Feuille d'entraînement : Diffraction et réseaux

Corrigés

1. Exercice 1CentraleSupélec Physique-Chimie 1 MP 2025, Q1

   Considérons deux motifs réflecteurs successifs du réseau, situés en M_1 et M_2 sur l'axe (Ox), distants de M_1 M_2 = L.

   • Sur le trajet incident : le plan d'onde incident atteint d'abord le motif M_1. Le motif M_2 est atteint avec un retard géométrique correspondant au trajet supplémentaire H_1 M_2, où H_1 est le projeté orthogonal de M_1 sur le rayon incident passant par M_2. Dans le triangle rectangle M_1 H_1 M_2, l'angle en M_1 vaut i, d'où :

     \delta_{\mathrm{inc}} = M_1 M_2 \sin i = L \sin i.

   • Sur le trajet réfléchi (rétrodiffusé) : l'onde diffusée par M_2 repartant vers l'infini dans la direction repérée par l'angle \theta (vers l'arrière, du même côté de la normale que le rayon incident), le front d'onde réfléchi associé à M_2 doit encore parcourir une distance supplémentaire H_2 M_2 par rapport à celui issu de M_1, où H_2 est le projeté orthogonal de M_1 sur le rayon réfléchi passant par M_2. Dans le triangle rectangle M_1 H_2 M_2, l'angle en M_1 vaut \theta, d'où :

     \delta_{\mathrm{r\acute{e}fl}} = M_1 M_2 \sin \theta = L \sin \theta.

   La différence de marche totale \delta entre les ondes diffusées par deux motifs successifs s'écrit donc :

   \boxed{\delta = L(\sin\theta + \sin i)}

   Résultat

   $$\delta =L(\sin \theta +\sin i)$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

2. Exercice 2CentraleSupélec Physique-Chimie 1 MP 2025, Q2

   La surface de l'eau est modélisée par un grand nombre d'éléments réflecteurs identiques, régulièrement espacés avec un pas spatial L.

   D'après la question Q1, le retard de marche entre les ondes diffusées par deux motifs consécutifs s'écrit :

   \delta = L(\sin \theta + \sin i)

   Lorsque cette différence de marche est un multiple entier de la longueur d'onde :

   \boxed{\exists p \in \mathbb{Z}, \quad L(\sin \theta + \sin i) = p\lambda}

   le déphasage entre deux motifs successifs vaut \Delta \varphi = \frac{2\pi}{\lambda}\delta = 2p\pi. Toutes les ondes issues des différents réflecteurs arrivent alors en phase : les interférences sont totalement constructives.

   Le grand nombre de motifs éclairés par le faisceau radar confère à ces maxima d'interférence une finesse et une intensité considérables (pics principaux du réseau), tandis que l'intensité résultante est quasi nulle dans les autres directions par interférence destructive. L'onde diffusée est donc particulièrement intense dans ces directions privilégiées.

   Résultat

   $$\exists p\in \mathbb{Z},L(\sin \theta +\sin i)=p\lambda$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

3. Exercice 3CCINP Physique MP 2024, Q2

   a) Ouverture angulaire à partir des relations d'incertitude de Heisenberg

   Considérons la direction transverse Ox, perpendiculaire à l'axe de propagation Oz du faisceau. En amont du diaphragme, les photons se propagent selon Oz avec une quantité de mouvement transverse nulle (p_x = 0).

   Le passage à travers le trou circulaire de rayon r (diamètre 2r) localise spatialement chaque photon dans le plan de l'écran, avec une incertitude spatiale de l'ordre de la dimension du trou :

   \Delta x \sim 2r

   D'après l'inégalité d'indétermination spatiale de Heisenberg, la composante de quantité de mouvement p_x vérifie :

   \Delta x \cdot \Delta p_x \ge \frac{\hbar}{2}

   Cette localisation spatiale impose une indétermination minimale non nulle sur la quantité de mouvement transverse :

