Corrigé détaillé ENS Physique BCPST 2021 (page 3/4 : Partie 2 (questions 28 à 42) et partie 3 (questions 43 à 45))

1. Définition du stigmatisme

Un système optique est dit rigoureusement stigmatique pour un couple de points (A, A') si tout rayon lumineux issu du point objet A (réel ou virtuel) et traversant le système optique émerge en passant (ou dont le prolongement passe) par un point unique A', appelé point image (réel ou virtuel).

De façon plus générale, le système est stigmatique s'il transforme tout point objet en un point image unique, sans étalement spatial du faisceau émergent.

2. Exemple de système optique rigoureusement stigmatique

Le miroir plan présente un stigmatisme rigoureux pour tout point de l'espace : l'image A' d'un point A quelconque est son symétrique orthogonal par rapport au plan du miroir.

Autre exemple classique : le miroir parabolique, rigoureusement stigmatique pour le couple constitué de son foyer et d'un point situé à l'infini sur son axe de révolution.

La surface de la lentille est décrite dans le plan (Oxy) par la courbe d'équation y = f(x).

Méthode 1 : Par le vecteur tangent

Un déplacement élémentaire le long de la surface s'écrit :

Un vecteur tangent à l'interface au point (x, f(x)) est donc :

Un vecteur normal \vec{N}_0 = \begin{pmatrix} N_x \\ N_y \end{pmatrix} est orthogonal à \vec{T}_0, ce qui se traduit par le produit scalaire nul :

La condition imposée sur la composante selon \vec{e}_y étant strictement positive (N_y > 0), on peut choisir N_y = 1, ce qui donne N_x = -f'(x) :

La norme de ce vecteur vaut :

Le vecteur unitaire \vec{N} = \dfrac{\vec{N}_0}{\|\vec{N}_0\|} s'écrit alors :

Méthode 2 : Par le gradient

La surface est une ligne de niveau de la fonction scalaire F(x, y) = y - f(x) = 0. Le gradient de F est orthogonal à cette ligne de niveau et s'exprime par :

Sa composante selon \vec{e}_y vaut +1 > 0, orientée vers l'intérieur de la lentille (du milieu 1 vers le milieu 2). En normalisant par sa norme \|\vec{\nabla}F\| = \sqrt{1+(f'(x))^2}, on retrouve directement l'expression demandée.

À la première interface (surface convexe d'entrée) :

• le milieu incident est l'air d'indice n_1 = 1 ;
• le milieu réfracté est la lentille d'indice n_2 = n ;
• les rayons incidents se propagent parallèlement à l'axe (Oy) vers les y croissants, soit \vec{v}_1 = \vec{e}_y ;

• le vecteur unitaire normal \vec{N} s'écrit d'après la question Q29 :

  \vec{N} = \frac{1}{\sqrt{1+\big(f'(x)\big)^2}}\begin{pmatrix} -f'(x) \\ 1 \end{pmatrix}.

Calculons la composante normale incidente v_{1,N} :

On en déduit :

Le terme sous la racine carrée de l'équation (5) s'exprime alors comme :

Le facteur devant \vec{N} dans l'expression (5) vaut ainsi :

En multipliant ce scalaire par le vecteur unitaire \vec{N} = \frac{1}{\sqrt{1+(f'(x))^2}} \big(-f'(x)\vec{e}_x + \vec{e}_y\big), le dénominateur devient 1+\big(f'(x)\big)^2, faisant apparaître précisément la fonction g(x) :

En réinjectant ce résultat dans l'équation (5) avec \vec{v}_2 = \vec{v}_r(x) et \frac{n_1}{n_2}\vec{v}_1 = \frac{1}{n}\vec{e}_y, on obtient :

À la seconde interface située en y = 0, le rayon passe du verre d'indice n_1 = n vers l'air d'indice n_2 = 1. L'interface étant un plan d'équation y = 0, la normale unitaire dirigée du milieu incident vers le milieu émergent (dans le sens de propagation selon y > 0) est :

D'après l'expression de \vec{v}_r(x) obtenue à la question Q30 :

Le rapport des indices vaut ici \dfrac{n_1}{n_2} = n. La relation (5) donne directement :

En remplaçant \vec{v}_r \cdot \vec{e}_y = \dfrac{1}{n} + g(x) dans les termes selon \vec{e}_y :

On obtient l'expression intermédiaire demandée :

En injectant l'expression complète de \vec{v}_r(x) = -f'(x)g(x)\vec{e}_x + \left(\dfrac{1}{n} + g(x)\right)\vec{e}_y, le terme n \vec{v}_r s'écrit :

La composante (1 + n g(x)) \vec{e}_y se compense exactement avec le terme -(1 + n g(x)) \vec{e}_y, ce qui conduit au résultat final :

Dans l'approximation de la lentille mince, le rayon lumineux émerge de la face de sortie plane (y=0) au point S de coordonnées (x, 0).

