO}_{2,(\text{aq})},\mathrm{H}_2\mathrm{O}, \mathrm{HCO}_3^-, \mathrm{CO}_3^{2-}, \mathrm{H}_3\mathrm{O}^+ et \mathrm{HO}^-.

L'équilibre de dissolution avec le dioxyde de carbone atmosphérique impose :

Les équilibres en solution sont régis par les constantes d'acidité et le produit ionique de l'eau (d'après Q13) :

L'électroneutralité de la solution s'écrit :

On pose les approximations suivantes :

• La solution étant acidifiée par le diacide, on suppose [\mathrm{HO}^-] \ll [\mathrm{H}_3\mathrm{O}^+] ;
• Comme \mathrm{p}K_{a2} = 10{,}3 \gg \mathrm{p}K_{a1} = 6{,}4, la seconde déprotonation est très minoritaire devant la première, d'où [\mathrm{CO}_3^{2-}] \ll [\mathrm{HCO}_3^-].

L'électroneutralité se réduit alors à :

En injectant cette relation dans l'expression de K_{a1}, il vient :

D'où l'expression du \mathrm{pH} :

Calcul du \mathrm{pH} : Avec \mathrm{p}K_{a1} = 6{,}4 et c = 1{,}0\cdot 10^{-5}\text{ mol}\cdot\text{L}^{-1} (\log c = -5{,}0) :

Concentrations des différentes espèces :

• [\mathrm{CO}_{2,(\text{aq})},\mathrm{H}_2\mathrm{O}] = c = \mathbf{1{,}0\cdot 10^{-5}\text{ mol}\cdot\text{L}^{-1}}
• [\mathrm{H}_3\mathrm{O}^+] = 10^{-\mathrm{pH}} = 10^{-5{,}7} = 10^{0{,}3}\cdot 10^{-6} \approx \mathbf{2\cdot 10^{-6}\text{ mol}\cdot\text{L}^{-1}}
• [\mathrm{HCO}_3^-] \approx [\mathrm{H}_3\mathrm{O}^+] \approx \mathbf{2\cdot 10^{-6}\text{ mol}\cdot\text{L}^{-1}}
• [\mathrm{HO}^-] = \frac{K_e}{[\mathrm{H}_3\mathrm{O}^+]} = \frac{10^{-14}}{2\cdot 10^{-6}} = \mathbf{5\cdot 10^{-9}\text{ mol}\cdot\text{L}^{-1}}
• [\mathrm{CO}_3^{2-}] = \frac{K_{a2}[\mathrm{HCO}_3^-]}{[\mathrm{H}_3\mathrm{O}^+]} \approx K_{a2} = 10^{-10{,}3} = 10^{0{,}7}\cdot 10^{-11} \approx \mathbf{5\cdot 10^{-11}\text{ mol}\cdot\text{L}^{-1}}

Validation des approximations :

• [\mathrm{HO}^-] = 5\cdot 10^{-9}\text{ mol}\cdot\text{L}^{-1} \ll [\mathrm{H}_3\mathrm{O}^+] = 2\cdot 10^{-6}\text{ mol}\cdot\text{L}^{-1} (rapport < 3\cdot 10^{-3}) ;
• [\mathrm{CO}_3^{2-}] = 5\cdot 10^{-11}\text{ mol}\cdot\text{L}^{-1} \ll [\mathrm{HCO}_3^-] = 2\cdot 10^{-6}\text{ mol}\cdot\text{L}^{-1} (rapport \approx 2{,}5\cdot 10^{-5}).

Toutes les hypothèses sont parfaitement vérifiées.

1. Définition de la résistance thermique

Par analogie avec la résistance électrique reliant différence de potentiel et courant électrique (\Delta U = R\,I), la résistance thermique R_{\mathrm{th}} d'un conducteur thermique soumis à une différence de température T_1 - T_2 entre ses deux faces d'accès, et traversé par un flux thermique stationnaire \Phi orienté de la face à T_1 vers celle à T_2, est définie par :

Elle s'exprime en \mathrm{K\cdot W^{-1}} (ou ^{\circ}\mathrm{C}\cdot\mathrm{W}^{-1}).

