Corrigé détaillé Mines Physique 2 MP 2026

La longueur d'onde dans le vide considérée est :

Le domaine du spectre visible s'étend conventionnellement de 0{,}4\ \mu\mathrm{m} (400\ \mathrm{nm}) à 0{,}8\ \mu\mathrm{m} (800\ \mathrm{nm}). La longueur d'onde \lambda_{0} étant strictement supérieure à 0{,}8\ \mu\mathrm{m}, ces ondes se situent dans le domaine de :

1. Construction des images géométriques A' et B'

• Le point A est une source à l'infini située sur l'axe optique. Les rayons issus de A sont parallèles à l'axe optique : ils émergent de la lentille convergente (L) en convergeant au foyer principal image F'. On a donc :

  A' = F'
• Le point B est une source à l'infini vue sous une inclinaison angulaire \epsilon/2 par rapport à l'axe optique. Les rayons issus de B forment un faisceau de rayons parallèles inclinés de \epsilon/2. En particulier, le rayon passant par le centre optique O n'est pas dévié. Ce rayon coupe le plan focal image en un foyer secondaire image noté B'.

2. Distance entre ces deux images

Dans le triangle rectangle O A' B', rectangle en A', la distance entre les deux images est donnée par :

Comme la galaxie est vue sous un angle \epsilon \ll 1, on effectue un développement limité au premier ordre : \tan(\epsilon/2) \simeq \epsilon/2. On obtient ainsi :

3. Résolution angulaire r_{\text{cap}} du capteur

Le capteur est constitué de cellules CCD distantes d'un pas a. Pour que le télescope puisse distinguer le centre A du bord B de la galaxie, la distance entre leurs deux images géométriques doit être au moins égale à la distance entre deux cellules consécutives :

La plus petite valeur de \epsilon détectable par le capteur définit la résolution angulaire r_{\text{cap}} :

La lumière traverse l'ouverture circulaire du télescope de diamètre D. Le phénomène de diffraction à l'infini (figure d'Airy) donne une tache centrale circulaire dont le demi-angle d'ouverture (rayon angulaire du premier zéro) vaut en ordre de grandeur :

L'ouverture angulaire totale (diamètre angulaire du disque central d'Airy) est donc de l'ordre de 2\theta_{\text{diff}} \sim \frac{2\lambda_0}{D}.

Dans le plan focal image de la lentille de distance focale f', la taille spatiale caractéristique (rayon) de cette tache de diffraction est :

D'après le critère de Rayleigh usuel, deux points sont discernables si la distance séparant leurs images géométriques est au moins égale au rayon de la tache de diffraction (le centre d'une tache coïncidant au plus près avec le premier minimum d'intensité de l'autre) :

En reprenant l'expression de la distance géométrique établie à la question précédente, A'B' = f'\,\frac{\epsilon}{2}, la condition de résolution s'écrit :

La résolution angulaire due à la diffraction r_{\text{diff}}, définie comme la plus petite valeur de \epsilon détectable par le télescope (conformément à la question 2), vaut donc :

La résolution angulaire globale du télescope est limitée à la fois par la diffraction et par l'échantillonnage spatial du capteur : le plus petit angle détectable est le maximum des deux limites, soit r = \max(r_{\text{diff}},\, r_{\text{cap}}).

Lorsque le diamètre D augmente, la résolution s'améliore (l'angle limite r_{\text{diff}} diminue). Cependant, dès lors que r_{\text{diff}} \le r_{\text{cap}}, la résolution globale est plafonnée par le capteur (r = r_{\text{cap}}) : augmenter davantage le diamètre D ne permet plus de discerner des détails angulaires plus fins. Le diamètre critique D_{\text{max}} est donc atteint pour :

D'après les questions précédentes, avec r_{\text{cap}} = \frac{2a}{f'} et r_{\text{diff}} = \frac{2\lambda_{0}}{D} (en ordre de grandeur) :

ce qui correspond également à l'égalité entre le rayon géométrique de la tache de diffraction f'\theta_{\text{diff}} \sim \frac{\lambda_0 f'}{D} et la taille d'un pixel a. On en déduit :

Remarque : si l'on prend en compte le facteur d'Airy 1{,}22, on obtient D_{\text{max}} = 1{,}22 \frac{\lambda_0 f'}{a}.