Le rayon réfracté se propage en ligne droite selon le vecteur directeur unitaire \vec{v}_s(x) = v_{s,x} \vec{e}_x + v_{s,y} \vec{e}_y, où d'après la relation (8) établie à la question précédente :

Tout point M(X, Y) du rayon lumineux vérifie :

Le rayon coupe l'axe optique (Oy) au point d'abscisse X = 0 et d'ordonnée Y = y_s. En éliminant le paramètre \lambda :

En injectant les composantes de \vec{v}_s(x), on obtient :

Les rayons incidents proviennent de l'infini et se propagent parallèlement à l'axe optique (Oy). Par définition, dans un système optique convergent, de tels rayons émergent en passant par le foyer principal image F' de la lentille.

Pour une lentille mince dont la face de sortie plane est située en y = 0 (plan de référence contenant le centre optique), le point d'intersection (0, y_s) du rayon émergent avec l'axe optique (Oy) correspond au foyer image F'. Par conséquent, l'ordonnée y_s représente la distance focale image f'_\ell de la lentille :

Dans les conditions de Gauss (rayons paraxiaux, c'est-à-dire proches de l'axe optique et peu inclinés par rapport à celui-ci), le système optique vérifie un stigmatisme approché :

• tous les rayons incidents parallèles à l'axe optique convergent en un même point focal image F' unique ;
• par conséquent, dans ce cadre, y_s ne dépend pas de x.

1. Signe de a_0 :

   La face de sortie plane de la lentille est située dans le plan d'équation y = 0. La lentille étant éclairée par les y négatifs (y \to -\infty) avec propagation vers les y croissants, sa face d'entrée convexe d'équation y = f(x) est nécessairement située dans le demi-espace y < 0.

   Au sommet de la lentille situé sur l'axe optique (x = 0), on a f(0) = a_0. On en déduit :

   \boxed{a_0 < 0}

   L'épaisseur au centre de la lentille vaut ainsi e_0 = -a_0 > 0.

2. Parité du développement de f :

   D'après l'énoncé, la lentille présente une symétrie de révolution autour de l'axe optique (Oy). Dans le plan de coupe (Oxy), le profil géométrique de la surface d'entrée est donc invariant par la réflexion x \mapsto -x par rapport à l'axe (Oy) :

   f(-x) = f(x)

   La fonction f est une fonction paire. Par conséquent, toutes ses dérivées d'ordre impair en x = 0 sont nulles, et son développement limité au voisinage de x = 0 ne comporte que des puissances paires de x :

   \boxed{f(x) = a_0 + a_2 x^2 + a_4 x^4 + \dots}

D'après la question Q32 et les relations (10) et (11), l'ordonnée y_s(x) s'écrit au voisinage de x = 0 :

Dans les conditions de Gauss (x \to 0), y_s s'identifie à la distance focale image f_\ell' de la lentille (question Q33) :

Analyse du résultat :

• Lorsque n \to 1, l'indice de la lentille devient égal à celui de l'air environnant : il n'y a plus de saut d'indice, donc aucune déviation des rayons lumineux à la traversée des interfaces. La lentille ne focalise plus la lumière, ce qui se traduit par f_\ell' \to +\infty.
• La courbure au sommet de la face convexe vaut \mathcal{C} = f''(0) = 2a_2, reliée au rayon de courbure par R_c = \frac{1}{2a_2}. Plus la courbure est importante (a_2 grand, face fortement bombée), plus la distance focale f_\ell' est courte : la lentille est plus convergente (sa vergence V = \frac{1}{f_\ell'} = 2a_2(n-1) augmente). À la limite d'une face plane (a_2 \to 0), la lentille devient une lame à faces parallèles et f_\ell' \to +\infty.

Dépendance en x de y_s(x) : La première dépendance non constante du développement en puissance de x de y_s(x) est en x^2 :

Ce résultat était prévisible par symétrie : le système optique présente une invariance par réflexion par rapport au plan (yOz). Un rayon incident à l'abscisse -x suit une trajectoire symétrique de celle du rayon à l'abscisse +x et coupe donc l'axe optique (Oy) au même point : y_s(-x) = y_s(x). La fonction y_s est donc strictement paire, ce qui annule tous les coefficients d'ordres impairs (notamment le terme linéaire en x). Le premier terme correctif d'aberration sphérique est ainsi nécessairement d'ordre 2 en x (confirmé par l'expression de la dérivée y_s'(x) \propto x donnée à la relation (12)).

