Corrigé détaillé CCINP Physique MP 2021

a) Les conditions d'approximation de Gauss consistent à utiliser le système optique avec des rayons lumineux dits paraxiaux, c'est-à-dire :

• proches de l'axe optique (faible distance par rapport à l'axe) ;
• peu inclinés par rapport à l'axe optique (les angles d'incidence et d'émergence formés avec l'axe optique ou la normale aux dioptres restent petits devant 1 radian : \theta \ll 1\text{ rad}).

Dans ces conditions, on peut linéariser les lois de Snell-Descartes (\sin \theta \approx \tan \theta \approx \theta), ce qui confère au système optique un stigmatisme et un aplanétisme approchés.

b) La partie de l'appareil qui permet d'assurer que ces conditions sont remplies est le diaphragme (noté (D)). En limitant le diamètre utile du faisceau qui traverse l'objectif, il bloque les rayons marginaux (trop éloignés de l'axe) ainsi que les rayons fortement inclinés.

a) Schéma optique et construction géométrique

L'arbre constitue un objet réel AB avec A sur l'axe optique et \overline{AB} = h > 0. L'objectif est modélisé par une lentille mince convergente de centre O et de distance focale f' = \overline{OF'} = -\overline{OF} > 0.

Pour construire l'image B' du point B, on trace :

• le rayon issu de B parallèle à l'axe optique, qui émerge en passant par le foyer principal image F' ;
• le rayon issu de B passant par le centre optique O, qui traverse la lentille sans être dévié.

L'intersection de ces deux rayons définit l'image réelle B'. Le point A' est le projeté orthogonal de B' sur l'axe optique, et le capteur (C) est positionné dans le plan focal image conjugué de l'objet, en A'.

b) Expression et calcul de la taille de l'image

L'arbre se trouve à une distance L devant l'objectif, donc en mesure algébrique :

D'après la formule de conjugaison de Descartes avec origine au centre :

Le grandissement transversal est donné par :

La taille de l'image (hauteur absolue) est donc :

Comme L \gg f' (20\text{ m} \gg 0{,}05\text{ m}), on a l'excellente approximation :

Application numérique :

Soit :

a) D'après la relation de conjugaison de Descartes avec origine au centre :

Lorsque l'objet est situé à l'infini (L \to +\infty), le terme \frac{1}{L} tend vers 0. On en déduit :

L'image nette se forme dans le plan focal image de l'objectif.

b) Exprimons la distance lentille-capteur d en fonction de L :

La dérivée de cette fonction par rapport à L (pour L > f') s'écrit :

La distance d est une fonction strictement décroissante de la distance objet L : plus l'objet se rapproche de l'objectif, plus l'image s'en éloigne et plus il faut augmenter le tirage d.

Or, le mécanisme d'avancement de l'objectif est limité à une valeur maximale d_{\text{max}}. Il existe donc une distance minimale L_{\text{min}} telle que d(L_{\text{min}}) = d_{\text{max}}.

• Pour L < L_{\text{min}}, la distance nécessaire pour former une image nette vérifierait d > d_{\text{max}}, ce qui est mécaniquement impossible : la mise au point ne peut pas se faire.
• Pour L \geqslant L_{\text{min}}, la distance requise vérifie f' < d \leqslant d_{\text{max}} (avec d_{\text{min}} \leqslant f' pour permettre la mise au point à l'infini), la mise au point sur le capteur est donc toujours réalisable.

c) En écrivant la relation de conjugaison à la distance limite :

D'où l'expression de la distance minimale de mise au point :

d) Application numérique avec f' = 50\text{ mm} et d_{\text{max}} = 55\text{ mm} :

a) D'après la relation établie à la question Q2.b, la taille de l'image sur le capteur s'exprime par :

Puisque la distance de l'arbre reste inchangée (L = 20\text{ m}) et que L \gg f'_1, la taille de l'image est proportionnelle à la distance focale de l'objectif. La focale étant doublée (f'_1 = 2f'), la taille de l'image est également doublée :

La valeur exacte sans approximation donne :

b) Le capteur a pour dimensions 24\text{ mm} \times 36\text{ mm}.