Application numérique : Avec \lambda_{0} = 2{,}0\,\mu\text{m} = 2{,}0\times 10^{-6}\text{ m}, f' = 10\text{ m} et a = 1{,}0\,\mu\text{m} = 1{,}0\times 10^{-6}\text{ m} :

Avec le préfacteur d'Airy, D_{\text{max}} \simeq 24\text{ m} \approx 2\times 10^1\text{ m} avec un seul chiffre significatif. On retient :

Commentaires :

• Un diamètre de 20\text{ m} pour un miroir monolithique est gigantesque et hors de portée des technologies actuelles (les plus grands miroirs monolithiques actuels atteignent environ 8\text{ m}). Même pour des miroirs segmentés (comme l'ELT de 39\text{ m}), la réalisation mécanique est extrêmement complexe et coûteuse.
• Cette limitation technologique sur la taille des télescopes uniques justifie pleinement le recours à l'interférométrie (synthèse d'ouverture par association de télescopes distants), développée dans la sous-partie suivante.
• Précisons que même si la résolution angulaire n'augmente plus au-delà de D_{\text{max}}, un télescope de diamètre supérieur collecterait davantage de lumière (flux proportionnel à D^2), ce qui conserverait un intérêt pour observer des astres de faible magnitude.

Considérons deux rayons incidents parallèles provenant d'une même source ponctuelle à l'infini dans la direction faisant un angle \theta avec le zénith (la verticale locale), atteignant respectivement les entrées des télescopes (T_1) et (T_2) séparés d'une distance b_0 le long du sol horizontal.

Les surfaces d'onde associées à la source à l'infini sont des plans perpendiculaires aux rayons incidents. Soit le plan d'onde passant par l'entrée du télescope T_1, qui coupe le rayon incident arrivant en T_2 au point H.

En amont de ce plan d'onde, les deux rayons ont parcouru le même chemin optique depuis la source. La différence de marche géométrique à l'entrée des télescopes est donc :

Le triangle T_1 H T_2 est rectangle en H. Comme les rayons font un angle \theta avec la verticale, le plan d'onde fait un angle \theta avec l'horizontale. L'angle \widehat{H T_1 T_2} vaut donc \theta. Par conséquent :

soit :

Nécessité de compenser cette différence de marche : Pour observer des interférences de contraste non nul lors de la recombinaison des deux faisceaux, la différence de marche totale \delta_{\text{tot}} doit être inférieure à la longueur de cohérence temporelle \ell_c de la lumière reçue :

En pratique, même pour une onde quasi-monochromatique isolée par un filtre interférentiel très sélectif, la bande passante \Delta\lambda impose une longueur de cohérence de l'ordre de quelques micromètres à quelques millimètres au maximum.

Or, pour une base b_0 de plusieurs centaines de mètres, la différence de marche \delta_0(\theta) atteint couramment plusieurs dizaines ou centaines de mètres, ce qui est considérablement supérieur à \ell_c (\delta_0 \gg \ell_c). Sans compensation, les trains d'ondes ne se superposeraient pas temporellement, conduisant à un brouillage complet des interférences (incohérence temporelle).

Il est donc impératif d'introduire des lignes à retard à miroirs mobiles capables de faire varier le trajet interne d'un faisceau d'une longueur \delta_0(\theta) pour garantir \delta_{\text{tot}} \approx 0 au point de recombinaison, et d'ajuster dynamiquement ce retard au cours du temps pour suivre la rotation de la Terre (qui modifie \theta).

Soient deux télescopes T_1 et T_2 distants de b_0 le long d'une ligne de base horizontale. Leurs axes optiques sont parallèles entre eux et font un angle \theta avec la verticale locale (zénith).

La distance de base équivalente b(\theta) correspond à la distance séparant les deux axes optiques, mesurée perpendiculairement à ceux-ci (c'est-à-dire dans le plan des fronts d'onde incidents).

Dans le triangle rectangle T_1 H T_2 rectangle en H :

• le segment [T_1 T_2] constitue l'hypoténuse, de longueur b_0 ;
• l'angle entre le sol horizontal et la direction perpendiculaire aux axes optiques vaut \theta (puisque les axes optiques sont tournés de \theta par rapport à la verticale, la droite normale aux axes est tournée du même angle \theta par rapport à l'horizontale) ;
• le côté adjacent à cet angle est le segment [T_1 H], dont la longueur est la distance entre les axes optiques, notée b(\theta).

On en déduit immédiatement :

Variabilité de la distance de base équivalente : Même si le système pointe continûment vers un même astre lointain, la Terre tourne sur elle-même (rotation diurne). Pour compenser ce mouvement et maintenir l'astre dans le champ de visée, la direction de pointage par rapport au repère terrestre local change : l'angle zénithal \theta(t) varie donc au cours du temps.