   \Delta p_x \ge \frac{\hbar}{2 \Delta x} > 0

   Les photons peuvent donc acquérir une composante transverse de quantité de mouvement p_x \neq 0, ce qui dévie leur trajectoire par rapport à l'axe Oz : il y a donc nécessairement une ouverture angulaire du faisceau.

   b) Ordre de grandeur de l'ouverture angulaire

   Pour des angles d'ouverture faibles (\theta \ll 1), la déviation angulaire s'exprime par le rapport des composantes de la quantité de mouvement :

   \theta \approx \frac{\Delta p_x}{p_z}

   D'après la question Q1.a, la quantité de mouvement totale selon l'axe est p_z = p = \frac{h}{\lambda}. En prenant en ordre de grandeur \Delta x \cdot \Delta p_x \sim h (ou \Delta p_x \sim \frac{h}{2r} avec \Delta x \sim 2r) :

   \theta \sim \frac{\frac{h}{\Delta x}}{\frac{h}{\lambda}} = \frac{\lambda}{\Delta x}

   En prenant \Delta x \sim 2r (diamètre du trou) :

   \boxed{\theta \sim \frac{\lambda}{2r}}

   (On peut également écrire \theta \sim \frac{\lambda}{r} selon que l'incertitude est prise égale au rayon ou au diamètre).

   Commentaires :

   • Plus l'ouverture est étroite (r \to 0), plus l'étalement angulaire \theta est important.
   • Lorsque la taille de l'ouverture est très grande devant la longueur d'onde (r \gg \lambda), l'angle \theta devient négligeable : on retrouve la propagation rectiligne de l'optique géométrique.

   Ce phénomène est la diffraction.

   Résultat

   $$\theta \sim \frac{\lambda }{2r}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

4. Exercice 4CCINP Physique MP 2024, Q10

   a) Schéma du système optique et marche d'un rayon

   La source ponctuelle S est au foyer objet de la première lentille L_1 : elle produit un faisceau parallèle (onde plane en incidence normale sur le réseau). La lentille L_2 focalise les rayons diffractés sous un même angle \theta en un point M(x,y,f') de son plan focal image, avec \theta \approx x/f' dans l'approximation paraxiale.

   b) Établissement de la fonction intensité I(\varphi)

   Chaque fente se comporte comme une source secondaire émettant une onde synchrone d'amplitude s_0. Pour un point M d'abscisse x, deux fentes successives distantes de a présentent une différence de marche \delta = a\sin\theta \approx \frac{ax}{f'}, d'où un déphasage uniforme :

   \varphi = \frac{2\pi}{\lambda}\delta = 2\pi\frac{ax}{\lambda f'}

   L'amplitude complexe résultante au point M s'écrit comme la somme d'une suite géométrique de raison \mathrm{e}^{-j\varphi} :

   \begin{aligned} \underline{s}(M) &= \sum_{k=0}^{N-1} s_0\,\mathrm{e}^{-j k\varphi} = s_0\,\frac{1 - \mathrm{e}^{-j N\varphi}}{1 - \mathrm{e}^{-j\varphi}} \\ &= s_0\,\frac{\mathrm{e}^{-j N\varphi/2}\left(\mathrm{e}^{j N\varphi/2} - \mathrm{e}^{-j N\varphi/2}\right)}{\mathrm{e}^{-j\varphi/2}\left(\mathrm{e}^{j\varphi/2} - \mathrm{e}^{-j\varphi/2}\right)} = s_0\,\mathrm{e}^{-j(N-1)\varphi/2}\,\frac{\sin\left(N\frac{\varphi}{2}\right)}{\sin\left(\frac{\varphi}{2}\right)} \end{aligned}

   L'intensité étant proportionnelle au carré du module de l'amplitude (I_0 \propto s_0^2), on obtient :

   \begin{aligned} I(\varphi) = I_0 \left(\frac{\sin\left(N\frac{\varphi}{2}\right)}{\sin\left(\frac{\varphi}{2}\right)}\right)^2 = N^2 I_0 \left(\frac{\sin\left(N\frac{\varphi}{2}\right)}{N\sin\left(\frac{\varphi}{2}\right)}\right)^2 \end{aligned}

