Corrigé détaillé Mines Physique 1 PC 2021

Pour les conditions de température ambiante et de pression usuelles, on choisit :

En assimilant le gaz à un gaz parfait, l'équation d'état donne pour une mole de gaz (n = 1\text{ mol}) :

Avec les valeurs fournies par l'énoncé (R = 8,3\text{ J}\cdot\text{K}^{-1}\cdot\text{mol}^{-1}), on obtient :

Avec un seul chiffre significatif comme demandé :

Le volume occupé par une molécule sphérique de rayon R_m \sim 100\text{ pm} = 10^{-10}\text{ m} est :

Pour une mole, le volume total des sphères moléculaires (ou covolume) s'écrit :

Le rapport demandé entre le volume occupé par l'ensemble des sphères associées aux molécules et le volume du récipient V est égal au rapport des volumes pour une mole :

En effectuant l'application numérique avec \mathcal{N}_A = 6,0 \times 10^{23}\text{ mol}^{-1} :

On en déduit :

Un gaz parfait est un modèle thermodynamique et cinétique de gaz vérifiant deux hypothèses fondamentales à l'échelle microscopique :

• les particules (atomes ou molécules) sont assimilées à des points matériels, c'est-à-dire que leur volume propre est négligeable devant le volume total offert au gaz (covolume nul) ;
• il n'y a aucune interaction à distance entre les particules : les seules interactions mutuelles consistent en des collisions élastiques de durée infiniment brève.

D'après le résultat de la question 1, le rapport entre le volume propre total des molécules et le volume du récipient est :

Le volume occupé par la matière elle-même représente environ un dix-millième du volume disponible. La première hypothèse du gaz parfait est donc parfaitement vérifiée.

De plus, la distance moyenne entre deux molécules voisines peut s'estimer par :

Cette distance est très grande devant le rayon d'une molécule (R_m \sim 0{,}1\text{ nm}) :

Les forces d'interaction intermoléculaires de type Van der Waals, dont la portée est de l'ordre du nanomètre ou moins (en décroissance rapide en 1/r^6 ou 1/r^7), sont par conséquent tout à fait négligeables entre les collisions.

Pour une particule de masse m_m animée d'une vitesse \vec{v}_m à l'altitude z (l'axe vertical (Oz) étant orienté vers le haut et l'origine prise au fond du récipient) :

• L'énergie cinétique de la particule s'écrit :

  \boxed{E_{cm} = \frac{1}{2} m_m v_m^2}

• En prenant pour référence de l'énergie potentielle de pesanteur le fond du récipient (E_{pm}(0) = 0), son énergie potentielle s'écrit :

  \boxed{E_{pm} = m_m g z}

La masse d'une molécule vaut m_m = \dfrac{M}{N_A} = \dfrac{30 \times 10^{-3}}{6{,}0 \times 10^{23}} = 5{,}0 \times 10^{-26}\text{ kg}.

Sur la hauteur h \sim 1\text{ m} du récipient, la variation d'énergie potentielle de pesanteur d'une molécule est :

L'énergie thermique caractéristique associée à l'agitation moléculaire à T_0 = 293\text{ K} vaut quant à elle :

On constate ainsi que :

L'agitation thermique domine très largement les effets de la pesanteur à cette échelle : le désordre thermique s'oppose au tassement gravitationnel, ce qui explique pourquoi les molécules occupent tout le volume offert et ne se regroupent pas au fond du récipient.

L'hypothèse d'équilibre thermodynamique local permet d'appliquer en tout point l'équation d'état du gaz parfait :

ce qui fournit directement la masse volumique locale \rho(z) = \frac{m(z)}{V} en fonction de la pression P(z) :

avec m_m = \frac{M}{N_A} et k_B = \frac{R}{N_A}. La pression P dépendant de l'altitude z à température T_0 uniforme, la masse volumique \rho dépend donc également de z.

Considérons le système fermé constitué par la tranche de fluide située entre les altitudes z et z+\mathrm{d}z, de section horizontale S et de volume \mathrm{d}V = S \mathrm{d}z, dans le référentiel terrestre supposé galiléen. Cette tranche est soumise à deux types d'actions mécaniques :

• les forces pressantes exercées par le fluide environnant sur ses faces horizontale inférieure et supérieure :

  \vec{F}_P = P(z) S \widehat{e}_z - P(z+\mathrm{d}z) S \widehat{e}_z \simeq -\frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}z} S \mathrm{d}z \widehat{e}_z

  (les forces de pression latérales se compensent deux à deux par symétrie) ;

• le poids de la tranche :

  \vec{\mathrm{d}P}_{\text{poids}} = -\mathrm{d}m \, g \widehat{e}_z = -\rho(z) S \mathrm{d}z \, g \widehat{e}_z.

