Corrigé détaillé ENS Physique BCPST 2021

Considérons une source sphérique émettant isotropiquement dans tout l'espace une puissance totale P_e. En l'absence d'absorption dans le milieu de propagation, l'énergie se conserve et se répartit uniformément sur une sphère fictive de rayon d et de surface S_d = 4\pi d^2 centrée sur la source.

La densité surfacique de flux énergétique à la distance d vaut ainsi :

Puisque la distance d est très grande devant la taille caractéristique de l'objet (d \gg L), les rayons lumineux incidents atteignent l'objet de manière quasi parallèle. L'objet intercepte ainsi le flux traversant sa surface projetée A orthogonale à la direction de propagation :

Le rapport \eta entre la puissance reçue et la puissance émise s'écrit donc :

Le Soleil, assimilé à un corps noir sphérique de rayon r_S et de température de surface T_S, émet une puissance totale donnée par la loi de Stefan :

La Terre présente, perpendiculairement aux rayons solaires, une section efficace circulaire d'aire A = \pi r_T^2. D'après le résultat de la question Q1, la fraction de la puissance solaire reçue par la Terre à la distance d_{TS} est :

Sachant que \beta = r_S / d_{TS}, la puissance reçue par la Terre s'écrit :

La Terre, modélisée comme un corps noir sphérique de surface S_T = 4\pi r_T^2 à la température uniforme T_{T,eq}, émet dans tout l'espace une puissance :

À l'équilibre thermodynamique, le bilan de puissance se traduit par P_{\text{émise}} = P_{\text{reçue}}, soit :

En prenant la racine quatrième, on obtient :

Application numérique : Avec T_S \simeq 5780\text{ K}, \sqrt{\beta/2} \simeq 0,0482 et la relation arithmétique 482 \times 578 = 278\,596 :

En arrondissant à trois chiffres significatifs :

Commentaire : La valeur obtenue est d'un ordre de grandeur tout à fait réaliste par rapport à la température moyenne observée à la surface de la Terre (\approx 288\text{ K}, soit 15\,^\circ\text{C}). Ce modèle simplifié néglige toutefois deux phénomènes essentiels qui se compensent approximativement :

• l'albédo terrestre (a \approx 0,30), qui réfléchit une partie du rayonnement solaire incident et abaisserait la température d'équilibre vers 255\text{ K} (-18\,^\circ\text{C}) ;
• l'effet de serre atmosphérique, qui piège une fraction du rayonnement infrarouge réémis par la Terre et réchauffe ainsi la surface d'une trentaine de kelvins.

La puissance solaire reçue par la Terre ne dépend pas de sa propre température :

d'après la condition d'équilibre établie en Q2.

La puissance rayonnée par la Terre à la température T_T = T_{T,\text{eq}} + \Delta T vaut :

Puisque |\Delta T| \ll T_{T,\text{eq}}, un développement limité au premier ordre donne :

La différence entre la puissance reçue et la puissance émise s'écrit donc :

Appliquons le premier principe de la thermodynamique à la Terre (système fermé, indéformable, de masse M_T = \frac{4}{3}\pi r_T^3 \rho_T et de capacité thermique massique C_T) entre t et t + \mathrm{d}t :

Comme la température est supposée uniforme, la variation d'énergie interne s'écrit \mathrm{d}U = M_T C_T \,\mathrm{d}T_T = M_T C_T \,\mathrm{d}(\Delta T). Il vient :

L'équation différentielle s'écrit sous la forme canonique \frac{\mathrm{d}(\Delta T)}{\mathrm{d}t} + \frac{\Delta T}{\tau} = 0, d'où le temps caractéristique :

Application numérique :

On en déduit :

En exprimant le résultat en années avec 1\text{ an} \simeq 3 \times 10^7\text{ s} :

L'hypothèse d'une température uniforme de la Terre est une approximation dont la validité présente plusieurs limites :

• Alternance jour/nuit : La période de rotation de la Terre (T_{\text{rot}} = 24\text{ h}) est extrêmement courte devant le temps radiatif \tau \sim 8\times 10^4\text{ ans}. L'inertie thermique de l'atmosphère et des océans lisse ainsi efficacement les variations diurnes.
• Gradient latitudinal (équateur/pôles) : L'insolation dépend fortement de la latitude (rayonnement incident rasant aux pôles, quasi-normal à l'équateur). Bien que les circulations atmosphérique et océanique assurent un transport thermique redistributeur vers les hautes latitudes, il subsiste un écart de température de l'ordre de 50\text{ K} à 60\text{ K} entre les pôles et l'équateur. L'uniformité spatiale n'est donc vérifiée qu'à environ 15\text{--}20\,\% en échelle absolue.

• Uniformité en profondeur et temps de retour à l'équilibre : Le modèle de la question Q3 suppose que l'intégralité du globe terrestre (M_T) change de température de façon homogène. Or, le temps caractéristique de diffusion thermique conductive à travers le rayon terrestre est :

  \tau_{\text{diff}} \sim \frac{r_T^2}{D_{\text{th}}} \sim \frac{(6{,}4\times 10^6)^2}{10^{-6}} \sim 4\times 10^{19}\text{ s} \sim 10^{12}\text{ ans}

  Cette durée est immensément supérieure à \tau (et à l'âge de la Terre). En réalité, le cœur terrestre est maintenu à haute température (> 5000\text{ K}) par la radioactivité et la chaleur primordiale, tandis que seules l'atmosphère, l'hydrosphère et une mince couche superficielle de la croûte participent aux échanges radiatifs avec l'espace.