   \boxed{I(\varphi) = N^2 I_0 \left(\frac{\sin N\frac{\varphi}{2}}{N\sin\frac{\varphi}{2}}\right)^2 = N^2 I_0 f(\varphi)^2}

   c) Zéros et maxima de la fonction intensité

   • Annulation du numérateur : Le numérateur s'annule lorsque :

     \sin\left(N\frac{\varphi}{2}\right) = 0 \iff N\frac{\varphi}{2} = p\pi \iff \varphi = \frac{2p\pi}{N}, \quad p \in \mathbb{Z}

   • Maxima principaux d'intensité : Lorsque le dénominateur s'annule également, c'est-à-dire pour \sin(\varphi/2) = 0, soit \varphi = 2m\pi avec m \in \mathbb{Z} (ce qui correspond à p = mN) :

     \lim_{\varphi \to 2m\pi} \frac{\sin(N\varphi/2)}{\sin(\varphi/2)} = \pm N \implies I(2m\pi) = N^2 I_0

     Les maxima principaux d'intensité sont donc obtenus pour :

     \boxed{\varphi_{\max} = 2m\pi, \quad m \in \mathbb{Z}}

   • Zéros d'intensité : Les zéros d'intensité correspondent aux zéros du numérateur qui ne sont pas des zéros du dénominateur, c'est-à-dire pour p non multiple de N :

     \boxed{\varphi_{\text{zéro}} = \frac{2p\pi}{N}, \quad p \in \mathbb{Z} \setminus N\mathbb{Z}}

   • Nombre de zéros entre deux maxima successifs : Entre le maximum d'ordre m=0 (\varphi=0) et le maximum d'ordre m=1 (\varphi=2\pi), l'entier p prend les valeurs 1, 2, \dots, N-1. Il existe donc :

     \boxed{N-1 \text{ zéros d'intensité entre deux maxima successifs}}

   d) Rapport d'intensité H

   L'intensité d'une frange principale la plus brillante vaut I_{\max} = N^2 I_0, alors qu'une fente seule produit au même point l'intensité I_0. Le rapport demandé vaut donc :

   \boxed{H = \frac{I_{\max}}{I_0} = N^2}

   e) Largeur \delta\varphi des franges brillantes

   La largeur d'une frange brillante principale est classiquement définie par l'écart angulaire en phase entre les deux premiers zéros d'intensité qui l'encadrent (autour de \varphi=0, ces zéros sont en \varphi = \pm \frac{2\pi}{N}) :

   \delta\varphi = \frac{2\pi}{N} - \left(-\frac{2\pi}{N}\right) = \frac{4\pi}{N}

   \boxed{\delta\varphi = \frac{4\pi}{N}}

   (Remarque : si l'on définit la demi-largeur au premier zéro, on obtient \delta\varphi/2 = \frac{2\pi}{N}.)

   f) Commentaire et généralisation de la question Q9.e

   À la question Q9.e, le passage de N=2 à N=3 fentes montrait un rehaussement de la brillance (I_{\max} = 9I_0 au lieu de 4I_0) et un rétrécissement des franges. Pour N fentes quelconques :

   • La brillance de crête des maxima principaux varie en N^2 : la lumière est fortement concentrée.
   • La largeur des pics varie en 1/N : plus N est grand, plus les franges d'interférence sont fines et piquées.

   Pour un réseau comportant plusieurs milliers de traits (N \gg 1), les franges brillantes deviennent des raies spectrales extrêmement lumineuses et étroites, séparées par de larges plages sombres, ce qui confère au réseau un pouvoir de résolution spectral exceptionnel.