2. Expression pour un conducteur cylindrique

Considérons un barreau cylindrique d'axe Oz, de section constante s et de longueur l comprise entre z = 0 (à la température T_1) et z = l (à la température T_2 < T_1).

D'après la loi de Fourier, le vecteur densité volumique de courant thermique s'écrit :

Le flux thermique à travers une section droite d'aire s orientée selon \vec{u}_z vaut :

En régime stationnaire et sans terme source interne, la conservation de l'énergie impose que le flux \Phi soit constant le long de l'axe Oz. L'intégration entre z = 0 et z = l conduit à :

On en déduit l'expression de la résistance thermique de conduction :

Le transfert thermique s'effectue en régime stationnaire unidimensionnel selon l'axe Oz. En l'absence de pertes latérales et de sources internes, le flux thermique \Phi est conservé à travers toutes les tranches du dispositif de section droite uniforme s.

1. Établissement de la relation :

• Pour le bloc de laiton inférieur situé entre z = 0 (température T_c) et z = l (température T_1), la résistance thermique s'écrit d'après la question Q15 :

  R_{\mathrm{th},l} = \frac{l}{\lambda_l s} \implies T_c - T_1 = R_{\mathrm{th},l} \, \Phi = \frac{l}{\lambda_l s}\Phi

• Entre les deux interfaces à T_1 et T_2, le flux traverse successivement en série le contact 1, la roche et le contact 2. La résistance thermique équivalente est la somme des résistances individuelles :

  R_{\mathrm{th},\text{série}} = R_{\mathrm{th},1} + R_{\mathrm{th},\text{roche}} + R_{\mathrm{th},2} = \frac{e_1}{\lambda_1 s} + \frac{d}{\lambda s} + \frac{e_2}{\lambda_2 s}

  La différence de température globale s'écrit alors :

  T_1 - T_2 = R_{\mathrm{th},\text{série}} \, \Phi = \frac{1}{s}\left(\frac{d}{\lambda} + \frac{e_1}{\lambda_1} + \frac{e_2}{\lambda_2}\right)\Phi

En effectuant le quotient membre à membre, le flux \Phi et la section s se simplifient :

D'où la relation demandée :

2. Détermination expérimentale de \lambda sans l'effet des contacts :

En maintenant des conditions de contact identiques (même état de surface, même pression de serrage assurant la constance de e_1/\lambda_1 + e_2/\lambda_2), on mesure le rapport adimensionné Y = \frac{T_1 - T_2}{T_c - T_1} pour plusieurs échantillons de même roche d'épaisseurs d variables.

La grandeur Y est alors une fonction affine de l'épaisseur d :

La régression linéaire des points expérimentaux donne la pente A, de laquelle on déduit la conductivité thermique recherchée :

L'effet parasite des résistances de contact n'affecte que l'ordonnée à l'origine B, ce qui permet de s'en affranchir totalement.

a) D'après le théorème de Gauss (ou le théorème de Newton pour une distribution à symétrie sphérique), le champ gravitationnel créé à l'extérieur ou à la surface de la sphère de centre O, de rayon r et de masse m est identique à celui d'une masse ponctuelle m située en O :

Le potentiel gravitationnel associé, nul à l'infini, s'écrit à la surface (r'=r) :

L'énergie potentielle gravitationnelle d'interaction de la masse élémentaire \mathrm{d}m avec la sphère de masse m s'en déduit directement :

b) La sphère étant homogène de masse volumique \mu, la masse de la sphère de rayon r et celle de la coquille d'épaisseur \mathrm{d}r s'écrivent :

En injectant ces expressions dans celle de \mathrm{d}E_{pG}(r) :

L'énergie potentielle gravitationnelle totale de la sphère de rayon R s'obtient en intégrant de r = 0 à r = R :

