Corrigé détaillé Mines Physique 1 PC 2021

Pour les conditions de température ambiante et de pression usuelles, on choisit :

En assimilant le gaz à un gaz parfait, l'équation d'état donne pour une mole de gaz (n = 1\text{ mol}) :

Avec les valeurs fournies par l'énoncé (R = 8,3\text{ J}\cdot\text{K}^{-1}\cdot\text{mol}^{-1}), on obtient :

Avec un seul chiffre significatif comme demandé :

Le volume occupé par une molécule sphérique de rayon R_m \sim 100\text{ pm} = 10^{-10}\text{ m} est :

Pour une mole, le volume total des sphères moléculaires (ou covolume) s'écrit :

Le rapport demandé entre le volume occupé par l'ensemble des sphères associées aux molécules et le volume du récipient V est égal au rapport des volumes pour une mole :

En effectuant l'application numérique avec \mathcal{N}_A = 6,0 \times 10^{23}\text{ mol}^{-1} :

On en déduit :

Un gaz parfait est un modèle thermodynamique et cinétique de gaz vérifiant deux hypothèses fondamentales à l'échelle microscopique :

• les particules (atomes ou molécules) sont assimilées à des points matériels, c'est-à-dire que leur volume propre est négligeable devant le volume total offert au gaz (covolume nul) ;
• il n'y a aucune interaction à distance entre les particules : les seules interactions mutuelles consistent en des collisions élastiques de durée infiniment brève.

D'après le résultat de la question 1, le rapport entre le volume propre total des molécules et le volume du récipient est :

Le volume occupé par la matière elle-même représente environ un dix-millième du volume disponible. La première hypothèse du gaz parfait est donc parfaitement vérifiée.

De plus, la distance moyenne entre deux molécules voisines peut s'estimer par :

Cette distance est très grande devant le rayon d'une molécule (R_m \sim 0{,}1\text{ nm}) :

Les forces d'interaction intermoléculaires de type Van der Waals, dont la portée est de l'ordre du nanomètre ou moins (en décroissance rapide en 1/r^6 ou 1/r^7), sont par conséquent tout à fait négligeables entre les collisions.

Pour une particule de masse m_m animée d'une vitesse \vec{v}_m à l'altitude z (l'axe vertical (Oz) étant orienté vers le haut et l'origine prise au fond du récipient) :

• L'énergie cinétique de la particule s'écrit :

  \boxed{E_{cm} = \frac{1}{2} m_m v_m^2}

• En prenant pour référence de l'énergie potentielle de pesanteur le fond du récipient (E_{pm}(0) = 0), son énergie potentielle s'écrit :

  \boxed{E_{pm} = m_m g z}

La masse d'une molécule vaut m_m = \dfrac{M}{N_A} = \dfrac{30 \times 10^{-3}}{6{,}0 \times 10^{23}} = 5{,}0 \times 10^{-26}\text{ kg}.

Sur la hauteur h \sim 1\text{ m} du récipient, la variation d'énergie potentielle de pesanteur d'une molécule est :

L'énergie thermique caractéristique associée à l'agitation moléculaire à T_0 = 293\text{ K} vaut quant à elle :

On constate ainsi que :

L'agitation thermique domine très largement les effets de la pesanteur à cette échelle : le désordre thermique s'oppose au tassement gravitationnel, ce qui explique pourquoi les molécules occupent tout le volume offert et ne se regroupent pas au fond du récipient.

L'hypothèse d'équilibre thermodynamique local permet d'appliquer en tout point l'équation d'état du gaz parfait :

ce qui fournit directement la masse volumique locale \rho(z) = \frac{m(z)}{V} en fonction de la pression P(z) :

avec m_m = \frac{M}{N_A} et k_B = \frac{R}{N_A}. La pression P dépendant de l'altitude z à température T_0 uniforme, la masse volumique \rho dépend donc également de z.