• En orientation paysage (horizontale), la hauteur disponible sur le capteur est de 24\text{ mm}. Comme A'B'_1 \approx 25\text{ mm} > 24\text{ mm}, l'arbre ne rentre pas dans le cadre et ne peut être vu en entier.
• En orientation portrait (verticale), la hauteur disponible sur le capteur est de 36\text{ mm}. Comme A'B'_1 \approx 25\text{ mm} < 36\text{ mm}, l'image de l'arbre tient entièrement sur le capteur.

Il est donc possible de voir l'arbre en entier sur la photo, à condition d'orienter le boîtier en mode portrait (vertical).

Puisque la distance de prise de vue est très grande devant les distances focales mises en jeu (L = 20\text{ m} \gg f'), la taille de l'image sur le capteur est donnée au premier ordre par :

1. Part de vérité (calcul numérique) : Avec le téléobjectif de focale f'_1 = 100\text{ mm}, la taille obtenue à la distance L = 20\text{ m} est :

Pour obtenir cette même taille d'image avec l'objectif initial de focale f' = 50\text{ mm}, le photographe aurait dû se placer à une distance L' telle que :

L'image obtenue avec le téléobjectif à 20\text{ m} présente donc le même grandissement que si l'on s'était approché physiquement à 10\text{ m} avec l'objectif standard : en termes de taille perçue et d'angle de champ, tout se passe comme si l'objet était deux fois plus proche.

2. Part d'inexactitude :

• L'objet ne se déplace évidemment pas dans l'espace ;
• La perspective (rapport de proportions entre le premier plan et l'arrière-plan, lignes de fuite) ne dépend que de la position de prise de vue. Se rapprocher physiquement à 10\text{ m} modifierait la perspective, alors qu'utiliser un téléobjectif depuis 20\text{ m} conserve la perspective de la prise de vue initiale tout en effectuant un recadrage (écrasement des plans).

a) Expression de la distance \overline{O_2A_1} :

La relation de conjugaison de Descartes avec origine au centre optique pour la lentille convergente (L_1) s'écrit :

L'arbre étant situé à une distance L = 20\text{ m} devant l'objectif, on a \overline{O_1A} = -L. Comme L \gg f'_1 (20\text{ m} \gg 0{,}10\text{ m}), le terme \frac{1}{\overline{O_1A}} = -\frac{1}{L} est tout à fait négligeable devant \frac{1}{f'_1}, ce qui donne :

L'image intermédiaire A_1 se forme donc dans le plan focal image de (L_1) (A_1 \approx F'_1). En introduisant le centre O_2 par la relation de Chasles :

D'où l'expression approchée :

b) Condition sur la distance e pour une image finale A'B' réelle :

L'image intermédiaire A_1B_1 joue le rôle d'objet pour la lentille divergente (L_2). La relation de conjugaison de Descartes appliquée à (L_2) s'écrit :

Pour que l'image finale A'B' puisse être recueillie sur le capteur situé après la lentille (L_2), elle doit être réelle, ce qui impose :

La lentille (L_2) étant divergente, sa distance focale image est strictement négative (f'_2 < 0), si bien que le membre de droite est strictement positif : -\frac{1}{f'_2} = \frac{1}{|f'_2|} > 0.

• Cela impose tout d'abord que le membre de gauche soit strictement positif, soit f'_1 - e > 0, c'est-à-dire :

  e < f'_1

  L'objet intermédiaire A_1 doit donc impérativement être virtuel pour (L_2) (situé après O_2), car une lentille divergente ne peut donner d'image réelle d'un objet réel.

• Les deux membres étant strictement positifs, le passage aux inverses inverse le sens de l'inégalité :

  f'_1 - e < -f'_2 \iff e > f'_1 + f'_2

On en déduit la double inégalité encadrant la distance e :

c) Vérification numérique :

Avec les valeurs numériques proposées :

• f'_1 + f'_2 = 10\text{ cm} + (-5\text{ cm}) = 5\text{ cm}
• f'_1 = 10\text{ cm}
• e = 8\text{ cm}

On a bien :

La condition est donc parfaitement vérifiée : le système fournira une image réelle pouvant être enregistrée par le capteur.

a) Calcul de la distance d

L'arbre étant situé à une grande distance (L = 20\text{ m} \gg f'_1 = 10\text{ cm}), l'image intermédiaire A_1 se forme dans le plan focal image de (L_1) :

La position de cette image par rapport au centre optique O_2 de (L_2) est, d'après la relation de Chasles :

En appliquant la relation de conjugaison de Descartes à la lentille (L_2) de distance focale f'_2 = -5\text{ cm} :