La masse totale de la sphère est M = \frac{4}{3}\pi\mu R^3, d'où M^2 = \frac{16}{9}\pi^2\mu^2 R^6, ce qui permet d'écrire :

On retrouve bien l'expression cherchée :

Commentaire du signe : L'énergie potentielle est strictement négative. Cela traduit le fait que la Terre est un système gravitationnellement lié : l'interaction gravitationnelle étant purement attractive, la formation de la sphère à partir de matière initialement dispersée à l'infini libère de l'énergie vers l'extérieur (sous forme d'énergie cinétique puis thermique). Pour disloquer entièrement la Terre et envoyer ses constituants à l'infini, un opérateur extérieur devrait fournir une énergie positive égale à l'énergie de liaison E_{\text{liaison}} = -E_{pG}(R) = \frac{3GM^2}{5R}.

Considérons le système constitué de l'ensemble de la masse M_T, initialement dispersée à l'infini au repos à une température T_i \approx 0\text{ K}.

L'énergie gravitationnelle initiale est nulle (E_{pG}(\infty) = 0). D'après la question Q17.b, l'énergie gravitationnelle finale sous forme de sphère homogène de masse M_T et de rayon R_T vaut :

La variation d'énergie potentielle gravitationnelle lors de l'accrétion s'écrit donc :

En supposant que cette énergie mécanique libérée est intégralement convertie en énergie thermique sans perte par rayonnement, la variation d'énergie interne du système s'écrit :

Par ailleurs, pour un corps condensé de masse M_T et de capacité thermique massique C, la variation d'énergie interne associée à l'élévation de température depuis T_i \approx 0\text{ K} jusqu'à T_{\mathrm{eq}} est :

On en déduit l'expression de la température d'équilibre :

soit :

Estimation numérique : En exploitant les logarithmes décimaux fournis en annexe :

D'après la table, \log_{10}(M_T) = 24{,}78 pour M_T = 6{,}0\cdot 10^{24}, d'où \log_{10}(6{,}0) = 0{,}78. Ainsi :

Par lecture de la courbe de l'annexe, \log_{10}(x) \approx 0{,}58 \implies x \approx 3{,}8 \approx 4. On obtient :

Commentaire : Cette température est extrêmement élevée :

• Elle dépasse très largement la température de fusion des roches silicatées et des métaux (typiquement 1\,500 à 3\,000\text{ K}), ainsi que la température actuelle au centre de la Terre (\sim 6\,000\text{ K}).
• Cela montre que l'énergie gravitationnelle libérée lors de l'accrétion planétaire est largement suffisante pour fondre complètement la Terre primitive (stade « océan de magma »), favorisant ainsi la différenciation gravitationnelle (le fer liquide plongeant au centre pour former le noyau).
• Toutefois, l'accrétion s'étant déroulée sur une durée longue (\sim 10^7 à 10^8 ans), une fraction considérable de cette énergie a été évacuée par rayonnement thermique vers l'espace au fur et à mesure de l'accrétion, ce qui explique pourquoi la Terre n'a jamais atteint une température moyenne aussi gigantesque.

L'évolution temporelle du nombre de noyaux par unité de volume N_i(t) est régie par l'équation différentielle linéaire du premier ordre à coefficients constants fournie par l'énoncé :

Par séparation des variables et intégration entre l'instant initial t = 0 (où N_i(0) = N_{i0}) et un instant t quelconque :

En prenant l'exponentielle, on obtient la loi de décroissance radioactive sous l'une ou l'autre des formes équivalentes :

Considérons une unité de volume de roche (de volume V = 1\text{ m}^3). Sa masse vaut m_{\text{roche}} = \mu \times 1\text{ m}^3 = \mu.

