Corrigé détaillé ENS Physique BCPST 2021 (page 4/4 : Partie 3 (questions 46 à 63))

Lorsque la masse M ne glisse pas sur la masse m, les deux solides sont solidaires et possèdent à chaque instant la même abscisse :

En considérant le système global \{m + M\} de masse totale m + M dans le référentiel du laboratoire supposé galiléen :

• les forces intérieures de contact entre m et M se compensent d'après le principe des actions réciproques ;
• la seule force extérieure horizontale agissant sur le système en régime libre (hors tension U) est la force de rappel élastique -kx\,\vec{e}_x.

Le principe fondamental de la dynamique projeté selon l'axe horizontal (Ox) s'écrit alors :

La pulsation propre associée est \omega_M = \sqrt{\frac{k}{m+M}}, d'où la fréquence propre :

Comme la fréquence propre de l'actionneur libre établie à la question Q44 vaut f_0 = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m}}, on en déduit :

Estimation numérique : La masse effective de l'actionneur obtenue en Q44 vaut m \simeq 2{,}8 \times 10^{-5}\text{ kg} \approx 3 \times 10^{-5}\text{ kg}. Pour une charge M = 1\text{ kg}, on a très largement M \gg m, de sorte que m + M \approx M.

On peut alors estimer directement f_M :

Avec k = 310\text{ N}\cdot\mu\text{m}^{-1} = 3{,}1 \times 10^8\text{ N}\cdot\text{m}^{-1} et M = 1\text{ kg} :

En conservant un seul chiffre significatif :

On étudie la masse M, assimilée à un point matériel ou en translation, dans le référentiel du laboratoire supposé galiléen, muni de la base orthonormée (\vec{e}_x, \vec{e}_y, \vec{e}_z).

Le système est soumis à deux actions mécaniques :

• son poids :

  \vec{P} = -M g\,\vec{e}_z

• la force de contact exercée par la masse m, décomposée en une composante normale \vec{N}_{m \to M} = N\,\vec{e}_z et une composante tangentielle de frottement donnée par l'énoncé \vec{F}_{m \to M}^t = T\,\vec{e}_x :

  \vec{F}_{m \to M} = T\,\vec{e}_x + N\,\vec{e}_z

Le principe fondamental de la dynamique s'écrit :

Le mouvement étant purement horizontal d'après l'énoncé, l'accélération selon la verticale est nulle (\ddot{z}_M = 0), ce qui confirme N = Mg.

En projection selon l'axe horizontal (Ox), on obtient l'équation différentielle recherchée :

soit encore :

On étudie la masse effective m dans le référentiel terrestre supposé galiléen, muni de la base orthonormée (\vec{e}_x, \vec{e}_y, \vec{e}_z).

D'après l'énoncé, les mouvements verticaux selon (Oz) sont négligés (le poids de m, le poids transmis de M et la réaction normale du bâti se compensent). Selon l'axe horizontal (Ox), la masse m est soumise à trois actions :

• la force piézo-électrique : \vec{F}(U) = F(U)\,\vec{e}_x ;
• la force de rappel élastique : \vec{F}_{\text{rappel}} = -k\,x_m\,\vec{e}_x (ressort de raideur k et de longueur à vide nulle) ;

• la force tangentielle exercée par le mobile M sur m, notée \vec{F}_{M\to m}^t. En vertu du principe des actions réciproques (troisième loi de Newton) et de la relation (14), on a :

  \vec{F}_{M\to m}^t = -\vec{F}_{m\to M}^t = -T\,\vec{e}_x

Le principe fondamental de la dynamique projeté sur l'axe (Ox) s'écrit :

En introduisant le déplacement statique L(U) = \frac{F(U)}{k}, on obtient l'équation différentielle régissant l'évolution de x_m(t) :

Lorsque la masse M ne glisse pas sur la masse effective m, elles se déplacent solidairement selon l'axe horizontal (Ox). Leurs accélérations sont donc identiques à chaque instant :

D'après l'équation du mouvement de la masse M établie à la question Q47 :

En reportant cette accélération dans l'équation régissant l'évolution de x_m obtenue à la question Q48 :

On en déduit l'expression de la composante tangentielle T :

ce qui correspond bien à la relation demandée T = -\xi\left(x_m - L(U)\right) en posant :

D'après la figure 10 et la description du signal en dents de scie, la tension U(t) croît de façon linéaire de 0 à U_{\max} pendant l'intervalle de temps [t_l, t_l + \tau_l] de durée \tau_l :

La force exercée par l'actionneur piézo-électrique est directement proportionnelle à la tension appliquée (F(U) = \beta U). La force F_l(t) = F(U(t)) dépend donc linéairement de la tension :