On en déduit la position de l'image finale sur le capteur par rapport à (L_2) :

Si la distance d désigne le tirage mécanique arrière (distance entre la dernière lentille (L_2) et le capteur) :

Si l'on considère la distance totale entre la face avant de l'objectif (L_1) et le capteur (encombrement total) :

b) Taille de l'image A'B' de l'arbre sur le capteur

Le grandissement transversal global du doublet est donné par le produit des grandissements :

Pour la première lentille, avec l'approximation de l'objet éloigné (L \gg f'_1) :

Pour la seconde lentille :

Le grandissement global vaut donc :

La taille algébrique de l'image sur le capteur est :

En valeur absolue :

c) Équivalence avec l'objectif de Q4

Dans la question Q4, l'objectif de focale f'_1 = 100\text{ mm} donnait une image de taille A'B'_1 = 25\text{ mm}. Ici, l'image mesure A'B' \approx 41{,}7\text{ mm}, ce qui est strictement supérieur.

La distance focale équivalente de ce téléobjectif est :

1. Hypothèses de modélisation

• L'objectif de l'appareil est modélisé par une lentille mince convergente (L) de centre optique O et de distance focale f' = 18\text{ mm} (d'après le document 2).
• La distance de prise de vue est D = BC = 1{,}46\text{ km} = 1\,460\text{ m} (d'après le document 3). Comme D \gg f', l'objet est considéré à l'infini et l'image nette se forme dans le plan focal image : la distance lentille-capteur est d \approx f'.
• Le Mont Saint-Michel est assimilé à un objet vertical AB perpendiculaire à l'axe optique (visée horizontale), de hauteur H = AB.
• La photo est au format paysage et n'a pas été recadrée : la hauteur totale de l'image imprimée correspond à la petite dimension du capteur du Canon G10, soit h_{\text{capteur}} = 5{,}7\text{ mm} (d'après le document 1, dimensions 5{,}7\text{ mm} \times 7{,}6\text{ mm}).

2. Relation entre l'objet et l'image

Le grandissement transversal en valeur absolue s'écrit :

3. Mesures sur le cliché et calcul de h'

À la règle sur la photo du sujet (page 4), on mesure :

• la hauteur totale du cadre de la photo : H_{\text{photo}} \approx 5{,}7\text{ cm} ;
• la hauteur du Mont Saint-Michel, de la grève au sommet de la flèche : h_{\text{photo}} \approx 1{,}9\text{ cm}.

Le rapport des dimensions étant conservé par le grandissement optique, la hauteur de l'image sur le capteur vaut :

4. Application numérique

Compte tenu de l'incertitude de lecture sur l'image (environ \pm 0{,}1\text{ cm} sur h_{\text{photo}}), on obtient :

a) Loi de la réfraction en B

Au point B, la lumière passe du verre d'indice n à l'air d'indice n_{\text{air}} = 1. L'angle d'incidence par rapport à la normale (CB) est i et l'angle de réfraction est r.

La loi de Snell-Descartes pour la réfraction s'écrit :

b) Expression de la distance OF'

D'après la figure 2, les points O, K et F' sont alignés sur l'axe optique orienté de gauche à droite. On peut donc décomposer la distance OF' :

• Détermination de OK :

  Le rayon incident (AB) étant parallèle à l'axe optique, la normale (CB) coupe l'axe optique en C en formant l'angle \widehat{BCK} = i (angles alternes-internes).

  Dans le triangle CKB rectangle en K, avec CB = R :

  \begin{aligned} CK &= R \cos(i) \\ BK &= R \sin(i) \end{aligned}

  Le sommet S du dioptre sphérique est à la distance CS = R du centre de courbure C. On en déduit :

  KS = CS - CK = R - R \cos(i) = R[1 - \cos(i)]

  L'épaisseur au centre étant OS = e, on obtient :

  OK = OS - KS = e - R[1 - \cos(i)]

• Détermination de KF' :

  Par rapport à la direction incidente horizontale, la normale (CB) fait un angle i, et le rayon émergent fait un angle r avec cette normale. L'angle de déviation du rayon émergent par rapport à la direction horizontale de l'axe optique est donc :

  \alpha = r - i

  Dans le triangle BKF' rectangle en K, l'angle en F' vaut \widehat{BF'K} = \alpha = r - i. On a donc :

  \tan(r - i) = \frac{BK}{KF'} \implies KF' = \frac{BK}{\tan(r - i)} = \frac{R \sin(i)}{\tan(r - i)}

En sommant les deux contributions, on retrouve bien :

a) Stigmatisme rigoureux

Pour un faisceau incident parallèle à l'axe optique (objet ponctuel à l'infini sur l'axe), le système serait rigoureusement stigmatique si tous les rayons émergents convergeaient en un unique point F'.