Considérons le système fermé constitué par la tranche de fluide située entre les altitudes z et z+\mathrm{d}z, de section horizontale S et de volume \mathrm{d}V = S \mathrm{d}z, dans le référentiel terrestre supposé galiléen. Cette tranche est soumise à deux types d'actions mécaniques :

• les forces pressantes exercées par le fluide environnant sur ses faces horizontale inférieure et supérieure :

  \vec{F}_P = P(z) S \widehat{e}_z - P(z+\mathrm{d}z) S \widehat{e}_z \simeq -\frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}z} S \mathrm{d}z \widehat{e}_z

  (les forces de pression latérales se compensent deux à deux par symétrie) ;

• le poids de la tranche :

  \vec{\mathrm{d}P}_{\text{poids}} = -\mathrm{d}m \, g \widehat{e}_z = -\rho(z) S \mathrm{d}z \, g \widehat{e}_z.

À l'équilibre mécanique, la résultante des forces est nulle (\sum \vec{F}_{\text{ext}} = \vec{0}), ce qui donne par projection sur l'axe vertical ascendant \widehat{e}_z :

En remplaçant \rho(z) par son expression, on aboutit à l'équation différentielle vérifiée par P(z) :

D'après l'équation différentielle établie à la question Q4 :

La résolution de cette équation différentielle linéaire du premier ordre donne :

On en déduit :

avec une distance caractéristique H définie par :

Pour l'application numérique, avec R = 8{,}3\text{ J}\cdot\text{K}^{-1}\cdot\text{mol}^{-1}, T_0 \simeq 293\text{ K}, M = 30\text{ g}\cdot\text{mol}^{-1} = 3{,}0 \times 10^{-2}\text{ kg}\cdot\text{mol}^{-1} et g = 9{,}8\text{ m}\cdot\text{s}^{-2} :

Soit, avec un chiffre significatif :

Détectabilité dans le récipient de gaz :

Pour un récipient de hauteur h \sim 1\text{ m} à quelques mètres, on a h \ll H. La variation relative de pression s'écrit au premier ordre :

Soit |\Delta P| \sim 10\text{ Pa} pour une pression ambiante P_0 \simeq 10^5\text{ Pa}. Un manomètre usuel possède une précision relative rarement meilleure que 1\,\%, soit de l'ordre de 10^3\text{ Pa} (ou 10\text{ mbar}). Une telle variation de pression est donc indétectable avec un manomètre usuel.

Cas du récipient rempli d'eau liquide :

Pour l'eau liquide, fluide incompressible de masse volumique \rho_{\text{eau}} = 1{,}0 \times 10^3\text{ kg}\cdot\text{m}^{-3}, la loi fondamentale de la statique des fluides donne une surpression sur la hauteur h \sim 1\text{ m} :

Cette variation représente environ 10\,\% de la pression atmosphérique : elle est parfaitement détectable avec un manomètre usuel.

D'après la question Q5, la hauteur caractéristique d'échelle s'écrit :

Par définition, la fonction A(z) vaut :

En identifiant cette forme avec A(z) = \exp\left[-\dfrac{E(z)}{k_B T_0}\right], on en déduit immédiatement :

La fonction E(z) représente l'énergie potentielle de pesanteur E_{pm}(z) d'une particule (molécule) de masse m_m à l'altitude z, en prenant l'origine des énergies potentielles au niveau du sol (z = 0).

Cette expression met en évidence le facteur de Boltzmann :

La loi de distribution de Boltzmann stipule qu'à l'équilibre thermique à la température T_0, la probabilité de présence d'une particule dans un état microscopique d'énergie E est proportionnelle au facteur de Boltzmann \exp\left(-E / k_B T_0\right).

Elle traduit la compétition fondamentale entre :

• l'effet du potentiel gravitationnel, qui tend à minimiser l'énergie potentielle et à rassembler toutes les particules au fond du récipient (z = 0) ;
• l'agitation thermique d'énergie caractéristique k_B T_0, qui tend au contraire vers le désordre et maximise l'entropie en homogénéisant spatialement la répartition des molécules.

