Feuille d'entraînement : Instruments d'optique

Corrigés

1. Exercice 1Mines-Ponts Physique 2 MP 2026, Q3

   La lumière traverse l'ouverture circulaire du télescope de diamètre D. Le phénomène de diffraction à l'infini (figure d'Airy) donne une tache centrale circulaire dont le demi-angle d'ouverture (rayon angulaire du premier zéro) vaut en ordre de grandeur :

   \theta_{\text{diff}} \sim \frac{\lambda_0}{D} \quad \left(\text{ou plus précisément } \theta_{\text{diff}} = 1{,}22\,\frac{\lambda_0}{D}\right).

   L'ouverture angulaire totale (diamètre angulaire du disque central d'Airy) est donc de l'ordre de 2\theta_{\text{diff}} \sim \frac{2\lambda_0}{D}.

   Dans le plan focal image de la lentille de distance focale f', la taille spatiale caractéristique (rayon) de cette tache de diffraction est :

   R_{\text{tâche}} = f' \theta_{\text{diff}} \sim \frac{\lambda_0 f'}{D}.

   D'après le critère de Rayleigh usuel, deux points sont discernables si la distance séparant leurs images géométriques est au moins égale au rayon de la tache de diffraction (le centre d'une tache coïncidant au plus près avec le premier minimum d'intensité de l'autre) :

   A'B' \ge R_{\text{tâche}}.

   En reprenant l'expression de la distance géométrique établie à la question précédente, A'B' = f'\,\frac{\epsilon}{2}, la condition de résolution s'écrit :

   f'\,\frac{\epsilon}{2} \ge \frac{\lambda_0 f'}{D} \iff \epsilon \ge \frac{2\lambda_0}{D}.

   La résolution angulaire due à la diffraction r_{\text{diff}}, définie comme la plus petite valeur de \epsilon détectable par le télescope (conformément à la question 2), vaut donc :

   \boxed{r_{\text{diff}} = \frac{2\lambda_0}{D}} \quad \left(\text{ou avec le facteur d'Airy : } r_{\text{diff}} = 2{,}44\,\frac{\lambda_0}{D}\right).

   Résultat

   $$r_{\text{diff}}=\frac{2{\lambda }_0}{D}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

2. Exercice 2E3A Physique-Chimie MP 2021, Q6

   1. Conditions de Gauss

   Les conditions de Gauss sont satisfaites lorsque le système optique fonctionne dans l'approximation des rayons paraxiaux :

   • les rayons lumineux sont peu inclinés par rapport à l'axe optique (petits angles d'incidence) ;
   • les rayons traversent les dioptres ou lentilles au voisinage immédiat de l'axe optique (proches des centres optiques).

   Ces conditions assurent un stigmatisme et un aplanétisme approchés, limitant ainsi considérablement les aberrations géométriques.

   2. Marche du rayon lumineux et identification de l'angle \alpha'

   D'après la question Q5, la lunette est afocale, de sorte que le foyer principal image de l'objectif F'_1 est confondu avec le foyer principal objet de l'oculaire F_2 :

   F'_1 \equiv F_2

   Pour construire le trajet du rayon incident incliné d'un angle \alpha sur l'axe optique (\Delta) :

   • On trace le rayon auxiliaire (fictif) parallèle au rayon incident et passant par le centre optique O_1 de l'objectif. Ce rayon n'est pas dévié et coupe le plan focal image commun en B_1, foyer secondaire image de (\mathcal{L}_1) ;
   • Le rayon incident, après traversée de (\mathcal{L}_1) en un point I_1, passe nécessairement par ce point image B_1 et atteint l'oculaire (\mathcal{L}_2) en I_2 ;
   • Puisque B_1 appartient au plan focal objet de (\mathcal{L}_2), tous les rayons issus de B_1 émergent de l'oculaire parallèlement entre eux, dans la direction de la droite (B_1 O_2) ;
   • Le rayon émergent issu de I_2 est donc parallèle à la droite (B_1 O_2) et forme avec l'axe optique l'angle \alpha' sous lequel la planète est vue à travers l'instrument.

   Indice, stratégie et pièges de cette question

3. Exercice 3Mines-Ponts Physique 1 MP 2021, Q22

   Pour qu'un observateur emmétrope observe sans accommoder, l'image finale A_2 B_2 donnée par l'instrument doit se former à l'infini :

   A_1 B_1 \xrightarrow{L_2} A_2 B_2 \text{ à l'infini} \iff A_1 \equiv F_2

   L'image intermédiaire A_1 B_1 est donc réelle, inversée, et située dans le plan focal objet de l'oculaire L_2.