Par conséquent, la distance de base projetée b(\theta(t)) = b_0 \cos(\theta(t)) varie au cours de la nuit d'observation.

1. Ordre d'interférence en M(x)

Les deux ouvertures (1) et (2) constituent deux sources secondaires synchrones et en phase, situées aux positions x_1 = -b(\theta)/2 et x_2 = +b(\theta)/2, car l'onde issue de la source ponctuelle A sur l'axe optique arrive normale au plan des fentes et la différence de marche \delta_0(\theta) a été compensée.

Pour construire les rayons interférant en M(x) dans le plan focal image :

• Le rayon passant par le centre optique O de la lentille n'est pas dévié et émerge en faisant un angle \alpha \simeq \frac{x}{f'} avec l'axe optique.
• Par le principe du retour inverse de la lumière, une source ponctuelle fictive placée en M produirait un faisceau de rayons parallèles inclinés de l'angle \alpha en amont de la lentille, dont les surfaces d'onde sont des plans orthogonaux à cette direction.

La différence de marche géométrique entre les deux rayons issus de (1) et (2) et convergeant en M(x) s'écrit donc :

L'ordre d'interférence en M(x) est par conséquent :

2. Intensité lumineuse dans le plan d'observation

Les deux faisceaux sont issus de la même source ponctuelle monochromatique A, ont la même intensité I_0 et sont parfaitement cohérents. La formule de Fresnel donne l'intensité résultante :

soit :

3. Signification de I_0

La grandeur I_0 représente l'intensité lumineuse produite au foyer par un télescope unique lorsqu'un seul faisceau (1 ou 2) est ouvert.

4. Allure de la figure d'interférence

• Forme des franges : l'intensité ne dépend que de la coordonnée x selon la ligne joignant les deux fentes. Les franges d'interférence sont donc des lignes droites équidistantes, rectilignes et parallèles entre elles (orthogonales à l'axe (Ox)).

• Interfrange : la période spatiale de la fonction cosinus est :

  \boxed{i = \frac{\lambda_0 f'}{b(\theta)}}

• Contraste : avec I_{\max} = 4I_0 et I_{\min} = 0, le contraste (ou visibilité) vaut :

  \boxed{C = \frac{I_{\max} - I_{\min}}{I_{\max} + I_{\min}} = 1}

5. Dépendance en b(\theta)

• Le contraste C = 1 est indépendant de la base équivalente b(\theta) : les franges restent toujours parfaitement contrastées pour une source ponctuelle monochromatique.
• L'interfrange i est inversement proportionnel à b(\theta) : plus la distance entre les télescopes projetée sur l'onde incidente est grande, plus les franges sont fines et resserrées.

1. Ordre d'interférence pour les rayons issus de B

Les rayons issus du point source B à l'infini arrivent avec une inclinaison \epsilon/2 par rapport à l'axe optique. La différence de marche géométrique entre les deux rayons interférant en M(x) comporte :

• une différence de marche en amont des fentes due à l'inclinaison du front d'onde incident :

  \delta_{\text{amont}} = b(\theta)\sin\left(\frac{\epsilon}{2}\right) \approx b(\theta)\,\frac{\epsilon}{2} \quad (\text{car } \epsilon \ll 1)

• une différence de marche en aval des fentes, identique à celle obtenue pour A :

  \delta_{\text{aval}} = \frac{b(\theta)\,x}{f'}

La différence de marche totale pour la source B s'écrit donc :

L'ordre d'interférence p_B(x) = \frac{\delta_B(x)}{\lambda_0} vaut ainsi :

2. Superposition des figures d'interférence

Les points A et B sont deux régions distinctes de la galaxie (source primaire étendue). Les atomes qui y émettent de la lumière le font de manière indépendante, avec des trains d'ondes décorrélés et des déphasages aléatoires : les sources A et B sont mutuellement incohérentes.

Le terme d'interférence croisée entre les ondes issues de A et celles issues de B a donc une moyenne temporelle nulle sur le temps d'intégration du détecteur. L'intensité totale résultante est la somme des intensités produites individuellement par chaque source :

La figure observée est ainsi la superposition en intensité des deux figures d'interférence.