Considérons un volume mésoscopique \mathrm{d}\mathcal{V} situé à l'altitude z, contenant \mathrm{d}n moles de gaz à la température uniforme T_0 et sous la pression locale P(z). D'après l'équation d'état du gaz parfait :

La concentration molaire c_g(z) = \frac{\mathrm{d}n}{\mathrm{d}\mathcal{V}} s'exprime donc par :

Au niveau du sol (z = 0), la pression vaut P(0) = P_0, d'où la concentration molaire au sol :

En utilisant la relation établie à la question Q5, P(z) = P_0 A(z) avec A(z) = \exp(-z/H), on obtient immédiatement :

soit :

La concentration molaire suit bien une loi exponentielle de même profil que la pression.

On étudie un grain de gomme-gutte, modélisé par un point matériel de masse m_b et de volume V_b, dans le référentiel du laboratoire supposé galiléen. L'axe vertical (Oz) est orienté vers le haut par le vecteur unitaire \widehat{e}_z, de sorte que l'accélération de la pesanteur s'écrit \vec{g} = -g\,\widehat{e}_z.

Lors de sa chute à la vitesse \vec{v}, le grain est soumis à trois forces :

• son poids \vec{P}, exercé par la Terre :

  \vec{P} = m_b\,\vec{g} = \mu_b V_b\,\vec{g} = -m_b g\,\widehat{e}_z

• la poussée d'Archimède \vec{\Pi}, résultante des forces de pression exercées par l'eau sucrée :

  \vec{\Pi} = -\mu_e V_b\,\vec{g} = \mu_e V_b g\,\widehat{e}_z

• la force de frottement visqueux \vec{f}, exercée par le fluide en écoulement laminaire (loi de Stokes) :

  \vec{f} = -\alpha\,\vec{v} = -6\pi\eta R_b\,\vec{v}

La résultante des forces appliquées au grain s'écrit donc :

On étudie un grain de gomme-gutte de masse m_b dans le référentiel terrestre supposé galiléen.

D'après le bilan des forces établi à la question 8, les forces extérieures s'exerçant sur le grain sont :

• le poids : \vec{P} = m_b \vec{g} = - m_b g \, \widehat{e}_z avec m_b = \mu_b V_b ;
• la poussée d'Archimède : \vec{\Pi} = -\mu_e V_b \vec{g} = \mu_e V_b g \, \widehat{e}_z ;
• la force de frottement fluide : \vec{f} = -\alpha \vec{v} = \alpha v(t) \, \widehat{e}_z puisque \vec{v}(t) = -v(t)\,\widehat{e}_z.

Le principe fondamental de la dynamique s'écrit :

En projetant sur le vecteur vertical ascendant \widehat{e}_z, avec \vec{v} \cdot \widehat{e}_z = -v(t) :

soit en réorganisant les termes :

En introduisant m_b = \mu_b V_b, le terme source fait apparaître la masse m^* = (\mu_b - \mu_e)V_b. L'équation différentielle régissant v(t) est :

avec :

Cette quantité s'interprète comme la « masse apparente » du grain car le poids apparent effectif ressenti par la particule dans le fluide (résultante du poids et de la poussée d'Archimède) est :

Le grain se comporte dynamiquement comme une particule de masse m^* soumise au seul champ de pesanteur.

Le grain étant lâché sans vitesse initiale (v(0) = 0), l'intégration de cette équation différentielle linéaire du premier ordre avec second membre constant donne :

où la durée caractéristique du régime transitoire vaut :

Une fois le régime permanent établi (t \gg \tau), l'accélération s'annule (\mathrm{d}v/\mathrm{d}t = 0), d'où :

Calculons les ordres de grandeur de ces deux grandeurs avec un seul chiffre significatif :

On obtient :

Un vecteur densité de flux de particules \vec{j} représente un nombre de particules traversant une surface par unité d'aire et par unité de temps :

Leurs unités dans le Système International sont donc en \mathrm{m^{-2}\cdot s^{-1}}.