   Construction des rayons lumineux :

   • Le rayon issu de B parallèle à l'axe optique émerge de l'objectif L_1 en passant par son foyer image F'_1.
   • Le rayon issu de B passant par le centre optique O_1 émerge sans déviation.
   • Ces deux rayons se croisent en B_1, situé dans le plan focal objet de L_2 (à l'abscisse de F_2).
   • En traversant l'oculaire L_2, ces rayons émergent parallèles entre eux selon une direction faisant un angle \alpha' avec l'axe optique, direction donnée par la droite joignant B_1 au centre optique O_2.

   Indice, stratégie et pièges de cette question

4. Exercice 4Mines-Ponts Physique 2 MP 2026, Q2

   1. Construction des images géométriques A' et B'

   • Le point A est une source à l'infini située sur l'axe optique. Les rayons issus de A sont parallèles à l'axe optique : ils émergent de la lentille convergente (L) en convergeant au foyer principal image F'. On a donc :

     A' = F'
   • Le point B est une source à l'infini vue sous une inclinaison angulaire \epsilon/2 par rapport à l'axe optique. Les rayons issus de B forment un faisceau de rayons parallèles inclinés de \epsilon/2. En particulier, le rayon passant par le centre optique O n'est pas dévié. Ce rayon coupe le plan focal image en un foyer secondaire image noté B'.

   2. Distance entre ces deux images

   Dans le triangle rectangle O A' B', rectangle en A', la distance entre les deux images est donnée par :

   A'B' = f' \tan\left(\frac{\epsilon}{2}\right)

   Comme la galaxie est vue sous un angle \epsilon \ll 1, on effectue un développement limité au premier ordre : \tan(\epsilon/2) \simeq \epsilon/2. On obtient ainsi :

   \boxed{A'B' = f' \, \frac{\epsilon}{2}}

   3. Résolution angulaire r_{\text{cap}} du capteur

   Le capteur est constitué de cellules CCD distantes d'un pas a. Pour que le télescope puisse distinguer le centre A du bord B de la galaxie, la distance entre leurs deux images géométriques doit être au moins égale à la distance entre deux cellules consécutives :

   A'B' \ge a \iff f' \, \frac{\epsilon}{2} \ge a \iff \epsilon \ge \frac{2a}{f'}

   La plus petite valeur de \epsilon détectable par le capteur définit la résolution angulaire r_{\text{cap}} :

   \boxed{r_{\text{cap}} = \frac{2a}{f'}}

   Résultat

   $$A^{\prime }{B}^{\prime }=f^{\prime }\frac{ϵ}{2}$$

   $$r_{\text{cap}}=\frac{2a}{f^{\prime }}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

5. Exercice 5Mines-Ponts Physique 2 MP 2026, Q4

   La résolution angulaire globale du télescope est limitée à la fois par la diffraction et par l'échantillonnage spatial du capteur : le plus petit angle détectable est le maximum des deux limites, soit r = \max(r_{\text{diff}},\, r_{\text{cap}}).

   Lorsque le diamètre D augmente, la résolution s'améliore (l'angle limite r_{\text{diff}} diminue). Cependant, dès lors que r_{\text{diff}} \le r_{\text{cap}}, la résolution globale est plafonnée par le capteur (r = r_{\text{cap}}) : augmenter davantage le diamètre D ne permet plus de discerner des détails angulaires plus fins. Le diamètre critique D_{\text{max}} est donc atteint pour :

   r_{\text{diff}} = r_{\text{cap}}

   D'après les questions précédentes, avec r_{\text{cap}} = \frac{2a}{f'} et r_{\text{diff}} = \frac{2\lambda_{0}}{D} (en ordre de grandeur) :

   \frac{2\lambda_{0}}{D_{\text{max}}} = \frac{2a}{f'}

   ce qui correspond également à l'égalité entre le rayon géométrique de la tache de diffraction f'\theta_{\text{diff}} \sim \frac{\lambda_0 f'}{D} et la taille d'un pixel a. On en déduit :

   \boxed{D_{\text{max}} = \frac{\lambda_{0} f'}{a}}

   Remarque : si l'on prend en compte le facteur d'Airy 1{,}22, on obtient D_{\text{max}} = 1{,}22 \frac{\lambda_0 f'}{a}.