3. Valeurs de b(\theta) correspondant au brouillage des franges

L'intensité issue de la source B s'écrit :

La figure d'interférence due à B est décalée spatialement par rapport à celle de A d'une quantité :

Il y a brouillage des franges (annulation du contraste résultant) lorsque les maxima d'intensité du système de franges issu de A coïncident avec les minima d'intensité du système issu de B. Cela correspond à un décalage spatial égal à un demi-entier d'interfrange i = \frac{\lambda_0 f'}{b(\theta)} :

ce qui équivaut à :

On en déduit les valeurs de la base équivalente donnant lieu à un brouillage :

D'après la question Q8, la condition de brouillage des franges s'écrit :

En situation de brouillage, les figures d'interférence issues de A et de B sont en quadrature de phase spatiale (un maximum de l'une coïncide avec un minimum de l'autre). Les deux sources étant de même intensité, l'intensité totale est uniforme :

Le contraste C = \frac{I_{\max}-I_{\min}}{I_{\max}+I_{\min}} s'annule donc pour ces valeurs.

La plus petite valeur non nulle de b(\theta) réalisant cette annulation est obtenue pour k = 0 :

Mesure de la taille d'une galaxie :

1. Au cours de la nuit, le suivi de la galaxie fait varier l'angle zénithal \theta(t) du fait de la rotation terrestre, ce qui modifie continûment la base équivalente b(\theta) = b_0 \cos\theta.
2. En enregistrant l'intensité lumineuse résultante, on repère la première valeur de la base équivalente pour laquelle le contraste s'annule : b(\theta) = b_{\min}.

3. On en déduit l'angle sous lequel est vue la galaxie (son diamètre angulaire) :

   \epsilon = \frac{\lambda_0}{b_{\min}}
4. En notant d la distance de la galaxie au télescope (supposée connue), la taille physique transverse (diamètre) L de la galaxie est obtenue au premier ordre en \epsilon (\epsilon \ll 1) par :

D'après la question Q9, la condition d'annulation du contraste pour une galaxie vue sous un angle \epsilon s'écrit :

La base équivalente b(\theta) étant bornée par b_{0} (0 \le b(\theta) \le b_{0}), la plus petite séparation angulaire \epsilon_{\min} détectable par cette méthode, c'est-à-dire la résolution angulaire r_{\text{double}}, correspond à la valeur maximale accessible pour la base, soit b(\theta) = b_{0} :

D'après la question Q3, un télescope unique d'ouverture circulaire de diamètre D présente une résolution angulaire due à la diffraction de l'ordre de :

Pour D = b_{0}, on a r_{\text{diff}} \sim \frac{\lambda_{0}}{b_{0}} = r_{\text{double}}. L'association des deux télescopes permet donc d'atteindre le même pouvoir séparateur (résolution spatiale angulaire) qu'un télescope unique de diamètre fictif D = b_{0}.

Application numérique : Avec \lambda_{0} = 2{,}0\ \mu\mathrm{m} = 2{,}0 \times 10^{-6}\ \mathrm{m} et b_{0} = 1\ \mathrm{km} = 1{,}0 \times 10^{3}\ \mathrm{m} :

La sensibilité photométrique d'un instrument d'observation dépend de sa capacité à collecter la lumière, mesurée par la surface totale de sa pupille d'entrée :

• Un télescope unique géant de diamètre b_{0} posséderait une surface collectrice :

  S_{\text{unique}} = \frac{\pi b_{0}^2}{4}

• L'association des deux télescopes de diamètre D présente une surface collectrice totale :

  S_{\text{double}} = 2 \times \frac{\pi D^2}{4}

Le rapport des flux lumineux collectés s'écrit donc :

Or, le diamètre d'un télescope individuel D (de l'ordre de quelques mètres à une dizaine de mètres) est très inférieur à la distance de base b_{0} (pouvant atteindre le kilomètre, soit D \ll b_{0}).

Le centre de la galaxie étant aligné avec l'axe optique (\alpha=0) et son bord étant à l'angle \epsilon/2, la galaxie s'étend angulairement sur l'intervalle \left[-\frac{\epsilon}{2}, \frac{\epsilon}{2}\right]. L'intensité totale en M(x) s'obtient par intégration des contributions incohérentes :

Le premier terme vaut immédiatement \Gamma \epsilon. Pour le terme oscillant, on intègre par rapport à \alpha :

En utilisant la relation \sin(p) - \sin(q) = 2 \sin\left(\frac{p-q}{2}\right) \cos\left(\frac{p+q}{2}\right) avec p, q = \frac{2\pi b(\theta) x}{\lambda_0 f'} \pm \frac{\pi b(\theta)\epsilon}{\lambda_0} :

En introduisant la fonction sinus cardinal \operatorname{sinc}(u) = \frac{\sin u}{u}, on obtient :

L'intensité lumineuse oscille spatialement autour de sa valeur moyenne I_{\text{moy}} = \Gamma \epsilon. Le contraste (ou visibilité des franges) s'écrit :

D'où l'expression du contraste en fonction de la base b(\theta) :

Commentaire : Pour b(\theta) = 0, le contraste est maximal (C=1). Il décroît puis s'annule une première fois pour b(\theta) = \frac{\lambda_0}{\epsilon}. Au-delà, il présente des rebonds secondaires fortement atténués : le premier lobe secondaire culmine à seulement \frac{1}{3\pi/2} \approx 0{,}21 (soit 21\,\%), puis les extrema suivants tendent rapidement vers 0.