Or, d'après l'expression établie à la question Q9.b :

la distance OF' dépend explicitement de l'angle d'incidence i (et donc de la hauteur h = R\sin(i) du rayon incident). Des rayons incidents à différentes distances de l'axe ne coupent pas l'axe optique au même point (aberration de sphéricité).

La lentille ne constitue donc pas un système rigoureusement stigmatique.

b) Stigmatisme approché

Considérons les deux approximations demandées :

• Rayons paraxiaux : les rayons sont proches de l'axe et peu inclinés par rapport à celui-ci, ce qui implique i \ll 1 et r \ll 1. Aux petits angles :

  \begin{aligned} \sin(i) &\approx i \\ \cos(i) &\approx 1 \\ \sin(r) &\approx r \implies r \approx n\,i \quad \text{(d'après Snell-Descartes)} \\ \tan(r - i) &\approx r - i \approx (n - 1)\,i \end{aligned}
• Lentille mince : l'épaisseur e est négligeable devant le rayon de courbure R (e \ll R).

Dans ce cadre, le terme e - R[1 - \cos(i)] \approx e est négligeable devant \frac{R}{n-1}, et le quotient s'écrit :

Cette position limite est indépendante de l'angle d'incidence i (et donc de la hauteur h) : tous les rayons émergents convergent, au premier ordre, vers un même point image F'.

Le système est donc approximativement stigmatique dans les conditions de Gauss.

c) Expression approchée de OF'

En sommant les contributions approchées :

a) Expression du chemin optique (OSF')

Le rayon qui coïncide avec l'axe optique traverse la lentille en incidence normale ; il n'est donc pas dévié. Le trajet s'effectue dans le verre d'indice n sur le segment [OS] de longueur e, puis dans l'air d'indice n_{\text{air}} = 1 sur le segment [SF']. Par définition du chemin optique :

La distance SF' s'exprime en fonction de la distance OF' et de l'épaisseur e :

D'où :

D'après la question Q10.c, dans les conditions de Gauss pour une lentille mince, la distance focale image vaut :

En identifiant la variable r mentionnée dans l'énoncé au rayon de courbure R de la face sphérique (coquille de casse r \equiv R), il vient :

Remarque : si l'énoncé entend par r la distance algébrique ou géométrique SF' (ou OF'), l'expression exacte s'écrit directement :

b) Relation entre (ABF') et (OSF')

Le faisceau incident est constitué de rayons parallèles à l'axe optique, ce qui correspond à une onde plane dont les surfaces d'onde sont des plans orthogonaux à l'axe optique. La face d'entrée de la lentille étant plane et orthogonale à l'axe, le plan (yOz) passant par O et A constitue lui-même une surface d'onde incidente.

D'après le théorème de Malus, les surfaces d'onde sont les surfaces orthogonales aux rayons lumineux. Dans les conditions de Gauss, la lentille réalise un stigmatisme approché entre le point objet à l'infini sur l'axe et le foyer image F' (la surface d'onde émergente convergeant vers F' est une sphère centrée sur F'). Par conséquent, le chemin optique séparant une surface d'onde incidente du point image de convergence F' est indépendant du rayon lumineux suivi.

Puisque A et O appartiennent à la même surface d'onde incidente et que les deux rayons convergent en F', on a l'égalité :

1. D'après le document 4, chaque cran d'ouverture vers la droite divise la surface d'ouverture par 2. Inversement, passer de f/8 à f/4 correspond à un décalage de deux crans vers la gauche (de f/8 à f/5{,}8 puis à f/4) : la surface offerte au passage de la lumière est donc multipliée par :

   2 \times 2 = 4

   Le flux lumineux incident sur le capteur étant quadruplé et la sensibilité restant constante (\text{ISO} = 100), il faut réduire la durée d'exposition par un facteur 4 pour conserver la même exposition (la même énergie lumineuse reçue par le capteur, ce que traduit la conservation de la surface du triangle du document 5).