   Application numérique : Avec \lambda_{0} = 2{,}0\,\mu\text{m} = 2{,}0\times 10^{-6}\text{ m}, f' = 10\text{ m} et a = 1{,}0\,\mu\text{m} = 1{,}0\times 10^{-6}\text{ m} :

   D_{\text{max}} = \frac{2{,}0\times 10^{-6} \times 10}{1{,}0\times 10^{-6}} = 20\text{ m}

   Avec le préfacteur d'Airy, D_{\text{max}} \simeq 24\text{ m} \approx 2\times 10^1\text{ m} avec un seul chiffre significatif. On retient :

   \boxed{D_{\text{max}} \sim 2\times 10^{1}\text{ m} \quad (\text{soit } 20\text{ m})}

   Commentaires :

   • Un diamètre de 20\text{ m} pour un miroir monolithique est gigantesque et hors de portée des technologies actuelles (les plus grands miroirs monolithiques actuels atteignent environ 8\text{ m}). Même pour des miroirs segmentés (comme l'ELT de 39\text{ m}), la réalisation mécanique est extrêmement complexe et coûteuse.
   • Cette limitation technologique sur la taille des télescopes uniques justifie pleinement le recours à l'interférométrie (synthèse d'ouverture par association de télescopes distants), développée dans la sous-partie suivante.
   • Précisons que même si la résolution angulaire n'augmente plus au-delà de D_{\text{max}}, un télescope de diamètre supérieur collecterait davantage de lumière (flux proportionnel à D^2), ce qui conserverait un intérêt pour observer des astres de faible magnitude.

   Résultat

   $$D_{\text{max}}=\frac{{\lambda }_0{f}^{\prime }}{a}$$

   $$D_{\text{max}}\sim 2\times 10^1\text{ m}(\text{soit }20\text{ m})$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

6. Exercice 6E3A Physique-Chimie MP 2023, Q33

   L'appareil utilisé couramment en travaux pratiques d'optique pour mesurer des angles (notamment des angles de déviation ou de diffraction) s'appelle un goniomètre (souvent appelé spectrogoniomètre lorsqu'il est associé à un prisme ou un réseau).

   \boxed{\text{Le goniomètre (ou spectrogoniomètre)}}

   Résultat

   $$\text{Le goniomeˋtre (ou spectrogoniomeˋtre)}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

7. Exercice 7CCINP Physique MP 2021, Q12

   1. D'après le document 4, chaque cran d'ouverture vers la droite divise la surface d'ouverture par 2. Inversement, passer de f/8 à f/4 correspond à un décalage de deux crans vers la gauche (de f/8 à f/5{,}8 puis à f/4) : la surface offerte au passage de la lumière est donc multipliée par :

      2 \times 2 = 4

      Le flux lumineux incident sur le capteur étant quadruplé et la sensibilité restant constante (\text{ISO} = 100), il faut réduire la durée d'exposition par un facteur 4 pour conserver la même exposition (la même énergie lumineuse reçue par le capteur, ce que traduit la conservation de la surface du triangle du document 5).

      La vitesse d'obturation initiale étant t_1 = 1/250\text{ s}, le photographe doit choisir :

      t_2 = \frac{t_1}{4} = \frac{1}{4 \times 250\text{ s}} = \frac{1}{1000}\text{ s}
      \boxed{\text{Vitesse d'obturation : } 1/1000\text{ s}}

   2. Le document 4 indique qu'« une plus faible ouverture permet d'obtenir une plus grande profondeur de champ ».

      En passant de f/8 à f/4, l'ouverture du diaphragme est plus grande :

      \boxed{\text{Ce réglage va diminuer la profondeur de champ.}}

   3. La durée d'exposition est quatre fois plus courte (1/1000\text{ s} contre 1/250\text{ s}). Le mouvement de la personne pendant l'ouverture de l'obturateur est donc nettement plus faible :

      \boxed{\text{Non, le risque d'obtenir une image floue est plus faible.}}

   Résultat

   $$\text{Vitesse d’obturation : }1/1000\text{ s}$$

   $$\text{Ce reˊglage va diminuer la profondeur de champ.}$$

   $$\text{Non, le risque d’obtenir une image floue est plus faible.}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

8. Exercice 8CCINP Physique MP 2021, Q17

   D'après le document 7, la portée du flash (exprimée en mètres) est donnée par la relation :

   \text{portée} = \frac{\text{NG} \times \text{facteur de sensibilité}}{\text{nombre d'ouverture}}

   Les données pour cette prise de vue sont :

   • un nombre guide \text{NG} = 12 ;
   • une sensibilité de 400\text{ ISO}, à laquelle correspond, d'après le tableau du document 7, un \text{facteur de sensibilité} = 2 ;
   • une ouverture notée f/11, ce qui correspond à un nombre d'ouverture x = 11.

   On en déduit l'expression numérique de la portée :

   \text{portée} = \frac{12 \times 2}{11} = \frac{24}{11}\text{ m} \approx 2{,}18\text{ m}

   \boxed{\text{portée} \approx 2{,}2\text{ m} \quad (\text{soit un ordre de grandeur de } 2\text{ m})}

   Résultat

   $$\text{porteˊe}\approx 2,2\text{ m}(\text{soit un ordre de grandeur de }2\text{ m})$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

9. Exercice 9CCINP Physique MP 2021, Q18

   La proposition correcte est la proposition 2, et la proposition 1 est inexacte.