Distinction entre une galaxie et une étoile double :

• Pour une étoile double (deux sources ponctuelles discrètes), l'intensité résulte de la somme de deux cosinus, ce qui conduit à un contraste modulé selon C(b) = \left|\cos\left(\frac{\pi b(\theta)\epsilon}{2\lambda_0}\right)\right| : le contraste est périodique et remonte périodiquement à la valeur maximale 1.
• Pour une galaxie (source étendue continue), le contraste s'amortit en sinus cardinal et ne remonte jamais à 1 après sa première annulation.

1. Schéma du dispositif équivalent

Le réseau de N télescopes est modélisé par N fentes régulièrement espacées de la distance de base équivalente b(\theta), placées dans le plan focal objet d'une lentille convergente (L) de distance focale f', le plan d'observation étant le plan focal image de cette lentille :

2. Équivalence avec un télescope de diamètre infini

Considérons une onde plane issue d'une direction faisant un angle \alpha avec l'axe optique. Le déphasage entre deux télescopes consécutifs quelconques vaut :

Par interférence à N ondes de même amplitude, l'intensité totale résulte de la fonction d'interférence à N ondes (analogue à un réseau de diffraction) :

• Lorsque N \gg 1, l'intensité devient quasi nulle partout, sauf aux pics principaux d'interférence où la condition de phase est strictement respectée :

  \Delta\phi = 2p\pi \quad (p \in \mathbb{Z})

• La largeur angulaire du pic principal d'ordre zéro vaut :

  \delta\alpha \sim \frac{\lambda_0}{N b(\theta)}

  Cette largeur correspond à la diffraction par une ouverture de taille globale D_{\text{tot}} \simeq N b(\theta).

• Quand N \to +\infty, l'envergure globale du réseau tend vers l'infini (D_{\text{tot}} \to +\infty), si bien que la largeur angulaire du pic tend vers zéro :

  \lim_{N \to +\infty} \delta\alpha = 0

L'image d'une source ponctuelle devient alors un pic infiniment fin (distribution de Dirac), ce qui supprime totalement la tache de diffraction. Tout se passe donc, en termes de pouvoir de résolution angulaire, comme si l'on disposait d'un télescope unique d'ouverture infiniment grande.

On se place dans le référentiel galactocentrique lié au centre T de la galaxie, supposé galiléen. L'étoile E de masse M_\odot, assimilée à un point matériel, est soumise à la seule force de gravitation exercée par le trou noir ponctuel T de masse M_T :

où \overrightarrow{TM} = r\,\widehat{u}_r dans la base polaire du plan du disque (T, XY).

1. Nature uniforme du mouvement

La force gravitationnelle étant centrale de centre T, elle est orthogonale à chaque instant au vecteur vitesse \vec{v} = v\,\widehat{u}_\theta (la trajectoire étant circulaire de rayon r fixé, \dot{r} = 0). Sa puissance est donc identiquement nulle :

D'après le théorème de la puissance cinétique appliqué à l'étoile :

La norme de la vitesse étant constante le long de la trajectoire circulaire, le mouvement de l'étoile est circulaire et uniforme.

2. Expressions de v(r) et de la période \tau

Dans la base polaire (\widehat{u}_r, \widehat{u}_\theta), l'accélération d'un point en mouvement circulaire uniforme de rayon r est purement centripète :

Le principe fondamental de la dynamique appliqué à l'étoile E, M_\odot \vec{a} = \vec{F}, s'écrit en projection selon -\widehat{u}_r :

On en déduit l'expression de la vitesse orbitale :

Le mouvement étant uniforme sur un cercle de périmètre 2\pi r, la période \tau vérifie 2\pi r = v \tau, d'où la troisième loi de Kepler :

3. Cas du Soleil

Le Soleil est situé à une distance r = 8\text{ kpc} = 8 \times 10^3 \times 3 \times 10^{16}\text{ m} = 2{,}4 \times 10^{20}\text{ m}. La masse du trou noir vaut :

Calculons la vitesse orbitale correspondante :

Ce qui donne, avec 1 chiffre significatif :

Cette vitesse théorique est deux ordres de grandeur plus faible que les 200\text{ km}\cdot\text{s}^{-1} observés (v \ll v_{\text{obs}}). Par conséquent, le trou noir central seul ne peut absolument pas être la cause du mouvement de rotation du Soleil : la majeure partie de la masse intérieure à l'orbite solaire provient d'autres composantes (matière du bulbe, disque, et matière noire).