La masse de l'isotope X_i présente à l'instant initial t=0 dans ce volume est :

La quantité de matière correspondante est n_{i0} = \frac{m_{i0}}{M_i} = \frac{x_i \mu}{M_i}, de sorte que le nombre de noyaux par unité de volume à l'origine des temps s'écrit :

Chaque désintégration d'un noyau de l'isotope X_i libère une énergie thermique \varepsilon_i. Le taux de désintégration volumique (activité volumique) étant -\frac{\mathrm{d}N_i}{\mathrm{d}t} = \frac{\ln 2}{\tau_i} N_i(t), la puissance volumique dégagée par cet isotope à la date t est :

En injectant l'expression de N_i(t) obtenue à la question Q19, on obtient :

Par indépendance des désintégrations des différents radio-isotopes, la puissance calorifique volumique totale p_v(t) générée dans le manteau est la somme des contributions des trois éléments :

soit :

a) Signification physique de pvi0 (ligne 10)

D'après le résultat de la question Q20, la puissance volumique initiale libérée par le radio-isotope X_i s'écrit :

En identifiant les termes du script (0{,}69 \approx \ln 2, mu =\mu, Na =N_A, ci =x_i, epsi =\varepsilon_i, Mi =M_i, taui =\tau_i), pvi0 représente le vecteur (tableau à trois éléments) des puissances calorifiques volumiques initiales (à t = 0), exprimées en \text{W}\cdot\text{m}^{-3}, dégagées respectivement par chacun des trois isotopes radioactifs : ^{238}\text{U}, ^{232}\text{Th} et ^{40}\text{K}.

b) Signification de la grandeur Dp (ligne 15)

L'expression np.abs(pv(t) - pv(0)/2) calcule l'écart absolu |p_v(t) - p_v(0)/2| pour chacune des 100 valeurs de la grille temporelle discrète contenue dans le tableau t. La méthode .min() extrait la valeur minimale de ce tableau.

Ainsi, Dp représente l'écart absolu minimal entre les valeurs discrétisées de la puissance volumique totale p_v(t) et la moitié de sa valeur initiale p_v(0)/2 sur l'intervalle d'échantillonnage.

c) Signification de n (ligne 17)

La méthode .index(Dp) renvoie la position de la valeur Dp dans la liste des écarts. La variable n est donc l'indice du point de la grille temporelle t pour lequel la puissance volumique calculée p_v(t) est la plus proche de la valeur cible p_v(0)/2.

d) Signification de pv(0) et t0 (ligne 19) et amélioration de la précision

• pv(0) représente la puissance calorifique volumique totale initiale (à t=0) dégagée par l'ensemble des trois radio-éléments.
• t0 = \texttt{t[n]} représente la date (en milliards d'années) à laquelle cette puissance est réduite de moitié, c'est-à-dire une estimation numérique du temps de demi-décroissance globale t_{1/2} de la puissance radiogénique.

Pour améliorer la précision sur t0, on peut :

1. Augmenter le nombre de points de discrétisation temporelle dans le tableau t (par exemple en posant t = np.linspace(0, 10, 10000) au lieu de 100 points) ;
2. Ou bien employer un algorithme de résolution numérique d'équation non linéaire (méthode de dichotomie ou fonction scipy.optimize.root_scalar / brentq) pour résoudre directement p_v(t) - \frac{p_v(0)}{2} = 0.

e) Complétion du script Python après la ligne 19

Pour afficher la courbe p_v(t) sans quadrillage :

plt.figure()
plt.plot(t, pv(t))
plt.xlabel("Temps t (milliards d'annees)")
plt.ylabel("Puissance volumique (W/m^3)")
plt.title("Evolution de la puissance volumique radioactive")
plt.show()

f) Tracé et détermination graphique de t_{1/2}

Sur la figure 6, la valeur initiale de la puissance volumique à t = 0 vaut :

La puissance est réduite de moitié lorsque :

En repérant l'ordonnée 6{,}28\text{ nW}\cdot\text{m}^{-3} (à mi-chemin entre 6{,}15 et 6{,}35\text{ nW}\cdot\text{m}^{-3}) et en effectuant la projection sur l'axe des abscisses, on lit :

(un intervalle de lecture compris entre 4{,}6 et 5{,}0\text{ milliards d'années} est acceptable compte tenu de l'épaisseur du tracé).