L'hypothèse est donc recevable uniquement comme modèle global moyen d'ordre zéro pour la température de surface, mais non recevable pour décrire l'ensemble du volume terrestre lors d'une perturbation thermique.

En repérant les points de l'enceinte sphérique par les coordonnées sphériques standard (\theta, \varphi) où l'axe polaire (Oz) est dirigé vers le centre du trou d'ouverture, l'ouverture conique de demi-angle \alpha correspond au domaine \theta \in [0, \alpha].

La surface interne restante de l'enceinte correspond donc à \theta \in [\alpha, \pi] et \varphi \in [0, 2\pi]. L'élément différentiel de surface s'écrit \mathrm{d}S = R^2 \sin\theta\,\mathrm{d}\theta\,\mathrm{d}\varphi, d'où :

Chaque élément de surface interne de l'enceinte est assimilé à un corps noir à la température uniforme T_T. D'après la loi de Stefan, l'émittance totale rayonnée vers le demi-espace intérieur est M = \sigma T_T^4. La puissance totale émise par l'enceinte vers son intérieur vaut donc :

En admettant que la fraction de ce rayonnement atteignant l'objet placé en son centre est \eta = (r/R)^2, la puissance émise par l'enceinte et reçue par l'objet s'écrit :

L'objet sphérique de rayon r est modélisé par un corps noir à la température T. La puissance totale rayonnée par sa surface S_O = 4\pi r^2 est donnée par la loi de Stefan :

L'émission étant isotrope, le rayonnement est réparti uniformément dans tout l'espace, soit sur un angle solide total de 4\pi\text{ sr}. L'enceinte sphérique couvre tout l'espace à l'exception du trou conique de demi-angle \alpha. L'angle solide sous-tendu par le trou depuis le centre est :

L'angle solide sous lequel est vue la surface interne de l'enceinte est donc :

La fraction de puissance émise par l'objet qui atteint l'enceinte correspond au rapport \frac{\Omega_E}{4\pi}. On en déduit :

D'après la question Q5, la puissance émise par l'enceinte et reçue par l'objet est :

Avec la convention choisie (flux orienté de l'enceinte vers l'objet), le flux radiatif net s'écrit :

Sous la forme demandée \Phi_1 = \sigma (T_T^4 - T^4) X_1, on identifie :

Justification du signe de X_1 :

• Argument géométrique : Comme r > 0 et que le demi-angle d'ouverture \alpha \in \left[0, \frac{\pi}{2}\right], on a \cos\alpha \ge 0, d'où 1 + \cos\alpha > 0. Il en résulte immédiatement :

  \boxed{X_1 > 0}
• Argument thermodynamique : Si l'enceinte est plus chaude que l'objet (T_T > T), le transfert thermique spontané s'effectue du corps chaud vers le corps froid (second principe de la thermodynamique). Le flux net reçu par l'objet depuis l'enceinte doit donc être positif (\Phi_1 > 0), ce qui impose X_1 > 0.

À l'équilibre thermodynamique, la puissance totale émise par l'objet compense exactement la puissance totale qu'il reçoit :

L'objet sphérique de rayon r, considéré comme un corps noir à la température uniforme T, émet sur l'ensemble de sa surface S = 4\pi r^2 la puissance radiative :

L'objet reçoit de l'énergie uniquement en provenance de la surface interne de l'enceinte et du Soleil :

• de l'enceinte (d'après Q5) : P_{E\to O} = 2\pi \sigma T_T^4 r^2 (1+\cos\alpha) ;
• du Soleil à travers le système optique : P_{S\to O} = \sigma T_S^4 \pi (R\sin\alpha)^2 \beta^2.

Le bilan de puissance s'écrit donc :

En divisant par 4\pi r^2 \sigma, on obtient l'expression de T^4 :

D'où la température d'équilibre de l'objet :

D'après la question Q2, la Terre à l'équilibre vérifie T_T = T_{T,\text{eq}} = T_S \sqrt{\frac{\beta}{2}}, soit :

En substituant T_T^4 dans l'expression précédente, on peut factoriser par \frac{\beta^2}{4} T_S^4 :

On en déduit la température d'équilibre T de l'objet :

L'objet sphérique de rayon r, assimilé à un corps noir à la température uniforme T, émet d'après la loi de Stefan une puissance totale isotrope dans tout l'espace (4\pi\text{ sr}) :

Tout rayon émis par l'objet est soit intercepté par la surface interne de l'enceinte, soit dirigé vers l'ouverture occupée par le système optique. Par conservation du flux émis par l'objet, on a :

D'après le résultat de la question Q6, la puissance reçue par l'enceinte s'écrit :

On en déduit immédiatement la puissance radiative émise par l'objet et traversant le système optique :

D'après l'énoncé, la puissance solaire reçue par l'objet via le système optique vaut :

Par ailleurs, la puissance radiative émise par l'objet qui atteint le Soleil est la fraction \xi de celle traversant le système optique. D'après le résultat de la question Q8 (P_{O\to \text{Sys}} = 2\pi r^2 \sigma T^4 (1-\cos\alpha)), on a :

Le flux radiatif net \Phi_2, orienté par convention du Soleil vers l'objet, s'écrit comme la différence entre la puissance reçue du Soleil et la puissance émise vers le Soleil :

En mettant sous la forme imposée \Phi_2 = \sigma T_S^4 \pi (R\sin\alpha)^2 \beta^2 - \sigma T^4 X_2, on identifie :

D'après la question Q9, le flux radiatif net entre le Soleil et l'objet s'écrit :

avec X_2 = 2\pi \xi r^2 (1-\cos\alpha).