Rappelons les expressions du champ électrostatique \vec{E} créé en un point \vec{r} = r\,\widehat{u}_r par une charge ponctuelle q située à l'origine, et du champ gravitationnel \vec{g} créé par une masse ponctuelle m située à l'origine :

Ces deux champs dérivent d'une force en 1/r^2 à symétrie sphérique. On établit ainsi les correspondances de l'analogie électrostatique :

En électrostatique, le théorème de Gauss à travers une surface fermée S orientée vers l'extérieur s'énonce :

où Q_{\text{int}} désigne la charge contenue dans le volume délimité par S.

En appliquant les correspondances établies (Q_{\text{int}} \to M_{\text{int}} et 1/\varepsilon_0 \to -4\pi G), on en déduit directement le théorème de Gauss gravitationnel :

1. Symétries et invariances du champ gravitationnel
La distribution de matière du bulbe présente une symétrie sphérique de centre T (le disque étant assimilé au vide) :

• Tout plan contenant T et le point M est un plan de symétrie de la distribution : le champ \vec{g}(M) est contenu dans l'intersection de tous ces plans, il est donc radial :

  \vec{g}(M) = g(r)\,\widehat{u}_r
• La distribution est invariante par rotation autour de T selon \theta et \varphi, donc la composante radiale ne dépend que de r : g(r).

2. Application du théorème de Gauss
On choisit pour surface de Gauss S la sphère de centre T et de rayon r. Le vecteur unitaire normal sortant est \widehat{n} = \widehat{u}_r, d'où :

D'après le théorème de Gauss (question Q15) :

Calculons la masse intérieure M_{\text{int}}(r) selon le domaine :

• Pour r \le R_b (dans le bulbe de densité volumique uniforme \mu_0) :

  M_{\text{int}}(r) = \mu_0 \times \frac{4}{3}\pi r^3 = M_b \left(\frac{r}{R_b}\right)^3

  puisque M_b = \mu_0 \frac{4}{3}\pi R_b^3. Il vient :

  \boxed{ \vec{g}(r) = -\frac{G M_b\,r}{R_b^3}\,\widehat{u}_r \quad (r \le R_b) }

• Pour R_b \le r \le R_d (dans le disque, où la matière est négligée) :

  M_{\text{int}}(r) = M_b

  Il vient immédiatement :

  \boxed{ \vec{g}(r) = -\frac{G M_b}{r^2}\,\widehat{u}_r \quad (R_b \le r \le R_d) }

3. Vitesse orbitale v_0(r)
Dans le référentiel galactocentrique supposé galiléen, le principe fondamental de la dynamique appliqué à une étoile de masse m_* soumise à la seule force de gravitation s'écrit :

Pour une trajectoire circulaire de rayon r parcourue à la vitesse v_0, l'accélération normale s'écrit \vec{a} = -\frac{v_0^2}{r}\,\widehat{u}_r, d'où :

• Pour r \le R_b :

  \frac{v_0^2}{r} = \frac{G M_b\,r}{R_b^3} \implies \boxed{v_0(r) = \sqrt{\frac{G M_b}{R_b^3}}\,r}

• Pour R_b \le r \le R_d :

  \frac{v_0^2}{r} = \frac{G M_b}{r^2} \implies \boxed{v_0(r) = \sqrt{\frac{G M_b}{r}}}

La vitesse est continue en r = R_b et vaut v_0(R_b) = \sqrt{\frac{G M_b}{R_b}}.

4. Allure de la courbe v_0(r)
La vitesse croît linéairement de 0 à sa valeur maximale en R_b, puis décroît en 1/\sqrt{r}.

5. Domaine suivant les lois de Kepler
Les lois de Kepler s'appliquent à un champ gravitationnel newtonien (en 1/r^2) généré par une masse centrale ponctuelle ou à symétrie sphérique vue depuis l'extérieur. C'est le cas pour le domaine :

En effet, pour R_b \le r \le R_d, la troisième loi de Kepler est bien vérifiée :

Dans le bulbe (r \le R_b), le champ est linéaire en r (champ de type oscillateur harmonique) et la vitesse angulaire \omega = v_0/r est constante (rotation en bloc) : les lois de Kepler ne s'y appliquent pas.