   Résultat

   $$I(\phi )=N^2{I}_0{\left(\frac{\sin N\frac{\phi }{2}}{N\sin \frac{\phi }{2}}\right)}^2=N^2{I}_{0}f(\phi {)}^2$$

   $${\phi }_{\max }=2m\pi ,m\in \mathbb{Z}$$

   $${\phi }_{\text{zeˊro}}=\frac{2p\pi }{N},p\in \mathbb{Z}\setminus N\mathbb{Z}$$

   $$N-1\text{ zeˊros d’intensiteˊ entre deux maxima successifs}$$

   $$H=\frac{I_{\max }}{I_0}=N^2$$

   $$\delta \phi =\frac{4\pi }{N}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

5. Exercice 5CCINP Physique MP 2024, Q11

   1. Justification de la formule du réseau sans calcul d'intensité

   En incidence normale, le front d'onde incident est parallèle au plan du réseau : toutes les fentes sont donc éclairées en phase.

   Considérons deux fentes consécutives distantes de a. Dans une direction faisant un angle \theta avec l'axe optique normal au réseau (Oz), le front d'onde émergent est orthogonal aux rayons diffractés. La différence de marche géométrique entre les rayons émis par deux fentes adjacentes vaut :

   \delta = a \sin\theta

   Toutes les ondes issues des différentes fentes interfèrent de manière totalement constructive si et seulement si les vibrations lumineuses sont en phase, soit :

   \delta = n \lambda \quad (n \in \mathbb{Z})

   On en déduit directement la relation :

   \boxed{\sin\theta_n = n \frac{\lambda}{a}}

   2. Dénomination de l'entier n

   L'entier relatif n est appelé l'ordre d'interférence (ou ordre de diffraction).

   3. Modification en incidence oblique

   Si l'onde incidente arrive sur le réseau sous un angle d'incidence i par rapport à la normale (mesuré dans le plan (xOz) avec la même convention d'orientation algébrique que \theta), les fentes ne sont plus éclairées en phase :

   • la différence de marche en amont du réseau vaut -a \sin i ;
   • la différence de marche en aval vaut +a \sin\theta.

   La différence de marche totale entre deux fentes consécutives est donc :

   \delta = a(\sin\theta - \sin i)

   La condition de maxima principaux d'interférence s'écrit alors :

   \boxed{\sin\theta_n - \sin i = n \frac{\lambda}{a}} \quad (n \in \mathbb{Z})

   Résultat

   $$\sin {\theta }_n=n\frac{\lambda }{a}$$

   $$\sin {\theta }_n-\sin i=n\frac{\lambda }{a}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

6. Exercice 6CentraleSupélec Physique-Chimie 2 MP 2024, Q40

   Considérons deux fentes consécutives du réseau G, séparées d'une distance a, éclairées en incidence normale par le faisceau moléculaire incident. Les ondes de de Broglie associées aux molécules sont alors émises en phase au niveau de chaque fente.

   Dans une direction repérée par l'angle \theta par rapport à la normale au plan du réseau, la différence de marche \delta entre les ondes issues de deux fentes successives s'écrit géométriquement :

   \delta = a \sin\theta

   Le déphasage correspondant entre ces deux ondes vaut :

   \Delta\phi = \frac{2\pi}{\lambda_B} \delta = \frac{2\pi}{\lambda_B} a \sin\theta

   Les interférences entre les ondes issues des différentes fentes du réseau sont constructives lorsque toutes les contributions interfèrent en phase, c'est-à-dire lorsque le déphasage est un multiple entier de 2\pi (\Delta\phi = 2k\pi), ce qui équivaut à :

   \delta = k \lambda_B \quad (k \in \mathbb{Z})

   On en déduit que les directions d'interférences constructives \theta_k vérifient la relation des réseaux :

   \boxed{a \sin\theta_k = k \lambda_B \quad (k \in \mathbb{Z})}

   En mécanique quantique, l'amplitude de l'onde de matière totale superposée détermine la fonction d'onde \psi sur le détecteur. La densité volumique (ou surfacique) de probabilité de présence des molécules étant donnée par |\psi|^2, les interférences constructives se traduisent directement par des maxima de probabilité d'impact des molécules sur l'écran, ce qui engendre les franges observées.