En utilisant la grandeur L_{\max} = \frac{F(U_{\max})}{k}, on en déduit F(U_{\max}) = k L_{\max}. L'expression de la force au cours de la phase lente s'écrit donc :

D'après la figure 10 du sujet, la tension électrique U(t) varie de manière affine par morceaux. Sur l'intervalle de descente rapide [t_r, t_r + \tau_r], la tension décroît linéairement de U(t_r) = U_{\max} jusqu'à U(t_r + \tau_r) = 0 :

La force exercée par l'actionneur est proportionnelle à la tension appliquée, soit F(U) = \beta U. En utilisant la définition du déplacement maximal introduite à la question précédente :

On en déduit l'expression de la force F_r au cours de la phase rapide :

D'après l'équation du mouvement de la masse m (Q48) :

En l'absence de glissement, la force de frottement s'exprime selon Q49 par :

En substituant cette expression dans l'équation du mouvement, on obtient :

Or, la raideur apparente k - \xi vaut :

En divisant par la masse m, l'équation différentielle devient :

On retrouve bien la pulsation propre du système solidaire (déjà rencontrée en Q46) :

L'équation prend ainsi la forme canonique :

Identifions à présent le second membre selon la phase considérée :

• Phase lente (i=l) : d'après Q50, F_l = k L_{\max} \frac{t - t_l}{\tau_l}, d'où :

  L(U) = \frac{F_l}{k} = \frac{L_{\max}}{\tau_l} (t - t_l)

  Par identification avec a_l (t - t_l) + b_l, il vient :

  \boxed{ a_l = \frac{L_{\max}}{\tau_l} \quad \text{et} \quad b_l = 0 }

• Phase rapide (i=r) : d'après Q51, F_r = k L_{\max} \left(1 - \frac{t - t_r}{\tau_r}\right), d'où :

  L(U) = \frac{F_r}{k} = -\frac{L_{\max}}{\tau_r} (t - t_r) + L_{\max}

  Par identification avec a_r (t - t_r) + b_r, il vient :

  \boxed{ a_r = -\frac{L_{\max}}{\tau_r} \quad \text{et} \quad b_r = L_{\max} }

L'équation différentielle (15) s'écrit :

Cherchons une solution particulière sous la forme d'un polynôme de degré 1 de la variable (t - t_i) :

où A et B sont des constantes à déterminer. En dérivant deux fois par rapport au temps :

En substituant x_p(t) dans l'équation différentielle, on obtient :

Comme \omega \neq 0, cette égalité est vérifiée pour tout t si et seulement si :

On en déduit l'expression de la solution particulière de degré minimal :

L'équation différentielle linéaire régissant l'abscisse x_m(t) s'écrit :

L'équation homogène associée est :

Sa solution générale, exprimée avec la variable temporelle t - t_i, est une combinaison linéaire de fonctions sinusoïdales :

où A_i et B_i sont deux constantes d'intégration réelles fixées par les conditions initiales de la phase considérée (i = l ou r).

D'après la question Q53, une solution particulière de l'équation avec second membre est :

Par linéarité de l'équation différentielle, la solution générale x_m(t) = x_h(t) + x_p(t) s'exprime donc sous la forme :

En notant x_{0,i} = x_m(t_i) et v_{0,i} = \dot{x}_m(t_i) la position et la vitesse à l'instant initial t_i, les constantes s'identifient par :

D'après la question Q52, l'équation différentielle (15) s'écrit pour la phase lente (i=l, avec a_l = \frac{L_{\max}}{\tau_l} et b_l = 0) :

Soit, en divisant par \omega^2 :

Pendant la phase lente, la sollicitation extérieure varie sur une échelle de temps caractéristique \tau_l. L'accélération de la masse est donc de l'ordre de grandeur de :

En comparant le terme d'accélération au terme de rappel :

Comme l'énoncé précise que \omega \tau_l \gg 1, on a (\omega \tau_l)^2 \gg 1, de sorte que :

On peut donc négliger le terme inertiel (la dérivée seconde \frac{\mathrm{d}^2 x_m(t)}{\mathrm{d}t^2}) devant le terme \omega^2 x_m(t).