D'après la loi de Fick, \vec{j}_n = -D\,\dfrac{\mathrm{d}c}{\mathrm{d}z}\,\widehat{e}_z. Sachant que [c] = \mathrm{L}^{-3}, il vient :

Le coefficient de diffusion D s'exprime donc en \mathrm{m^2\cdot s^{-1}}.

À l'état d'équilibre stationnaire macroscopique, il n'y a aucun transport net de matière à travers une section horizontale du récipient. Le courant convectif descendant dû à la sédimentation est exactement compensé par le courant diffusif ascendant :

ce qui conduit à la relation :

En projetant sur l'axe vertical ascendant \widehat{e}_z avec \vec{j}_c(z) = -c(z)v_\ell\,\widehat{e}_z et \vec{j}_n(z) = -D\,\dfrac{\mathrm{d}c}{\mathrm{d}z}\,\widehat{e}_z :

En remplaçant v_\ell = \dfrac{m^*g}{\alpha} = \dfrac{m^*g}{6\pi\eta R_b} (d'après les données et la question Q9), on obtient :

L'intégration de cette équation différentielle avec la condition c(0) = c_0 donne :

avec une fonction A(z) = \exp(-z/H_b) et une hauteur caractéristique H_b définie par :

Les forces conservatives s'exerçant sur un grain sont son poids \vec{P} = -m_b g \widehat{e}_z et la poussée d'Archimède \vec{\Pi} = \mu_e V_b g \widehat{e}_z. Leur résultante s'écrit à l'aide de la masse apparente m^* = m_b - \mu_e V_b :

Cette force dérive d'une énergie potentielle effective E_p^*(z) définie, à une constante additive près choisie nulle en z = 0, par :

On obtient ainsi :

D'après la question Q10, la répartition spatiale à l'équilibre macroscopique est décrite par :

Pour que cette répartition coïncide avec la distribution canonique de Boltzmann :

il faut identifier les hauteurs d'échelle caractéristiques :

On en déduit l'expression du coefficient de diffusion :

Le nombre élémentaire de grains contenus dans une tranche horizontale d'épaisseur \mathrm{d}z, située à l'altitude z et de volume \mathrm{d}V = S\,\mathrm{d}z, s'écrit :

D'après la question Q10, la concentration volumique s'exprime selon :

La conservation du nombre total N de grains sur toute la hauteur du récipient, supposée infinie (h_1 \to +\infty), se traduit par l'intégrale :

On en déduit l'expression de la concentration au fond du récipient :

Une tranche horizontale comprise entre les cotes z et z + e, d'épaisseur e très faible et de section S, occupe un volume \Delta V = S\,e. La concentration volumique moyenne de grains dans cette tranche est :

D'après la question Q10, le profil d'équilibre de la concentration volumique s'écrit c(z) = c_0 \exp(-z/H_b). Par conséquent :

où n_0 = n(0) = c_0\,S\,e est le nombre moyen de grains dans la tranche au fond du récipient.

En prenant le logarithme népérien de cette expression :

Sur la figure 1, l'ajustement linéaire fournit :

Par identification de la pente, il vient :

Avec un seul chiffre significatif comme demandé par l'énoncé :

Examinons à présent l'hypothèse faite à la question Q12 d'une hauteur de récipient h_1 << suffisamment grande pour être supposée infinie >>. Avec h_1 = 100\ \mu\mathrm{m} :

À l'altitude maximale z = h_1, la concentration résiduelle n'est pas tout à fait négligeable :

De plus, la fraction de grains théoriquement située au-dessus de h_1 est égale à \exp(-h_1/H_b) \simeq 9\,\%.