   Résultat

   $$a\sin {\theta }_k=k{\lambda }_B(k\in \mathbb{Z})$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

7. Exercice 7E3A Physique-Chimie MP 2023, Q31

   D'après l'expression établie à la question Q30, l'intensité s'écrit :

   I(\theta) = 2 s_0^2 \left[1 + \cos\left(\frac{4\pi a \sin\theta}{\lambda}\right)\right] = 4 s_0^2 \cos^2\left(\frac{2\pi a \sin\theta}{\lambda}\right)

   L'intensité est maximale lorsque le cosinus vaut \pm 1, c'est-à-dire pour un déphasage multiple entier de 2\pi (interférences totalement constructives) :

   \begin{aligned} \Delta\varphi(\mathrm{M}) = 2p\pi \quad (p \in \mathbb{Z}) &\iff \frac{2\pi}{\lambda} (2a \sin\theta) = 2p\pi \\ &\iff 2a \sin\theta = p \lambda \quad (p \in \mathbb{Z}) \end{aligned}

   L'angle de rasance \theta étant strictement compris entre 0 et 90^\circ, les entiers p sont strictement positifs (p \in \mathbb{N}^*, appelés ordres d'interférence ou de diffraction). Les directions de diffraction d'intensité maximale sont donc données par :

   \boxed{\sin\theta_p = \frac{p\lambda}{2a} \quad \text{soit} \quad \theta_p = \arcsin\left(\frac{p\lambda}{2a}\right) \quad \text{avec } 1 \le p \le \left\lfloor\frac{2a}{\lambda}\right\rfloor}

   Pour une longueur d'onde \lambda de rayons X connue, la mesure expérimentale de la position angulaire \theta_p d'un pic de diffraction d'ordre p permet d'accéder directement au paramètre de maille a :

   \boxed{a = \frac{p\lambda}{2\sin\theta_p}}

   Si plusieurs pics correspondant à des ordres successifs p = 1, 2, \dots sont mesurés, le tracé de \sin\theta_p en fonction de p fournit une droite de pente \frac{\lambda}{2a}, dont la régression linéaire donne la valeur de a avec une précision accrue.

   Résultat

   $$\sin {\theta }_p=\frac{p\lambda }{2a}\text{soit}{\theta }_p=\arcsin \left(\frac{p\lambda }{2a}\right)\text{avec }1\le p\le \lfloor \frac{2a}{\lambda }\rfloor$$

   $$a=\frac{p\lambda }{2\sin {\theta }_p}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

8. Exercice 8CCINP Physique-Chimie MP 2022, Q12

   a) Formule des réseaux et rôle du nombre d'antennes

   Considérons un réseau de sources ponctuelles identiques, synchrones et en phase, alignées le long d'un axe z avec un pas spatial d. Dans l'approximation de Fraunhofer (observation à l'infini ou à grande distance par rapport aux dimensions du réseau), les rayons émis vers le récepteur dans une direction faisant un angle \theta avec l'axe z (figure 7) sont parallèles.

   La différence de marche entre deux antennes consécutives O_n et O_{n+1} séparées de \vec{O_n O_{n+1}} = d\,\vec{e}_z s'écrit :

   \delta = \vec{O_n O_{n+1}} \cdot \vec{u} = d \cos\theta

   Le déphasage correspondant entre deux ondes consécutives est :

   \Delta\varphi = \frac{2\pi}{\lambda}\delta = \frac{2\pi d}{\lambda}\cos\theta

   Les interférences sont constructives lorsque toutes les ondes arrivent en phase, soit \Delta\varphi = 2p\pi avec p \in \mathbb{Z}. On obtient ainsi la formule des réseaux :

   \boxed{d \cos\theta = p\lambda \quad (p \in \mathbb{Z})}

   Avantages d'un très grand nombre N d'antennes :