   Réfutation de la proposition 1 Considérons la durée caractéristique de la prise de vue avec un flash. D'après le document 7, la durée de l'éclair d'un flash varie typiquement entre \Delta t_{\min} = 1/5\,000\text{ s} = 2\cdot 10^{-4}\text{ s} et \Delta t_{\max} = 1/880\text{ s} \approx 1{,}1\cdot 10^{-3}\text{ s} (les vitesses de synchronisation de l'obturateur étant quant à elles de l'ordre de 1/250\text{ s}).

   Durant l'éclair le plus court (\Delta t = 2\cdot 10^{-4}\text{ s}), la distance parcourue par la lumière dans l'air à la célérité c = 3{,}0\cdot 10^8\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} vaut :

   d_{\text{lumière}} = c\,\Delta t = 3{,}0\cdot 10^8 \times 2\cdot 10^{-4} = 6{,}0\cdot 10^4\text{ m} = 60\text{ km}

   Même en tenant compte du trajet aller-retour (du flash vers l'objet, puis de l'objet vers l'objectif), un retard temporel ne deviendrait limitant qu'à une distance de :

   d_{\text{max, trajet}} = \frac{c\,\Delta t}{2} = 30\text{ km}

   Or, d'après le document 7 et le résultat de la question Q17, la portée réelle d'un flash intégré de reflex est de l'ordre de quelques mètres seulement (2 à 10\text{ m}). L'échelle de distance parcourue par la lumière (60\text{ km}) est quatre ordres de grandeur supérieure à la portée du flash. La vitesse de propagation de la lumière n'est donc en rien le facteur limitant.

   Justification de la proposition 2 Le flash émet une puissance lumineuse dans un cône angulaire (angle solide \Omega). En vertu de la conservation de l'énergie, la puissance surfacique (l'éclairement) décroît selon une loi en carré inverse de la distance d au flash :

   \mathcal{E}(d) \propto \frac{1}{d^2}

   L'objet éclairé diffuse ensuite cette lumière, et la fraction recaptée par l'objectif diminue également. Dès lors que l'objet est situé trop loin, l'éclairement qu'il reçoit devient insuffisant pour que le capteur collecte le signal nécessaire à une exposition correcte : c'est cette décroissance géométrique du flux avec la distance qui limite la portée du flash.

   \boxed{\text{La proposition 2 est la bonne interprétation ; la proposition 1 est inexacte.}}

   Résultat

   $$\text{La proposition 2 est la bonne interpreˊtation ; la proposition 1 est inexacte.}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

10. Exercice 10E3A Physique-Chimie MP 2021, Q3

    Les trajectoires de la Terre et de Jupiter étant modélisées par des cercles coplanaires et concentriques de rayons respectifs d_T et d_J, la distance D entre la Terre et Jupiter varie au cours du temps entre deux valeurs extrêmes :

    • une distance maximale à la conjonction : D_{\max} = d_J + d_T ;
    • une distance minimale à l'opposition : D_{\min} = d_J - d_T.

    D'après la figure 2, l'angle \alpha représente le diamètre apparent sous lequel Jupiter est observée depuis la Terre. Cet angle est maximal lorsque la distance entre les deux planètes est minimale :

    D_{\min} = d_J - d_T

    Puisque le rayon de Jupiter R_J est très petit devant la distance Terre-Jupiter (R_J \ll D_{\min}), on se place dans le cadre de l'approximation des petits angles :

    \tan\left(\frac{\alpha_{\max}}{2}\right) \approx \frac{\alpha_{\max}}{2} \approx \frac{R_J}{D_{\min}}

    L'angle maximal \alpha_{\max} s'exprime donc sous la forme :

    \alpha_{\max} = \frac{2R_J}{d_J - d_T}

    Application numérique avec les données :

    • R_J = 7{,}0 \cdot 10^4\text{ km}
    • d_J = 7{,}80 \cdot 10^8\text{ km}
    • d_T = 1{,}50 \cdot 10^8\text{ km}

    D_{\min} = 7{,}80 \cdot 10^8 - 1{,}50 \cdot 10^8 = 6{,}30 \cdot 10^8\text{ km}

    \alpha_{\max} = \frac{2 \times 7{,}0 \cdot 10^4}{6{,}30 \cdot 10^8} \approx 2{,}22 \cdot 10^{-4}\text{ rad}

    En conservant deux chiffres significatifs :

    \boxed{\alpha_{\max} = 2{,}2 \cdot 10^{-4}\text{ rad}}

    Résultat

    $${\alpha }_{\max }=2,2\cdot 10^{-4}\text{ rad}$$

    Indice, stratégie et pièges de cette question