L'équation différentielle se réduit alors à :

D'où l'expression de la position dans cette limite :

D'après la question Q55, la position de la masse m au cours de la phase lente (t_l \le t \le t_l + \tau_l) est donnée par :

1. Position x_f en fin de montée : En évaluant l'expression précédente en t = t_l + \tau_l, on obtient immédiatement :

2. Vitesse v_f en fin de montée : La vitesse de la masse m est obtenue en dérivant la position par rapport au temps :

Cette vitesse étant constante durant toute la phase lente, la vitesse finale vaut :

3. Déplacement \Delta^l x_M de la masse M : Durant cette phase lente, les masses m et M se déplacent sans glisser l'une sur l'autre (mouvement solidaire). L'écart entre leurs positions est donc constant au cours du temps :

Le déplacement de la masse M entre les instants t_l et t_l + \tau_l est donc rigoureusement égal à celui de la masse m :

On en déduit :

D'après la question Q54, la solution générale de l'équation différentielle s'écrit pour la phase rapide (i = r) :

avec, d'après Q52, les coefficients :

À l'instant initial de cette phase t = t_r, la continuité de la position et de la vitesse impose, d'après les résultats de Q56 :

On en déduit les constantes d'intégration :

La position s'exprime donc sous la forme exacte :

Puisque \omega \tau_r \ll 1 et |t - t_r| < \tau_r, on a \omega |t-t_r| \ll 1. Au premier ordre en \omega(t-t_r) :

En injectant ce développement, le terme principal en 1/\tau_r se compense exactement avec le second membre :

Enfin, comme \tau_r \ll \tau_l, la variation de position durant cet intervalle vérifie pour tout t \in [t_r, t_r+\tau_r] :

Dans cette limite, la position de la masse m reste donc quasi constante :

D'après la question Q49, la force tangentielle exercée par la masse m sur la masse M en l'absence de glissement s'écrit :

avec le coefficient de raideur effective \xi = \dfrac{k M}{m + M}. En introduisant la pulsation propre \omega = \sqrt{\dfrac{k}{m+M}} définie à la question Q52, on a :

Pendant la phase de descente rapide (t \in [t_r, t_r + \tau_r]), la force piézo-électrique s'écrit d'après la question Q51 :

d'où la grandeur L(U(t)) = \dfrac{F_r(t)}{k} :

D'après le résultat de la question Q57, la position de la masse effective reste quasi-statique à l'échelle de la descente rapide du fait de son inertie :

On en déduit l'expression de l'écart :

En injectant cette relation dans l'expression de T, on obtient bien :

D'après la loi de Coulomb (14), le mouvement s'effectue sans glissement tant que |T| < T_{\text{lim}} = \mu M g. Le glissement apparaît à l'instant t_d = t_r + \tau_d lorsque la force de frottement atteint la valeur limite :

D'après le résultat de la question Q58, pour t \in [t_r, t_d] :

Comme t \ge t_r, la force T(t) est négative, d'où :

La masse M se simplifie, ce qui donne immédiatement :

Pendant la phase rapide t \in [t_r, t_r + \tau_r], l'évolution de la grandeur adimensionnée \dfrac{T}{M\omega^2 L_{\max}} se décompose en deux régimes :

• Pour t \in [t_r, t_d] (phase sans glissement) :

  \frac{T(t)}{M\omega^2 L_{\max}} = -\frac{t - t_r}{\tau_r}

  La courbe est un segment de droite de pente -1/\tau_r, partant de 0 en t = t_r et atteignant -\dfrac{\tau_d}{\tau_r} en t = t_d.

• Pour t \in [t_d, t_r + \tau_r] (phase de glissement) : le glissement se poursuit jusqu'à la fin de la phase rapide. La force tangentielle est alors saturée à la valeur limite de glissement. Le rappel rapide de l'actionneur vers la gauche tend à faire glisser M vers l'avant par rapport à m (v_{M/m} > 0), de sorte que la force de frottement exercée sur M s'oppose à ce mouvement relatif :

  T(t) = -T_{\text{lim}} = -\mu M g = -M \omega^2 L_{\max} \frac{\tau_d}{\tau_r}

  Le rapport reste donc constant et égal à -\dfrac{\tau_d}{\tau_r}.

D'après la question Q59, le rapport s'écrit :

Or, avec \omega^2 = \frac{k}{m+M} (question Q52) et L_{\max} = \frac{F(U_{\max})}{k} = \frac{\beta U_{\max}}{k} (question Q50), il vient :

Comme la masse effective m \simeq 3 \times 10^{-5}\text{ kg} est tout à fait négligeable devant M = 1\text{ kg} (question Q44 et Q46), on a m+M \approx M, d'où :

Le rapport recherché devient simplement le rapport de la force de frottement limite à la force piézo-électrique maximale :

Effectuons l'application numérique avec :

• \mu = 0{,}5,
• M = 1\text{ kg},
• g \simeq 9{,}8\text{ m}\cdot\text{s}^{-2},
• \beta = 0{,}62\text{ N}\cdot\text{V}^{-1},
• U_{\max} = 250\text{ V}, soit F(U_{\max}) = 0{,}62 \times 250 = 155\text{ N}.