   • Directivité accrue : la largeur angulaire du lobe principal est inversement proportionnelle à la taille totale du réseau (\Delta\theta \sim \frac{\lambda}{N d}), ce qui permet de focaliser l'onde émise dans une direction spatiale extrêmement précise.
   • Gain en puissance : dans la direction de pointage, les amplitudes s'ajoutent en phase (s_{\text{tot}} = N s_0), si bien que l'intensité maximale est multipliée par N^2 (I_{\max} = N^2 I_0), concentrant l'énergie vers la cible et limitant les pertes dans les autres directions.

   b) Comparaison des intensités pour 1 et 4 antennes

   Pour une antenne unique isolée, le signal reçu est s_1(t) = s_0 \exp(i\omega t) (à un facteur de propagation commun près), d'où une intensité :

   I_1 = |s_0|^2 = I_0

   Pour N = 4 antennes émettant en phase, le signal résultant s'écrit :

   s_{\text{tot}}(t) = \sum_{n=0}^{3} s_0 \exp\big(i(\omega t - n\Delta\varphi)\big) = s_0 \exp(i\omega t) \sum_{n=0}^{3} \exp(-i n\Delta\varphi)

   En sommant cette suite géométrique de raison e^{-i\Delta\varphi} et en factorisant par l'angle moitié :

   \begin{aligned} \sum_{n=0}^{3} e^{-i n\Delta\varphi} &= \frac{1 - e^{-4i\Delta\varphi}}{1 - e^{-i\Delta\varphi}} = \frac{e^{-2i\Delta\varphi}(e^{2i\Delta\varphi} - e^{-2i\Delta\varphi})}{e^{-i\Delta\varphi/2}(e^{i\Delta\varphi/2} - e^{-i\Delta\varphi/2})} \\ &= e^{-i\frac{3}{2}\Delta\varphi}\,\frac{\sin(2\Delta\varphi)}{\sin(\Delta\varphi/2)} \end{aligned}

   En posant u = \frac{\Delta\varphi}{2} = \frac{\pi d}{\lambda}\cos\theta, l'intensité totale est donnée par :

   I_4(\theta) = I_0 \left(\frac{\sin(4u)}{\sin u}\right)^2

   Pour un pas d = \frac{\lambda}{2}, on a u = \frac{\pi}{2}\cos\theta. Au voisinage de \theta = \frac{\pi}{2}, on a \cos\theta \to 0, donc u \to 0. D'après l'indication du sujet, \lim_{u\to 0}\frac{\sin 4u}{\sin u} = 4. L'intensité au centre du faisceau vaut donc :

   \boxed{I_4\left(\frac{\pi}{2}\right) = 16\,I_0 = 16\,I_1}

   L'intensité dans la direction perpendiculaire à l'axe du réseau est 16 fois supérieure à celle produite par une antenne seule.

   Recherche d'autres maxima d'intensité :

   • Pour obtenir un autre maximum principal (pour lequel \left|\frac{\sin 4u}{\sin u}\right| = 4), il faudrait que u = p\pi avec p \in \mathbb{Z}^*. Cela impose :

     \frac{\pi}{2}\cos\theta = p\pi \implies \cos\theta = 2p

     Pour |p| \ge 1, |2p| \ge 2 > 1, ce qui est impossible car |\cos\theta| \le 1. Il n'existe donc aucun autre maximum principal.

   • Il existe uniquement des maxima secondaires d'intensité très faible. Le premier zéro du lobe principal a lieu pour 4u = \pm\pi \implies \cos\theta = \pm \frac{1}{2} (\theta = \frac{\pi}{3} ou \frac{2\pi}{3}). Le maximum secondaire situé vers u \approx \frac{3\pi}{8} présente une intensité :

     I_{\text{sec}} \approx \frac{I_0}{\sin^2(3\pi/8)} \approx 1{,}17\,I_0 \ll 16\,I_0

   Commentaire : le choix de la distance inter-éléments d = \frac{\lambda}{2} est une règle fondamentale dans la conception des réseaux d'antennes. Elle assure l'absence de lobes de réseau (grating lobes), c'est-à-dire de directions parasites où la totalité de la puissance constructive serait rayonnée, garantissant ainsi une émission univoque et hautement directive vers le satellite.