1. Définition géométrique d'une lentille mince

Une lentille est dite géométriquement mince si son épaisseur au centre sur l'axe optique, notée e, est très petite devant les rayons de courbure de ses faces sphériques (e \ll R_1, e \ll R_2) ainsi que devant leur différence |R_1 - R_2|.

Pour la lentille convexe-plan considérée ici, la face de sortie est plane (R_2 \to \infty) et la face d'entrée possède un rayon de courbure R_c. La condition de lentille mince s'écrit donc :

2. Condition sur les coefficients a_0 et a_2

D'après les questions Q34 et Q35 :

• Le sommet de la face d'entrée est situé en y = f(0) = a_0 < 0, et la face plane de sortie est en y = 0. L'épaisseur au centre vaut donc :

  e = |a_0| = -a_0

• Au voisinage de l'axe, le profil s'écrit f(x) \approx a_0 + a_2 x^2. L'approximation parabolique d'un dioptre sphérique de rayon de courbure R_c donne une flèche y - a_0 \approx \frac{x^2}{2R_c}, d'où :

  R_c = \frac{1}{2a_2}

La condition géométrique e \ll R_c devient alors :

3. Justification de l'approximation x' \approx x

L'écart relatif entre la position radiale de sortie x' et d'entrée x est donné par :

Comme l'indice du verre vérifie n > 1, le facteur géométrique vérifie 0 < \frac{n-1}{n} < 1 (pour n = 1{,}5, il vaut \frac{1}{3}). En prenant la valeur absolue :

car 2|a_0|a_2 \ll 1 d'après l'approximation de lentille mince.

L'approximation x' \approx x introduite à la question Q32 est donc rigoureusement équivalente à l'approximation géométrique d'une lentille mince.

La coordonnée y_s et l'abscisse x sont des longueurs :

Le membre de gauche est la dérivée de y_s par rapport à x :

Examinons à présent les dimensions des grandeurs figurant au membre de droite :

• L'indice de réfraction n est sans dimension : [n] = 1.
• La distance focale f_\ell' et l'abscisse x sont des longueurs : [f_\ell'] = \mathrm{L} et [x] = \mathrm{L}.

• D'après le développement f(x) = a_0 + a_2 x^2 + a_4 x^4 + \dots, puisque l'ordonnée f(x) est une longueur ([f] = \mathrm{L}), chaque terme doit avoir la dimension d'une longueur :

  \begin{aligned} [a_2 x^2] = \mathrm{L} &\implies [a_2] = \frac{\mathrm{L}}{[x]^2} = \mathrm{L}^{-1} \\ [a_4 x^4] = \mathrm{L} &\implies [a_4] = \frac{\mathrm{L}}{[x]^4} = \mathrm{L}^{-3} \end{aligned}

Analysons la dimension de la fraction :

• Au numérateur, [a_4 n] = \mathrm{L}^{-3} \times 1 = \mathrm{L}^{-3} et [a_2^3 (n-1)(n^2-n-1)] = (\mathrm{L}^{-1})^3 \times 1 = \mathrm{L}^{-3}. Les deux termes ont bien la même dimension, le numérateur est donc homogène à \mathrm{L}^{-3}.
• Au dénominateur, [a_2 n] = \mathrm{L}^{-1} \times 1 = \mathrm{L}^{-1}.

• Le quotient a donc pour dimension :

  \left[\frac{a_4 n + a_2^3(n-1)(n^2-n-1)}{a_2 n}\right] = \frac{\mathrm{L}^{-3}}{\mathrm{L}^{-1}} = \mathrm{L}^{-2}

En multipliant ce quotient par le facteur f_\ell' x :

Le premier terme du développement est donc sans dimension, tout comme le terme d'erreur d'ordre supérieur en x.

Pour qu'une lentille convexe-plan focalise au mieux les rayons incidents parallèles à l'axe optique, il faut se rapprocher le plus possible d'un stigmatisme rigoureux pour un objet à l'infini : l'ordonnée y_s(x) où chaque rayon coupe l'axe optique doit être constante et égale à la distance focale image f_\ell', indépendamment de l'abscisse d'incidence x.

D'après le développement de la dérivée y_s'(x) donné par l'équation (12) :

L'annulation du terme linéaire en x impose :

Or, d'après la question Q35, la distance focale image s'écrit :

En injectant cette relation, il vient :

D'où l'expression du coefficient a_4 optimal :

Par symétrie de révolution autour de l'axe optique (Oy), la fonction y_s(x) est paire : y_s(-x) = y_s(x), et présente donc un extremum en x=0 avec y_s(0) = f_\ell'.