La hauteur h_1 n'est pas très largement supérieure à H_b (idéalement, on attendrait h_1 \gtrsim 5 H_b, soit une fraction résiduelle inférieure à 1\,\%) : l'approximation d'une hauteur infinie est donc à peine satisfaisante (ou approximativement vérifiée), mais elle conduit à une erreur relative modérée sur la normalisation (environ 9\,\%).

D'après les questions Q10 et Q11, l'expression de la hauteur caractéristique d'échelle H_b s'écrit :

où la masse apparente est donnée par (question Q9) :

On en déduit l'expression de la constante de Boltzmann :

Avec les données numériques fournies par l'énoncé :

• \mu_b - \mu_e = (1{,}2 - 1{,}0)\times 10^3 = 0{,}2\times 10^3\text{ kg}\cdot\text{m}^{-3} = 2\times 10^2\text{ kg}\cdot\text{m}^{-3} ;
• V_b = 3{,}4\times 10^{-20}\text{ m}^3 ;
• m^* = 2\times 10^2 \times 3{,}4\times 10^{-20} \simeq 6{,}8\times 10^{-18}\text{ kg} ;
• g = 9{,}8\text{ m}\cdot\text{s}^{-2} ;
• T_0 = 20\text{ }^\circ\text{C} = 293\text{ K} ;
• H_b \simeq 4{,}2\times 10^{-5}\text{ m} (valeur issue de la pente de la figure 1 à la question Q13).

L'application numérique donne :

En arrondissant à un chiffre significatif conformément aux consignes de l'énoncé :

Causes d'erreurs expérimentales :

• La taille des grains R_b : la masse apparente dépend fortement du rayon (m^* \propto R_b^3). La polydispersité résiduelle lors du calibrage par centrifugation induit une incertitude relative importante sur m^* (trois fois celle sur R_b).
• Le comptage optique des grains n(z) : l'agitation thermique fait fluctuer le nombre de grains observés dans le champ focal d'épaisseur e mal délimitée, et les grains situés en limite de netteté peuvent être omis ou comptés en double.
• L'écart de masse volumique \Delta µ = \mu_b - \mu_e : la masse apparente fait intervenir une différence de deux grandeurs très proches (\mu_b = 1{,}2\times 10^3\text{ kg}\cdot\text{m}^{-3} et \mu_e = 1{,}0\times 10^3\text{ kg}\cdot\text{m}^{-3}), ce qui amplifie l'incertitude sur \Delta \mu.
• La stabilité thermique : des micro-courants de convection d'origine thermique peuvent perturber le régime d'équilibre de sédimentation si la température n'est pas parfaitement uniforme et régulée.

On étudie un grain sphérique de gomme-gutte de masse m_b, assimilé à un point matériel, dans le référentiel du laboratoire supposé galiléen. Selon les hypothèses du modèle de Langevin, les effets de la pesanteur sont négligés et le mouvement a lieu le long de l'axe (Ox). Les forces exercées sur le grain sont :

• la force de frottement fluide visqueux : \vec{f} = -\alpha \vec{v} = -\alpha v(t)\,\widehat{e}_x ;
• la force fluctuante modélisant les chocs moléculaires : \vec{F}_c = F_c(t)\,\widehat{e}_x.

La deuxième loi de Newton s'écrit :

ce qui donne l'équation de Langevin (E_L) :

En l'absence de force d'agitation thermique (\vec{F}_c = \vec{0}), l'équation devient :

La solution générale est :

La vitesse s'atténue de manière exponentielle avec un temps caractéristique \tau. D'après les valeurs numériques de l'énoncé et le calcul mené à la question Q9 :

Ce temps caractéristique étant de l'ordre d'une dizaine de nanosecondes, le mouvement macroscopique s'atténuerait quasi instantanément à l'échelle de l'observation humaine (quelques fractions de seconde). Par conséquent, sans la présence permanente de la force d'excitation aléatoire \vec{F}_c, le mouvement brownien s'éteindrait immédiatement.