À l'équilibre mécanique, la résultante des forces est nulle (\sum \vec{F}_{\text{ext}} = \vec{0}), ce qui donne par projection sur l'axe vertical ascendant \widehat{e}_z :

En remplaçant \rho(z) par son expression, on aboutit à l'équation différentielle vérifiée par P(z) :

D'après l'équation différentielle établie à la question Q4 :

La résolution de cette équation différentielle linéaire du premier ordre donne :

On en déduit :

avec une distance caractéristique H définie par :

Pour l'application numérique, avec R = 8{,}3\text{ J}\cdot\text{K}^{-1}\cdot\text{mol}^{-1}, T_0 \simeq 293\text{ K}, M = 30\text{ g}\cdot\text{mol}^{-1} = 3{,}0 \times 10^{-2}\text{ kg}\cdot\text{mol}^{-1} et g = 9{,}8\text{ m}\cdot\text{s}^{-2} :

Soit, avec un chiffre significatif :

Détectabilité dans le récipient de gaz :

Pour un récipient de hauteur h \sim 1\text{ m} à quelques mètres, on a h \ll H. La variation relative de pression s'écrit au premier ordre :

Soit |\Delta P| \sim 10\text{ Pa} pour une pression ambiante P_0 \simeq 10^5\text{ Pa}. Un manomètre usuel possède une précision relative rarement meilleure que 1\,\%, soit de l'ordre de 10^3\text{ Pa} (ou 10\text{ mbar}). Une telle variation de pression est donc indétectable avec un manomètre usuel.

Cas du récipient rempli d'eau liquide :

Pour l'eau liquide, fluide incompressible de masse volumique \rho_{\text{eau}} = 1{,}0 \times 10^3\text{ kg}\cdot\text{m}^{-3}, la loi fondamentale de la statique des fluides donne une surpression sur la hauteur h \sim 1\text{ m} :

Cette variation représente environ 10\,\% de la pression atmosphérique : elle est parfaitement détectable avec un manomètre usuel.

D'après la question Q5, la hauteur caractéristique d'échelle s'écrit :

Par définition, la fonction A(z) vaut :

En identifiant cette forme avec A(z) = \exp\left[-\dfrac{E(z)}{k_B T_0}\right], on en déduit immédiatement :

La fonction E(z) représente l'énergie potentielle de pesanteur E_{pm}(z) d'une particule (molécule) de masse m_m à l'altitude z, en prenant l'origine des énergies potentielles au niveau du sol (z = 0).

Cette expression met en évidence le facteur de Boltzmann :

La loi de distribution de Boltzmann stipule qu'à l'équilibre thermique à la température T_0, la probabilité de présence d'une particule dans un état microscopique d'énergie E est proportionnelle au facteur de Boltzmann \exp\left(-E / k_B T_0\right).

Elle traduit la compétition fondamentale entre :

• l'effet du potentiel gravitationnel, qui tend à minimiser l'énergie potentielle et à rassembler toutes les particules au fond du récipient (z = 0) ;
• l'agitation thermique d'énergie caractéristique k_B T_0, qui tend au contraire vers le désordre et maximise l'entropie en homogénéisant spatialement la répartition des molécules.

Considérons un volume mésoscopique \mathrm{d}\mathcal{V} situé à l'altitude z, contenant \mathrm{d}n moles de gaz à la température uniforme T_0 et sous la pression locale P(z). D'après l'équation d'état du gaz parfait :

La concentration molaire c_g(z) = \frac{\mathrm{d}n}{\mathrm{d}\mathcal{V}} s'exprime donc par :

Au niveau du sol (z = 0), la pression vaut P(0) = P_0, d'où la concentration molaire au sol :

En utilisant la relation établie à la question Q5, P(z) = P_0 A(z) avec A(z) = \exp(-z/H), on obtient immédiatement :

soit :

La concentration molaire suit bien une loi exponentielle de même profil que la pression.

On étudie un grain de gomme-gutte, modélisé par un point matériel de masse m_b et de volume V_b, dans le référentiel du laboratoire supposé galiléen. L'axe vertical (Oz) est orienté vers le haut par le vecteur unitaire \widehat{e}_z, de sorte que l'accélération de la pesanteur s'écrit \vec{g} = -g\,\widehat{e}_z.