Lorsque le Soleil et l'objet sont à la même température (T = T_S), le second principe de la thermodynamique impose qu'aucun transfert thermique net ne peut avoir lieu entre eux spontanément, soit \Phi_2 = 0. Il vient :

Comme cette égalité est vraie pour toute température T, et sachant que \xi est un facteur purement géométrique indépendant de la température, on obtient :

On en déduit l'expression de \xi :

Par définition, \xi est la fraction de la puissance P_{O\to Sys} qui se dirige vers le Soleil (le complémentaire étant perdu dans l'espace). Cette fraction ne peut en aucun cas excéder la puissance totale traversant le système optique, ce qui impose :

D'après la question Q10, cette fraction s'écrit :

où f(\alpha) = \dfrac{\sin^2(\alpha)}{2(1-\cos(\alpha))}.

L'inégalité \xi \le 1 devient donc :

Comme les rayons r et R ainsi que l'angle \beta sont strictement positifs, on en déduit :

soit :

D'après l'énoncé, la concentration lumineuse C s'exprime par le rapport des aires projetées :

D'après la question Q11, la condition thermodynamique \xi \le 1 impose une taille minimale à l'objet :

Or, la fonction f est continue et décroissante sur [0, \pi/2], de sorte que pour tout \alpha \in [0, \pi/2] :

On en déduit la minoration universelle (indépendante de \alpha) :

En multipliant cette inégalité par \sin^2(\alpha) \ge 0, on obtient :

D'après la question Q7, la température d'équilibre T de l'objet vérifie :

En introduisant la concentration géométrique C = \frac{R^2\sin^2\alpha}{r^2} définie par la relation (1), cette expression s'écrit :

En utilisant la limite supérieure issue du modèle obtenue en Q12, C \le \frac{2\sin^2\alpha}{\beta^2}, soit \frac{C\beta^2}{4} \le \frac{\sin^2\alpha}{2}, on en déduit l'inégalité :

Comme T_S \gg T_T, on a T_S^4 \gg T_T^4 (numériquement, (T_S/T_T)^4 \sim (5780/279)^4 \sim 1,8 \times 10^5). Le terme dominant dans la borne supérieure de T^4 est donc celui associé au Soleil :

Pour \alpha \in [0, \pi/2], la fonction \alpha \mapsto \sin^2\alpha est strictement croissante et atteint son maximum pour :

À cet angle, la contribution en T_T^4 vaut \frac{1+\cos(\pi/2)}{2}T_T^4 = \frac{1}{2}T_T^4, tout à fait négligeable devant \frac{1}{2}T_S^4. On en déduit la température maximale atteignable :

soit :

La lentille intercepte un flux surfacique solaire uniforme \Phi sur toute sa section droite S_\ell = \pi R_\ell^2. En supposant la lentille parfaitement transparente et orientée perpendiculairement aux rayons solaires, la puissance radiative totale traversant la lentille s'écrit :

Avec \Phi \simeq 1000\text{ W}\cdot\text{m}^{-2} et R_\ell = 2\text{ cm} = 2 \times 10^{-2}\text{ m} :

Avec un chiffre significatif :

D'après la relation (1), la concentration lumineuse C s'exprime comme le rapport entre la surface d'entrée du système optique et la surface de la zone irradiée :

On en déduit l'expression du rayon r_c de la tache lumineuse :

Pour R_\ell = 2\text{ cm} = 20\text{ mm} et C = 400 (\sqrt{C} = 20) :

Considérons une tranche de bois indéformable comprise entre x et x+\mathrm{d}x. Ses caractéristiques géométriques sont :

• Section droite : S = \pi r_c^2 ;
• Volume : \mathrm{d}V = S\,\mathrm{d}x = \pi r_c^2\,\mathrm{d}x ;
• Masse : \mathrm{d}m = \rho_b\,\mathrm{d}V = \rho_b \pi r_c^2\,\mathrm{d}x ;
• Surface latérale en contact avec l'air : \mathrm{d}S_{\text{lat}} = 2\pi r_c\,\mathrm{d}x.