   Résultat

   $$d\cos \theta =p\lambda (p\in \mathbb{Z})$$

   $$I_4\left(\frac{\pi }{2}\right)=16I_0=16I_1$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

9. Exercice 9CentraleSupélec Physique-Chimie 2 MP 2021, Q22

   Considérons deux ouvertures consécutives du réseau, notées S_k et S_{k+1}, distantes de a le long de l'axe (Ox), telles que \vec{S_k S_{k+1}} = a\,\vec{e}_x.

   • À l'amont du réseau : l'éclairage s'effectuant sous incidence normale par une onde plane dont le plan d'onde est parallèle au plan du réseau (xOy), les ondes parviennent en phase sur toutes les ouvertures. La différence de marche en amont est donc nulle :

     \delta_{\text{amont}} = 0

   • À l'aval du réseau : les ondes émergent dans la direction faisant un angle \theta avec l'axe (Oz) dans le plan (xOz). Le vecteur unitaire directeur de propagation est :

     \vec{u} = \sin\theta\,\vec{e}_x + \cos\theta\,\vec{e}_z

     Le plan d'onde à l'infini étant perpendiculaire à \vec{u}, la différence de marche géométrique entre l'onde issue de S_k et celle issue de S_{k+1} s'écrit par projection sur la direction d'observation :

     \delta = \vec{S_k S_{k+1}} \cdot \vec{u} = (a\,\vec{e}_x) \cdot (\sin\theta\,\vec{e}_x + \cos\theta\,\vec{e}_z) = a\sin\theta

   Le déphasage \varphi entre les vibrations lumineuses issues de deux ouvertures consécutives s'en déduit directement :

   \varphi = \frac{2\pi}{\lambda}\,\delta

   \boxed{\varphi = \frac{2\pi}{\lambda}\,a\sin\theta}

   Résultat

   $$\phi =\frac{2\pi }{\lambda }a\sin \theta$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

10. Exercice 10CentraleSupélec Physique-Chimie 2 MP 2021, Q23

    L'onde résultante en un point situé à l'infini dans la direction \theta est la superposition des ondes issues des N fentes. En prenant la première ouverture comme référence d'amplitude s_0, l'amplitude complexe totale s'écrit :

    \underline{s}(\theta) = \sum_{k=0}^{N-1} s_0\,\mathrm{e}^{\mathrm{i} k \varphi}

    D'après l'inégalité triangulaire :

    |\underline{s}(\theta)| \leqslant \sum_{k=0}^{N-1} |s_0\,\mathrm{e}^{\mathrm{i} k \varphi}| = N s_0

    Cette borne supérieure est atteinte si et seulement si tous les termes de la somme sont en phase, c'est-à-dire :

    \forall k \in \{0, \dots, N-1\}, \quad \mathrm{e}^{\mathrm{i} k \varphi} = 1 \iff \varphi = 2p\pi \quad (p \in \mathbb{Z})

    L'intensité lumineuse I(\theta) \propto |\underline{s}(\theta)|^2 est alors maximale et vaut I_{\max} = N^2 I_0, où I_0 est l'intensité produite par une ouverture seule. Il s'agit d'un phénomène d'interférences purement constructives entre toutes les ondes émises.

    L'entier relatif p est appelé l'ordre d'interférence (ou ordre du pic de diffraction).

    D'après le résultat de la question Q22, le déphasage s'exprime par \varphi = \dfrac{2\pi}{\lambda} a \sin\theta. Pour le pic correspondant à p = 1, la condition s'écrit :

    \begin{aligned} \frac{2\pi}{\lambda} a \sin\theta_1 = 2\pi \iff \sin\theta_1 = \frac{\lambda}{a} \end{aligned}

    D'où l'expression de l'angle d'émergence \theta_1 :

    \boxed{\theta_1 = \arcsin\left(\frac{\lambda}{a}\right)}

    Résultat

    $${\theta }_1=\arcsin \left(\frac{\lambda }{a}\right)$$

    Indice, stratégie et pièges de cette question