Lors de sa chute à la vitesse \vec{v}, le grain est soumis à trois forces :

• son poids \vec{P}, exercé par la Terre :

  \vec{P} = m_b\,\vec{g} = \mu_b V_b\,\vec{g} = -m_b g\,\widehat{e}_z

• la poussée d'Archimède \vec{\Pi}, résultante des forces de pression exercées par l'eau sucrée :

  \vec{\Pi} = -\mu_e V_b\,\vec{g} = \mu_e V_b g\,\widehat{e}_z

• la force de frottement visqueux \vec{f}, exercée par le fluide en écoulement laminaire (loi de Stokes) :

  \vec{f} = -\alpha\,\vec{v} = -6\pi\eta R_b\,\vec{v}

La résultante des forces appliquées au grain s'écrit donc :

On étudie un grain de gomme-gutte de masse m_b dans le référentiel terrestre supposé galiléen.

D'après le bilan des forces établi à la question 8, les forces extérieures s'exerçant sur le grain sont :

• le poids : \vec{P} = m_b \vec{g} = - m_b g \, \widehat{e}_z avec m_b = \mu_b V_b ;
• la poussée d'Archimède : \vec{\Pi} = -\mu_e V_b \vec{g} = \mu_e V_b g \, \widehat{e}_z ;
• la force de frottement fluide : \vec{f} = -\alpha \vec{v} = \alpha v(t) \, \widehat{e}_z puisque \vec{v}(t) = -v(t)\,\widehat{e}_z.

Le principe fondamental de la dynamique s'écrit :

En projetant sur le vecteur vertical ascendant \widehat{e}_z, avec \vec{v} \cdot \widehat{e}_z = -v(t) :

soit en réorganisant les termes :

En introduisant m_b = \mu_b V_b, le terme source fait apparaître la masse m^* = (\mu_b - \mu_e)V_b. L'équation différentielle régissant v(t) est :

avec :

Cette quantité s'interprète comme la « masse apparente » du grain car le poids apparent effectif ressenti par la particule dans le fluide (résultante du poids et de la poussée d'Archimède) est :

Le grain se comporte dynamiquement comme une particule de masse m^* soumise au seul champ de pesanteur.

Le grain étant lâché sans vitesse initiale (v(0) = 0), l'intégration de cette équation différentielle linéaire du premier ordre avec second membre constant donne :

où la durée caractéristique du régime transitoire vaut :

Une fois le régime permanent établi (t \gg \tau), l'accélération s'annule (\mathrm{d}v/\mathrm{d}t = 0), d'où :

Calculons les ordres de grandeur de ces deux grandeurs avec un seul chiffre significatif :

On obtient :

Un vecteur densité de flux de particules \vec{j} représente un nombre de particules traversant une surface par unité d'aire et par unité de temps :

Leurs unités dans le Système International sont donc en \mathrm{m^{-2}\cdot s^{-1}}.

D'après la loi de Fick, \vec{j}_n = -D\,\dfrac{\mathrm{d}c}{\mathrm{d}z}\,\widehat{e}_z. Sachant que [c] = \mathrm{L}^{-3}, il vient :

Le coefficient de diffusion D s'exprime donc en \mathrm{m^2\cdot s^{-1}}.

À l'état d'équilibre stationnaire macroscopique, il n'y a aucun transport net de matière à travers une section horizontale du récipient. Le courant convectif descendant dû à la sédimentation est exactement compensé par le courant diffusif ascendant :

ce qui conduit à la relation :

En projetant sur l'axe vertical ascendant \widehat{e}_z avec \vec{j}_c(z) = -c(z)v_\ell\,\widehat{e}_z et \vec{j}_n(z) = -D\,\dfrac{\mathrm{d}c}{\mathrm{d}z}\,\widehat{e}_z :

En remplaçant v_\ell = \dfrac{m^*g}{\alpha} = \dfrac{m^*g}{6\pi\eta R_b} (d'après les données et la question Q9), on obtient :

L'intégration de cette équation différentielle avec la condition c(0) = c_0 donne :

avec une fonction A(z) = \exp(-z/H_b) et une hauteur caractéristique H_b définie par :

Les forces conservatives s'exerçant sur un grain sont son poids \vec{P} = -m_b g \widehat{e}_z et la poussée d'Archimède \vec{\Pi} = \mu_e V_b g \widehat{e}_z. Leur résultante s'écrit à l'aide de la masse apparente m^* = m_b - \mu_e V_b :

Cette force dérive d'une énergie potentielle effective E_p^*(z) définie, à une constante additive près choisie nulle en z = 0, par :