Pendant la durée \mathrm{d}t, appliquons le premier principe de la thermodynamique à cette tranche au repos :

La variation d'énergie interne s'écrit, en considérant une phase condensée incompressible et indéformable :

Les transferts thermiques reçus par la tranche pendant \mathrm{d}t comportent :

• Le transfert thermique conductif entrant à travers la section en x :

  \delta Q_{\text{cond}}(x) = j(x,t) S\,\mathrm{d}t

• Le transfert thermique conductif sortant à travers la section en x+\mathrm{d}x :

  \delta Q_{\text{cond}}(x+\mathrm{d}x) = j(x+\mathrm{d}x,t) S\,\mathrm{d}t \simeq \left( j(x,t) + \frac{\partial j}{\partial x}(x,t)\,\mathrm{d}x \right) S\,\mathrm{d}t

• Le transfert thermique convectif cédé à l'air ambiant par la surface latérale (orienté vers l'extérieur) :

  \delta Q_{\text{conv}} = \varphi(x,t)\,\mathrm{d}S_{\text{lat}}\,\mathrm{d}t = h\bigl(T(x,t) - T_0\bigr) \cdot 2\pi r_c\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}t

Le bilan thermique s'écrit alors :

En égalant \mathrm{d}U et \delta Q, puis en divisant par \pi r_c^2\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}t, on obtient :

Soit sous forme standard :

À une dimension le long de l'axe (Ox), la loi phénoménologique de Fourier relie la composante algébrique du vecteur densité de flux thermique j(x,t) au gradient spatial de température :

où :

• j(x,t) est la densité de flux thermique conductif (ou vecteur densité de courant thermique projeté selon \vec{e}_x), exprimée en watt par mètre carré (\mathrm{W\cdot m^{-2}}) ;
• \lambda_b est la conductivité thermique du milieu (ici le bois), exprimée en watt par mètre et par kelvin (\mathrm{W\cdot m^{-1}\cdot K^{-1}}) ;
• \dfrac{\partial T}{\partial x}(x,t) est le gradient de température selon la direction x, exprimé en kelvin par mètre (\mathrm{K\cdot m^{-1}}), avec la température T en kelvin (\mathrm{K}) et la coordonnée spatiale x en mètre (\mathrm{m}).

D'après la question Q15, le bilan d'énergie sur une tranche élémentaire de bois d'épaisseur \mathrm{d}x s'écrit :

En introduisant la loi de Fourier unidimensionnelle rappelée en Q16, j(x,t) = -\lambda_b \frac{\partial T}{\partial x}, et en supposant la conductivité thermique \lambda_b constante, il vient :

L'équation devient ainsi :

En divisant cette relation par le facteur \dfrac{2h}{r_c} > 0, on obtient :

Cette équation est bien de la forme attendue :

avec les constantes positives définies par :

Applications numériques : Avec r_c = 1\text{ mm} = 10^{-3}\text{ m} (d'après Q14), \rho_b = 1000\text{ kg}\cdot\text{m}^{-3}, C_b = 2000\text{ J}\cdot\text{K}^{-1}\cdot\text{kg}^{-1}, \lambda_b = 0,2\text{ W}\cdot\text{m}^{-1}\cdot\text{K}^{-1} et h = 20\text{ W}\cdot\text{m}^{-2}\cdot\text{K}^{-1} :

Avec un chiffre significatif :

D'après la question Q14, la puissance solaire absorbée par la face d'entrée de section S = \pi r_c^2 vaut :

Le transfert thermique conducto-convectif surfacique sur la face d'entrée s'écrit \varphi(0,t) = h(T(0,t) - T_0). La puissance convective totale émise par cette face d'aire S = \pi r_c^2 est :

Pour des températures T(0,t) comprises entre T_0 = 300\text{ K} et T_{sp} = 600\text{ K}, cette puissance est maximale pour T(0,t) = T_{sp} :

On constate ainsi que :

Les pertes convectives sur la face d'entrée représentent moins de 2\,\% de la puissance solaire reçue et sont donc négligeables.

Effectuons un bilan de puissance sur l'interface d'entrée x=0 (de capacité thermique nulle). En régime instationnaire comme stationnaire, la somme algébrique des puissances reçues par l'interface est nulle :

où la puissance transmise par conduction thermique vers l'intérieur du cylindre (x > 0) est donnée par la loi de Fourier :

En négligeant P_{\text{conv}}(x=0, t) devant P_c, il vient :

soit finalement :

En régime stationnaire (t \gg \tau), la température ne dépend plus du temps : \frac{\partial T}{\partial t} = 0 et T(x,t) \to T^{st}(x). L'équation différentielle (3) s'écrit alors :

En introduisant \Delta T(x) = T^{st}(x) - T_0, pour laquelle \frac{\mathrm{d}^2 \Delta T}{\mathrm{d}x^2} = \frac{\mathrm{d}^2 T^{st}}{\mathrm{d}x^2}, l'équation différentielle devient :

Les conditions aux limites associées sont :

• En x = 0, la condition aux limites de flux établie à la question Q18 donne :

  \left.\frac{\mathrm{d}\Delta T}{\mathrm{d}x}\right|_{x=0} = \left.\frac{\mathrm{d}T^{st}}{\mathrm{d}x}\right|_{x=0} = -\frac{P_c}{\lambda_b \pi r_c^2} = -\frac{C \Phi}{\lambda_b}

• Comme la longueur du morceau de bois vérifie L \gg \ell, le morceau de bois peut être considéré comme semi-infini selon x. La perturbation thermique ne pénètre que sur une longueur d'ordre \ell, de sorte que la température tend vers la température ambiante à grande distance :

  \lim_{x \to +\infty} \Delta T(x) = 0 \quad (\text{ou } \Delta T(L) \approx 0)

La solution générale de cette équation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constants est :

où A et B sont deux constantes réelles.