1. Forme locale du théorème de Gauss

D'après la question Q15, le théorème de Gauss gravitationnel sous forme intégrale pour une surface fermée S délimitant un volume V s'écrit :

En exprimant la masse intérieure M_{\text{int}} = \iiint_V \mu(M)\,\mathrm{d}V et en utilisant le théorème de Green-Ostrogradski :

Cette égalité étant vérifiée pour tout volume V, on obtient la relation locale en tout point M de l'espace :

2. Détermination de la masse volumique µ(r) dans le halo

Dans le halo, le bulbe n'exerce aucune action gravitationnelle selon le modèle proposé. Pour une étoile en mouvement circulaire uniforme de rayon r et de vitesse constante v_1, l'accélération est purement centripète :

La seconde loi de Newton appliquée à une étoile de masse m_* soumise uniquement au champ gravitationnel \vec{g} donne m_* \vec{a} = m_* \vec{g}, d'où :

Le champ étant purement radial et ne dépendant que de r, l'opérateur divergence en coordonnées sphériques (donné dans le formulaire) se réduit à :

En identifiant avec la forme locale \operatorname{div}\vec{g} = -4\pi G \mu(r), il vient directement :

3. Analyse dimensionnelle

Cherchons une loi de la forme \mu \sim v_1^\alpha G^\beta r^\gamma. Les dimensions fondamentales des grandeurs en jeu sont :

• [\mu] = \mathrm{M}\cdot\mathrm{L}^{-3}
• [v_1] = \mathrm{L}\cdot\mathrm{T}^{-1}
• [r] = \mathrm{L}
• D'après les données de l'énoncé (G en \mathrm{m}^3\cdot\mathrm{kg}^{-1}\cdot\mathrm{s}^{-2}), [G] = \mathrm{M}^{-1}\cdot\mathrm{L}^3\cdot\mathrm{T}^{-2}

L'équation aux dimensions s'écrit :

Par identification :

On retrouve bien :

le préfacteur sans dimension étant ici \frac{1}{4\pi}.

Le halo de matière noire possède une symétrie sphérique et s'étend de r = R_b à r = R_h. En découpant le halo en coquilles sphériques d'épaisseur \mathrm{d}r et de volume \mathrm{d}V = 4\pi r^2\,\mathrm{d}r, et en utilisant l'expression de \mu(r) issue de la question Q17, sa masse s'écrit :

D'où l'expression littérale de la masse de matière noire :

Puisque R_b = 2\text{ kpc} \ll R_h = 100\text{ kpc}, on a R_h - R_b \simeq R_h.

Effectuons l'application numérique avec :

• v_1 = 200\text{ km}\cdot\text{s}^{-1} = 2 \times 10^5\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} ;
• R_h - R_b = 98\text{ kpc} \simeq 100\text{ kpc} = 10^5\text{ pc} = 10^5 \times 3 \times 10^{16} = 3 \times 10^{21}\text{ m} ;
• G = 6{,}7 \times 10^{-11}\text{ m}^3\cdot\text{kg}^{-1}\cdot\text{s}^{-2} ;
• M_\odot \simeq 2 \times 10^{30}\text{ kg}.

On obtient :

En unités de masses solaires :

Avec un chiffre significatif :

Pourcentage de la masse galactique : La masse de matière visible est dominée par celle du bulbe, M_b = 2 \times 10^{11}\ M_\odot (le trou noir central ayant une masse M_T = 4 \times 10^6\ M_\odot tout à fait négligeable).

La masse totale de la galaxie est donc :

La fraction de masse sous forme de matière noire est :

Le graphe de la figure 6 représente \log(\dot{m}) en fonction de \log(m) en échelle logarithmique décimale. La séquence principale est modélisée par une droite d'équation :

ce qui correspond bien à la loi de puissance :

Sur la figure 6, la droite moyenne passe de façon remarquable par les points :

• \log(m_1) = 10{,}0 où \log(\dot{m}_1) = 0{,}0 ;
• \log(m_2) = 12{,}0 où \log(\dot{m}_2) = 1{,}6.