Par dérivation d'un produit de deux fonctions du temps x(t) et v(t), on a :

Comme v = \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}, le premier terme s'écrit \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} \, v = v^2. Il vient donc :

On en déduit immédiatement l'expression recherchée :

La vitesse quadratique moyenne, notée u, est définie comme la racine carrée de la moyenne temporelle (ou statistique) du carré de la vitesse :

Dans le cadre de cette étude unidimensionnelle le long de l'axe (Ox), le mouvement brownien du grain correspond à un unique degré de liberté de translation associé à l'énergie cinétique :

En prenant la moyenne de cette expression, on obtient :

La relation donnée par l'énoncé, m_b u^2 = k_B T_0, s'écrit alors sous la forme :

Ce résultat constitue une illustration directe du théorème d'équipartition de l'énergie : à l'équilibre thermique à la température T_0, chaque degré de liberté quadratique et indépendant dans l'expression de l'énergie du système possède une énergie moyenne égale à \frac{1}{2} k_B T_0.

Le fait fondamental mis en évidence ici est que cette loi statistique s'applique de façon identique à une particule mésoscopique (un grain de gomme-gutte visible au microscope, contenant des milliards d'atomes) et à une molécule individuelle du fluide. Le grain brownien se comporte ainsi sur le plan thermodynamique comme une « molécule géante » en équilibre avec le milieu environnant.

D'après la question 15, la projection de l'équation de Langevin (E_L) sur l'axe (Ox) s'écrit :

Multiplions chaque membre par la coordonnée de position x :

En utilisant l'identité établie à la question 16, x \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t} = \frac{\mathrm{d}(xv)}{\mathrm{d}t} - v^2, cette équation devient :

Prenons la moyenne de cette relation. Par linéarité de l'opération de moyenne :

D'après les hypothèses et résultats précédents :

• l'hypothèse ergodique permet d'écrire \left\langle \frac{\mathrm{d}(xv)}{\mathrm{d}t} \right\rangle = \frac{\mathrm{d}\varphi}{\mathrm{d}t} avec \varphi(t) = \langle xv \rangle ;
• la force fluctuante est décorrélée de la position : \langle x F_c \rangle = 0 ;
• d'après la question 17, m_b \langle v^2 \rangle = m_b u^2 = k_B T_0.

On aboutit ainsi à l'équation différentielle du premier ordre linéaire à coefficients constants vérifiée par \varphi(t) :

L'équation sans second membre associée admet pour solution générale :

Une solution particulière constante évidente de l'équation avec second membre est :

La solution générale est donc :

La condition initiale \varphi(0) = 0 impose K = -\frac{k_B T_0}{\alpha}. On en déduit :

À chaque instant, la dérivée temporelle de x(t)^2 s'écrit :

En prenant la moyenne et en invoquant l'hypothèse ergodique mentionnée dans l'énoncé, \left\langle \frac{\mathrm{d}(x^2)}{\mathrm{d}t} \right\rangle = \frac{\mathrm{d}\langle x^2 \rangle}{\mathrm{d}t}, on obtient :

D'après le résultat de la question Q18, \varphi(t) = \frac{k_B T_0}{\alpha}\left(1 - \mathrm{e}^{-t/\tau}\right) avec \tau = \frac{m_b}{\alpha}. On intègre alors \psi(t) entre t=0 et t, sachant que le grain part de O à t=0, d'où \psi(0) = \langle x^2(0) \rangle = 0 :

L'expression exacte de \psi(t) est donc :

D'après la question Q9, le temps de relaxation visqueux vaut \tau = \frac{m_b}{\alpha} \sim 10^{-8}\text{ s}. Les observations expérimentales sont réalisées sur des durées de plusieurs dizaines de secondes (t \gtrsim 1\text{ s} \gg \tau). Pour t \gg \tau, le terme exponentiel s'annule rapidement (\mathrm{e}^{-t/\tau} \to 0) et le terme constant \tau devient totalement négligeable devant t :