La condition de décroissance à l'infini (\lim_{x \to +\infty} \Delta T(x) = 0) impose B = 0.

La condition en x = 0 s'écrit :

On en déduit l'expression du profil de température stationnaire :

D'après le résultat de la question Q19, le profil de température stationnaire s'écrit :

Avec \ell \simeq 2{,}2 \times 10^{-3}\text{ m} (valeur approchée à \ell \simeq 2\text{ mm} en Q17), la surchauffe maximale en x=0 vaut :

Les caractéristiques remarquables de la courbe sont :

• en x=0, T^{st}(0) = T_0 + \Delta T(0) ;
• la tangente à l'origine a pour pente \left.\frac{\mathrm{d}T^{st}}{\mathrm{d}x}\right|_{x=0} = -\frac{\Delta T(0)}{\ell}, elle coupe l'asymptote T=T_0 en x = \ell ;
• en x = \ell, T^{st}(\ell) - T_0 = \frac{\Delta T(0)}{\mathrm{e}} \simeq 0{,}37\,\Delta T(0) ;
• pour x \gg \ell, la température tend exponentiellement vers l'asymptote horizontale T = T_0.

Le bois s'enflamme spontanément à l'extrémité éclairée x=0 lorsque sa température atteint la température d'inflammation T_{\text{sp}} \simeq 600\text{ K} :

D'après la loi d'évolution temporelle fournie par l'équation (4) :

Lorsque t \to \infty, \operatorname{erf}(\sqrt{t/\tau}) \to 1, ce qui donne la température asymptotique de régime stationnaire :

Or, d'après les résultats des questions Q19 et Q20, la température stationnaire en x=0 est T^{\text{st}}(0) = T_0 + \Delta T(0) avec :

Par identification, on en déduit la constante a :

Avec les valeurs numériques C = 400, \Phi = 1000\text{ W}\cdot\text{m}^{-2}, \lambda_b = 0{,}2\text{ W}\cdot\text{m}^{-1}\cdot\text{K}^{-1} et \ell \simeq 2\times 10^{-3}\text{ m} (valeur avec un chiffre significatif obtenue en Q17) :

(ou a \simeq 4{,}5\times 10^3\text{ K} en conservant la valeur non arrondie \ell = \sqrt{5}\times 10^{-3}\text{ m}).

La condition d'allumage s'écrit alors :

L'application numérique donne :

Sur la figure 3, pour une ordonnée \operatorname{erf}(\sqrt{u}) \approx 0{,}07\text{ à } 0{,}08, on lit sur l'axe logarithmique entre 10^{-3} et 10^{-2} (vers la 4e ou 5e graduation secondaire) :

Avec le temps caractéristique calculé en Q17 (\tau \simeq 5\times 10^1\text{ s} = 50\text{ s}) :

1. Construction géométrique et position de l'image

L'objet étant situé à l'infini, son image par la lentille mince convergente se forme dans le plan focal image, situé à la distance focale image f' du centre optique O de la lentille.

Le centre de la source sphérique, situé sur l'axe optique, a pour image le foyer principal image F'. Un point du bord de la source, vu sous le demi-angle \beta, émet des rayons inclinés d'un angle \beta par rapport à l'axe optique. Le rayon incident passant par le centre optique O n'est pas dévié et vient couper le plan focal image en un point B', formant ainsi le bord de l'image.

2. Expression du rayon r de l'image

Dans le triangle rectangle OF'B', la trigonométrie donne :

Puisque le demi-angle apparent vérifie \beta \ll 1, on effectue l'approximation des petits angles \tan\beta \approx \beta, d'où :

3. Expression de la concentration C

Par définition, la concentration lumineuse C est le rapport entre la surface de collecte de la lentille et la surface de l'image formée :

En injectant r = f'\beta, il vient :

D'après la définition de l'angle \alpha donnée dans le préambule, le rayon le plus incliné émergeant de la lentille et passant par le foyer image F' provient du bord extrême de la lentille, situé à la distance \rho_L de l'axe optique. Dans le triangle rectangle formé par le centre optique O, le bord supérieur de la lentille et F', on a :

On en déduit l'expression de la concentration en fonction de \alpha et \beta :

D'après la question Q22, la concentration lumineuse calculée dans le cadre de l'optique paraxiale s'écrit :

Pour tout angle d'ouverture non nul \alpha \in \left]0, \frac{\pi}{2}\right[, on a :

Par conséquent :

La concentration calculée par l'optique géométrique élémentaire dépasse strictement la borne maximale imposée par la thermodynamique : elle n'est donc pas compatible avec cette limite.

On se rapproche de cette limite dans le domaine des petits angles d'ouverture (\alpha \ll 1\text{ rad}, soit \rho_L \ll f'), c'est-à-dire dans le cadre de l'approximation paraxiale (conditions de Gauss). En effectuant un développement limité au voisinage de \alpha = 0 :

d'où :

Lorsqu'un rayon lumineux rencontre un dioptre séparant deux milieux transparents, homogènes et isotropes d'indices optiques n_1 et n_2, il donne naissance à un rayon réfléchi dans le milieu 1 et à un rayon réfracté (ou transmis) dans le milieu 2.