• Pour une lentille ordinaire non corrigée (par exemple à face sphérique, pour laquelle les rayons marginaux convergent plus près de la lentille que les rayons paraxiaux en raison de l'aberration sphérique longitudinale), la fonction y_s(x) décroît lorsque |x| augmente : y_s(x) = f_\ell' - \alpha x^2 + O(x^4) avec \alpha > 0.
• Pour la lentille corrigée où a_4 vérifie la condition ci-dessus, le terme en x^2 est supprimé : y_s(x) = f_\ell' + O(x^4), ce qui rend le profil extrêmement plat au voisinage de l'axe optique.

Les conditions de Gauss (ou approximation paraxiale) imposent que les rayons lumineux soient :

• peu inclinés par rapport à l'axe optique (\theta \ll 1) ;

• proches de l'axe optique par rapport aux dimensions caractéristiques du système, en particulier \rho \ll f_\ell', ce qui entraîne :

  \frac{\rho^2}{6 f_\ell'} \ll f_\ell'.

En négligeant ce terme correctif d'ordre 2 en \rho, la relation (13) devient :

La surface photosensible de la caméra étant située dans le plan focal image de la lentille convexe-plan (à la distance f_\ell' de sa face de sortie), l'image définitive d'un point objet ne peut être nette sur le capteur que si les rayons lui parvenant forment un faisceau parallèle, c'est-à-dire si l'image intermédiaire donnée par la première lentille convergente L_2 est à l'infini.

Par conséquent, l'objet doit être placé dans le plan focal objet de la lentille L_2 :

Grandissement transversal \gamma :

Considérons un point objet B situé à une distance radiale \Delta de l'axe optique (soit \overline{AB} = \Delta, avec A sur l'axe). Le rayon issu de B passant par le centre optique O_2 de la lentille L_2 n'est pas dévié. Dans l'approximation paraxiale (\Delta \ll f_2'), les rayons émergent de L_2 parallèlement entre eux, inclinés d'un angle algébrique \theta par rapport à l'axe optique vérifiant :

D'après la question Q39, dans les conditions de Gauss, la lentille convexe-plan focalise ce faisceau parallèle incliné d'un angle \theta en un point B' du plan focal image, à la distance algébrique :

Le grandissement transversal \gamma = \frac{\overline{A'B'}}{\overline{AB}} du système optique vaut ainsi :

En valeur absolue, le rapport des dimensions est :

Construction graphique :

Pour qu'une image soit nette sur un capteur numérique, la tache lumineuse formée par un point objet ne doit pas déborder sur les pixels voisins : l'image d'un point doit donc s'étaler sur au plus un seul pixel, ce qui impose que sa dimension caractéristique n'excède pas la largeur \delta d'un pixel.

L'objet étant constitué de deux points distants de \Delta disposés symétriquement par rapport à l'axe optique (d'après la figure 6), la distance maximale d'un point à l'axe optique vaut y_{\max} = \frac{\Delta}{2}. Cet objet étant placé dans le plan focal objet de la lentille convergente L_2 (d_{O-L_2} = f_2' d'après la question Q40), les rayons émergent de L_2 sous forme d'un faisceau parallèle incliné d'un angle maximal \theta_{\max} vérifiant, dans les conditions de Gauss (\theta \ll 1) :

D'après la relation (13), un rayon entrant dans la lentille convexe-plan à une distance \rho \in [0, R_{\max}] de l'axe intercepte le plan focal image en :

Pour une inclinaison \theta donnée, l'étalement spatial maximal de la tache géométrique par rapport à la position paraxiale (\rho=0) est obtenu pour les rayons marginaux (\rho = R_{\max}) :

La condition de netteté \Delta \rho_{i,\max} \le \delta conduit à :

Le rayon maximal utilisable s'écrit donc :

Application numérique : Avec \delta = 10\,\mu\text{m} = 10^{-5}\text{ m}, f_2' = 10\text{ cm} = 0{,}10\text{ m}, f_\ell' = 6\text{ mm} = 6 \times 10^{-3}\text{ m} et \Delta = 2\text{ mm} = 2 \times 10^{-3}\text{ m} :

On en déduit :

Choisir un rayon R_{\max} (associé à l'ouverture de la lentille convexe-plan) trop petit entraîne deux conséquences physiques majeures :

1. Une baisse importante du flux lumineux collecté :
   La puissance lumineuse transmise au capteur est proportionnelle à la surface de la pupille d'entrée, soit à R_{\max}^2. Une diminution excessive de ce rayon réduirait drastiquement l'éclairement de la caméra, dégradant le rapport signal sur bruit et risquant de sous-exposer l'image.