La Terre est modélisée par une sphère de centre O et de rayon R_T, constituée d'un matériau homogène et isotrope (caractérisé par des grandeurs \mu, C et \lambda uniformes), avec des sources de chaleur et des conditions aux limites à symétrie sphérique.

1. Caractère radial de \vec{j} :

• Tout plan contenant le centre O et le point d'observation M (plan méridien) est un plan de symétrie pour le système et les distributions thermiques.
• Le vecteur densité de flux thermique \vec{j} étant un vecteur vrai (ou polaire), il doit être contenu dans tous les plans de symétrie passant par M.

• L'intersection de tous ces plans de symétrie est la droite (OM), portée par le vecteur unitaire radial \vec{u}_r. Par conséquent :

  \boxed{\vec{j}(M,t) = j(M,t)\,\vec{u}_r}

2. Invariances : Le problème est invariant par rotation autour de tout axe passant par le centre O. En coordonnées sphériques (r, \theta, \varphi) d'origine O :

• le système est invariant par rotation d'un angle quelconque autour de l'axe (Oz), donc invariant selon la longitude \varphi ;
• le système est invariant par rotation autour de tout axe équatorial, donc invariant selon la colatitude \theta.

Ainsi, les grandeurs scalaires du problème (la température T ainsi que la composante algébrique j) ne dépendent ni de \theta, ni de \varphi :

Considérons le système fermé constitué par la matière contenue dans la coquille sphérique comprise entre les rayons r et r+\mathrm{d}r, à un instant t donné.

Le volume de cette coquille est, au premier ordre en \mathrm{d}r :

Sa masse est donc :

Appliquons le premier principe de la thermodynamique à cette coquille (solide indéformable, donc sans travail des forces de pression : W = 0) entre les instants t et t+\mathrm{d}t :

1. Variation d'énergie interne :
La capacité thermique de la coquille étant C\,\mathrm{d}m, la variation d'énergie interne s'écrit :

2. Énergie thermique reçue de l'extérieur par conduction :

• À travers la surface intérieure de rayon r, la normale orientée vers l'extérieur de la coquille est -\vec{u}_r. Le flux thermique entrant dans la coquille est :

  \Phi_{\text{entrant}}(r) = \vec{j}(r,t)\cdot(-\vec{u}_r) \cdot \big(-4\pi r^2\big) = j(r,t)\,4\pi r^2

• À travers la surface extérieure de rayon r+\mathrm{d}r, la normale orientée vers l'extérieur de la coquille est +\vec{u}_r. Le flux thermique sortant est :

  \Phi_{\text{sortant}}(r+\mathrm{d}r) = j(r+\mathrm{d}r,t)\,4\pi (r+\mathrm{d}r)^2

Le flux conductif net reçu par la coquille est donc :

D'où l'énergie thermique reçue par conduction pendant la durée \mathrm{d}t :

3. Énergie thermique créée par les sources internes :
La puissance volumique volumique de source radioactive étant notée p_v', l'énergie thermique dégagée au sein de la coquille pendant \mathrm{d}t s'écrit :

En sommant les contributions aux échanges thermiques \delta Q = \delta Q_{\text{cond}} + \delta Q_{\text{source}}, on obtient bien :

Signification physique des trois termes :

• \mu C 4\pi r^2 \frac{\partial T}{\partial t}\,\mathrm{d}t\,\mathrm{d}r : terme de stockage (ou d'accumulation) thermique, représentant la variation d'énergie interne de la coquille de masse \mathrm{d}m pendant la durée \mathrm{d}t.
• -\mathrm{d}\big(j 4\pi r^2\big)\,\mathrm{d}t : bilan des échanges thermiques conductifs à travers les frontières en r et r+\mathrm{d}r, c'est-à-dire l'excédent de chaleur entrant sur la chaleur sortant pendant \mathrm{d}t.
• p_v' 4\pi r^2\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}t : terme de création (ou de source volumique) thermique, correspondant à l'énergie calorifique libérée par les désintégrations radioactives au sein de la coquille pendant \mathrm{d}t.