On définit le plan d'incidence comme le plan contenant le rayon incident et la normale au dioptre au point d'incidence I. Les lois de Snell-Descartes s'énoncent alors ainsi :

1. Lois relatives au plan d'incidence : Le rayon réfléchi et le rayon réfracté sont entièrement situés dans le plan d'incidence.

2. Loi de la réflexion : Le rayon réfléchi reste dans le milieu d'incidence (milieu 1) et son angle géométrique de réflexion i_1' est égal à l'angle géométrique d'incidence i_1 :

   \boxed{i_1' = i_1}

   (ou i_1' = -i_1 en convention d'angles algébriques).

3. Loi de la réfraction : Le rayon réfracté se propage dans le second milieu (milieu 2) avec un angle géométrique de réfraction i_2 lié à i_1 par :

   \boxed{n_1 \sin(i_1) = n_2 \sin(i_2)}

Soient i_1 et i_2 les angles formés respectivement par les rayons incident (\vec{v}_1) et réfracté (\vec{v}_2) avec la normale \vec{N} orientée du milieu 1 vers le milieu 2.

Dans la base orthonormée (\vec{T}, \vec{N}) du plan d'incidence, les vecteurs unitaires \vec{v}_1 et \vec{v}_2 se décomposent selon :

On identifie ainsi les composantes tangentielles :

La seconde loi de Snell-Descartes pour la réfraction s'écrit n_1 \sin(i_1) = n_2 \sin(i_2), ce qui donne immédiatement :

Puisque les vecteurs \vec{v}_1 et \vec{v}_2 sont unitaires et que la base (\vec{T}, \vec{N}) est orthonormée, leurs normes vérifient :

Le rayon réfracté pénétrant dans le milieu 2 dans le sens de \vec{N}, on a i_2 \in [0, \pi/2[, d'où v_{2,N} = \cos(i_2) > 0. On en déduit :

En exprimant enfin v_{1,T}^2 en fonction de v_{1,N}, il vient :

D'après la question Q25, la composante tangentielle du vecteur unitaire incident est v_{1,T} = \sin i_1, de sorte que :

Le terme situé sous la racine carrée dans la relation (5) s'écrit donc :

Ce terme est strictement négatif lorsque :

Cette condition ne peut être réalisée que si :

c'est-à-dire lors du passage d'un milieu plus réfringent vers un milieu moins réfringent, pour un angle d'incidence supérieur à l'angle critique i_{\text{lim}} (ou encore v_{1,N} < \sqrt{1 - (n_2/n_1)^2}).

Dans cette situation, il n'existe pas d'onde transmise sous forme de rayon réfracté : le phénomène observé est la réflexion totale. Le rayon lumineux ne pénètre pas dans le milieu 2 ; il est intégralement réfléchi dans le milieu 1 selon les lois de Snell-Descartes pour la réflexion :

Son vecteur unitaire directeur après réflexion est alors \vec{v}_{\text{réfléchi}} = v_{1,T}\vec{T} - v_{1,N}\vec{N} = \vec{v}_1 - 2(\vec{v}_1\cdot\vec{N})\vec{N}.

Rappelons la relation (5) établie pour le vecteur directeur du rayon réfracté :

1. Cas où n_1 = n_2 :

Le rapport des indices vaut \dfrac{n_1}{n_2} = 1. Le terme sous la racine carrée devient :

Comme le rayon incident se propage du milieu 1 vers le milieu 2, on a \vec{v}_1 \cdot \vec{N} = v_{1,N} = \cos(i_1) > 0, d'où |v_{1,N}| = v_{1,N}.

Le terme facteur de \vec{N} s'annule donc :

On en déduit :

Interprétation physique : Lorsque les deux milieux possèdent le même indice de réfraction, l'interface n'introduit aucune rupture optique. Le milieu est optiquement homogène et le rayon lumineux se propage en ligne droite sans être dévié.

2. Cas où v_{1,N} = 1 :

Puisque \overrightarrow{v_1} et \vec{N} sont tous deux unitaires, la condition v_{1,N} = \overrightarrow{v_1} \cdot \vec{N} = 1 impose :

ce qui correspond à une incidence normale (i_1 = 0).

Dans la relation (5), le terme 1 - v_{1,N}^2 = 1 - 1 = 0, donc la racine carrée se simplifie en \sqrt{1 - 0} = 1. L'expression devient :

Soit finalement :

Interprétation physique : Sous incidence normale (i_1 = 0), la loi de Snell-Descartes donne n_1 \sin(0) = n_2 \sin(i_2), d'où i_2 = 0. Le rayon n'est pas dévié à la traversée du dioptre, quel que soit le saut d'indice.

1. Définition du stigmatisme

Un système optique est dit rigoureusement stigmatique pour un couple de points (A, A') si tout rayon lumineux issu du point objet A (réel ou virtuel) et traversant le système optique émerge en passant (ou dont le prolongement passe) par un point unique A', appelé point image (réel ou virtuel).

De façon plus générale, le système est stigmatique s'il transforme tout point objet en un point image unique, sans étalement spatial du faisceau émergent.