On aboutit ainsi à la loi linéaire de diffusion :

avec :

D'après la question Q19, aux temps longs (t \gg \tau \sim 10^{-8}\text{ s}), le déplacement quadratique moyen suit une loi linéaire :

Sur la figure 2, la droite passe par l'origine (0,0) et atteint environ \langle x^2 \rangle = 180\ \mu\text{m}^2 pour t = 120\text{ s} (soit 90\ \mu\text{m}^2 à 60\text{ s}). La pente vaut donc :

On en déduit l'expression de la constante de Boltzmann :

À la température T_0 = 20^\circ\text{C} = 293\text{ K}, avec \alpha = 4{,}5 \times 10^{-9}\text{ kg}\cdot\text{s}^{-1} donné dans le préambule :

Avec un chiffre significatif, conformément aux consignes de l'énoncé :

Comparaison et commentaire :
À la question Q14, l'analyse du profil vertical de sédimentation (équilibre statique) avait conduit à la même estimation :

Ces deux valeurs sont en excellent accord mutuel et concordent avec la valeur admise k_B = 1{,}4 \times 10^{-23}\text{ J}\cdot\text{K}^{-1}.

Ce résultat constitue une confirmation éclatante de l'hypothèse atomique : deux méthodes expérimentales de natures physiques totalement distinctes — l'une macroscopique et statique (équilibre de sédimentation sous pesanteur), l'autre microscopique et dynamique (diffusion temporelle sous l'effet des chocs aléatoires) — aboutissent à la même constante fondamentale k_B, et par suite au même nombre d'Avogadro N_A = R / k_B.

Les conditions d'approximation de Gauss imposent que les rayons lumineux soient :

• paraxiaux : peu inclinés par rapport à l'axe optique (petits angles d'inclinaison \theta \ll 1\text{ rad}) ;
• peu écartés de l'axe optique (rayons proches du centre et de l'axe optique par rapport aux rayons de courbure des dioptres).

Ces conditions permettent de linéariser les lois de Snell-Descartes (\sin i \simeq i) et assurent les deux propriétés fondamentales suivantes pour une lentille mince :

1. Le stigmatisme approché : tous les rayons issus d'un point objet A émergent en convergeant en un même point image A' (ou semblent provenir d'un unique point A').
2. L'aplanétisme approché : l'image d'un petit objet plan AB perpendiculaire à l'axe optique est un petit élément de surface plan A'B' également perpendiculaire à l'axe optique (conservation de la planéité et absence de distorsion transversale).

Pour former une image finale A_2 B_2 rejetée à l'infini à travers l'oculaire convergent L_2, l'image intermédiaire A_1 B_1 doit se situer dans le plan focal objet de L_2. Le point A_1 est donc confondu avec le foyer objet F_2 (A_1 = F_2).

La construction des rayons lumineux issus du point objet B s'effectue en deux étapes :

• À travers l'objectif L_1 :

  • Le rayon incident issu de B et passant par le centre optique O_1 n'est pas dévié.
  • Le rayon incident issu de B et parallèle à l'axe optique émerge de L_1 en passant par le foyer image F'_1.
  • L'intersection de ces deux rayons définit la position de l'image intermédiaire B_1, qui est réelle et renversée.

• À travers l'oculaire L_2 :

  • Le rayon passant par B_1 et le centre optique O_2 traverse L_2 sans déviation.
  • Tous les autres rayons issus de B_1 (notamment ceux provenant de L_1) émergent de L_2 parallèlement à cette direction B_1 O_2. Le faisceau émergeant est constitué de rayons parallèles entre eux, formant une image à l'infini vue sous le diamètre apparent \alpha'.