On en déduit la pente \beta_0 :

La constante \alpha_0 vérifie alors :

En conservant les unités du graphe (m en M_\odot et \dot{m} en M_\odot\cdot\mathrm{an}^{-1}), l'équation différentielle s'écrit :

L'efficacité de formation d'étoiles se mesure par le taux spécifique de formation d'étoiles (quantité de nouvelles étoiles formées par unité de masse et par an) :

Comme \beta_0 < 1, l'exposant \beta_0 - 1 < 0 : le taux spécifique \frac{\dot{m}}{m} est une fonction strictement décroissante de la masse m. Une galaxie peu massive produit donc proportionnellement plus de masse stellaire par rapport à sa propre masse qu'une galaxie massive, ce qui justifie une plus grande efficacité de création.

Pour que ce ne soit plus le cas (c'est-à-dire pour que l'efficacité soit constante ou croissante avec la masse), il faudrait que l'exposant soit positif ou nul, soit :

D'après la question précédente, l'évolution de la masse stellaire suit la loi de la séquence principale :

avec \beta_0 \simeq 0{,}8 \neq 1. Par séparation des variables et intégration entre t = 0 (où m = m_0) et t :

En factorisant par m_0^{1-\beta_0}, on introduit naturellement la durée caractéristique :

La masse s'exprime alors sous la forme :

Comme \beta_0 \simeq 0{,}8, on a \frac{1}{1-\beta_0} \simeq 5 > 1.

Régimes limites :

• Régime aux temps courts (t \ll \tau_0) : un développement limité au premier ordre donne :

  m(t) \underset{t \ll \tau_0}{\simeq} m_0 \left( 1 + \frac{1}{1-\beta_0}\frac{t}{\tau_0} \right) = m_0 + \alpha_0 m_0^{\beta_0} t = m_0 + \dot{m}(0)\,t

  La croissance est linéaire : le taux de formation d'étoiles reste quasiment constant, égal à son taux initial.

• Régime aux temps longs (t \gg \tau_0) :

  m(t) \underset{t \gg \tau_0}{\simeq} m_0 \left(\frac{t}{\tau_0}\right)^{\frac{1}{1-\beta_0}} \propto t^5

  La masse suit une loi de puissance super-linéaire (t^5) : la croissance s'accélère considérablement avec le temps.

Allure et commentaire : La dérivée première \dot{m}(t) = \alpha_0 m^{\beta_0} > 0 et la dérivée seconde \ddot{m}(t) = \alpha_0^2 \beta_0 m^{2\beta_0-1} > 0 sont strictement positives : la fonction m(t) est strictement croissante et convexe.

Physiquement, une telle croissance accélérée ne peut pas se poursuivre indéfiniment : elle est nécessairement freinée à terme par l'épuisement des réserves de gaz interstellaire froid au sein de la galaxie.

Pour z = 2 > 1, la relation approchée s'écrit :

On en déduit :

Soit l'expression littérale :

Convertissons la constante de Hubble H_0 en unités du Système International :

En utilisant la conversion 1\ \mathrm{an} = 3 \times 10^7\ \mathrm{s}, il vient :

Le temps de Hubble associé vaut ainsi :

On calcule alors la durée \Delta t :

L'énoncé demandant les applications numériques avec un seul chiffre significatif :

La figure 7 présente, en coordonnées logarithmiques décimales, la séquence principale à z = 0 et à z = 2. Les deux séries de points sont sensiblement parallèles.

Pour une masse stellaire fixée, par exemple à \log(m) = 10{,}0 (m = 10^{10}\,M_\odot) :

• à z = 0 : \log(\dot{m}) \simeq 0{,}0 ;
• à z = 2 : \log(\dot{m}) \simeq 1{,}45 \pm 0{,}05.

Le décalage vertical est donc :

Le rapport des taux de formation d'étoiles à masse galactique donnée vaut ainsi :

Avec un chiffre significatif :

Le taux de formation d'étoiles a ainsi été divisé par un facteur d'environ 30 entre z = 2 (il y a environ 10\text{ milliards d'années}) et z = 0 (aujourd'hui).

Explication physique : Conformément aux mécanismes introduits en préambule :

• Épuisement du réservoir de matière première : Les étoiles consomment le gaz froid interstellaire (hydrogène et hélium) pour se former. Au fil des milliards d'années, une fraction croissante de ce gaz se retrouve piégée dans des étoiles de faible masse ou des résidus compacts (naines blanches, étoiles à neutrons, trous noirs), réduisant le réservoir disponible.
• Diminution de l'accrétion cosmologique : À z = 2, l'Univers était beaucoup plus dense (facteur (1+z)^3 = 27 sur la densité volumique moyenne). L'alimentation des galaxies en gaz frais par les filaments de la « toile cosmique » était alors bien plus intense qu'à l'époque actuelle, où l'expansion cosmique a raréfié la matière intergalactique.