2. Exemple de système optique rigoureusement stigmatique

Le miroir plan présente un stigmatisme rigoureux pour tout point de l'espace : l'image A' d'un point A quelconque est son symétrique orthogonal par rapport au plan du miroir.

Autre exemple classique : le miroir parabolique, rigoureusement stigmatique pour le couple constitué de son foyer et d'un point situé à l'infini sur son axe de révolution.

La surface de la lentille est décrite dans le plan (Oxy) par la courbe d'équation y = f(x).

Méthode 1 : Par le vecteur tangent

Un déplacement élémentaire le long de la surface s'écrit :

Un vecteur tangent à l'interface au point (x, f(x)) est donc :

Un vecteur normal \vec{N}_0 = \begin{pmatrix} N_x \\ N_y \end{pmatrix} est orthogonal à \vec{T}_0, ce qui se traduit par le produit scalaire nul :

La condition imposée sur la composante selon \vec{e}_y étant strictement positive (N_y > 0), on peut choisir N_y = 1, ce qui donne N_x = -f'(x) :

La norme de ce vecteur vaut :

Le vecteur unitaire \vec{N} = \dfrac{\vec{N}_0}{\|\vec{N}_0\|} s'écrit alors :

Méthode 2 : Par le gradient

La surface est une ligne de niveau de la fonction scalaire F(x, y) = y - f(x) = 0. Le gradient de F est orthogonal à cette ligne de niveau et s'exprime par :

Sa composante selon \vec{e}_y vaut +1 > 0, orientée vers l'intérieur de la lentille (du milieu 1 vers le milieu 2). En normalisant par sa norme \|\vec{\nabla}F\| = \sqrt{1+(f'(x))^2}, on retrouve directement l'expression demandée.

À la première interface (surface convexe d'entrée) :

• le milieu incident est l'air d'indice n_1 = 1 ;
• le milieu réfracté est la lentille d'indice n_2 = n ;
• les rayons incidents se propagent parallèlement à l'axe (Oy) vers les y croissants, soit \vec{v}_1 = \vec{e}_y ;

• le vecteur unitaire normal \vec{N} s'écrit d'après la question Q29 :

  \vec{N} = \frac{1}{\sqrt{1+\big(f'(x)\big)^2}}\begin{pmatrix} -f'(x) \\ 1 \end{pmatrix}.

Calculons la composante normale incidente v_{1,N} :

On en déduit :

Le terme sous la racine carrée de l'équation (5) s'exprime alors comme :

Le facteur devant \vec{N} dans l'expression (5) vaut ainsi :

En multipliant ce scalaire par le vecteur unitaire \vec{N} = \frac{1}{\sqrt{1+(f'(x))^2}} \big(-f'(x)\vec{e}_x + \vec{e}_y\big), le dénominateur devient 1+\big(f'(x)\big)^2, faisant apparaître précisément la fonction g(x) :

En réinjectant ce résultat dans l'équation (5) avec \vec{v}_2 = \vec{v}_r(x) et \frac{n_1}{n_2}\vec{v}_1 = \frac{1}{n}\vec{e}_y, on obtient :

À la seconde interface située en y = 0, le rayon passe du verre d'indice n_1 = n vers l'air d'indice n_2 = 1. L'interface étant un plan d'équation y = 0, la normale unitaire dirigée du milieu incident vers le milieu émergent (dans le sens de propagation selon y > 0) est :

D'après l'expression de \vec{v}_r(x) obtenue à la question Q30 :

Le rapport des indices vaut ici \dfrac{n_1}{n_2} = n. La relation (5) donne directement :

En remplaçant \vec{v}_r \cdot \vec{e}_y = \dfrac{1}{n} + g(x) dans les termes selon \vec{e}_y :

On obtient l'expression intermédiaire demandée :

En injectant l'expression complète de \vec{v}_r(x) = -f'(x)g(x)\vec{e}_x + \left(\dfrac{1}{n} + g(x)\right)\vec{e}_y, le terme n \vec{v}_r s'écrit :

La composante (1 + n g(x)) \vec{e}_y se compense exactement avec le terme -(1 + n g(x)) \vec{e}_y, ce qui conduit au résultat final :

Dans l'approximation de la lentille mince, le rayon lumineux émerge de la face de sortie plane (y=0) au point S de coordonnées (x, 0).

Le rayon réfracté se propage en ligne droite selon le vecteur directeur unitaire \vec{v}_s(x) = v_{s,x} \vec{e}_x + v_{s,y} \vec{e}_y, où d'après la relation (8) établie à la question précédente :

Tout point M(X, Y) du rayon lumineux vérifie :

Le rayon coupe l'axe optique (Oy) au point d'abscisse X = 0 et d'ordonnée Y = y_s. En éliminant le paramètre \lambda :

En injectant les composantes de \vec{v}_s(x), on obtient :

Les rayons incidents proviennent de l'infini et se propagent parallèlement à l'axe optique (Oy). Par définition, dans un système optique convergent, de tels rayons émergent en passant par le foyer principal image F' de la lentille.