On obtient ainsi :

D'après la question Q10, la répartition spatiale à l'équilibre macroscopique est décrite par :

Pour que cette répartition coïncide avec la distribution canonique de Boltzmann :

il faut identifier les hauteurs d'échelle caractéristiques :

On en déduit l'expression du coefficient de diffusion :

Le nombre élémentaire de grains contenus dans une tranche horizontale d'épaisseur \mathrm{d}z, située à l'altitude z et de volume \mathrm{d}V = S\,\mathrm{d}z, s'écrit :

D'après la question Q10, la concentration volumique s'exprime selon :

La conservation du nombre total N de grains sur toute la hauteur du récipient, supposée infinie (h_1 \to +\infty), se traduit par l'intégrale :

On en déduit l'expression de la concentration au fond du récipient :

Une tranche horizontale comprise entre les cotes z et z + e, d'épaisseur e très faible et de section S, occupe un volume \Delta V = S\,e. La concentration volumique moyenne de grains dans cette tranche est :

D'après la question Q10, le profil d'équilibre de la concentration volumique s'écrit c(z) = c_0 \exp(-z/H_b). Par conséquent :

où n_0 = n(0) = c_0\,S\,e est le nombre moyen de grains dans la tranche au fond du récipient.

En prenant le logarithme népérien de cette expression :

Sur la figure 1, l'ajustement linéaire fournit :

Par identification de la pente, il vient :

Avec un seul chiffre significatif comme demandé par l'énoncé :

Examinons à présent l'hypothèse faite à la question Q12 d'une hauteur de récipient h_1 << suffisamment grande pour être supposée infinie >>. Avec h_1 = 100\ \mu\mathrm{m} :

À l'altitude maximale z = h_1, la concentration résiduelle n'est pas tout à fait négligeable :

De plus, la fraction de grains théoriquement située au-dessus de h_1 est égale à \exp(-h_1/H_b) \simeq 9\,\%.

La hauteur h_1 n'est pas très largement supérieure à H_b (idéalement, on attendrait h_1 \gtrsim 5 H_b, soit une fraction résiduelle inférieure à 1\,\%) : l'approximation d'une hauteur infinie est donc à peine satisfaisante (ou approximativement vérifiée), mais elle conduit à une erreur relative modérée sur la normalisation (environ 9\,\%).

D'après les questions Q10 et Q11, l'expression de la hauteur caractéristique d'échelle H_b s'écrit :

où la masse apparente est donnée par (question Q9) :

On en déduit l'expression de la constante de Boltzmann :

Avec les données numériques fournies par l'énoncé :

• \mu_b - \mu_e = (1{,}2 - 1{,}0)\times 10^3 = 0{,}2\times 10^3\text{ kg}\cdot\text{m}^{-3} = 2\times 10^2\text{ kg}\cdot\text{m}^{-3} ;
• V_b = 3{,}4\times 10^{-20}\text{ m}^3 ;
• m^* = 2\times 10^2 \times 3{,}4\times 10^{-20} \simeq 6{,}8\times 10^{-18}\text{ kg} ;
• g = 9{,}8\text{ m}\cdot\text{s}^{-2} ;
• T_0 = 20\text{ }^\circ\text{C} = 293\text{ K} ;
• H_b \simeq 4{,}2\times 10^{-5}\text{ m} (valeur issue de la pente de la figure 1 à la question Q13).

L'application numérique donne :

En arrondissant à un chiffre significatif conformément aux consignes de l'énoncé :

Causes d'erreurs expérimentales :

• La taille des grains R_b : la masse apparente dépend fortement du rayon (m^* \propto R_b^3). La polydispersité résiduelle lors du calibrage par centrifugation induit une incertitude relative importante sur m^* (trois fois celle sur R_b).
• Le comptage optique des grains n(z) : l'agitation thermique fait fluctuer le nombre de grains observés dans le champ focal d'épaisseur e mal délimitée, et les grains situés en limite de netteté peuvent être omis ou comptés en double.
• L'écart de masse volumique \Delta µ = \mu_b - \mu_e : la masse apparente fait intervenir une différence de deux grandeurs très proches (\mu_b = 1{,}2\times 10^3\text{ kg}\cdot\text{m}^{-3} et \mu_e = 1{,}0\times 10^3\text{ kg}\cdot\text{m}^{-3}), ce qui amplifie l'incertitude sur \Delta \mu.
• La stabilité thermique : des micro-courants de convection d'origine thermique peuvent perturber le régime d'équilibre de sédimentation si la température n'est pas parfaitement uniforme et régulée.