1. Ordre de grandeur de la position de l'objet AB :

L'oculaire L_2 fournit une image finale A_2 B_2 à l'infini si et seulement si l'image intermédiaire A_1 B_1 se situe dans le plan focal objet de L_2 :

Par définition de l'intervalle optique \Delta = \overline{F'_1 F_2}, la position de l'image intermédiaire par rapport au foyer image de l'objectif L_1 est :

Appliquons la relation de conjugaison de Newton à la lentille convergente L_1 de centre O_1, de foyers F_1 et F'_1, et de distance focale image f'_1 = \overline{O_1 F'_1} = -\overline{O_1 F_1} :

On en déduit :

Avec les valeurs fournies f'_1 = 1\text{ mm} = 10^{-3}\text{ m} et \Delta = 15\text{ cm} = 0{,}15\text{ m} :

Puisque \overline{A F_1} > 0, l'objet est situé en amont du foyer objet F_1. De plus, \overline{A F_1} \ll f'_1 (7\ \mu\text{m} \ll 1\text{ mm}) : l'objet AB se trouve donc quasiment au niveau du foyer F_1.

2. Intérêt d'observer une image à l'infini :

Un œil normal (emmétrope) a son punctum remotum à l'infini. Il n'a donc pas besoin d'accommoder pour voir nettement une image située à l'infini : les muscles ciliaires sont au repos, ce qui évite toute fatigue oculaire lors d'une observation prolongée.

3. Position de l'image intermédiaire A_1 B_1 :

• Lorsque \overline{A F_1} > 0 (soit \overline{F_1 A} < 0), l'image intermédiaire se forme en :

  \boxed{A_1 = F_2}

  C'est une image réelle, située à une distance \Delta en aval de F'_1 (en F_2, donc dans le plan focal objet de l'oculaire).

• Si l'on avait \overline{A F_1} < 0, c'est-à-dire si l'objet réel était placé entre le foyer objet F_1 et le centre optique O_1 (0 < \overline{F_1 A} < f'_1), la relation de Newton donnerait :

  \overline{F'_1 A_1} = -\frac{{f'_1}^2}{\overline{F_1 A}} < 0

  Comme 0 < \overline{F_1 A} < f'_1, on aurait \overline{F'_1 A_1} < -f'_1. La position algébrique depuis le centre optique O_1 serait alors :

  \overline{O_1 A_1} = \overline{O_1 F'_1} + \overline{F'_1 A_1} = f'_1 + \overline{F'_1 A_1} < 0

  L'image intermédiaire A_1 B_1 serait donc virtuelle et située en amont de l'objectif L_1.

L'image intermédiaire A_1B_1 est située dans le plan focal objet de l'oculaire L_2 (A_1 = F_2). Dans l'approximation paraxiale (conditions de Gauss), l'angle \alpha' sous lequel est vue cette image depuis le centre optique O_2 (ou le foyer image F'_2) vérifie :

D'après la formule de grandissement de Newton pour l'objectif L_1 :

Il vient ainsi pour la taille de l'image intermédiaire :

On en déduit l'expression de la puissance intrinsèque :

Avec les valeurs usuelles fournies par l'énoncé :

• \Delta = 15\text{ cm} = 0{,}15\text{ m} ;
• f'_1 = 1\text{ mm} = 10^{-3}\text{ m} ;
• f'_2 = 2\text{ cm} = 2 \times 10^{-2}\text{ m} ;

l'application numérique donne avec un chiffre significatif :

Un grain de gomme-gutte possède un diamètre :

Vu à travers ce microscope, son diamètre apparent est :

Le pouvoir de résolution angulaire d'un œil emmétrope (normal) est typiquement de :

On constate que \alpha' \simeq 10\,\varepsilon > \varepsilon.

Par conséquent, un microscope usuel permet bien à un œil emmétrope de distinguer et d'observer individuellement ces grains de gomme-gutte.