   La vitesse d'obturation initiale étant t_1 = 1/250\text{ s}, le photographe doit choisir :

   t_2 = \frac{t_1}{4} = \frac{1}{4 \times 250\text{ s}} = \frac{1}{1000}\text{ s}
   \boxed{\text{Vitesse d'obturation : } 1/1000\text{ s}}

2. Le document 4 indique qu'« une plus faible ouverture permet d'obtenir une plus grande profondeur de champ ».

   En passant de f/8 à f/4, l'ouverture du diaphragme est plus grande :

   \boxed{\text{Ce réglage va diminuer la profondeur de champ.}}

3. La durée d'exposition est quatre fois plus courte (1/1000\text{ s} contre 1/250\text{ s}). Le mouvement de la personne pendant l'ouverture de l'obturateur est donc nettement plus faible :

   \boxed{\text{Non, le risque d'obtenir une image floue est plus faible.}}

D'après la relation d'Einstein-Planck, l'énergie E d'un photon associé à une onde électromagnétique monochromatique de fréquence \nu est donnée par :

où :

• E est l'énergie du photon, exprimée en joules (\mathrm{J}) dans le Système International (ou couramment en électron-volts, \mathrm{eV}) ;
• h est la constante de Planck, dont la dimension est celle d'une action, exprimée en joules-secondes (\mathrm{J\cdot s}) ou en \mathrm{m^2\cdot kg\cdot s^{-1}} (h = 6{,}63\cdot 10^{-34}\text{ J}\cdot\text{s}) ;
• \nu est la fréquence temporelle de l'onde, exprimée en hertz (\mathrm{Hz}) ou en \mathrm{s^{-1}} ;
• c est la célérité de la lumière dans le vide, exprimée en mètres par seconde (\mathrm{m\cdot s^{-1}}) ;
• \lambda = \frac{c}{\nu} est la longueur d'onde dans le vide, exprimée en mètres (\mathrm{m}).

L'obturateur reste ouvert pendant la durée :

Le diaphragme circulaire de diamètre D = 5\text{ mm} = 5{,}0\cdot 10^{-3}\text{ m} présente une surface d'ouverture :

Sous un éclairement solaire moyen noté \mathcal{E}_{\text{sol}} = 700\text{ W}\cdot\text{m}^{-2}, l'énergie électromagnétique totale pénétrant dans l'appareil durant l'ouverture est :

D'après la question Q13, chaque photon transporte une énergie :

Le nombre N de photons captés s'écrit donc :

Application numérique avec les données :

• \mathcal{E}_{\text{sol}} = 700\text{ W}\cdot\text{m}^{-2}
• D = 5{,}0\cdot 10^{-3}\text{ m} d'où S = \frac{\pi \times (5{,}0\cdot 10^{-3})^2}{4} \approx 1{,}96\cdot 10^{-5}\text{ m}^2
• \Delta t = \frac{1}{500}\text{ s} = 2{,}0\cdot 10^{-3}\text{ s}
• \mathcal{E}_{\text{rec}} = 700 \times 1{,}96\cdot 10^{-5} \times 2{,}0\cdot 10^{-3} \approx 2{,}75\cdot 10^{-5}\text{ J}
• E_{\text{ph}} = 6{,}63\cdot 10^{-34} \times 5{,}0\cdot 10^{14} \approx 3{,}32\cdot 10^{-19}\text{ J}

On obtient :

Le phénomène par lequel l'absorption d'un photon lumineux permet d'extraire un électron d'un métal est l'effet photoélectrique (plus précisément l'effet photoélectrique externe).

Le physicien ayant proposé une interprétation théorique de cet effet en 1905, en introduisant l'hypothèse des quanta de lumière (photons) d'énergie E = h\nu, est Albert Einstein.

Pour qu'un photon incident soit absorbé et crée une paire électron-trou dans le silicium, son énergie E doit être supérieure ou égale à l'énergie minimale E_{\text{min}} = 1{,}12\text{ eV} :

Calculons la longueur d'onde seuil \lambda_{\text{seuil}} dans le vide :

Le spectre de la lumière visible s'étend d'environ \lambda_{\text{min}} \approx 400\text{ nm} (violet) à \lambda_{\text{max}} \approx 800\text{ nm} (rouge extrême).

Pour tout photon du domaine visible, on a :

ce qui correspond à une énergie :