a) Équation différentielle vérifiée par T(r)

En régime permanent, la température est indépendante du temps (\partial T / \partial t = 0). La relation issue du bilan thermique établi à la question Q23 devient :

En divisant par 4\pi\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}t, on obtient :

D'après la loi de Fourier, le flux volumique s'écrit \vec{j} = -\lambda\,\vec{\operatorname{grad}}\,T = -\lambda \frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}r}\vec{u}_r, soit :

En reportant cette expression dans la divergence du flux, on obtient l'équation différentielle :

b) Loi de variation spatiale T(r)

Intégrons une première fois par rapport à r :

où C_1 est une constante d'intégration. La température étant finie au centre de la Terre (r \to 0), la dérivée spatiale ne peut pas diverger en 1/r^2, ce qui impose C_1 = 0.

Une seconde intégration conduit à :

À la surface de la Terre (r = R_T), la température vaut T(R_T) = T_s, d'où :

On en déduit le profil de température parabolique :

c) Expression de la puissance surfacique j(r)

En appliquant la loi de Fourier avec \frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}r} = -\frac{p_v'}{3\lambda}r, on obtient :

soit :

d) Détermination numérique de p_v' et commentaire

À la surface de la Terre (r = R_T), la puissance surfacique s'écrit :

Application numérique :

Avec un chiffre significatif :

Commentaire : D'après le graphique de la figure 6 (exploité à la question Q21), la puissance volumique d'origine radioactive actuelle (à l'âge de la Terre t \approx 4{,}5\text{ milliards d'années}) est de l'ordre de 5 à 6\text{ nW}\cdot\text{m}^{-3}, et ne dépassait pas 12{,}5\text{ nW}\cdot\text{m}^{-3} à l'origine (t = 0). La valeur p_v' déduite du flux géothermique de surface (33\text{ nW}\cdot\text{m}^{-3}) est nettement plus élevée (d'un facteur 5 à 6). Cela montre que le flux géothermique mesuré en surface n'est pas uniquement alimenté par la radioactivité mantellique actuelle : il intègre également le déstockage de la chaleur primordiale d'accrétion (refroidissement séculaire de la Terre étudié en Q18) ainsi qu'une forte concentration d'éléments radiogéniques dans la croûte continentale.

1. Relation générale analogue à celle de la question Q23

D'après le bilan d'énergie thermique établi à la question Q23 :

En utilisant l'analogie proposée :

• la densité volumique d'énergie thermique \mu C T correspond à la densité volumique d'énergie électromagnétique u_{\mathrm{em}} ;
• la densité de flux thermique j correspond au module du vecteur de Poynting R ;
• dans le vide interstellaire, en l'absence de charges et de courants (\vec{\jmath} = \vec{0}), il n'y a pas de création ou d'absorption d'énergie électromagnétique (terme source volumique p_v' = 0).

La relation analogue s'écrit donc :

ce qui correspond, sous forme locale, à l'équation locale de Poynting en coordonnées sphériques dans le vide :

2. Relation entre P_{\mathrm{em}}(r = D) et P_S

En régime permanent, la dérivée temporelle est nulle : \dfrac{\partial u_{\mathrm{em}}}{\partial t} = 0. Il en résulte :

La puissance rayonnée à travers une sphère de rayon r centrée sur le Soleil s'écrit :

Comme cette grandeur est indépendante de r dans le vide interstellaire, la puissance rayonnée traversant la sphère de rayon D (orbite terrestre) est égale à la puissance totale émise par la surface du Soleil P_S :

Le Soleil émet une puissance totale P_S de manière isotrope dans tout l'espace. D'après le résultat de la question Q25, en régime permanent et dans le vide, le flux électromagnétique total se conserve à travers toute sphère centrée sur le Soleil.