Pour une lentille mince dont la face de sortie plane est située en y = 0 (plan de référence contenant le centre optique), le point d'intersection (0, y_s) du rayon émergent avec l'axe optique (Oy) correspond au foyer image F'. Par conséquent, l'ordonnée y_s représente la distance focale image f'_\ell de la lentille :

Dans les conditions de Gauss (rayons paraxiaux, c'est-à-dire proches de l'axe optique et peu inclinés par rapport à celui-ci), le système optique vérifie un stigmatisme approché :

• tous les rayons incidents parallèles à l'axe optique convergent en un même point focal image F' unique ;
• par conséquent, dans ce cadre, y_s ne dépend pas de x.

1. Signe de a_0 :

   La face de sortie plane de la lentille est située dans le plan d'équation y = 0. La lentille étant éclairée par les y négatifs (y \to -\infty) avec propagation vers les y croissants, sa face d'entrée convexe d'équation y = f(x) est nécessairement située dans le demi-espace y < 0.

   Au sommet de la lentille situé sur l'axe optique (x = 0), on a f(0) = a_0. On en déduit :

   \boxed{a_0 < 0}

   L'épaisseur au centre de la lentille vaut ainsi e_0 = -a_0 > 0.

2. Parité du développement de f :

   D'après l'énoncé, la lentille présente une symétrie de révolution autour de l'axe optique (Oy). Dans le plan de coupe (Oxy), le profil géométrique de la surface d'entrée est donc invariant par la réflexion x \mapsto -x par rapport à l'axe (Oy) :

   f(-x) = f(x)

   La fonction f est une fonction paire. Par conséquent, toutes ses dérivées d'ordre impair en x = 0 sont nulles, et son développement limité au voisinage de x = 0 ne comporte que des puissances paires de x :

   \boxed{f(x) = a_0 + a_2 x^2 + a_4 x^4 + \dots}

D'après la question Q32 et les relations (10) et (11), l'ordonnée y_s(x) s'écrit au voisinage de x = 0 :

Dans les conditions de Gauss (x \to 0), y_s s'identifie à la distance focale image f_\ell' de la lentille (question Q33) :

Analyse du résultat :

• Lorsque n \to 1, l'indice de la lentille devient égal à celui de l'air environnant : il n'y a plus de saut d'indice, donc aucune déviation des rayons lumineux à la traversée des interfaces. La lentille ne focalise plus la lumière, ce qui se traduit par f_\ell' \to +\infty.
• La courbure au sommet de la face convexe vaut \mathcal{C} = f''(0) = 2a_2, reliée au rayon de courbure par R_c = \frac{1}{2a_2}. Plus la courbure est importante (a_2 grand, face fortement bombée), plus la distance focale f_\ell' est courte : la lentille est plus convergente (sa vergence V = \frac{1}{f_\ell'} = 2a_2(n-1) augmente). À la limite d'une face plane (a_2 \to 0), la lentille devient une lame à faces parallèles et f_\ell' \to +\infty.

Dépendance en x de y_s(x) : La première dépendance non constante du développement en puissance de x de y_s(x) est en x^2 :

Ce résultat était prévisible par symétrie : le système optique présente une invariance par réflexion par rapport au plan (yOz). Un rayon incident à l'abscisse -x suit une trajectoire symétrique de celle du rayon à l'abscisse +x et coupe donc l'axe optique (Oy) au même point : y_s(-x) = y_s(x). La fonction y_s est donc strictement paire, ce qui annule tous les coefficients d'ordres impairs (notamment le terme linéaire en x). Le premier terme correctif d'aberration sphérique est ainsi nécessairement d'ordre 2 en x (confirmé par l'expression de la dérivée y_s'(x) \propto x donnée à la relation (12)).

1. Définition géométrique d'une lentille mince

Une lentille est dite géométriquement mince si son épaisseur au centre sur l'axe optique, notée e, est très petite devant les rayons de courbure de ses faces sphériques (e \ll R_1, e \ll R_2) ainsi que devant leur différence |R_1 - R_2|.

Pour la lentille convexe-plan considérée ici, la face de sortie est plane (R_2 \to \infty) et la face d'entrée possède un rayon de courbure R_c. La condition de lentille mince s'écrit donc :

2. Condition sur les coefficients a_0 et a_2

D'après les questions Q34 et Q35 :

• Le sommet de la face d'entrée est situé en y = f(0) = a_0 < 0, et la face plane de sortie est en y = 0. L'épaisseur au centre vaut donc :

  e = |a_0| = -a_0

• Au voisinage de l'axe, le profil s'écrit f(x) \approx a_0 + a_2 x^2. L'approximation parabolique d'un dioptre sphérique de rayon de courbure R_c donne une flèche y - a_0 \approx \frac{x^2}{2R_c}, d'où :

  R_c = \frac{1}{2a_2}

La condition géométrique e \ll R_c devient alors :

3. Justification de l'approximation x' \approx x

L'écart relatif entre la position radiale de sortie x' et d'entrée x est donné par :

Comme l'indice du verre vérifie n > 1, le facteur géométrique vérifie 0 < \frac{n-1}{n} < 1 (pour n = 1{,}5, il vaut \frac{1}{3}). En prenant la valeur absolue :

car 2|a_0|a_2 \ll 1 d'après l'approximation de lentille mince.

L'approximation x' \approx x introduite à la question Q32 est donc rigoureusement équivalente à l'approximation géométrique d'une lentille mince.