On obtient :

Avec un chiffre significatif :

Puisque \frac{\tau_d}{\tau_r} \ll 1 (la phase d'adhérence ne représente qu'environ 3\,\% de la durée de la descente), on a immédiatement :

D'après la question Q47, l'équation du mouvement de la masse M projetée sur l'axe (Ox) est :

Pendant la phase de descente rapide, la masse effective m est rappelée très brutalement vers l'origine (\ddot{x}_m < 0). La vitesse relative de M par rapport à m est donc positive (\dot{x}_M - \dot{x}_m > 0). En vertu des lois de Coulomb pour le frottement de glissement (relation (14)), la force tangentielle exercée par m sur M est opposée à cette vitesse relative :

L'équation différentielle régissant l'abscisse x_M(t) durant le glissement devient ainsi :

Puisque \tau_d \ll \tau_r (d'après Q60), la séquence de glissement occupe la quasi-totalité de l'intervalle [t_r, t_r+\tau_r]. On peut donc assimiler l'instant initial de glissement à t_r, avec les conditions initiales issues de la fin de la phase lente (Q56) :

Une première intégration donne la vitesse pour t \in [t_r, t_r+\tau_r] :

Une seconde intégration fournit l'abscisse x_M(t) pendant la séquence de glissement :

soit, en explicitant v_f :

La variation de position de la masse M entre t = t_r et t = t_r+\tau_r s'en déduit directement :

D'après la question Q61, le déplacement de la masse M durant la phase rapide est :

Le rapport demandé s'écrit donc :

Calculons au préalable la valeur de L_{\max} = \frac{\beta U_{\max}}{k} :

Évaluons numériquement chacun des deux termes avec \tau_l = 1\text{ ms} = 10^{-3}\text{ s}, \tau_r = 1\,\mu\text{s} = 10^{-6}\text{ s}, \mu = 0{,}5 et en prenant g \simeq 9{,}8\text{ m}\cdot\text{s}^{-2} (ou 10\text{ m}\cdot\text{s}^{-2}) :

• \dfrac{\tau_r}{\tau_l} = \dfrac{10^{-6}}{10^{-3}} = 10^{-3} ;
• \dfrac{\mu g \tau_r^2}{2 L_{\max}} = \dfrac{0{,}5 \times 9{,}8 \times (10^{-6})^2}{2 \times 0{,}5 \times 10^{-6}} = 4{,}9 \times 10^{-6} \ll 10^{-3}.

Le second terme (dû au frottement de glissement) est tout à fait négligeable devant le premier (dû à la vitesse initiale acquise en fin de phase lente). On en déduit :

Puisque \Delta^l x_M = L_{\max} (établi à la question Q56), le déplacement total de la masse M sur une période est :

Soit numériquement :

1. Représentation graphique des déplacements

Sur chaque cycle de période T_{\text{cycle}} = \tau_l + \tau_r \approx \tau_l :

• la masse effective m effectue un mouvement en dents de scie périodique : elle croît linéairement de 0 à L_{\max} pendant \tau_l, puis redescend très rapidement à 0 pendant \tau_r ;
• la masse M adhère à m pendant la phase lente (\Delta^l x_M = L_{\max}), puis glisse sur place pendant la phase rapide avec un déplacement net quasi nul (\Delta^r x_M \ll L_{\max} d'après Q62). Elle avance ainsi de L_{\max} par cycle.

2. Vitesse moyenne sur un cycle

Le déplacement net de la masse M sur un cycle de durée T_{\text{cycle}} = \tau_l + \tau_r est \Delta x_M \approx L_{\max}. La vitesse moyenne s'écrit :

en tenant compte de \tau_r \ll \tau_l.

3. Choix de \tau_l pour maximiser la vitesse et estimation de v_{\max}

Pour maximiser v_{\text{moy}}, il convient de choisir la durée \tau_l la plus petite possible. La limite inférieure sur \tau_l est fixée par la condition d'entraînement sans glissement en phase lente (question Q55) :

Si l'on choisit \tau_l à la limite de cette validité, c'est-à-dire \tau_l \sim \frac{1}{\omega} :

D'après les questions Q46 et Q62, f_M \approx 3\text{ kHz} (\omega = 2\pi f_M \approx 1{,}8 \times 10^4\text{ rad}\cdot\text{s}^{-1}) et L_{\max} = 0{,}5\,\mu\text{m} = 5 \times 10^{-7}\text{ m}. On obtient :

Si l'on prend de façon plus restrictive \tau_l \approx T_M = \frac{1}{f_M} \approx 3{,}3 \times 10^{-4}\text{ s} :

Dans les deux cas, on obtient une vitesse maximale de quelques millimètres par seconde :