À la distance D, la puissance surfacique (norme du vecteur de Poynting radial) vaut :

Puisque la distance Terre-Soleil est très grande devant le rayon terrestre (D \gg R_T), le faisceau de rayons solaires arrivant au voisinage de la Terre peut être considéré comme parallèle. La Terre intercepte ainsi le rayonnement sur sa section droite apparente perpendiculaire aux rayons, correspondant à un disque d'aire :

La puissance totale P_T reçue à la face supérieure de l'atmosphère terrestre s'écrit donc :

On en déduit l'expression demandée :

Le Soleil, assimilé à un corps noir à la température uniforme T_S, émet d'après la loi de Stefan un flux d'énergie surfacique (exitance) :

La puissance totale rayonnée à travers toute sa surface S_S s'écrit donc :

D'autre part, la loi du déplacement de Wien stipule que la longueur d'onde \lambda_S correspondant au maximum d'émission spectrale vérifie :

En injectant cette expression de la température dans la loi de Stefan, on obtient bien :

1. Estimation de la puissance P_S émise par le Soleil

La puissance surfacique du rayonnement solaire au sommet de l'atmosphère est \varphi_S = 341\text{ W}\cdot\text{m}^{-2}. Elle correspond à la puissance totale reçue P_T répartie sur la surface totale de la sphère terrestre 4\pi R_T^2 :

D'après la relation établie à la question Q26 :

En égalant les deux expressions, on en déduit :

Avec D = 1{,}5\cdot 10^{11}\text{ m}, \pi \approx 3{,}14 et \varphi_S = 341\text{ W}\cdot\text{m}^{-2} :

2. Bilan énergétique au niveau du sol terrestre

Au niveau du sol (la Terre seule), la figure 7 indique les flux surfaciques suivants (en \text{W}\cdot\text{m}^{-2}) :

• Flux entrants (absorbés par la surface) :

  • Rayonnement solaire absorbé : \varphi_{\text{sol,abs}} = 161\text{ W}\cdot\text{m}^{-2} ;
  • Rayonnement infrarouge descendant (effet de serre) absorbé : \varphi_{\text{IR,desc}} = 333\text{ W}\cdot\text{m}^{-2}.

  Le flux total entrant vaut donc :

  \varphi_{\text{entrant}} = 161 + 333 = 494\text{ W}\cdot\text{m}^{-2}

• Flux sortants (émis ou cédés par la surface) :

  • Rayonnement infrarouge montant émis par le sol : \varphi_{\text{IR,sol}} = 396\text{ W}\cdot\text{m}^{-2} ;
  • Conduction et convection (chaleur sensible) : \varphi_{\text{sens}} = 17\text{ W}\cdot\text{m}^{-2} ;
  • Évapotranspiration (chaleur latente) : \varphi_{\text{lat}} = 80\text{ W}\cdot\text{m}^{-2}.

  Le flux total sortant vaut donc :

  \varphi_{\text{sortant}} = 396 + 17 + 80 = 493\text{ W}\cdot\text{m}^{-2}

La puissance surfacique nette algébrique reçue par le sol s'écrit :

3. Commentaire

• La puissance surfacique nette \varphi_{\mathrm{tot}} est très faible devant les flux mis en jeu (de l'ordre de quelques centaines de \text{W}\cdot\text{m}^{-2}), ce qui montre que la surface terrestre est globalement très proche d'un état d'équilibre thermique (régime quasi-stationnaire).
• La valeur strictement positive (\varphi_{\mathrm{tot}} \approx +1\text{ W}\cdot\text{m}^{-2}) met en évidence un forçage radiatif net excédentaire : le système accumule de l'énergie thermique, principalement stockée dans les océans, ce qui est la cause directe du réchauffement climatique contemporain.