2. Une dégradation de la netteté par diffraction :
   Le phénomène de diffraction à travers une pupille circulaire de rayon R_{\max} produit une tache d'Airy dans le plan focal image de rayon caractéristique :

   r_{\text{diff}} \simeq 1{,}22\,\frac{\lambda f_\ell'}{2 R_{\max}}

   où \lambda est la longueur d'onde de la lumière visible. Si R_{\max} est trop faible, le diamètre de la tache de diffraction devient supérieur à la largeur d'un pixel \delta, ce qui détériore à nouveau la résolution spatiale et rend l'image floue (régime limité par la diffraction).

On étudie la masse effective m dans le référentiel du laboratoire supposé galiléen. Le mouvement s'effectuant uniquement le long de l'axe (Ox), le bilan des forces horizontales s'écrit :

• la force piézo-électrique : \vec{F}(U) = F(U)\,\vec{e}_x ;
• la force de rappel élastique exercée par le ressort de raideur k et de longueur à vide nulle : \vec{F}_{\text{rappel}} = -k\,x_m(t)\,\vec{e}_x.

D'après le principe fondamental de la dynamique appliqué à la masse m en projection sur l'axe (Ox) :

En introduisant la variable L(U) = \dfrac{F(U)}{k}, on obtient :

ou, sous forme équivalente avec la pulsation propre \omega_0 = \sqrt{k/m} :

En régime quasi-statique, les variations temporelles sont suffisamment lentes pour que l'accélération soit négligeable devant les termes de force (\ddot{x}_m \approx 0). L'équation du mouvement se réduit à :

L(U) représente donc la position d'équilibre (ou le déplacement statique) de la masse effective m sous l'effet de la tension appliquée U.

D'après l'équation différentielle du mouvement obtenue à la question Q43, la pulsation propre du système est \omega_0 = \sqrt{\frac{k}{m}}. La fréquence propre associée s'écrit :

On en déduit l'expression de la masse effective m :

Application numérique :

• k = 310\text{ N}\cdot\mu\text{m}^{-1} = 3{,}1 \times 10^8\text{ N}\cdot\text{m}^{-1}
• f_0 = 530\text{ kHz} = 5{,}3 \times 10^5\text{ Hz}
• 4\pi^2 \approx 40 et (5{,}3 \times 10^5)^2 \approx 2{,}8 \times 10^{11}\text{ s}^{-2}, d'où 4\pi^2 f_0^2 \approx 1{,}1 \times 10^{13}\text{ s}^{-2}.

Avec un chiffre significatif :

Calculons la masse totale m_a de l'actionneur. Le volume de l'actionneur est :

Sa masse vaut donc :

Le ratio de la masse effective sur la masse totale vaut :

Justification physique de m/m_a < 1 : L'actionneur est encastré à sa base (z = 0, vitesse nulle) et subit un cisaillement maximal à sa face supérieure (z = 2\text{ mm}, vitesse \dot{x}_m). Par conséquent, la vitesse des éléments de matière croît de 0 à \dot{x}_m. L'énergie cinétique totale du matériau en déformation :

est strictement inférieure à l'énergie cinétique qu'aurait l'ensemble du solide se déplaçant en bloc à la vitesse maximale \frac{1}{2} m_a \dot{x}_m^2. Par identification avec l'énergie cinétique de la masse effective E_c = \frac{1}{2} m \dot{x}_m^2, on a nécessairement :

Puisque le spectre du bruit se situe entièrement dans le domaine quasi-statique (fréquences très inférieures à la fréquence propre f_0), l'actionneur répond de manière statique à chaque instant. D'après la question Q43, la position de la masse m est donnée par :

Une fluctuation de tension électrique \delta U engendre donc une fluctuation de position de la masse :

Avec les données numériques fournies :

• \beta = 0{,}62\text{ N}\cdot\text{V}^{-1},
• k = 310\text{ N}\cdot\mu\text{m}^{-1} = 310 \times 10^6\text{ N}\cdot\text{m}^{-1} = 3{,}1 \times 10^8\text{ N}\cdot\text{m}^{-1},
• \delta U = 1\text{ mV} = 10^{-3}\text{ V}.

Il vient :

Commentaire : Cette précision de 2\text{ pm} est largement sub-nanométrique et se situe bien en-deçà des dimensions atomiques typiques (\sim 0{,}1\text{ nm} = 100\text{ pm}). Un bruit électrique résiduel de 1\text{ mV} ne perturbe donc absolument pas la résolution nanométrique visée pour un positionneur de microscope à sonde locale (AFM, STM).